吉林大学研究生入学考试量子力学(含答案)2000

其中，
k
由x
2mE ;

2mV0 E
处， 3 x 0 ，可知 C 0 。
由 x 0 处， 1 x 2 x ，可知 A sin 0 ，即 n ，取 n 0 。 于是，波函数简化为
1 x 0 2 x A sin kx x B exp x 3
只有当

A 4
2 p 2k 2 p 0 p 2k

p 0,2k 时， c p 0 。利用归一化条件
cp 1
2 p
可知，归一化常数为
A
于是有
4 3
c 2 k
动量的取值几率为
1 ; 6
c0
2 ; 3
E1 E 2 E 3
ˆ 不能惟一确定 其中， E 2 E3 ，能量具有二度简并。由于简并的存在，仅由算符 H
E 2 , E3 的波函数。为了能留下较深刻的印象，让我们来仔细地做这件事。
当 E1
时，波函数满足
1 0 0 0 1 0 0 c11 c11 0 c12 c12 c 1 c13 13
x0 . V x 0, 0 xa V ( 0) x a 0
若已知该粒子在此势阱中存在一个能量 E 解：对于 E
V0 的状态，试确定此势阱的宽度 a 。 2
V0 V0 的情况，三个区域中的波函数分别为 2
1 x 0 2 x A sin kx x B exp x C expx 3
0 1 1 0 0 0
0 0 1
0 1 1 b 0 0 0
0 1 0 b 0 0 1
0 0 1
0 1 0
0 1 0
1 ˆH ˆ b 0 B 0
它们的共同本征函数。
ˆ 满足 解：由厄米特算符的定义知，厄米特算符 F
ˆ F ˆ F
或者
Fmn Fnm
符。 因为
*
ˆ 和力学量算符 B ˆ 皆为实对称矩阵，故它们都是厄米特算 题中所给出的哈密顿算符 H
1 ˆB ˆ 0 H 0
而
0 1 0
0 1 0 b 0 1 0
和
u3
ˆ 的矩阵形式如下 ˆ 和B 构成的，以其为基矢地两个算符 H
1 0 0 ˆ 0 1 0 ; H 0 0 1
1 0 0 ˆ b 0 0 1 B 0 1 0
ˆ 和B ˆ 是厄米特算符，并且两者相互对易，进而求出 其中， b, 为实常数。证明算符 H
吉
林 大
学
2000 年招收硕士研究生入学考试试题（含答案） 考试科目：量子力学
质量为 m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于
一.
x A sin 2 kx 的状态
上，求其动量
ˆ 的取值几率分布及平均值。 ˆ 与动能 T p
d ˆ i ; p dx ˆ2 p ˆ T 2m
解：作一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为
在x
a 处，利用波函数及其一阶导数连续的条件
2 a 3 a
' a 3' a 2
得到
A sin ka B exp a Ak cos ka B exp a
于是有
tan ka
此即能量满足的超越方程。
k

1 E V0 时，由于 当 2


展开系数

cp


x x dx
* p 2
expikx exp ikx A * dx p x 2 i A exp2ikx 2 exp 2ikx dx * p x 4 A * 2 k x 2 0 x 2 k x dx p x 2 4
mV0 tan a 1 mV0
故
mV0
mV0
最后，得到势阱的宽度
a n
ห้องสมุดไป่ตู้
4
， n 1,2,3,
1 a n 4 mV0
三. （见习题选讲 7.4）体系的三维空间是由三个相互正交的态矢
u1 , u 2
c 2 k
1 6
1 W p 2k ; 6
平均值为
2 W p 0 ; 3
W p 2k
1 6
p pW p 0
p
动能的的取值几率与动量相同，而平均值为
p2 2k 2 2 T W p 3m p 2m
二. 质量为 m 的粒子处于如下一维势阱中
所以，有
0 0 1
0 1 0
0 0 1
ˆ,B ˆ 0 H
ˆ 满足的本征方程为 设H
1 0 0
0 1 0
0 c1 c1 0 c2 E c2 c 1 c3 3
ˆ 是对角矩阵，所以，它的本征值就是其对角元，即 由于 H
显然，两者相互对易，有共同完整本征函数
p x
且满足
i exp px 2 1
ˆ p x p p x p p2 ˆ T p x p x 2m
将
x 向 p x 展开，即
x c p p x dp