分数傅里叶变换
分数阶傅里叶变换的原理与应用
分数阶傅里叶变换的原理与应用一、分数阶傅里叶变换的原理1.1传统傅里叶变换的局限性传统的傅里叶变换可以将时域信号转换为频域信号，但其变换后的结果是旋转对称的，并且无法提供选择性的时频分辨率，即无法同时精确地描述信号的瞬时特性和频率特性。
1.2分数阶傅里叶变换的引入为了弥补传统傅里叶变换的不足，分数阶傅里叶变换被引入。
分数阶傅里叶变换是将传统傅里叶变换的旋转对称性由倾斜对称的情况首次引入到信号处理领域。
1.3 分数阶傅里叶变换的定义F(a,b) = ∫f(t)K(a,b,t)dt其中，a和b是变换的参数，f(t)是原始信号，K(a,b,t)为分数阶的核函数，核函数代表了信号在时域和频域中的变换关系，通过核函数可以实现对信号的不同时频特性的描述。
1.4分数阶傅里叶变换的数学表达式F(a,b) = ∫f(t)exp(-jπat²)exp(-jπb²/t²)dt其中，a和b分别代表旋转因子，通过调整a和b的取值，可以实现对信号的不同时频域特性的描述。
二、分数阶傅里叶变换的应用2.1信号处理2.2通信系统2.3图像处理2.4声音和视频处理2.5生物医学信号处理分数阶傅里叶变换在生物医学信号处理中也有广泛应用，如心电信号分析、脑电信号分析、磁共振成像分析等。
通过对生物医学信号进行分数阶傅里叶变换，可以实现对信号的精确分析和刻画，从而有助于疾病的早期诊断和治疗。
总结：分数阶傅里叶变换作为傅里叶变换的一种扩展形式，克服了传统傅里叶变换的不足，通过调整变换的参数，分数阶傅里叶变换可以实现对信号的精确时频分辨率分析，被广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理、声音和视频处理、生物医学信号处理等领域。
随着对分数阶傅里叶变换的进一步研究和应用，相信将会有更多的应用场景被发现，为信号处理和通信领域带来更多创新和发展。
分数傅里叶变换
分数傅里叶变换分数傅里叶定义：分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换次，其中不一定要为整数（比傅里叶变换更加广泛）；通过分数傅里叶变换之后，图像或信号便会同时拥有时域与频域两者的特征。
1.1（维基百科）第一种定义:第二种定义：1.2从数学上分数傅立叶变换定义了积分形式：Wigner分布函数相空间定义的分数傅立叶变换A.W.Lohmann在1993 年利用傅里叶变换相当于在Wigner分布函数相空间中角度为π/2的旋转这一性质，说明分数傅里叶变换在Wigner分布函数空间中相当于角度是pπ/2的旋转，这里，p是分数傅里叶变换的级次。
分数傅里叶变换的定义在数学上是等价的。
当分数傅里叶变换的幂次p从0 连续增长到达1 时，分数傅里叶变换的结果相应地从原始信号的纯时间（空间）形式开始逐渐变化成为它的纯频域（谱）形式，幂次p在0到1之间的任何时刻对应的分数傅里叶变换采取了介乎于时（空）域和频域之间的一个过渡域的形式，形成一个既包含时（空）域信息同时也包含频（谱）域信息的混合信号。
因此，这样定义的分数傅里叶变换确实是一种时（空）-频描述和分析工具分数傅里叶的分类：1.一维分数傅里叶变换分数傅里叶变换的数学表达式有积分形式和级数表达式两种等价形式,1.积分形式2级数表达式形式其中2.二维分数傅里叶变换其中C为相应常系数。
当a=b时, 上式就是二维分数傅里叶变换的表达式; 当a=b=1时, 上式转化为常规二维傅里叶变换; 当a与b不相等时, 我们称这种情况的二维分数傅里叶变换为不对称分数傅里叶变换。
此时在x、y 方向实施的变换级次是不同的。
分数傅里叶变换的性质1周期性：（k为整数）2线性：（c1和c2是复常数）3阶数可加性：4尺度变换特性：5时移特性：6频移特性：7可逆性：对一个函数进行P 级分数傅里叶变换后，接着进行－P 级的分数傅里叶变换，则可得到原函数:分数傅里叶变换的数值算法(1) 基于傅立叶变换矩阵因子幂的离散化算法，利来计算离散的分数傅立叶变换的核矩阵，从而利用FFT来计算离散分数傅立叶。
分数傅里叶变换
分数傅里叶变换在信号处理领域中，傅里叶变换是一项重要的数学工具，用于将一个信号从时域转换到频域。
然而，对于非周期信号或者信号突变的情况，传统的傅里叶变换可能无法准确地描述信号的频谱特征。
为了解决这个问题，人们提出了一种更加灵活和精确的傅里叶变换方法——分数傅里叶变换。
分数傅里叶变换是一种基于分数阶导数的信号变换方法，它能够有效地处理非周期信号和突变信号。
这种变换方法在信号处理、图像处理和模式识别等领域得到了广泛的应用，并且取得了令人瞩目的成果。
为了更好地理解分数傅里叶变换的原理和应用，我们首先需要了解傅里叶变换的基本概念。
傅里叶变换可以将一个信号分解为不同频率的正弦波成分，然后通过叠加这些正弦波成分，得到原始信号。
这种变换方法使得我们能够从频域的角度来分析信号的特征，比如频率、幅度和相位等。
然而，对于非周期信号或者信号突变的情况，传统的傅里叶变换可能会产生一些问题。
由于这些信号不具有周期性或者在某些时刻突然发生变化，传统的傅里叶变换无法准确地表示信号的频谱特征。
这就需要我们引入分数傅里叶变换这一更加灵活和精确的方法。
分数傅里叶变换基于分数阶导数的概念，可以有效地处理非周期信号和突变信号。
分数阶导数是导数的一种推广，它能够描述信号在时间或空间上的非平滑性和不连续性。
通过引入分数阶导数的概念，分数傅里叶变换能够更加准确地表示信号的频谱特征，从而提高信号处理的精度和效果。
分数傅里叶变换的应用十分广泛，涵盖了信号处理、图像处理和模式识别等多个领域。
在信号处理方面，分数傅里叶变换可以用于信号滤波、频谱分析和信号恢复等任务。
在图像处理方面，分数傅里叶变换可以用于图像去噪、图像增强和图像压缩等应用。
在模式识别方面，分数傅里叶变换可以用于特征提取和分类识别等任务。
通过分数傅里叶变换，我们可以更加准确地分析和处理信号的频谱特征，从而提高信号处理的精度和效果。
不仅如此，分数傅里叶变换还可以帮助我们深入理解信号的本质和特征，从而为更深入的研究和应用打下基础。
分数阶傅里叶变换的物理意义
分数阶傅里叶变换的物理意义分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，简称FrFT）是傅里叶变换的一种推广形式，它引入了分数阶数值，使其更灵活适用于一些非整数阶的信号处理和分析问题。
分数阶傅里叶变换的物理意义可以通过以下几个方面来理解：
1.多尺度分析：分数阶傅里叶变换允许对信号进行更为灵活的尺度分析。
正常的傅里叶变换对应于阶数为2的情况，而分数阶傅里叶变换可以应用于不同阶数，从而对信号进行多尺度的频谱分解。
2.时频分析：传统的傅里叶变换提供了频域信息，而分数阶傅里叶变换可以提供时频混合的信息。
这对于分析非平稳信号，即在时间和频率上都变化的信号，非常有用。
3.非整数阶系统响应：在一些系统中，特别是在介质中传播的波等情况下，系统的响应可能不是简单的整数阶微分方程描述的。
分数阶傅里叶变换可以用于处理这类非整数阶系统的频域分析。
4.分数阶微积分的应用：分数阶傅里叶变换的阶数直接与分数阶微积分有关。
这种变换可以用于描述一些复杂系统中的信号处理问题，例如在分形理论和混沌理论中的应用。
总体而言，分数阶傅里叶变换的物理意义在于它对信号进行了更为灵活和细致的频谱分析，适用于一些传统傅里叶变换无法很好处理的问题，尤其是在非平稳信号和非整数阶系统中。
分数阶傅里叶变换
分数阶傅里叶变换
分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，简称FrFT）是傅里叶变换（FFT）的一种变体，主要用于信号和图像的处理和分析，它能够重构信号或图像的频域特征。
跟FFT相比，它可以提供更多的
频域参数，它的使用可以减少信号、图像的处理的时间，提高处理的
速度。
分数阶傅里叶变换的原理是将时域信号和图像通过一定的欧拉角
旋转轴系变换到频域进行处理，此处欧拉角旋转轴系是指改变时域变
量t的旋转角度ω，表示为比率α。
对于某一序列的信号变换到频域，则可以写为：F(ω,α)=Ft(Aw，αω)。
当把FFT的轴系旋转，会到达一个新的傅里叶变换领域，可以构
建分数阶傅里叶变换。
分数阶傅里叶变换的关键参数是α ，α由下
式给出：（ω，α）=（t，αt）。
α参数越大，则傅里叶变换域的
缩放程度也就越大，即改变FFT轴系旋转的程度越大，最终能够把信
号变换到一个更大更远的领域，例如远离原点的时域。
分数阶傅里叶变换的基本运算是通过一组定义的参数，前面已介
绍的α的参数就是其中的关键参数，所有的运算都由这个参数决定，
而信号或图像则由傅里叶变换的子函数来完成变换。
分数阶傅里叶变换过程分为5步：第一步，先检查信号的长度；第二步，根据前面定义的α参数，计算轴系旋转的角度θ；第三步，在频域求解零级子函数来提取信号或图像的特征；第四步，计算转换后的特征值；第五步，对其进行融合，降低噪声等。
分数阶傅里叶变换用在信号和图像处理当中，有着很多应用，例如图像检测、图像压缩等，它能够提高处理效率，减少计算任务的复杂度，同时提供更多的频域参数来进行分析和处理。
分数傅立叶变换
分数傅立叶变换
分数傅立叶变换（Fractional Fourier Transform，简称FrFT）是一种对信号和系统在时间域和频域进行有效描述的变换方法，又称为“分数频率傅立叶变换”。
它是由熊克特斯（Eckert）于1988年提出的。
它是一种漫射型的变换，此时傅里叶变换就叫做复数傅立叶变换（Complex Fourier Transform，简称CFT），而FrFT就是一种对复数傅里叶变换的一个改进，它以傅里叶变换为基础，以分数系数代替傅里叶变换中的实数系数，从而实现了信号或系统域转移的目的。
FrFT具有诸多优点，与普通的傅里叶变换（DFT）相比具有更好的数值性能，具有更宽的动态范围和更高的分辨率，可以有效的滤除噪音。
此外，它还可以快速实现非正交信号分析，将软件处理的复杂性和成本降低了至少一半。
分数阶傅里叶变换数值计算中的量纲归一化_赵兴浩
第25卷 第4期2005年4月北京理工大学学报Tr ansactions of Beijing Institute of T echnolog y V o l.25 No.4Apr.2005 文章编号:1001-0645(2005)04-0360-05分数阶傅里叶变换数值计算中的量纲归一化赵兴浩, 邓 兵, 陶 然(北京理工大学信息科学技术学院电子工程系,北京 100081)摘 要:针对分数阶傅里叶变换(F RF T )快速算法中所要求的量纲归一化与实际工程计算脱节的问题,对量纲归一化进行了研究,提出了离散尺度变换和数据补零/截取2种实用的量纲归一化方法,研究了2种方法对chirp 信号参数估计的影响,导出了采用离散尺度化方法时,归一化前后的chirp 信号参数的变换关系.通过仿真实例说明FR FT 快速算法能够应用于实际工程计算.关键词:分数阶傅里叶变换;量纲归一化;chirp 信号;参数估计中图分类号:T N 957.51 文献标识码:ADimensional Normalization in the Digital Computationof the Fractional Fourier TransformZHAO Xing -hao , Deng B ing , TAO Ran(Depar tment o f Electr onic Engineering ,Scho o l o f Info r matio n Science and T ech no lo gy ,Beijing Institute ofT ech no lo gy ,Beijing 100081,China )Abstract :The fast a lg o rithm of the digital computation o f the fractional Fourier transform(FRFT)requires the dimensiona l no rmalizatio n,but how to do it fo r practical discrete sig nal is no t settled yet .Fo r this reaso n ,the paper presents tw o engineering -oriented metho ds o f the dimensio nal normaliza tion.One is called as the discrete scaling transfo rm metho d,another is called a s the data zero-padding /interception method.Furthermo re,their effects o n the parameter estima tion of the chirp sig nal are studied and for discrete scaling metho d ,a rela tionship befo re and after the no rmalizatio n is dev elo ped .Finally ,these methods a re v erified by simulation exa mples.These engineering-o riented methods o f the dimensional no rmalizatio n makes the FRFT m ore practical in digital signal processing.Key words :fractional Fo urier transform;dim ensio nal norma lizatio n;chirp sig nal;parameterestimatio n收稿日期:20040415基金项目:国家自然科学基金重点资助项目(60232010);高校青年教师奖资助项目;国家部委预研项目(6140445)作者简介:赵兴浩(1969-),男,博士生;陶 然(1964-),男,教授,博士生导师,E-mail :rantao @. 分数阶傅里叶变换(FRFT)作为一种全新的时频分析工具[1],已经引起信号处理领域研究人员的广泛重视.目前基于分数阶傅里叶变换的chirp 信号的检测和参数估计已经在雷达、通信等诸多领域获得应用[2,3].以往人们都在积极研究各种FRFT 的快速数值计算方法[4～7],文献[3]提出了一种基于FRFT 表达式分解的算法,这种算法的计算速度几乎与FFT 相当,被公认为目前为止计算速度最快的一种FRFT数值计算方法.需要特别强调的是,这种快速算法的运算机理决定了在进行FRFT数值计算之前必须先对原始信号进行量纲归一化处理,但是文中所给出的量纲归一化方法是以时间原点对称地对连续信号进行尺度变换,然后再按照规定时间间隔采样得到离散信号序列.这种方法在实际工程应用中不具有操作性,因为在实际工程中,所得到的信号往往是按照一定采样率进行采样得到离散信号的,而且时间取正值.为将FRFT快速算法成功地应用于实际工程计算,就必须解决对实际的离散信号进行量纲归一化处理.作者提出了2种实用的量纲归一化方法:离散尺度化法和数据补零/截取法,分析了2种归一化方法对chirp信号参数估计的影响.该方法解决了FRFT快速数值计算中的实际问题,使算法进一步实用化.1 量纲归一化方法量纲归一化原理如下[3]:假定原始连续信号f(t)在时间轴和频率轴上都是紧凑(紧支撑)的,其时域表示限定在区间[-t b/2,t b/2],而其频域表示限定在区间[-f b/2,f b/2],t b和f b分别表示信号的时宽和带宽.信号的时宽带宽积N=t b f b.由于时域和频域具有不同的量纲,所以为了FRFT计算处理方便,应将时域和频域分别转换成量纲为一的域.引入一个具有时间量纲的尺度因子S,并定义新的尺度化坐标x=t/S,v=f S.(1)新的坐标系(x,v)实现了量纲归一化(量纲为1).信号在新坐标系中被限定在区间[-t b/(2S),t b/(2S)]和[-f b S/2,f b S/2]内.为使2个区间的长度相等,选择S=(t b/f b)1/2,则2个区间长度都为x b= (t b f b)1/2,即2个区间归一化为[-x b/2,x b/2].最后,根据采样定理对归一化后的信号进行采样,采样间隔为1/x b,采样点数N=x2b.在实际应用中,能获得的是一组原始连续信号经采样后得到的离散观测数据,其中观测时间t0和采样率f s为已知.如何对这样的离散数据作量纲归一化,是将FRFT快速算法应用于实际的一个重要环节.作者提出了2种实用的量纲归一化方法:①离散尺度化法;②数据补零/截取法.1.1 离散尺度化法对离散数据通过尺度变换作归一化,关键是要选择合适的时宽t b、带宽f b、尺度因子S以及归一化宽度x b,使得尺度化后的离散数据与原始连续信号经尺度变换归一化,再以间隔1/x b采样得到的数据相同.信号的时宽比较容易确定,直接取为观测时间t0,即t b=t0,信号的时域表示限定在区间[-t0/2,t0/ 2].信号的带宽确切值并不知道,但是在实际中信号的采样频率f s是知道的,根据采样定理,采样频率一定大于信号最高频率的2倍.信号带宽f b的选取并不要求是最小值,只要满足将信号的全部能量包含在其中即可.将带宽直接取为采样频率是合适的,即f b=f s,信号的频域表示限定在区间[-f s/2,f s/ 2].在确定了信号的时宽和带宽之后,可以得到尺度因子S和归一化宽度x b分别为S=(t b/f b)1/2=(t0/f s)1/2,(2)x b=(t b f b)1/2=(t0f s)1/2.(3)离散数据原来的采样间隔为t s=1/f s,对离散数据按式(1)作尺度变换,则采样间隔变为t′s=(t0f s)-1/2=1/x b,(4)而原来的时域区间[-t0/2,t0/2],经尺度变换后变为[-x b/2,x b/2].因此,所谓离散尺度化法就是以采样率为带宽,以观测时间为时宽,按照式(1)和式(2)对离散数据作尺度伸缩变换,就实现了归一化,而且离散数据与对归一化连续信号以1/x b间隔采样所得的离散数据完全相同.1.2 数据补零/截取法离散尺度化法是通过对离散数据在时间域上的伸缩实现归一化的.信号尺度的伸缩必然会导致原有信号的某些特征发生畸变,例如对一个chirp信号进行尺度伸缩,将使它的调频率变大或变小.数据补零/截取法可以使原有信号不发生畸变而又实现量纲归一化.为了保证原有信号不发生畸变,尺度因子只能选1,即S= 1.先将时宽定为观测时间,即t b=t0,带宽定为采样频率,即f b=f s.在确定归一化宽度x b时,分2种情况.第一种情况:当f s>t0,则x b直接取两者中的较大值,即x b= f s.由于原始数据的采样间隔为1/f s,时间区间在[-t0/2,t0/2],而归一化后要求采样间隔仍为1/f s,时间区间增加为[-f s/2,f s/2].因此,通过在[-f s/2,-t0/2]和[t0/2,f s/2]区间以同样的采样间隔进行数据补零,人为地增加信号的时宽,从而实现信号的时宽和带宽归一化,这就是数据补零法实现361 第4期赵兴浩等:分数阶傅里叶变换数值计算中的量纲归一化归一化的原理.第二种情况:当t0>f s,则x b取两者中的较小值,即x b=f s.由于原始数据的采样间隔为1/f s,时间区间在[-t0/2,t0/2],而归一化后要求采样间隔仍为1/f s,时间区间减小为[-f s/2,f s/2].因此需要对原有数据做截取处理,只取出在区间[-f s/2,f s/2]内的数据,从而实现信号的时宽和带宽归一化,这就是数据截取法实现归一化的原理.2 归一化方法对chirp信号参数估计的影响 分数阶傅里叶变换在某个分数阶域对给定调频率的chirp信号具有最好的能量聚集特性,利用这一特性,可实现chirp信号的检测和参数估计.具体方法是先对观测信号分别求所有阶次p∈[0,2]的分数阶傅里叶变换,形成信号能量在由分数阶域u和分数阶次p组成的二维参数平面(p,u)上的二维分布,在此平面上按阀值进行峰值点的二维搜索,即可实现chirp信号的检测,同时估计出峰值所对应的分数阶次p^0和分数阶域坐标u^0.若含噪声的chirp信号观测模型表示为f(t)=a0ex p(j h0+j2πf0t+π_0t2)+W(t),-t0/2≤t≤t0/2,(5)式中W(t)为加性高斯白噪声,则可得到chirp信号的调频率_^0、中心频率f^0和峰值所对应的分数阶次p^0、分数阶域坐标u^0之间的对应关系式[7]_^0=-co t(p^0π/2),f^0=u^0csc(p^0π/2),(6)根据式(6)就可算出chirp信号的调频率_^0和中心频率f^0.许多技术人员根据上述原理对chirp信号进行参数估计时,都是对离散观测数据直接做FRFT快速数值计算的.然而他们发现,虽然能够检测到chirp信号,但是算出的调频率和中心频率值与理论值总是不同,这就是忽略了归一化对参数估计的影响.因为离散观测数据在做FRFT数值计算之前必须要做量纲归一化处理,直接对离散观测数据做FRFT数值计算相当于对原始数据已经通过离散尺度化法进行了归一化处理.chirp信号在尺度伸缩归一化后,它的参数值必然发生变化,用FRFT方法所估计得出的调频率和中心频率是归一化的chirp信号参数值,而不是实际chirp信号的参数值,这就是为什么计算得到的参数值与理论值不同的原因.因此,在得到归一化以后的chirp信号调频率和中心频率后,还要根据归一化前后参数之间的关系计算真实的chirp调频率和中心频率.设归一化前实际信号的调频率为_0,中心频率为f0,归一化后的信号调频率为_′0,中心频率为f′0,则利用式(1)和(2),可进行如下推导:_′0=vx=f St/S=_0S2=_0t0/f s,f′0=f0S=f0(t0/f s)1/2,(7)于是,尺度变换归一化前后chirp调频率和中心频率的变化关系式为_0=_′0f s/t0,f0=f′0(f s/t0)1/2.(8)采用尺度变换的方法实现归一化,使得原始信号发生了畸变.而使用数据补零/截取法归一化,原始信号在归一化过程中不会发生变形.若观测信号中含有chirp信号,则归一化前后chirp信号的参数值相等.这样,在利用分数阶傅里叶变换进行chirp 信号的参数估计时,所得到参数值就是原始信号的参数值,而不必像离散尺度化那样,计算出调频率和中心频率值后,还要经过尺度反变换才能得到原始信号的真实调频率值和中心频率值.总之,从对chirp信号进行参数估计的角度看,数据补零/截取法不必坐标的尺度变换就可实现归一化,方法简单.同时chirp信号在归一化过程中不会发生变形,算出的参数值就是实际的参数值,计算简单.但是,数据补零/截取法只适合于t0和f s相差不大的场合,因为当f s比t0大得多时,需要补很多的零才能满足归一化要求,使得FRFT的计算量过大;相反当t0比f s大得多时,数据的截取量很大,使得有效信息损失很多,影响估计精度.因此,只有在t0和f s相差不大的前提下,数据补零/截取法才是一种简单、方便的归一化方法.由于离散尺度化法通过坐标尺度变换实现归一化,所以不论t0和f s的大小如何,都是直接对原始的离散数据做FRFT数值计算,计算量只取决于原始离散数据的点数,而与t0和f s无关.但是计算所得的调频率和中心频率并不是真实的值,必须根据归一化前后参数值的关系算出真实的调频率和中心频率值.因此在t0和f s相差很大时,离散尺度化法成为一种高效的归一化方法.3 仿真实例及分析下面通过2个具体的仿真实例说明2种归一化362北京理工大学学报第25卷 方法的具体实现步骤,并对实验结果进行误差分析.例1 观测时间t 0=2s ,采样频率f s =800Hz ,采样点数为1601点,其中含有一个chirp 信号,其参数为:调频率_0=100Hz ·s -1;中心频率f 0=100Hz .干扰为高斯白噪声,信噪比为0dB .因为f s t 0,故采用离散尺度化法实现归一化.具体步骤:将时间原点定为观测时间的中点,信号的时域区间为[-1s,1s ],信号的频域区间为[-400Hz,400Hz ],尺度因子为S =0.05s,归一化后的区间为[-20,20].由式(7)算出归一化后chirp 信号的调频率变为_′0=0.25,中心频率变为f ′0= 5.然后阶次在[1.0,1.4]内以0.01为间隔取值,对观测数据直接求FRFT,并做出二维搜索chirp 信号的仿真结果如图1所示.图1中峰值所对应的二维平面坐标值为p ^0=1.16,u^0= 4.9.根据式(6)可算出chirp 信号的调频率为_^′0=0.257Hz s -1,中心频率为f ^′0= 5.059Hz.算出的参数值是对尺度变换归一化后chirp 信号的参数估计值.最后,根据式(8)可计算出归一化前实图1 利用离散尺度化法实现归一化的Chirp 信号检测结果Fig .1 Chirp signal d etection resu lt b y discrete scaling meth od 际chirp 信号的参数估计值_^0=102.720Hz ·s -1,f ^0=101.178Hz .因为在实际应用中包含着重要信息的调频率是感兴趣的参数,为了主要验证尺度变换法对不同调频率取值的估计性能,设中心频率为0,调频率分别取若干个样值,观测时间、采样频率、信噪比、阶次取样间隔与前面相同,所做的仿真测试结果如表1所示.表1 离散尺度法的调频率估计实验结果Tab .1 Test results of chirp rate est imat ion by discrete scaling method_0/(Hz·s -1)_′0p ′0p ^′0_^′0_^/(Hz ·s -1)p^0-p 0(_^0-_0)/(Hz ·s -1)500.125 1.0792 1.080.126050.500.00080.501000.250 1.1560 1.160.2568102.720.0040 2.721500.375 1.2284 1.230.3779151.160.0016 1.162000.500 1.2952 1.300.5095203.800.0048 3.802500.625 1.3556 1.360.6346253.840.0044 3.833000.750 1.4097 1.410.7508300.320.00030.323500.875 1.4576 1.460.8816352.640.0024 2.64400 1.000 1.5000 1.50 1.0000400.000.00000.00450 1.125 1.5374 1.54 1.1343453.710.0026 3.71500 1.250 1.5704 1.57 1.2482499.280.0004-0.72 550 1.375 1.5997 1.60 1.3764550.560.00030.566001.5001.62571.631.5224608.960.00438.96 从表1中数据分析可以看出:①对于不同的调频率都能得到较好的估计值.②对于所做的仿真实例,噪声对调频率估计误差影响很小,调频率估计误差主要由阶次误差决定,而阶次误差随阶次的采样间隔变化.若要减小阶次估计误差,就必须减小阶次的采样间隔,而这样又会增大计算量.③调频率大于400Hz ·s -1以后,信号的最高频率已经超过了采样频率的1/2,处于欠采样状态,但仍然可以精确地估计出调频率值,具体原因有待进一步研究.例2 观测时间t 0=4s,采样频率f s =20Hz,采样点数为81点,其中含有chirp 信号,其参数为:调频率_0=2Hz ·s -1;中心频率f 0=4Hz ;干扰为高斯363 第4期赵兴浩等:分数阶傅里叶变换数值计算中的量纲归一化白噪声;信噪比为0dB .虽然f s 大于t 0,但相差不是很大,故采用数据补零法实现归一化比较适合.具体步骤:将时间原点取在观测时间的中点,信号的时间区间为[-2s,2s ].先将时宽定为t 0=4s,带宽定为f b =20Hz ,令尺度因子S =1s ,则x b 直接取t b 和f b 的大值,x b =20.原有时间区间为[-2s,2s ],归一化后要求时间区间为[-10,10].所增加的部分必须通过补零实现归一化,因为采样间隔为1/x b =0.05,所以需要在区间[-10,-2]和[2,10]内补160个0,最后分数阶次在[1.0,2.0]内以0.01为间隔取值,对补零后的数据求FRFT ,做出二维搜索chirp 信号的仿真结果如图2所示.图2 利用数据补零法实现归一化的chirp 信号检测结果F ig .2 Chirp sig nal d etection result by data zero -padding /intercep tion meth od图2中峰值所对应的二维平面坐标值为p ^0=1.71,u^0= 1.75.根据式(6)算出chirp 信号的调频率为_^0=2.041Hz s -1,中心频率为f ^0= 3.978Hz .可见利用数据补零法计算出来的参数值就是原始信号的参数值.数据补零法的误差测试分析与前面类似,由于篇幅原因,不再赘述.4 结束语作者着重对文献[3]所提出的分解型快速算法进行了研究.在将分解型算法应用于工程实际时发 现,该快速算法所要求的量纲归一化与工程实际脱节,若不进行特殊处理将产生很大误差.针对此问题,作者提出了离散尺度变换法和数据补零/截取法2种实用的量纲归一化方法,并研究了2种归一化方法对chirp 信号参数估计的影响,导出了采用离散尺度化方法归一化前后的chirp 信号参数的变换关系.本研究解决了FRFT 分解型快速算法在实际应用中的一个重要环节,使得分解型快速算法能真正应用于实际工程.参考文献:[1] Almeida L B .Th e frac tional Fourier tra nsfo rm andtime-fr equencyrepresentations [J ].IEEE T ra nsS ig na l Pro cessing ,1994,42(11):3084-3091.[2] Zhao Xinghao ,Ta o Ra n,Zhou Siy ong.A no v elsequential estima tio n alg o rithm fo r chir p sig nalpa rame ters [Z ].2003Inter national Co nference onN eural N etwo r k&Sig nal Processing ,N anjing ,2003.[3] 齐 林,陶 然.基于分数阶Fo urier 变换的多分量L FM 信号的检测和参数估计[J ].中国科学E 辑,2003,33(8):749-759.Qi Lin,Tao Ra n.Detectio n and param eter estima tiono f multico mponent L FM signal based on the fr actio nalFo urier transfo rm [J ].Science in China Series E ,2003,33(8):749-759.(in Chinese)[4] O zaktas H M ,Kutay M A.Digital computatio n of thefrac tio nal Fo urier tra nsfo rm [J ].I EEE T rans Sig nal Processing ,1996,44(9):2141-2150.[5] Pei S C,Y eh MH .Disc rete fractio nal Fo uriertr ansfo rm ba sed o n o rtho go na l pro jectio ns [J].IEEE T rans Sig nal Processing ,1999,47(5):1335-1348.[6] Candan C,Kutay M A.Th e discre te fr actio nalFo urier t ransfor m [J].IEEE T rans Sig nal Processing ,2000,48(5):1329-1337.[7] Tao Ran ,Ping Xianjun ,Zhao Xinghao .A no v eldisc rete fr actio na l Fouriertr ansfo r m [Z ].CI EInter na tio nal Confer ence o f Rada r,Beij ing ,2001.364北京理工大学学报第25卷 。
分数阶傅里叶变换的幻灯片
得信号
dx(t) dt
jF 2[ X (u)u](t) 2
和
tx(t) F 0[ X 0(u)u](t)
j
dx(t) dt
1
2 sin
{F [ X
(u)u](t)
F[X
(u)u](t)}
tx(t)
1
2 cos
{F
[ X
(u)u](t)
F[X
F
2
[
X
2
(u)u](t)
j
dX dt
(t)
（7）
这就把
2
阶的FRFT 域的滤波表示为
阶
FRFT 的微分。
由FRFT 的性质可得：
F [x(u)u](t) (t cos j sin D)F[x(u)](t)（8）
F [x (u)u](t) (t cos j sin D)x(t)
3.分数阶Fourier 变换的优势
1)分数阶Fourier 变换是一种统一的时频变换, 随着阶数从0 连续增长到1,分数阶Fourier 变换展示出信号从时域逐步变 化到频域的所有变化特征, 可以为信号的时频分析提供更大 的选择余地；
2)分数阶Fourier 变换可以理解为chirp 基分解, 因此,它十分 适合处理chirp类信号。
分数阶傅立叶变换
分数阶傅立叶变换
分数阶Fourier 变换是对经典Fourier 变换的推广。 最早由Namias以数学形式提出, 并很快在光学 领域得到了广泛应用。而其在信号处理领域的 潜力直到20世纪90年代中期才逐渐得到发掘。 尽管分数阶Fourier 变换的定义式直观上看仅是 chirp 基分解, 而实质上分数阶Fourier 变换更具 有时频旋转的特性, 它是一种统一的时频变换, 随着变换阶数从0连续增长到1而展示出信号从 时域逐步变化到频域的所有特征，可以为信号 的时频分析提供更大的选择余地。
分数阶傅里叶变换仿真
分数阶傅里叶变换仿真分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，简称FrFT）是一种基于分数阶微积分理论的信号处理方法。
它在时频域中对信号进行变换，具有很好的时频分辨率和抗干扰性能。
本文将介绍分数阶傅里叶变换的原理及其在仿真中的应用。
一、分数阶傅里叶变换原理分数阶傅里叶变换是傅里叶变换的推广形式，它的核函数是复数的n次幂函数。
在时域上，分数阶傅里叶变换可以表示为以下形式：```FrFT(a,b)f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} K(a,b,t,\omega) f(\omega)e^{j\omega t} d\omega```其中，a和b分别表示分数阶傅里叶变换的两个参数，f(t)表示输入信号，K(a,b,t,\omega)表示分数阶傅里叶变换的核函数。
二、分数阶傅里叶变换仿真方法为了对分数阶傅里叶变换进行仿真，我们可以借助计算机来实现。
以下是分数阶傅里叶变换仿真的步骤：1. 输入信号准备：选择一个合适的输入信号，可以是连续信号或离散信号。
确保信号具有一定的频谱特征，并且足够长以覆盖所需的频域范围。
2. 离散化：如果输入信号是连续信号，需要进行采样和离散化处理，得到离散信号。
3. 计算核函数：根据所选的参数a和b，计算分数阶傅里叶变换的核函数K(a,b,t,\omega)，可以利用数值计算的方法进行近似求解。
4. 执行分数阶傅里叶变换：将离散信号与核函数进行卷积运算，得到分数阶傅里叶变换后的信号。
5. 可视化结果：将变换后的信号进行可视化展示，可以使用时频图或频谱图等方式来展示信号在时域和频域上的特征。
三、分数阶傅里叶变换仿真实例为了更好地理解分数阶傅里叶变换的仿真过程，我们举一个简单的实例来演示。
假设我们有一个正弦信号f(t) = A\sin(2\pi f_0 t)，其中A为幅度，f_0为频率。
以下是实现分数阶傅里叶变换仿真的Python代码：```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 参数设置A = 1.0f0 = 10.0alpha = 0.5beta = 1.0# 生成时间序列t = np.linspace(-10, 10, 1000)# 生成输入信号f = A * np.sin(2 * np.pi * f0 * t)# 计算核函数kernel = np.exp(-1j * np.pi * alpha * beta) * np.exp(1j * np.pi * beta * (f0 * t) ** 2)# 执行分数阶傅里叶变换frft = np.convolve(f, kernel, mode='same')# 可视化结果plt.figure()plt.subplot(2, 1, 1)plt.plot(t, f)plt.title('Input Signal')plt.xlabel('Time')plt.ylabel('Amplitude')plt.subplot(2, 1, 2)plt.plot(t, frft)plt.title('Fractional Fourier Transform')plt.xlabel('Time')plt.ylabel('Amplitude')plt.show()```通过运行以上代码，我们可以得到输入信号和分数阶傅里叶变换后的信号的时域波形图。
分数阶傅里叶变换FRFT研究
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三.分数阶Fourier变换的基本性质
旋转相加性 FRFT可以反复地进行下去，直到满意为止。
F p F q F pq
两个特例：pp+1对应FFT pp-1对应IFFT
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三.分数阶Fourier变换的基本性质
连续性 当p1,p2,c1,c2 为任意实数时，FRFT满足连续性
FRFT为无条件的.
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二.FRFT的基本概念
传统Fourier变换的性质
1.线性 2.卷积定理
F[anf(t)]= an F[f(t)] F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]•F[g(t)]
3.时域相关性定理 Rf1f2=f1()f2*(t- )d
若 2n 若x (2n 1)
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二.FRFT的基本概念
方波的几种分数阶Fourier变换. 实线:
实部
虚线: 虚部
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二.FRFT的基本概念
图(a): 三角函数rect(x/2)* rect(x/2)的幅值（实线） 和p=0.5的FRFT的幅值 （虚线）
图(b):图(a)的相位，三角函数 （实线），FRFT（虚线）
图(c):有限长正旋函数 e j2x rect(x/20)的实部
图(d):图(c):有限长正旋函数的 FRFT(p=0.5)的实部
图(e):线性调频函数e -j2x2的 实部
图(f):图(e)的FRFT (p=2arctan(-2)/ +1)
分数阶傅里叶变换的快速计算新方法
a - ! ) m 2∀x
2 2 n= - N
Байду номын сангаас
∀x # j2
2 2
e
# ∀x
m 2P ∀x
2
#
N
e
j !
m- n 2∀x
2
%
2
n= - N
#
N
ej
1 m- n P! 2∀x n 2∀x
∃e
j ( - !)
m 2∀x
f
n , 2∀x
- ∀ m∀ N
( 4)
e
j2 ! x
n 2∀x
e
j
n 2∀x
2
f
n 2∀x
( 3)
上式中时域 变量 已经 实现 离散 化, 接 下来 对 分数 阶域 变量离散 化. 以 1/ ( 2 ∀x ) 为 采 样间 隔, 在 全 程范 围 [ ∀x /2, ∀x / 2] 内 对 分 数 阶 域 变 量 采 样, 即 令 x = m/ ( 2 ∀x) , 代入公式( 3) , 经过整理得到
FRFT 在局部谱 区间 [ x 1, x 2 ] 上 的 M 点等 间隔 取样 值, x 1, x 2 和 M 的取值任意. 将分数阶域变量离散化为 x = x i+ m ∀I , - M / 2 ∀ m ∀ M / 2, 其中 x i = ( x 2- x 1) / 2 表示 区间中点, ∀I = ( x 2 - x 1 ) / ( M - 1) 表 示采样 间隔. 然后 将其代入公式( 3) 中, 得到
! 4PN N#
2
3
FRFT 高分辨计算( Zoom FRFT)
可以看出, 分解型算法 包含了 2 个离 散化 步骤: 第
分数阶傅里叶变换的数值计算方法研究
ｆ ｅｐ （ 一２ｕｓ ＋ｕｃｔ ］ ａ Ａ 。 ｘ ｔｃ ａ ｚｏ ） ≠加 ｃ ａ
（ ，） “ ￡ 一 ８ ｕ ｔ （－ ） ａ 一
ｌ（ ＋ “ ）
Ｆｏ ｉ ｒ Ｔｒ ｎ ｆ ｒ ｕｒ ｅ ａ ｓ ｍ ｏ
ＸＩ ＡＮＧ ｏ ｗｅ Ｃｈ ｎｇ ｎ ・ Ｗ ＡＮＧ ｚ ｏ ｇ Ｚｅ ｈ ｎ ＨＵＡＮＧ ＬＩ Ｆｅ ｇ Ｙｕ Ｕ ｎ Ｓ ＵＮ ｅ Ｘｕ
（ ． ｐ ｒｍ ｅ ｔｏｆＥｌｃｒ ｎｃａ ｎ ｏ ｍａｉｎ Ｅｎ ｉ ｅ ｉｇ， ｖ ｌＡｅｏ ａ ｔｃ ｌａ ｔｏ ａ ｔｃ ｌＵｎｖ ｒ ｉｙ，Ｙａ ｔｉ ２ ４ ０ ） １ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｅ ｔｏ ｉ ｎｄＩ ｆ ｒ ｔ ｇｎｅ ｒｎ Ｎａ ａ ｒ ｎ ｕ ｉａ ｎｄＡｓｒ ｎ ｕ ｉａ ｉｅ ｓｔ ｏ ｎ ａ ６ ０ １ （ ． ． １ ６ ｏ ｐ ｆＰＬＡ ，Ｓ ｎ ｏ ５１ ０ ４） ２ Ｎｏ ９ ９ ０Ｔｒ ｏ ｓｏ ｈａ ｔ ｕ ５７
Ａｂｓ ｒｃ Ａｓｔ ｅＦｒ ｃｉｎ ｌ ｕ ｉｒＴｒ ｎ ｆ ｒ （ ＦＴ）ｃ ｎ ｂ ｅ ｎａ ｎ ｕ ｉｉｄ ｔｍｅｆｅ ｕ ｎ ｙ ｔａ ｓｏ ｍ ，ｔｈ ｓｂｅｎ ａｐ ｗｅｆ ｌｔ ｏ ｔａ ｔ ｈ ａ ｔｏ ａ Ｆｏ ｒｅ ａ ｓｏ ｍ Ｆｒ ａ ｅｓ ｅ ｓａ ｎｆｅ ｉ －ｒｑ ｅ ｃ ｒｎ ｆｒ ｉ ａ ｅ ｏ ｒｕ ｏ ｌ ｗｈ ｃ ａ ｅｗｉｅｙ ｕ ｅ ｎ ｓ ｃ ｉｎ ｌ ｏ ｅ ｓｎ ｉｌｓａ ：ｒｄ ｒ ｏ ｍｕ ｉａｉｎ，ｓ ｎ ｒ ｎ Ｏ ＯｔＴｈ ａ ｔｃ ｍ ｐ ｔｔｏ ｆｔ ｅＦｒ ｉｈ ｃｎ ｂ ｄ ｌ ｓ ｄｉ ｕ ｈ ｓｇ ａ ｐｒ ｃｓ ｉｇ ｆ ｄ ｓ ａ ａ ，ｃｍ ｅ ｎ ｃｔｏ ｏ ａ ，ａ ｄ Ｓ Ｆ， ｅｆｓ ｏ ｕ ａｉｎ ｏ ｈ ＦＴ ｓ ｉ ｔ ｅ ｒ ｂ ｅ ｏ ｈ ｒｃｉａ ｐｐｉａ ｉ ｓ Ｉ ｈ ｓｐ ｐ ｒ ｔ ｅｄ ｆ ｔ ｎ ｏ ｈｅＦｒ ｈｅａｋ ｙｐ ｏ ｌｍ ｆｔ ｅｐ ａ ｔｃｌａ ｌ ｔ ｃ ｏｎ ． ｎｔ ｉ ａ ｅ ，ｈ ｅｉ ｉ ｆｔ ＦＴ ｎ ｒ ｄ ｃ ｄａ ｄｓ ｖ ｒ ｌｔｐｃ ｌａｇ ｉｈ ｓｗｅ ｅａ ａ ｎｉｏ ｉ ｉｔｏ ｕ ｅ ｎ ｅ ｅａ ｙ ｉａ ｌｏｒｔｍ ｒ ｎ — ｓ ｌｚ ｄ Ｔｈ ｎ， ｔ ｙ ｅ ． ｅ Ａ ｗ￣ｐ ｓ ｍｐｅ ｎｔｔｏ ｆｔ ｅｆａ ｔｏ ａ ｕ ｉｒｔａ ｆ ｒ ｄ ｓｒｂ ｄｂ ｈ ｒ ｒＢ ｌｈ ｅ ｓｓｕ ｉｄ Ｂｙｃ ｍ ｐ ｒｓ ｎ，ｔｈ ｓ ｈａ ｅｉ ｌｍｅ ａ ｉｎｏ ｈ ｒ ｃｉｎ ｌ Ｆｏ ｒｅ ｒｎｓｏ ｍ ｅ ｃｉｅ ｙ Ａｄ ｅｍａ ｕ ｔ ｅ ｌ ｔ ｄｅ ． ｏ ａｉｏ ｉ ａ ｉ ａ ｖ ｎａ ｅ ｆｈｇ ｒｃｓｏ ｎ ａ ｔｓ ｅ ｄ，ｗｈｃ ａ ｍｐ ｏ ｅｔ ｅ ｒａ—ｉ ｒｏ ｍａ ｅｉ ｎ ｎ ｅ ｉｇ ｆ ｌ． ｄ ａ ｔｇ ｓｏ ｉｈ ｐ ｅ ｉｉｎ ａ ｄ ｆｓ ｐ ｅ ｉｈ ｃ ｎ ｉ ｒ ｖ ｈ ｅ ｌ ｍｅｐｅｆ ｒ ｎｃ ｎ ｅ ｇｉｅ ｒｎ ｉ ｄ ｔ ｅ Ｋ ｏｒ Ｆｒ ，ｓｇ ａ ｒ ｃｓ ｉｇ，ｄｇｔｌｃ ｍｐ ａ ｉｎ ｅｙ Ｗ ｄｓ ＦＴ ｉｎ ｌｐ ｏ ｅ ｓｎ ｉｉ ｏ ｕｔｔｏ ａ Ｃｌ ｓＮｕ ｂ ｒ Ｏ２ ａｓ ｍ ｅ ９
分数傅里叶变换在光学图像中的运用
分数傅里叶变换在光学图像中的运用作者：廖燚钊来源：《中国科技博览》2019年第07期[摘要]积分变换不仅在数理领域有重要的作用，当人们将积分变换引入光学领域后，积分变换在信息传输，频谱分析，图像处理等方面运用十分广泛。
本篇论文着重介绍和分析了傅里叶变换以及分数傅里叶变换在光学图像处理方面的应用。
[关键字]变换，傅里叶变换，分数傅里叶变换，图像处理.中图分类号：0469 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2019）07-0117-021、背景介绍在19世纪，由于运算上的困难导致了积分变换的产生，在英国，海维赛德这位著名的工程师把积分变换运用在求解物理学等领域中的线性微分方程时，慢慢的形成了一种符号规则，此后一段时间，这种规则就逐渐演变为现在的积分变化法。
所有可以连续变化的信号，总可以用频率不同的正弦和余弦函数的叠加来表示。
这一点可以由傅里叶变换的原理清楚地得知。
傅里叶变换处理信号的方法之一，在许多学科中，信号处理等许多领域都有着很多的应用[1]。
傅里叶分析法在19世纪20年代初期便已经成功的运用到了光学领域，进而成为现代光学一个重要分支---傅里叶光学，该理论对于光学信息的处理来说也十分重要。
例如，在处理光学图像时就经常用到傅里叶变换。
其原因是因为傅立叶分析包括了图像处理的许多方面，把傅里叶变换的原理和相应的物理解释结合起来，对存在于图像处理当中的很多问题提示了许多不同的思路，傅里叶变换提示我们应从事物的不同方面来考察问题，同时也让我们在分析某问题时有意识的从空域和频域这两个不同的角度来考察问题并且学会它们之间的相互转变，从而使得图像处理的过程变得简单、有效，对于在图像处理中需要迂回解决的难题十分有帮助，傅里叶变换也因此被广泛的应用在图像处理当中。
但是随着人们运用领域的不断扩大，其局限性就慢慢显现出来了，正是这些不足迫使人们积极的去寻找一些改进的方法。
分数傅里叶变换可以认为是广义上的傅里叶变换。
离散分数阶傅里叶变换采样和重建学术汇报1
y n K * m, n K p m, n y k p
n N
N
t 2 2 sin
n N m N
exp( 2j cot k 2 n2 t 2 )exp( j csc m n k t u ) y (n);
对
exp( j t 2 ) s(t )
N 2
采样
2
n n n exp( j t ) s(t ) exp( j )sin c 2x t )s( 2x 2x 2x n N
9
Ozaktas的采样型DFrFT
原信号的最优阶次 p=0.90， 信号下采样后 最优阶次变成 p=0.82
地震信号的离散分数域采样
地震信号的分数域谱 2 1.5 1 0.5
50
100
150
200
250
分数域下采样的分数域谱
1.5 1 0.5
20
40
60
80
100
120
原信号的最优阶次p=0.90， 分数域下采样后最优阶次变成p=0.79
2
csc j cot /2u 2 2 j cot /2 u 2 X s u e X u e * u csc n Ts 2 n
csc j cot /2u 2 2 sin j cot /2 u 2 X s u e X u e * u n Ts 2 n
1 0 2 1 1 2cos S 0 1 2cos 2 M M M 1 0 0 L 0 L 0 O M L 2cos( N 1) L 1
傅里叶变换算法详细介绍.
从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上前言第一部分、DFT第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式离散傅立叶变换/***************************************************************************************************/这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。
感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。
/**************************************************************************************************/前言：“关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解”---dznlong，那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列?傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。
这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。
ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂：以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）连续傅里叶变换一般情况下，若“傅里叶变换”一词不加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。
连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
分数傅里叶变换在图像加密中的应用
中图分类 号 ： Ｐ３ ｌ Ｔ ９
文献标 识码 ： Ａ
文章编 号 ：０ ６— １ ７ ２ １ ） １— ０ ４— ４ １０ ７ ６ （ ０ ０ １ ０ ４ ０
Ａｐ ｌ ａ ｉｎ ｏ ｒ ｃ ｉｎ ｌ ｏ ｒ ａ ｓ ｏ ｍ ｏ Ｉ ｇ ｎ ｒ ｐ ｉｎ ｐｉ ｔ ｆＦ ａ ｔ ａ ｕ ｉ ｎ ｆ ｒ ｔ ｍａ ｅ Ｅ ｃ ｙ ｔ ｃ ｏ ｏ Ｆ ｒ Ｔｒ ｅ ｏ
第２ ９卷 第 １ １期
２１ ０ ０年 １ １月
实
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研
究
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计算机技术与应用 ・
分 数傅 叶变 图像 加 密 中的应 用 里 换在
记 录 和 再 现 。常 用 的计 算 机 产 生 全 息 图 的 方 法 有 菲 涅 耳 全 息 图 、 里 叶 全 息 图 等 。 这 些 方 法 分 别 对 物 光 场 傅
全 息 图的优点 ， 因为引入 了分 数阶这 一 自由度 ， 不 还 它 仅 记 录 了 物 体 的 信 息 ， 时 也 记 录 了记 录 系 统 的 同
１ 引 言
目前 ， 光学信 息处 理 的应 用研究 日益受 到关 注 ， 特 别是 数字 图像 的加密是 一个 重要 的研究方 向。现 以光 全 息术为 基础 ， 分 数傅 里 叶 变换 用 于计 算 机 生成 全 将 息 图 ， 现 了对通 过 分数 阶 的 变化 产 生 不 同全 息 图 的 实
郑戟 明 ， 曹玉 茹 ， 柳 青
（ 海对外 贸易学 院 商务信 息学 院 ， 上 上海 ２ １２ ） ０ ６ ０ 摘 要 ： 于光全 息的基本概 念 和原理 ， 基 介绍 了一种任 意 阶傅 里 叶 变换在 光 学 实现 的透镜模 式 的分数傅
分数傅里叶变换 transformer
分数傅里叶变换 transformer
分数傅里叶变换，简称“FBS”，是一种新兴的信号处理技术。
它是基于分数阶微积分理论发展起来的一种信号转换技术。
与传统的傅里叶变换相比，FBS更加灵活，具有更广泛的适用范围。
它可以处理非平稳、非线性、非高斯等各种复杂信号。
FBS的核心思想是采用分数阶微积分理论来对信号进行变换。
在FBS中，信号被看做是包含了各种频率的信号分量的混合。
通过分数阶微积分理论，可以将这些信号分量分解为具有不同分数阶导数的子信号。
进一步地，FBS可以通过分数阶矩阵乘法来进行信号分解，从而实现傅里叶变换的效果。
FBS在信号分析、信号处理等领域有着广泛的应用。
它可以用于图像处理、声音处理、天气预报、语音识别等方面。
FBS可以帮助我们更加深入地了解信号的特性，为我们提供更加有效的信号处理手段。
同时，由于分数阶微积分理论的广泛应用，FBS还有着很大的潜力。
总之，分数傅里叶变换是一种新兴的信号处理技术，它采用了分数阶微积分理论来对信号进行变换。
FBS具有广泛的适用范围，可以用于各种领域的信号处理和分析。
随着分数阶微积分理论的深入研究，FBS还将有着更多的应用和发展前景。
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分数傅里叶变换分数傅里叶定义：分数傅里叶变换的物理意义即做傅里叶变换次，其中不一定要为整数（比傅里叶变换更加广泛）；通过分数傅里叶变换之后，图像或信号便会同时拥有时域与频域两者的特征。
1.1（维基百科）第一种定义:第二种定义：1.2从数学上分数傅立叶变换定义了积分形式：Wigner分布函数相空间定义的分数傅立叶变换A.W.Lohmann在1993 年利用傅里叶变换相当于在Wigner分布函数相空间中角度为π/2的旋转这一性质，说明分数傅里叶变换在Wigner分布函数空间中相当于角度是pπ/2的旋转，这里，p是分数傅里叶变换的级次。
分数傅里叶变换的定义在数学上是等价的。
当分数傅里叶变换的幂次p从0 连续增长到达1 时，分数傅里叶变换的结果相应地从原始信号的纯时间（空间）形式开始逐渐变化成为它的纯频域（谱）形式，幂次p在0到1之间的任何时刻对应的分数傅里叶变换采取了介乎于时（空）域和频域之间的一个过渡域的形式，形成一个既包含时（空）域信息同时也包含频（谱）域信息的混合信号。
因此，这样定义的分数傅里叶变换确实是一种时（空）-频描述和分析工具分数傅里叶的分类：1.一维分数傅里叶变换分数傅里叶变换的数学表达式有积分形式和级数表达式两种等价形式,1.积分形式2级数表达式形式其中2.二维分数傅里叶变换其中C为相应常系数。
当a=b时, 上式就是二维分数傅里叶变换的表达式; 当a=b=1时, 上式转化为常规二维傅里叶变换; 当a与b不相等时, 我们称这种情况的二维分数傅里叶变换为不对称分数傅里叶变换。
此时在x、y 方向实施的变换级次是不同的。
分数傅里叶变换的性质1周期性：（k为整数）2线性：（c1和c2是复常数）3阶数可加性：4尺度变换特性：5时移特性：6频移特性：7可逆性：对一个函数进行P 级分数傅里叶变换后，接着进行－P 级的分数傅里叶变换，则可得到原函数:分数傅里叶变换的数值算法(1) 基于傅立叶变换矩阵因子幂的离散化算法，利来计算离散的分数傅立叶变换的核矩阵，从而利用FFT来计算离散分数傅立叶。
其中W是离散傅立叶变换核矩阵(2) 基于正交投影的离散化算法，对连续分数傅立叶变换的特征函数进行离散化近似和正交投影，得到一组与Hermite-Gaussian函数形状相似的离散傅立叶变换矩阵的正交化离散Hermite特征向量。
然后，仿照连续分数傅立叶变换的核函数谱分解表达式，构造了离散分数傅立叶变换矩阵。
(3) 基于chirp分解的离散化算法。
根据分数傅立叶变换的表达式，将分数傅立叶变换分解为信号的卷积形式后，直接离散化，利用FFT 来计算分数傅立叶变换。
2.2.1 基于傅立叶变换矩阵1基于chirp 分解的离散化算法（FRFT.m和frft22d.m）对应的分数傅里叶函数：1)输入信号f(x)与啁啾信号相乘(j将两个信号分别离散化)；2)进行FT运算；3)进行尺度变换,系数为cscφ；4)再与啁啾信号相乘；5)最后与常数位相相乘。
2基于正交投影的离散化算法(Disfrft.m和cdpei.m)其计算过程如下：基于正交投影的离散化算法对连续分数傅立叶变换的特征函数进行离散化近似和正交投影，得到一组与Hermite-Gaussian 函数形状相似的离散傅立叶变换矩阵的正交化离散Hermite 特征向量。
然后，仿照连续分数傅立叶变换的核函数谱分解表达式，构造了离散分数傅立叶变换矩阵。
此算法适合用来计算连续的分数傅里叶变换。
基于chirp 分解的离散化算法，将分数傅立叶变换分解为信号的卷积形式后，直接离散化，利用FFT 来计算分数傅立叶变换。
图像的分数傅里叶变换对图像进行分数傅里叶变换分析的目的是确定图像经过分数傅里叶变换后的特性表现，主要包含分数傅里叶变换对图像能量分布和频率分布影响两方面的内容。
其中能量分布表现分数傅里叶变换图像的能量聚积性与分数变换阶数的关系，能量聚集性强烈地依赖于其接近于傅里叶变换的程度；频率分布表现在分数傅里叶变换的相位函数包含了图像的纹理频率信息，变换阶数不同，相位函数所含的图像边缘高频信息也不相同。
图像经过某种二维离散变换之后的能量分布体现了图像的变换特征。
图像分数傅里叶变换域的能量分布特点是：能量向中心区域聚集性。
(1) 当分数阶次p 由小变大时，由相位函数恢复的图像呈现出图像边缘轮廓变得越来越清晰，这类似于原始图像经历了不同截止频率的高通滤波器。
当p 较小时对应于截止频率较低的高通滤波器，低频成份浮现出来，图像边缘模糊；当p 较大时，对应于截止频率较高的高通滤波器，大部分低频成份被滤掉，图像边缘比较清晰， FRFT 逐渐向FT 退化。
(2) 当变换阶数p 由小变大时，仅由幅度函数恢复的图像越来越接近原图像的背景，这类似于原图像经历了不同截止频率的低通滤波器。
p 较小时，对应于截止频率较高的低通滤波器，高频分量残留较多，能清晰看到原图像的轮廓；p 较大时，对应于截止频率较低的低通滤波器，大部分高频分量被滤出只显现原图像背景。
(3) 当变换阶数p 为其它值时，由FRFT 相位函数和幅度函数所恢复的图像既包含了原图像的背景信息又包含了原图像的纹理频率信息。
由此可以推论这类似于原图像经历了FRFT 的时频滤波，也即将时频平面旋转某一角度后再进行滤波。
假如频域滤波器截止频率和带宽固定，当旋转的角度不同(阶数不同)时，时间轴和频率轴上的投影不同，所以频域滤波器输出的频率成分也不同。
这表现在恢复的图像上即为相位函数和幅度函数包含的频率成份随阶数而变化。
当变换阶数较小时，由图像的FRFT 的幅度函数和相位函数恢复的图像都显示出很强的图像信息，体现出了较强的空域特性；当变换阶数逐渐增大时，图像的FRFT 的幅度函数恢复的图像所包含的原图像的空域特征逐渐减弱直至消失，相位函数恢复的图像包含原图像的边缘纹理特征逐渐增强。
当FRFT 的变换阶数增大到一定程度时，其幅度和相位特征越来越接近FT 域即频域特征。
这些结论有力地体现了FRFT 域的空-频双域特征。
采用分数傅立叶变换的图像边缘提取方法对图像作连续小级数的分数傅立叶变换，相当于对图像作连续的微小变换，当分数级次很小时，肉眼几乎看不出与原图的区别，当级次略有增加，图像边缘与原图有了明显的区别，当继续缓慢增加分数级次时，图像与原图明显不同。
通过分析可以看出，图像中对比度低的区域随级次变化缓慢，对比度高的区域（即图像边缘）随级数变化快。
由此，取不同级数的分数傅立叶变换后的图像减去原图像，即可得到图像的边缘。
不同的分数级数对应不同的形变，选取不同级数变换后的图像相减，即可提取不同尺度的边缘。
图像分数阶Fourier 变换的幅度和相位信息假设(),F k h 是二维图像(),f x y 的二维Fourier 变换()()2,,D F k h FT f x y = （8） 我们可以把(),F k h 分解成幅度部分和相位部分，即()()()()(),,,,,F k h F k h P k h A k h P k h ==∙ （9） 其中 ()(),,A k h F k h =为幅度函数，()()(),,,P k h F k h A k h =为相位函数，结论：1. 当变换阶数P由小变大时，仅由相位函数恢复的图像，显现原图像的边缘越来越清晰，这类似于原图像经历了不同截止频率的高通滤波器。
p较小时(0.01)对应于截止频率较低的高通滤波器，低频成份浮现出来，使提取的边缘模糊，如图4(b)所示；p较大时(0.8)，对应于截止频率较高的高通滤波器，大部分低频成份被滤出，提取的边缘较清晰，如图5(d)所示，此时FRFT基本退化为FT。
2. 同理,当变换阶数P由小变大时，仅由幅度函数恢复的图像越来越接近原图像的背景，这类似于原图像经历了不同截止频率的低通滤波器。
p较小时(0.01)，对应于截止频率较高的低通滤波器，高频分量残留较多，还能清晰看到原图像的轮廓，如图4(a)所示；p较大时(0.8)，对应于截止频率较低的低通滤波器，大部分高频分量被滤出，此时仅显现原图像的背景，如图6(c)所示。
3. 当变换阶数P为其它任意值时，由FEFT相位函数和幅度函数所恢复的图像既包含了原图像的背景又包含了原图像的纹理，如图4(b)、图4（c）、图5（a）、图5（b）所示。
针对这种情况，我们可以推论这类似于原图像经历了FRFT的时频滤波，也即将时频平面旋转某一角度后再进行滤波。
假如频域滤波器截止频率和带宽固定，当旋转的角度不同（阶数不同）时，时间轴和频率轴上的投影不同，所以频域滤波器输出的频率成分也不同。
表现在恢复的图像上即为相位函数和幅度函数包含的频率成份随阶数而变。
分数傅里叶变换（采用chirp信号的方法）a从0.1-1过程中，相应的分数傅里叶变换。
从图中可以发现，两个区域信息的相互转换。
相应的幅值信息（a从0.1-1）相应的相位信息(即：f/|f|，其中f为相应分数傅里叶变化后，输出的信号)相应的幅值信息进行逆变换根据相位信息进行相应的逆变换，可以发现图像的边缘信息，消除了图像的背景信息。
总结通过分数傅里叶变换和其逆变换可以找到一些图像的主体边缘信息，但是有些图像边缘的采集并不是很好，对于背景信息的剔除不是很好。
对于区域的选择不是很准确，它主要是根据灰度的变换率，而不是根据像素去识别边界。
傅里叶变换主要是进行像素变化率的识别，即高频和低频的识别和分类。
因此容易受到其他背景信息的干扰和影响。
同时对于区域信息的判断和识别，它也不能很好的去进行判断和分类。
存在的问题：1，目前还不是很确定相应的幅值信息逆变换后，对应的是图像的什么信息（文章中说主要市背景信息），如何利用它来帮助去识别区域信息。
2，对于相应的相位信息，是否可以先对其进行相关的预处理，使其保持很好的效果，然后再进行逆变换。
对于相位信息采用什么预处理的方法。