【2021高考数学】第3节 相关性、最小二乘估计与统计案例

第3节相关性、最小二乘估计与统计案例

考试要求 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用

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知识梳理

1.变量间的相关关系

(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系.

(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关.

2.回归分析

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求回归直线方程；(ⅲ)用回归直线方程作预报.

(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两

1

个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线.

(2)回归直线方程的求法——最小二乘法.

设具有线性相关关系的两个变量x，y的一组观察值为(x i，y i)(i＝1，2，…，n)，则回归直线方程y＝a＋bx的系数为：

其中x＝1

n

∑

i＝1

n

x i，y＝

1

n

∑

i＝1

n

y i，(x，y)称为样本点的中心.

（3）相关系数

当r＞0时，表明两个变量正相关；

当r＜0时，表明两个变量负相关.

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.

r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.

3.独立性检验

（1）设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1,A2=1A；变量B：B1,B2=1B.

2×2列联表

B B1B2总计

1

构造一个随机变量χ2＝

n（ad－bc）2

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）

n＝a＋b＋

c＋d为样本容量.

(2)独立性检验

利用随机变量来判断“两个变量有关联”的方法称为独立性检验.

(3)当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断

①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B 是没有关联的；

②当χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；

③当χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；

④当χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联.

[常用结论与微点提醒]

1.求解回归方程的关键是确定回归系数a，b，应充分利用回归直线过样本点的中心(x－，y－).

2.根据回归方程计算的y值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.

3.根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两分类变量有关的把握越大.

1

诊断自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.( )

(2)通过回归直线方程y＝bx＋a可以估计预报变量的取值和变化趋势.( )

(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值.( )

(4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2值越大.( )

答案(1)√(2)√(3)√(4)√

2.(老教材选修1－2P21问题提出改编)为调查中学生近视情况，测得某校在150名男生中有80名近视，在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力( )

A.回归分析

B.均值与方差

C.独立性检验

D.概率

解析“近视”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断.

答案 C

3.(老教材选修1－2P7讲解改编)两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是( )

A.模型1的相关系数r为0.98

B.模型2的相关系数r为0.80

C.模型3的相关系数r为0.50

D.模型4的相关系数r为0.25

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