【电动力学课件】1-5-6 电磁场边值关系-能量和能流

或矢量形式： n·(B2-B1)=0
此式表示界面两侧B的法向分量连续。
B2
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2. 关于电位移矢量的边值关系：
∫ 将方程 D ⋅ dS = Qf 应用到两介
质边界上的一个扁平状柱体表
面。上式左边的面积分遍及柱
体的上下底和侧面。当柱体的
厚度趋于零时,对侧面的积分趋
于零,对上下底面积分得
D1
(D2n−D1n) ∆S 。由此得到：
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3. 关于磁场强度的边值关系： 面电荷分布使界面两侧电场法向分量发生跃变， 我们可以证明面电流分布使界面两侧磁场切向 分量生跃变。我们先说明表 面电流分布的概念。
☺面电流分布:
面电流实际上是在靠近 表面的相当多分子层内 电流的平均宏观效应。
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定义电流线密度α，其大小等于 垂直通过单位横截线的电流。 图示为界面的一部分，其上有面 电流，其线密度为α，∆l为横截 线，垂直流过∆l段的电流为:
∂t
∂t
代入
∇ ⋅ S + ∂w = − f ⋅ v
∂t
得 ∇ ⋅ S + ∂w = ∇ ⋅ (E × H ) + E ⋅ ∂D + H ⋅ ∂B
∂t
∂t
∂t
所以，定义： S = E × H 坡印亭矢量
∂w = E ⋅ ∂D + H ⋅ ∂B
∂t
∂t
∂t
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2. 真空中
在真空中，相互作用的物质是电磁场和自由电 荷，能量在两者之间转移。
内部，使面电流完全通过回路内部。
从宏观来说回路短边的长度仍
可看作趋于零，因而有
∫H L
⋅ dl
=
( H 2t
−
H1t )∆l
其中t表示沿∆l的切向分量。通过回路内的总自由电流为
If=αf∆l
由于回路所围面积趋于零， 而∂D/∂t为有限量，因而
d dt
∫SD
⋅
dS
→
0
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∫ ∫ 把这些式子代入
H
L
⋅ dl
结论: 场对电荷作功的总功率等于场的总能量减小
率，因此场和电荷的总能量守恒。
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二. 电磁场能量密度和能流密度矢量的表达式
1. 一般表达式
由洛伦兹力公式得:
f ⋅ v = ρ(E + v × B) ⋅ v = ρE ⋅ v = J ⋅ E
由上式可见，J 应是自由电流，用场量表示出来，得到：
J = ∇ × H − ∂D
所以:
w = 1 (E ⋅ D + H ⋅ B) 2
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三、电磁能量的传输
在电磁波情形中，能量在场中传播是容易理解的。在输 电线路情形中，即直流电或低频交流电情况下，电磁能 量也是通过电磁场传播的，可能不好理解，但这恰是电 磁能传输的实质。
1. 电磁能的传输不是靠电流！
① 导线内电荷定向移动的速度很小，而电能的传输速度 却很大。导线内电荷定向移动的速度为 V ~ 6×10 -5m/s，电能的传输速度为c = 3×10 8m/s。
∆I=α∆l
☺关于磁场强度的边值关系：
由于存在面电流，在界面两侧的磁
场强度发生跃变。 如图，在界面两 旁取一狭长形回路，回路的一长边 在介质1中，另一长边在介质2中。 长边∆l与面电流α正交。
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在狭长形回路上应用麦氏方程：
∫ ∫ H L
⋅ dl
=
If
+
d dt
D ⋅ dS
S
取回路上下边深入到足够多分子层
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例题: 无穷大平行板电容器内有两层介质(如图)，极板 上面电荷密度±σf，求电场和束缚电荷分布。
解:
由对称性可知，电场沿垂直于
平板的方向，把边值关系应用
于下板与介质1界面上，因导
体内场强为零，故得 D1 = σ f
同样，把边值关系应用到上板与介质2界面上得
− D2 = −σ f， D2 = σ f
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② 导线内电荷定向移动的速度很小，相应的动能也很小。 1mm2的导线通过1A的电流，由电子携带的能量，每秒 钟只有2×10 -20J。而在恒定的情况下，整个回路上， 电流都有相同的值，因此，电子运动的能量并不是供给 负载上消耗的能量。
③ 如果电磁能是靠电流传输，功率P与U成正比无法得到 解释。
第五节 电磁场边值关系
麦克斯韦方程组可以应用于任何连续介质内 部。在两介质分界面上，由于一般出现面电荷、 面电流分布，使物理量发生跃变，微分形式的麦 克斯韦方程组不再适用。
因此，我们要用另一种形式描述界面两侧的 场强以及界面上电荷电流的关系。
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边值关系是描述两侧场量与界面上电荷电流的 关系。由于场量跃变的原因是面电荷、电流激发附 加的电磁场，而积分形式的麦氏方程可以应用于任 意不连续分布的电荷电流所激发的场，因此，在两 介质分界面上，应该用麦氏方程组的积分形式求解 电磁场。边值关系就是两介质分界面上经过化简以 后的麦氏方程组的积分形式。
∇⋅( f × g) = (∇× f )⋅ g − f ⋅(∇× g)
∂t
所以 J ⋅ E = E ⋅ (∇ × H ) − E ⋅ ∂D
=
−∇
⋅
(
E
×
H
)
+
∂t H ⋅ (∇
×
E
)
−
E
⋅
∂D
∂t
= −∇ ⋅ (E × H ) − E ⋅ ∂D − H ⋅ ∂B
∂t
∂t
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将
f
⋅v = J ⋅E
= −∇ ⋅ (E × H ) − E ⋅ ∂D − H ⋅ ∂B
由此， σ P = n ⋅ (P1 − P2 )
n为分界面上由介质1指向介质2的法线。
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将 P2n − P1n = −σ P 与ε0(E2n−E1n) =σf+σp 相加，
利用 D1n = ε 0 E1n + P1n，D2n = ε 0 E2n + P2n 得：
D2n − D1n = σ f
由此看出，极化强度矢量的跃变与束缚电荷面密 度相关，Dn的跃变与自由电荷面密度相关，En的 跃变与总电荷面密度相关。 由上面的推导我们可以看清楚自由电荷和面束缚 电荷在边值关系中所起的作用。由于在通常情况 下只给出自由电荷，因而实际上主要应用关于Dn 的边值关系式。
n ⋅αf = 0 (a × b)× c = (c ⋅ a)b − (b ⋅ c)a
得到 n× (H2 − H1) = αf
这就是磁场强度切向分量的边值关系。
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4. 关于电场强度的边值关系：
E2
同理，应用
∫LE
⋅
dl
=
−
d dt
∫SB
⋅
dS
可得电场切向分量的边值关系。
∫E L
⋅ dl
=
(E2t
−
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介质的极化和磁化状态由介质电磁性质方程确定， 一定的宏观电磁场对应于一定的介质极化和磁化 状态，因此我们把极化能和磁化能归入场能中一 起考虑，成为介质中的总电磁能量。S和w就是这 种总电磁能量的能流密度和能量密度。
介质中场能量的改变量为:
δw = E ⋅δD + H ⋅δB
对于简单介质 D = εE B = µH
=
If
+
d dt
D ⋅ dS
S
得:
H2t − H1t = αf
上式可以用矢量形式表示。设∆l为 界面上任一线元，t为∆l方向上的单 位矢量。流过∆l的自由电流为
If = n × ∆l ⋅ αf = αf × n ⋅ ∆l
对于狭长形回路，应用
∫ ∫ H L
⋅ dl
=
If
+
d dt
D ⋅ dS
S
得
∫H L
=
−σ f
1 −
ε0 ε1
在介质2与上板分界处，
容易验证
σ P′′
=σf
− ε0E2
=
σ
f
1
−
ε ε
0 2
σ P + σ P′ + σ P′′ = 0
说明介质整体是电中性的。
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第六节 电磁场的能量和能流
Energy and Energy Flow of Electromagnetic Field
在真空中 H = 1 B
µ0
D = ε0E
因此
S = 1 E×B
µ0
w
=
1 2
(ε 0E 2
+
1
µ0
B2)
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3. 介质中 在介质中，相互作用的系统包括三个方面：电磁 场、自由电荷、介质。
场对自由电荷作功的功率密度为J⋅E，它或者变 为电荷的动能，或者变为焦耳热。场对介质中束 缚电荷所作的功转化为极化能和磁化能而储存在 介质中，也可能有一部分转化为分子热运动（介 质损耗）。当外场变化时，极化能和磁化能亦发 生变化，如果不计及介质损耗，则这种变化是可 逆的。
下面我们分别求出场量的法向分量和切向分量 的跃变。
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麦氏方程组的积分形式为：
∫LE
⋅ dl
=
−
d dt
∫SB
⋅ dS
(1)
∫ ∫
H
L
⋅ dl
=
If
+
d dt
D ⋅ dS
S
(2)
∫SD ⋅ dS = Q = ∫V ρ ⋅ dV
(3)
∫SB ⋅ dS = 0
(4)
我们先从最简单的开始。在分界面上化简
2. 场的能流密度矢量 （用S 表示）
S描述能量在场内的传播，在数值上等于单位时间垂直 流过单位横截面的能量，其方向代表能量传输方向。