简论电磁学的相对论效应

简论电磁学的相对论效应

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简论电磁学的相对论效应

田宇明江彪于哲宇陈旼嘉刘思皓

（西安交通大学能源与动力工程学院710049）

摘要：狭义相对论推翻了经典力学下的绝对时空观，却与经典电磁学不相冲突，这体现出电磁学中必然蕴含着更深层、更本质的思想。而经典电磁学理论的协变性揭示出了相对论原理与电动力学存在着内在联系，这些联系可以体现在基于相对论推演电磁学理论等诸多方面。然而，在实际的教学中对协变性的推导十分复杂，不利于理解。本文由较为简单的情况出发，避免四维矢量分析，由相对论洛伦兹变换推演电磁学理论的基本方法，提供一种相对论协变性的简单理解，由此整理电磁学相对论效应的结论，并从相对论的观点理解麦克斯韦方程组。

关键词：电动力学；协变性；高斯定理；安培环路定则；电磁场

不同于经典力学的绝对时空观被相对论时空观推翻，经典电磁学在洛伦兹变换下具有协变性，使得经典电磁学理论符合相对论时空观。这意味着，从相对论出发，结合电磁学基本原理也可以推演出电磁学其他理论，如运用狭义相对论结论，再以电量作为洛伦兹不变量和库仑定律、叠加原理为基础，推演出电磁学理论的基本内容。[1]故而，相对论与经典电磁学存在着内在的联系，而分析这种联系，就要从协变性和电磁学定律的推演来实现，最终重新从相对论的观点分析理解经典电磁学规律。

经典电磁学规律

经典电磁学中静止电荷间的相互作用满足库仑定律

r F r

30

Qq ·41πε=

是电磁学基本规律之一。对库仑定律有着多种理解，比如可以将电场高斯定律视作更基本的规律，从而推导出库仑定律。另一方面，电磁场是一种物质且电场和磁场是其不同的表现形式，那么电磁相互作用可以被理解为电场间和磁场间的相互作用。

现在考虑相距a 的两个点电荷Qq ，令Q 位于原点，q 在x 轴正半轴上，则空间的电场分布

()⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡++-++-+++++=⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

--+=))(())(()()(41r r Q ·412

32222322203

30k z j y i a x z y a x q k z j y i x z y x Q a

r a r q E πεπε

其能量密度为：2021U E ε=

；空间的总能量为dv E 202

1

U ε⎰⎰⎰=；现在让q 向x 轴正半轴移动x δ，舍去高阶小量，空间能量密度分布改变为：

x a

Qq

Edv E U δπεδεδ200·41

=

=⎰⎰⎰

这样，整个空间的电场能量变化量与电势能变化量相同，即与库仑定律相符合，说明电场力可以理解为电场间的相互作用，当然这种相互作用用库仑定律可以很方便的描述。 库仑定律的另一个理解角度是其与高斯定律的关系。

高斯定律：

·

εin

q ds E =⎰⎰

从数学上讲，高斯定律与库仑定律等价，而库仑定律经试验以相当高的精度验证，也验证了高斯定律作为麦克斯韦方程组之一的可靠性。另一方面，高斯定律从通量的角度描述了电场，可以理解为这种相互作用的总强度不随空间“扩散”而改变。有理论认为电磁相互作用是通过交换光子完成的，光子没有静止质量使得电磁相互作用的总强度不改变。[?]这就好比泉水不断的流出并在大地上扩散，在大地平面内任意取一个封闭曲线，由于任何一个地方的水都不会“堆积”或“减少”，则流入量等于流出量。从这个角度看，电荷就表现为这股泉水

向外冒水的“水流量”，而高斯定律在电磁学中也有着较库仑定律更重要的意义。

经典电磁学中另一个十分重要的基础公式是磁场的毕奥-萨伐尔-拉普拉斯定律

3

0·4r r

Il B ⨯=

πμ 这与库仑定律相同，是一个实验定律。与前者相似，磁场的强度也随距离的二次方成反比，也说明了磁场与电场在某些方面具有相同的特点。根据经典电磁学理论，电场与磁场是电磁场的不同表现形式，故而电流元产生的磁场随距离平方反比衰减也容易理解。另一方面，由于不存在磁单极子，磁场高斯定律中任意闭合曲面的磁通量为零，相当于“泉水”没有冒出来，但是水可以旋转流动，形成“漩涡”，使处处也没有水量的增减，却形成了水流。这样看，“漩涡”的形成虽不需要水源，但需要一定的水量；类比得出磁场虽没有源头，但需要电场存在磁场才能存在，或者说磁场反映了电场与旋转有关的某些特性。事实上，磁场可以被看作电场的相对论效应。[2]而这种效应可以被精确地推演出来。

除此以外，电场与磁场间也存在着相互作用，其量化表现为洛伦兹力

B v F ⨯=q

如果可以通过与分析库仑力相同的方法分析，那么洛伦兹力的形成原理也可以得到统一的解释，即电磁场可以统一理解为一种物质。总体来说，电磁规律可以归结为两个麦克斯韦电磁场运动方程和一个洛伦兹力公式。[3]由于相对论在经典力学与电磁场理论的矛盾中承认经典电磁学正确，电磁学规律必然满足相对论协变性，而从相对论出发也应当能够推演出电磁场规律。

经典电磁理论的相对论协变性

狭义相对论要求一切物理学规律在不同参照系中有相同表现形式，这就要求电磁场理论必须在高速运动的条件下依旧成立。有错误的理论将经典力学的时空观引入经典电磁学，结果得出了违背协变性的结论，也从另一个方面证明了狭义相对论的洛伦兹变换是电磁学及其时空观的必然要求。

1.高速状态下的电磁场规律

在推导高速状态下的库仑定律和毕奥-萨伐尔定律之前，可以先做出假设，即电场高斯定律依然成立。此时相对电荷取一高斯面，有：2

2

2

2

x r z y =++