古典概率与几何概率(教师版.pdf
随机事件的概率(古典概型、简单的几何概型、抽样方法)
所以该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人， 则该学校阅读过《西游记》的学生人数与
该学校学生总数比值的估计值为：70 0.7．故选C． 100
7.(2018西安八校联考)某班对八校联考成绩进行分析,利用随机 数表法抽取样本时,先将60个同学按01,02,03,…,60进行编号, 然后从随机数表第9行第5列的数开始向右读,则选出的第6个 个体是 ( )
(红,黄),(红,蓝),(红,绿),(红,紫),共4种,
故所求概率P 4 2. 10 5
3.(2018新课标Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为
0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支
第1节 随机事件的概率（古典概型、简单的几何概型、抽样方法）
付的概率为 ( ) 第三组取的数为(10号)36,第四组取的数为(14号)43,
A .2 3
B .3 5
C .2 5
D .1 5
【答案】 B 【解析】由题意，通过列举可知从这5只兔子中随机取出3只的 所有情况数为10， 恰有2只测量过该指标的所有情况数为6．
所以P 6 3．故选B. 10 5
9.(2019新课标Ⅲ卷,文)两位男同学和两位女同学随机排成一列，
则两位女同学相邻的概率是
表第9行第5列的数开始向右读,则选出的第6个个体是 ( )
4.取一根长度为5m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么所得两
段绳子的长度都不小于2m的概率是
()
A .1 5
B .1 3
C .1 4
D .1 2
【 答 案 】 A 【 解 析 】 记 两 段 绳 子 的 长 度 都 不 小 于 2m为 事 件 A, 则 只 能 在 中 间 1m的 绳 子 上 剪 断 ,所 得 两 段 绳 子 的 长 度 才 都 不 小 于 2m,
1-第二节古典概率与几何概率
N C C C 30!/ 10! 10! 10!
10 30 10 20 10 10
9 9 P(A) 3! C 27 C18 C99 /N 50/ 203
1 7 10 10 P(B) C 3 C 27 C 20 C10 /N
3 C / C
7 27
10 30
a( a b 1 )! a P ( Ak ) ( a b )! ab
解法2 1.把a只黑球和b只白球都看着没有区别.
2. 把a+b只球摸出来依次排在一直线的a+b个位置 上.若把a只黑球的位置固定下来,则其它位置必然 a C 为白球,则黑球在a+b个位置中的放法共有 a b , 3.有利于A的场合是在第k个位置上固定一个黑球, 其余a - 1个黑球被放到其余a+b-1个位置上,共有 a 1 Ca 种放法. 因此 b 1
k n k CM CN M P ， n CN
0 k minn , M n M
超几何分布
例11 30名毕业生中有3名运动员，将他们平均分配 到甲、乙、丙三个城市去工作，求： （1）每市都有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个市里的概率。 解 设A={每市有一名运动员}; B={3名运动员集中在一个市里}
P (e1 ) P (e 2 ) P (e n ) nP (e1 )
P ( e1 ) P ( e 2 ) P ( e n ) 1 / n
因此, 若事件A e i1 , e i2 , , e ik 包含了k个基本事件, 则 事件A发生的概率 P ( A) k / n
使 A 发生的基本事件是第一次抽到合格品 , 且第二次也抽到合格品, 共有mA=8×8=64种取法.于是 P(A)= mA/n=64/100 同理B包含的基本事件数mB=2×2=4.所以 P(B)= mB /n=4/100 由于C=A+B,且AB=,所以
1-2(概率的定义、古典概率)
P( AB) P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( B) 1 0.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( AB) P( A) 0.6
—— 最大值
最大值在 P( A B) P( B) 时取得
三.几何概率
早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合,人们 引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另 一方法——几何方法.
P( AB ) P( A) P( AB) 0.7 0.1 0.6 (2) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.8
(1)
(3) P( A B) P( A B) 0.2
例2 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在 何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？最大(小) 值是多少？ 解 P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P ( Ai ) P ( Ai )
i 1 i 1 n n 1 i j n
P( A A )
i j
1 i j k n
P( A A A )
i j k
„ ( 1)
n1
P ( A1 A2 „ An )
例1 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能 答出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题”
01.2古典概率几何概率统计概率
54
P( A)
C52 C82
2! 87
5 14
2!
令C=“取到两个白球”，由于有
B A C， AC
故 P(B) P(A C) P(A) P(C)
5 C32 14 C82
53 14 28
13 28
例3某校一年级新生共1000人,设每人的 生日是一年中的任何一天的可能性相同, 问至少有一人的生日是元旦这一天的概 率是多少？(一年以365天计).
B: 0.0156 F: 0.0256 J: 0.0010 N: 0.0706 R: 0.0594 V: 0.0102 Z: 0.0006
C: 0.0268 G: 0.0187 K: 0.0060 O: 0.0776 S: 0.0634 W: 0.0214
D: 0.0389 H: 0.0573 L: 0.0394 P: 0.0186 T: 0.0987 X: 0.0016
定义 (统计概率 )
若随着试验次数的增大，事件A
发生的频率在某个常数p 附近摆动， 并且逐渐稳定于p,则称该常数为事
件A的概率 。
在实际应用中，采取用频率来近似代替概率， P(A) fn (A).
f (S) 1 n
非负性 规范性
事件 A, B互斥，则
fn ( A B) fn ( A) fn (B)
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
例 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各 字母出现的频率，发现各字母出现的频率 不同：
A: 0.0788 E: 0.1268 I: 0.0707 M: 0.0244 Q: 0.0009 U: 0.0280 Y: 0.0202
人教版高中数学必修三概率论-古典概型ppt课件
推广1. n个元素分成 ( r1 rk n) k组，每组有 rk 个元素， n! rk r1 r2 分法有 C n 种 C n r1 C rk r1 ! rk !
2. n个元素有2类，每类分别有m , ( n m )个，每
r1 r2 类分别取r1 , r2个， 取法有C m Cn m种
3. n个元素有k类，每类分别有n1 ,, nk 个，每类
rk r1 r2 分别取r1 , , rk 个， 取法有C n C C n2 nk 种 1
例1 袋中有外形相同的5个白球，3个黑球，一次任取两个， 求取出两个都是白球的概率
解 设A {取出两个都是白球}
2 n C8 2 0 m C5 C3
基本计数原理
3.基本计数原理： (1) 加法原理 设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 则完成这件事总共有 第二种方式有n2种方法, …, n1 + n2 + … + nm 种方法 . 第m种方式有nm种方法, 无论通过哪种方法都可以完成这件事，
(2) 乘法原理 设完成一件事有m个步骤， 第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法, n
6 A6 例5 6人排成一排，有多少种排法? 6! 若某人必须排在排尾 ( 排除法 ) 5! (捆绑法 ) 5! 2! 若甲乙必须在一起 2 若甲乙必须不在一起 ( 插空法 ) 4! A5 6! 若甲乙必须从左到右排 ( 去序法 ) 2! （去序） 5.组合： 从n个不同元素取 r 个组成一组 （ 从n个不同元素一次取 r 个） r A n! r n 不同取法有 C n 种 r! r !( n r )! (相当于将n个元素分成两组 )
解 设Ak {抽到k件一等品 } k 0,1,2 2 2 k k 59 n C100 C 40 m C 60 1 1 0 2 2 165 C C C 60 C 40 C 26 60 40 16 60 P ( A ) P ( A ) P ( A0 ) 1 2 2 2 2 165 33 C100 C100 C100 例3 若上例改为依次抽取2件,求抽到2件等级相同的产品的概率 排列 解 设A {2件等级相同} (1)不放回( 不重复抽样) 5 2 2 2 2 n P100 100 99 m A60 A30 A10 P ( A) 11 ( 2)有放回(重复抽样) n 1002 m 602 302 102
1.3古典概型与几何概型
所含的总取法为 aPbi1[(a b i)!] 故
P(B)
a
Pbi
1[(a b (a b)!
i)!]
a Pbi 1 Pai b
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
及两个球全是黑球的概率
解 (2) 已知 在 10 个球中任取两球的取法有C120 种 在 10 个球中取到一个白球和一个黑球的取法有C13C17 种 在 10 个球中取两个球均是黑球的取法有C32种 记B为事件“刚好取到一个白球一个黑球” C为事件
“两个球均为黑球” 则
P(B)
C13 C17 C120
P(D)
Ckn
(N 1)nk Nn
例115 一个袋子中装有ab个球 其中a个黑球 b个白球 随意地每次从中取出一球(不放回) 求下列各事件的概率
(1)第i次取到的是黑球 (2)第i次才取到黑球 (3)前i次中能取到黑球
解 (ab)次取球的总取法为(ab)! 记(1) (2) (3)中的事件 分别为A B C
总数为24 记(1) (2) (3) (4)的事件分别为A B C D
(1) A有两种排法 故有
P(A)
2 24
1 12
(2) B有2(3!)12种排法 故有
P(B)
12 24
1 12
例113 将标号为1 2 3 4的四个球随意地排成一行 求下 列各事件的概率
(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1 2 3 4的顺序 (2)第1号球排在最右边或最左边 (3)第1号球与第2号球相邻
等价于将n个球全部放到其余N1个箱子中 共有(N1)n种放
概率论与数理统计-第1章-第2讲-古典概率与几何概率
概率论与数理统计
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20
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第2讲 古典概率与几何概率
主讲教师 |
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 古典概率
在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、最简单的问题是等 可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.
例如 抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它 们都有如下的两个特点：
10
02 古典概率
例 “分房模型”的应用
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率. 恰有 k 个盒子中各有一球
P( A)
C
k 365
k
!
365k
Ak 365
365k
问：如何求“至少有两人同生日”的概率？
下一讲揭晓
11
02 古典概率
几何概型 (古典概型的推广)
古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能概率模型， 但等可能概型还有其它类型，如样本空间为一线段、平面或空间区域 等，这类等可能概型称为几何概型，思路如下：
(n k 1) n! (n k)!
从n个不同元素中任取 k个的不同排列总数
（4）组合公式
C
k n
n(n 1)
(n k 1) n!
ห้องสมุดไป่ตู้
k!
(n k)!k!
从n个不同元素中任取 k个的不同组合总数
5
02 古典概率
典型例题
例 设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件， 求其中恰 有k件次品的概率.
9
02 古典概率
古典概率与几何概率的区别
古典概型和几何概型的意义和主要区别在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。
几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念，下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍。
一、古典概型和几何概型的意义（一）.几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.1.几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.2.几何概型求事件A的概率公式：P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)（二）古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍1. 古典概型的特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.2. 古典概型求事件A的概率公式：P(A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。
三.利用不同概率模型,培养学生的建模能力及实际应用能力（一）结合实例进行建模题组一：情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球，这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？情景4、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里一次摸出2球，问两球异色的概率是多少？说明：第一组题是古典概型，（1）通过解题让学生从多角度理解古典概型的特征；（2）通过作树状图，让学生领略各题之间存在的不同；（3）体会应用古典概型解决实际问题时应注意的事项（如：元素是否重复利用、元素间有无顺序；实验出现的结果确保等可能性）。
古典概型与几何概率
P1
Cma Cbn Cmn
ab
(2)抽取与次序有关。每次取一只，取后不放回，一共取k次，每种
取法即是从 a b 个不同元素中任取k 个不同元素的一个排列，每种
取法是一个基本事件，共有Akab个基本事件，且由于对称性知每个
基本事件发生的可能性相同。前 k 1 次都取到黑球，从b 只黑球
中任取 k 1只的排法种数，有Abk1种，第k 次抽取的白球可为a 只白
件，可能的抽法有CkM种，又要从 N M 件正品中抽取 n k 件，同
理有
Cnk N M
种取法，从而随机地抽取n
件中恰好有k
件次品的取法共
有CkM CnNkM 种，因此所求概率为
P
A
C C k nk M NM CNn
k
0，1，
，min Μ，N
例1.7 一个口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球。从袋中 取球两次，每次随机地取一只。考虑两种取球方式: (a)第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再任取一 球。这种取球方式叫做有放回抽取。 (b)第一次取一球后不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球。 这种取球方式叫做不放回抽取。
P A k 5 0.5
n 10
例1.6 某批产品共N 件，其中有M 件次品，无放回任取 nn N 件产品，问其中恰好有 kk n 件次品的概率是多少?
解
将从N 件产品中任意抽取 n 件产品的所有可能的结果取作样本
空间，总的抽法有 CnN 种。以A 记抽取的 n 件产品中恰有 k 件次品 的事件，计算A 所包含的样本点数时，先考虑从M件次品中抽取k
(1)样本空间 Ω 可表示为一个几何区域，这个区域大小可以度 量(如可计算长度、面积、体积等)，并把 Ω 的度量记作m (Ω )。 (2)向区域 Ω 内任意投掷一个点，落在区域内任一个点处都是 “等可能的”，或者设落在 Ω 中的区域 A 内的可能性与 A 的 度量m (A)成正比，而与 A 的位置和形状无关。
课件3概率论1.4
定义： 设随机试验E的样本空间为 定义： 设随机试验 的样本空间为 = {ω1 , ω2 ,L , ωn } n为有限正整数，且每个基本事件 ωi 发生的可能性 为有限正整数， 为有限正整数 相等（ ），若 下 相等（即 P{ω1} = P{ω2} =L= P{ωn} =1/ n, ），若E下 的事件A是由 个不同的基本事件组成，即 的事件 是由m个不同的基本事件组成， 是由 个不同的基本事件组成
2n n! P= (2n)!
一袋中装有N-1只黑球及 只白球 每次从袋中 只黑球及1只白球 例1.4.7 一袋中装有 只黑球及 只白球,每次从袋中 随机地摸出一球,并换入一只黑球 这样继续下去 随机地摸出一球 并换入一只黑球.这样继续下去 问第 并换入一只黑球 这样继续下去,问第 k次摸到黑球的概率是多少 次摸到黑球的概率是多少? 次摸到黑球的概率是多少 表示“ 次摸到黑球” A 解 A表示“第k次摸到黑球”，则 表示 次摸到黑球 到 表示“ 表示“第k次摸 次摸
n! C m! m n! C m! Cn+1 P( A) = = m (n + m)! Cn+m
m n+ n+1 m n+1
若这n+m个孩子不是排成一直线 而是排在一个圆圈 个孩子不是排成一直线,而是排在一个圆圈 若这 个孩子不是排成一直线 则事件A有概率是多少 上,则事件 有概率是多少 则事件 有概率是多少?
P( A)
(N 1) P( A) = k N
k 1
白球” 等价于“ . 次均摸到黑球,第 次摸到白球” 白球”，先求 “前k-1次均摸到黑球 第k次摸到白球” A 等价于 次均摸到黑球 次摸到白球
1 1 = 1 N
k 1
1 N
概率论课件1-3,武大
μ(G ) G的面积 P ( A) μ( S ) S的面积
b 0 2 sin d a π 2 b 2b . a aπ π 2
π
o
蒲丰投针试验的应用及意义
2b P ( A) aπ 根据频率的稳定性, 当投针试验次数n 很大时 , m 测出针与平行直线相交的次数 m , 则频率值 即可 n 作为 P ( A) 的近似值代入上式, 那么 2bn m 2b π . n aπ am
212 p 12 0.0000003 . 7
小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的 , 从而可 知接待时间是有规定的.
例3 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天是等可 能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少有2人生日相 同的概率.
解
64 个人生日各不相同的概率为
365 364 ( 365 64 1) p1 . 64 365
4.古典概型的基本模型之二:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
3
3
3
3
4个球放到3个杯子的所有放法
3 3 3 3 34 种,
4 种 2
P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B)
1 { P ( A) P ( B ) P ( AB )}.
333 2000 因为 333 334, 所以 P ( A) , 6 2000
2000 由于 250, 8
250 故得 P ( B ) . 2000
四、小结
最简单的随机现象 古典概型
古典概率与几何概率
古典概型与几何概型【知识要点】1.古典概率模型试验的两个共同特点：（1）有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. （2）等可能性：每个事件出现的可能性相等. 2.古典概率的计算方法：如果一次试验中的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性相等，每个基本事件的概率是1n ，如果事件A 包含的基本事件有m 个，那么事件A 的概率为()mP A n=，即： ()A P A =包含的基本事件的个数基本事件的总数3.几何概率的特点：（1）试验的结果是无限不可数的； （2）每个结果的出现时等可能性的.5.几何概率模型中，事件A 的概率的计算公式是：()A P A =构成事件的区域的长度(面积或体积)试验的全部结果构成的长度(面积或体积)6.均匀随机数及其产生 均匀随机数：就是在一定能范围内随机产生的书，并且在这个范围内得到的每一个数的机会相等.由于计算机具有高速度和大容量的特点.我们往往用计算机模拟那些庞大而复杂的试验，称为随机模拟或数字模拟.均匀随机数的产生方法：（1）用函数型计算器产生均匀随机数的方法：按一次和键，产生一个0～1上的均匀随机数；若需要多个，则要重复按键；（2）用计算机产生均匀随机数的方法：每调用一次()rand 函数，就产生一个[0,1]上的均匀随机数；若要产生a ～b 上的均匀随机数，就是用变换()()rand b a a *-+即可. 7.复杂事件的古典概率模型对于求解较复杂的古典概型的概率问题，可以利用分类讨论的办法求出总体包含的基本事件的个数及事件包含的基本事件的个数，然后将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，活着先去求对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率.8.常见的几种几何概型的概率求法：（1）设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，点落在线段l 上的概率为l P L =的长度的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分，向区域G 上任投一点，点落在区域g 上的概率为g P G =的面积的面积（3）设空间区域v 是空间区域V 的一部分，向区域V 上任投一点，点落在区域v 上的概率为v P V =的体积的体积【典型例题】例1在20件产品中有15件正品，5件次品，从中任取3件，求：（1）恰有一件次品的概率； （2）至少有一件次品的概率.例2某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分.假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别是0.8、0.7、0.6，且各题答对与否相互之间没有影响.（1）求这名同学得300分的概率； （2）求这名同学至少得300分的概率.例3设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N 个房间中任意一间去住()n N ≤.求下列事件的概率：（1）指定的n 个房间内各有一个人住；（2）恰好有n 个房间，其中各住一个人； （3）某指定的一个房间中恰有m 个人()m n ≤.例4甲、乙二人约定在点到点之间在某地见面，先到者等一个小时后若未等到后来者即可离去，设二人在这段时间内的各时刻到达时等可能的，且二人之间互不影响.求二人能会面的概率.例5广告法对插播广告时间有规定.某人对某台的电视节目作了时间的统计后得出结论：他任意时间打开电视看该台节目，看不到广告的概率为910，求该台每小时约有几分钟广告？例6已知关于x 的一元二次函数2()41f x ax bx =-+.（1）设集合{}1,2,3P =，{}1,1,2,3,4Q =-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；（2）设点(,)a b 是区域8000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率.【课堂练习】1.在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm 的纤维的概率是（ ）.A.3040 B. 1240 C. 1230D.以上都不对 2.盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰好为合格的铁钉的概率是（ ）.A.15 B. 14 C. 45 D. 1103.如图所示，a b c d 、、、是四处处于断开状态的开关，任意将其中两个闭合，则电路被接通的概率是（ ）.A. 1B.12 C. 14D. 0 4.从三棱锥的六条棱中任意选取两条，则这两条棱所在直线是一对异面直线的概率是（ ）.A.120 B. 115C. 15D. 16 5.设a b 、分别是甲、乙各抛掷一枚骰子得到的点数，已知乙所得的点数为2，则方程20x ax b ++=有两个不等实根的概率是（ ）.A.23 B. 13 C. 12 D. 5126.在区间[1,1]-上随机抽取一个数x ，cos 2x π的值介于0到12之间的概率为（ ）.A. 13B. 2πC. 12D. 237. ABCD 为长方形，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 中随机抽取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（ ）.A. 4πB. 14π-C. 8πD. 18π- 8.从长度分别为的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种，在这些取法中，以取出的三条线段作为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则mn为（ ）.A. 110B. 15C. 310D. 259.在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆的面积大于2S的概率是（ ）.A.14 B. 12 C. 34 D. 2310.某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10分钟的概率是（ ）. A.16 B. 15 C. 13 D. 2511.若连续掷两次骰子得到的点数m n 、分别作为点的P 坐标，则点P 落在圆2225x y +=外的概率是（ ）.A. 536B. 712C. 512D. 1312.将一根长为6米的绳子剪成两段，则两断绳子的长度都大于2米的概率是（ ）.A.13 B. 23 C. 12 D. 2213.先后抛投两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数123456、、、、、），骰子朝上的面的点数分别为X Y 、，则2log 1X Y =的概率为（ ）. A.16 B. 536 C. 112D. 12 14.已知k Z ∈，(,1)AB k =，(2,4)AC =，若10AB ≤，则ABC ∆是直角三角形的概率为（ ）. A.17 B. 27 C. 37 D. 4715.在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投入一点，则落入E 中的概率为 .16.将两枚骰子各抛掷一次，则事件“两数之和大于4”的概率为 . 17.将两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？（2）两数之和是3的倍数的结果有多少种？ （3）两数之和是3的概率是多少？18.同时抛掷4枚均匀硬币，求：（1）恰有2枚“正面向上”的概率； （2）至少有2枚“正面向上”的概率.19.把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次投出的点数记为b ，给定方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩.（1）试求方程组只有一解的概率；（2）求方程组只有正数解(0,0)x y >>的概率.20.已知函数2()2f x ax bx a =-+，（,a b ∈R ）.（1）若a 从集合{}1,2,3,4中任取一个元素，b 从集合{}0,1,2,3中任取一个元素，求方程()0f x =恰有两个不同的实根的概率；（2）若b 从区间(0,2)中任取一个数，a 从区间(0,3)任取一个数，求方程()0f x =没有实 根的概率.21.假设你家里订了一份报纸，送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去上班的时间在早上7:00—8:00之间，问你父亲在离开家前得到报纸的概率是多少？【课后作业】1.抛两颗骰子，事件“点数之和为6”的概率为（ ）. A.111 B. 19 C. 536D. 16 2.从1,2,9这9个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率为（ ）.A.59 B. 49 C. 1121 D. 10213.如图所示，在一个边长为a b 、(0)a b >>的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底分别为3a 与2a，高为b .向矩形内随机投一点，则该点落在梯形内的概率是（ ）.A.710 B. 57 C. 512D. 584.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他到第3次才取得卡口灯泡的概率为（ ）. A.2140 B. 1740 C. 310D. 7120 5.在区间(0,1)中随机抽取两个数，求下列事件的概率： （1）两个数中较小的小于12；（2）两数之和小于32.6.将甲、乙两颗均匀的骰子（骰子是一种正方体玩具，在正方体个面上标有点数1,2,3,4,5,6）各抛投一次，,a b 分别表示抛甲、乙两骰子所得点数.（1）若把点(,)P a b 落在不等式组004x y x y >⎧⎪>⎨⎪+≤⎩表示的平面区域内记为事件1A ，求事件1A 的概率；（2）若把点(,)P a b 落在直线7x y +=上记为事件2A ，求事件2A 的概率.7.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达码头时等可能的.（1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；（2）如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率.。
第十章 统计与概率10-5古典概型与几何概型
x 2 y 解析：(1)由题意可得，18＝36＝54，所以x＝1，y＝3. (2)记从高校B抽取的2人为b1，b2，从高校C抽取的3人为 c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基 本事件有 (b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2， c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共10种． 设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事 3 件有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共3种．因此P(X)＝ . 10 3 故选中的2人都来自高校C的概率为10.
根据几何概型的计算公式可知
2 2 － －－1＋1－ 3 3
P＝
1－－1
1 ＝3，故选A.
答案：A
(文)(2010·青岛市质检)已知区域Ω＝{(x， y)|x＋y≤10，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x－ y≥0，x≤5，y≥0}，若向区域Ω内随机投1个 点，则这个点落入区域A内的概率P(A)＝ ________.
[例4] (09·天津)为了了解某市工厂开展群 众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法 从A、B、C三个区中抽取7个工厂进行调 查．已知A、B、C区中分别有18、27、18 个工厂． (1)求从A、B、C区中应分别抽取的工厂个 数； (2)若从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进 行调查结果的对比，用列举法计算这2个工 厂中至少有1个来自A区的概率．
2．古典概型 满足以下两个条件的随机试验的概率模型称 为古典概型： (1)有限性：在一次试验中，可能出现的不 同的基本事件只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件的发生都是等 可能的． 古典概型中事件的概率计算
高中数学完整讲义——概率-古典概型与几何概型1.古典概型
版块一：古典概型1．古典概型：如果一个试验有以下两个特征：⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； ⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的． 称这样的试验为古典概型． 2．概率的古典定义：随机事件A 的概率定义为()P A =A 事件包含的基本事件数试验的基本事件总数．版块二：几何概型几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型． 几何概型中，事件A 的概率定义为()AP A μμΩ=，其中μΩ表示区域Ω的几何度量， A μ表示区域A 的几何度量．题型一 基础题型【例1】 在第136816，，，，路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第6路或第16路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于____【例2】 （2010崇文一模）从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J 或Q 或K 的概率为_______．【例3】 （2010上海卷高考）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率()P A B = （结果用最简分数表示）．典例分析知识内容板块一.古典概型【例4】 （2010湖北高考）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰于向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是A ．512B ．12C ．712D ．34【例5】 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．16【例6】 甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙后面值班的概率是（ ）A ．16B ． 14C ．13 D ．12【例7】 今后三天每一天下雨的概率都为50%，这三天恰有两天下雨的概率为多少？【例8】 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ．【例9】 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123,,A A A 通晓日语，123,,B B B 通晓俄语，12,C C 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． ⑴求1A 被选中的概率； ⑵求1B 和1C 全被选中的概率．【例10】 （2009江西10）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12【例11】 一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率．题型二 中档题的常见载体模型扔骰子硬币 【例12】 将一枚硬币连续投掷三次，连续三次都得正面朝上的概率是多少？【例13】 将一枚硬币连续投掷三次，恰有两次正面朝上的概率是多少？【例14】 先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是121110，，的概率依次是123P P P ，，，则（ ） A ．123P P P =< B ．123P P P << C ．123P P P <= D ．123P P P >=【例15】 （08江苏）若将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为 ．【例16】 （广东）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数），骰子朝上的面的点数分别为，则的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【例17】 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆2216x y +=内的概率是 ．【例18】 同时抛掷两枚骰子，⑴求得到的两个点数成两倍关系的概率； ⑵求点数之和为8的概率；⑶求至少出现一个5点或6点的概率．【例19】 某中学高一年级有个班，要从中选两个班代表学校参加某项活动，由于某种原因，一班必须参加，另外再从二到十二班中选一个班．有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？并说明理由．05123456，，，，，X Y ，2log 1X Y =165361121212摸球【例20】（2009重庆6）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）A．891B．2591C．4891D．6091【例21】口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两个球，⑴写出基本事件空间，并求共有多少个基本事件？⑵摸出来的两只球都是白球的概率是多少？⑶摸出来的两只球颜色不同的概率为多少？【例22】（2010朝阳一模）袋子中装有编号为,a b的2个黑球和编号为,,c d e的3个红球，从中任意摸出2个球．⑴写出所有不同的结果；⑵求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；⑶求至少摸出1个黑球的概率．【例23】 盒中有6只灯泡，其中有2只是次品，4只是正品．从中任取2只，试求下列事件的概率．⑴取到的2只都是次品；⑵取到的2只中恰有一只次品．【例24】 有4个红球，3个黄球，3个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？【例25】 袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：⑴3只全是红球的概率，⑵3只颜色全相同的概率，⑶3只颜色不全相同的概率，⑷3只颜色全不相同的概率．【例26】 袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码， 设号码为n 的球的重量为244433n n -+（克）． 这些球以等可能性（不受重量， 号码的影响）从袋里取出． ⑴ 如果任意取出1球，求其号码是3的倍数的概率．⑵ 如果任意取出1球，求重量不大于号其码的概率；⑶ 如果同时任意取出2球， 试求它们重量相同的概率．【例27】 在10个球中有6个红球，4个白球（各不相同），不放回的依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸出红球的概率是（ ）A ．35B ．23C ．59D ．13【例28】 一个袋子中装有m 个红球和n 个白球（4m n >≥），它们除颜色不同外，其余都相同，现从中任取两个球．⑴若取出两个红球的概率等于取出一红一白两个球的概率的整数倍，求证：m 必为奇数； ⑵若取出两个球颜色相同的概率等于取出两个球颜色不同的概率，求满足20m n +≤的所有数组()m n ，．【例29】 （2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球．由甲，乙两袋中各任取2个球． ⑴ 若3n =，求取到的4个球全是红球的概率；⑵ 若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n ．数字计算 【例30】 用2、3、4组成无重复数字的三位数，这些数被4整除的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【例31】 任意写一个无重复数字的三位数，其中十位上的数字最小的概率是（ ）A ．1027B ．13C ．16D ．754【例32】 （08辽宁）4张卡片上分别写有数字1234，，，，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【例33】 （2006年北京卷理）在12345，，，，这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）A ．36个B ．24个C ．18个D ．6个【例34】 （2007年上海卷文）在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）．【例35】 （全国）从数字中，随机抽取个数字（允许重复），组成一个三位数，其各位数字之和等于的概率为（ ）0412345，，，，39A ．B ．C ．D ．【例36】 从02468，，，，这五个数字中任取2个偶数，从13579，，，，这五个数字中任取1个奇数，组成没有重复数字的三位数，求其中恰好能被5整除的概率．【例37】 电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（ ）A ．1180B ．1288C ．1360D ．1480【例38】 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1218，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（ ）A ．151B ．168C ．1306D ．1408【例39】 （2009浙江17）有20张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数k ，1k +，其中0,1,2,,1k =．从这20张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和（例如：若取到标有9，10的卡片，则卡片上两个数的各位数字之和为91010++=）不小于14”为A ，则()P A =_____________．【例40】 在900张奖券（奖券号是100999-）的三位自然数中抽一张奖券，若中奖的号码是仅有两个数字的相同的奖券，求中奖面是多少？13125161251812519125【例41】 某城市开展体育彩票有奖销售活动，号码从000001到999999，购买时揭号对奖，若规定从个位起，第一、三、五位是不同的奇数，第二、四、六位均为偶数（可以相同）时为中奖号码，求中奖面所占的百分比．【例42】 袋中装有2个5分硬币，3个二分硬币，5个一分硬币，任意抓取3个，则总面值超过1角的概率是（ ）A ．115B ．215C ．1315D ．1415【例43】 （2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为________．【例44】 任取一正整数，求该数的平方的末位数是1的概率．【例45】 摇奖器摇出的一组中奖号码为825371，，，，，，对奖票上的六个数字是从0129，，，，这十个数字中任意选出六个不同数字组成的．如果对奖票上的六个数字中至少有五个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，则中奖的概率为（ ）A ．17B ．130C ．435D ．542【例46】甲乙两人各有相同的小球10个，在每人的10个小球中都有5个标有数字1，3个标有数字2，2个标有数字3．两人同时分别从自己的小球中任意抽取1个，规定：若抽取的两个小球上的数字相同，则甲获胜，否则乙获胜，求乙获胜的概率．【例47】（2010西城一模）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．⑴若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率；⑵若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．排列组合相关【例48】一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘．若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey”的概率为______．【例49】已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支．求：⑴A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；⑵A组中至少有两支弱队的概率．【例50】 某班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加校数学竞赛，求：⑴恰有一名参赛学生是男生的概率；⑵至少有一名参赛学生是男生的概率；⑶至多有一名参赛学生是男生的概率．【例51】 （2009上海文）若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）．【例52】 有十张卡片，分别写有A 、B 、C 、D 、E 和a 、b 、c 、d 、，⑴从中任意抽取一张，①求抽出的一张是大写字母的概率；②求抽出的一张是或的概率；⑵若从中抽出两张，③求抽出的两张都是大写字母的概率；④求抽出的两张不是同一个字母的概率；【例53】 某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为 ．（结果用分数表示）【例54】 （06江西）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数e A a为a ，甲、乙分到同一组的概率为p ，则a p ，的值分别为（ ）A ．510521a p ==，B ．410521a p ==，C ．521021a p ==，D ．421021a p ==，【例55】 （2009江西10）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（ ）A ．3181B ．3381C ．4881D ．5081【例56】 （2006上海）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是______（结果用分数表示）．【例57】 （2008四川延8）在一次读书活动中，一同学从4本不同的科技书和2本不同的文艺书中任选3本，则所选的书中既有科技书又有文艺书的概率为（ ）A ．15B ．12C ．23D ．45【例58】 停车场有10个排成一排的车位，当有7辆车随意停放好后，恰好剩下三个空位连在一起的概率为_______；【例59】 6个人坐到9个座位的一排位置上，则3个空位互不相邻的概率为 ．【例60】 右图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）A ．445B ．136C ．415D ．815【例61】 （2009四川文）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡），某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客，在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡． ⑴ 在该团中随即采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；⑵ 在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．【例62】 （08湖南）对有(4)n n ≥个元素的总体{}12n ，，，进行抽样，先将总体分成两个子总{}12m ，，，和{}12m m n ++，，， （m 是给定的正整数，且22m n -≤≤），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P = ；所有(1)ij Pi j n <≤≤的和等于 ．题型三 结合其他知识的综合题及杂题【例63】 已知ABC ∆的三边是10以内（不包含10）的三个连续的正整数，求ABC ∆是锐角三角形的概率．【例64】 （07湖北）连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则(0]2θ∈π，的概率是（ ） A ．512 B ．12 C ．712 D ．56【例65】 考虑一元二次方程20x mx n ++=，其中m n ，的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率．【例66】 （07四川） 已知一组抛物线2112y ax bx =++，其中a 为2468，，，中任取的一个数，b 为1357，，，中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x =交点处的切线相互平行的概率是（ ）A ．112B ．760C ．625D ．516【例67】 （2009安徽）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）A ．175B ．275C ．375D ．475【例68】 从正二十边形的对角线中任取一条，则其与此正二十边形的所有边都不平行的概率为_____．杂题【例69】 某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆．⑴共有多少个基本事件？⑵小曹能乘上上等车的概率为多少？【例70】李明手中有五把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，只好逐把试开，⑴李明恰在第三次打开房门的概率是多大？⑵李明三次内打开房门的概率是多大？【例71】张三和李四玩“棒子、老虎、鸡、虫子”的游戏（棒子打老虎，老虎吃鸡，鸡吃虫子，虫蛀棒子），他们同时报其中一个的名字，如果出现的不是以上相邻的两个（比如出现老虎与虫子），则算平局，求⑴出现平局的概率；⑵张三赢的概率．【例72】某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车．假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率：⑴该车在某停车点停车；⑵停车的次数不少于2次；⑶恰好停车2次．【例73】【例74】（2010石景山一模）为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有6家企业参与竞标．其中A企业来自辽宁省，B、C两家企业来自福建省，D、E、F三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．⑴企业E中标的概率是多少？⑵在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？。
第4节古典概率(2),几何概率,条件概率
在甲省中抽到一名 女生的概率
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说明: 说明: 是在原条件下又添加" 1) 条件概率 P ( B A)是在原条件下又添加"A 发生" 发生的可能性的大小, 发生"这个条件时 B 发生的可能性的大小, 也是概率. 即 P ( B A)也是概率. 2) P(B) 和 P ( B A)的区别 概率 P ( B A)又附加" A已发生"这样一个前 又附加" 已发生" 提条件, 提条件,因此条件概率 P ( B A) 和无条件概率 P(B) 作比较的话, 作比较的话,条件概率 P ( B A) 的样本空 的样本空间. 间要小于无条件概率 P(B)的样本空间. 一般的情况: 一般的情况:P ( B A) ≠ P ( B )
P( AB) = P( A)
在缩小的样本空间里来 进行计算. 进行计算.
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(一) 条件概率的定义 是两个事件, 设 A, B 是两个事件,且 P( A) > 0 ,称
P( AB) P(B A) = P( A)
发生的条件 为在事件 A 发生的条件下事件 B发生的条件 概率; 概率;
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例1 掷一颗均匀的骰子,设事件 A为掷出偶数点, 掷一颗均匀的骰子, 掷出偶数点, 为掷出2 事件 B 为掷出2点,求 (1) P( A); (2) P(B);
(3) P(B A);
3 1 解:(1) P( A) = = 6 2 1 (2) P(B) = 6 1 (3) P(B A) = 3
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古典概率与几何概率(教师版
第25讲：古典概率与几何概率一、必备知识1、基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2、古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果． (2)每一个试验结果出现的可能性相等．3、如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的1n概率P (A )＝ .mn 4、古典概型的概率公式P (A )＝.事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数[难点正本 疑点清源]1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．2．从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故P (A )＝＝.card (A )card (I )mn 方法与技巧1．古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个． 2．确定基本事件的方法 列举法、列表法、树形图法． 5、几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． 6、几何概型中，事件A 的概率计算公式P (A )＝.构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)7、要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． [难点正本 疑点清源]1．几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关．2．求试验中几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域Ω的几何度量，然后代入公式即可求解． 3．几何概型的两种类型(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时．(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．二、典型例题 考点一 基本事件例1、有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用表示结果，其中表示第1颗正四面体玩具出现的点数，表(,)x y x y 示第2颗正四面体玩具出现的点数．试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于3”； (3)事件“出现点数相等”。
概率_古典概型与几何概型.知识框架
要求层次 重难点
古典概型 古典概型
B
（1）古典概型 ① 理解古典概型及其概率计算公式． ② 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． （2）随机数与几何概型 ① 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． ② 了解几何概型的意义．
几何概型 几何概型 B
高考要求
模块框架
概率：古典概型与几何概型
版块一：古典概型
1．古典概型：
如果一个试验有以下两个特征： ⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； ⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的． 称这样的试验为古典概型．
2．概率的古典定义：
随机事件A 的概率定义为()P A =A 事件包含的基本事件数
试验的基本事件总数
．
版块二：几何概型
几何概型
事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．
几何概型中，事件A 的概率定义为()A P A μ
μΩ
=，其中μΩ表示区域Ω的几何度量， A μ表示
区域A 的几何度量．
知识内容。
概率论与数理统计第3节 古典概型与几何概型
S 1,
S(A)
2
3 1
3
(1
x
2 9
1 )dx x
1 2 ln 2;
69
因此所求事件A的概率为：
P( A)
A的面积 的面积
1 6
2 9
ln
2
1
2
ln
2.
1
69
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内容小结
1. 古典概型:
(1) 试验结果有限个 ;
(2)每种结果出现是等可能 的;
解：样本空间的样本点有100 个，设A表示“取到的整数能 被6整除”,B表示“取到的整数能被8整除”；
令A中的样本点为x 个，则有：6x 100, 解得：x 16; 令B中的样本点为y 个，则有：8y 100, 解得：y 12; 令AB中的样本点为z 个，则有：24z 100, 解得：z 4; 于是取到的整数能被6或8整除的概率为：
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那么问题来了，请问如果你是参赛者，为了得到门后的跑车大 奖，你会做哪种选择，使得自己获奖的概率会更大呢？
或者增加点难度，换和不换的获胜概率分别是多少呢？
为了避免歧义和误解，先明确游戏具有如下的限制条件：
1.参赛者只能在三扇门中挑选一扇，而且他并不知道内里 有什么。
2.主持人却是明确知道每扇门后面有什么。 3.主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门 的机会。
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一、古典概型
例5的结果表明，这是一个小概率事件。 人们在长期的实践中，总结出了所谓的“实际推断原理”： 概率很小的事件在一次试验中实际上几乎不可能发生。 但例5表明概率很小的事件在一次试验中竟然发生了， 因此有理由怀疑假设的正确性，而断言该女士却有这种分辨能力， 即她的说法是可信的。 这种推断思想在第8章的假设检验中十分有用。