专题训练 蚂蚁爬行的最短路径(含答案)

蚂蚁爬行的最短路径

1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10．

回答下列问题：

（1）蚂蚁最后是否回到出发点0；

（2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0；

（2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒

2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是.

解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线．

AB= 5

1

22

2=

+．

3．（2006•茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm

第6题

．

解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．

A

B

4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）

A ．A ⇒P ⇒

B B ．A ⇒Q ⇒B

C ．A ⇒R ⇒B

D ．A ⇒S ⇒B

解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．

5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）

解：如图，AB =

()101212

2=++．故选C ．

A

B

12

1

6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）

解：展开正方体的点M所在的面，

∵BC的中点为M，

所以MC=

2

1

BC=1，

在直角三角形中AM= = ．

7．如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走最短路程是cm。

解：将盒子展开，如图所示：

AB=CD=DF+FC=

2

1

EF+

2

1

GF=

2

1

×20+

2

1

×20=20cm．

故选C．

8. 正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A 点爬行到M点的最短距离为.

解：将正方体展开，连接M、D1，

根据两点之间线段最短，

MD=MC+CD=1+2=3，

MD1=13

2

32

2

2

1

2=

+

=

+DD

MD．

9．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用 2.5

秒钟．

解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm；

（2）展开底面右面由勾股定理得AB= =5cm；

第7题

1

A B

A

1

B

1

D C

D

1

C

1

2

4

所以最短路径长为5cm，用时最少：5÷2=2.5秒．

10．（2009•恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是。

解：将长方体展开，连接A、B，

根据两点之间线段最短，AB= =25．

11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为.

解：正面和上面沿A1B1展开如图，连接AC1，△ABC1是直角三角形，

∴AC1=()5

3

4

2

1

42

2

2

2

2

1

2=

+

=

+

+

=

+BC

AB

12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米。

解：由题意得，

路径一：AB= = ；

路径二：AB= =5；

路径三：AB= = ；

∵＞5，

∴5米为最短路径．

13．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A 出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：

（1）蚂蚁经过的最短路程；

（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．

解：（1）AB的长就为最短路线．

然后根据若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为（cm）；

若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为（cm），

或（cm）

所以蚂蚁经过的最短路程是cm．

（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，

最长路程是30cm．