2019年高中数学北师大版必修三：第3章 7 习题课含解析

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2019届【北师大版】数学必修三：第三章-概率综合能力测试(含解析)

2019届北师大版数学精品资料【成才之路】高中数学第三章概率综合能力测试北师大版必修3本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对于概率是1‰的事件，下列说法正确的是( ) A ．概率太小，不可能发生 B ．1 000次中一定发生1次C ．1 000人中，999人说不发生，1人说发生D ．1 000次中有可能发生1 000次 [答案] D[解析] 概率是1‰是说明发生的可能性是1‰，每次发生都是随机的，1 000次中也可能发生1 000次，只是发生的可能性很小，故选D.2.从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个黑球与都是黑球B ．至少有1个黑球与至少有1个红球C ．恰有1个黑球与恰有2个黑球D ．至少有1个黑球与都是红球 [答案] C[解析] “从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球”这一事件共包含3个基本事件，关系如图所示. 显然恰有1个黑球与恰有2个黑球互斥但不对立．3．从装有大小相同的3个红球和2个白球的口袋内任取1个球，取到白球的概率为( )A.15 B.13 C ．12 D.25[答案] D[解析] 任取1球，有5种取法，取到1个白球有两种可能，所以取到白球的概率为25.4．某产品的设计长度为20 cm ，规定误差不超过0.5 cm 为合格品，今对一批产品进行测量，测得结果如下表：A.580B.780 C ．1720 D.320[答案] D[解析] P ＝5＋75＋68＋7＝320.5．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4 C ．π6D.π8[答案] B[解析] 总面积2×1＝2.半圆面积12×π×12＝π2.∴p ＝π22＝π4.6．将一枚均匀的硬币先后抛掷两次，至少出现一次正面向上的概率是( ) A.12 B.14 C ．34 D.1[答案] C[解析] 将一枚硬币先后抛掷两次包含的基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)4种可能的结果，至少出现一次正面向上包含了3个基本事件，故所求概率为34.7．(2015·福建文，8)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于()A.16 B.14 C ．38 D.12[答案] B[解析] 由已知得，B (1,0)，C (1,2)，D (－2,2)，F (0,1)(F 为f (x )与y 轴的交点)，则矩形ABCD 面积为3×2＝6，阴影部分面积为12×3×1＝32，故该点取自阴影部分的概率等于326＝14. 8．甲、乙两人随意住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( ) A.14 B.13 C ．12 D.23 [答案] C[解析] 不妨设两间空房为A 、B ，则甲、乙两人随意入住的所有可能情况为：甲、乙都住A ；甲、乙都住B ；甲住A ，乙住B ；甲住B ，乙住A 共4种情况．其中甲、乙两人各住一间的情形有2种，故所求的概率P ＝24＝12.9．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( )A.34 B.14 C ．12D.18[答案] A[解析] 从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条总共有4种情况，依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况：2、3、4或3、4、5或2、4、5，故P ＝34.10.袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是89的是( )A ．颜色全相同 B.颜色不全相同 C ．颜色全不相同 D.无红颜色球[答案] B[解析] 共有3×3×3＝27种可能，而颜色全相同有三种可能，其概率为19.因此，颜色不全相同的概率为1－19＝89，故选B.11．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π[答案] A[解析] 本题考查几何概型的计算方法．设图中阴影面积为S 1，S 2，令OA ＝R ，∴S 2－S 1＝πR 24－π·(R 2)2＝0，即S 2＝S 1，由图形知，S 1＝2(S 扇ODC －S △ODC )＝2[πR224－12·(R 2)2]＝πR 2－2R 28， ∴P ＝S 1＋S 2S 扇AOB ＝π－R 24πR24＝1－2π，充分利用图形的对称性才能求出阴影部分的面积．12.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.78[答案] D[解析] 本题主要考查古典概型概率的求法，关键是求出可能结果的种数．4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况共有24＝16种，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，∴所求概率为1－1＋116＝78.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．口袋中装有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率是0.23，则摸出黑球的概率是________．[答案] 0.32[解析] 白球个数为100×0.23＝23，黑球个数为100－45－23＝32，所以摸出黑球的概率为32100＝0.32.14．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝25外的概率是________．[答案]712[解析] 基本事件空间含有36个基本事件，而“点P 落在圆x 2＋y 2＝25外”含有21个基本事件，所以概率为2136＝712.15．同时抛掷两个骰子，向上的点数之积为偶数的概率为________． [答案] 34[解析] 同时抛掷两个骰子，有6×6＝36种不同结果，朝上一面的点数之积是奇数，当且仅当两个骰子向上一面都是奇数的有3×3＝9个不同结果，∴“朝上一面点数的积为奇数”的概率P ＝936＝14，其对立事件“朝上一面点数的积为偶数”的概率为1－14＝34.16．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于12，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于14，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．[答案]1316[解析] 本题主要考查几何概型． ∵去看电影的概率P 1＝π×12－π122π×12＝34； ∴去打篮球的概率P 2＝π142π×12＝116. 小波不在家看书的概率P ＝34＋116＝1316.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较，在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．(1)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率； (2)求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率．[解析] 设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A ，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B .六种添加剂中任选两种有15种不同选法．(1)芳香度之和等于4的取法有2种：(0,4)，(1,3)，故P (A )＝215.(2)芳香度之和等于1的取法有1种：(0,1)；芳香度之和等于2的法取有1种：(0,2)，所以事件B 的对立事件B 是“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和小于3”，所以P (B )＝215，故P (B )＝1－P (B )＝1315. 18．(本小题满分12分)现从A ，B ，C ，D ，E 五人中选取三人参加一个重要会议，五人被选中的机会均等．求：(1)A 被选中的概率； (2)A 和B 同时被选中的概率； (3)A 或B 被选中的概率．[解析] 基本事件有“ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，CDE ，BCD ，BCE ，BDE ，ADE ”共10个．(1)事件A 被选中包含6个基本事件，即ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE . ∴P 1＝610＝0.6.(2)事件A 和B 同时被选中包含3个基本事件，即ABC ，ABD ，ABE ，∴P 2＝310＝0.3.(3)A 、B 都不被选中只有事件CDE 一种，所以事件A 或B 被选中包含9个基本事件，∴P 3＝910＝0.90.19．(本小题满分12分)袋中有红、黄2种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取两次．求：(1)两次全是红球的概率； (2)两次颜色相同的概率； (3)两次颜色不同的概率．[解析] 因为是有放回地抽取两次，所以每次取到的球可以都是红球，也可以都是黄球．把第一次取到红球，第二次取到红球简记为(红，红)，其他情况用类似记法，则有放回地抽取2次，所有的基本事件有4个，分别是：(红，红)，(红，黄)，(黄，红)，(黄，黄)．(1)两次全是红球的概率是P 1＝14.(2)“两次颜色相同”包含“两次都是红球”与“两次都是黄球”这两个事件互斥，因此两次颜色相同的概率是P 2＝14＋14＝12.(3)“两次颜色不同”与“两次颜色相同”是对立事件，所以两次颜色不同的概率是P 3＝1－12＝12.点拨：可用枚举的方法把所有基本事件列举出来，解(2)、(3)可以考虑用互斥、对立事件求解．20.(本小题满分12分)(2015·北京文，17)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ [解析] (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1，所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．21.(本小题满分12分)已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －2)x －b 2＋16＝0. (1)若a ，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若a ∈[2,6]，b ∈[0,4]，求方程没有实根的概率． [分析] 分别利用古典概型与几何概型的概率公式求解．[解析] (1)易知基本事件(a ，b )共有36个，方程有两正根(借助根与系数的关系)等价于a －2>0,16－b 2>0，Δ≥0，即a >2，－4<b <4，(a －2)2＋b 2≥16，设“方程有两个正根”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(6,1)，(6,2)，(6,3)，(5,3)共4个，故所求的概率为P (A )＝436＝19.(2)试验的全部结果构成区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，a ，b ∈N *}，其面积为16.设“方程无实根”为事件B ，则构成事件B 的区域为{(a ，b )|2≤a ≤6,0≤b ≤4，(a －2)2＋b 2<16}，其面积为14×π×42＝4π.故所求的概率为P (B )＝4π16＝π4.22.(本小题满分12分)某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13s 至18s 之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)；第二组[14,15)……第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)若成绩大于或等于14 s 且小于16 s 认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；(2)设m ，n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m ，n ∈[13,14)∪[17,18]．求事件“|m －n |>1”的概率．[解析] (1)由题中的直方图知，成绩在[14,16)内的人数为50×(0.16×1)＋50×(0.38×1)＝27，所以该班成绩良好的人数为27. (2)设事件M ：“|m －n |>1”由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的人数为50×0.06×1＝3，设这3人分别为x ，y ，z ；成绩在[17,18)的人数为50×0.08×1＝4，设这4人分别为A ，B ，C ，D .若m ，n ∈[13,14)时，则有xy ，xz ，yz 共3种情况；若m ，n ∈[17,18]时，则有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共6种情况；若m ，n 分别在[13,14)和[17,18]内时，此时有|m －n |>1.共有12种情况．所以基本事件总数为3＋6＋12＝21种，则事件“|m －n |>1”所包含的基本事件个数有12种. 所以P (M )＝1221＝47.。

2019北师大版高中数学必修三第3章章末综合检测三含解析

章末综合检测 (三 )(时间： 120 分钟，满分：150 分)一、选择题：此题共12 小题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．给出以下四个命题：①“三个球所有放入两个盒子，此中必有一个盒子有一个以上的球”是必定事件；②“当 x 为某一实数时，可使x2≤ 0”是不行能事件；③“明每日津市要下雨”是必定事件；④“从 100 个灯泡 (含有 10 个次品 )中拿出 5 个， 5 个所有是次品”是随机事件．此中正确命题的个数是( )A ． 0B ． 1C．2 D ． 3分析：选 C. ①④正确．2．从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对峙的两个事件是()A ．起码有 1 个黑球与都是红球B．起码有 1 个黑球与都是黑球C．起码有 1 个黑球与起码有 1 个红球D．恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球分析：选 D.A 中的两个事件是对峙事件，不切合要求； B 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不切合要求； C 中的两个事件都包含“ 一个黑球、一个红球” 这一事件，不是互斥事件； D 中是互斥而不对峙的两个事件．应选 D.3．某个地域从某年起几年内的重生婴儿数及此中的男婴数以下表：时间范围1年内2年内3年内4年内重生婴儿数 5 5449 01313 52017 191男婴数 2 716 4 899 6 8128 590 这一地域男婴出生的概率约是()A．B．C． D ．分析：选 B. 由表格可知，男婴出生的频次挨次约为，，，，故这一地区男婴出生的概率约为0.5.应选 B.4．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯连续时间为 40 秒．若一名行人到达该路口碰到红灯，则起码需要等候15 秒才出现绿灯的概率为()7 5 A. 10 B. 8 3 3 C.8D. 10分析：选 B. 记“ 起码需要等候 15 秒才出现绿灯 ”为事件 A ，则 P(A)＝ 25 5 40＝ 8.5．为美化环境，从红、黄、白、紫4 种颜色的花中任选 2 栽花种在一个花坛中，余下的 2 栽花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()1 1 A. 3 B. 225C.3D. 6分析：选C.从红、黄、白、紫4 种颜色的花中任选2 栽花种在一个花坛中，余下的2栽花种在另一个花坛中，共有6 种选法．红色和紫色的花不在同一花坛的有4 种选法，依据古典概型的概率计算公式，所求的概率为4 26＝ 3.应选C.6．有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加此中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性同样，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()1 1 A. 3 B.2 23 C.3D. 4分析：选 A. 因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果有9 个，此中这两位同学参加同33 1 一兴趣小组的结果有个，所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为9＝ 3. 7．任取一个三位正整数 N ，则对数 log 2N 是一个正整数的概率是 ()13A.225B.899 1 1 C.300D.450分析：选 C.三位正整数有 100～ 999，共 900 个，而知足 log 2N 为正整数的 N 有 2 7，28，93 12 ，共3 个，故所求事件的概率为 900＝ 300.8．在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ， CB的长，则该矩形面积大于20 cm 2 的概率为 ()1 1 A. 6 B. 32 4 C.3D. 5分析：选 C. 设|AC|＝x cm ，0＜ x ＜ 12，则 |CB|＝ (12－ x) cm ，要使矩形面积大于20 cm 2，210－ 2 2只需 x(12－ x)＞ 20，则 x － 12x ＋ 20＜0， 2＜ x ＜ 10，所以所求概率为P ＝ 12 ＝ 3，应选 C.9．小明经过做游戏的方式来确立周末的活动，他随机往单位圆内扔掷一颗弹珠(大小忽略) ，若弹珠到圆心的距离大于1，则周末去逛公园；若弹珠到圆心的距离小于 1，则去踢足24球；不然，在家看书．则小明周末不在家看书的概率为( )1 1A. 2B. 6 13 5C.16D. 12分析：选 C.由题意画出表示图，以下图．表示小明在家看书的地区1 2 12π（ 2）－π（ 4）3如图中暗影部分所示，则他在家看书的概率为π＝ 16，因3 13 此他不在家看书的概率为 1－16＝ 16，应选 C.10．小莉与小明一同用 A ， B 两枚均匀的小立方体 ( 立方体的每个面上分别标有数字 1，2， 3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的 A 立方体向上的数字为 x ，小明掷的 B 立方体向上的数字为 y ，来确立点 P(x ， y)，那么他们各掷一次所确立的点P(x ， y) 落在已知抛物线 y ＝－ x 2＋4x 上的概率为 ()1 1 A. 6 B. 9 1 1 C.12D. 18分析：选 C.依据题意，两人各掷立方体一次，每人都有 6 种可能性，则 (x ， y)的状况有36 种，即 P 点有 36 种可能，而y ＝－ x 2＋ 4x ＝－ (x － 2)2＋ 4，即 (x － 2)2＋ y ＝ 4，易得在抛物线上的点有 (2，4)， (1， 3)， (3， 3)共 3 个，所以知足条件的概率为3 1 36＝ 12.11．假如从不包含大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌 (事件 A)的概率为 1，取到方片牌 (事件 B)的概率是 1，则取到红色牌 (事件 C)的概率和取到黑色牌 (事件43D)的概率分别是 ()7 ， 55 ， 7A. 12 12B. 12 12C.1， 1 D. 3，2 2 24 3分析：选 A. 因为 C ＝ A ＋ B ，且 A ， B 不会同时发生，即 A ， B 是互斥事件，所以 P(C)1 1 7＝P(A)＋ P(B)＝4＋ 3＝ 12.又 C ， D 是互斥事件，且 C ＋ D 是必定事件，所以 C ， D 互为对峙事件，75则 P(D)＝ 1－ P(C)＝ 1－ 12＝ 12.12．从装有 3 个红球、 2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中起码有 1 个白球的概率是 ()1 3 A. 10 B. 10 3 9 C.5D. 10分析：选 D. 记 3 个红球分别为a 1， a 2， a 3， 2 个白球分别为b 1，b 2个红球、 2 个白.从 3 球中任取 3 个，则所包含的基本领件有{ a 1，a 2，a 31，a 2， b 11，a 2，b 2} ， { a 1，a 3，} ，{ a} ，{ ab 1} ，{ a 1，a 3， b 2} ，{ a 2，a 3，b 1} ，{ a 2，a 3，b 2} ，{ a 1，b 1，b 2} ，{ a 2，b 1，b 2} ，{ a 3， b 1， b 2} ，共 10 个．因为每个基本领件发生的时机均等，所以这些基本领件的发生是等可能的．用 A 表示 “所取的 3 个球中起码有 1 个白球 ” ，则其对峙事件－表示 “所取的 3 个球 A 中没有白球 ” ，则事件－包含的基本领件有 1 个： { a 1， a 2， a 3} ．A－1所以 P( A )＝ 10.－ 1 9故 P(A)＝1－ P( A )＝ 1－ 10＝ 10.二、填空题：此题共4 小题，每题5 分．13．从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20 人，测得他们的身高分别为：(单位：cm)162， 148， 154， 165， 168，172， 175，162， 171， 170， 150， 151， 152， 160，163，175， 164，179， 149， 172.依据样本频次散布预计整体散布的原理，在该校高二年级任抽一名同学身高在cm ～170.5 cm 之间的概率为 ________．(用分数表示 )分析：样本中有 8 人身高在 155.5 cm～ 170.5 cm 之间，所以预计该校高二年级任抽一名8 2同学身高在155.5 cm ～ 170.5 cm 之间的概率为20＝5.答案：2 514．在等腰直角三角形 ABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M，则 AM >AC 的概率是 ________．分析：设 CA＝ CB＝ m(m>0)，则 AB＝AB－ AC 2m－m 2 2m， P(AM>AC)＝＝2m ＝1－2.AB答案： 1－2215．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．分析：甲，乙，丙站成一排有(甲，乙，丙 )， (甲，丙，乙 ) ，(乙，甲，丙 )， (乙，丙，甲) ，(丙，甲，乙 ) ，(丙，乙，甲 )，共 6 种．甲，乙相邻而站有(甲，乙，丙 )，(乙，甲，丙 )，(丙，甲，乙 )，(丙，乙，甲 )，共 4 种．4 2所以甲，乙两人相邻而站的概率为6＝3.答案：2 316．袋中含有大小同样的总数为5 个的黑球、白球，若从袋中随意摸出 2 个球，起码得到 1 个白球的概率是9，则从中随意摸出 2 个球，获得的都是白球的概率为________．10分析：因为袋中装有大小同样的总数为 5 个的黑球、白球，若从袋中随意摸出 2 个球，1共有 10 种状况，没有获得白球的概率为10，设白球个数为 x，则黑球个数为5－ x，那么，3 可知白球有 3 个，黑球有 2 个，所以可知从中随意摸出 2 个球，获得的都是白球的概率为10.答案：3 10三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．17． (本小题满分10 分 )随机地摆列数字1， 5，6 获得一个三位数，计算以下事件的概率．(1)所得的三位数大于400；(2)所得的三位数是偶数．解： 1，5，6 三个数字能够排成156，165，516，561，615，651，共 6 个不一样的三位数．4 2(1)大于 400 的三位数的个数为4，所以 P＝6＝3.(2)三位数为偶数的有156， 516，共 2 个，2 1所以相应的概率为 P＝6＝3.18．(本小题满分12 分 )现有 6 道题，此中 4 道甲类题， 2 道乙类题，张同学从中任取 2 道题解答．试求：(1)所取的 2 道题都是甲类题的概率；(2)所取的 2 道题不是同一类题的概率．解：将 4 道甲类题挨次编号为1， 2， 3， 4； 2 道乙类题挨次编号为5， 6.任取 2 道题，基本领件为： {1 ，2} ，{1，3}，{1， 4}，{1 ，5} ，{1， 6}，{2 ，3} ，{2 ，4}，{2，5} ，{2 ，6} ， {3 ， 4} ， {3 ，5} ， {3 ， 6} ， {4 ， 5} ，{4 ， 6} ， {5 ， 6} ，共 15 个，并且这些基本领件的出现是等可能的．(1)用 A 表示“都是甲类题”这一事件，则 A 包含的基本领件有{1 ， 2} ， {1 ，3} ，{1 ，6 24} ， {2 ， 3} ， {2 ，4} ， {3 ， 4} ，共 6 个，所以P(A)＝15＝5.(2)用 B 表示“不是同一类题”这一事件，则 B 包含的基本领件有{1 ，5} ， {1 ，6} ， {2 ，85}， {2，6}，{3 ，5} ，{3，6}，{4，5} ，{4 ，6}，共 8 个，所以 P(B)＝15.19． (本小题满分12 分)某河流上的一座水力发电站，每年 6 月份的发电量y(单位：万千瓦时 )与该河上游在 6 月份的降雨量x(单位： mm) 相关．据统计，当x＝ 70 时， y＝ 460； x 每增添 10，y 增添 5.已知近 20 年 x 的值为 140，110，160，70，200，160，140， 160，220，200， 110， 160， 160， 200， 140，110， 160，220， 140，160.(1)达成以下的频次散布表：近20年6 月份降雨量频次散布表降雨量70 110 140 160 200 220频次(2)将频次视为概率，试预计今年 6 月份该水力发电站的发电量低于490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时的概率．解： (1)在所给数据中，降雨量为110 mm 的有 3 个，为160 mm 的有 7 个，为 200 mm 的有 3 个．故近20 年 6 月份降雨量频次散布表为：降雨量70 110 140 160 200 220频次(2)由已知可得 y＝＋425，记“ 发电量低于490 万千瓦时或超出530 万千瓦时”为事件 A，则 P(A)＝P(y<490 或 y>530)＝P(x<130 或 x>210)＝P(x＝70) ＋P(x＝ 110)＋ P(x＝ 220)＝＋＋＝0.3.所以预计今年 6 月份该水力发电站的发电量低于490 万千瓦时或超出530 万千瓦时的概率为 0.3.20．(本小题满分 12 分)某中学检查了某班所有45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据以下表：(单位：人 )参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团8 5未参加演讲社团 2 30(1)从该班随机选 1 名同学，求该同学起码参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8 名同学中，有 5 名男同学 A1， A2，A3， A4，A5， 3 名女同学 B1， B2， B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1被选中且 B1未被选中的概率．解： (1)由检查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30 人，故起码参加上述一个社团的共有45－ 30＝ 15(人 )，1 名同学，该同学起码参加上述一个社团的概率为P＝15 1所以从该班随机选45＝3.(2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，其全部可能的结果构成的基本领件有： { A1，B1 1，B2 1，B3 2，B1 2，B2 2，B3}，{A 3，B1 3，B2} ，}，{A }，{ A }，{A }，{ A }，{A }，{A{ A3， B3} ， { A4， B1} ， { A4， B2} ， { A4， B3} ， { A5，B1} ， { A5， B2} ， { A5， B3} ，共 15 个．依据题意，这些基本领件的出现是等可能的．事件 “A 1 被选中且 B 1 未被选中 ” 所包含的基本领件有：{ A 1，B 2 1， B 3}，{A }，共 2 个．所以 A 1 被选中且 B 1 未被选中的概率为 P ＝ 2.1521． (本小题满分 12 分 )求解以下各题：(1)在区间 [0， 4]上随机取两个整数m ，n ，求对于 x 的一元二次方程2x － nx ＋ m ＝ 0 有实数根的概率 P(A)；(2)在区间 [0， 4]上随机取两个数 m ， n ，求对于 x 的一元二次方程 x 2－ nx ＋ m ＝ 0 有实数根的概率 P(B)．解：方程 x 2－ nx ＋ m ＝ 0 有实数根，则＝ n － 4m ≥ 0，(1)因为 m ， n ∈[0， 4]，且 m ，n 是整数，所以列举可得 m ， n 可能的取值共有25 组．又知足 n － 4m ≥ 0 的 m ，n 的取值有 m ＝ 0 m ＝ 0 m ＝ 0 m ＝0 m ＝ 0 m ＝ 1，，，，，，n ＝ 0 n ＝ 1 n ＝2 n ＝ 3 n ＝ 4 n ＝ 4共6组．6所以，原方程有实数根的概率为P(A)＝ 25.(2)因为 0≤ m ≤4)面积为 16，对应的地区 (如图中正方形地区所示 0≤ n ≤ 4而 n －4m ≥ 0(m ，n ∈[0 ，4]) 表示的地区 (如图中暗影部分所示 )面积为 12×1× 4＝ 2.S 暗影＝1 所以，原方程有实数根的概率为P(B)＝S 正方形8.22． (本小题满分 12 分 )城市公交车的数目太多简单造成资源的浪费，太少又难以知足乘客的需求，为此，某市公交企业在某站台 60 名候车乘客中随机抽取15 人，将他们的候车时间作为样安分红5 组，以下表所示 (单位： min) ：组别候车时间人数一 [0， 5) 2 二 [5， 10) 6三[10， 15)4四[15， 20) 2五[20， 25] 1(1)求这 15 名乘客的均匀候车时间；(2)预计这 60 名乘客中候车时间少于10 min 的人数；(3)若从上表第三、四组的 6 人中选 2 人做进一步检查，求抽到的2 人恰巧来自不一样组的概率．解： (1)151××2＋×6＋× 4＋× 2＋× 1)＝151×＝，故这 15 名乘客的均匀候车时间为10.5 min.(2)由频次预计概率，可知侯车时间少于10 min 的概率为2＋ 68 ，＝15 15 8故这 60 名乘客中候车时间少于10 min 的人数约为60×15＝ 32.(3)记第三组的 4 名乘客为 a1，a2，a3，a4，第四组的 2 名乘客为 b1，b2.从 6 人中选 2 人的所有可能状况为(a1，a2 )，(a1， a3 )，(a1，a4)， (a1，b1)， (a1，b2 )，(a2， a3)，(a2，a4)， (a2，b1)， (a2， b2)， (a3，a4)，(a3， b1)， (a3，b2)， (a4， b1)， (a4， b2)， (b1， b2)，共 15 种，此中 2 人恰巧来自不一样组的状况为(a1， b1)， (a1， b2)， (a2， b1)， (a2， b2)， (a3， b1)， (a3， b2)， (a4，b1)， (a4， b2)，共 8 种，8故所求概率为15.。

2019-2020学年高中数学北师大版必修三教学案：第三章§1 随机事件的概率 Word版含答案

[核心必知]1．概率在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记为P(A)．2．频率与概率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．3．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但是随机性中含有规律性．认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．概率只是度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生．4．任何事件的概率是区间[0,1]上的一个确定数，它度量该事件发生的可能性大小．小概率(接近于0)事件不是不发生，而是很少发生，大概率(接近于1)事件不是一定发生，而是经常发生．[问题思考]1．把一枚质地均匀的硬币连续掷1 000次，其中有498次正面朝上，502次反面朝上，那么说此次试验正面朝上的频率为0.498，掷一次硬币正面朝上的概率为0.5，这样理解正确吗？提示：正确．由题意，正面朝上的频率为4981 000＝0.498，通过做大量的试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币，正面朝上的概率是0.5.即0.498是1 000次试验中正面朝上的频率；而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．2．如果某种病治愈的概率是0.3，那么10个人中，前7个人没有治愈，后3个人一定能够治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?提示：如果把治疗一个病人作为一次试验，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个人没有治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，有可能治愈，也可能没有治愈．“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加，即治疗人数的增加，大约有30%的人能够治愈，如果患病的有1 000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆动这一前提，就可以认为这1 000个人中大约有300人能治愈．讲一讲1.下面的表中列出10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面向上的次数．计算每次试验中“正面向上”这一事件的频率，并考查它的概率．[0．502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488，0.516，0.524,0.494，这些数字在0.5附近左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面向上”的概率为0.5.频数、频率和概率三者之间的关系：(1)频数是指在n次重复试验中事件A出现的次数，频率是频数与试验总次数的比值，而概率是随机事件发生的可能性的规律体现；(2)随机事件的频率在每次试验中都可能会有不同的结果，但它具有一定的稳定性；概率是频率的稳定值，不会随试验次数的变化而变化．练一练1．某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：(1)(2)这位运动员投篮一次进球的概率是多少？解：(1)进球的频率依次是：0.75,0.80,0.75,0.78,0.70,0.75. (2)这位运动员投篮一次进球的概率P ≈0.76.讲一讲2.掷一颗均匀的正方体骰子得到6点的概率是16，是否意味着把它掷6次能得到1次6点？[尝试解答] 把一颗均匀的骰子掷6次相当于做6次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做6次试验的结果也是随机的．这就是说，每掷一次总是随机地出现一个点数，可以是1点，2点，也可以是其他点数，不一定出现6点．所以掷一颗骰子得到6点的概率是16，并不意味着把它掷6次能得到1次6点．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率恰是其规律在数量上的反映，概率是客观存在的，它与试验次数没有关系．练一练2．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于12，这种理解正确吗？解：不正确．掷一次硬币，作为一次试验，其结果是随机的，但通过做大量的试验，呈现一定的规律性，即“正面朝上”、“反面朝上”的可能性都为12.连续5次正面向上这种结果是可能的，对下一次试验来说，仍然是随机的，其出现正面和反面的可能性还是12，不会大于12.讲一讲3.为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区．经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只．查看其中有记号的天鹅，设有20只．试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量．[尝试解答] 设保护区中天鹅的数量为n ，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A ＝{捕到带有记号的天鹅}，则P (A )＝200n.第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的定义可知P (A )≈20150.所以，200n ≈20150，解得n ≈1 500，所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500.利用频率近似等于概率的关系求未知量：(1)抽出m 个样本进行标记，设总体容量为n ，则标记概率为mn ；(2)随机抽取n 1个个体，发现其中m 1个被标记，则标记频率为m1n1；(3)用频率近似等于概率建立关系式m n ≈m1n1；(4)求出n ≈m·n1m1，注意这个n 值仅是真实值的近似．练一练3．为了估计水库中的鱼的条数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，如2 000条，给每条鱼作上记号且不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让它们和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，如500条，查看其中有记号的鱼，设有40条．试根据上述数据，估计水库中鱼的条数．解：设水库中鱼的条数为n ，从水库中任捕一条，捕到标记鱼的概率为2 000n .第二次从水库中捕出500条，带有记号的鱼有40条，则捕到带记号的鱼的频率(代替概率)为40500，由2 000n ≈40500，得n ≈25 000，所以水库中约有鱼25 000条．【解题高手】【易错题】一家保险公司连续多年对某城市出租车事故做了调查，发现出租车发生事故的频率总是在0.001左右．如果这个调查继续做下去，10年后发生事故的频率就会等于0.001(假定出租车发生事故都不会随着时间的改变而改变)．你觉得这种看法对吗？说出你的理由．[错解] 这种看法是正确的，10年后发生事故的频率等于0.001.[错因] 频率会在某个常数附近摆动，随着试验次数的增加，摆动会越来越小，但不一定等于该常数． [正解] 这种看法是错误的．随着试验次数的增加，频率会稳定于一个常数附近，这个常数就是概率，但稳定于不一定是等于，况且0.001未必是出租车发生事故的概率．1．下列事件：①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形； ②经过有信号灯的路口，遇上红灯；③从10个玻璃杯(其中8个正品，2个次品)中，任取3个，3个都是次品； ④下周六是晴天．其中，是随机事件的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④解析：选D ①为必然事件；对于③，次品总数为2，故取到的3个不可能都是次品，所以③是不可能事件；②④为随机事件．2．在某市的天气预报中有“降水概率预报”，例如预报“明天降水概率为90%”，这是指( ) A ．明天该地区约有90%的地方会降水，其余地方不降水 B ．明天该地区约有90%的时间会降水，其余时间不降水C ．在气象台的专家中，有90%认为明天会降水，其余专家认为不降水D ．明天该地区降水的可能性为90%解析：选D 明天降水的概率为90%指的是明天该地区降水的可能性为90%.3．在5张不同的彩票中有2张奖票，5个人依次从中各抽取1张，则每个人抽到奖票的概率( ) A ．递减 B ．递增 C ．相等 D ．不确定解析：选C 因为每个人获得奖票的概率均为25，即抽到奖票的概率与抽取顺序无关．4．下列事件：①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1；②下周一某地的最高气温与最低气温相差10 ℃；③同时掷两枚大小相同的骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；④射击一次，命中靶心；⑤当x 为实数时，x 2＋4x ＋4＜0.其中必然事件有________，不可能事件有________，随机事件有________．(填序号)答案：③ ⑤ ①②④5．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1 000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若第二个月仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率是________．解析：由频率定义可知用电量超过指标的频率为1230＝0.4，频率约为概率．答案：0.46．某质检员从一批种子中抽取若干组种子，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下(单位：粒)：(1)计算各组种子的发芽率，填入上表；(精确到0.01) (2)根据频率的稳定性估计种子的发芽率．解：(1)种子发芽率从左到右依次为0.96,0.86,0.89，0.91,0.90,0.90. (2)由(1)知，发芽率逐渐稳定在0.90，因此可以估计种子的发芽率为0.90.一、选择题1．“某彩票的中奖概率为1100”意味着( )A ．买100张彩票就一定能中奖B ．买100张彩票能中一次奖C ．买100张彩票一次奖也不中D ．购买彩票中奖的可能性为1100答案：D2．抛掷一枚骰子两次，用随机模拟方法估计上面的点数和为7的概率，共进行了两次试验，第一次产生了60组随机数，第二次产生了200组随机数，那么这两次估计的结果相比较( )A ．第一次准确B ．第二次准确C ．两次的准确率相同D ．无法比较解析：选B 用随机模拟方法估计概率时，产生的随机数越多，估计的结果越准确． 3．下列结论正确的是( )A ．事件A 发生的概率P (A )满足0＜P (A )＜1B ．事件A 发生的概率P (A )＝0.999，则事件A 是必然事件C ．用某种药物对患有胃溃疡的500 名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%D ．某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖解析：选C A 不正确，因为0≤P (A )≤1；B 不正确，若事件A 是必然事件，则P (A )＝1；D 不正确，某奖券的中奖率为50%,10张奖券可能会有5张中奖，但不一定会发生．4．给出下列三个命题，其中正确命题的个数为( )①设有一批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面朝上，则硬币出现正面朝上的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选A ①②③均不正确．5．在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项是说这种手术的成功率大约是99%，下列解释正确的是( )A ．100个手术有99个手术成功，有1个手术失败B ．这个手术一定成功C ．99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手术D ．这个手术成功的可能性是99%解析：选D 成功率大约是99%，说明手术成功的可能性是99%. 二、填空题6．一个口袋装有除颜色外其他均相同的白球、红球共100个，若摸出一个球为白球的概率为34，则估计这100个球内，有白球________个．解析：100×34＝75.答案：757．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10；其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．解析：200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10.答案：③④ ② ① 8．下列说法：①一年按365天计算，两名学生的生日相同的概率是1365； ②甲乙两人做游戏：抛一枚骰子，向上的点数是奇数，甲胜，向上的点数是偶数，乙胜，这种游戏是公平的；③乒乓球比赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的；④昨天没有下雨，则说明昨天气象局的天气预报“降水概率为90%”是错误的．其中正确的有________(填序号)．解析：对于②，甲胜、乙胜的概率都是12，是公平的；对于④，降水概率为90%只说明下雨的可能性很大，但也可能不下雨，故④错误．答案：①②③ 三、解答题9．高一(2)班有50名同学，其中男、女各25人，今有这个班的一个学生在街上碰到一位同班同学，试问：碰到异性同学的概率大还是碰到同性同学的概率大？有人说可能性一样大，这种说法对吗？解：这种说法不正确．这个同学在街上碰到的同班同学是除了自己以外的49个人中的一个，其中碰到同性同学有24种可能，碰到异性同学有25种可能，每碰到一个同学相当于做了一次试验，因为每次试验的结果是随机的，所以碰到异性同学的可能性大，碰到同性同学的可能性小．10．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．解：(1)频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，0.165，0.042.(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1 500小时的频率是6001 000＝0.6，即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.。

北师大版高中数学必修3课后习题答案

第一章算法初步 1．1算法与程序框图练习（P5） 1、算法步骤：第一步，给定一个正实数r .第二步，计算以r 为半径的圆的面积2S r π=.第三步，得到圆的面积S .2、算法步骤：第一步，给定一个大于1的正整数n .第二步，令1i =.第三步，用i 除n ，等到余数r .第四步，判断“0r =”是否成立. 若是，则i 是n 的因数；否则，i 不是n 的因数.第五步，使i 的值增加1，仍用i 表示.第六步，判断“i n >”是否成立. 若是，则结束算法；否则，返回第三步.练习（P19）算法步骤：第一步，给定精确度d ，令1i =.第二步，i 位的不足近似值，赋给a ；小数点后第i 位的过剩近似值，赋给b . 第三步，计算55bam =-.第四步，若m d <，则得到5a；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示.返回第二步. 第五步，输出5a.程序框图：习题1.1 A 组（P20）1、下面是关于城市居民生活用水收费的问题.为了加强居民的节水意识，某市制订了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7 m 3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m 3的部分，每立方收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费. 设某户每月用水量为x m 3，应交纳水费y 元，那么y 与x 之间的函数关系为 1.2,071.9 4.9,7x x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩我们设计一个算法来求上述分段函数的值.算法步骤：第一步：输入用户每月用水量x .第二步：判断输入的x 是否不超过7. 若是，则计算 1.2y x =；若不是，则计算 1.9 4.9y x =-.第三步：输出用户应交纳的水费y .程序框图：2、算法步骤：第一步，令i =1，S=0.第二步：若i ≤100成立，则执行第三步；否则输出S. 第三步：计算S=S+i 2.第四步：i = i +1，返回第二步.程序框图：3、算法步骤：第一步，输入人数x ，设收取的卫生费为m 元.第二步：判断x 与3的大小. 若x >3，则费用为5(3) 1.2m x =+-⨯；若x ≤3，则费用为5m =.第三步：输出m .程序框图：B 组 1、算法步骤：第一步，输入111222,,,,,a b c a b c ..第二步：计算21121221b c b c x a b a b -=-.第三步：计算12211221a c a c y ab a b -=-.第四步：输出,x y .程序框图：2、算法步骤：第一步，令n=1第二步：输入一个成绩r，判断r与6.8的大小. 若r≥6.8，则执行下一步；若r<6.8，则输出r，并执行下一步.第三步：使n的值增加1，仍用n表示.第四步：判断n与成绩个数9的大小. 若n≤9，则返回第二步；若n>9，则结束算法.程序框图：说明：本题在循环结构的循环体中包含了一个条件结构.1．2基本算法语句练习（P24） 123练习（P29） 12、本程序的运行过程为：输入整数x . 若x 是满足9<x <100的两位整数，则先取出x 的十位，记作a ，再取出x 的个位，记作b ，把a ，b 调换位置，分别作两位数的个位数与十位数，然后输出新的两位数. 如输入25，则输出52. 34、4练习（P32）12习题1.2 A组（P33）1、1(0)0(0)1(0)x xy xx x-+<⎧⎪==⎨⎪+>⎩23、程序：习题1.2 B组（P33）1、程序：23、 4、1．3算法案例练习（P45） 1、（1）45；（2）98；（3）24；（4）17. 2、2881.75.3、2200811111011000=（），820083730=（）习题1.3 A 组（P48） 1、（1）57；（2）55. 2、21324.3、（1）104；（2）7212（）（3）1278；（4）6315（）.4、习题1.3 B 组（P48）1、算法步骤：第一步，令45n =，1i =，0a =，0b =，0c =.第二步，输入()a i .第三步，判断是否0()60a i ≤<. 若是，则1a a =+，并执行第六步. 第四步，判断是否60()80a i ≤<. 若是，则1b b =+，并执行第六步. 第五步，判断是否80()100a i ≤≤. 若是，则1c c =+，并执行第六步. 第六步，1i i =+. 判断是否45i ≤. 若是，则返回第二步.第七步，输出成绩分别在区间[0,60),[60,80),[80,100]的人数,,a b c .2、如“出入相补”——计算面积的方法，“垛积术”——高阶等差数列的求和方法，等等.第二章复习参考题A组（P50）1、（1）程序框图：程序：1、（2）程序框图：程序：INPUT “x=”；x IF x<0 THENy=0ELSEIF x<1 THENy=1ELSEy=xEND IFEND IFPRINT “y=”；y ENDINPUT “x=”；x IF x<0 THENy=（x＋2）＾2 ELSEIF x=0 THENy=4ELSEy=（x－2）＾2 END IFEND IFPRINT “y=”；y END2、见习题1.2 B组第1题解答. 34、程序框图：程序：5、（1）向下的运动共经过约199.805 m （2）第10次着地后反弹约0.098 m （3）全程共经过约299.609 m 第二章复习参考题B 组（P35）1、 2、 INPUT “n=”；n i=1 S=0WHILE i<=n S=S+1／i i=i+1 WENDPRINT “S=”；S ENDi=100 sum=0 k=1 WHILE k<=10 sum=sum+i i=i ／2 k=k+1 WEND PRINT “（1）”；sum PRINT “（2）”；i PRINT “（3）”；2*sum －100 ENDINPUT “n=”；n IF n MOD 7=0 THENPRINT “Sunday ”3、算法步骤：第一步，输入一个正整数x 和它的位数n . 第二步，判断n 是不是偶数，如果n 是偶数，令2nm =;如果n 是奇数，令12n m -=. 第三步，令1i =第四步，判断x 的第i 位与第(1)n i +-位上的数字是否相等. 若是，则使i 的值增加1，仍用i 表示；否则，x 不是回文数，结束算法.第五步，判断“i m >”是否成立. 若是，则n 是回文数，结束算法；否则，返回第四步.第二章统计 2．1随机抽样练习（P57）抽样调查的好处是可以节省人力、物力和财力，可能出现的问题是推断的结果与实际情况之间有误差. 如抽取的部分个体不能很好地代表总体，那么我们分析出的结果就会有偏差.2、（1）抽签法：对高一年级全体学生450人进行编号，将学生的名字和对应的编号分别写在卡片上，并把450张卡片放入一个容器中，搅拌均匀后，每次不放回地从中抽取一张卡片，连续抽取50次，就得到参加这项活动的50名学生的编号.（2）随机数表法：第一步，先将450名学生编号，可以编为000,001， (449)第二步，在随机数表中任选一个数. 例如选出第7行第5列的数1（为了便于说明，下面摘取了附表的第6～10行）.16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 5457 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28第三步，从选定的数1开始向右读，得到一个三位数175，由于175<450，说明号码175在总体内，将它取出；继续向右读，得到331，由于331<450，说明号码331在总体内，将它取出；继续向右读，得到572，由于572>450，将它去掉. 按照这种方法继续向右读，依次下去，直到样本的50个号码全部取出，这样我们就得到了参加这项活动的50名学生.3、用抽签法抽取样本的例子：为检查某班同学的学习情况，可用抽签法取出容量为5的样本. 用随机数表法抽取样本的例子：部分学生的心理调查等.抽签法能够保证总体中任何个体都以相同的机会被选到样本之中，因此保证了样本的代表性.4、与抽签法相比，随机数表法抽取样本的主要优点是节省人力、物力、财力和时间，缺点是所产生的样本不是真正的简单样本.练习（P59）1、系统抽样的优点是：（1）简便易行；（2）当对总体结构有一定了解时，充分利用已有信息对总体中的个体进行排队后再抽样，可提高抽样调查；（3）当总体中的个体存在一种自然编号（如生产线上产品的质量控制）时，便于施行系统抽样法.系统抽样的缺点是：在不了解样本总体的情况下，所抽出的样本可能有一定的偏差.2、（1）对这118名教师进行编号；（2）计算间隔1187.37516k==，由于k不是一个整数，我们从总体中随机剔除6个样本，再来进行系统抽样. 例如我们随机剔除了3,46,59,57,112,93这6名教师，然后再对剩余的112位教师进行编号，计算间隔7k=；（3）在1～7之间随机选取一个数字，例如选5，将5加上间隔7得到第2个个体编号12，再加7得到第3个个体编号19，依次进行下去，直到获取整个样本.3、由于身份证（18位）的倒数第二位表示性别，后三位是632的观众全部都是男性，所以这样获得的调查结果不能代表女性观众的意见，因此缺乏代表性.练习（P62）1、略2、这种说法有道理，因为一个好的抽样方法应该能够保证随着样本容量的增加，抽样调查结果会接近于普查的结果. 因此只要根据误差的要求取相应容量的样本进行调查，就可以节省人力、物力和财力.3、可以用分层抽样的方法进行抽样. 将麦田按照气候、土质、田间管理水平的不同而分成不同的层，然后按照各层麦田的面积比例及样本容量确定各层抽取的面积，再在各层中抽取个体（这里的个体是单位面积的一块地）. 习题2.1 A 组（P63）1、产生随机样本的困难：（1）很难确定总体中所有个体的数目，例如调查对象是生产线上生产的产品. （2）成本高，要产生真正的简单随机样本，需要利用类似于抽签法中的抽签试验来产生非负整值随机数.（3）耗时多，产生非负整数值随机数和从总体中挑选出随机数所对的个体都需要时间.2、调查的总体是所有可能看电视的人群.学生A 的设计方案考虑的人数是：上网而且登录某网址的人群，那些不能上网的人群，或者不登录某网址的人群就被排除在外了. 因此A 方案抽取的样本的代表性差.学生B 的设计方案考虑的人群是小区内的居民，有一定的片面性. 因此B 方案抽取的样本的代表性差.学生C 的设计方案考虑的人群是那些有电话的人群，也有一定的片面性. 因此C 方案抽取的样本的代表性.所以，这三种调查方案都有一定的片面性，不能得到比较准确的收视率. 3、（1）因为各个年级学习任务和学生年龄等因素的不同，影响各年级学生对学生活动的看法，所以按年级分层进行抽样调查，可以得到更有代表性的样本.（2）在抽样的过程中可能遇到的问题如敏感性问题：有些学生担心提出意见对自己不利；又如不响应问题：由于种种原因，有些学生不能发表意见；等等. （3）前面列举的两个问题都可能导致样本的统计推断结果的误差.（4）为解决敏感性问题，可以采用阅读与思考栏目“如何得到敏感性问题的诚实反应”中的方法设计调查问卷；为解决不响应问题，可以事先向全体学生宣传调查的意义，并安排专人负责发放和催收调查问卷，最大程度地回收有效调查问卷. 4、将每一天看作一个个体，则总体由365天组成. 假设要抽取50个样本，将一年中的各天按先后次序编号为0～364天用简单随机抽样设计方案：制作365个号签，依次标上0～364. 将号签放到容器内充分搅拌均匀，从容器中任意不放回取出50个号签. 以签上的号码所对应的那些天构成样本，检测样本中所有个体的空气质量. 用系统抽样设计抽样方案：先通过简单随机抽样方法从365天中随机抽出15天，再把剩下的350天重新按先后次序编号为0～349. 制作7个分别标有0～7的号签，放在容器中充分搅拌均匀. 从容器中任意取出一个号签，设取出的号签的编号为a ，则编号为7(050)a k k +≤<所对应的那些天构成样本，检测样本中所有个体的空气质量.显然，系统抽样方案抽出的样本中个体在一年中排列的次序更规律，因此更好实施，更受方案的实施者欢迎.5、田径队运动员的总人数是564298+=（人），要得到28人的样本，占总体的比例为27.于是，应该在男运动员中随机抽取256167⨯=（人），在女运动员中随机抽取281612-=（人）.这样我们就可以得到一个容量为28的样本.6、以10为分段间隔，首先在1～10的编号中，随机地选取一个编号，如6，那么这个获奖者奖品的编号是：6,16,26,36,46.7、说明：可以按年级分层抽样的方法设计方案. 习题2.1 B 组（P64）1、说明：可以按年级分层抽样的方法设计方案，调查问卷由学生所关心的问题组成.例如：（1）你最喜欢哪一门课程？（2）你每月的零花钱平均是多少？（3）你最喜欢看《新闻联播》吗？（4）你每天早上几点起床？（5）你每天晚上几点睡觉？要根据统计的结果和具体的情况解释结论,主要从引起结论的可能原因及结论本身含义来解释.2、说明：这是一个开放性的题目，没有一个标准的答案. 2．2用样本估计总体练习（P71）1、说明：由于样本的极差为364.41362.51 1.90-=，取组距为0.19，将样本分为10组. 可以按照书上的方法制作频率分布表、频率分布直观图和频率折线图.2、说明：此题目属于应用题，没有标准的答案.3、茎叶图为：由该图可以看出30名工人的日加工零件个数稳定在120件左右. 练习（P74）这里应该采用平均数来表示每一个国家项目的平均金额，因为它能反应所有项目的信息. 但平均数会受到极端数据2000万元的影响，所以大多数项目投资金额都和平均数相差比较大. 练习（P79）1、甲乙两种水稻6年平均产量的平均数都是900，但甲的标准差约等于23.8，乙的标准差约等于41.6，所以甲的产量比较稳定.2、（1）平均重量496.86x ≈，标准差 6.55s ≈.（2）重量位于(,)x s x s -+之间有14袋白糖，所占的百分比约为66.67％. 3、（1）略. （2）平均分19.25x ≈，中位数为15.2，标准差12.50s ≈.这些数据表明这些国家男性患该病的平均死亡率约为19.25，有一半国家的死亡率不超过15.2，15.2x >说明存在大的异常数据，值得关注. 这些异常数据使标准差增大. 习题2.2 A 组（P81）。

高中数学(北师大版,必修3)第三章+概率(课件+同步练习+章末归纳总结+综合检测,12份)3.2.3

第三章 §2 2.3一、选择题1．如果事件A 与B 是互斥事件，则( ) A ．A ＋B 是必然事件 B.A －与B －一定互斥 C.A －与B －一定不互斥 D.A －＋B －是必然事件[答案] D[解析] 特例检验：在掷一粒骰子的试验中，“上面出现点数1”与“上面出现点数2”分别记作A 与B ，则A 与B 是互斥而不对立的事件，A ＋B 不是必然事件，A －与B －也不互斥，∴A 、B 选项错误，A －＋B －是必然事件，还可举例验证C 不正确．2．从1,2,3，…，9这9个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( )A ．①B ．②④C ．③D ．①③[答案] C[解析] 可根据互斥和对立事件的定义分析事件，③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～9中任取两数共有3个事件：“两个奇数”“一奇一偶”“两个偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个偶数”是对立事件．3．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为( )A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.96 [答案] D[解析] 设“抽得正品”为事件A ，则P (A )＝1－0.03－0.01＝0.96. 4．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A ，则A －为( ) A ．“至多2件次品” B ．“至多2件正品” C ．“至少2件正品” D ．“至多1件次品” [答案] D[解析] 至少2件次品与至多1件次品不能同时发生，且必有一个发生．5．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高低于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175] cm 的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8[答案] B[解析] 设身高低于160 cm 为事件M ，身高在[160,175] cm 为事件N ，身高超过175 cm 为事件Q ，则事件M 、N 、Q 两两互斥，且M ＋N 与Q 是对立事件，则该同学的身高超过175 cm 的概率为P (Q )＝1－P (M ＋N )＝1－P (M )－P (N )＝1－0.2－0.5＝0.3.6．如果事件A 与B 是互斥事件，且事件A ＋B 的概率是0.8，事件A 的概率是事件B 的概率的3倍，则事件A 的概率为( )A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8 [答案] C[解析] 由题意知P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.8， ① P (A )＝3P (B )，②解①②组成的方程组知P (A )＝0.6. 二、填空题7．某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次击中10环，有3次击中9环，有4次击中8环，有1次未中靶．假设此人射击一次，则他中靶的概率大约是________．[答案] 0.9[解析] P ＝210＋310＋410＝910＝0.9.8．掷一粒骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件A ＋B －发生的概率为________．[答案] 23[解析] B －表示“大于或等于5的点数出现”． ∵A 与B －互斥，∴P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝26＋26＝23.三、解答题9．一个箱子内有9张票，其号数分别为1、2、…、9.从中任取2张，其号数至少有一个为奇数的概率是多少？[分析] 从9张票中任取2张，要弄清楚取法种数为12×9×8＝36，“号数至少有一个为奇数”的对立事件是“号数全是偶数”，用对立事件的性质求解非常简单．[解析] 从9张票中任取2张，有 (1,2)，(1,3)，…，(1,9)； (2,3)，(2,4)，…，(2,9)； (3,4)，(3,5)，…，(3,9)； …(7,8)，(7,9)；(8,9)，共计36种取法．记“号数至少有一个为奇数”为事件B ，“号数全是偶数”为事件C ，则事件C 为从号数为2,4,6,8的四张票中任取2张有(2,4)，(2,6)，(2,8)，(4,6)，(4,8)，(6,8)共6种取法．∴P (C )＝636＝16，由对立事件的性质得P (B )＝1－P (C )＝1－16＝56.一、选择题1．甲袋中有大小相同的4只白球、2只黑球，乙袋中有大小相同的6只白球、5只黑球，现从两袋中各取一球，则两球颜色相同的概率是( )A.1233 B ．533C.433 D ．1733[答案] D[解析] 基本事件总数有6×11＝66，而两球颜色相同包括两种情况：两白或两黑，其包含的基本事件有4×6＋2×5＝34(个)，故两球颜色相同的概率P ＝3466＝1733.2．从装有5只红球、5只白球的袋中任意取出3只球，有事件：①“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；②“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；③“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；④“取出3只红球”与“取出3只白球”．其中是对立事件的是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．③[答案] D[解析] 从袋中任取3只球，可能取到的情况有：“3只红球”“2只红球1只白球”“1只红球2只白球”“3只白球”，由此可知①②④中的两个事件都不是对立事件．对于③，“取出3只球中至少有1只白球”包含“2只红球1只白球”“1只红球2只白球”“3只白球”三种情况，故是对立事件．二、填空题3．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率为49，则至少有一个5点或6点的概率是________．[答案] 59[解析] 记“没有5点或6点”的事件为A ，则P (A )＝49，“至少有一个5点或6点”的事件为B .由已知A 与B 是对立事件，则P (B )＝1－P (A )＝1－49＝59.4．一枚五分硬币连掷三次，事件A 为“三次反面向上”，事件B 为“恰有一次正面向上”，事件C 为“至少两次正面向上”．写出一个事件A 、B 、C 的概率P (A )、P (B )、P (C )之间的正确关系式__________．[答案] P (A )＋P (B )＋P (C )＝1[解析] 一枚五分硬币连掷三次包含的基本事件有(反，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(正，正，正)共8种，事件A ＋B ＋C 刚好包含这8种情况，且它们两两互斥，故P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1.三、解答题5．在某一时期，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下：(1)10～16m ；(2)低于12m ；(3)不低于14m.[解析] 分别设年最高水位低于10m ，在10～12m ，在12～14m ，在14～16m ，不低于16m 为事件A ，B ，C ，D ，E .因为这五个事件是彼此互斥的，所以(1)年最高水位在10～16m 的概率是：P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.28＋0.38＋0.16＝0.82. (2)年最高水位低于12m 的概率是： P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.1＋0.28＝0.38.(3)年最高水位不低于14m 的概率是： P (D ＋E )＝P (D )＋P (E )＝0.16＋0.08＝0.24.6．某射手射击一次，中靶的概率为0.95.记事件A 为“射击一次中靶”，求： (1)A 的概率是多少？(2)若事件B (环数大于5)的概率是0.75，那么事件C (环数小于6)的概率是多少？事件D (环数大于0且小于6)的概率是多少？[解析] (1)P (A )＝1－P (A )＝1－0.95＝0.05. (2)由题意知，事件B 即为“环数为6,7,8,9,10环” 而事件C 为“环数为0,1,2,3,4,5环”，事件D 为“环数为1,2,3,4,5环”．可见B 与C 是对立事件，而C ＝D ＋A . 因此P (C )＝P (B )＝1－P (B )＝1－0.75＝0.25. 又P (C )＝P (D )＋P (A )，所以P (D )＝P (C )－P (A )＝0.25－0.05＝0.20.7．(2014·四川文，16)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率． [解析] (1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)， (2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P(B)＝1－P(B)＝1－327＝8 9.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为89.。

第三章-§1-指数幂的拓展-§2-指数幂的运算性质高中数学必修第一册北师大版

求什么
想什么
2
要证

=
2
2
1
+ ，可转化为证底数是的幂的形式，即证

1

1

1

差什么如何用，，表示和
找什么

2 1
+

2 1

= =
1

2 1
2 1
+

2

，想到 =
1

2
= 32 × 4 = 36，即得证.
= 36，
=
2 1
+

.
4
) =
有负指数幂的形式）
=
1
1 2
−4
2

⋅
7
8
3

−
1
8
⋅
1
2
3
2
1
2
=
2

⋅
3
2
1
2
1
2
=
2

⋅
3
4
1
4
=
2

⋅
3
4
1
4
1
2
=
= .（【明易错】化简的结果中不可出现既有分式又
方法2 （由外向内化）原式
=
1
8
3
8
1
2
2
3

7
8
1
−8
= .
6
−5
1
2
2

【解析】当是正偶数时， = ，故A错误；
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2019-2020年北师大版数学必修三：第3章+章末复习课及答案

2019-2020 年北师大版数学必修三：第 3 章 +章末复习课及答案随机事件的频次与概率【例 1】空气质量已成为城市居住环境的一项重要指标，空气质量的利害由空气质量指数确立，空气质量指数越高，代表空气污染越严重：空气质0～35 35～7575～115115～150150～250≥ 250 量指数空气质轻度中度重度严重优良量类型污染污染污染污染对某市空气质量指数进行一个月(30 天)的监测，所得的条形统计图以下图：(1)预计该市一个月内空气遇到污染的概率 (若空气质量指数大于或等于 75，则空气遇到污染 )；(2)在空气质量类型为“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据顶用分层抽样的方法抽取一个容量为 6 的样本，若在这 6 个数据中任取 2 个数据，求这 2个数据所对应的空气质量的类型不都是轻度污染的概率．12 4 2 18 3[ 解] (1)空气遇到污染的概率P＝30＋30＋(2)易知用分层抽样的方法从“ 良”“ 轻度污染”“ 中度污染”的监测数据中抽取的个数分别为2,3,1.设它们的数据挨次为 a1，a2，b1， b2，b3， c1，则抽取 2 个数据的所有基本领件为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3 )，(a1，c1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c1)，(b1，b2)，(b1，b3)， (b1， c1)，(b2，b3)，(b2，c1)， (b3，c1)，共 15 种．设“这两天的空气质量类型不都是轻度污染” 为事件A，则A中的基本领件数为 12，所以 P(A)＝12 4 4 15＝5，即这两天的空气质量类型不都是轻度污染的概率为5.1．概率从数目上反应了随机事件发生的可能性大小．它对大批重复试验来说存在着一种统计规律性，但对单次试验来说，随机事件的发生是随机的．2．解决实质问题时，要注意频次与概率的差别与联系：概率是一个常数，频率是一个变数，它跟着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频次就越靠近于概率．3．判断一个事件是不是随机事件，重点是看它能否可能发生．1．某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果以下表所示：投篮次数 n 8 10 15 20 30 40 50进球次数 m 6 8 12 17 25 32 40m进球频次n(1)计算表中进球的频次；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？[ 解](1)填入表中的数据挨次为0.75,0.80,0.80,0.85,0.83,0.80,0.80.(2)因为上述频次靠近，所以，进球的概率约为0.80.古典概型【例 2】利用平面直角坐标系求解．先后投掷两枚骰子，察看向上的点数，则：(1)所得点数之和是 3 的概率是多少？(2)所得点数之和是 3 的倍数的概率是多少？[ 解]掷一枚骰子的结果有 6 种．因为第一枚骰子的每一个结果都可与第二枚骰子的随意一个结果配对，构成先后投掷两枚骰子的一个结果，所以先后投掷两枚骰子的结果共有36 种．(1)事件“所得点数之和为3”记为 A，共有两种结果：“第一枚点数为 1，第2 二枚点数为 2”和“第一枚点数为 2，第二枚点数为 1”，故所求概率为 P(A)＝36＝1.18(2)所得点数之和是 3 的倍数的结果有 (1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)， (3,6)，(4,2)， (4,5)，(5,1)， (5,4)，(6,3)，(6,6)，共 12 种．记“向上的点数之和是 3 的倍数”为事件 B，则事件 B 的结果有 12 种，故所12 1求的概率为 P(B)＝36＝3.1．古典概型的特色是：有限性和等可能性．2．关于古典概型概率的计算，重点要分清基本领件的总数n 与事件 A 包括的m基本领件的个数m，再利用公式 P(A)＝n求出概率．有时需要用列举法把基本领件一一列举出来，在列举时一定按某一次序做到不重、不漏．2．某射手在一次射击中射中10 环、 9 环、 8 环、 7 环、 7 环以下的概率分别为、、、、0.13.计算这个射手在一次射击中：(1)射中 10 环或 9 环的概率；(2)起码射中 7 环的概率；(3)射中环数不足 8 环的概率．[解] 设“射中 10 环”“ 射中 9 环”“ 射中 8 环”“ 射中 7 环”“ 射中 7 环以下”的事件分别为 A、B、C、D、E，(1)P(A＋B)＝ P(A)＋ P(B)＝＋＝，即射中 10 环或 9 环的概率为 0.52.(2)“射中环数小于 7 环”为“起码射中 7 环”的对峙事件，所以所求事件的概率为 1－P(E)＝ 1－＝0.87.(3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝＋＝，即射中环数不足8 环的概率为0.29.几何概型[ 研究问题 ]1．几何概型有什么特色？[ 提示 ]几何概型的特色有：①试验中所有可能出现的结果(基本领件 )有无穷多个；② 每个基本领件出现的可能性相等．2．古典概型和几何概型的异同是什么？[ 提示 ]几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的差别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无穷的．【例 3】向面积为9的△ ABC内投一点P，求△ PBC的面积小于3的概率．1[ 解] 如图，作 AD⊥BC，垂足为 D，设 ED＝3AD，则 AE2 2＝3AD.过 E 作 MN∥BC，则 MN＝3BC.1 1 22 4 1 4∴S△AMN＝2MN·AE＝2×3BC×3AD＝9×2BC·AD＝9S△ABC.设事件 A：“△ PBC 的面积小于 3”，而点 P 落在△ ABC 内任一点的概率相同，当点 P 落在 MN 上时，1S△PBC＝3S△ABC＝ 3.1当点 P 落在线段 MN 上部时， S△PBC>3S△ABC＝3.1当 P 落在线段 MN 下部时， S△PBC<3S△ABC＝3.∴事件 A 的概率只与四边形BCNM 的面积相关，属几何概型．∵S△ABC＝9，4S△AMN＝9S△ABC＝4，S△ABC－ S△AMN9－4 5∴P(A)＝S△ABC＝9＝9.几何概型的概率公式合用于有无穷多个试验结果的状况，且每种结果的出现是等可能的 .试验的结果发生在一个确立的地区内，因为在确立范围内的等可能性，所以其概率等于该事件构成的子地区占总地区的比率 .依这类比率求解，近似古典概型的思路，即事件 A 的概率由“构成事件 A 的基本领件所占的图形面积长度、体积”与“试验的所有结果所占的总面积长度、体积”之比来表示 .3．在以3为半径的圆内任取一点P 为中点作圆的弦，求弦长超出圆内接等边三角形边长的概率．[ 解]设“ 弦长超出圆内接等边三角形的边长” 为事件A.在以半径为3的圆内任取一点P 的结果有无穷个，属于几何概型．以下图，△BCD 是圆内接等边三角形，再作△ BCD的内切圆．则知足“弦长超出圆内接等边三角形边长” 的点P在等边△BCD 的内切圆内．3 能够计算得：等边△BCD 的边长为 3，等边△ BCD 的内切圆的半径为，所233以事件 A 构成的地区面积是等边 △ BCD 的内切圆的面积 π×2＝4π，所有结果构成的地区面积是 π×(3)2＝ 3 π，34π1所以 P(A)＝＝，3π 41即弦长超出圆内接等边三角形的边长的概率是4.数形联合思想【例 4】设点 M(x ，y)在|x|≤ 1， |y|≤1 时按平均散布出现．(1)求 x ＋y ≥0 的概率；(2)求 x ＋y ＜1 的概率；(3)求 x 2 ＋y 2≥1 的概率．[ 思路研究 ] 利用平面直角坐标系划归为平面点集求解．[ 解] 利用平面直角坐标系划归为平面点集求解．以下图，知足 |x|≤ 1，|y|≤1 的点构成一个边长为 2 的正方形，其面积为 4.(1)方程 x ＋y ＝ 0 的图形是直线 AC ，知足 x ＋y ≥0 的点在直1线 AC 的右上方，即在 △ACD 内(含界限 )，S △ ACD ＝ 2S 正方形 ABCD ＝ 2，2 1所以 P(x ＋y ≥0)＝ 4＝ 2.(2)设 E(0,1)，F(1,0)，则 x ＋y ＝1 的图形是直线 EF ，知足 x ＋ y ＜ 1 的点在直线 EF 的左下方，而 S 五边形 ABCFE ＝ S 正方形 ABCD －S △EDF ＝4－1＝7，227S 五边形 ABCFE 2 7所以 P(x ＋y ＜1)＝＝4＝8.S 正方形 ABCD(3)知足 x 2＋ 2＝ 1 的点是以原点为圆心的单位圆 O ，因为 ⊙ O ＝π，所以 P(x 2y S2019-2020 年北师大版数学必修三：第 3 章 +章末复习课及答案S正方形ABCD－ S 4－ππ＋y2≥1)＝⊙ O4＝1－4. S正方形ABCD ＝在解决较为抽象的问题时，借助几何图形，能够直观、清楚地表达出问题的条件或结果，使得抽象问题形象化，进而大大简化问题的求解过程．在几何概型中把概率问题转变为图形的量度问题就是很好的数形联合的模范．此题把知足不等式的点集在座标平面上找出来，就是把“数”的问题转变为“形”的问题，进而表现了数形联合思想．4．设 M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ，任取 x，y∈M ，x≠ y.求 x＋y 是 3 的倍数的概率．[ 解]利用平面直角坐标系列举，以下图：由此可知，基本领件总数n＝ 1＋ 2＋ 3＋ 4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.而 x＋y 是 3m 1的倍数的状况有m＝15(种)，故所求事件的概率为n ＝3.-7-/7。

2019秋新版高中数学北师大版必修3习题：第三章概率检测 Word版含解析.docx

第三章检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列对古典概型的说法中正确的是()①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④基本事件总数为n,若随机事件A包含k个基本事件,则P(A)A.②④B.①③④C.①④D.③④答案:B2.下列事件:①物体在重力作用下会自由下落;②方程x2-2x+3=0有两个不相等的实数根;③下周日会下雨;④某寻呼台每天某一时段内收到传呼的次数少于10次.其中随机事件的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:B3.已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)的四个函数y1=x-1,y2=x2,y3=3x,y4=3x,从四个函数中任取两个函数相乘,所得函数为奇函数的概率是()A解析:从四个函数中任取两个相乘得到下列情况:y1y2,y1y3,y1y4,y2y3,y2y4,y3y4,其中是奇函数的有y1y2,y2y4,故所求概率为答案:B4.掷一枚均匀的硬币两次,事件M={一次正面向上,一次反面向上};事件N={至少一次正面向上}.下列结果正确的是()A.P(M)B.P(M)C.P(M)D.P(M)解析:掷一枚均匀的硬币两次,所有基本事件为:{正,正}、{正、反}、{反,正}、{反,反},所以P(M)答案:B5.设集合P={b,1},Q={c,1,2},P⊆Q,若b,c∈{2,3,4,5,6,7,8,9},则b=c的概率是()A解析:因为P={b,1},Q={c,1,2},P⊆Q,所以b=c≠2或b=2,c≠2.又b,c∈{2,3,4,5,6,7,8,9},当b=c≠2时,b,c的取法共有7种,当b=2,c≠2时,c的取法共有7种.所以集合P,Q的构成共有14种,其中b=c的情况有7种,b=c的概率为答案:C6. 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,则摸出黑球的概率是()A.0.42B.0.28C.0.3D.0.7答案:C7.欧阳修在《卖油翁》中写道:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.已知铜钱是直径为3 cm的圆,中间有边长为1 cm 的正方形孔.若你随机向铜钱上滴一滴油,则这滴油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是()A解析:用A表示事件“这滴油正好落入孔中”,则由几何概型的概率公式可得P(A)正方形的面积圆的面积答案:D8.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,他们“心有灵犀”的概率为()A解析:首先要弄清楚“心有灵犀”的实质是|a-b|≤1,由于a,b∈{1,2,3,4,5,6},则满足要求的事件可能的结果有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共16种,而依题意得基本事件的总数为36.因此他们“心有灵犀”的概率为故选D.答案:D9.在正方形ABCD内任取一点P,使∠APB<90°的概率是()A解析:如图,以AB为直径作半圆,当点P落在上时,∠APB=90°,当点P落在图中的阴影部分时,∠APB<90°.设正方形的边长为1,“在正方形ABCD内任取一点P,则使∠APB<90°”为事件A,则阴影部分的面积为1-所以P(A)答案:C10.若a∈{1,2},b∈{-2,-1,0,1,2},则关于x的方程x2+ax+b=0有实数根的概率为()A解析:若方程有实数根,则a2-4b≥0,即a2≥4b.则满足条件的基本事件(a,b)有(1,0),(2,-1),(2,0),(1,-1),(1,-2),(2,-2),(2,1)共7种,而基本事件总数为10,故所求概率为答案:B11.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是()A解析:正方形四个顶点可以确定6条直线,甲、乙各自任选一条共有36个基本事件.两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和1组对角线),包括10个基本事件,所以所求概率等于答案:C12.阅读如图所示的算法框图,若函数的定义域为(-3,4),则输出函数的值在内的概率为A解析:由算法框图得,f(x)=或若-1≤x≤1,令即∴-2<x<-1(舍去);若-3<x<-1或4>x>1,令即问题转化为长度的几何概型,总长度为4-(-3)=7,所求事件表示的长度为2-1=1,则所求的概率为故选A.答案:A二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球,其中红球45个,从口袋中摸出一个球,摸出白球的概率为0.23,则摸出黑球的概率为.解析:摸出红球的概率为因为摸出红球、白球和黑球是互斥事件,因此摸出黑球的概率为1-0.45-0.23=0.32.答案:0.3214.三张卡片上分别写有字母E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英语单词BEE的概率是.答案15.在区间[-2,4]上随机地取一个数x,若x满足|x|≤m的概率为则解析:由题意[-2,4]的区间长度为6,满足条件的x取值范围的区间长度为5,故m取3,x∈[-2,3].答案:316.如图,四边形ABCD为矩形,AB以为圆心为半径画圆交线段于点在圆弧上任取一点则直线与线段有公共点的概率为解析:如图,连接AC交于点F,则点P在上时直线AP与线段BC有公共点.因为AB所以∠BAC故直线AP与线段BC有公共点的概率为答案三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10(1)(2)从这批U盘中任取一个是次品的概率是多少?解:(1)表中次品率分别为0.06,0.04,0.025,0.02,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.18.(本小题满分12分)随机地排列数字1,5,6得到一个三位数,计算下列事件的概率:(1)所得的三位数大于400;(2)所得的三位数是偶数.解:随机排列数字1,5,6可得三位数:156,165,516,561,615,651共6个.设“所得的三位数大于400”为事件A,“所得的三位数是偶数”为事件B.由古典概型的概率公式可得:(1)P(A)(2)P(B)19.(本小题满分12分)如图,在长为52,宽为42的大矩形内有一个边长为18的小正方形,现向大矩形内随机投掷一个半径为1的小圆片,求:(1)小圆片完全落在大矩形上及其内部时,其圆心形成的图形面积;(2)小圆片与小正方形及其内部有公共点的概率.解:(1)当小圆片完全落在大矩形上及其内部时,其圆心形成的图形为一个长为50,宽为40的矩形,故其面积为50×40=2 000.(2)当小圆片与小正方形及其内部有公共点时,其圆心形成的图形面积为(18+2)×(18+2)-4×1×1+4故小圆片与小正方形及其内部有公共点的概率为20.(本小题满分12分)如图,在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q,求过点Q且与该直径垂直的弦的长度不超过1的概率.解:弦长不超过1,即|OQ|≥而点Q在线段AB上是随机的,设事件A={弦长超过1}.由几何概型的概率公式得P(A)所以弦长不超过1的概率为1-P(A)=121.(本小题满分12分)如图是两个可以自由转动的转盘,甲转盘被等分成3个扇形,乙转盘被等分成4个扇形,每一个扇形上都标有相应的数字.小明和小红利用它们做游戏,游戏规则是:同时转动两个转盘,当转盘停止后,指针所指区域内的数字之和小于9,小明获胜;指针所指区域内的数字之和等于9,为平局;指针所指区域内的数字之和大于9,小红获胜(如果指针恰好指在分割线上,那么再转一次,直到指针指向一个数字为止).(1)请你通过画树状图或列表法求小明获胜的概率.(2)你认为该游戏规则是否公平?若游戏规则公平,请说明理由;若游戏规则不公平,请你设计一种公平的游戏规则.解:(1)列表法:或树状图:根据列表或树状图可知,小明获胜的概率为P1(2)这个游戏不公平,因为小明获胜的概率为P1小红获胜的概率为P2所以,这个游戏对小红不公平.设计游戏规则:当指针所指区域数字之和小于9,小明获胜;当指针所指区域数字之和不小于9,小红获胜.22.(本小题满分12分)某算法框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.(1)分别求出按算法框图正确编写算法运行时输出y的值为i的概率P i(i=1,2,3).(2)甲、乙两同学依据自己对算法框图的理解,各自编写算法重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.当n=2 100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编写算法各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写的算法符合算法要求的可能性较大.解:(1)变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3所以,输出y的值为1的概率为输出y的值为2的概率为输出y的值为3的概率为(2)比较频率趋势与(1)中所求概率,可得乙同学所编写的算法符合算法要求的可能性较大.。

2019-2020年北师大版数学必修三：第3章+§3 模拟方法——概率的应用及答案

§3模拟方法——概率的应用1．模拟方法模拟方法是一种非常有效而且应用广泛的方法，所以我们常常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率，用模拟方法可以在短时间内完成大量的重要试验．2．几何概型向平面上有限区域(集合)G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P(点M落在G1)＝G1的面积G的面积，则称这种模型为几何概型．几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．3．几何概型的特点与概率计算公式(1)几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．②每个基本事件出现的可能性相等．(2)几何概型的概率计算公式：在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).(3)计算步骤：①判断是否是几何概型，尤其是判断等可能性；②计算基本事件空间与事件A所含的基本事件对应的区域的几何度量(长度、面积或体积)n和m.这是计算的难点；③利用概率公式P(A)＝mn计算．思考：几何概型与古典概型有何区别？[提示]几何概型与古典概型的异同点1．用随机模拟方法求得某几何概型的概率为m，其实际概率的大小为n，则()A．m＞n B．m＜nC．m＝n D．m是n的近似值D[随机模拟法求其概率，只是对概率的估计．]2．在半径为2的球O内任取一点P，则|OP|＞1的概率为()A.78 B.56 C.34 D.12A[问题相当于在以O为球心，1为半径的球外，且在以O为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝43π×23－43π×1343π×23＝78.] 3．在长为10 cm 的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm 2与49 cm 2之间的概率为( )A.310B.15C.25D.45B [∵25＜S ＜49，∴5＜AP ＜7，∴P (25＜S ＜49)＝7－510＝15.]4．在1 000 mL 水中有一个草履虫，现从中随机取出3 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是________．31 000 [由几何概型知，P ＝31 000.]【例1】 (1)某公共汽车站每隔5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的，乘客候车时间不超过3 min 的概率是________． (2)一只蚂蚁在三边边长分别为3,4,5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．(1)35 (2)12 [(1)法一设上一辆车于时刻T 1到达，而下一辆车于时刻T 2到达，线段T 1T 2的长度为5，记T 是线段T 1T 2上的点，且TT 2的长等于3，记等车时间不超过3 min 为事件A ，事件A (候车时间不超过3 min)发生即当点落在线段TT 2上，记D ＝T 1T 2＝5，d ＝TT 2＝3，所以P (A )＝d D ＝35.即候车时间不超过3 min 的概率为35.法二容易判断这是一个几何概型问题，如图所示．记A 为“候车时间不超过3 min ”，以x 表示乘客来到车站的时间，那么每一个试验结果可以表示为x ，假定乘客到车站后第一辆汽车来到的时刻为t ，依据题意，乘客必在(t －5，t ]内来到车站，故D ＝{x |t －5＜x ≤t }，欲使乘客候车时间不超过3 min 必须满足t －3≤x ≤t ，所以d ＝{x |t －3≤x ≤t }，所以P (A )＝d D ＝35.(2)如图所示，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，则△ABC的周长为3＋4＋5＝12.某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率P ＝DE ＋FG ＋MNBC ＋CA ＋AB＝3＋2＋112＝12.]如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型.可按下列公式来计算其概率：P (A )＝事件A 构成的区域长度全部试验结果构成的区域长度.1．(1)函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率为( )A ．1B.23C.310D.25 (2)如图，在平面直角坐标系中，射线OT 为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内的概率是________．(1)C (2)16 [(1)令x 2－x －2＝0，得x 1＝－1，x 2＝2，f (x )的图像是开口向上的抛物线，与x 轴的交点为(－1,0)，(2,0)，图像在x 轴下方，即f (x 0)≤0的x 0的取值范围为x 0∈[－1,2]，所以P ＝2－(－1)5－(－5)＝310. (2)因为在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为60°，而整个角集合对应的角度为圆周角，所以该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝60360＝16.]【例2】一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．[解] 依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1，则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为P ＝1333＝127.1．如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的体积及事件A 所占的体积．其概率的计算公式为：P (A )＝构成事件A 的体积试验的全部结果构成的体积. 2．解决此类问题一定要注意几何概型的条件，并且要特别注意所求的概率是与体积有关还是与长度有关，不要将二者混淆．2．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，则满足∠AMB ＞90°的概率为( )A.π24B.π12C.π8D.π6A [在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中任取一点M ，满足∠AMB ＞90°的区域的面积是半径为1的球的14，体积为14×43×π×13＝π3，∴所求概率为π38＝π24，故选A.][探究问题]1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关．2．在几何概型中，如果A 为随机事件，若P (A )＝0，则A 一定为不可能事件；若P (A )＝1，则A 一定为必然事件，这种说法正确吗？提示：不正确．若随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件．如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．【例3】假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00.问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A )的概率是多少？[解] 如图，送报人到达的时间是6：30～7：30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x 轴表示报纸送到的时间，y 轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x ，y )是图中所示正方形中等可能的任意一点．事件A (父亲离开家前能拿到报纸)发生需x ≤y ，即正方形内阴影部分，事件A 发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．μA ＝12－12×12×12＝78，μn ＝1, 所以P (A )＝μA μn ＝78.在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值.此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果构成的区域面积计算事件的概率即可.3．(1)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4(2)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≥0－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12(1)B (2)B [(1)不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为π2，故此点取自黑色部分的概率为π24＝π8.故选B.(2)易知点C 的坐标为(1,2)，点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积为6，阴影部分的面积为32，故所求概率为14.]1．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的题目．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).1．思考辨析(1)从区间[－10,10]内任取一个整数，求取到1的概率概型是几何概型．(2)从区间[－10,10]内任取一个数，求取到大于等于1且小于等于5的数的概率模型是几何概型． ( )(3)从一个边长为4 cm 的正方形ABCD 内任取一点P ，求点P 离中心不超过1 cm 的概率模型是几何概型． ( )(4)几何概型中每个结果发生的可能性都相等．( ) [解析] (1)×，是古典概型．(2)√，可能出现的结果有无限个，且每个结果出现的可能性相等．(3)√，符合几何概型的特征．(4)√，由几何概型的特点可知．[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．在500 mL的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为()A．0B．0.002C．0.004D．1C[由几何概型公式得：P＝2500＝0.004.]3.如图所示，在平面直角坐标系内，射线OT落在60°的终边上，任做一条射线OA，射线OA落在∠xOT内的概率为________．16[记B＝{射线OA落在∠xOT内}，∵∠xOT＝60°，∴P(B)＝60°360°＝16.]4．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min长的磁带上，从开始30 s处起，有10 s长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了．该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？[解]记A＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A的发生就是在0 min到23min之间的时间段内按错键，P(A)＝2330＝145.。

高一北师大版必数学必修3第三章概率练习含答案解析双基限时练18

双基限时练(十八)一、选择题1．下列对古典概型的说法中正确的是( )①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件总数为n ，随机事件A 若包含k 个基本事件，则P (A )＝k n .A ．②④B ．①③④C ．①④D ．③④解析据古典概型的知识可知答案为B 项．答案 B2．从甲、乙、丙三人中任选两人作为世博会的志愿者，甲被选中的概率是( )A.12B.13C.23D ．1解析从甲、乙、丙三人中任选两个，共有3种情形，其中甲被选中有2种情形，故甲被选中的概率为P ＝23.答案 C3．连续抛掷3枚质地均匀的硬币，其中“恰有两枚正面向上”的概率为( )A.18B.14C.38D.23解析抛掷3枚硬币，共出现8种不同的情形：(正正正)，(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反反正)，(反正反)，(反反反)，其中恰有两枚正面向上的情形有3种：(正正反)，(正反正)，(反正正)，故其概率P ＝38.答案 C4．从1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于40的概率为( )A.25B.15C.45D.35解析从1,2,3,4,5中任取两个不同的数构成两位数，共有5×4＝20个，其中两位数大于40的有8个，则两位数大于40的概率为P ＝820＝25.答案 A5．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则上述方程有实根的概率是( )A.14B.34C.16D.12解析 a ，b 取值共有情形12种，其中保证4a 2－4b 2≥0的有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，共有9种，∴上述方程有实根的概率为P ＝912＝34.答案 B6．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )A.310B.25C.12D.35解析从五种不同属性的物质中随机抽取两种，出现的情况有：(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)共10种等可能情况，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为12.故应选C 项．答案 C 二、填空题7．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5，2.6，2.7，2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．解析从5个竹竿中一次抽取2个，共有10种情形，满足长度恰好相差0.3m 的有(2.5,2.8)，(2.6,2.9)两种情形，故长度恰好相差0.3m 的概率为210＝15.答案 158．一个口袋中装有大小相同的不同标号的5个球，其中3个白球2个红球．从中摸出两个球，共有基本事件________个．从中摸出2个球都是白球的概率为________．答案 10 3109．将一个体积为27 cm 3的正方体木块表面涂上蓝色，然后锯成体积为1 cm 3的小正方体，从中任取一块，则这一块恰有两面涂有蓝色的概率为________．解析将正方体锯开共有27个小正方体，其中两面涂色的有12块，故从中任取一块，这一块恰有两面涂有蓝色的概率为P ＝1227＝49.答案 49 三、解答题10．袋中装有6个小球，其中4个白球2个红球，从袋中任意取出两个球，求下列事件的概率：(1)A ：取出的两球都是白球；(2)B ：取出的两球一个是白球，另一个是红球．解设4个白球的编号为1,2,3,4；2个红球的编号为5,6，从袋中的6个球中取两个的结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共有15个．(1)从袋中任取两个都是白球的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种，故取出的2个小球都是白球的概率为P (A )＝615＝25.(2)从袋中的6个球中任取2个一个是白球，另一个是红球的情形有(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(1,6)，(2,6)，(3,6)，(4,6)，共8种，故取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率P (B )＝815.11．山东鲁能、上海申花、天津泰达与杭州绿城四家中国足球俱乐部参加了2019年赛季亚洲足球俱乐部冠军联赛．为了打出中国足球的精神面貌，足协想派两名教练深入俱乐部，且两名教练不能到同一家俱乐部，求山东鲁能被增派教练的概率．解从四个足球俱乐部中选两个，每个俱乐部增派一名教练共有12种不同的情形，其中山东鲁能被增派教练的情形有6种，故山东鲁能被增派教练的概率P ＝612＝12.12．每次抛掷一枚骰子．(1)连续抛掷两次，求向上的数不同的概率； (2)连续抛掷两次，求向上的数之和为6的概率．解 (1)连续抛掷两次骰子，共有36种不同的结果，其中向上的数不同的有6×5种，故向上的数不同的概率P 1＝6×536＝56.(2)连续抛掷两次骰子，共有36种不同的结果，其中向上的数之和为6的有：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5种情形，故向上的点数之和为6的概率P 2＝536.思维探究13．设集合P ＝{b,1}，Q ＝{c,1,2}，P ⊆Q ，若b ，c ∈{2,3,4,5,6,7,8,9}． (1)求b ＝c 的概率；(2)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．解 (1)因为P ⊆Q ，当b ＝2时，c ＝3,4,5,6,7,8,9；当b >2时，b ＝c ＝3,4,5,6,7,8,9，基本事件总数为14.其中b ＝c 的事件数为7种，所以b ＝c 的概率为：714＝12.(2)记“方程有实根”为事件A，若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b＝c＝4,5,6,7,8,9共6种．所以P(A)＝614＝37.。

2019-2020学年高一数学北师大版必修3同步单元卷：(7)算法的基本思想 Word版含答案

姓名，年级：时间：同步单元卷（7)算法的基本思想1、下面对算法描述正确的一项是( ）A。

算法只能用自然语言来描述B.算法只能用图形方式来表示C。

同一问题可以有不同的算法D.同一问题的算法不同,结果必然不同2、计算下列各式中的S值，能设计算法求解的是（)①123100S=+++；②123100S=+++;③()=+++≥∈。

S n n n N1231,A.①②B.①③C.②③D.①②③3、早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min）、刷水壶（2 min)、烧水（8 min）、泡面（3 min）、吃饭(10min）、听广播(8 min)几个步骤。

从下列选项中选出最好的一种算法（ )A。

(1）洗脸刷牙;(2）刷水壶；(3)烧水；（4）泡面;（5)吃饭；（6)听广播B。

（1)刷水壶；(2)烧水同时洗脸刷牙；(3)泡面；(4）吃饭；(5)听广播C。

(1）刷水壶;(2)烧水同时洗脸刷牙；(3)泡面；（4）吃饭同时听广播D.(1）吃饭听广播；（2)泡面;（3）烧水同时洗脸刷牙;(4）刷水壶5、某个问题的算法如下：（1) 输入n（2) 判断n是否是2，若2n>，则执行下一步.n=,则n满足条件,若2（3）依次判断从2到()1n-能不能整除n，若都不能整除n，则n满足条件.满足上述条件的是（ )A。

素数 B.奇数 C.偶数D。

约数6、计算下列S ,能设计成算法求解的是（）①1234150S =+++++; ②1234150S =++++++; ③1234(1S n n =+++++≥且)n N ∈。

A.①②B.①③C.②③D.①②③7、下面给出的计算246100++++的算法中正确的是( ）A.第一步：输入n ；第二步: ()112S n =+；第三步:输出S B 。

第一步: 0p =；第二步： 1i =；第三步: p p i =+；第四步:如果100i ≤，则返回第三步,否则算法结束；第五步：输出pC 。

高中数学必修3(北师版)第三章3.2 古典概型(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

名，各年级男、女生人数如下表：0.18例题：一般地，如果事件，，，两两互斥（彼此互斥），那么事件“ ”发生（是指事件，，，中至少有一个发生）的概率，等于这个事件发生的概率和，即（3）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则为必然事件，．高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

A 1A 2⋯A n ∪∪⋯∪A 1A 2A n A 1A 2⋯A n n P (∪∪⋯∪)=P ()+P ()+⋯+P ().A 1A 2A n A 1A 2A n AB A ∪B P (A ∪B )=1 盒子里有个红球，个白球，现从中任取个球，设事件，事件，事件，事件．（1）事件与、是什么样的运算关系？（2）事件与的交事件是什么事件？解：（1）对于事件，可能的结果为个红球个白球，或个红球个白球，故．（2）对于事件，可能的结果为个红球个白球，个红球个白球，个均为红球，故．643A ={3个球中有1个红球，2个白球}B ={3个球中有2个红球，1个白球}C ={3个球中至少有1个红球}D ={3个球中既有红球又有白球}D A B C A D 1221D =A ∪B C 12213C ∩A =A 判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花的牌面数字都是从到）中任意抽取张．（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；（3）“抽出的牌的牌面数字为的倍数”与“抽出的牌的牌面数字大于 ”．解：（1）是互斥事件，不是对立事件．从张扑克牌中任意抽取张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．由于可能抽出方块或者梅花，因此不能保证其中必有一个发生，所以二者不是对立事件．（2）既是互斥事件，又是对立事件．从张扑克牌中任意抽取张，“抽取红色牌”与“抽取黑色牌”不可能同时发生，且其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．（3）不是互斥事件，也不是对立事件．从张扑克牌中任意抽取张，“抽出的牌的牌面数字为的倍数”与“抽出的牌的数字大于 ”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌的牌面数字为，因此二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．401101594014014015910某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为，，，．（1）求他乘火车或乘飞机去的概率；（2）求他不乘轮船去的概率；（3）请问他可能乘何种交通工具去的概率为？解：（1）记“他乘火车去”为事件，“他乘轮船去”为事件，“他乘汽车去”为事件，“他乘飞机去”为事件，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．所以（2）设他不乘轮船去的概率为，则（3）由于故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．0.30.20.10.40.5A 1A 2A 3A 4P (∪)=P ()+P ()=0.3+0.4=0.7．A 1A 4A 1A 4P P =1−P ()=1−0.2=0.8.A 20.3+0.2=0.5,0.1+0.4=0.5,。

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[A 基础达标]
1．下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有( ) ①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；
②箱子里有100支铅笔，今从中选取10支进行检验．在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；
③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本． A ．0个 B ．1个 C ．2个
D ．3个
解析：选A.①不满足总体的个体数有限；②不满足不放回抽取的特点；③不满足逐个抽取的特点．
2．把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：10～20，2；20～30，3；30～40，4；40～50，5；50～60，4；60～70，2.则在区间10～50上的数据的频率是( )
A ．0.05
B ．0.25
C ．0.5
D ．0.7
解析：选D.由题知，在区间10～50上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为14
20
＝0.7.
3．某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 满足2b ＝a ＋c ，则二车间生产的产品数为( )
A ．800
B ．1 000
C ．1 200
D ．1 500
解析：选C.因为2b ＝a ＋c ，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3 600×1
3
＝1 200.
4.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，x －1、x －2分别表示甲、乙两名运动员这
项测试成绩的平均数，s 1、s 2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有( )
A ．x －1＞x －2，s 1＜s 2
B ．x －1＝x －2，s 1＝s 2
C ．x －1＝x －2，s 1＜s 2
D ．x －1＝x －2，s 1＞s 2
解析：选C.因为x －1＝15，x －2＝15，s 21＝373，s 22＝53
3，所以x －1＝x －2，s 1
＜s 2.
5．一组数据的方差为s 2，平均数为x －，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数为( )
A ．
1
2
s 2，
12
x －
B ．2s 2，2x －
C ．4s 2，2x －
D ．s 2，x －
解析：选C.将一组数据的每一个数都乘以a ，则新数据组的方差为原来数据组方差的a 2倍，平均数为原来数据组的a 倍，故答案选C.
6．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________、________．
解析：甲组数据为：28，31，39，42，45，55，57，58，66，中位数为45.乙组数据为：29，34，35，42，46，48，53，55，67，中位数为46.
答案：45 46
7．从某地区1 500位中年人中随机抽取100人，其是否常用微信的情况如下表所示：
则该地区不常用微信的中年人中女性比男性约多________人．解析：设1 500位中年人中女性与男性不常用微信的人数分别为x ，y ，由x
15 00＝22
100
，得x ＝330；同理可得y ＝270. 于是x －y ＝330－270＝60(人)．。