系统的频域分析方法.
四、线性系统的频域分析法
其中： A()Ac (j) 幅频特性
A
() (j) 相频特性
RC网络频率特性的物理意义：
1 A()
0.707
频带宽度
b
01 2 3 4 5
TTTT T
() 0
相角迟后
90
01 2 3 4 5
TTTT T
对稳定的线性系统，其频率特性如下：
设： (s)C R ((s s))b a 0 0 ssm n b a 1 1 s sm n 1 1 .... a .b .m n 1 1 s s a b n m
微分环节： s 惯性环节： 1/(Ts1) 一阶微分环节： Ts1
振荡环节： 1 /s (2/ n 2 2s/ n 1 )0 , 1
二阶微分环节： s2/n22 s/n 1 ,01
例如：G(s)s(0.5s K 1()ss( 21 )2s5) 由上述的5个环节组成。
A()1/ ()900
db 60 40 20 0 900
[20]
0.1
1
j
0
幅相曲线
对数频率特性曲线
L()2l0g A()
20lg () 900
10
3）微分环节： s 由 G(s)s
A() ()900
db 60 40 20 0 90 0 00
uc
ur
ur Asi nt c u c
设初值为0， 对上式拉氏变换，设A=1，得：
Uc(s)RC 1s1Ur(s) s1/1T/Ts2 2
RC网络
TRC
s1x/Tsy2sz2 (xy)s2( s (z1 /T y)/T s(2) s x 2 )2z/T
控制系统频域分析
控制系统频域分析控制系统频域分析是对控制系统的频率特性进行研究和评估的方法。
它通过在频域上分析信号的幅值和相位响应，帮助我们了解系统的稳定性、性能以及对不同频率输入的响应。
一、引言控制系统在现代工程中起着至关重要的作用。
通过对系统的频域特性进行分析，我们可以更好地理解和优化控制系统的性能。
二、频域分析的基本概念1. 频率响应控制系统的频率响应描述了系统对不同频率输入信号的响应能力。
通过频率响应，我们可以了解系统在不同频率下的增益和相位特性。
2. 幅频特性幅频特性是指系统输出信号的幅度与输入信号的频率之间的关系。
通常用幅度曲线图来表示，可以帮助分析系统的放大或衰减程度。
3. 相频特性相频特性描述了系统输出信号的相位与输入信号的频率之间的关系。
相位曲线图可以帮助评估系统的相位延迟或提前程度。
三、常见的频域分析方法1. 频率响应函数频率响应函数是一个复数函数，可以描述系统的幅频和相频特性。
常见的频率响应函数包括传递函数和振荡函数等。
2. Bode图Bode图是一种常用的频域分析工具，可以将系统的幅频和相频特性直观地表示出来。
它以频率为横轴，幅度或相位为纵轴，通过线性坐标或对数坐标来绘制。
3. Nyquist图Nyquist图是一种使用复平面来表示频率响应的图形。
它可以帮助我们判断系统的稳定性，并评估系统的相位边界和幅度边界。
四、频域分析的应用频域分析在控制系统设计和优化中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 系统稳定性分析通过频域分析，我们可以判断系统是否稳定，以及如何设计控制器来维持或改善系统的稳定性。
2. 性能评估频域分析可以帮助我们评估系统的性能，比如响应时间、超调量等。
通过调整系统的频率响应，我们可以提高系统的性能。
3. 滤波器设计频域分析在滤波器设计中起着重要的作用。
通过分析系统的频率响应，我们可以设计出满足特定要求的滤波器。
4. 控制系统建模频域分析可以帮助我们建立控制系统的数学模型，从而更好地理解和优化系统的性能。
控制系统频域分析
控制系统频域分析1. 引言频域分析是控制系统理论中的重要内容之一，它可以帮助工程师们深入了解控制系统的特性和性能。
通过对系统在频域上的响应进行分析，可以得到系统的频率响应曲线和频率特性，从而更好地设计和调节控制系统。
本文将介绍控制系统频域分析的基本概念、常用方法和应用场景。
2. 控制系统频域分析的基本概念2.1 传递函数传递函数是描述系统输入与输出之间关系的数学模型。
对于线性时不变系统，其传递函数可以用拉普拉斯变换表示。
传递函数的频域特性可以通过对传递函数进行频域变换得到。
2.2 频率响应频率响应是控制系统在不同频率下的输出响应，它是描述系统在不同频率下性能的重要指标。
频率响应可以通过传递函数的频域特性来分析。
2.3 增益余弦图增益余弦图是描述控制系统增益和相位随频率变化的图形。
在增益余弦图中，横轴表示频率，纵轴表示增益和相位角。
通过分析增益余弦图，可以得到系统的幅频特性和相频特性。
3. 控制系统频域分析的常用方法3.1 简单频率响应分析简单频率响应分析是最基本也是最常用的频域分析方法之一。
它通过对系统输入信号进行正弦波信号的傅里叶变换，得到系统的频率响应曲线。
常用的频率响应曲线有幅频特性曲线和相频特性曲线。
3.2 Bode图Bode图是一种常用的频域分析方法，它将系统的增益和相位角随频率变化的情况绘制在一张图中。
通过分析Bode图，可以得到系统的幅频特性和相频特性，并进行系统的稳定性分析。
3.3 Nyquist图Nyquist图是一种用于分析系统稳定性的频域分析方法。
它将系统的传递函数关联到一个复平面上，通过对系统传递函数的频域特性进行分析，可以得到系统的稳定性信息。
Nyquist图可以帮助工程师们更好地设计和调节控制系统。
4. 控制系统频域分析的应用场景频域分析在控制系统设计和调节中有广泛的应用场景。
以下是几个常见的应用场景：4.1 控制系统稳定性分析通过对控制系统的频域特性进行分析，可以判断系统的稳定性。
系统的频域分析
6 系统的频域分析 p 5
Yzs (jw)= H(jw) F(jw)
Yzs ( jw ) 或 : H ( jw ) H ( jw ) e j (w ) F ( jw )
如果信号不存在傅氏变换时，不可以用频域分析方法。 在本教材中，没有特别提示时，涉及到H(jw) 的求解， 都指满足IR条件的LTI因果系统，即不考虑初始状态的影响， 即满足：
4/RC
w
随着频率的增加，系统的幅度响应|H(jw)|不断减小，说明信号 的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大，即低通。 由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把wc=1/RC称为该系统的3db截频。
6 系统的频域分析 p 13
连续信号通过系统响应的频域分析
在此就是求零状态响应。又称：零状态响应的频域分析法
H ( jw ) FT[h(t )]
1 1 jw 1 jw 2 1 ( jw ) 2 3( jw ) 2
6 系统的频域分析 p 9
例 LTI系统，输入 f(t)＝e –t u(t)，输出 y(t)= e-tu(t) + e2tu(t) ，求频率响应H(jw)和h(t)。
部分分式展开
1 3( jw ) 3 jw 44 Yzs ( jw ) Fzs ( jw ) H ( jw ) jw ) 22 jw 2 (jw 3 1)((jw )(3 jw 3)
1 -t 5 - 3t - 2t y zs (t ) FT [Yzs ( jw )] [ e 2e - e ]u (t ) 2 2
j wC
由Fourier反变换，得系 统的冲激响应h(t)为：
6 系统的频域分析 p 12
1 -(1 / RC)t h(t ) e u(t ) RC
频域分析方法
解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，
最后求和（积分）。 在某频率点 ω ，实际（复）振幅是一个无穷
小量：
E&(ω) = lim 1 E( jω) = lim Ω E( jω) = E( jω) dω
T→∞ T
Ω→0 2π
2π
所以其响应为：
∴R& (ω) = H( jω)E&(ω) = H( jω)E( jω) dω 2π
4、系统的频率特性
H ( jω) 在特定 ω 点上的取值实际上表示了系统
对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。由
H ( jω ) 可以引出系统的频域特性：
1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各 个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信 号幅度和相位的影响。
2）频率特性曲线 系统的传输特性也可以用图形的方法表示。
如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证
明只有 R( jω ) ⋅ e jωt 可能是系统对 E( jω ) ⋅ e jωt 信
号的响应。
令系统的传输函数为：
H ( jω) = bm ( jω )m + bm−1( jω )m−1 + ... + b1( jω ) + b0
( jω )n + an−1( jω )n + ... + a1( jω ) + a0 它实际上可以将时域中的转移算子 H ( p) 中的算 子 p 用 jω 替代后得到。这里的 H 完全是一个代
E(
jω )
= H ( jω)E( jω)
非周期信号通过线性系统的 rzs 求解公式还 有第三种推导方法： 根据卷积积分公式，有：
r(t) = e(t) ⊗ h(t)
第五章线性系统的频域分析法
对 A(ω ) 求导并令等于零，可解得 A(ω ) 的极值对应的频率 ω r 。
ω r = ω n 1 2ζ 2
该频率称为谐振峰值频率。可见，当 ζ = 当ζ
> 1 2
s = jω
G( jω) =| G( jω) | e
j∠G( jω)
= A(ω)e
j (ω)
G( jω) = G(s) |s= jω
G( jω) = G(s)|s= jω =| G( jω)| e j∠G( jω) = A(ω)e j(ω)
A A j (ω ) k1 = G( jω ) e k2 = G( jω ) e j (ω ) 2j 2j
可以作为系统模型
G( jω) = G(s) |s= jω = G( jω) e j(ω)
定义 幅频特性
A(ω ) =| G( jω ) |
(ω ) = ∠G ( jω )
它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 相频特性
它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； 它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； 幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 G ( jω ), 频率特性。 频率特性 G ( jω ) = A(ω )e j (ω ) ，它也是 ω 的函数。G( jω) 称为频率特性 还可将 G ( jω ) 写成复数形式，即
A(ω ) = 1 1 + T 2ω 2 ,
G (s) =
1 Ts + 1
G ( jω ) =
1 jT ω + 1
(ω ) = tg 1T ω
幅频特性 L(ω) = 20log A(ω) = 20log K 20log 1+ T 2ω2 低频段：当Tω << 1时，ω 高频段：当 Tω >> 1时， ω
线性系统的频域分析法
5.1 频率特性
lg
1 0
2
0.301
3
0.477
4
0.602
5
0.699
6
0.778
7
0.845
8
0.903
9
0.954
10
1
※※
( )
40
20 0dB -20 -40
2、对数频率特性曲线 [ 伯德（Bode）图 ]
L ( ) 20 lg A( ) 20 lg G ( j ) ( dB )
L ( ) 20 lg (T ) 1 20 lg T
2
当 T 即 T 1 时
L(ω)dB 40 20 0dB -20 - 40
1
T
1 T
当
1 T
时 时
20 lg T 0
20 lg T 20
dB
dB
10 T
频 率 特 性 ： G ( j ) 1 j T 1
( ) tg T
1
A ( )
1 T 1
2 2
ω 1/10T φ (ω )(度) -5.7 L(ω )（dB）
从到值 取 代入计算,得
对数幅频特性曲线 Bode图如右
1/5T -11.3
1/2T -26.6
2.频域法的基本思想：利用系统的开环频率特 性来分析闭环响应。对系统进行定性分析和定量 计算。
3.频率特性的性质 考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应 来分析系统的动态性能和稳态性能。
有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并 不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率 由低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。 因此，这种响应也叫频率响应。
第五章(1,2) 线性系统的频域分析法解析
用频率特性求取正弦输入稳态误差的方法：
正弦输入稳态误差求法总结： 1.定义法，求拉式反变换（不能 用终值定理） 2.动态误差系数法 3.频率响应法
2.频率特性的几何表示法（图示法）（重点）
仅从G( j)的表达式中看出的信息不直观，在工程分析和 设计中，通常把线性系统的频率特性画成曲线，观察其在不 同频率段上的变换，再运用图解法进行研究（包括稳态性能、 暂态性能等）。常用的频率特性曲线有三种：
第五章 线性系统的频域分析法
时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直 观、精确。但往往需要求解复杂的微分方程。
复域分析法(根轨迹法)是一种在S平面上由开环零 极点绘制闭环系统特征根的图形分析法。
频域分析法也是一种图解分析法。依据系统的频 率特性，间接地揭示系统正弦输入信号下的暂态特 性和稳态特性。也是一种工程上常用的方法。
1
Re[G(jω)]
0
不足：计算繁琐。不直观，无法看出每个零极 点的影响。增添新的零极点时，只能重新计算。 看不出ω的变化速度。
单位：弧度/秒
半对数坐标系的优点：
对数频率特性采用 的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在较大频
率范围内反映频率特性的变化情况。对数幅频特性采用 20lg A()则将幅值的乘 法运算转化为加减运算，可以简化曲线的绘制过程。
对数幅相图实质上将伯德图的两张图合成一张图。
5-2 典型环节与开环系统的频率特性
设典型的线性系统结构如图所示，闭环系统的很多 性能可通过研究开环系统的频率特性来得到。
该线性系统的开环传递函数为 G(s，)H (为s) 了研究开 环系统频率特性曲线，本节先研究开环系统典型环节 的频率特性，进一步研究开环系统的频率特性。
1.频域特性的基本概念 （这种数学模型是怎样的？）
第18讲 系统的频域分析法
5.线性系统无失真传输条件
无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只 是幅度大小与出现时间先后不同，而无波形上 的变化。
5.线性系统无失真传输条件
如果输入信号为
f (t ) 无失真传输系统的输出信号应为
y(t ) Kf (t t0 )
对上式进行傅里叶变换，并根据时移特性，得到
Y ( j) KF ( j)e jt0
第3章 信号与系统的频域分析
•本章介绍系统的频域分析方法。首先给出系统频率特性的 概念和物理意义，从系统频率特性对输入信号频谱为达到特 定功能而进行调整的角度，讨论输出信号的频谱，进而求系 统对任意信号的响应。
•通过学习采样定理，进一步理解时域和频域的对应关系。
•本章还结合系统频域分析方法，介绍一些工程应用中非常 重要的概念，例如，无失真传输系统、理想低通滤波器、信 号的调制与解调等等。
本章主要内容
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
周期信号的分解与合成 周期信号的频谱及特点 非周期信号的频谱 傅氏变换的性质与应用（1） 傅氏变换的性质与应用（2）
本章主要内容
3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
周期信号的频谱 系统的频域分析 无失真传输系统与理想低通滤波器 取样定理及其应用 频域分析用于通信系统
第3章 信号与系统的频域分析
•本章首先以正弦、余弦或复指数函数为基本信号，通过傅里叶级 数将信号分解为这些基本信号之和，引出周期信号频谱，并讨论 其特点。 •通过讨论周期信号周期趋于无穷大时频谱的变化，引出傅里叶变 换定义，并学习常用基本信号的频谱密度函数（频谱）。 •傅里叶变换建立了信号时域与频域表示之间的联系，而傅里叶变 换的性质则揭示了信号时域变化相应地引起频域变化关系。 •从频谱密度角度理解周期信号的频谱，使周期与非周期信号统一 用傅里叶变换作为分析工具。
LTI系统的频域分析
y(t ) h(t )* fT (t ) Fn [h(t )*e jnt ] Fn H ( jn) e jnt n n 若
则可推导出
A0 y(t ) H (0) An | H ( jn) | cos[nt n (n)] 2 n 1
h( ) e j d
y(t ) H ( j) e
j t
H ( j )反映了响应y(t)的幅度和相位。
二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应
e
1 2
j t
H(j ) ej t
1 2
齐次性
1 j t F ( j ) e d 2
F(j )H(j ) ej t d
FT [TS (t )] S
n
( n
S
)
如果f(t)是带限信号[即f(t)的频谱在（- m，m) 为有限值，而其余区间为0]。
设f(t)←→F(j)，取样信号fS(t)的频谱函数
1 FS ( j ) F ( j )* S ( nS ) 2 n 1 F[ j ( n S )] TS n
f (t )
FT FT
F ( )
1 2
相乘
1 Fs ( ) F ( ns ) Ts n
s
相卷积
T (t )
n
(t nT )
FT
FT
p( ) s
n Βιβλιοθήκη ( ns
)
在画取样信号fS(t)的频谱时，设定ωS ≥2ωm ,这时 其频谱不发生混叠，因此能设法(如利用低通滤波器)， 从FS(j)中取出F(j)，即从fS(t)中恢复原信号f(t)。 否则将发生混叠，而无法恢复原信号。
实验四 线性系统的频域分析
实验四线性系统的频域分析
线性系统的频域分析是一种利用线性系统的响应特性来提高系统性能的有效手段，它
在系统设计中起着重要的作用。
其主要思想是将系统的响应特性根据其与频率之间的关系
进行分割，从而更好地理解该响应的物理规律。
本文的目的是介绍线性系统的频域分析方法。
线性系统的频域分析分为时域分析和频域分析两种技术。
时域分析是检测一个系统在
其他变量没有变化时，系统输出信号形状及其随时间变化趋势的一种分析方法。
时域分析中，将系统的输入和输出逐样本放入示波器进行分析及测试。
频域分析是通过将系统的输
入和输出信号进行频谱分析，将它们映射到频率轴上进行分析的一种方法。
在频域分析中，我们可以通过频谱分析仪、傅里叶变换、系统增益、阶跃响应等技术来检测系统响应的特性，得出系统的频率响应函数，从而研究系统是否属于线性系统。
线性系统的频域分析一般步骤如下：
1、定义时域函数并将其傅里叶变换，从而得到其频域函数；
2、计算系统的增益及其全频响应曲线，以便了解频率和增益之间的关系；
3、根据阶跃响应的拟合结果，利用积分和微分的技巧，确定系统的阶跃函数；
4、选择优化算法，进行系统参数优化调整，使系统达到所需要的设计目标。
以上就是线性系统的频域分析方法介绍，从分析输入输出信号，到频域拟合分析，再
到进行参数优化调整，这一系列的步骤可以帮助我们更好的理解系统的物理机理，实现系
统的最佳设计性能。
系统的频域分析法
4.系统的频域分析
系统的频域分析不如第4章将要学习的拉普拉斯变换分 析法方便。但是，频域分析法从频谱改变的观点来解释 激励与响应波形的差异，物理概念清楚，反映了系统本 身是一个信号处理器。
Y ( j) H ( j)F( j) H ( j) F( j)ej ()
思考与练习
1 已知系统的微分方程为 y (t) 10y (t) 6y(t) 3y(t) 12 f (t) 8 f (t) ，写出该系统的 频域系统函数 H ( j) 的表达式。 2 已知某系统的频率特性 H ( j) 如图(a)示， f (t) 的波形如图题(b)所示。求响应 y(t) 的 频谱Y ( j) ，并画出Y ( j) 的图形。
5. 无失真传输系统
F( j) 4 () 2[ ( 1) ( 1)] 2[ ( 2) ( 2)]
（2）由给出的频响曲线求系统函数
H
(
j)
(2
)e
j
2
0
2 2
(3)求零状态响应的频谱
Y
(
j)
F(
j)H
(
j)
8 ()
2 e
j
2
(
1)
2 e
j 2
(
1)
例3：一线性时不变系统的频率特性曲线如图所示，激
e j t h ( ) e j d H ( j
) e j t
H(j)为h(t)的傅里叶变换，称为频域系统函数或系
统的频率响应。
1.系统的频率响应
在频域，系统激励和响应之间的关系为
Y ( j) H ( j)F( j) H ( j) F( j)ej ()
系统的频率响应改变了激励信号的频谱，根据系统 要 求对输入信号的频率分量进行加权，使某些频率 分量 增强，而使另一些频率分量削弱或不变，且每 个频率 分量在传输过程中都产生各自的相移。
信号与系统的频域分析
信号与系统的频域分析信号与系统是电子、通信、自动控制、计算机等领域的重要基础课程，频域分析是其中的重要内容之一。
频域分析是指将信号在频域上进行分析和处理，通过分析信号的频谱特性和频率分量来了解信号的频率成分和频率响应。
一、频域分析的基本概念和原理频域分析是将时域信号转换为频域信号的过程，可以通过傅里叶变换来实现。
傅里叶变换是一种将非周期信号或有限时长的周期信号分解为一系列基础频率分量的技术，可以将信号在频域上进行表达和处理。
在频域中，信号的频率成分和相对能量分布可以清晰地呈现出来，方便人们对信号进行分析和理解。
二、傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数是用来分解周期信号为一系列余弦和正弦函数的技术，适用于周期信号的频域分析。
傅里叶级数展开后，通过求解各个频率分量的振幅和相位，可以得到该周期信号在频域中的频率成分和能量分布。
傅里叶变换是对非周期信号或有限时长的周期信号进行频域分析的方法。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，得到信号的频谱特性。
通过傅里叶变换，可以将时域中的信号分解为一系列基础频率分量，同时还可以得到每个频率分量的相位和振幅信息。
三、频域分析的应用频域分析在信号处理和系统分析中广泛应用。
在通信系统中，频域分析可以用于信号调制、解调和信道估计等方面。
在音频和视频信号处理中，频域分析可以用于音频和视频编码、去噪和增强等技术。
在自动控制系统中，频域分析可以用于系统的稳定性和响应特性分析。
四、常见的频域分析方法除了傅里叶变换外，还有一些常见的频域分析方法，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、功率谱密度分析（PSD）等。
这些方法在不同的领域和应用中有着各自的优缺点和适用范围。
熟练掌握这些方法的原理和使用技巧，可以更好地进行频域分析和信号处理。
五、总结频域分析是信号与系统领域中重要的理论和实践内容，通过分析信号在频域上的频率成分和能量分布，可以深入理解信号的特性和系统的行为。
傅里叶变换作为频域分析的核心工具，能够将信号在时域和频域之间进行转换，为信号处理和系统分析提供了强有力的工具。
第6章信号与系统控制的频域分析法
▪ 系统的频域分析法则以虚指数信号 e j t 作为基本信号，对 LTI系统进行分析。
▪ 系统的频域分析法如图6.2-35所示。
f (t)
LTI 系统
yf (t)
-1
F ( j)
GH ( j)
Y f ( j)
图6.2-35 系统的频域分析法
▪ 利用时域分析中，LTI系统的零状态响应 Yf (t)可通过外作
6.1.2 频域分析法的特点
1）明确的物理意义——信号的频谱分析，揭示了信号的基本组成 和能量的主要分布；系统控制的频域分析，则明确了系统的基 本滤波性能。
2）图解与渐近逼近——信号的“离散”或“连续”频谱，非常直 观、明析；系统控制的 Bode图则可以快速、渐近画出，且容易 修正、逼近，因而具有简单、形象、基本准确的特点。
“信号的频域（频谱）分析”利用信号的频率特性，将 周期信号分解为一系列不同频率的正弦信号（序列）或虚指 数信号（序列）的叠加；将非周期信号分解为相应信号（序 列）的频谱函数的积分。这种分解具有明显的物理意义，在 通信、控制等工程实际中得到了广泛应用。
“系统控制的频域分析”是一种图解法，可以渐近画出 系统的频率特性曲线，具有简单、形象、快速的特点；不仅 可以利用系统的开环频率特性（Bode图）去判断系统的闭环 性能，而且能够方便地分析系统参量对系统暂态响应的影响， 确定改善系统性能的方法与途径。系统的频域特性具有明确 的物理意义，可以用实验方法测定；可以通过实验帮助解决 数学建模问题。
6.1 频域分析法及其特点
▪ 6.1.1 什么是频域分析法 ▪ 6.1.2 频域分析法的特点
6.1.1 什么是频域分析法
频域分析法（ 傅立叶 —— J.Fourier, 1768～1830 ）是 一种变换域分析方法，是三大工程分析方法中最重要、最常 用的方法。所谓频域分析，即在频率域（简称频域）内分析、 研究信号与系统控制的问题，包括“信号的频域（频谱）分 析”和“系统控制的频域分析”两方面。
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Y j F j
R
1/ jC jL 1/
jC
j2
LC
1
jRC
1
2、系统的频域分析 由卷积定理我们可以得到频域分析法的基本方框图表示，
如图2-29所示。
f t
F j
h t
H j
yzs t f t ht
Y j F jH j
例 2-16
已知系统函数
H j
j 3
j 1 j
2
，激励
x t
1 t x d
T
y t
延时T
解 先求出系统的单位响应 ht ，当零阶保持电路的
f t t 时
xt t t T
yt 1 ut ut T ht
T
对上式求傅氏变换，得到
H j F
ht F
1 T
ut
ut
T
1 1 e jT jT
Sa
T
e
j
T 2
2
或利用系统各部分的傅氏变换求解。 第一部分是加法器，输出为
R
L
+
f t
-
i t
+
C yt
- 图2-28(a)
解 频域电路如图2-28 (b)所示，由KVL列出方程
R
jL
+
+
F
-
I j
1
jC Y
-
I
j
R
F j
jL 1/
jC
1
Y j I j
1
2
jC
将(1)式代入(2)式
Y j
1/ jC
F j
R jL 1/ jC
得系统频响函数
H j
X j F j 1 e jT
第二部分是积分器，因为 X j0 0 ，所以输出为
Y j 1 X j 1 1 e jT F j
jT
jT
H j Y j/ F j
1 jT
1 e jT
Sa
T
e
j
T 2
2
两种方法结果相同。
ht 与 H 如图2-27所示。
h t
1/T
f t e3tut 。求响应。
例 2-16
已知系统函数
H j
j 3
j 1 j
2
，激励
f t e3tut 。求响应。
解
yt Y j F jH j
Y
j
j
1
1
j
2
1 j 1
1 j 2
yt F 1 Y j et e2t ut
由此例2.5-6看到利用频域分析法，解决了系统的零状 态响应求解。优点是时域的卷积运算变为频域的代数 运算，代价是正、反两次傅氏变换。还可以看到，由 非周期信号产生的响应，必有瞬态响应，与周期信号 激励的稳态响应不同。
j2 3 j 2
(3) 由ht求解
先求出系统的冲激响应 ht ，然后对冲激响应 ht
求傅里叶变换。
例2-14 已知系统的单位冲激响应 ht 5ut ut 2 ，
求系统的频响函数。
解
H
j
5
1 j
1 j
e
j
2
5 1 e j2 j
例2-14 求图2-26零阶保持电路的频响函数。
f t
H
j
Y j F j
j2
j 3 5 j
4
(2) 由转移算子求解
已知稳定系统的转移算子，将其中的 p 用j 替代，即可 以得到系统频响函数。
H j H p
p j
例2.5-2
已知某稳定系统的转移算子
Hp
p2
3p 3p 2
求系统频响函数。
解
H j
3p p2 3p 2
p j
3 j
jC
右边均满足频域（广义）欧姆定律。
将电路中所有动态元件以及激励、响应用频域形式表示，
得到频域电路；再利用频域（广义）的电路定律，用类
似解直流或稳态电路的方法求解。举例说明由频域电路
求解系统函数的方法。
例2-15如图2-28(a)所示电路，输入是激励电压 f t ，
输出是电容电压 yt ，求系统频响函数 H 。
还可以由系统（零状态）输出傅氏变换与输入傅氏变换 表示。 由系统不同的的表示形式，可以用不同的方法得到系 统频响函数。
(1) 由微分方程求解
(1) 由微分方程求解
已知n阶LTI系统的微分方程的一般表示为
d n yt
dt n
an1
d n1 yt
dt n1
a1
dyt
dt
a0
y t
bm
d
m f t
dt m
§2.5无失真传输系统与滤波 无失真传输及滤波等问题是实际应用中经常会遇到的， 本节通过对它们的讨论，进一步掌握频域分析方法。 1、无失真传输系统 在信号传输过程中，为了不丢失信息，理想传输系统应 该不失真的传输信号。人们也称理想传输系统为无失真
b1 j b0 a1 j a0
此式表明 H j 只与系统本身相关，与激励无关。
例2-11 已知某系统的微分方程为
d 2 yt
dt 2
5
dyt
dt
4 yt
df t
dt的频响函数。
解 对微分方程两边同时取傅氏变换，得到
j2 5 j 4 Y j j 3F j
0T t
H
1
4 2
0 2
4
T
T
T
T
(4) 由频域电路求解
此法与§1.8的算子电路法相似，利用频域电路简化运算。
动态元件时域与频域电压电流关系表示为
vL t
L
d dt
iL
t
VL
jL IL
vC
t
1 C
t
iC d
VC
1 jC
IC
上两式中 jL 为频域的感抗值，是电感的频域表示； 1 为频域的容抗值，是电容的频域表示；两个等式
响应是各频率分量响应之和。此外，利用傅氏变换可以 方便的分析系统的频率响应、系统带宽、波形失真、物 理可实现等实际问题。
1、系统的频响函数
设激励是 f t ，系统的单位冲激响应为ht ，系统的初
始状态为零，则系统的响应为
yt yzs t f t ht
对上式两边取傅里叶变换，由卷积定理，可得
Y j F jH j 式中 H j 是系统单位冲激响应的傅里叶变换。
§2.4 系统的频域分析方法 我们已经讨论了两类不同分解复杂信号的方法，一类是 在时域里，将信号分解为许多冲激或阶跃之和；另一类 是在频域里，将信号分解为许多不同频率分量之和。由 两类不同的信号分解方法，导出两类不同求解响应的方 法。在时域里，信号通过线性系统的响应，由激励与系 统冲激响应卷积得到。而在频域里信号通过线性系统的
系统单位冲激响应ht 表征的是系统时域特性，而 H j 表征的是系统频域特性。所以称做系统频率响应函
数，简称系统频响函数或系统函数。
上式还可以表示为
H j
Y j F j
H e j
其中H 是系统的幅（模）频特性， 是系统的相频
特性。
此式表明，H j 除了可由系统单位冲激响应 ht表示，
bm1
d
m1 f t
dt m1
b1
df t
dt
b0
f
t
对上式两边取傅里叶变换并整理
jn an1 j n1 a1 j a0 Y j
bm jm bm1 j m1 b1 j b0 F j
由此得到系统的频响函数为
H
j
Y j F j
bm jm bm1 j m1 jn an1 j n1