广义积分的收敛判别法
广义积分与收敛性判定
广义积分与收敛性判定广义积分是微积分中的重要概念之一，它扩展了定积分的概念，用于求解某些无界函数的积分。
而广义积分的收敛性判定则是确定广义积分是否存在有限值的关键方法。
本文将介绍广义积分的定义、性质以及几种常见的收敛性判定方法。
一、广义积分的定义广义积分是对某些函数在无界区间上的积分进行推广，定义如下：设函数f(x)在区间[a, +∞)上有定义，如果对于任意的正数M，存在一个实数A使得当x ≥ A时，有1/(M(x)) ≤ f(x) ≤ 1/(N(x))成立（其中M(x)和N(x)是[x, +∞)上的两个函数），则称f(x)在区间[a, +∞)上绝对可积。
如果极限∫(x→+∞) f(x)dx存在，且与A的选取无关，那么称该极限为函数f(x)在区间[a, +∞)的广义积分，记作∫[a, +∞) f(x)dx。
二、广义积分的性质广义积分具有线性性、区间可加性和保号性等性质，使得我们可以进行算术操作和区间分割来计算广义积分。
具体性质如下：（1）线性性质：对于任意实数α和β，以及可积函数f(x)和g(x)，有∫[a, +∞) [αf(x) + βg(x)]dx = α∫[a, +∞) f(x)dx + β∫[a, +∞) g(x)dx。
（2）区间可加性：对于可积函数f(x)，如果a ≤ c ≤ b，那么∫[a, b) f(x)dx = ∫[a, c) f(x)dx + ∫[c, b) f(x)dx。
（3）保号性：如果对于区间[a, +∞)上的可积函数f(x)，有f(x) ≥ 0成立，则∫[a, +∞) f(x)dx ≥ 0。
三、收敛性判定方法确定广义积分的收敛性是对其进行求解的重要步骤。
下面介绍几种常见的收敛性判定方法。
（1）比较判定法：设在区间[a, +∞)上，函数f(x)和g(x)满足0 ≤ f(x) ≤ g(x)，如果∫[a, +∞) g(x)dx收敛，则∫[a, +∞) f(x)dx也收敛；如果∫[a, +∞) f(x)dx发散，则∫[a, +∞) g(x)dx也发散。
广义积分收敛判别法
广义积分收敛判别法
广义积分收敛判别法是代数几何学中很重要的工具，它能够为复杂形式的连续函数求解，已被应用于不同的领域，如量子力学，数值模拟和天文等。
一般来说，这种方法是用来解决计算多项式的积分问题，它可以在不知道函数表达式的情况下，用实数序列进行积分数值计算，从而得到函数的收敛性和判别性。
这是一种多元函数的变形计算方法，可在函数未知情况下计算积分，并依据实数序列的判别性，判断函数的收敛性，从而进行函数的求解。
多项式积分的计算步骤比较复杂，在极大程度上依赖于计算机技术，同时需要大量精确数值运算，以及数学积分定理等，才能获得精确的结果。
而广义积分收敛判别法就是为了解决这个问题，可以明显减少计算步骤，减少运算时间，提高计算效率。
具体来说，它可以将复杂的积分问题分解成一系列实数序列，然后再用它们的收敛性和判别性来评估函数的积分结果。
首先，通过多项式积分的定义可以获取不同维度的数学表达式，通过求解可获得序列的实数模式。
通过将这种实数模式拓展成更复杂的数字，如高阶多项式和级数，再使用它们的收敛性和判别性来评估函数的积分结果。
在这种情况下，如果结果的实数序列是收敛的，则说明函数的收敛性满足要求，而如果结果的实数序列是判别的，则说明函数的判别性满足要求。
通常情况下，使用广义积分收敛判别法，可以根据实数序列的判
别性，来判断函数的收敛性，从而有效地求解复杂函数的积分结果。
由于它可以明显减少计算步骤，减少运算时间，提高计算效率，因此在不同的领域中都有广泛的应用。
因此，广义积分收敛判别法是一个重要的工具，它可以有效地帮助我们求解复杂的函数，同时也可以减少计算步骤，提高计算效率。
最新广义积分的收敛判别法
广义积分的收敛判别法第二节广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件—积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理9.1（Cauchy收敛原理）f(x)在[a, +∞）上的广义积分«Skip收敛的充分必要条件是：«Skip Record If...», 存在A>0, Record If...»使得b, «Skip Record If...»>A时，恒有«Skip Record If...»使用柯西收敛原理立即证明：对«Skip Record If...»«Skip Record If...»得此结论．(«Skip Record If...»为瑕点), 我同样对瑕积分«Skip Record If...»们有定理9.2（瑕积分的Cauchy收敛原理）设函数f(x)在[a,b)上有定义，在其任何闭子区间[a, b–«Skip Record If...»]上常义可积，则瑕积分收敛的充要条件是: «Skip Record If...», «Skip «Skip Record If...»Record If...», 只要0<«Skip Record If...»，就有«Skip Record If...»定义9.5如果广义积分«Skip Record If...»收敛，我们称广义积分«Skip Record If...»绝对收敛（也称f (x )在[a ,+«Skip Record If...»上绝对可积]; 如«Skip Record If...»收敛而非绝对收敛，则称«Skip RecordIf...»条件收敛，也称f (x )在[a ,+«Skip Record If...»上条件可积．由于«Skip Record If...»，均有«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分«Skip Record If...»绝对收敛，则广义积分«Skip Record If...»必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
广义函数收敛和发散的判断
广义函数收敛和发散的判断
广义积分判断敛散性的方法是积分后计算出来是定值，不是无穷大，就是收敛；积分后计算出来的不是定值，是无穷大，就是发散。
广义积分判别法只要研究被积函数自身的性态,即可知其敛散性。
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。
广义积分判别法不仅比传统的判别法更加精细,而且避免了传统判别法需要寻找参照函数的困难。
第二节 广义积分的收敛判别法
第二节广义积分的收敛判别法广义积分的收敛与发散是数学分析中的一个重要问题，因为广义积分不同于普通积分，广义积分可能存在收敛性，也可能存在发散性。
对于一个广义积分的收敛与发散，我们需要利用一些收敛判别法来判断，本文将介绍一些广义积分的收敛判别法。
I. 初等判别法对于某个广义积分 $\int_{a}^{\infty} f(x)\mathrm{d}x$，如果能找到一个常数$c>0$，使得 $f(x)\ge c$ 对于所有 $x\ge a$ 成立，则该积分必定发散。
该判别法的原理很简单，因为当 $f(x)\ge c$ 的时候，因为积分极限为从 $a$ 到无穷大，所以它会与一个发散的积分 $\int_{a}^{\infty} c\mathrm{d}x$ 进行比较，由于$f(x)\ge c$，所以 $\int_{n}^{n+1} f(x)\mathrm{d}x\ge c$ 就可以得到最后的结论。
1. 若 $\int_{a}^{\infty} g(x)\mathrm{d}x$ 收敛，则 $\int_{a}^{\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛IV. 绝对收敛和条件收敛这里需要注意的是，绝对收敛必定收敛，但是条件收敛不一定收敛。
因此，对于一个条件收敛的积分，我们通常需要采用柯西收敛判别法或者达朗贝尔判别法来判断其收敛性。
V. 柯西收敛判别法对于一个条件收敛的广义积分 $\int_{a}^{\infty} f(x)\mathrm{d}x$，如果$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \int_{a}^{b_n} f(x)\mathrm{d}x=0$，则该积分收敛，其中 $b_n$ 是一个单调递增的正数列，且满足$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} b_n=\infty$。
该判别法的原理在于，因为 $|f(x)|\ge |f(x+1)|\ge |f(x+2)|\ge \cdots$，所以可以认为 $|f(x)|$ 随着 $x$ 的增大而逐渐减小，而较小的 $|f(x)|$ 对于积分的影响会相对较小，因此可以利用这个性质来证明广义积分的收敛性。
(5)广义积分敛散性的判别法,
f (x) N ,(a x b) (x a)q
则
b
f (x)dx 发散
a
Cor4.（极限形式）设 f (x) 在区间(a,b]
上连续，且 f (x) 0, lim f (x) xa0
1.如果存在常数0<q<1，使得：
b
lim (x a)q f (x) 存在，则广义积分 f (x)dx
收敛；
a
a
2）如果：当x充分靠近点a时有
lim f (x) 0 f (x) g(x),
xa
b
b
且 f (x)dx 发散则 g(x)dx
a
a
发散（即大的收敛则小的也收敛，反之小的 发散则大的也发散）
补充：无界函数广义积分中p积分的收敛性 与无穷限广义积分情况正好相反
取
g(x)
a
Cor2（与p级数比较的极限形式）
Cor2（极限形式）设 f (x) 在区间
[a, );(a 0) 上连续，且 f (x) 0
则1）当
lim x p f (x), ( p 1)
x
存在时 f (x)dx
a
收敛；
2）当 lim xf (x),( p 1) 存在或为无穷大时， x
f (x)dx
发散；
a
3.级数绝对收敛及其性质
Def：绝对收敛：如果积分 f (x)dx a
收敛，则称积分 f (x)dx 绝对收敛
a
定理：绝对收敛积分必收敛
（ 二）。例题选讲
无穷限广义积分的审敛法
例1 判别广义积分 dx
的敛散性.
1 3 x4 1
§2广义积分的收敛判别法ppt课件
令t, 可见广义 ag积 (x)dx分 必发 . 散
说明: 已知
a
1 xp
dx
收,敛 p1 (a0)
发,散p1
故常 g(x取 )xA p(A0)作比较 ,得函 下列比数 较判别法.
14.04.2020
.
6
定理4. (比较判别法 1) 设非负 f(x)函 C[a数 ,)
(a0).
1) 若存在常 M数 0, p1, 使对充分大的x有
§2 广义积分的收敛判别法
无穷限的广义积分 广义积分
无界函数的广义积分
一、无穷限广义积分的收敛判别法 二、无界函数广义积分的收敛判别法
14.04.2020
.
1
一、无穷限广义积分的收敛判别法
定理1. 设 f ( x ) C [ a , ) , 且 f ( x ) 0 ,若函数
x
F(x)a f (t)dt
思考题:
讨论广义积分
13
1 dx的收敛性 x3 1
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3x31 3(x1)3 x1
可知原积分发散 .
14.04.2020
.
8
定理5. (极限判别法1) 若 f( x ) C [ a , ) ,且 f( x ) 0 ,
满足
limxpf(x)l
x
则有: 1) 当 p1,0l 时af(x)dx收敛 ;
f (x)
则af(x)dx收敛 ;
M xp
2) 若存在常 N数 0, p1, 使对充分大的 x有
f
(x)
N xp
则af(x)dx发散 .
14.04.2020
.
7
例1.
判别广义积分
广义积分的收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中,我们将发现大量的积分是不能直接计算的,有的积分虽然可以直接计算,但因为过程太复杂,也不为计算工作者采用,对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言,求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛,否则其结果毫无意义; 因此,判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的．定理Cauchy 收敛原理fx 在a , +∞ 上的广义积分⎰+∞adx x f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时,恒有 证明：对+∞→b lim0)(=⎰+∞b dx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分⎰b adx x f )(b 为瑕点, 我们有定理瑕积分的Cauchy 收敛原理设函数f x 在a ,b 上有定义,在其任何闭子区间a , b –ε上常义可积,则瑕积分⎰ba dx x f )(收敛的充要条件是: 0>∀ε ,0>∃δ, 只要0<δηη<</,就有定义如果广义积分⎰+∞a dx x f |)(|收敛,我们称广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛也称f x 在a ,+)∞上绝对可积; 如⎰+∞adx x f )(收敛而非绝对收敛,则称⎰+∞adx x f )(条件收敛,也称f x 在a ,+)∞上条件可积．由于a A A ≥∀/,,均有因此,由Cauchy 收敛原理,我们得到下列定理． 定理如果广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛,则广义积分⎰+∞a dx x f )(必收敛．它的逆命题不一定成立,后面我们将会看到这样的例子;对其它形式的广义积分,类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．下面我们先介绍当被积函数非负时,广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：定理无限区间上的广义积分设在a ,+∞上恒有),()(0x k x f ϕ≤≤k 为正常数 则当⎰+∞a dx x )(ϕ收敛时, ⎰+∞a dx x f )(也收敛;当⎰+∞adx x f )(发散时,⎰+∞adx x )(ϕ也发散．证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立．对瑕积分有类似的结论判别法定理 设f x , g x 均为a ,b 上的非负函数,b 为两个函数的奇点,如存在一个正常数k, 使∈∀≤≤x x kg x f ),()(0a , b , 则1） 如⎰badx x g )(收敛,则⎰badx a f )(也收敛;2如⎰b adx x f )(发散,则⎰badx x g )(也发散．比较判别法在实际应用时,我们常常用下列极限形式．定理 如果f x , g x 是a ,+)∞上的非负函数, 且,)()(liml x g x f x =+∞→则 1 如果+∞<≤l 0, 且⎰+∞adx x g )(收敛, 则积分⎰+∞a dx x f )(也收敛． 2 如果+∞≤<l 0, 且⎰+∞adx x g )(发散,则积分⎰+∞a dx x f )(也发散．证明：如果,0)()(lim≠=∞→l x g x f x则对于)0(0>->εεl , 存在A, 当A x ≥时, εε+<<-≤l x g x f l )()(0 即)()()()()(x g l x f x g l εε+<<-成立. 显然⎰+∞adx x f )(与⎰+∞a dx x g )(同时收敛或同时发散,在l =0或 l =∞时,可类似地讨论. 使用同样的方法,我们有定理 对以b 为唯一瑕点的两个瑕积分⎰b a dx x f )(与⎰ba dx x g )(如果f x , g x是非负函数,且,)()(liml x g x f b x =-→则 （1） 当+∞<≤l 0, 且⎰badx x g )(收敛时,则⎰badx x f )(也收敛．（2） 当+∞≤<l 0,且⎰b adx x g )(发散时,则⎰badx x f )(也发散．对无限区间上的广义积分中,取⎰∞+ap dx x1作比较标准,则得到下列Cauchy 判别法：设f x 是a ,+)∞的函数,在其任意闭区间上可积,那么:定理 若0≤f x ≤p x c , p >1,那么积分⎰+∞adx x f )(收敛,如f x ≥p xc,p ≤1,则积分⎰+∞adx x f )(发散．其极限形式为定理 如+∞→x lim l x f x p=)(+∞<≤l 0, p >1, 则积分⎰+∞a dx x f )(收敛．如∞→b lim l x f x p =)(,而+∞≤<l 0, p ≤1, 则⎰+∞a dxx f )(发散.例 判断下列广义积分的收敛性;1 ⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+111)11ln(dx x x 2 ⎰∞++11dx xx nmm >0, n >0 解：1因为0x x +-+≤11)11ln(由⎰∞+121dx x 收敛推出⎰∞+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+111)11ln(dx x x 收敛．2因为+∞→x lim ,11=+-nmmn x x x所以当n －m >1时,积分⎰∞++11dx x x n m收敛. 当n －m ≤1时,积分⎰∞++11dx xx nm发散． 对于瑕积分,使用⎰-bapdx a x )(1作为比较标准,我们有下列柯西判别法． 定理 设x=a 是f x 在a ,b )上的唯一奇点,在其任意闭区间上可积,那么（1） 如0≤f x ≤p a x c)(- c>0, p<1, 则⎰b a dx x f )(收敛． （2） 如f x ≥p a x c )(- c>0, p ≥1, 则⎰b a dx x f )(发散． 瑕积分的Cauchy 判断法的极限形式为 定理 设kx f a x p a x =-+→)()(lim如0≤k <∞, p<1, 则⎰b adx x f )(收敛 如0<k ≤∞, p ≥1, 那么⎰badx x f )(发散．例 判别下列瑕积分的敛散性; 1⎰--10222)1)(1(x k x dxk 2<12⎰2cos sin πx x dxqpp ,q>0 解：11是被积函数的唯一瑕点因为 -→1lim x )1)(1()1(22221x k x dx x --- =+∞<-)1(212k由21=p 知瑕积分收敛．20与2π都是被积函数的瑕点．先讨论,cos sin 40⎰πx x dx q p 由+→0lim x 1cos sin 1=xx x q p p知: 当p<1时, 瑕积分⎰40cos sin πxx dxqp 收敛; 当p ≥1时,瑕积分⎰40cos sin πxx dxqp 发散． 再讨论 ⎰24cos sin ππx x dxqp 因-→2lim πx 1cos sin 1)2(=-xx x qp pπ所以当 q <1时, 瑕积分⎰24cos sin ππx x dxqp 收敛, 当q ≥1时,瑕积分⎰24cos sin ππx x dxqp 发散． 综上所述,当p<1且q<1时, 瑕积分⎰20cos sin πxx dxqp 收敛; 其他情况发散． 例 求证: 若瑕积分⎰10)(dx x f 收敛,且当+→0x 时函数f x 单调趋向于+∞,则+→0lim x x f x =0. 证明：不妨设]1,0(∈∀x , f x ≥0, 且f x 在0, 1上单调减少;已知⎰10)(dx x f 收敛,由柯西收敛准则,有0>∀ε, 0>∃δδ<1, δ<<∀x 0有从而0<)(2x f x≤ε<⎰x x dt t f 2)( 或0<x f x ε2<即+→0lim x x f x =0. 例 求证瑕积分⎰-1)]cos 1([1dx x x λλ>0, 当λ<31时收敛 当λ31≥时发散.证明:∵+→0lim x λλ)]cos 1([3x x x -=+→0limx λλλ⎪⎭⎫ ⎝⎛-233cos 1x x x x=+→0lim x λλ2cos 112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x所以当3λ<1时,即λ<31时,瑕积分收敛．当3λ≥1,即λ≥31时,瑕积分发散．前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性,为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论,我们先给出下面的重要结果．定理积分第二中值定理设g x 在a ,b 上可积,f x 在a ,b 上单调,则存在ξ∈a ,b 使⎰badx x g x f )()(=⎰⎰+ξξa a dx x f b g dx x f a g )()()()(为了证明定理,我们先讨论下列特殊情况．引理设f x 在a , b 上单调下降并且非负,函数g x 在a ,b 上可积,则存在c ∈a ,b ,使⎰badx x g x f )()(=fa ⎰cadx x g )(证明：作辅助函数)(x ψ= fa ,)(⎰xadt t g对a ,b 的任一分法P: a =x 0<x 1<x 2<…<x n =b我们有⎰badx x g x f )()(=dx x g x f ni x x ii )()(11∑⎰=-由此得到|⎰badx x g x f )()(－dx x g x f ni x x i ii )()(111∑⎰=--|=|dx x g x f x f i ni x x ii )()]()([111-=-∑⎰-|≤)(1f L ni i ∑=ω△x i这里L 是|g x |在a ,b 的上界, )(f w i 是)(x f 在[]i i x x ,1-上的振幅,从这个估计式可知,当P 0→时,应当有我们来证明 为此,引入记号 G x = ⎰xa dt t g )(并作如下变换=)]()([)(111-=--∑i i ni i x G x G x f=-∑=-)()(11i n i i x G x f )()(111-=-∑i ni i x G x f=-∑=-)()(11i ni i x G x f )()(1i n i i x G x f ∑-==-∑=-)()(11i ni i x G x f )()(11i n i i x G x f ∑-= 0)()(0==a G x G=+-∑=-)(])()([11i ni i i x G x f x f )()(n n x G x f因为0)()(1≥--i i x f x f , )(n x f 0≥,所以=+-∑=-)(])()([11i ni i i x G x f x f )()(n n x G x f≥{)(])()([11n ni i i x f x f x f +-∑=-})(min ],[x G b a x ∈=)(min )(],[x G a f b a x ∈同样可证我们证明了不等式 即现令|p|0→, 取极限,就得到 因此,存在c ∈a ,b ,使得 )(c ψ=⎰badxx g x f )()(因为)(x ψ在b a ,上是连续函数也就是⎰b adx x g x f )()(=⎰cadxx g a f )()(证毕下面我们证明定理证明：如fx 是单调下降的,则fx －fb ∈a ,b ), 使 ⎰-badx x g b f x f )()]()([=⎰-cadx x g b f x f )()]()([即⎰badx x g x f )()(=,)()()()(⎰⎰+bccadx x g b f dx x g a f对fx 单调上升的情形,可作类似讨论.使用积分第二中值定理,我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法 定理 若下列两个条件之一满足,则⎰+∞a dx x g x f )()(收敛 1Abel 判别法⎰+∞adx x f )(收敛,gx 在a ,∞上单调有界;2Dirichlet 判别法设FA=⎰A adx x f )(在a ,∞上有界,gx 在a ,)∞上单调, 且+∞→x lim gx =0.证明：10>∀ε, 设|gx |≤M,∈∀x a ,∞, 因⎰+∞adx x f )(收敛,由Cauchy 收敛原理,a A ≥∃0, 使01,A A A ≥∀时, 有 由积分第二中值定理,我们得到 ≤2ε+2ε=ε 再由Cauchy 收敛原理知⎰+∞adx x g x f )()(收敛2 设M 为FA 在a ,+)∞上的一个上界,则a A A ≥∀1,, 显然有同时, 因为+∞→x lim gx =0,所以存在a A ≥0, 当x >A 0时, 有gx |<M4ε于是,对01,A A A ≥∀有≤2ε+2ε=ε 由Cauchy 收敛原理知⎰+∞adx x g x f )()(收敛例 讨论广义积分⎰∞+1cos dx xx的敛散性, 解：令fx =x1, gx =cos x则当x +∞→时,fx 单调下降且趋于零, FA= ⎰Axdx 1cos =1sin sin -A 在a ,∞)上有界． 由Dirichlet 判别法知⎰∞+1cos dx xx收敛, 另一方面 因⎰∞+121dx x 发散,⎰∞+122cos dx xx 收敛从而非负函数的广义积分⎰∞+122cos dx xx发散 由比较判别法知⎰∞+1|cos |dx xx 发散, 所以⎰∞+1cos dx xx条件收敛 例 讨论广义积分⎰∞+1arctan cos xdx xx的敛散性． 解：由上一题知,广义积分⎰∞+1cos dx xx收敛, 而arctan x 在a , +∞)上单调有界,所以由Abel 判别法知⎰∞+1arctan cos xdx xx收敛; 另一方面, 当),3[∞+∈x 时, 有 前面已证⎰∞+1|cos |dx xx 发散 由比较判别法知⎰∞+1|arctan cos |dx x x x 发散, 所以⎰∞+1arctan cos dx xx x 条件收敛.对瑕积分也有下列形式的Abel 判别法和Dirichlet 判别法定理若下列两个条件之一满足,则⎰ba dx x g x f )()(收敛：b 为唯一瑕点1Abel 判别法⎰badx x f )(收敛, gx 在a ,b )上单调有界2 Dirichlet 判别法 )(ηF =⎰-ηb adx x f )(在a , b )上有界, gx 在],0a b -上单调, 且0)(lim =-→x g bx . 证明: 1 只须用第二中值定理估计2的证明.例 讨论积分 ⎰11sin dx x x p0<p ≤2 的敛散性解: 对于0<p<1 , 因为 由⎰11dx xp 收敛知 绝对收敛敛对于0≤p <2, 因为函数fx =p x -2, 当+→0x 时单调趋于0, 而函数gx =21sinxx满足所以积分⎰101sin dx x x p ⎰-=10221sin dx x x x p 收敛. 但在这种情况下,dx x x p⎰11sin 是发散的,事实上由pp p p x x x x x x x 22cos211sin 1sin2-=≥因⎰1021dx xp 发散, ⎰1022cos dx x x p 收敛, 知 dx x x p⎰101sin 发散从而当0≤p<2时, 积分条件收敛. 最后我们讨论p=2的情形, 因为当+→0η时, 上式无极限, 所以积分⎰121sin dx xx 发散. 值得注意的是, 两种广义积分之间存在着密切的联系, 设⎰b adx x f )(中x=a 为fx 的瑕点, 作变换y =a x -1, 则有 ⎰b adx x f )(=⎰∞+-+ab dy yy a f 12,)1( 而后者是无限区间上的广义积分.习题1、 论下列积分的敛散性包括绝对收敛, 条件收敛, 发散 1⎰∞+2sin ln ln ln xdx xx； 2 ⎰+∞2sin dx x ；3 ⎰2022sin cos 1πdx xx ； 4 ⎰-1021ln dx x x； 5 ⎰---1011ln )1(xdx x xq p ；6 )0,(ln 1011>-⎰--q p dxxx x q p ；7 ⎰∞++01dx xx qp ； 8 ⎰+∞--01dx e x x p ； 9 ⎰∞+-+0211dx xx p ；10 ⎰∞+0sin 2sin dx x xe px ； 11 )0(1sin 1≥+⎰∞+p dx xxx pq ；12 )0()1sin(0>+⎰∞+p dx x x x p．2．证明：若瑕积分⎰10)(dx x f 收敛, 且当+→0x 时, 函数fx 单调趋于+∞, 则+→0lim x x fx =0． 3. 若函数fx 在),[+∞a 有连续导数 f /x , 且无穷积分⎰+∞adx x f )(与⎰+∞adx x f )(/都收敛, 则+∞→x lim fx =0．4. 设fx 在),[+∞a 上可导,且单调减少,+∞→x lim fx =0, 求证:⎰+∞adx x f )(收敛 ⇔ ⎰+∞adx x xf )(/收敛．5. 证明：若函数fx 在),[+∞a 上一致连续, 且无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛,则+∞→x lim fx =0．6. 求证： 若无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛, 函数fx 在),[+∞a 内单调, 则fx =o x1．7. 计算下列广义二重积分的值．1 ⎰⎰Dqp y x dxdy,其中D={}|1,1|),(>≥x xy y x ； 2⎰⎰≤+≤--1022221y x yx dxdy；3 dxdy e y x ⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-)(22, 并由此证明π112=⎰+∞∞--dx ex .8、讨论下列广义重积分的敛散性．1 dxdy y x y x a ap ⎰⎰-00||),(ϕ, My x m ≤≤<|),(|0ϕ；2 dxdy xy y x y x py x )(),(22122++⎰⎰≤+ϕM y x m ≤≤<|),(|0ϕ．。
广义积分的收敛辨别法
上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发
现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但
因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者
常采用数值计算方法或 Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分
而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无
0 f (x) k(x), （k 为正常数）
则当
当
a
a
f
(
x)dx
(x)dx 发散时,
收敛时,
a
证明：由 Cauchy 收敛原理马上得结论成立．
对瑕积分有类似的结论判别法
a
(
f
(x)dx 也收敛;
x)dx
也发散．
定理 9.5 设 f(x), g(x) 均为[a,b)上的非负函数，b 为两个函数的奇点，
(x)dx 必收敛．
a
f
a
Hale Waihona Puke f(x)dx 条件收敛，也称
(x)dx 绝对收敛，则广义积分
它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及
性质．
法．
下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别
比较判别法：
定理 9.4（无限区间上的广义积分）设在[a,+ )上恒有
如存在一个正常数 k, 使
0 f (x) kg(x), x [a, b), 则
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
广义积分的收敛判别法
第二节 广义积分的收敛判别法上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。
因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分⎰+∞adxx f )(收敛的充分必要条件是：0>∀ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有ε<⎰|)(|/b b dx x f证明：对+∞→b lim0)(=⎰+∞bdx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．同样对瑕积分⎰b adx x f )((b 为瑕点), 我们有定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在[a ,b )上有定义，在其任何闭子区间[a , b –ε]上常义可积，则瑕积分⎰ba dx x f )(收敛的充要条件是: 0>∀ε , 0>∃δ, 只要0<δηη<</，就有εηη<⎰--|)(|/b b dx x f定义9.5如果广义积分⎰+∞a dx x f |)(|收敛，我们称广义积分⎰+∞adxx f )(绝对收敛（也称f (x )在[a ,+)∞上绝对可积]; 如⎰+∞a dx x f )(收敛而非绝对收敛，则称⎰+∞adx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上条件可积．由于a A A ≥∀/,，均有|)(|/⎰A A dx x f ≤⎰/|)(|A Adx x f因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分⎰+∞adx x f )(绝对收敛，则广义积分⎰+∞adx x f )(必收敛．它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。
广义积分的审敛法
二、无界函数的广义积分的审敛法
定理6 (比较审敛法2) 设函数 f ( x) 在区间(a,b]
上连续，且 f ( x) 0, lim f ( x) .如果存在 xa0
常数
M
0及
q
1，使得
f
(x)
M ( x a)q
(a
x
b), 则广义积分 b f ( x)dx 收敛；如果存在常数 a
N
0及
广义积分的审敛法
一、无穷限的广义积分的审敛法
不通过被积函数的原函数判定广义积分收 敛性的判定方法.
定理１ 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，
且 f ( x) 0．若函数 F ( x)
x
f (t)dt
a
在 [a,) 上有界，则广义积分
f
(
x
)dx
收敛
．
a
由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积 分有以下比较收敛原理．
三、 函数
定义 (s) ex xs1dx (s 0) 0
特点: 1.积分区间为无穷;
2.当 s 1 0 时被积函数在点 x 0 的 右领域内无界.
设 I1
1 e x x s1dx,
0
I2
e x x s1dx,
1
(1) 当 s 1 时, I1 是常义积分; 当 0 s 1 时,
x
x
f
(
x
)dx
发
散．
a
例２ 判别广义积分 dx 的收敛性. 1 x 1 x2
解 lim x2 1 1, 所给广义积分收敛．
x
x 1 x2
例３
判别广义积分
1
x3 1
/2
数学分析(一)：一元微积分 南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.6.1) 广义积分的收敛判别法
定理 1 (Dirichlet)
α
设 F (α) = f (x) dx 关于 α ∈ [a, ∞) 为有界函数, 函数 g(x) 在 [a, ∞) 中单调, 且
a
∞
lim g(x) = 0, 则积分 f (x)g(x) dx 收敛.
a
通过求极限来判断收敛性
α
α
证明. 当 α ≥ a 时, 记 F (α) = f (x) dx, G(α) = g(x) dx. 由已知条件可得
a
a
0 ≤ F (α) ≤ MG(α), ∀ α ∈ [a, ∞).
因此, 如果 G(α) 有界, 则 F (α) 也有界; F (α) 无界时, G(α) 也无界.
a
对于瑕积分, 与函数 x−p 进行比较可以得到完全类似的 Cauchy 判别法.
非负情形的简单例子
例1
判别积分
∞
√
dx
的敛散性.
1 x x2 + x + 1
非负情形的简单例子
例1
判别积分
∞
√
dx
的敛散性.
1 x x2 + x + 1
解. 当 x ≥ 1 时 0 ≤ √ 1 ≤ x−2, 故积分是收敛的.
如果 p > 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时 0 ≤ f (x) ≤ Cx−p, 则
∞
f (x) dx 收敛; 如果 p ≤ 1, 且存在常数 C > 0, 使得当 x 充分大时
a
∞
f (x) ≥ Cx−p, 则 f (x) dx 发散;
§2广义积分的收敛判别法
的收敛性 .
解:
由比较判别法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论广义积分 提示: 当 x≥1 时, 利用
的收敛性 .
可知原积分发散 .
2020/11/1
宁波大学教师教育学院
8
定理5. (极限判别法1)
满足
lim x p f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
证: 1) 当p 1时, 根据极限定义, 对取定的
(1
1
x)2
1 (1 x2 )(1 k 2x2 )
x
则有: 1) 当
2) 当
例5.
判别广义积分
3
1
dx ln x
的敛散性
.
解: 此处 x 1为瑕点, 利用洛必达法则得
根据极限判别法2 , 所给积分发散 .
2020/11/1
宁波大学教师教育学院
16
1
例6. 判定椭圆积分
dx
(k 2 1) 的收
0 (1 x2 )(1 k 2 x2 )
敛性 .
解: 此处 x 1为瑕点, 由于
解:
lim x2 x x
1 1 x2
lim
x
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
1 1
1 x2
1
3
例3. 判别广义积分
x2 1 1 x2
dx
的收敛性 .
解:
3
lim
x
x
1 2
1
x
2
x
2
lim x 1
x2 x
2
1
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
2020/11/1
宁波大学教师教育学院
广义积分收敛的判别方法
广义积分收敛的判别方法摘要：一、广义积分的概念及意义二、广义积分收敛判别法的分类1.无穷积分收敛性的辨别2.乘积函数积分收敛的辨别法3.无界函数积分的收敛性三、具体判别方法及实例1.柯西收敛准则2.洛必达法则3.夹逼定理四、广义积分收敛判别法的应用1.求解实际问题2.近似计算正文：广义积分收敛的判别方法广义积分，又称反常积分，是对普通定积分的推广。
它包括无穷限广义积分和瑕积分（无界函数的反常积分）。
在实际应用中，我们常常需要判断广义积分的收敛性，以便更好地进行计算和求解问题。
广义积分收敛判别法是对这一问题的有效解决方法。
一、广义积分的概念及意义广义积分是对普通定积分的扩展，它包含无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的情况。
普通定积分的几何意义是曲线与x轴围成的面积，而广义积分则更加广泛，可以描述更复杂的几何形状和函数特性。
二、广义积分收敛判别法的分类1.无穷积分收敛性的辨别：判断积分上限和下限是否无穷大，以及被积函数在无穷大处的性态。
2.乘积函数积分收敛的辨别法：判断被积函数是否为乘积函数，以及乘积函数的收敛性。
3.无界函数积分的收敛性：判断无界函数的积分是否收敛，可以通过对函数进行有界化处理，或者利用柯西收敛准则等方法。
三、具体判别方法及实例1.柯西收敛准则：当被积函数在区间[a, b]上连续，且在(a, b)内可积时，若存在子区间[a", b"]，使得在[a", b"]上柯西收敛，则在[a, b]上柯西收敛。
2.洛必达法则：对于0<α<β，若函数f(x)在[α, β]上连续，且在(α, β)内可导，那么在[α, β]上洛必达收敛。
3.夹逼定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，g(x)在(a, b)内可积，且存在h(x)在(a, b)内单调递增，使得g(x)≤h(x)≤f(x)，则在[a, b]上夹逼收敛。
四、广义积分收敛判别法的应用1.求解实际问题：通过判断广义积分的收敛性，可以确定能否对实际问题进行求解，以及选择合适的计算方法。
§2广义积分的收敛判别法
s
xs1 exd x
0
0
s (s)
注意到: (1) n N , 有
0
e
x
d
x
1
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1)
n!(1)
2020/3/7
宁波大学教师教育学院
21
(2) 当s 0时, (s) .
Dirichlet是Gauss的学生和继承人。他毕生敬仰Gauss.他说Gauss的讲课是“一 生所听过的最好，最难忘的课。”1855年，Gauss逝世后，他作为Gauss的继承者被哥 丁根大学聘为教授，接替Gauss原任的职务，直到逝世。
a
0
1
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数
的广义积分中来 .
2020/3/7
宁波大学教师教育学院
14
利用
b
a (
x
1 a)
q
dx
收敛 , 发散 ,
q 1 q 1
类似定理 4 与定理 5，有如下的收敛判别法.
当0 s 1时,
x s 1
ex
1 x1s
e1x
1 x1s
而1 s 1, 根据比较判别法2知I1 收敛.
2020/3/7
宁波大学教师教育学院
19
I2
xs1 exd x
1
2) 讨论 I2 .
( x s 1
ex )
lim
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ln x x
2019/4/26
b
1 4
1 4
x 0
x ln x x
3 4
1 4
1 x
3 4
据比较判别法2, 所给积分绝对收敛 .
宁波大学教师教育学院 18
三、 函数
1. 定义
函数 : ( s ) x ( s 0 ) x ed
5
a t
lim x ) d x x ) d x f( f(
a
t
f( x ) d x 收敛 . 极限存在 , 即广义积分 a
若
a
f (x )d x发散 , 因为 t a时有
0 x ) d x ( x ) d x f( g
a a t t
3 2
2 的收敛性
.
x
1 1 1 1 2
根据极限判别法 1 , 该积分收敛 .
例3. 判别广义积分
解:
x d x 的收敛性 . 2 1 1 x 3 2 2 1 x x lim lim x2 1 2 2 x1 x x 1 x
根据极限判别法 1 , 该积分发散 .
0 , A a , 使 对 A , A A 都 有 0 0
|
A A
f (x)d x|.
证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及 极限存在的Cauchy准则即得。
2019/4/26
宁波大学教师教育学院
3
柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）， 十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月21日生 于巴黎。在大学毕业 后当土木工程师，因数学上的成
a
证: 不失一般性 , 设 0 f ( x ) g ( x ) x [ a , ) 时 ,
若 x 收敛 , 则对 t a 有 g(x)d
t
t
t
a f ( x) dx a g(x) dx a
a
2019/4/26 宁波大学教师教育学院
g(x)dx
故 )d x 是 t的 单调递增有上界函数 , 因此 f(x
注意:
x
f( x ) lim x f( x )lim 1 此极限的大小刻画了
p x p x
x 时 f( x ) 趋于 0 的快慢程度 .
2019/4/26 宁波大学教师教育学院 10
例2. 判别广义积分 1 解:
dx
x 1 x 1 2 lim x lim 2 x x 1 x x
a
2019/4/26 宁波大学教师教育学院 12
定义. 设广义积分
若
a
f (x )dx收敛 ,
a a
若
a
f( x )d x收敛 ,则称
f (x) dx 绝对收敛 ; f (x) dx 条件收敛 .
a
f(x )d x发散 ,则称
a x
根据极限收敛准则知
x
lim F ( x ) lim t ) d t f(
a x
x
广 义 积 分 f() xd x 收 敛 . 存在 , 即 a
2019/4/26 宁波大学教师教育学院 2
定理 2.
（Cauchy收敛原理）
a
广 义 积 分 x d x 收 敛 f()
广义积分的 收敛判别法
一、无穷限广义积分的收敛判别法
f ( x ) C [ a , ) , 且 f ( x ) 0 , 定理1. 设 若函数
F (x ) f ( t)dt
a x
广 义 积 分 f() xd x 收 敛 . 在 [ a , )上有上界 ,则 a
f ( x ) 0 ,F (x )在 [ a , )上单调递增有 , 证:
x
1 , 0 l 时 则有: 1) 当 p
1 , 0 l 时 2) 当 p
a
f (x )dx 收敛 ;
a
f (x )dx发散 .
p 1 时 , 根据极限定义, 对取定的 0, 当 x 充 证: 1) 当
p x f( x ) l , 即 分大时, 必有 M M l ) 0 f (x) p ( x 可见 )d x 收敛 ; f(x
根据极限判别法2 , 所给积分发散 .
2019/4/26
x 1 为瑕点 ,利用洛必达法则得 解: 此处 1 1 lim 1 1 lim (x1 ) lnx x 1 x x 1
宁波大学教师教育学院 16
例6. 判定椭圆积分 0 敛性 .
1
d x
2 22 ( 1 x )( 1 k x)
2019/4/26 宁波大学教师教育学院 11
f ( x ) C [ a , ) , 且 f （ x ） d x 收敛 , 定理6. 若 a
则广义积分 dx 收敛 . f(x)
1 则0 证： 令 ( x ) [ f ( x ) f ( x ) ] , ( x ) f ( x ) 2
时 , f (x )dx 收敛 ; q 1 ,0 l 则有: 1) 当 0 a
2) 当 q 1 ,0 l 时 , f (x )dx发散 .
a b
x q lim ( x a ) f( x ) l
b
例5. 判别广义积分
3 dx
1 lnx
的敛散性 .
2019/4/26
宁波大学教师教育学院
4
定理3 . (比较原理)
且对充 设 f ( x ) C [ a , ) ,
f ( x ) g ( x ) 分大的 x有0 ,则
a
g(x)d x收敛
a
f (x)d x收敛
g(x)d x发散
a
a
f (x)d x发散
f( x ) C [ a , ) 定理4. (比较判别法 1) 设非负函数
(a0 ).
, 使对充分大的 1 ) 若存在常数 M 0 , p1 x有 M f ( x) p x 则 )dx 收敛 ; f(x
a
, 使对充分大的 2 ) 若存在常数 N0 , p1 x有 N f ( x) p x 则 )dx发散 . f(x
2 ( k 1 )的收
x 1 为瑕点 ,由于 解: 此处 1 1 2 lim (1 x ) 2 2 2 x 1 ( 1 x )( 1 k x )
lim 22 x 1 ( 1 x )( 1 k x ) 2 (1 k 2 )
根据极限判别法 2 , 椭圆积分收敛 .
b
b
2 1 t t t2 t b a 因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数
1 0 b a
a
b
1 d t 1d t f ( x ) d x limf ( a ) f( a )
1
的广义积分中来 .
2019/4/26 宁波大学教师教育学院 14
0
s 1 x
(含参变量 s的广义积分 )
下面证明这个特殊函数在 s 0内收敛 . 令
1 s 1 x s 1 x I x e d x , I x e d x 1 0 2 1
1 ) 讨论 I .当 s 1 时 ,I 是定积分 ; 1 1 1 1 1 s 1 x 当 0 s 1 时 , x e 1 s x 1 s x e x 而 1 s 1 , 根据比较判别法 2 知 I1收敛 .
M , 有 f (x) 1 ) 若存在常数 M 0 ,q1 q ( x a ) b 则 ; a f (x)dx收敛 N 2 ) 若存在常数 N0 , 有 f (x) x a b 则 . f (x)dx发散
a
宁波大学教师教育学院
定理3
2019/4/26
15
f ( x ) C ( a , b ] , 且 f ( x ) 0 ， 定理8. (极限判别法2) 若
2019/4/26 宁波大学教师教育学院 8
d x 的收敛性 . 3 4 x 1 1 sin2 x 3 4 14 0 3 4 x x 1 x3
sin x
2
f ( x ) C [ a , ) , 且 f ( x ) 0 , 定理5. (极限判别法1) 若 p lim x f (x )l 满足
给积分收敛 (绝对收敛) .
宁波大学教师教育学院 13
二、无界函数广义积分的收敛判别法
无界函数的广义积分可转化为无穷限的广义积分. 例如 由定义 设 f ( x ) C ( a , b ] , a 为 f ( x ) 的瑕点 ,
1 令 xa ,则有 t
f ( x ) d x lim f ( x ) d x a 0 a
a
2019/4/26 宁波大学教师教育学院 7
例1. 判别广义积分 1
解:
由比较判别法 1 可知原积分收敛 . 1 思考题: 讨论广义积分 dx 的收敛性 . 3 3 1 x 1 提示: 当 x≥1 时, 利用 1 1 1 3 3 3 1 x 1 3( x 1 ) x 可知原积分发散 .
a
( x )d x 也收敛 , f （ x ） d x 收敛 , a
a
而
f ( x ) 2 ( x ) f ( x )