吉林大学研究生入学考试量子力学(含答案)2000
研究生2005吉林大学量子力学真题
2005年吉林大学硕士研究生入学试题一、[25分] 一维线性谐振子 [2221)(x m x V ω=] 初始时刻的状态为： )()(51)(52)0,(210x C x x x ϕϕϕΨ++=， 其中，)(x n ϕ为谐振子的正交归一化能量本征函数。
１）若在)0,(x Ψ态上测量能量的平均值为ω=23，试求系数C 。
２）写出时刻振子的波函数，并求出此时测量能量的取值不小于平均值的几率。
0>t ３）求时刻振子宇称的可取值、取值几率和平均值。
0>t二、[25分]在位场)0()()(00>=V x V x V δ中，质量为的粒子从m ∞−处向右运动，试问能量E 如何取值，粒子刚好能有一半的几率被反射回来？三、[25分]已知力学量的本征值谱和正交归一化本征态矢系分别为和 Q ˆ}{nq }{|>n (，)。
现有算符方程，其中"3,2,1=n 0≠n q >>=ψϕ||ˆQ>ψ|为已知态矢。
１）在表象中求出态矢Q >ϕ|的表达式。
２）若以和分别表示投影到ϕP ˆψP ˆ>ϕ|和>ψ|上的投影算符，试求出它们在表象中的矩阵表示之间的关系。
Q ３）试给出算符的定义，并论证其合理性。
3/1ˆQ四、[25分]设一自旋粒子的能量算符为2/1zy x S C S B S A H ˆˆˆˆ++= 其中A 、B 、C 均为实数。
１）求粒子的能量本征值和本征态矢。
２）若粒子处在Hˆ的一个本征态上，求粒子自旋分量向上的几率。
y五、[25分]设两个质量为m 、自旋为的全同粒子通过位势2/12212)4()(r b s s a r V −⋅−=G G =作用，其中r 为两粒子间距离，1s G 和2s G 分别为两粒子的自旋算符，a 为大于零的实数。
１）为使两粒子束缚在一起，b 应如何取值？ ２）若取，试求基态能量和简并度。
2/3=b ３）若0=b ，求处于基态时两粒子间距离的均方根。
2021年物理系专业攻读硕士学位研究生入学考试《量子力学》试题及答案(试卷D)
XXX 大学物理系专业2021年攻读硕士学位研究生入学考试《量子力学》试题（试卷D ）一、回答下列问题（40分）。
1、若系统的波函数的形式为()()()12,iiEtEtx t x e x eψφφ-=+，问(),x t ψ是否定态波函数？为什么？2、算符ˆA 和ˆB 满足对易关系，ˆˆˆˆˆ,1,B A C AB ⎡⎤==⎣⎦是厄密算符，且满足本征方程ˆ,Cφλφ=问： （1）状态ˆAψφ=是否ˆC 的本征态？若是，写出本征值。
若不 是，说明理由。
（2）算符ˆA和ˆB 是否厄密算符？用简单的算符运算说明之。
3、粒子处于态()2sin ,x A kx ψ=其中k 为波数，求其动量取2k 的几率；4、氢原子的波函数()1002102112112r ψψψ-=+，求能量的可能值、相应几率和平均值。
5、设ˆU为么正算符，而()()11ˆˆˆˆˆˆ,22A U U B U U i++=+=-，试证： （1）ˆA和ˆB 均为厄密算符； （2）22ˆˆ1AB +=。
二、（15分）一量子体系的哈密顿算符0ˆˆˆ,H H H '=+在0ˆH 为对角表象中的矩阵形式为：040000ˆˆ020,00,1001000k H H k k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪'==<< ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1、用微扰法求体系的能量，精确到二级近似；2、求精确解，与1、比较。
三、（15分）ˆA和ˆB 是属于同一体系的两个互相对易的力学量算符， 1、若12,ψψ是属于ˆA 的不同本征值的本征态，试证明12ˆ0B ψψ=；2、问：当体系处于力学量ˆA 的本征态时，力学量ˆB 是否有确定值？试就ˆA的本征值简并与非简并两种情形加以说明。
四、（20分）自旋为12的粒子，处于一维无限深势阱()0,0,0,x aU xx x a<<⎧=⎨∞<>⎩之中，写出势阱内单粒子能级和波函数。
1、计及自旋每个能级有多少个状态？说明理由。
吉林大学研究生2002量子力学真题
2002年吉林大学硕士研究生入学试题一、[20分] 一质量为m 的粒子初始时刻处于位阱⎩⎨⎧><∞<<=ax x a x x V ,000)(的基态。
若a x =处的阱壁突然移至a x 2=。
试求粒子在新位阱中：1）处于基态的几率；2）处于第一激发态的几率；3）能量大于初始时刻能量的几率。
二、[22分] 作一维运动的粒子，其能量算符为)(2ˆˆ2x V p H +=μ，本征方程为，其中取分立值，并有>>=n E n H n ||ˆn mnn m δ>=<|。
1）若λ为Hˆ中的一个参量，试证明 λλ∂∂>=∂∂<n E n H n |ˆ|； （Hellmann-Feynman 定理） 2）证明><=−∑k pk x E E n kn n k |ˆ|||)(22222μ=， 这里>=<n x k x kn ||； 3）若中不显含)(x V μ，则有∑∂∂−=−n k kn n k E x E E μ2222||)(=。
三、 [14分]已知一维定态波函数为⎩⎨⎧><−=Ψax a x x a x ||,0||,)(22且有0||>=ΨΨ<V 。
试从一维定态薛定谔方程出发，求出位函数和定态能量)(x V E 。
四、[22分] 磁矩为的电子在恒定外磁场S K K γμ−=y e B B K K =中运动（βγ,均为大于零的实常数）。
初始时刻电子处于2/=−=z S 的态上。
求：1） 时和的平均值，解释所得到的结果； 0≥t y S ˆz S ˆ2）电子自旋x 分量的反转周期（即，从完全向上到完全向下的间隔时间）。
x S ˆx S ˆxS ˆ五、 [22分] 粒子在中心力场中运动，相应的能量本征方程为。
若在上依次附加和 （)(r V >>=nlm E nlm H nl ||ˆ)0(00ˆH )ˆˆ(ˆ221y x l l H +=α22ˆˆyl H β=βα,均为大于零的实常数，且1<<β）。
吉林大学量子力学考研真题 2012年
吉林大学2012年量子力学考研真题（回忆版）
干死奸商！
一、1，一维无限深方势阱的本征函数在能量表象下是否还是本征函数。
2，用不确定关系估算一维无限深方势阱的基态能量
3，σy在σx表象下的矩阵形式
4，若一电子的能量恰好等于氢原子电离能，求其德布罗意波长
5，写出动量表象下一维谐振子的哈密顿量
二、J为一角动量算符，证明：若A算符与之坐标表象下的两个分量都对易，那么跟第三个
分量也对易。
三、自由电子在磁场B（Bx，0，Bz）中，哈密顿量H可表示为H=H0+H'，其中H0=aBxSx，
H‘=aBzSz。
1，求本征值和本征态的严格解
2，若Bx>>Bz，利用微扰论求二级能量近似
四、在{J^2,Jz}所构成的希尔伯特空间中，给出了Jx和Jy的矩阵形式。
1.证明在任何状态下测量Jz，其值都不会大于h/2π
2.若某态|Ψ>下测量，Jz=1时P=1/4，Jz=0时P=1/2，Jz=-1时P=1/4，求该归一化
函数
五、某自选为1/2的粒子，哈密顿量为H=aPzSz，a为一常数，Pz为动量算符，Sz为泡利
矩阵z分量。
1、求本征值本征态
2、证明一下无论阱宽和阱深是多少，透射系数都不变。
2021年攻读硕士学位研究生入学考试《量子力学》试题(试卷A、B)
2021年攻读硕士学位研究生入学考试《量子力学》试题（试卷A、B）试卷A一、分析题：（1）写出玻尔-索末菲量子化条件的形式；（2）求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径；二、计算题：（1）若一质量为μ的粒子在势场()0,0,,0x aV x x a x <<⎧=⎨∞≥≤⎩中运动，求粒子的可能能级；（2）若某一时刻加上了形如sin ,(1)xe e aω<<的势场，求其基态能级至二级修正；（3）若势能()V x 变为()221,02,0x x V x x μω⎧>⎪=⎨⎪∞<⎩求粒子的可能能级。
三、氢原子处于基态，其波函数形如,race a ψ-=为玻尔半径， （1）利用归一化条件，求出c ；（2）设几率密度为()P r ，试求出()P r 的形式，并求出最可几半径；（3）求出基态势能及动能在基态中的平均值；（4）用何种定理可把ˆV及ˆT联系起来？四、一转子，其哈密顿量222ˆˆˆˆ222yx zx y zLL LHI I I=++，转子的轨道角动量量子数是1，（1）试在角动量表象中，求出ˆˆˆ,,x y zL L L的形式；（2）求出ˆH的本征值。
五、若基态氢原子处于平行板电场中，电场按下列形式变化00,0,0t t E e t τε-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，τ为大于零的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P态的几率。
（设ˆH '为微扰哈密顿，()()805100,210100,211ˆˆ;03t a e H e H τε-±''=⋅=）。
六、分析计算：（1）用玻恩近似法，求粒子处于势场()()0,0raV x V e a -=->中散射的微分截面。
（2）从该问题中讨论玻恩近似成立的条件。
试卷B一、（10分）。
（1）试求出100eV 的自由粒子及0.1eV 、质量为1克的质点的德布罗意波长。
（1eV =1.6⨯193410, 6.610J h J s --=⨯⋅）。
[研究生入学考试]《量子力学》题库
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《量子力学》题库一、简答题1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为：ων ==h Ek nhp ==ˆλ其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。
等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。
2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
按这种解释，描写粒子的波是几率波。
3 根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。
答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。
4 设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211ϕϕψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1ϕ和2ϕ为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。
试说明式子2211ϕϕψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。
答：2211ϕϕψc c +=的含义是：当粒子处于1ϕ和2ϕ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1ϕ态，又处于2ϕ态。
或者说，当1ϕ和2ϕ是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1ϕ、2ϕ中。
在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为21c 和22c 。
5 什么是定态？定态有什么性质？答：定态是指体系的能量有确定值的态。
在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。
6 什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？ 答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。
吉林大学量子力学1999,1999答案
c
于是，归一化后的波函数为
8 3
x,0
能量的取值几率为
2 1 1 1 x 2 x 3 x 3 6 6
2 W E1 ; 3
能量取其它值的几率皆为零。
1 W E 2 ; 6
W E 3
1 6
（2）因为哈密顿算符不显含时间，故 t 0 时的波函数为
21I
1 1 ˆ2 ˆ Y ( , ) 1 L ˆ2 H lm 2I 2I Lz Ylm ( , ) 2 I 1 2 1 1 1 1 2 2 2 l ( l 1 ) m Ylm ( , ) 2I 2 2I1 2I1
1 2
En
2
2ma
2 2
n2 ,
n 1,2,3,
n x
2 n sin x a a
（1）首先，将 x,0 归一化。由
1 2 1 2 1 2 2 c 1 4 4 2
吉
林 大
学
1999 年招收硕士研究生入学考试试题（含答案） 考试科目：量子力学
质量为 m 的粒子，在阱宽为
一.
a 的非对称一维无限深势阱中运动，当 t 0
1 4 1 4
时，粒子处于状态
x,0 1 x 2 x 3 x
其中， n x 为粒子的第 n 个本征态。 （1）求 t 0 时能量的取值几率； （2）求 t 0 时的波函数 x, t ； （3）求 t 0 时能量的取值几率。 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为
吉林大学物理学院期末考试量子力学试题2013年试题共100分
吉林大学物理学院期末考试《量子力学》试题（2013年）（试题共100分，考试时间2.5小时）一、简答题（40分）1、设r 为球坐标系下的径向坐标，在坐标表象下定义两个算符r A ≡ˆ和ˆrB i ∂∂≡ ，试推导Aˆ和B ˆ算符的厄米共轭算符。
2、设某一维微观粒子处于势场()V x 中，该体系具有分立的本征能谱n E (0,1,)n = ，相应的本征态矢记为n 。
已知在0t =时刻，该粒子的状态为(0)02ψ=，试给出()t ψ在能量表象中的表达式。
3、两个自旋为1/2的一维全同粒子同处于谐振子势场2221)(x m x V ω=中，若不计两个粒子之间的相互作用，分析该体系第一激发态的简并度，并写出相应的波函数。
4、以Gaussian 函数2)()(bx e b A x -=ψ作为试探波函数，b 为变分参数，利用变分法求一维谐振子的基态能量。
5、对于氢原子，当仅考虑电子与核之间的库仑相互作用时，其电子态有严格的本征解，求库仑势能re x V 2)(-=在本征态上的期望值。
二、（14分）质量为m 的一维微观粒子处于如下半壁有限深方势阱中，其中0V 为常数。
若该粒子具有一个20V E =的能级，试计算阱宽a 的大小。
三、（12分）设()V r 为某微观粒子所处的三维势场，ˆP 为该粒子的动量算符，定义算符ˆˆ()Q V r P ≡∇⨯ ，分析ˆQ 是否为厄米算符。
四、（14分）设两个自旋为1/2的粒子组成一个二粒子体系，其哈密顿量为1212ˆ()z z H A B σσ=++⋅σσ 其中，1σ和2σ分别为粒子1和粒子2的泡利矩阵，1z σ和2z σ分别为1σ和2σ的z 分量，A 和B 均为常数。
求该体系的本征能量。
五、（20分）y x -平面内的二维微观粒子被限制在边长为a 的正方形区域内运动，其势场描述为0,0(),,0x a V x x a x ≤≤⎧=⎨∞><⎩，0,0(),,0y a V y y a y ≤≤⎧=⎨∞><⎩ 1、 求该粒子的本征能级和本征波函数；,0()0,0,x V x x a V x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2、 若该体系受到微扰ˆ(4)(/4)Hx a y a αδδ'=--，α为小量，用微扰理论求基态和第一激发态的一级能量修正。
吉林大学物理学院854量子力学历年考研真题专业课考试试题
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吉林大学高等量子力学习题完整版
4、 试利用 D 函数的幺正性，给出ψ 5、 对于无穷小转角 δϕ ，求证：
jm
j (τ ' ) = ∑ Dm ψ jm ' (τ ) 的逆变换关系式。 'm (αβγ ) m'
-2-
2007-11
吉林大学物理学院理论物理中心
1 j Dm i (δϕ x −iδϕ y ) j ( j + 1) − m(m + 1)δ m 'm+1 'm (δϕ ) = (1 − iδϕ z m)δ m 'm − 2 1 − i (δϕ x +iδϕ y ) j ( j + 1) − m(m − 1)δ m 'm−1 2
试证明： | j 1 m1 >| j 2 m2 >=
∑C
jm
j3m3 j1m1 j2 m2
| jm >
9、 两个全同粒子处于中心外力场中，单粒子能级为 E nlj ，试证明：无论这两个粒子是玻色 子还是费米子，当它们处于同一个单粒子能级时，体系的总角动量量子数 J 必为偶数。
† D 函数
1、 设坐标系 O − xyz 绕空间任意轴 n 转 dθ n 角， 到达 O − x' y ' z ' 。 在该转动下角动量算符 J 的本征函数ψ
称为一阶张量投影定理，试证明这一定理，进而证明这一定理的另一表达式
G ˆ | jm >< jm | ( J ⋅ T ˆ ) | jm > < jm'| J 1 M ˆ < jm'| T1M | jm >= 2 j ( j + 1)=
7、 试利用投影定理计算微观粒子的磁矩（即磁矩在 | jm > 态上的平均值） ，磁矩算符为
XXX大学2021年《量子力学》专业攻读硕士学位研究生入学考试试题及答案(试卷二)
XXX 大学2021年《量子力学》专业攻读硕士学位研究生入学考试题（试卷二）一、简答题（40分）。
1、一量子体系的哈密顿算符30ˆ10,1,002b H b b ⎛⎫⎪=<< ⎪⎪⎝⎭用微扰论求体系能量至二级近似；2、能量为20E MeV =的中子受到力程1510a m -=的势场作用，如用分波法求散射截面，需计算几个分波相移？设忆求出相移，写出计算散射总截面的表达式。
（27341.610, 1.0510)n m kg J s --=⨯=⨯⋅。
3、有一双电子体系，其单电子基态波函数的空间部分用1sin i i i r r aπψ⎛⎫=⎪⎝⎭描述，其中i 为电子的编号。
若以()i α和()i β分别表示电子自旋向上和向下波函数，试写出描述该体系的基态波函数。
4、设氢原子处于态()()()()()200210200211213,212z r r r s r r ψψψ⎫+⎪⎪=⎪+⎪⎭问(),zr s ψ是否是能量本征态？若是，写出其本征值。
又问在该态中测量角动量2,L 角动量分量z L 及自旋磁矩的分量sz M 的平均值各为多少？5、氢原子处于态()433141104111122,,333r R Y R Y R Y ψθϕ-=+-中，问： （1）(),,r ψθϕ是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。
若不是，说明理由；（2）在(),,r ψθϕ中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少？二、（20分）。
设123,,u u u 为一组正交归一基，已知在这组基张成的希尔伯特空间中ˆH 和ˆA 的矩阵为000000ˆˆ00,000000Ea H E A a E a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭。
1、ˆH和ˆA 是否存在共同的本征函数？写出这些本征函数相应的本征值 。
2、}{2ˆˆ,HA 或}{ˆˆ,H A 能否构成完全测量集合？为什么？3、若0t=时，体系处于态1 12 33ψ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭中，测量其能量的可能值、相应几率及平均值的结果是什么？是否隨时间变化？为什么？自旋磁矩为eS mμ=-的电子处于磁场()000cos ,sin ,B B t B t B ωω=中： 1、写出电子的哈密顿算符在z S 表象中的矩阵形式；2、设电子在0t =时处于2z S =-的态（用β）表示，把哈密顿算符中与时间有关的部分作为微扰，求在微扰作用下到时刻t 电子跃迁到2z S =态几率的几率表式。
2005年硕士研究生入学考试及答案
目录1.05年北师大物理类各方向2.05年长光所3.05年东南大学4.05年中科大5.05年南京大学6.05年华中科大7.05年吉林大学（原子所）8.05年四川大学（原子与分子）9.05年北京理工10.05年河北理工11.05年长春理工北京师范大学2005年招收硕士研究生入学考试试题专业:物理类各专业科目代号:459研究方向:各方向考试科目:量子力学[注意]答案写在答题纸上，写在试题上无效。
1.(20分)一个电子被限制在一维谐振子势场中，活动范围求激发电子到第一激发态所需要的能量（用ev表示）（，，）提示：谐振子能量本征函数可以写成2.（30分）一个电子被限制在二维各向同性谐振子势场中（特征频率为）。
（1）写出其哈密顿量，利用一维谐振子能级公式找到此电子的能级公式和简并度。
（2）请推导电子的径向运动方程。
并讨论其在时的渐近解。
提示：极坐标下3．（50分）两个质量为的粒子，被禁闭在特征频率为的一维谐振子势场中，彼此无相互作用（此题中波函数无须写出具体形式）：（1）如果两个粒子无自旋可分辨，写出系统的基态（两个都在自己的基态）和第一激发能级（即一个在基态，另一个在第一激发态）的波函数和能量（注意简并情形）。
（10分）（2）如果两个粒子是不可分辨的无自旋波色子，写出系统的基态和第一激发态的能量和波函数。
如果粒子间互作用势为，计算基态能级到一级微扰项。
（15分）（3分）如果两个粒子是不可分辨的自旋1/2粒子，写出基态能级和波函数（考虑自旋）。
如果粒子间互作用能为，计算基态能量。
（15分）（4）同（3），解除势阱，两个粒子以左一右飞出。
有两个探测器分别（同时）测量它们的y方向自旋角动量。
请问测量结果为两电子自旋反向的几率是多少？（10分）4．（30分）中心力场中电子自旋与轨道角动量存在耦合能。
总角动量，是的共同本征态。
现有一电子处于态，且。
（1）在一基近似下，可用代替，请问电子的能量与态差多少？（2）请计算该电子产生的平均磁矩，并由此计算在z方向均匀磁场B中电子的能量改变多少？（），当，，当，5．（20分）一个定域（空间位置不动）的电子（自旋1/2）处于z方向强磁场中。
硕士研究生入学考试及参考答案
目录1.05年北师大物理类各方向2.05年长光所3.05年东南大学4.05年中科大5.05年南京大学6.05年华中科大7.05年吉林大学（原子所）8.05年四川大学（原子与分子）9.05年北京理工10.05年河北理工11.05年长春理工北京师范大学2005年招收硕士研究生入学考试试题专业:物理类各专业科目代号:459研究方向:各方向考试科目:量子力学[注意]答案写在答题纸上，写在试题上无效。
1.(20分)一个电子被限制在一维谐振子势场中，活动范围求激发电子到第一激发态所需要的能量（用ev表示）（，，）提示：谐振子能量本征函数可以写成2.（30分）一个电子被限制在二维各向同性谐振子势场中（特征频率为）。
（1）写出其哈密顿量，利用一维谐振子能级公式找到此电子的能级公式和简并度。
（2）请推导电子的径向运动方程。
并讨论其在时的渐近解。
提示：极坐标下3．（50分）两个质量为的粒子，被禁闭在特征频率为的一维谐振子势场中，彼此无相互作用（此题中波函数无须写出具体形式）：（1）如果两个粒子无自旋可分辨，写出系统的基态（两个都在自己的基态）和第一激发能级（即一个在基态，另一个在第一激发态）的波函数和能量（注意简并情形）。
（10分）（2）如果两个粒子是不可分辨的无自旋波色子，写出系统的基态和第一激发态的能量和波函数。
如果粒子间互作用势为，计算基态能级到一级微扰项。
（15分）（3分）如果两个粒子是不可分辨的自旋1/2粒子，写出基态能级和波函数（考虑自旋）。
如果粒子间互作用能为，计算基态能量。
（15分）（4）同（3），解除势阱，两个粒子以左一右飞出。
有两个探测器分别（同时）测量它们的y方向自旋角动量。
请问测量结果为两电子自旋反向的几率是多少？（10分）4．（30分）中心力场中电子自旋与轨道角动量存在耦合能。
总角动量，是的共同本征态。
现有一电子处于态，且。
（1）在一基近似下，可用代替，请问电子的能量与态差多少？（2）请计算该电子产生的平均磁矩，并由此计算在z方向均匀磁场B中电子的能量改变多少？（），当，，当，5．（20分）一个定域（空间位置不动）的电子（自旋1/2）处于z方向强磁场中。
吉林大学高等量子力学习题答案
高等量子力学习题和解答† 量子力学中的对称性1、 试证明：若体系在线性变换Qˆ下保持不变，则必有0]ˆ,ˆ[=Q H 。
这里H ˆ为体系的哈密顿算符，变换Qˆ不显含时间，且存在逆变换1ˆ-Q 。
进一步证明，若Q ˆ为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。
解：设有线性变换Qˆ，与时间无关；存在逆变换1ˆ-Q 。
在变换 ˆ(,)'(,)(,)r t r t Qr t ψ→ψ=ψ 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ˆ''ˆt ti Hi H ∂ψ=ψ∂ψ=ψ进而有11[,]0t t i Q HQ i Q HQ Q HQ H H Q --∂ψ=ψ⇒∂ψ=ψ⇒=⇒=2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R ze的矩阵表示。
解：'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z zθθθθθ-=+=-+=考虑坐标系绕轴转角'1''x x yd d y xd y z z θθθ=+⎧⎪<<⇒=-+⎨⎪=⎩若用矩阵表示 '10'10'001x d x y d y z z θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭还可表示为 '()z e r R d r θ=10()10001z e d R d d θθθ⎛⎫⎪=-⎪ ⎪⎝⎭3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n转θd 角，在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψ =。
试导出转动算符),(θd n U的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。
解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符()z e U d θ利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψ 可得 ()1z e z iU d d L θθ=-通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符()lim(1)z z i L n e z n i U L e nθθθ-→∞=-=绕任意轴n 转θ角的转动算符为()in Ln U eθθ-⋅=1U U U -+=⇒ 为幺正算符若(')()()z e r U d r θψ=ψ 则必有1(')()()()()[,]z ze e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋1=S 。
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展开系数
cp
x x dx
* p 2
expikx exp ikx A * dx p x 2 i A exp2ikx 2 exp 2ikx dx * p x 4 A * 2 k x 2 0 x 2 k x dx p x 2 4
所以，有
0 0 满足的本征方程为 设H
1 0 0
0 1 0
0 c1 c1 0 c2 E c2 c 1 c3 3
ˆ 是对角矩阵，所以，它的本征值就是其对角元，即 由于 H
0 1 1 0 0 0
0 0 1
0 1 1 b 0 0 0
0 1 0 b 0 0 1
0 0 1
0 1 0
0 1 0
1 ˆH ˆ b 0 B 0
吉
林 大
学
2000 年招收硕士研究生入学考试试题（含答案） 考试科目：量子力学
质量为 m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于
一.
x A sin 2 kx 的状态
上，求其动量
ˆ 的取值几率分布及平均值。 ˆ 与动能 T p
d ˆ i ; p dx ˆ2 p ˆ T 2m
解：作一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为
E1 E 2 E 3
ˆ 不能惟一确定 其中， E 2 E3 ，能量具有二度简并。由于简并的存在，仅由算符 H
E 2 , E3 的波函数。为了能留下较深刻的印象，让我们来仔细地做这件事。
当 E1
时，波函数满足
1 0 0 0 1 0 0 c11 c11 0 c12 c12 c 1 c13 13
其中，
k
由x
2mE ;
2mV0 E
处， 3 x 0 ，可知 C 0 。
由 x 0 处， 1 x 2 x ，可知 A sin 0 ，即 n ，取 n 0 。 于是，波函数简化为
1 x 0 2 x A sin kx x B exp x 3
它们的共同本征函数。
ˆ 满足 解：由厄米特算符的定义知，厄米特算符 F
ˆ F ˆ F
或者
Fmn Fnm
符。 因为
*
ˆ 和力学量算符 B ˆ 皆为实对称矩阵，故它们都是厄米特算 题中所给出的哈密顿算符 H
1 ˆB ˆ 0 H 0
而
0 1 0
0 1 0 b 0 1 0
在x
a 处，利用波函数及其一阶导数连续的条件
2 a 3 a
' a 3' a 2
得到
A sin ka B exp a Ak cos ka B exp a
于是有
tan ka
此即能量满足的超越方程。
k
1 E V0 时，由于 当 2
显然，两者相互对易，有共同完整本征函数
p x
且满足
i exp px 2 1
ˆ p x p p x p p2 ˆ T p x p x 2m
将
x 向 p x 展开，即
x c p p x dp
和
u3
ˆ 的矩阵形式如下 ˆ 和B 构成的，以其为基矢地两个算符 H
1 0 0 ˆ 0 1 0 ; H 0 0 1
1 0 0 ˆ b 0 0 1 B 0 1 0
ˆ 和B ˆ 是厄米特算符，并且两者相互对易，进而求出 其中， b, 为实常数。证明算符 H
只有当
A 4
2 p 2k 2 p 0 p 2k
p 0,2k 时， c p 0 。利用归一化条件
cp 1
2 p
可知，归一化常数为
A
于是有
4 3
c 2 k
动量的取值几率为
1 ; 6
c0
2 ; 3
mV0 tan a 1 mV0
故
mV0
mV0
最后，得到势阱的宽度
a n
4
， n 1,2,3,
1 a n 4 mV0
三. （见习题选讲 7.4）体系的三维空间是由三个相互正交的态矢
u1 , u 2
c 2 k
1 6
1 W p 2k ; 6
平均值为
2 W p 0 ; 3
W p 2k
1 6
p pW p 0
p
动能的的取值几率与动量相同，而平均值为
p2 2k 2 2 T W p 3m p 2m
二. 质量为 m 的粒子处于如下一维势阱中
x0 . V x 0, 0 xa V ( 0) x a 0
若已知该粒子在此势阱中存在一个能量 E 解：对于 E
V0 的状态，试确定此势阱的宽度 a 。 2
V0 V0 的情况，三个区域中的波函数分别为 2
1 x 0 2 x A sin kx x B exp x C expx 3