初中数学青年教师解题大赛试题参考答案

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初中数学青年教师基本功大赛笔试试卷(含答案)

你能帮小明在地图上画出藏宝地的位置吗？请你设计出找出藏宝地的方案。（设计找出藏宝地的简要步骤，画出示意图）
A B
5. (本小题 12 分) 从甲地到乙地有 A1、A2 两条路线，从乙地到丙地有 B1、B2、B3 三条路线，从丙地到丁地有 C1、C2 两条路线．一个人任意先了一条从甲地到丁地的路线．求他恰好选到 B2 路线的概率是多少？
22ຫໍສະໝຸດ 要 t 最小，即 CT+TQ 最小，而 CT+TQ 是点 C 到直线 C
′B 的折线长，只有当 CT+TQ 成为点 C 到直线 C′B 的
y C
OK
T
x
B
Q H
垂线段时才最小，故作 CH⊥BC′交 OB 于点 K，则点
C′
K 就是使运动时间最短的点。
∵△CBC′为正三角形，∴∠C′CH=30°∴OK=OC·tan30°=2
P138—139） 5. (本小题 12 分)
A1
甲
乙
A2
如图：从甲到丁有 2×3×2=12 种走
9
A
M
B1
C1
B2
丙
C2
丁
B3
N
D
C
B
E
法，而经过线路
B2
共有
2×1×2=4
种走法，故
P=
4 12

1 3
6. (本小题 12 分 ) 如图：裁剪线 AB 与 CD 长恰好为三棱柱底面周长 30cm，故
BM AB 2 AM 2 30 2 182 24
由△CEB∽△AMB 可知： CB BE ，故 CB 60
AB BM
30 24

2018年广州市白云区初中数学青年教师解题比赛(含答案)

2018年广州市白云区初中数学青年教师解题比赛试卷学校姓名考号得分本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题24小题，共4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，请务必填写上自己所在的学校、姓名及考号． 2．用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．第I 卷（选择题，共44分）一、选择题1、a 是负实数，下列判断正确的是（）. （A ）a a -> （B ）a a<2（C ）23a a > （D ）20a > 2、已知集合2{|22},{|230},M x x N x x x =-<<=--<则集合M N ＝（）.（A ）}2|{-<x x （B ）}3|{>x x （C ）{|23}x x -<< （D ）{|13}x x -<<3、已知函数)2(x f y =的定义域是[－1,1]，则函数)(log 2xf y =的定义域是( ). (A) (0，＋∞) (B) (0，1) (C) [1，2] (D) [2，4]4、函数224)(1++=+x x x f 的值域是（）.（A ） ),1[+∞ （B ）),2(+∞ （C ）),3(+∞ (D)),4[+∞5、如果1x 、2x 是两个不相等的实数，且满足21120061x x -=，22220061x x -=，那么 x 1+x 2=（）.（A ）2006 （B ）－2006 （C ） 1 （D ）－1 6、已知0a b c -+=， 930a b c ++=, 则二次函数2y ax bx c =++ 的图象的顶点可能在（）.(A)第一或第四象限 (B)第三或第四象限(C)第一或第二象限 (D)第二或第三象限7、如图1，⊙O 中，弦AD ∥BC ，DA ＝DC ，∠BCO ＝15°，则∠AOC 等于（）.（A ）120° （B ）130° （C ）140° （D ）150° 8、已知a 、b 是不全为零的实数，则关于x 的方程222()0x a b x a b ++++=的根的情况为（）.（A ）有两个负根（B ）有两个正根（C ）有两个异号的实根（D ）无实根9、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：则第（）个图案中有白色地面砖38块.(A)8 (B)9 (C)10 (D)1110、甲、乙、丙三位同学进行立定跳远比赛,每人轮流跳一次称为一轮,每轮按名次从高到低分别得3分、2分、1分(没有并列名次),他们一共进行了五轮比赛,结果甲共得14分；乙第一轮得3分,第二轮得1分,且总分最低.那么丙得到的分数是（）．(A)8分 (B)9分 (C)10分 (D)11分11、一个围棋盘由18×18个边长为1的正方形小方格组成，一块边长为1.5的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有n 个，则n 的最大值是（）．( A)4 (B)6 (C)10 (D)12第II 卷（非选择题，共106分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）12、在实数范围内把多项式22x y xy y --分解因式所得的结果是___________________．13、已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x _________． 14、设x 、y 、z 满足关系式 x －1＝21+y ＝32-z ，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为 .15、不等边三角形ABC 的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，O C BA D图1那么它的长度最大可能是_____ ．16、已知：如图2，正方形ABCD 的边长为8，M 在CD 上，且DM=2，N 是AC 上的一个动点，则DN+MN 的最小值为．三、解答题（共7小题，满分86分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 17、（本题满分9分）已知⎩⎨⎧<-≥=1,11,1)(x x x f ，求不等式3)1()1(≤+++x x f x 的解集.18、（本题满分9分）求圆064422=++-+y x y x 截直线x -y -5＝0所得的弦长？19、（本题满分10分）.等差数列｛n a ｝中，公差为d ，484a =，前n 项和为n s ，且10s ＞0，11s ＜0，求d 的取值范围.20、（本题满分10分）如图3，在⊿ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AB 于D ，交AC 于E ，BD=CE ，求证：AB=AC（要求：用多种方法证明.详写其中一种证明，其余证明则略写.用三种方法证明结论成立的满分）21、（本通满分10分）已知：不论k 取什么实数，关于x 的方程 1632=--+bkx a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，试求a 、b 的值.22（本题满分10分）已知m为整数，且12＜m＜40，试求m为何值时，关于未知数x的方程22--+-+=有两个整数根．x m x m m2(23)4148023 （本题满分14分）已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB 求m的值；（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值.24. （本题满分14分）如图4直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点．（1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．图42006年广州市白云区初中数学青年教师解题比赛参考答案第I 卷（选择题，共44分）二、选择题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分，请将唯一正确的答案代号填在答题卷上）第II 卷（非选择题，共106分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）三、解答题17、解：当0x ≥时(1)1f x +=则不等式变为(1)3,1x x x ++≤≤解得当0x ≤时(1)1f x+=-则不等式变为(1)3,x x x -++≤解得为任意实数不等式3)1()1(≤+++x x f x 的解集是{}1|≤x x 18、解：解法1：先求交点坐标，设A 1122(,),(,)x y B x y064422=++-+y x y xx -y -5＝0 弦长==把x=y+5代入064422=++-+y x y x 中得2210110y y ++= 所以22212121211()()4(5)432y y y y y y -=+-=--⨯= 同理得22121212()()43x x x x x x -=+-=152-+225252x y -+=--=弦长221212()()336x x y y -+-=+=解法3：由064422=++-+y x y x 得圆心（2，-22 圆心到直线的距离2222522211d +-===+ 根据勾股定理弦长AB=22262(2)()262-== 19、解：⑴由 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⨯+⨯+=+021011110291010843111＜＞d a d a d a 解之得－56＜d ＜－4220、解：21、解：把x ＝1代入原方程并整理得（b ＋4）k ＝7－2a要使等式（b ＋4）k ＝7－2a 不论k 取什么实数均成立，只有⎩⎨⎧=-=+02704a b解之得 27=a ，4-=b22、解：08144)32(222=+-+--m m x m x []22=2(23)-4414884m m m m ---++（）=(23)x m -±又12＜m ＜40所以59，且m得m=2423、解: (1)Ａ（x 1，0）,B (x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根.∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2,∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m =1或m =3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M (a ，b )，则N (－a ，－b ) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N .∴a = .这时M 、N 到y轴的距离均为又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 ,∴2×12×（2－m.∴解得m =－7 .24、解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）． ∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(．又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ．连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）．（2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ． ∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x x y 8329322-=为所求．（3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝60°．由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ．∴ OD ＝OB ·tan30°=1．∴ DA ＝2．∵ ∠ADC ＝∠BDO ＝60°，PD ＝AD ＝2．∴ △ADP 是等边三角形． ∴ ∠DAP ＝60°．∴ ∠BAP ＝∠BAO ＋∠DAP ＝30°＋60°＝90°．即 PA ⊥AB ．即直线PA 是⊙E 的切线．。

初中数学教师解题比赛试题

初中数学教师解题比赛试题初中数学教师解题比赛试题一、比赛试题种类及要求本次解题比赛试题为初中数学教师专业能力测试，旨在考察参赛教师的数学解题能力、教学技能以及专业知识掌握程度。

试题将包括选择题、填空题、解答题等类型，全面考察教师的数学素养。

试题难度将按初中数学教学的实际需求和难度水平设置。

二、比赛试题内容1、选择题(1)在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AB=2，则BC的长度为( )A. √3B. √6C. 2D. 2√3 答案：B(2)在实数范围内，方程x²+3x+2=0的解为( ) A. x=1 B. x=-1 C. x=2D. x=-2 答案：D2、填空题(1)已知一个圆的半径为5，那么它的内接正六边形的边长为____。

答案：5√3(2)若二次函数y=x²-4x+c的图像与x轴有交点，则c的取值范围是____。

答案：c≤43、解答题(1)求证：等腰三角形两底角的平分线相等。

证明：设△ABC为等腰三角形，底角∠B和∠C的平分线分别为BD和CE。

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。

又∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC=∠ECB。

在△DBC和△ECB中，∵DBC=ECB，BC=BC，∴△DBC ≌△ECB。

∴BD=CE，即等腰三角形两底角的平分线相等。

(2)已知一个二次函数y=ax²+bx+c的图像过点(1，2)，且与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁和x₂，其中x₁²+x₂²=9，求这个二次函数的解析式。

解：∵二次函数y=ax²+bx+c的图像过点(1，2)，∴a+b+c=2 ①。

又∵该函数与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁和x₂，其中x₁²+x₂²=9，∴x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。

∴(x₁+x₂)²=(b/a)²，∴(b/a)²=(x₁²+x₂²)+2x ₁x₂=(9+2c/a)。

泰州市初中数学青年教师基本功大赛笔试试卷

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 若一个三角形的两边分别为8cm和10cm，且这两边的夹角为60°，则这个三角形的周长为多少cm？A. 16cmB. 26cmC. 28cmD. 无法确定2. 下列函数中，哪一个函数是增函数？A. y = 2x + 3B. y = x^2 4x + 4C. y = x^3D. x = 13. 已知一组数据2，3，5，7，x，若这组数据的平均数为5，则x 的值为多少？A. 1B. 4C. 6D. 84. 下列命题中，真命题是？A. 对顶角相等B. 对顶角互补C. 对顶角互余D. 对顶角都是直角5. 若一个正方形的对角线长为10cm，则这个正方形的面积为多少cm^2？A. 50cm^2B. 100cm^2C. 200cm^2D. 250cm^2二、判断题（每题1分，共5分）1. 若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是矩形。

（）2. 任何两个奇数之和都是偶数。

（）3. 两个函数如果它们的图像关于y轴对称，那么这两个函数是相等的。

（）4. 若一组数据的方差为0，则这组数据中的每个数都相等。

（）5. 在直角坐标系中，两点之间的距离公式是d = √((x2 x1)^2 + (y2 y1)^2)。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若一个等差数列的首项为3，公差为2，则第10项为______。

2. 若一个等边三角形的边长为6cm，则这个三角形的面积为______cm^2。

3. 若一个正方形的边长为8cm，则这个正方形的对角线长为______cm。

4. 若一个函数的图像关于x轴对称，则这个函数是______函数。

5. 在直角坐标系中，点(3, 4)关于原点对称的点为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述等差数列的定义及通项公式。

2. 简述等边三角形的性质。

3. 简述正方形的性质。

4. 简述一次函数的性质。

5. 简述两点之间的距离公式。

初中数学青年教师解题比赛及答案

秒初中数学青年教师解题比赛决赛试卷本试卷共8页， 23小题，满分150分，考试时间120分钟．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上．） 1．已知集合{}{12}A x x a B x x =<=<<，，且()UA B =R ，则实数a 的取值范围是（A ）1a ≤（B ）a ≥1（C ）a ≤2（D ）2a ≥2．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S 等于（A ）1（B ）56（C ）16（D ）1303．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于 14秒且小于15秒；……；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（A ）0.9，35 （B ）0.9，45 （C ）0.1，35（D ）0.1，454．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（A ）3（B ）2-（C ）3或2-（D ）3-或25. 如图，P A 、PB 切O 于A 、B ，50P ∠=，点C 是O 上异于A 、B 的任意一点，则ACB ∠的度数为（A ）65 （B ）115 （C ）65或115 （D ）无法确定 6．已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛的实数x 的取值范围是 (A) ()1,1- (B)()1,0 (C)()()1,00,1 - (D) ()()+∞-∞-,11, 7．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程222(2)330x m x m m +-+-+=有两个不相等的实数根1x 、2x ．若22126x x +=，则m 的值是（A（B（C（D ）1-第14题图 NM DC B A第14题8. 如图是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm ）．将它们拼成如图的新几何体，则该新几何体的体积为（） cm 3．（A ）48π （B ）50π （C ）58π （D ）60π9．给定点M (-1, 2),N (1,4),点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标是(A)21 (B) 43(C) 1 (D) 2 10．已知a 、b 、c 为正整数，且19222=---++ac bc ab c b a ，那么c b a ++的最小值等于(A) 11 (B) 10 (C) 8 (D) 6二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在答题卷上．）11．函数0)2()3lg(1-+-=x x y 中，自变量x 的取值范围是______．12．设变量x y ，满足约束条件30023x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪-⎩≥，≥，≤≤，则目标函数2x y +的最小值为．13．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．则取出的4个球均为黑球的概率是__________．14．如图，平行四边形ABCD 中，AM ⊥BC 于M , AN ⊥CD 于N ，已知AB =10,BM =6, MC =3，则MN 的长为_________．15．若()f x 表示3x +和2283x x -+中较大者，则函数()f x 的最小值是．16．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是．第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1…… ………………………………………。

初中数学教师解题比赛试题及答案

青年教师基本功大赛试题一、选择题（10×2=20分,单选或多选）1.现实中传递着大量的数学信息，如反映人民生活水平的“恩格尔系数”、预测天气情况的“降雨概率”、表示空气污染程度的“空气指数”、表示儿童智能状况的“智商”等，这表明数学术语日趋（）（A）人本化（B）生活化（C）科学化（D）社会化2. 导入新课应遵循（）（A）导入新课的方法应能激发学生的学习兴趣、学习动机，造成悬念，达到激发情感，提出疑问的作用（B）要以生动的语言、有趣的问题或已学过的知识，引入新知识、新概念（C）导入时间应掌握得当，安排紧凑（D）要尽快呈现新的教学内容3.下列关于课堂教学的改进，理念正确的是（）（A）把学生看作教育的主体，学习内容和学习方法由学生作主（B）促进学生的自主学习，激发学生的学习动机（C）教学方法的选用改为完全由教学目标来决定（D）尽可能多的提供学生有效参与的机会，让学生自己去发现规律，进而认识规律4．为了了解某地区初一年级7000名学生的体重情况，从中抽取了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法中正确的是（）（A ）7000名学生是总体（B）每个学生是个体（C ）500名学生是所抽取的一个样本（D）样本容量是5005. 一个几何体的三视图如图2所示，则这个几何体是（）主视图左视图俯视图图2 （A）（B）（C）（D）6．如图1，点A(m,n)是一次函数y=2x 的图象上的任意一点，AB 垂直于x 轴，垂足为B ，那么三角形ABO 的面积Ｓ关于m 的函数关系的图象大致为（）7．有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一条绳子。

若每边每条绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为（） (A)21 (B) 31 (C) 61 (D) 918．一次数学课上，老师让大家在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，折出一个菱形。

甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），乙同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE ＝∠DAC ，∠ACF ＝∠ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是( )（A ）甲（B ）乙（C ）甲乙相等（D ）无法判断9．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。

2007年广州市初中数学青年教师解题比赛试题及参考答案

2007年广州市初中数学青年教师解题比赛决赛试卷 2007－4－15本试卷共8页，第1-2页为选择题和填空题，第3-8页为解答题及答卷．请将选择题和填空题的答案做在第3页的答卷上．全卷共三大题25小题，满分150分，考试时间120分钟．第I 卷（选择题，共44分）一、选择题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分，请将唯一正确的答案代号填在第3页的答题卷上．）1．对于实数a ，下列运算正确的是（）．（A ）)2(121a a ÷=- （B ）3232a a a =+（C ）623)(a a a -=⋅- （D ）422)()(a a a -=-⨯-2．给出以下三个命题：①两个无理数的和一定是无理数；②两个无理数的和有可能是有理数；③两个无理数的和一定是实数．其中正确的命题是（）．（A ）①和②（B ）①和③（C ）②和③（D ）③3．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且,7,384==S S 则12S 的值是（）．（A ）8 （B ）11 （C ）12（D ）154．如果b a ,为实数，则“b a =”是“直线2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切” 的（）．（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件5．已知AB 是圆O 的直径，弦AD 和BC 相交于点P , 那么ABCD等于（）．（A ）BPD ∠sin （B ）cos BPD ∠ （C ）tan BPD ∠ （D ）cot BPD ∠ 6．如图，三个天平的托盘中相同的物体质量相等．图⑴、⑵所示的两个天平处于平衡状态要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（）．(3)(2)(1)（A ）3个球（B ）4个球（C ）5个球（D ）6个球7．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面上都有一个实数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式b ca-的值等于（）．（A ）43- （B ）6- （C ）43（D ）6 8．已知集合}3,2,0{=A ，},,|{A b a ab x x B ∈==且，则集合B 的子集的个数是（）．（A ）4 （B ）8 （C ）15 （D ）16 9．如图，ABC ∆的角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，点是O ABC ∆的外心，，于，于E AC OE D BC OD ⊥⊥，于F AB OF ⊥ 则OD OE OF =∶∶（）．第5题图第7题图（A ）a b c ∶∶ （B ）cb a 1:1:1 （C ）C B A cos :cos :cos （D ）C B A sin :sin :sin10．设a b >，在同一平面直角坐标系内，一次函数a bx y +=与b ax y +=的图象最有可能的是（）．11．二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，)2,(n Q 是图象上的一点，且BQ AQ ⊥，则a 的值为（）．（A ）13-（B ）12- （C ）－1 （D ）－2 第II 卷（非选择题，共106分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案直接填在答题卷上．）12．随机掷一枚均匀的正方体骰子（正方体骰子的六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），每次实验掷两次，则每次实验中掷两次骰子的点数之和为6的概率是__________．13．如果关于x 的方程()012122=++++a x a x 有一个小于1的正数根，那么实数a 的取值范围是．14．在矩形ABCD 中，已知两邻边AD =12，AB =5，P 是AD 边上异于D A 和的任意一点，且BD PE ⊥，F E AC PF 、,⊥分别是垂足，那么=+PF PE ___________．15．已知012=--x x ,那么代数式123+-x x 的值是．16．已知z y x ,,为实数，且3,5=++=++zx yz xy z y x ，则z 的取值范围为．17．已知正方形ABCD 的面积35平方厘米, E 、F 分别为边AB 、BC 上的点, AF 和CE 相交于点G ,并且ABF ∆的面积为5平方厘米,BCE ∆的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF 的面积是___________平方厘米．2007年广州市初中数学青年教师解题决赛答题卷2007-4-15一、选择题答案（每小题4分，共44分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案二、填空题答案（每小题5分，共30分）ABQ O xy第9题图第11题图第14题图第17题图考号12． 13． 14．15． 16． 17．三、解答题（共8小题，满分76分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）18．（本小题8分）已知01<<-a ，21a A +=，21a B -=，aC +=11，试比较A 、B 、C 的大小，并说明理由．19．（本小题8分）设)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，并且x x x g x f -=-2)()(，求)(x f 和)(x g ．20．（本小题10分）已知⊥PA 矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．（1）求证：CD MN ⊥；（2）若=∠PDA 45°，求证MN ⊥面PCD ．第20题图21．（本小题10分）在ABC ∆中，,60,40==AC AB 以A 为圆心，AB 的长为半径作圆交BC 边于D ，若DC BD 和的长均为正整数，求BC 的长．22．（本小题10分）如图，在等腰直角三角形ABC 中，1=AB ，=∠A 900，点E 为腰AC 的中点，点F 在底边BC 上，且BE FE ⊥，求CEF ∆的面积．第21题图第22题图23．（本小题10分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程k x x kx x +=-++3132的解，求实数k 的取值范围．24．（本小题10分）如图，在梯形PMNQ 中，MN PQ //，对角线MQ PN 和相交于点O ，并把梯形分成四部分，记这四部分的面积分别为4321S S S S 、、、．试判断21S S +和43S S +的大小关系，并证明你的结论．第24题图25．（本小题10分）已知42++=m m y ,若m 为整数，在使得y 为完全平方数的所有m 的值中，设m 的最大值为a ，最小值为b ，次小值为c ．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数．）（1）求c b a 、、的值；（2）对c b a 、、，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2007？证明你的结论．密封线20.。

2005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛

2005年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛参考答案2005-3-2012．偶，),0(+∞ 13. 36π 14. 二、三15. 0100 16.313-≤≤-t 17． 4三、解答题（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 18、解：（代数方法）由题意，⎩⎨⎧=+-=+0122a y x y x⇒012222=-++a ax x 直线与圆相交，∴0>∆即0)2(4)1(84222>--=--=∆a a a 则022<-a ，即22<<-a 时，有0>∆直线与圆相交（此题可有几何方法，相应评分）19、解： AO=OC=435BO AB 2222=-=-，易得 θ = ∠ ⊥ ⊥AOC , BD OC , BD AO 为二面角A-BD-C 的平面角。

.s i n 166sin 38BDS 31V ,sin 8sin 421AOC sin OC AO 21S AOC ABCD 2AOC θ=⋅θ=⋅=θ=θ⋅=∠⋅=∆∆依题意,8sin 16=θ得21sin =θ，又πθ<<0, 656ππθ或所以=, 故所求二面角的大小为656ππ或20、解：分析已知式和要求值的式子都是分母比分子复杂，不妨考查它们的倒数。

因为,0,12≠=++a a x x x故 ,0,112≠=++a ax x x 即x+111-=a x ,又11122224++=++xx x x x 区学姓名考号222211)11(1)1(a a ax x -=--=-+=所以 aa x x x 2112242-=++ 21、解：设实际销售运动衣x 套，每套运动衣实际利润为y 元.则 ⎩⎨⎧==+-16000xy 12000)10y )(400x ( 解得.20y ,800x 11⎩⎨⎧== 及⎩⎨⎧-=-=20y 800x 22 （舍去）答：实际销售运动衣800套，每套运动衣实际利润20元22、()也是等高三角形，故与又是等高的三角形，故与由于证明：ABE ADE 11ADABAD AD -AB AD BD S M BDE ADEADE ∆∆-===∆∆∆ ()()x ，设此比值为，故又同理，ACAEAB AD BC ||DE 3 ACAE S S 2 AB AD S S ABE ABE ADE ===∆∆∆ ()()()()SM x x x S M M Sx x x x 4141)21(41)1S41M 04SM S 0S,1S MAB ADAB AD -1AC AE AB AD 1-AD AB S M3,2,1 222≤⇒≤--=-=≤≥-=∆=+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=（法二：由解之得有实根，故法一：展开得即式相乘，得将23、解:(1)∵△ABC 是Rt △且BC=a ，AC=b ，AB=5 （a>b ）又a 、b 是方程的两根∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>+=⋅>-=+>+--=∆2504010)4(4)1(222b a m b a m b a m m ∴(a+b)2-2ab=25 (m-1)2-2(m+4)=25 推出 (m-8)(m+4)=0…………. 得m 1=8 m 2=-4 经检验m=-4不合舍去∴m=8 …………ABCMA'B'C'∴x 2-7x+12=0 x 1=3 x 2=4 ∴a=4，b=3(2) ∵△'''C B A 以1厘米/秒的速度沿BC 所在直线向左移动。

2019年泰州市初中数学教师解题比赛试题及答案

2019年泰州市初中数学青年教师解题比赛试题说明：1．本试卷共4页，10大题，满分为150分，考试时间为120分钟；2．所有试题一律在答题纸上作答，尺规作图请规范操作．1．（本题满分10分）已知ba ca cbc b a k +=+=+=，求k 的值．2．（本题满分10分）关于x 的一元二次方程032=+-k x x 有实数根．（1）求k 的取值范围；（2）如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程03)1(2=-++-m x x m ＝0与方程032=+-k x x 有一个相同的根，求此时m 的值．3．（本题满分10分）图①是一幅藏宝图，海岛（图①中空白处）上某处藏匿了宝藏，但没有任何标志，只有A 、B 两块天然巨石．通过查找资料知道，A 、B 两块巨石的直角坐标分别是（2，1）和（6，6），藏宝地C 的坐标是（8，2）．请用尺规作图在海岛上确定藏宝地C 的位置，并简要说明确定点C 位置的方法．（图②是由相同的小正方形组成的网格，供选用）①②观察下列等式：①2221111++=211；②2231211++=611；③2241311++=1211．解决下列问题：（1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子，并通过计算进行验证；（2）用含n （n 为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明；（3）利用上述结果计算：2221111+++2231211+++2241311+++…+22)1(111+++n n ．5．（本题满分15分）城市许多街道相互垂直或平行，有时不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ．对两点M （1x ，1y ）和N （2x ，2y ），用以下方式定义两点间距离：d （M ，N ）＝|1x 2x -|+|1y 2y -|．已知点A 的坐标是（―2，1），l 是过点（0，3）且平行于x 轴的一条直线，P 为直线l 上一点．（1）d （O ，A ）＝；（2）若d （A ，P ）＝3，求点P 的坐标；（3）设原点O 为快递揽收点，A 为快递仓储点，直线l 是一条公路，今欲在公路l 上修建一个快递中转中心P ，快递小哥们从点O 处出发，按照“直角拐弯”的方式，将市民送来的快递运送到P 处，再将从外地送来的快递运送到A 处．要使快递小哥的路程最短，请确定快递中转中心P 的位置，并求出最短路程．如图，线段AB =a ，∠ABG=60°，点P 为射线BG 上的一个动点，以AP 为边作菱形APCD ，使∠APC =60°，且点C 、D 落在∠ABG 内部，过点A 、P 、C 的⊙O 与线段AB 相交于点M ，CM 交AP 于点N ．（1）求证：CM ∥BG ；（2）求线段CM 的长；（3）求线段MN 的最大值．7．（本题满分15分）已知：如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 上两个动点，且∠EAF =45°，EM ⊥AC ，FN ⊥AC ，点M 、N 为垂足，AE 、AF 交BD 于点G 、H ．当BG =3时，GH =5．（1）求正方形ABCD 的边长；（2）设AM =x ，AN =y ，求y 与x 的函数关系式及x 的取值范围．8．（本题满分20分）已知：△ABC 的内切圆O 与BC 相切于点D ，且BD =p ，CD =q ．（1）若pq AC AB 2=⋅，试判断△ABC 的形状，并说明理由．（2）如图，若∠A =60°，用含p 、q 的代数式表示△ABC 的面积；ABC DEG M NF H已知A （1，3）、B （3，-1）为平面直角坐标系xOy 内两点．（1）过原点O 作直线l ，设点A 、B 到直线l 的距离分别为1d 、2d ．①1d =2d ，求l 的函数表达式；②若点A 、B 在直线求l 两侧，且1d +2d 最大，求l 的函数表达式；（2）若二次函数13)2(2+--+-=a a x y 的顶点E 在△OAB 内（包括边界），点A 、B 到点E的最短距离分别为1d 、2d ，求1d 2d -的值．10．（本题满分20分）已知一次函数b kx y +=与二次函数2ax y =（a <0）的图像相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴负半轴相交于点C ．（1）若∠AOB =90°，点A 的横坐标为1-，BC =9AC ，求点B 的坐标；（2）过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ．延长BD 、AO 相交于点Q ，求证：DQ =CO ；（3）在y 轴上是否存在一点P ，使CP 平分∠APB ?如果存在，说明点P 与点C 的位置关系；如果不存在，请说明理由．019年泰州市初中数学青年教师解题比赛试题答案1．（本题满分10分）若0=++c b a ，则a c b -=+，b a c -=+，c b a -=+，所以1-=+=cb ak 若0≠++c b a ，方法一：有b a a c c b c b a k +++++++==21=；方法二：有a c b k =+)(①，b ac k =+)(②，c b a k =+)(③，①+②+③得：c b a c b a k ++=++)(2，所以21=k ，故k 的值为1-或21． 2．（本题满分10分）（1）k ≤49；（2）满足k ≤49的最大整数为2，此时方程①为0232=+-x x ，解得两根为1=x 和2．把1=x 和2分别代入方程②解得23=m 和1，而方程②为一元二次方程，有1-m ≠0即m ≠1，所以23=m ． 3．（本题满分10分）（1）在图②的网格中建立如图所示的直角坐标系；（2）在该坐标系中描出点A ′（2，1）、B ′（6，6），C ′（8，2）；分别连接A ′B ′、B ′C ′、C′A ′；（3）在图①中，作∠BAE =∠A ′，∠ABF =∠B ′，射线AE 与BF 相交于点C ．则C 点就是藏宝地．4．（本题满分15分）（1）2261511++=3011；（2）22)1(111+++n n =)1(11++n n （n 为正整数）．证明如下：22)1(111+++n n =222222)1()1()1(+++++n n n n n n =222)1(1)1(2)]1([+++++n n n n n n=222)1(]1)1([+++n n n n =)1(1)1(+++n n n n =)1(11++n n ．（3）原式=2111⨯++3211⨯++4311⨯++…+)1(11++n n =21111-++31211-++41311-++…+1111+-+n n =1+n 11+-n =122++n n n ．5．（本题满分15分）（1）3；（2）设P （a ，3），则d （A ，P ）＝|a +2|+|3-1|=3，解得a =-1或-3，∴P （-1，3）或（-3，3）；（3）d （O ，P ）+ d （A ，P ）＝|a -0|+|3-0|+|a +2|+||3-1|=|a +2|+|a |+5=⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤--≤+-)0(72)02(7)2(32a a a a a ，显然，当2-≤a 时32+-a 的最小值为7，当0≥a 时72+a 的最小值也为7，故d （O ，P ）+ d （A ，P ）最小值为7，此时-2≤a ≤0，即快递中转中心P 建于公路l 上横坐标在-2与0之间（包括-2与0）的所有位置都满足要求．6．（本题满分15分）（1）证明略；（2）连接PM ，证△CPM ≌△APB ，从而有CM =AB =a ；（3）设PB =MB =x ，易证△AMN ∽△CMP ，所以PM MN CM AM =，所以x MN a x a =-，所以MN =)(1x a x a -=a a x a x x a 41)21(1122+--=+-，故MN 最大为a 41．7．（本题满分15分）（1）如图①，因为∠BAD =90°，AD =AB ，故将△ADH 绕点A 顺时针旋转90°至△ABP 位置，连接PG ，易证∠PBG =90°，所以222BG PB PG +=；可证△APG ≌△AHG ，有PG =HG ，所以222HD BG GH +=，而当BG =3时，GH =5，故此时HD =4．即BD =12，所以正方形的边长为26．（2）如图②，易证△AEM ∽△AFD ，△ABE ∽△ANF ，所以AF AE AD AM =，AF AE AN AB =，所以ANABAD AM =，有AB AD AN AM ⋅=⋅=72262=）（，即72=xy ，所以xy 72=（126<≤x ）．8．（本题满分20分）（1）设AB =c ，AC =b ，⊙O 与AB 、AC 相切于点F 、E ，由条件知：pq ab 2=，由AE =AF 得p c q b -=-，所以p q c b -=-，所以22)()(p q c b -=-，所以222222q pq p c bc b +-=+-，所以222222q bc pq p c b ++-=+=2242q pq pq p ++-=2)(q p + 即222BC AC AB =+，所以△ABC 为直角三角形．Fq AB DGPH（2）如图②，设⊙O 的半径为r ，与AB 、AC 相切于点F 、E ，连接AO 、BO 、CO 、OD 、OE 、OF ，作CH ⊥AB ，易证OF ⊥AB ，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，则AF =AE =r 3，BF =BD =p ，CE =CD =q ，所以CH =AC 23=)3(23q r +，而ABC S ∆=ABO S ∆+BCO S ∆+ACO S ∆，所以)3(23)3(21q r p r +⋅+=r q r q p p r ⋅+++++)33(21，整理得：pq r q p r 3)(32=++，所以ABC S ∆=r q r q p p r ⋅+++++)33(21=pq r q p r 3)(32=++．9．（本题满分20分）（1）如图①，满足条件的直线l 有两条，一条是与AB 平行，一条是经过AB 的中点P ，表达式为x y 2-=或x y 21=；（2）如图②，作AG ⊥l ，BH ⊥l ，过点A 作l ′∥直线l ，延长BG 交l ′于点G ，则1d +2d =BG ，根据垂线段最短有1d +2d =BP ≤AB ，显然当l ′⊥AB 时1d +2d 最大，此时直线l 恰好经过AB 的中点，故直线l 的表达式为x y 21=；（3）二次函数图像的顶点为S （2+-a ，13+-a ），设x a =+-2，y a =+-13，有53-=x y ，即S 是直线53-=x y 上的动点．点S 在△OAB 内，故S 在直线53-=x y 与AB 、OB 交点间的线段上，AB 的表达式为52+-=x y ，OB 的表达式为x y 31-=，从而有53-=x y 与AB 的交点M （2，1），N （23，21-）且MN ⊥OB ，故2d =BN =1021，2d =AB 21=5，所以1d 2d -=51021-．①② ③10．（本题满分20分）设直线AB 表达式为d kx y +=，A 、B 的坐标分别为（1x ，21ax ）、（2x ，22ax ）.（1）作AE ⊥x 轴、BF ⊥x 轴，E 、F 为垂足，易证△AOE ∽△OBF ，所以FBEOOF AE =得21ax -)(22ax -⋅=1x -2x ，从而2a 1x 2x =1-，由题意11-=x ，92=x ，所以912=a ，因为a <0，所以31-=a ，所以二次函数为231x y -=，当92=x 时32-=y ，故点B （9，3-）．（2）如图②，在d kx y +=中，令x =0，有y =d ，则CO =|d |；直线AO 的关系式为x x axy 121==x ax 1，令2x x =得21x ax y Q =，联列直线AB 与抛物线的关系式得⎩⎨⎧+==dkx y ax y 2，有02=--d kx ax ，所以1x 2x =a d -，所以DQ =|Q y |=|21x ax |=|)(ada -|=|d |．故有DQ =CO ．（3）如图③，设点P 的坐标为（0，m ），作AG ⊥y 轴、BH ⊥y 轴，G 、H 为垂足，由题意知：点C 的坐标为（0，d ），则tan ∠APC - tan ∠BPC =AG PG BH PH -=121x ax m --222x ax m --=212121))((x x x ax m x x -+-，联列2ax y =与d kx y +=有02=--d kx ax ，则a k x x =+21，adx x -=21，所以tan ∠APC -tan ∠BPC =ad a da m ak --⋅--)]([=)(d m d k +，欲∠APC =∠BPC ，而k 为任意实数，只有0=+d m ，即d m -=，此时点P 与点C 关于原点对称．。

2013年安庆市数学青年教师(初中)解题大赛试题解答

2013年安庆市数学青年教师（初中）解题大赛试题（参考答案）岳西县中关中心小学教师储王水答案不一定全部正确，如有错误请修正一、选择题（每小题5分，共40分） 1. 若01a <<，21b -<<-，则1212a b a b a b a b-++-+-++的值是（ B ）A ．0B ．－1C ．－3D ．－42. 有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元；若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共需8.4元.现购铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需（ B ）元. A ．2.4 B ．2.1 C ．1.9 D ．1.8 3.如图，△ABC 被DE 、FG 分成面积相等的三部分（即123S S S ==），且D E ∥F G ∥BC ，BC=6，F G －DE=（ D ） A ．31- B ．63- C ．62- D ．22- 4.如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，9BOC S =△，25AOD S =△，则四边形ABCD 的面积最小值是（ B ）A ．34B ．64C ．69D ．无法求出5.在ABC ∆中，A AC BC AB ∠===,6,3,4的外角平分线交CB 的延长线与点D ，则BD=( B )第3题图S 3S 2S 1GFEDCBA第4题图ODCBAA ．2B ．6C ．3D ．46.设y x ,为实数，满足,94,8322≤≤≤≤yx xy 且则43y x 的最大值为（ c ）A ．2B ．26C ．27D ．2037.若图7-1中的线段长为1，将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边三角形，然后去掉这一段，得到图7-2，再将图7-2中的每一段类似变形，得到图7-3，按上述方法继续下去得到图7-4，则图7-4中的折线的总长度为（ D ）A ．2B ．2716 C ．916 D ．2764图7-1 图7-2 图7-3 图7-4 8.如图，动点P 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于M ，N.设BP=x ，MN=y,则函数y =f(x)的图象大致是（ B ）二、填空题（每小题6分，共30分）9.设,x y 为实数，代数式2254824x y xy x +-++的最小值为 3 .10.不等式421≥++-x x 的解集为 X ≤-2.5或X ≥1.5 .11.如图，点A 、C 在反比例函数()30y x x=<的图象上，B 、D 在x 轴上，△OAB ，△BCD 均为正三角形，则点C 的坐标是 -1-23-6（，） .12.如图，在R t △ABC 中，∠A=90°，AB=6㎝，AC=8㎝，以斜边BC 上距离B 点6㎝的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF ，则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是 144／25 ㎝2.13.在平面直角坐标系xOy 中，点1A ，2A ，3A ，…和1B ，2B ，3B ，…分别在直线y kx b =+和x 轴上．△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…都是等腰直角三角形，如果A 1（1，1），A 2（23,27），那么点n A 的纵坐标是_ 113354)22n n --⋅-（（），（） _____．三、解答题（10+10+20+20+20=80分）yxy=kx+bOB 3B 2B 1A 3A 2A 1 （第13题图）14. 对m k ,的哪些值，方程组()⎩⎨⎧=+--=+-04120y x k m y kx 至少有一组解？解：12111==21141=2114k k k m k k mk -≠------≠--≠当时，有唯一一个解，当时，有无数个解，当时，无解，故当k 1或k=1，m=4时至少有一组解。

初中数学青年教师解题比赛试题及解答

初中数学青年教师解题竞赛试卷一、填空（本题共有10小题，每小题4分，共40分） 1．函数112-+-=x x y 中，自变量x 的取值范围是 . 2．圆锥的母线长为5cm ，高为3 cm ，在它的侧面展开图中，扇形的圆心角是度.3．已知3=xy ，那么yxyx y x+的值是 . 4．△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE//BC ，BE 与CD 相交于点O ，在这个图中，面积相等的三角形有对. 5．不等式x x 4115≥+的正整数解的共有个． 6．函数13++=x x y 的图象在象限．7．在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝5，D 是BC 上的一点，且BD ：DC ＝2：3，则AD 的取值范围是 .8．关于自变量x 的函数c bx ax y ++=2是偶函数的条件是 . 9．若关于未知数x 的方程x p x =-有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是 .10．AB 、AC 为⊙O 相等的两弦，弦AD 交BC 于E ，若AC ＝12，AE ＝8，则AD ＝ . 二、（本题满分12分）11．如图，已知点A 和点B ，求作一个圆⊙O ，和一个三角形BCD ，使⊙O 经过点A ，且使所作的图形是对称轴与直线AB 相交的轴对称图形．（要求写出作法，不要求证明）..AB三、（本题满分12分）12．梯子的最高一级宽33cm ，最低一级宽110cm ，中间还有10级，各级的宽成等差数列，计算与最低一级最接近的一级的宽．四、（本题满分13分）13．已知一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到点A （0，2）的距离减去它到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．五、（本通满分13分）14．池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为︒20，测得碑顶在水中倒影的俯角为︒30（研究问题时可把碑顶及其在水中的倒影所在的直线与水平线垂直），求水面到碑顶的高度（精确到0.01米，747.270tan ≈︒）. 六、（本题满分14分）.15．若关于未知数x 的方程022=-+q px x （p 、q 是实数）没有实数根，求证：41<+q p . 七、（本题满分14分）16．如果⊙O 外接于正方形ABCD ，P 为劣弧AD 上的一个任意点，求：PBPCPA +的值. 八、（本题满分16分）17．试写出m 的一个数值，使关于未知数x 的方程08242=+--m x x 的两根中一个大于1，另一个小于1. 九、（本题满分16分）18．点P 在锐角△ABC 的边上运动，试确定点P 的位置，使P A +PB ＋PC 最小，并证明你的结论.参考答案一、1. 2≤x 且1≠x 2.288 3. 32± 4.4 5.6 .一、二、三 7. 4<AD <8 8.b =0 9. 410<≤p 10.18. 二、作法：11.1、作直线OB 与直线AB 相交于点B ；2、以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ；3、过点O 作直线CD ⊥OB 交⊙O 于点C 和点D ；4、分别连结CB 和DB .则⊙O 和△BCD 就是所求. 三、12.解：用{}n a 表示题中的等差数列，由已知条件有12,110,33121===n a a().1133即110,112112d d a a +=-+=解得 7=d().1037033111111=+=-+=∴d a a答：与最低一级最接近的一级的宽103cm.四、13.解：设点M （x ,y ）是曲线上的任一点，MB ⊥x 轴，垂足为B ，那么点M 属于集合{}2=-=MB MA M P . 由距离公式，得()2222=---y y x ,化简，得281x y =.曲线在x 轴的上方，y >0,..A BDCO∴所求的曲线的方程是()0812≠=x x y 五、14.解：如图，DE 表示水面，A 表示观测点，B 为碑顶，B '在水中的倒影，由题意： ()m 13020=︒='∠︒=∠，AD AC B ，BAC︒='∠︒=∠∴60,70B B设x BE =,则.1,1+='-=x C B x BC在Rt △ABC 中，()︒-=⋅=70tan 1tan x B BC AC ○1 在Rt △A B 'C 中，()︒+='⋅'=60tan 1tan x B C B AC ○2 由○1、○2得()()︒+=︒-60tan 170tan 1x x ()︒+︒=︒-︒∴60tan 70tan 60tan 70tan x 41.4479.4015.1≈∴=x x 米答：水面到碑顶的高度4.41米.六、15. 证：由题意，令0442<-=∆q p得2p q -<41412122≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-<+p pp q p即41<+q p七、16.解：如图，BP 平分直角APC ∠，︒=∠=∠∴4521ABCDP12B 'EA BC D在△APB 中，由余弦定理，得：2222AB PB PA PB PA =⋅-+同理，在△BPC 中，有2222BC PC PB PC PB =⋅-+ 22222AC PC AP BC AB =+=+().20222=+∴=+-∴PBPC PA PC PA PB PB当点P 与点A 或点D 重合时.2=+PBPCPA 八、17.解法1：设()()062=-+x x ，则01242=--x x ,令1282-=+-m ，得10=m ，∴当10=m 时，所给方程两根中，一个大于1，另一个小于1.解法2：设21,x x 是方程的两根，则m x ，x x x 2842121-=⋅=+，依题意，()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>⇒⎩⎨⎧<-->---=∆.25,21.011,02844212m m x x m 解得：25>m .∴当3=m 时，所给的方程的两根中，一个大于1，另一个小于1. 九、18.解：当点P 在锐角△ABC 最短边上的高的垂足的位置时，P A +PB ＋PC 最小. 证明：如图，P 为△ABC 一边BC 边上的高的垂足，而Q 为BC 边上的任一点，+++=++QB QA PC PA PC PB PA ,ABCQ PQA PA BC QA QC <+=,QC QB QA PC PB PA ++<++∴又设AC 为△ABC 最短边，作这边上的高P B '（如图），可知AP P B >'.在P B '上截取AP P B o =',在BC 上截取AC C B ='，作AC P B o ⊥'.垂足为o P ,连结o B B '.APC ∆Rt ≌=∴'∆AP C P B o RtP B P B o o '='. 四边形o o P P B B ''是矩形，︒='∠∴90B B B o ，在B B B o '∆中，+='+'+'>'o o BB C P B P A P BB B BAC AP +，PC PB PA C P B P A P AP AC B B PC PB PA ++<'+'+'∴++'=++.oP B 'oB P 'A BCP。

数学青年教师解题竞赛试题

新区实验中学数学青年教师解题竞赛试题时间：120分钟满分：100分中考：50分，选择题8道×3分，填空题4道×4分，解答题1道（10分）；竞赛：30分，选择题4道×3分，填空题2道×4分，解答题1道（10分）；高中：20分，选择题2道×3分，填空题2道×4分，解答题1道（6分）．一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，满分42分）1、若|a －b|＝b －a ，且|a |＝3，|b |＝2，则（a ＋b ）3的值为（） A ．1或125 B ．－1 C ．－125 D ．－1或－1252、如图，三个图形的周长相等，则（）A ．c ＜a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a3、利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（）A ．73cmB ．74cmC ．75cmD ．76cm4、如图，点D ，E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，DE ∥BC ，且S △ADE ＝S 梯形DBCE ，则AD ∶DB ＝（）A ．1∶1B ．1∶2C ．(2－1)∶2D ．1∶(2－1)5、若方程6(x 1)(x 1)+-－x 1m-－＝1有增根，则它的增根是（）A ．0B ．1C ．－1D ．1和－1第4题图第3题图姓名考号－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－密－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－封－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－6、若关于x的不等式721x mx-<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，则m的取值范围是（）A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7D．6＜m≤77、已知关于x的一元二次方程（a－l）x2－2x+l＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠l D．a＜－28、从长为10cm、7cm、5cm、3cm的四条线段中任选三条能够成三角形的概率是（）A．14B．13C．12D．349、方程x|x|－3|x|＋2＝0的实数根个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410、△ABC的三条外角平分线所在直线相交成一个△A′B′C′，则△A′B′C′（）A．一定是直角三角形B．一定是钝角三角形C．一定是锐角三角形D．一定是等腰三角形11、设[a]表示不超过a的最大整数，如[4．3]＝4，[－4．3]＝－5，则下列各式中正确的是（）A．[a]＝|a| B．[a]＝|a|－1 C．[a]＝－a D．[a]＞a－112、(09黄石)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论：①a＋b＋c＜0；②a－b＋c＞2；③abc＞0；④4a－2b＋c＜0；⑤c－a＞1．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤13、（2013•浙江）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．正确的命题是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β14、已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝（）A．0或3B．0或3 C．1或3D．1或3二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）15、如图，在四边形ABCD 中，∠A ＋∠B ＝90°，CD ∥AB ，将AD 、BC 分别平移到EF 和EG 的位置．若AD ＝8cm ，CD ＝2cm ，CB ＝6cm ，则AB的长是 cm ．16、如图，△ABC 的3个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC 绕点B 顺时针旋转到△A'BC'的位置，且点A'、C'仍落在格点上，则线段AB 扫过的图形面积是平方单位（结果保留π）．17、如图，△ABC 中，∠B ＝∠C ，D 在BC 上，∠BAD ＝50°，AE ＝AD ，则∠EDC 的度数为（）18、如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝45°，F 是高AD 和BE 的交点，CD ＝4，则线段DF 的长度为（）10、学生甲、乙、丙三人竞选学校的学生会主席，选举时收到有效选票1500张，统计其中1000张选票的结果是：甲350张，乙370张，丙280张，则甲在剩下的500张选票中至少再得票，才能保证以得票最多当选该校的学生会主席．20、初二某班有49位同学，他们之间的年龄最多相差3岁，若按属相分组，那么人数最多的一组中至少有同学位．21、若函数f （x ）＝x ＋12x （x ＞2），在x ＝a 处取最小值，则a ＝．22、原点关于直线8x ＋6y ＝25的对称点坐标为．第18题图第16题图第17题图第15题图三．（本大题共3小题，满分26分）23、（10分）已知实数a、b满足a＋b＝－3，ab＝2，求（2）tanθ．25、（6分）在等差数列{a n}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{a n}的首项，公差及前n项和．数学青年教师解题竞赛试题参考答案1、解：∵|a－b|＝b－a，∴a＜b，∴a＝－3，b＝±2．（1）a＝－3，b＝－2时，（a＋b）3＝－125；（2）a＝－3，b＝2时，（a＋b）3＝－1．故选D．2、解：∵三个图形的周长相等，∴6a＝3b＝8c，∴c＜a＜b．故选A．3、解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，由第一个图形可知桌子的高度为：h－y＋x＝80，由第二个图形可知桌子的高度为：h－x＋y＝70，两个方程相加得：（h－y＋x）＋（h－x＋y）＝150，解得h＝75cm．故选C．4、解：∵S△ADE＝S梯形DBCE，∴△ADE的面积是△ABC面积的一半，∴()2＝，∴AB＝AD，令AD＝1，则DB＝－1，∴AD∶DB＝．故选D5、．解：方程两边都乘（x＋1）（x－1），得6－m（x＋1）＝（x＋1）（x－1），由最简公分母（x＋1）（x－1）＝0，可知增根可能是x＝1或－1．当x＝1时，m＝3，当x＝－1时，得到6＝0，这是不可能的，所以增根只能是x＝1．故选B．6、解：由（1）得，x＜m，由（2）得，x≥3，故原不等式组的解集为：3≤x＜m，∵不等式的正整数解有4个，∴其整数解应为：3、4、5、6，∴m的取值范围是6≤m＜7．7、解：△＝4－4（a－1）＝8－4a＞0得a＜2．又a－1≠0∴a＜2且a≠1．故选C．8、解：共有10、7、5；10、7、3；10、5、3；7、3、5；4种情况，10、7、3；10、5、3这两种情况不能组成三角形；所以P（任取三条，能构成三角形）＝12．故选C．9、解：当x＞0时，原式＝x2－3x＋2＝0，解得：x1＝1；x2＝2；当x＜0时，原式＝－x2＋3x＋2＝0，解得：x1＝（不合题意舍去），x2＝，∴方程的实数解的个数有3个解．故选C．10、解：∵∠C′AB＝12（∠ABC＋∠ACB），∠C′BA＝12（∠ACB＋∠BAC），∠C′＝180°－∠C′AB－∠C′BA，∴∠C′＝180°－12（∠ABC＋∠ACB）－12（∠ACB＋∠BAC）＝90°－12∠ACB．∵90°－12∠ACB＜90°．∴∠C′＜90°．同理：∠A′＜90°，∠B′＜90°．∴△A′B′C′一定是锐角三角形．故选C．11、解：A、当a等于负整数时，[a]＝－a，故本选项错误；B、当a等于正整数时，[a]＝a，[a]≠|a|－1，故本选项错误；C、当a等于正整数时，[a]＝a，故本选项错误；D、[a]≤a且为整数，与a的差不会超过1，a－1与a的差为1，则[a]＞a－1，故本选项正确．12、C13、C14、B15、解：∵AD∥EF，CB∥EG，∠A＋∠B＝90°，∴∠FEG＝90°，∴△FEG是直角三角形，∵AD＝EF＝8cm，CB＝EG＝6cm，∴FG2＝EF2＋EG2，∴FG＝＝10cm，∵在四边形ABCD中，AD、BC分别平移到EF和EG的位置，∴CD＝AF＋BG，∴AB＝FG＋AF＋BG＝10＋2＝12cm．16、解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝＝＝，由图形可知，线段AB扫过的图形为扇形ABA′，旋转角为90°，∴线段AB扫过的图形面积＝＝＝．17、解：如图，∠AED＝∠EDC＋∠C，∠ADC＝∠B＋∠BAD，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠B ＋∠BAD ＝∠EDC ＋∠C ＋∠EDC ，即∠BAD ＝2∠EDC ， ∵∠BAD ＝50°，∴∠EDC ＝25°．18、解：∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠FDB ＝90°， ∵∠ABC ＝45°，∴∠BAD ＝45°，∴AD ＝BD ， ∵BE ⊥AC ，∴∠AEF ＝90°，∴∠DAC ＋∠AFE ＝90°， ∵∠FDB ＝90°，∴∠FBD ＋∠BFD ＝90°，又∵∠BFD ＝∠AFE ，∴∠FBD ＝∠DAC ，在△BDF 和△CDA 中：，∴△BDF ≌△CDA ，∴DF ＝CD ＝4．19、解：由甲350张，乙370张，得出甲与乙相差20，剩下500张只分给甲、乙两人选票，首先使两人票数相同，从500张中先拿出20张给甲，若剩下的500－20＝480张中，甲乙各占一半，则甲至少需要240＋20＋1＝261才能当主席．故答案为：261．20、解：由题意知，49位同学分四个年龄段，构造4个抽屉，49＝12×4＋1，所以人数最多的一组中至少有同学12＋1＝13位．故答案为13．21、322、（4，3）23、判断出a ，b 均为负值2分，得出－abb a 22 4分，正确结果4分．24、求出sinθ×cosθ值3分，求出sinθ－cosθ值4分，求出tanθ值3分． 25、（2013•四川）解：设该数列的公差为d ，前n 项和为S n ，则 ∵a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项， ∴2a 1＋2d ＝8，（a 1＋3d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋8d ）解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3． ∴前n 项和为S n ＝4n 或S n ＝12（3n 2−n ）．求出首项，公差及前n 项和各2分．备选题1、求证：三角形的三条中线之和大于周长的34，而小于周长的32．2、已知a b+＝3，b c+＝4，c a+＝5，则ab bc ca++＝．63、不论m 取任何实数，直线（3m ＋2）x －（2m －1）y ＋5m ＋1＝0必过定点（ A ） A ．（－1，1） B ．（－1，－1） C ．（1，－1） D ．（1，1）4、在同样条件下的三次化学实验中，所得数据是1a 、2a 、3a ，因仪器和观察的误差，我们规定：实验的的最佳数据“a ”是这样的一个数值，它与实验数据1a 、2a 、3a 差的平方和M 最小．依此规定，则a ＝． 13(1a ＋2a ＋3a )5、观察下表中三角形个数变化规律，……，如果图中三角形的个数是102个，则图中应有． 16 多一条横线，则多6个三角形．6、一位同学在斜坡上练习骑自行车，上坡速度为m km/h ，下坡速度为n km/h ，则上下坡的平均速度为 km/h ．2mnm n7、已知x ∈{1，2，x 2}，则实数x ＝．解：∵x ∈{1，2，x 2}，分情况讨论可得：①x ＝1此时集合为{1，2，1}不合题意 ②x ＝2此时集合为{1，2，4}合题意 ③x ＝x 2解得x ＝0或x ＝1，并且当x ＝0时集合为{1，2，0}合题意，故答案为0或2．。

年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛试卷答案

年广州市青年教师初中数学解题比赛决赛参考答案-3-20 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C D A A B B D C C A12．偶，),0(+∞ 13. 36π 14. 二、三15. 0100 16.313-≤≤-t 17． 4三、解答题（共8小题，满分76分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 18、解：（代数方法）由题意，⎩⎨⎧=+-=+0122a y x y x⇒012222=-++a ax x直线与圆相交，∴0>∆即0)2(4)1(84222>--=--=∆a a a则022<-a ，即22<<-a 时，有0>∆直线与圆相交（此题可有几何方法，相应评分）19、解： AO=OC=435BO AB 2222=-=-，易得 θ = ∠ ⊥ ⊥AOC , BD OC , BD AO 为二面角A-BD-C 的平面角。

.sin 166sin 38BDS 31V ,sin 8sin 421AOC sin OC AO 21S AOC ABCD 2AOC θ=⋅θ=⋅=θ=θ⋅=∠⋅=∆∆依题意,8sin 16=θ得21sin =θ，又πθ<<0, 656ππθ或所以=, 故所求二面角的大小为656ππ或20、解：分析已知式和要求值的式子都是分母比分子复杂，不妨考查它们的倒数。

区学校姓名考号因为,0,12≠=++a a x x x故 ,0,112≠=++a a x x x 即x+111-=a x , 又11122224++=++x x x x x222211)11(1)1(a a ax x -=--=-+=所以 aa x x x 2112242-=++ 21、解：设实际销售运动衣x 套，每套运动衣实际利润为y 元.则 ⎩⎨⎧==+-16000xy 12000)10y )(400x ( 解得.20y ,800x 11⎩⎨⎧== 及⎩⎨⎧-=-=20y 800x 22 （舍去）答：实际销售运动衣800套，每套运动衣实际利润20元22、()也是等高三角形，故与又是等高的三角形，故与由于证明：ABE ADE 11ADABAD AD -AB AD BD S M BDE ADEADE ∆∆-===∆∆∆ ()()x ，设此比值为，故又同理，ACAEAB AD BC ||DE 3ACAES S 2AB ADS S ABE ABE ADE ===∆∆∆()()()()S M x x x S M M Sx x x x 4141)21(41)1S 41M 04SM S 0S,1S MAB ADAB AD -1AC AE AB AD 1-AD AB S M3,2,1 222≤⇒≤--=-=≤≥-=∆=+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=（法二：由解之得有实根，故法一：展开得即式相乘，得将23、解:(1)∵△ABC 是Rt △且BC=a ，AC=b ，AB=5 （a>b ）又a 、b 是方程的两根∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+>+=⋅>-=+>+--=∆2504010)4(4)1(222b a m b a m b a m m ∴(a+b)2-2ab=25 (m-1)2-2(m+4)=25 推出 (m-8)(m+4)=0…………. 得m 1=8 m 2=-4 经检验m=-4不合舍去∴m=8 ………… ∴x 2-7x+12=0 x 1=3 x 2=4 ∴a=4，b=3(2) ∵△'''C B A 以1厘米/秒的速度沿BC 所在直线向左移动。

广州市初中青年数学教师解题比赛决赛试题与答案

20XX 年广州市初中数学青年教师解题决赛试题参考答案及评分标准9．选C [解析]：设直线MN （MN l ：3+=x y ）交x 轴于点A,则点P ，必须满足AN AM AP ⋅=2，易计算得，3-=A x ，4=AP ．10．选B [解析]：不妨设c b a ≥≥，m b a =-，n c b =-，m 、n 为非负整数，n m c a +=-， 01922=-++n mn m ，由Δ≥0，可得，6<n ，当0=n ，1，4，5时，m 无解，2=n 时，m 3=；3=n 时，2=m ，① 当2=n ，m 3=时，b a +=3，2-=b c 1≥，3≥b ，6≥a ，1013≥+=++b c b a ，此时，取6=a ，3=b ，1=c 时，10=++c b a 最小； ②当3=n ，2=m 时，同理可求，得,11=++c b a 6=a ，4=b ，1=c ，综上，最小值10=++c b a ．二、填空题答案（每小题5分，共6小题，共30分）11．3,4)(4,)+∞U （. 12. 23-. 13.51. 14. 5734.作MH ⊥AN 于H ,AH =524,HN =512,MH =532．15. 3. 16．21n -，32 .三、解答题答案（共7小题，满分80分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 17. 解：（1）由已知得当0x <时，2()23f x x x =+-．∴2223,0,()23,0.x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨+-<⎪⎩……………………………………………………………………………………3分（2）单调递减区间是]1,0[],1,(--∞，单调递增区间是),1[],0,1[+∞-．…………………………………………6分最小值是4-，没有最大值．…………………………………………………………………………………8分18. 解：（1）2()sin )2cos 2sin cos f x x x x a x x x a =-⋅+=-+-2sin 22cos(2)6x x a x a π=-+=++．……………………………………………4分（2）7[0,],2,1cos(2)26666x x x πππππ∈∴≤+≤∴-≤+≤Q2()a f x a ∴-≤≤．……………………………………………………………………………………6分min ()2f x a ∴=-，由题意得22a -=-0a ∴=．……………………………………………………………8分19．解：（1）证明：由AD ⊥平面ABE 及//AD BC ，∴BC ⊥平面ABE ，∴AE BC ⊥．而BF ⊥平面ACE ，∴BF AE ⊥，又BC BF B =I ，∴AE ⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，∴AE BE ⊥．………………………………………………3分（2）连接EM ，∵M 为AB 中点，AE =EB =2，∴AB EM ⊥．又⊥DA 平面⊂EM ABE ，ABE 平面，∴EM DA ⊥，所以⊥EM 平面ACD ．……………………………………………………………………………………5分由已知及（1）得22,221===∆ADC S AB EM ．故1422233D AECE ADCV V --==⨯=．……………………………………………………………………7分（3）取BE 中点G ，连接FM GF MG ,,．∵BF ⊥平面ACE ，∴CE BF ⊥，又BC EB =，所以F 为CE 中点，∴GF //BC ．又∵BC //AD ，∴GF //AD ．所以GF //平面ADE ．………………………………9分同理//MG 平面ADE ，所以平面GMF //平面ADE ．又⊂MF 平面MGF ，则//MF 平面ADE ．………………………………………………………………12分20. 证明: (1) ∵DE ⊥CP 且CE=EF ，∴ DC=DF , ∠FDE =21∠FDC ， ∠HDE =∠FDE -∠FDH =21∠FDC -21∠FDA =21∠ADC = 45°．………………………………………………4分∴∠EHD =∠HDE =45°．……………………………………………………………………………………………5分∴ DE=EH ．(2)延长DH 交AF 于点O ，将ΔDEC 绕点C 逆时针旋转90°到ΔBMC 的位置，连结ME ． ∴ΔDEC ≌ΔBMC ． ∴ DE=BM , ∠DCE =∠BCM ,∵∠DCE +∠ECB =90°， ∴∠BCM +∠ECB =90°．∴ BM ∥CH ． …………………………………………………8分在ΔEMC 中，∠ECM =90°，MC=CE ，∴∠CEM =45°．由（1）知， DE=EH=BM ， ∴BMEH 为平行四边形 ∴ BH ∥EM ．又由（1）知DC=DF ，则DA=DF ，DO 为∠ADF 的角平分线，∴ DO ⊥AF ．又对顶角∠EHD =∠FHO ， ∴ ∠AFH =∠HDE =45°． ∴ ∠AFH =∠MEC =45°． ∴ AF ∥ME ．∴ AF ∥BH . ………………………………………………………………………………………………………12分A D 第20题21. 解：（1）连接BC ，由勾股定理求得：2AB AC ==，213602n R S π==π. ……………………………3分（2）连接AO 并延长，与弧BC 和O e 交于E F ，，22EF AF AE =-=-，弧BC 的长：21802n R l π==π．设圆锥的底面半径为r ．22r π=πQ ， ∴圆锥的底面直径为：22r =．……………………………………………………………………………6分 2222-<Q ， ∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．…………………………………………………8分（3）由勾股定理求得：2AB AC R ==，弧BC 的长：2180n R l R π==π，22r R π=πQ ， ∴圆锥的底面直径为：22r R =，22(22)EF AF AE R R R =-=-=-． 2222-<Q 且0R >， 2(22)2R R ∴-<，即无论半径R 为何值，2EF r <． ∴不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．………………………………………………12分第21题∠ABE=∠EBC=∠DHC,∠AEB=∠ADH=∠CDH,∴∠BCD=∠BAD. …………………………………………………………………………………………………14分xyABCO P F MEH NQP 'N 'M '1 23423．（1）证明：连结AF ．AE BF Q ∥，1342∴∠=∠∠=∠，．又AB AF =Q ，34∴∠=∠．12∴∠=∠．又AO AF AE AE ==Q ，，AOE AFE ∴△≌△．90AFE AOE ∴∠=∠=o ． FC ∴是O e 的切线．…………………3分（2）方法1：由（1）知22EF OE ==． AE BF Q ∥，AC CEAB EF∴=． 1122OC CE+∴=，2222CE CO ∴=+． ① 又222OE OC CE +=Q ，22222CE CO ⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭． ② 由①②解得0OC =（舍去）或2OC =，……………………………………………………………………………5分 Q 直线FC 经过202E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，(20)C ，两点．设FC 的解析式：y kx b =+． 2022k b b +=⎧⎪∴⎨=-⎪⎩解得2422k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴直线FC 的解析式为2242y x =-．……………………………………………………………………………7分方法2：CF Q 切A e 于点F ，90AFC EOC ∴∠=∠=o ．又ACF OCE ∠=∠，COE CFA ∴△∽△，OE COAF CF∴=．22122CO CE ∴=+．即222CE CO =-． ① 又222OE OC CE +=，22222CE CO ⎛⎫∴=+ ⎪ ⎪⎝⎭． ② 由①②解得0CO =（舍去）或2CO =． (20)C ∴，．………………………………………………………5分（求FC 的解析式同上）．方法3：Q AE BF ∥，AC CEAB EF ∴=．1122OC CE +∴=． 2222CE CO ∴=+． ① FC Q 切A e 于点F ，90AFC COE ∴∠=∠=o ．ACE OCE ∴∠=∠，COE CFA ∴△∽△．。

青年教师解题大赛试题试题

卜人入州八九几市潮王学校巴蜀二零二零—二零二壹学初中数青年老师解题大赛试题一、选择题：〔本大题一一共10个小题，每一小题4分，一共40分〕每一小题只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括号内． 1．以下实数中，最小的是〔〕 A ．πB ．310C ．10 2．化简223a a-的值是〔〕A ．1B ．2C ．a 2D ．22a 3．以下列图形中，是中心对称图形的是〔〕 4．如图，：AB ∥CD ，CE 分别交AB 、CD 于点F 、C ，假设 20=∠E， 45=∠C ，那么A ∠的度数为〔〕A ．5B ．15C ．25D ．355．以下调查中，适宜采用抽查〔抽样调查〕的是〔〕 A ．某校学生定制校服时，对该校学生衣服尺寸的调查 B ．调查全国生对中日“钓鱼岛事件〞的知晓情况 C ．调查某班同学对卫视“中国好声音〞栏目的收视情况 D ．对神舟八号数万个零部件的检查6．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，那么该圆锥的高是〔〕A ．B ．C ．D ．23 7．如图，2021年伦敦奥运会，某运发动在10米跳台跳水比赛时估测身体〔看成一点〕在空中的运动道路是抛物线x x y 3106252+-=〔图中标出的数据为条件〕，运发动在空中运动的最大高度离水面为〔〕米A B CDA BC DE4题图FA.10B.5210C.319D.3210 8．周末，家住沙坪坝区的张老师乘车前往垫江参加牡丹节活动，车刚启动，由于车流量大，行进非常缓慢，十几分钟后，汽车终于行驶在畅通的高速公路上，大约五非常钟后，汽车顺利到达垫江收费站，经停车交费后，汽车进入通畅的城道路，一会就顺利到达了目的地．在以上描绘中，汽车行驶的路程S 〔千米〕与所经历的时间是t 〔小时〕之间的大致函数图象是〔〕 A ．B ．C ．D ．9．如图，将假设干个菱形按如以下列图的规律排列，第1个图形有1个菱形，第2个图形有5个菱形，第3个图形有14个菱形……，那么第5个图形有〔〕个菱形．A ．54B ．55C ．56D ．5710．抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 如下列图，有以下结论： ①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<； ⑤)(b am m b a +>+，〔1≠m 〕.正确的结论有〔〕二、填空题：〔本大题一一共6个小题，每一小题4分，一共24分〕请将答案直接填写上在题后的横线上． 11．函数11+=x y 的自变量x 的取值范围是． 12．ABC ∆∽DEF ∆，且它们的面积之比为4:25，那么它们对应中线的比为．13．在今年中招体考中，某小组5位同学立定跳远的成绩分别为15分，15分，13分，13分，14分，那么这5个数据的方差为． 14．半径为π6的扇形的面积为π9，那么此扇形的弧长为．15．有五张正面分别标有数字－1，0，2，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部一样．现将它们反面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，那么使得关于x 的分式方程42322--=-+x xx a x 的解为正数的概率为． 16．某天，老刘与儿子大华、孙子小毛在甲、乙两地间进展匀速的往返跑．大华、小毛及老刘各自往返一趟分别耗时2分钟、5分钟和7分钟．最初，三人都在甲地，老刘出发2分钟后，孙子……第1个图形第2个图形第3个图形tsO ts O s O s O小毛立即出发，再经过3分钟后儿子大华随即出发．那么，大华出发分钟后，三人第二次同时集合于甲地〔最初三人在甲地时不算作第一次集合〕．三、解答题：〔本大题一一共4个小题，每一小题6分，一共24分〕以下各题解答时必须给出必要的解答过程或者推理步骤．17．计算：2302012)31(8)14.3()1(4-+-+-⨯---π18．解方程：xx x -=+--2122119．如图，AB =DE ，∠B =∠E ，BF =EC ，求证：∠BFD =∠ECA ．20．如图，为了测量笔直的旗杆AB 的高度，现将高度为1米的测角仪CD 〔即CD =1米〕与旗杆AB 置于同一程度面上，且与旗杆底部相距15米〔即CB =15米〕，测得旗杆顶端A 的仰角︒=∠30ADE ，求旗杆AB 的高度．〔结果保存根号〕四、解答题：〔本大题一一共4个小题，每一小题10分，一共40分〕以下各题解答时必须给出必要的解答过程或者推理步骤．21．先化简，再求值：12)11(2232+-+÷---+x x x x x x x x ，其中x 为不等式组⎩⎨⎧+≤+->7)1(31x x x 的整数解． 22．如图，在平面直角坐标系xoy 中，直线b kx y +=〔0≠k 〕交双曲线xmy =〔0≠m 〕于点M 、 N ，且分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，且OB=MB ，54cos =∠OBA ，点M 的横坐标为3，连结OM ．〔1〕分别求出直线和双曲线的解析式；〔2〕求OAM ∆的面积．A 、B 、C 、D 、E 五种型号一共假设干套，其中，B 型号商品房的入住率为40%，A 、B 、C 、D 、E 五种型号开工的套数及入住的情况绘制成如下两幅不完好的统计图.请将扇形统计图补充完好，并解答以下问题：〔1〕各型号已开工的商品房一一共有套，各型号已入住商品房套数的众数是套；2〕由于受到国家对房地产场调控的影响，商品房出现滞销状况，房地产商为了刺激场，将未入住满型号的商品房各拿出一套进展优惠活动，小张随机选到了其中两种型号，请用画树状图或者列表格的方式求出小张恰好选中A 、C ABCD E〔20题图〕〔19题图〕A B C DE 20%20%35%5%______已入住商品房〔套〕型号已入住公租房（套）20406080100A D xyOABM N 〔第22题图〕〔第23题图〕各型号开工的商品房套数扇形统计图24．如图，E 为正方形ABCD 的CD 边上一点，连接BE ，过点A 作AF ∥BE ，交CD 的延长线于点F ，ABE ∠的平分线分别交AF 、AD 于点G 、H ．〔1〕假设︒=∠30CBE ，3=AG ，求DH 的长度；〔2〕证明：DF AH BE+=．五、解答题：〔本大题一一共2个小题，25题10分，26题12分，一共者推理步骤．25．某销售公司为了更好地销售某种商品，技术人员对去年三月份至九月份该商品的售价和进价进展了调研.调研结果如下：每件商品的售价M 〔元〕与时间是t 〔月〕〔93≤≤t ，t 为整数〕的函数关系式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤+=)97(21561)73(432t t t t M ；每件商品的本钱Q 〔元〕与时间是t 〔月〕〔93≤≤t ，t 为整数〕的关系如下表：（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的Q 与t 之间的函数关系式；（2）按照去年的销售规律，在今年的三月至七月期间，假设该公司一共有此种商品90000件，准备在一个月内全部销售完，那么在哪个月销售所获利润最小？最小利润是多少？（3）预计今年十月每件商品的进价将比去年九月减少%a ，随即进价将出现反弹，十一月份的进价将在今年十月的根底上增加%2a .而十一月份每件商品的售价将比去年九月增加%5.0a .欲使今年十一月份销售每件产品的利润是去年九月份的倍，试估算a 的整数值.〔参考数据：2304482=，2401492=，2500502=，2601512=，2704522=〕26.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =6，点P 在AB 上，AP =2，点E 、F 同时从点P 出发，分别沿PA 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立即以原速度沿AB 向点B 运动，点E 运动到点B 时停顿，点F 也随之停顿．在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧．设E 、F 运动的时间是为t 秒〔t ＞0〕，正方形EFGH 与△ABC 重叠局部的面积为S ．〔1〕当点E 由P 向A 运动过程中，恳求出点H 恰好落在AC 边上时，t 的值；〔2〕当0＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；〔3〕设AC 的中点为N ，当2≥t时，是否存在这样的t,使△NEF 为等腰三角形，假设存在，直接写出．．．．t 的值，假设不存在，BC说明理由．。

永寿县中学青年教师解题能力大赛（数学试题）

永寿县中学青年教师解题能力大赛数学试题第Ⅰ卷 (选择题共50分)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|1}M x x ==，集合{|||1}N x a x ==，若N M ⊆，那么由a 的值所组成的集合的子集个数（）A ．1B ．2C ．3D ．42. 定义运算a b ad bc c d=-，则满足21i zz=--的复数z 是（）A ．1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i --3. 函数x x y cos -=的部分图像是（）4. 若函数321()'(1)53f x x f x x =--++，则'(1)f 的值为（）A ．2B ．2-C ．6D ．6-5. 一个几何体的三视图如图所示，若它的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积是（）A ．)33(8+ B. 83 C. 8(23)+ D. 436. 如果33sin cos cos sin θθθθ->-，且()0,2θπ∈，那么角θ的取值范围是（）xxxxO O O O yy y y A ..BCDA ．0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,24ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭7.流程如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是（）A ．2)(x x f =B ．xx f 1)(=C ．62ln )(-+=x x x fD ．x x f sin )(=8. 在ABC ∆中，若cos(2)2sin sin 0B C A B ++<，则该ABC ∆的形状为 ( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形9.过双曲线12222=-by a x ()0,0a b >>上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M 、N 两点，则PN PM ⋅的值是（）A. 22b a + B. ab 2 C. 2a D. 2b10.已知1x 是方程lg 2011x x =的根，2x 是方程x ·10x =2011的根，则x 1·x 2等于（）A ．B ．C ．D ．※ 请把选择题答案填写在下面的表格中. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案第Ⅱ卷 (非选择题共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上. 11．圆22(3)(3)4x y -+-=的圆心到直线0kx y -=5k 的取值范围为____________．否存在零点？输出函数()f x结束是开始输入函数()f x()()0?f x f x +-=是否BCDO AP12. 已知{}(,)|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)|4,0,20A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落在区域A 的概率为 .13. 某种电热器的水箱盛水200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按匀加速度自动注水（即t 分钟自动注水22t 升），当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水量为65升，则该电热器一次至多可供____人洗浴.14. 已知lg lg 0a b +=，则满足不等式2211a ba b λ+≤++的实数λ的最小值是_________．15．（注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分．） A ．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2y x （θ为参数），则圆C 的普通方程为__________，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为_________．B ．（不等式选讲选做题）若()5f x x t x =-+-的最小值为3, 则实数t 的值是________. C ．(几何证明选做题）如图，PA 切O 于点A ，割线P BC 经过圆心O ，OB=PB=1, OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）规定记号“∆”表示一种运算，即223a b a b a b ∆=+，记()()(sin 2)cos2f x x x =∆.（1）求函数()y f x =的表达式；（2）求函数()y f x =的最小正周期；（3）若函数()f x 在0x x =处取到最大值，求()()()00023f x f x x ++的值.17. （本小题满分12分）已知函数3()log ()f x ax b =+的图像经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n nnn b b b T a b +++==21,2，求n T . 18. （本小题满分12分）如图所示的几何体ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，2EA DA AB CB ===， EA AB ⊥，M 是EC 的中点．（1）求证：DM EB ⊥；（2）求二面角M BD A --的余弦值． 19. （本小题满分12分）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球. 求：(1)最多取两次就结束的概率；(2)整个过程中恰好取到2个白球的概率； (3)取球次数的分布列和数学期望.20. （本小题满分13分）在平面直角坐标系xoy 中，设点F (1，0)，直线l :1x =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点, ,RQ FP PQ l ⊥⊥. (1)求动点Q 的轨迹的方程；(2) 记Q 的轨迹的方程为E ，过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为N M ，．求证：直线MN 必过定点)0,3(R ．21. （本小题满分14分）设常数0a ≥，函数2()ln 2ln 1f x x x a x =-+-.（1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与0的大小；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．参考答案MCDAB1. D. 由已知N M ⊆，有N =∅和N ≠∅两种情况：若N =∅，那么方程||1a x = 无解，此时0a =；若N ≠∅，则有1||0x a =>，故11a=，即1a =．所以由a 的值所组成的集合为{0,1}，有2个元素．故子集个数为224=个．2. C. 依题意，得()12i z +=-，即()()()1121i i z i +-=--，得1z i =-+.3. D.令x y x y cos ,21=-=，显然1y 为奇函数，2y 为偶函数，所以，函数12cos y y y x x ==-是奇函数，否定A ，C; 取1,x =-有cos10y =>，此时否定B ，从而，应当选D .4. C.由321()'(1)53f x x f x x =--++，∴2'()2'(1)1f x x f x =--+，∴2'(1)(1)2'(1)(1)1f f -=----+，解得'(1)2f -=-，∴2'()41f x x x =++，∴'(1)6f =.5. A. ∵该几何体三视图中正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个正三角形,∴它是一个底面边长为4的正三角形的三棱柱,∴)33(842360sin 42122+=⨯⨯+︒⨯⨯=S . 6. C. 注意到已知不等式等价与33sin sin cos cos θθθθ+>+．显然3()f x x x =+是(),-∞+∞上的增函数，于是有不等式(sin )(cos )f f θθ>，从而，得sin cos θθ>，再结合()0,2θπ∈，便得544ππθ<<．故选C. 7. D. 根据该程序框图输出函数为奇函数，且存在零点，验证只有D 成立. 8. B ．注意到内角和定理，B C A π+=-，于是cos(2)2sin sin cos()2sin sin cos()2sin sin cos cos sin sin 2sin sin cos()cos 0.B C A B B A A BA B A B A B A B A B A B C π++=+-+=--+=--+=-+=< 显然，说明角C 为钝角． 9. C . 设),(y x p ，则(,),(,),a aM y y N y y b b - 于是(,0)(,0)a a PM PN y x y x b b⋅=-⋅-- 22222222222221()()()a a a a b y x y x x y b x a y a b b b b b=---=-=-==． 10. C. 由已知得2011lg x x=，令1lg y x =，22011y x=.作出两个函数的图像，其交点横坐标为 1x .同理令310x y =，交2y 的横坐标为2x .由对称性知2112011x y x ==，故x 1·x 2=. 11. 1,2.2⎛⎫⎪⎝⎭ 圆心坐标为(3,3)，则233351k k -<+，解得122k <<，应当填1,2.2⎛⎫⎪⎝⎭ 12. 2.9基本事件Ω为由直线6x y +=与x 轴、y 轴围成的三角形为图中OCD ∆，其面积为166182S =⨯⨯=，其中区域A 为OBE ∆，面积为114242S =⨯⨯=，所以142189S P S ===.填2.913. 4．设t 分钟后水箱内的水量为y 升，则由题设知，2217289200342220022y t t t ⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭()0t >，当178.52t ==时，y 取最小值，此时共放浴用水348.5289⨯=升，而2892946565=，故一次至多可供4人洗浴．14. 1. 由题意得正数,a b满足1ab =,有1b a=,从而1222222111111a a a a a a a a --++=≤=++++，当1,1a b ==时，2211a ba b +++取得最大值１，从而min 1.λ=15．A. 22(2)4x y +-=，)2,2(πB. 2或8.由()()()5553f x x t x x t x t =-+-≥-+-=-=，得2t =或8.C.7. ∵PA 切O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB=OB=OA, ∴60AOB ∠=,∴120POD ∠=,在△POD 中由余弦定理得2222cos PD PO DO PO DO POD =+-⋅∠=1414()72+-⨯-=.∴7PD =.16. （1）()22sin 2cos 2sin 23cos 2f x x x x x =+++1sin 23cos 2x x =++；……….5分（2）因()2sin(2)13f x x π=++，因此()f x 的最小正周期为π； ……….8分（3）由题意，022,32x k πππ+=+即0,12x k k Zππ=+∈；因此()()()00023f x f x x ++=252(sinsin sin )363236πππ+++=+. ……….12分 17. （1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(log )(3-=∴x x f ， *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==- . ……….4分（2）由（1）得nn n b 212-=， n n n n n T 2122322523211321-+-++++=∴- ①1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T ② ①-②得11221111321212)21212121(21212222222222121+--+---+++++=--+++++=n n n n n n n n n T 112122123+----=n n n . n n n n n n T 23232122132+-=---=∴-. ……….12分18.建立如图所示的空间直角坐标系，并设22EA DA AB CB ====，则（1）31,1,2DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2,2,0)EB =-，所以0DM EB ⋅=，从而得DM EB ⊥； ……….4分（2）设1(,,)n x y z =是平面BDM 的法向量，则由1n DM ⊥，1n DB ⊥及31,1,2DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,2,2)DB =-得11302220n DM x y z n DB y z ⎧⋅=+-=⎪⇒⎨⎪⋅=-=⎩可以取1(1,2,2)n =．显然，2(1,0,0)n =为平面ABD 的法向量．设二面角M BD A --的平面角为θ，则此二面角的余弦值121212||1cos |cos ,|3||||n n n n n n θ⋅=<>==⋅． ……….12分19.(1)设取球次数为ξ，则 ()()11182211110101014141,255525C C C P P C C C ξξ=====⨯=⨯=.所以最多取两次的概率14952525P =+=. ……….4分 (2)由题意知可以如下取球：红白白、白红白、白白红、白白蓝四种情况，所以恰有两次取到白球的概率为53333215331010101010101000P =⨯⨯⨯+⨯⨯=. ……….8分 (3)设取球次数为η，则()()218241,2105101025P P ηη=====⨯=， ()88281631010101025P η⎛⎫==⨯⨯+= ⎪⎝⎭，则分布列为 η123P15 425 1625取球次数的数学期望为1235252525E η=⨯+⨯+⨯=. ……….12分 20. (1)依题意知，直线l 的方程为：1x =-．点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．∴PQ 是点Q 到直线l 的距离．∵点Q 在线段FP 的垂直平分线，∴PQ QF =．故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为：24(0)y x x =>．…….6分(2) 设()()B B A A y x B y x A ,,,，()()N N M M y x N y x M ,,，，直线AB 的方程为)1(-=x k y ,则⎪⎩⎪⎨⎧==)2(4)1(422BB AA x y x y（1）—（2）得k y y B A 4=+，即ky M 2=，代入方程)1(-=x k y ，解得122+=kx M ．所以点Ｍ的坐标为222(1,)k k+．同理可得：N 的坐标为2(21,2)k k +-．直线MN 的斜率为21k kx x y y k N M N M MN -=--=，方程为)12(1222---=+k x kk k y ，整理得)3()1(2-=-x k k y ，显然，不论k 为何值，(3,0)均满足方程，所以直线MN 恒过定点R (3,0)． ……….13分 21.（1）∵()(ln )(ln )2ln 1f x x x x a x =-+-，(0,)x ∈+∞∴112()1[ln (ln )]af x x x x x x '=-⨯+⨯+2ln 21x ax x=-+，∴()()2ln 2g x xf x x x a '==-+，(0,)x ∈+∞. ∴22()1x g x x x-'=-=，令()0g x '=，得2x =，列表如下：x (02)，2 (2)+，∞ ()g x '-+()g x 单调递减极小值(2)g 单调递增∴()g x 在2x =处取得极小值(2)22ln 22g a =-+，即()g x 的最小值为(2)22ln 22g a =-+．(2)2(1ln 2)2g a =-+，∵ln 21<，∴1ln 20->，又0a ≥，∴(2)0g >． ……….6分（2）由（1）知，()g x 的最小值是正数，∴对一切(0,)x ∈+∞，恒有()()0g x xf x '=>，从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞上是增函数． ……….10分（3）由（2）知：()f x 在(0)+，∞上是增函数，∴当1x >时，()(1)f x f >，又2(1)1ln 12ln110f a =-+-=， ∴()0f x >，即21ln 2ln 0x x a x --+>， ∴2ln 2ln 1x x a x >-+.故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+． ……….14分。

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A. a > 12.5 学学5. 平面上动点 A( x, y) 满足 7. 设集合｛ +b ︱1≤a≤b≤2｝中的最大元素与最小元素分别为 M 、m,则 M-m0)1⨯ 2 ⨯ 3 2 ⨯ 3 ⨯ 4 3 ⨯ 4 ⨯ 5 n ⨯ (n + 1)(n + 2)2014 年安庆市初中数学青年教师解题大赛试题参考答案（2014 年 12 月 4 日下午 1:30—4:00）一、选择题（每题 6 分，共 36 分）1. 已知 a =- 6 + 6 - 4 22，则 a 3 + 6a 2 + 2a + 6 的值为（C ）名姓姓A. - 2B. 2C. 6D. - 62. 已知 a, b , c 满足 2a - 4 + b + 2 + (a - 3)b 2 + a 2 + c 2 = 2 + 2ac ，则 a - b + c 的值为（ D ）A. 4B.6C.8D.4 或 83．小青步行从家出发，匀速向学校走去，同时她哥哥小强骑摩托车从学校出发，匀速向家驶去，二人在途中相遇，小强立即把小青送到学校，再向家里驶去，这样他在途中所用的时间是原来从学校直接驶回家所用时间的倍，那么小强骑摩托车的速度是小青步行速度的（ B ）.A. 2 倍B. 3 倍C.4 倍D. 5 倍4. 方程 2 x - 1 - 1 = a 的解的个数是 4，则 a 的取值范围为（ B ）1B. 0 < a < 1C. a > 1D. 0 < a <2 2校 x 5 + y3 = 1 ， B(-4,0) ， C (4,0) ,则一定有（ B ）A ． AB + AC < 10B ． AB + AC ≤ 10C ． AB + AC > 10D ． AB + AC ≥ 106. 函数 f(x)=ax 2+bx +c(a ≠ ，对任意的非 0 实数 a 、b 、c 、m 、n 、g 关于 x 的方程 m [f(x)]2+n f(x)+g =0 的解集不可能是( D ) A. {1,3} B . {2,4} C . {1,2,3,4} D . {1,2,4,8}二、填空题（每题 8 分，共 32 分）3a的值为 5-2√3 。

8. 化简：1 1 11+ + ++=n 2+3n/4(n+1)(n+2)市县。

9. 在 ∆ABC 中， AB = 4 ,ACBC= 2 则 ∆ABC 的面积的最大值为 16/3 .10. 袋内有 8 个白球和 2 个红球，每次从中随机取出一个球，然后放进 1 个白球，则第 4（3）当的值等于多少时， △PFD ∽△BFP ？并说明理由．(3) 当的值等于 1/2 时， △PFD ∽△BFP当的值等于 1/2 时，AP=PB次恰好取完所有红球的概率为434/10000 .三、解答题（共 82 分）11.（本题 12 分）如图，点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与点 A ，B 重合），连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90°得到线段 PE ， PE 交边 BC 于点 F ，连接 BE ，DF ．（1）求证： ∠ADP = ∠EPB ；（2）求 ∠CBE 的度数；APAB证明: (1)在正方形 ABCD 中，∠A=90°， ∴∠ADP+∠APD=90°∵∠DPE=90° ∴∠EPB+∠APD=90° ∴ ∠ADP = ∠EPB ；(2)作 EG⊥AB 交 AB 的延长线于 G, ∴∠PGE=∠A=90°又∵ ∠ADP = ∠EPB ，DP=PE∴⊿ADP ≌⊿PGE∴AD=PG=AB,AP=GE ∴AB-PB=PG-PB 即 AP=BG ∴BG=GE∴∠EBG=∠BEG=45° ∴∠CBE=45°APAB证明：∵∠A=∠PBF=90°、 ∠ADP = ∠EPB∴⊿ADP ∽⊿BPF ∴ DP/PF=AP/BFAPAB∴DP/PF=PB/BF ∴DP/PB=PF/BF∵ ∠DPE=∠PBF=90° ∴ △PFD ∽△BFP12.（本题 15 分）请用一个长方形纸片折出一个 30°的角（不借助任何工具）写出你的作法，并说明理由.A G DA'E FB H C作法：如图，将长方形纸片ABCD沿着一组对边中点对折得折痕EF再将∠A沿着过点B的直线折叠使点A落在折痕EF上的点A’处得折痕BG,,则∠ABG=∠GBA’=∠A’BC=30°证明：延长GA’交BC于H,由作图知：AD∥EF∥BC AE=EB∠BA’G==90°=∠BA’H∴A’G=A’H又∵BA’=BA’∴⊿ADP≌⊿PGE∴∠GBA’=∠HBA’由折纸知∠ABG=∠GBA’，∠ABC=90°∴∠ABG=∠GBA’=∠A’BC=30°13..（本题共20分）凸四边形ABCD内接于⊙O，其中AC为⊙O直径，AB=BC，已知BD=10.求：四边形ABCD的面积.E解：方法1记AC和BD的交点为E,∵AC为⊙O直径∴∠ABC=∠ADC=90°∵AB=BC∴∠BAC=∠ACB=∠DAC=∠BDC=45°又∵∠ABE=∠DBA∠CDB=∠CAD∴⊿BAE∽⊿BDA⊿ADE∽⊿BDC∴AB/BD=BE/AB AD/BD=DE/DC∴AB2=BD×BE AD×DC=BD×DE∴AB2+AD×DC=BD×BE+BD×DE=BD(BE+DE)=BD2=102=100∴S=S+S=1/2AB×BC+1/2AD×DC=1/2(AB2+AD×DC)=50四边形ABCD⊿ABC⊿ADC方法2：设圆的半径为R,则AC=2R,AB=BC=√2R运用托勒密定理可得AB×CD+BC×AD=AC×BD即√2R×CD+√2R×AD=2R×10从而得AD+CD=10√2S四边形ABCD =S⊿BAD+S⊿BCD=1/2BD×AD×Sin45°+1/2BD×CD×Sin45°=1/2BD×Sin45°(AD+CD)=1/2×10×√2/2×10√2=50方法3：可分别过点A、C作BD上的垂线段AE、CF 用⊿ABE≌⊿BCF可以得到AE+CF=BD=10方法4：过点A作BD的垂线垂足为E,交圆于F,连接CF,用圆周角，弧，弦得关系可证AF=BD=10S=1/2BD×AF=50四边形ABCD方法5：在4得到AD+CD=10√2后，将他平方得AD2+CD2+2AD×CD=200由勾股定理AD2+CD2=AC2=2AB22AB2+2AD×CD=200S四边形ABCD =S⊿ABC+S⊿ADC=1/2(AB2+AD×DC)=5014.（本题20分）如图，抛物线y=ax2+bx-1经过A（-1,0）、B（2,0）两点，交y轴于点C．点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC 于点D，交x轴于点E．（1）请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式.（2）如图1，当点P的横坐标为23时，求证：△OBD∽△ABC.（3）如图2，若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求△POD的面积.（4）当以点Ｏ、Ｃ、Ｄ为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P 的坐标.y y yE EA O DB x A O D B x A O B xPC P C C图1图2备用图证明：（2）∵点 P 的横坐标为，即 x=2 时 y =-10/9 . 解：（1）由待定系数法得抛物线表达式为 y=1/2x 2-1/2x -1直线 BC 的表达式为 y=1/2x -12 Py D =-2/3 ∵ED= 3y D -y P =2/3=OE ∴∠EOD=∠EDO= 45°又∵OA=OC=1∴∠OAC=∠OCA= 45° ∴∠OAC=∠EOD 又∵∠OBD=∠ABC ∴ △O BD ∽△ABC.（3） OE =2PE OE=x PE=-y=-1/2x 2+1/2x +1)2(-1/2x 2+1/2x +1)= x解得 x 1=-√2(舍去) x 2=√2 即 OE= √2 PE=√2/2， DE=y D =√2/2-1 PD=PE-DE=1s △POD =1/2PD ×OE=√2/2(4) 点 P 的坐标为：（2√5/5， 3/5-√5/5）或（-2√5/5，-3/5+√5/5）或（4/5，-37/25）或（1，-1）15.（本题 15 分）证明：不存在整数 x, y , 使得 x 2 + 3xy - 2 y 2 = 122 成立。

证明：假设存在整数 x, y , 使得 x 2 + 3xy - 2 y 2 = 122 成立，则关于 x 得一元二次方程 x 2+3xy-(2y 2+122)=0 在 y 是整数时有整数解，于是⊿=（3y ）2+4 (2y 2+122)=17y 2+488 是完全平方数，设 m 2=17y 2+488=17(y 2+28)+12m 2-12=17(y 2+28) 故 m 2-12 能被 17 整除，显然，整数 m 不能被 17 整除，再设整数 m=17n+p,其中 n 为任意整数，|P|=1、2、3、 (8)m 2-12=（17n+p ）2-12=17（17n 2+2nP ）+p 2-12 其中 17（17n 2+2nP ）能被 17 整除而当|P|=1、2、3、…8 时，p 2-12=|p|2-12=-11、-8、-3、4、13、24、37、52 都不能被 17 整除，所以 m 2-12=（17n+p ）2-12=17（17n 2+2nP ）+p 2-12 一定不能被 17 整除，这就与前面所说 m 2-12 能被 17 整除相矛盾，所以假设“存在整数 x, y , 使得 x 2 + 3xy - 2 y 2 = 122 成立”是错误的；所以不存在整数 x, y , 使得 x 2 + 3xy - 2 y 2 = 122 成立。

初中组 13 题和高中组的一题，有些解题方法很相似附：高中组中平面几何证明E方法1:用相似三角形记AB、PC得交点为E设正三角形边长为a，易证：⊿PAE∽⊿PCB⊿ACE∽⊿PCA∴PA×PB=PE×PC AC2=CE×PC∴PA×PB+AC2=PE×PC+CE×PC=PC(PE+CE)=PC2∴PC2-PA×PB=AC2=a2=3R2即PC2-PA×PB为定值3R2方法2:用特勒密定理证PC=PA+PB证明：设正三角形边长为a，由特勒密定理得：PC×AB=AP×BC+BP×AC即aPC=aAP+aBP所以PC=PA+PB所以PC2-PA×PB=(PA+PB)2-PA×PB=PA2+PB2+PA×PB=a2=3R2即PC2-PA×PB为定值3R2方法3：用余弦定理证PC=PA+PB证明：设正三角形边长为△a在APC、BPC、APB中，∠APC=∠BPC=60°∠BPA=120°根据余弦定理得：a2=PA2+PC2-2PA×PC×COS60°=PA2+PC2-PA×PC(1)a2=PB2+PC2-2PB×PC×COS60°=PB2+PC2-PB×PC(2)a2=PA2+PB2-2PA×PB×COS120°=PA2+PB2+PA×PB(3)由（1）-（2）得：（PA2+PC2-PA×PC）-（PB2+PC2-PB×PC）=0整理得：PA×PC-PB×PC=PA2-PB2=(PA+PB)(PA-PB)所以PC=PA+PB所以PC2-PA×PB=(PA+PB)2-PA×PB=PA2+PB2+PA×PB=a2=3R2即PC2-PA×PB为定值3R2方法4:构造全等三角形（如图做辅助线可通过全等证明PC=PA+PB）A APPB C B C。