电磁场分析指南——静电场分析(h方法)

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电磁场2静电场

Dz z
q
4
r2
3z2 r5
Dx x
Dy y
Dz z
q
4
3r 2
3(x2 r5
y2
z2)
v D
Dx
Dy
Dz
0
x y z
2.3 静电场的无旋性-环路定理
（1）电位
静电场中某点的电位是指单位正电荷从无穷远处移到静电场中某点b时，外力克服电场力所做的功。
b
b E dl
体电荷： 1 v dV ' C 面电荷： 1 S dS' C
2 静电场
2.1 库仑定律与电场强度 2.2 静电场的有散性-高斯定理 2.3 静电场的无旋性-环路定理 2.4 电偶极子 2.5 静电场中的导体和电介质 2.6 静电场基本方程与边界条件 2.7 边值问题
研究对象
静电场
本章任务
掌握静电场的基本场量；会分析静电场中的导体和电介质状态；掌握静电场基本方程及边界条件；已知电荷或电位能对电场进行求解。
克斯定理得：
C E dl S E dS S ( ) dS 0
静电场中，电场强度 E沿任意闭合路径的线积分恒等于零。
（4）电场线与等电位面
电场强度线是一族有方向的线，其上每一点的切线方向就是该点的电场强度方向。
电场线方程：
设 dl 是电场线上的有向线段，则有：E dl 0
在直角坐标系下可以得出电场线方的微分方程：
S
E
dS
q
0
dS
evn
E
➢ 静电场对任一闭合曲面的通量等于面内电荷与真空介电常数比值；
➢ 电场是有源场，源为电荷，正电荷是静电场的正源，负电荷为负源；

电磁场与电磁波之静电场分析

3. 电位函数
静电场 E 0 ，根据矢量恒等式，知 0
E (r ) (r )
静电场的电位函数(Potential)，简称电位
静电场的电场强度矢量等于电位梯度的负值。
在静电场中可先通过求解电位函数，再利用上式可方便地求得电场强
度 E，式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。 r r' 点电荷的电势： E (r ) q 4πε0 r r ' 3 1 r r' q ( r ) 3 E (r ) 4 0 r r ' r r' r r'
C q 4πε 0 ab U ba
（孤立导体球的电容）
球形电容器的电容
当 b 时， C
4 0 a

双导体的电容
传输线：纵向尺寸远大于横向尺寸。平行板线、平行双线、同轴线可作为平行平面电场（二维场）来研究，只需计算传输线单位长度电容。计算步骤如下： ①根据导体的几何形状，选取合适的坐标系； ②假定两导体上分别带电荷 q 和 q ；
1
1 2 2 n n

S n
泊松方程
( r ) 2 (r )

拉普拉斯方程
2 0
例计算均匀带电球面电场中的电势分布。球半径为R、总电量为q。解：根据高斯定理求出电场的分布
r<R r>R
设U∞＝0
E１＝0
E2 q 40 r 2
边界条件 x0 解得
1 (0) 0
xa
xb
[
2 ( a) 0
S 0 ( a b) C1 0a

静电场理论解析

静电场理论解析静电场是一种特殊的电磁场，只涉及电荷的静止状态和空间分布，没有时间变化。

静电场的理论解析是研究静电场分布和电势分布的过程，它是电磁学中的重要分支之一。

本文将从静电场的定义、静电场的特征、静电场的产生、静电场的性质、静电场的数学描述等方面进行阐述。

一、静电场的定义静电场是指由静止电荷或电场分布引起的电场。

它是一种无源场，没有任何外部物质或电流参与。

二、静电场的特征1. 不可入侵性：静电场的电场线总是从正电荷指向负电荷，并且不会相交。

2. 趋于无穷远：静电场的电场线在趋于无穷远时，会趋于与半径为零的点电荷的场相同。

3. 高度可定性：在给定电场内，任一点的电势差唯一确定。

三、静电场的产生静电场的产生通常有以下几种方式：1. 点电荷：静电场最简单和典型的产生方式是由一个点电荷产生。

2. 均匀带电体：当一个均匀带电体存在时，它产生的静电场也是均匀的。

3. 距离不变带电体：当两个带电体的距离保持不变时，它们之间的静电场仍然存在。

4. 电容器：在两个导体板之间存在电荷时，它们之间会形成电场。

四、静电场的性质1. 叠加原理：静电场满足叠加原理，即如果在某一区域内有多个电荷或体积电荷分布，则这些电荷或体积电荷的电场效应可叠加。

2. 独立性：静电场和磁场是两个相互独立的物理现象，它们之间没有直接关系。

3. 耗散性：静电场不具有能量传递性，它的能量被限制在电荷与电场之间。

五、静电场的数学描述静电场的数学描述主要通过电场的分布函数和电势函数来实现。

1. 电场的分布函数：通过在给定空间内每个点处的电场强度矢量来描述静电场的分布。

2. 电势函数：通过在给定空间内每个点处的电势值来描述静电场的分布。

根据高斯定律和库仑定律，可以利用数学工具对电场和电势进行计算和分析。

六、应用与研究进展静电场的理论解析不仅在基础电磁学和物理学中具有重要地位，还在众多应用领域中得到广泛应用。

1. 静电除尘：利用静电场可以将空气中的尘埃和颗粒物带电，并通过电场力使其沉降，实现空气净化和除尘效果。

第3章静电场分析

第3章静电场分析以矢量分析和亥姆霍兹定理为基础，讨论静电场(包括恒定电场)的特性和求解方法。

建立真空、电介质和导电媒质中电场的基本方程，以及电介质的特性方程，将静电场的求解归结为电位问题的求解。

导出泊松方程和拉普拉斯方程，确立电场的边界条件。

介绍电容的计算，电场能量及静电力的计算。

§3.1 真空中静电场的基本方程由静止电荷形成的电场称为静电场。

一、静电场分析的基本变量 1、场源变量—电荷体密度)(rρ是一种标量性质的源变量，因而静电场是一种有散度的矢量场。

2、场变量（1）电场强度矢量)(r E表示电场对带电质点产生作用的能力。

（2）电位移矢量)(r D反映电介质内存在电场时，电介质内的束缚电荷在电场作用下出现的位移现象。

（3）电流密度矢量)(r J反映物质内存在电场时，构成物质的带电粒子在电场强度的作用下出现运动或移动。

3、本构关系E D ε=J E ε=二、真空中静电场的基本方程 1、电场的散度—高斯定理（1）定理内容在静电场中，电位移矢量0D穿过任意闭合曲面S 的通量等于曲面S 所包围的总电荷。

积分形式：0SD dS d τρτ⋅=⎰⎰微分形式：0D ρ∇⋅=（2）物理意义静电场是有源场，是有散场。

（3）定理证明立体角概念：一面积元对dS对一点O 张的立体角：22dS d cos d r S RRθ⋅Ω==e闭合曲面对面内一点O 所张的立体角：因为闭合曲面的外法线为正。

所以整个积分区域2θπ<，即，cos 0θ>，所以222d 12sin d 4r R RRπθθ⋅Ω==π=π⎰⎰ S e闭合曲面对面外一点O 所张的立体角：此时在整个积分区域中有一半是2θπ<，即c o s 0θ>。

而另一半是2θπ>，即c o s 0θ<，所以22d d cos 0r S RRπθ⋅Ω===⎰⎰S e设空间存在一点电荷q ，则p 点的电位移为024r qe D R=π对任意闭合曲面S 积分022d 44rr SSSqe e dS qD dS R R⋅⋅=⋅=ππ⎰⎰⎰表示闭合曲面S 对点电荷所在点张的立体角,所以240r SSqe dS q D dS R⎧⋅⎪⋅==⎨π⎪⎩⎰⎰在闭合面曲内在闭合面曲外若闭合面内有N 个点电荷，则01dS Nii SD q=⋅=∑⎰若闭合面内的电荷分布为)(rρ，则SD dS d τρτ⋅=⎰⎰由散度定理得：ρτρτττ=⋅∇⇒=⋅∇⎰⎰00D d d D2、电场的旋度—环量定理（1）定理内容在静电场中，电场强度E沿任意闭合路径l 的环量恒为零。

ANSYS电场分析教程经典入门教程

ANSYS电场分析指南关键字:静电场分析（h方法）14.1 什么是静电场分析静电场分析用以确定由电荷分布或外加电势所产生的电场和电场标量位（电压）分布。

该分析能加二种形式的载荷：电压和电荷密度。

静电场分析是假定为线性的，电场正比于所加电压。

静电场分析可以使用两种方法：h方法和p方法。

本章讨论传统的h方法。

下一章讨论p方法。

14.2h方法静电场分析中所用单元h方法静电分析使用如下ANSYS单元：14.3h方法静电场分析的步骤静电场分析过程由三个主要步骤组成：1.建模2.加载和求解3.观察结果14.3.1 建模定义工作名和标题：命令：/FILNAME，/TITLEGUI：Utility Menu> JobnameUtility Menu> Title如果是GUI方式，设置分析参考框：GUI：Main Menu>Preferences>Electromagnetics：Electric设置为Electric，以确保电场分析所需的单元能显示出来。

之后就可以使用ANSYS前处理器来建立模型，其过程与其它分析类似，详见《ANSYS建模和分网指南》。

对于静电分析，必须定义材料的介电常数（PERX），它可能与温度有关，可能是各向同性，也可能是各向异性。

对于微机电系统（MEMS），最好能更方便地设置单位制，因为一些部件只有几微米大小。

详见下面MKS制到µMKSV制电参数换算系数和MKS制到µMSVfA制电参数换算系数表自由空间介电常数等于8.0854E-6pF/µm自由空间介电常数等于8.0854E-3fF/µm14.3.2 加载荷和求解本步定义分析类型和选项、给模型加载、定义载荷步选项和开始求解。

14.3.2.1 进入求解处理器命令：/SOLUGUI：Main Menu>Solution14.3.2.2定义分析类型选择下列方式之一：·GUI：选菜单路径Main Menu>Solution>New Analysis并选择静态分析·命令：ANTYPE，STATIC，NEW·如果你要重新开始一个以前做过的分析（例如，分析附加载荷步），执行命令ANTYPE，STATIC，REST。

电磁场理论知识点总结

电磁场理论知识点总结电磁场与电磁波总结第1章场论初步⼀、⽮量代数A ?B =AB cos θA B ?=AB e AB sin θA ?(B ?C ) = B ?(C ?A ) = C ?(A ?B ) A ? (B ?C ) = B (A ?C ) – C ?(A ?B ) ⼆、三种正交坐标系 1. 直⾓坐标系⽮量线元 x y z =++l e e e d x y z⽮量⾯元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz单位⽮量的关系 ?=e e e x y z ?=e e e y z x ?=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系⽮量线元 =++l e e e z d d d dz ρ?ρρ?l ⽮量⾯元 =+e e z dS d dz d d ρρ?ρρ? 体积元 dV = ρ d ρ d ? d z 单位⽮量的关系 ?=?? =e e e e e =e e e e zz z ρ??ρρ?3. 球坐标系⽮量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ? r sin θ d ? ⽮量⾯元 d S = e r r 2sin θ d θ d ? 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ? 单位⽮量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e r r r θ?θ??θcos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ??=-sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A=--θ?θ?θ?θθ?θ?θ??sin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A=-θ??θθθθ三、⽮量场的散度和旋度1. 通量与散度=??A S Sd Φ 0lim→?=??=??A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=??A l ?ld Γ maxnrot =lim→A l A e ?lS d S3. 计算公式=++A y x zA A A x y z11()=++A zA A A z ?ρρρρρ? 22111()(sin )sin sin =++A r A r A A r r r r ?θθθθθ?x y z ?=e e e A x y z x y z A A A=?e e e A z z z A A A ρ?ρρρ?ρ sin sin=?e e e A r r zr r r A r A r A ρθθθ?θ 4. ⽮量场的⾼斯定理与斯托克斯定理=A S A SVd dV ?=A l A S ?l四、标量场的梯度 1. ⽅向导数与梯度00()()lim→-?=??l P u M u M u llcos cos cos =++P uu u ulx y zαβγ cos ??=?e l u u θ grad = =+e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式=++???e e e xy zu u uu x y z1=++???e e e z u u u u z ρρρ? 11sin =++???e e e r u u u u r r r zθ?θθ五、⽆散场与⽆旋场1. ⽆散场 ()0=A =??F A2. ⽆旋场 ()0=u =?F u六、拉普拉斯运算算⼦ 1. 直⾓坐标系222222222222222222222222222222=++?=?+?+??=++?=++?=++A e e e x x y y z zy y y x x x z z z x y zu u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212=++ =?--+?-++? ? ??????A e e e z z u u uu zA A A A A A A ?ρρρρρρρρρ?ρρ?ρρ?3. 球坐标系22222222111sin sin sin =++ ? ??????????u u uu r r r r r r θθθ?θ? ???+-??+?+???--??+?+???----=θθθ?θ?θθθθ?θθθθθθθ?θθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 2 22222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果⽮量场F 在⽆限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当⽮量场的散度、旋度和边界条件（即⽮量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该⽮量场F 唯⼀确定为()()()=-?+??F r r A r φ其中 1()()4''??'='-?F r r r r V dV φπ1()()4''??'='-?F r A r r r V dV π第2章电磁学基本规律⼀、麦克斯韦⽅程组 1. 静电场基本规律真空中⽅程： 0d ?=SE S ?qεd 0?=?lE l ? 0=E ρε 0??=E 场位关系：3''()(')'4'-=-?r r E r r r r V q dV ρπε =-?E φ 01()()d 4π''='-?r r |r r |V V ρφε介质中⽅程： d ?=?D S ?S qd 0?=?lE l ? ??=D ρ 0??=E极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε极化电荷：==?P e PS n n P ρ =-??P P ρ 2. 恒定电场基本规律电荷守恒定律：0+=?J tρ传导电流： =J E σ与运流电流：ρ=J v恒定电场⽅程： d 0?=?J S ?Sd 0l=E l 0=J 0E =3. 恒定磁场基本规律真空中⽅程：0 d ?=?B l ?lI µd 0?=?SB S ? 0=B J µ 0=B场位关系：03()( )()d 4π ''?-'='-?J r r r B r r r VV µ =??B A 0 ()()d 4π'''='-?J r A r r r V V µ 介质中⽅程：d ?=?H l ?l Id 0?=?SB S ? ??=H J 0??=B磁化：0=-BH M µ m 00(1)=+B H =H =H r χµµµµ 磁化电流：m =??J M ms n =?J M e4. 电磁感应定律d d ?=-SE l B S ?lddt =-BE t5. 全电流定律和位移电流全电流定律：d ()d ??=+D H l J S ?lSt =+DH J t位移电流： d =DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0=+?=-??==D H J S B E S D S B Sl S l S SV S l t l t V d ρ 0=+???=-?==?D H J B E D B t t ρ ()() ()()0=+???=-?==?E H E H E E H t t εσµερµ ⼆、电与磁的对偶性e m e m e m e e m m e e m mm e 00=-??==+??=--?=?=?????=?=??B D E H D B H J E J D B D B t t &t t ρρ m e e m ??=--?=+==B E J D H J D B tt ρρ三、边界条件 1. ⼀般形式12121212()0()()()0-=-=-=-=e E E e H H J e D D e B B n n S n Sn ρ2. 理想导体界⾯和理想介质界⾯111100?=??===e E e H J e D e B n n Sn S n ρ 12121212()0()0()0()0-=-=-=-=e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章静态场分析⼀、静电场分析1. 位函数⽅程与边界条件位函数⽅程： 220?=-电位的边界条件：121212=??-=-?s nn φφφφεερ 111=??=-?s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qC φ两导体间的电容：=C q /U任意双导体系统电容求解⽅法：2211===D SE S E lE l蜒SS d d q C U d d ε3. 静电场的能量N 个导体： 112==∑ne i i i W q φ连续分布： 12=?e V W dV φρ电场能量密度：12D E ω=?e⼆、恒定电场分析1. 位函数微分⽅程与边界条件位函数微分⽅程：20?=φ边界条件：121212=??=?nn φφφφεε 12()0?-=e J J n 1212[]0?-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦⽿定律欧姆定律的微分形式： =J E σ焦⽿定律的微分形式： =??E J V3. 任意电阻的计算2211d d 1??====E l E l J SE SSSUR G Id d σ（L R =σS ）4. 静电⽐拟法：C —— G ，ε —— σ2211===D SE S E lE l蜒SS d d q C U d d ε 2211d d d ??===J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析1. 位函数微分⽅程与边界条件⽮量位：2?=-A J µ 12121211A A e A A J n s µµ()=?-=标量位：20m φ?= 211221??==??m m m m n nφφφφµµ 2. 电感定义：d d ??===??B S A l ?SlL IIIψ=+i L L L3. 恒定磁场的能量 N 个线圈：112==∑Nm j j j W I ψ连续分布：m 1d 2A J =??V W V 磁场能量密度：m 12H B ω=? 第4章静电场边值问题的解⼀、边值问题的类型●狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ●纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()?=?f s nφ●混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()?==?f s f s nφφ●⾃然边界：lim r r φ→∞=有限值⼆、唯⼀性定理静电场的惟⼀性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表⾯电荷分布）下，空间静电场被唯⼀确定。

电磁场与电磁波之静电场分析课件

静电场可以用于药物传递和基因治疗，提高药物靶向性和治疗效果。
静电场可以用于肿瘤热疗和免疫治疗等领域，为肿瘤治疗提供新的手段。
静电场的安全防护
1.A 为了避免静电场对生物体的负面影响，需要采取有效的安全防护措施。
1.B 安全防护措施包括控制电场强度、减少作
用时间和优化作用方式等。
1.C 在生物医学应用中，需要严格控制电场参数，确保安全性和有效性。
静电场的解法通常包括解析法和数值法。
数值法适用于复杂形状和电荷分布的情况，通过离散化电荷分布和电场，使用数值计算方法求解微分方程和边界条件，得到近似解。
解析法适用于简单的物理特性
电场线与电通量密度
电场线
表示电场分布的假想曲线，线上每一点的切线方向与该点的电场方向一致。电场线的疏密程度表示电场强度的大小。
电磁场与电磁波之静电场分析课件
目录
• 静电场的基本概念 • 静电场的数学描述 • 静电场的物理特性 • 静电场的工程应用 • 静电场的测量技术 • 静电场的生物效应
01 静电场的基本概念
电场与电场强度
电场
带电体周围存在的一种特殊物质，由正负电荷产生，其基本特性是对其中运动的电荷施加力。
电场强度
02
高斯定理
在静电场中，穿过任意闭合曲面的电场强度通量等于该曲面内包围的电荷量。
03
静电场的边界条件
在两种不同介质分界面上，电场强度和电位满足一定的连续性条件。
02 静电场的数学描述
静电场的微分方程
静电场的基本微分方程是高斯定理和泊松方程。
高斯定理描述了电场线在封闭曲面内的电荷量总和，而泊松方程则描述了电荷分布如何产生电场
静电除尘与静电喷涂

ANSYS电磁场分析指南

ANSYS电磁场分析指南（共17章）ANSYS电磁场分析指南第一章磁场分析概述：ANSYS电磁场分析指南第二章2-D静态磁场分析：ANSYS电磁场分析指南第三章２-Ｄ谐波（ＡＣ）磁场分析：ANSYS电磁场分析指南第四章２-Ｄ瞬态磁场分析：ANSYS电磁场分析指南第五章３-Ｄ静态磁场分析（标量法）：ANSYS电磁场分析指南第六章３-Ｄ静态磁场分析（棱边元方法）：ANSYS电磁场分析指南第七章３-Ｄ谐波磁场分析（棱边单元法）：ANSYS电磁场分析指南第八章３-D瞬态磁场分析（棱边单元法）：ANSYS电磁场分析指南第九章3-D静态、谐波和瞬态分析（节点法）：ANSYS电磁场分析指南第十章高频电磁场分析：ANSYS电磁场分析指南第十一章磁宏：ANSYS电磁场分析指南第十二章远场单元：ANSYS电磁场分析指南第十三章电场分析：ANSYS电磁场分析指南第十四章静电场分析（h方法）：ANSYS电磁场分析指南第十五章静电场分析（P方法）：ANSYS电磁场分析指南第十六章电路分析：ANSYS电磁场分析指南第十七章其它分析选项和求解方法：第一章磁场分析概述1.1磁场分析对象利用ANSYS/Emag或ANSYS/Multiphysics模块中的电磁场分析功能，ANSYS可分析计算下列的设备中的电磁场，如：·电力发电机·磁带及磁盘驱动器·变压器·波导·螺线管传动器·谐振腔·电动机·连接器·磁成像系统·天线辐射·图像显示设备传感器·滤波器·回旋加速器在一般电磁场分析中关心的典型的物理量为：·磁通密度·能量损耗·磁场强度·磁漏·磁力及磁矩·S-参数·阻抗·品质因子Q·电感·回波损耗·涡流·本征频率存在电流、永磁体和外加场都会激励起需要分析的磁场。

带电体在电磁场中的受力分析和运动分析

带电粒子在电磁场中的受力分析和运动分析一、带电粒子在电场中的受力分析和运动分析1、静电场中的平衡问题静电场中的“平衡”问题，是指带电粒子的加速度为零的静止或匀速直线运动状态，都属于“静力学”的范畴，我们只是在分析带电粒子所受的重力、弹力、摩擦力等力时，还需多加一种电场力而已。

解题的一般程序为：明确研究对象；将研究对象隔离出来，分析其所受的全部外力，其中电场力，要根据电荷的正负及电场的方向来判断；根据平衡条件0=合F 或0,0x ==Y F F 列出方程；解方程求出结果。

2、电场中的加速问题带电粒子在匀强电场中的加速问题，一般属于粒子受到恒力（重力一般不计）作用的运动问题。

处理的方法有两种：根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解；根据动能定理与电场力做功结合运动学公式求解。

在非匀强电场中的加速问题，一般属于物粒子受变力作用的运动问题。

处理的方法只能根据动能定理与电场力做功，结合运动学公式求解。

3、电场中的偏转问题受力及运动分析：带电粒子垂直于匀强电场的场强方向进入电场后，受到恒定的电场力作用，且与初速度方向垂直，因而做匀变速曲线运动——类平抛运动如1（设极板间的电压为U ，两极板间的距离为d ，极板长度为L ）。

运动特点分析：在垂直电场方向做匀速直线运动 0v v x = ，t v x 0=在平行电场方向，做初速度为零的匀加速直线运动at v y =，221at y =， dmUq m Eq a == 通过电场区的时间：0v L t = 粒子通过电场区的侧移距离：2022mdv UqL y = 图1粒子通过电场区偏转角：20mdv UqL tg =θ 带电粒子从极板的中线射入匀强电场，其出射时速度方向的反向延长线交于入射线的中点。

所以侧移距离也可表示为：θtg L y 2= 。

4、粒子在交变电场中的往复运动当电场强度发生变化时，由于带电粒子在电场中的受力将发生变化，从而使粒子的运动状态发生相应的变化，粒子表现出来的运动形式可能是单向变速直线运动，也可能是变速往复运动。

电磁场分析指南——静电场分析(p方法)

第十五章静电场分析（P方法）15.1 P方法分析定义P方法获得的结果，如电势（电压）、电场、电通量密度、静电力或能量等，可达到你要求的精度。

P方法使用高阶有限元（P阶次）来逼近真解。

P方法的求解过程是：基于初始有限元网格，对给定初始阶次的P单元进行求解，随后增加部分P单元的阶次后，再次基于有限元网格求解。

每次迭代结果与一系列收敛标准相比较。

这些收敛标准可以是：模型上某点上的电势、电场或电通量密度、总的储存能量和总的作用力（Maxwell应力张量）。

P阶次愈高，结果愈趋近于真实解。

使用P方法时，不一定只能用P单元生成的网格求解。

当使用P单元生成网格时，P方法最有效，但并不一定非得这样。

当然，可以用P单元建模和分网，但也能用带中间节点的h-单元（ANSYS 或CAD软件包生成）生成的网络，进行P方法求解。

这提供了独立生成网格，利用P方法求解的灵活性。

对于任何网格，P方法皆能自动改善计算结果。

15.2 使用P方法的优点对于静电分析，P方法求解选项提供了许多传统的h-方法所不具备的优点。

其中最大的优点是：不需要用户严格控制网格大小，即可获得所要求的求解精度。

如果用户对有限元分析不熟悉，或没有划分网格的实际经验，则可用这种方法，因为它不受人工分网格精度的影响。

另外，P方法自适应细分网格提供的误差估计比h-方法更为精确，且能计算局部和总体误差（例如，作用在一个体上的总力）。

例如，如果需要在电介质某击穿点位置处得到高精确解，或得到某个体上的受力，P方法提供了要获得这种精确结果的最佳途径。

15.3 使用P方法P方法静态分析过程主要有如下四个主要步骤：1. 选择P方法2. 建模3. 加载和求得解4. 观察结果每一步将在下列各节中详细讨论15.3.1 选择P方法有二种方法可激活P方法求解：通过GUI或定义P单元[ET命令]。

• 通过GUI激活P方法：命令：/PMETHGUI：Main Menu>Preferences>p-method Electr• 通过定义P单元激活P方法：利用定义P单元也能激活P方法求解程序。

电磁场实验指导书

电磁场实验讲义实验一二线输电线静电场的造型一、试验目的：1.学习两维电场模拟的原理与方法。

2.通过测量等位线及绘制电力线，学习电场图形的描绘方法。

二、实验原理（见教材静电模拟一节）三、实验内容及步骤1、将方格纸和导电纸的相对位置固定好，定好方格纸的坐标原点及x 轴y 轴。

2、连接线路，调节电源电压为9V ，依次测绘对电源负极电位分别为1V 、2V 、3V 、4V 、4.5V 、5V 、6V 、7V 、8V 时的各等位线。

四实验原理1. 两导线电轴之间的电场是平行平面场;2. 电力线与等位线正交, 由于两线输电线的等位线方程为22222)12(2)11(-=+-+-K bK y b K K x所以得电力线方程为:2222)(c b c y x +=++3. 利用静电比拟原理, 使用电流线模拟电力线. 五、实验设备1.模拟试验台一套（导电纸半径为90mm ，电极半径为6.5mm ，电极几何中心连线构成的弦对应的圆心角为120）直流稳压电源一台; 数字万用表一只六、总结报告要求1.在实验用的方格纸上描绘等位线。

2.根据实验测得的等位线，描绘电力线，并与理论计算所得的电力线进行比较。

3.根据实验结果，试分析主要是哪些因素影响本实验精度？你认为这些因素是否可以解决。

实验二接地电阻的研究一、试验目的：1.学习用模拟实验的方法研究场的问题。

2.研究接地电阻与接地器的形状、大小以及埋入深度的关系。

3.观察接地器周围导电媒质表面上电位的分布。

二、原理与说明1.接地电阻指电流由接地装置流入大地再经大地向远处扩散时所遇到的电阻。

接地电阻主要是接地体到无限远处的大地的电阻，而接地线和接地体本身的电阻一般可以忽略。

对于半球埋地的接地器的电阻，可以用镜像法求解。

对于整个球埋入地下，而地面的影响又不可以忽略时，也可以用镜像法近似求解。

实际工作中，会遇到一些问题，它们既难通过实验获得满意的解答，又不便于实地测量，这类问题可以用“模拟法”研究。

电磁场分析指南——电场分析.

第十三章电场分析13.1 电场分析简介电场分析就是要计算导电系统或电容系统中的电场，需要计算的典型物理量为： •电场•电流密度•电荷密度•传导焦耳热电场分析在工程设计中有广泛应用：汇流条、保险丝、传输线等。

很多情况下，先进行电流传导分析，或者同时进行热分析，以确定因焦耳热而导致的温度分布。

也可以在电流传导分析之后直接进行磁场分析以确定电流产生的磁场。

有关这方面的内容请参见《ANSYS 耦合场分析指南》。

本章只讲单纯的电场分析，主要是稳态电流传导分析、静电场分析和电路分析。

进行电流传递分析要求ANSYS/Multiphysics或者ANSYS/Emag模块。

这两个模块还可以进行静电场和电路分析。

ANSYS以泊松方程为静电场分析的基础。

参见《ANSYS理论手册》。

主要的未知量（节点自由度）是标量电位(电压)。

其他物理量由节点电位导出。

13.2 电场分析要用到的单元表 1 传导杆单元单元维数形状或特性自由度LINK68 3-D单轴，2节点温度和电压表 2 2-D实体单元单元维数形状或特性自由度PLANE67 2-D四边形，4节点温度和电压PLANE121 2-D四边形，8节点电压表 3 3-D实体单元单元维数形状或特性自由度使用注意SOLID53-D 六面体,8节点每个节点6个自由度;可以是位移、温度、电压、磁标量位可用作热－电耦合单元或作为电－磁耦合场单元SOLID693-D 六面体,8节点节点温度、电压可用作热－电耦合单元SOLID983-D 四面体,10节点每个节点6个自由度;可以是位移、温度、电压、磁标量位可用作热－电耦合单元或作为电－磁耦合场单元SOLID1223-D 六面体,20节点电压SOLID1233-D 四面体,10节点电压表 4 壳单元单元维数形状或特性自由度SHELL1573-D四边形壳，4节点温度和电压表 5 特殊单元单元维数形状或特性自由度MATRIX50无(超单元)根据结构中包括的单元确定根据包含的单元类型决定INFIN1102-D4或8节点每节点一个，可以是磁矢量位、温度、电压INFIN1113-D六面体, 8 或20节点AX, AY, AZ磁矢量位、温度、标量电位或标量磁位表 6 通用电路单元单元维数形状或特性自由度CIRCU124无通用电路单元，最多可6节点每节点三个；可以是电势、电流或电动势降13.3 单元兼容性有限元模型中可能含带电压自由度的单元，这些单元需要相应的反作用力。

电磁场

kx E 0 sin z cos t k x x d

两导体表面的电流密度分别为
JS az H
JS az H
z0
z z=d
ay
0 d
0 d
E 0 sin t k x x
E 0 sin t k x x
讨论
如果闭合面S为理想导电壁
t W
J
v
E dV 0
体积V内传导电流所消耗的功率由电、磁场能量提供的。此时可以等效为一个有耗的二阶电路。
如果体积V内的媒质是不导电的，则J=0，因而有W=常数。这表明：在体积V内只存在电场能量与磁场能量的相互转换，总电磁能量保持不变，这正是理想空腔中固有振荡的情况。
利用恒等式
t
B t
A B
D t
A t

H
E
w t
w
1 2
E D
1 2
H B

w dV t
V

J E dV
V

E H dS
S
实质上，坡印廷定理是能量守恒定律在电磁问题中的具体表现。
3.坡印廷定理的意义
表示体积内电磁总能量随时间而减少的速率
时变电磁场
由q(x,y,z,t)产生的电场-----E(x,y,z,t)
由J(x,y,z,t)产生的磁场H(x,y,z,t) 随时间变化的电磁场称为时变电磁场
时变电磁场特点：随时间变化的电场可以产生磁场，随时间变化的磁场也可以产生电场，电场和磁场成为不可分割的、统一的整体。
本章内容
根据能量守恒定律，体积内能量的减就意味着体积内有能量的耗损与流失。

(整理)电磁场理论知识点总结

电磁场与电磁波总结第1章场论初步一、矢量代数A •B =AB cos θA B ⨯=AB e AB sin θA •(B ⨯C ) = B •(C ⨯A ) = C •(A ⨯B ) A ⨯ (B ⨯C ) = B (A •C ) – C •(A •B ) 二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系矢量线元 x y z =++l e e e d x y z矢量面元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz单位矢量的关系 ⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系矢量线元 =++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元 =+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ 体积元 dV = ρ d ρ d ϕ d z 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e zz z ρϕϕρρϕ3. 球坐标系矢量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ϕ r sin θ d ϕ 矢量面元 d S = e r r 2sin θ d θ d ϕ 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ϕ 单位矢量的关系 ⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r r θϕθϕϕθcos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ϕϕϕϕϕsin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦θϕθϕθϕθθϕθϕθϕϕsin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦θϕϕθθθθ三、矢量场的散度和旋度 1. 通量与散度=⋅⎰A S Sd Φ 0lim∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=⋅⎰A l ld Γ maxn 0rot =lim∆→⋅∆⎰A lA e lS d S3. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A y x zA A A x y z11()∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A zA A A z ϕρρρρρϕ 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕθθθθθϕx y z ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A x y z x y z A A A ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A z z z A A A ρϕρϕρρϕρ sin sin ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A r r zr r r A r A r A ρϕθθθϕθ 4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理⋅=∇⋅⎰⎰A S A SV d dV⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S lSd d四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度00()()lim∆→-∂=∂∆l P u M u M u llcos cos cos ∂∂∂∂=++∂∂∂∂P uu u ulx y zαβγ cos ∇⋅=∇e l u u θ grad ∂∂∂∂==+∂∂∂∂e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂e e e xy z u u uu x y z1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u u z ρϕρρϕ 11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r u u uu r r r zθϕθθ 五、无散场与无旋场1. 无散场 ()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A2. 无旋场 ()0∇⨯∇=u =∇F u六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系22222222222222222222222222222222∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z zy y y x x x z z z x y zu u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭A e e e z z u u uu zA A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕρρϕρρϕ3. 球坐标系22222222111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u uu r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 222222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ其中 1()()4''∇⋅'='-⎰F r r r r V dV φπ1()()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π第2章电磁学基本规律一、麦克斯韦方程组 1. 静电场基本规律真空中方程：d ⋅=⎰SE S qεd 0⋅=⎰lE l 0∇⋅=E ρε 0∇⨯=E 场位关系：3''()(')'4'-=-⎰r r E r r r r V q dV ρπε =-∇E φ 01()()d 4π''='-⎰r r |r r |V V ρφε介质中方程：d ⋅=⎰D S Sqd 0⋅=⎰lE l ∇⋅=D ρ 0∇⨯=E极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε 极化电荷：==⋅P e PS n n P ρ =-∇⋅P P ρ2. 恒定电场基本规律电荷守恒定律：0∂∇⋅+=∂J tρ传导电流： =J E σ 与运流电流：ρ=J v恒定电场方程：d 0⋅=⎰J S Sd 0l⋅=⎰E l 0∇⋅=J 0∇⨯E =3. 恒定磁场基本规律真空中方程：0 d ⋅=⎰B l lI μ d 0⋅=⎰SB S 0∇⨯=B J μ 0∇⋅=B场位关系：03()( )()d 4π ''⨯-'='-⎰J r r r B r r r VV μ =∇⨯B A 0 ()()d 4π'''='-⎰J r A r r r V V μ 介质中方程：d ⋅=⎰H l lId 0⋅=⎰SB S ∇⨯=H J 0∇⋅=B磁化：0=-BH M μ m 00(1)=+B H =H =H r χμμμμ 磁化电流：m =∇⨯J M ms n =⨯J M e4. 电磁感应定律d d ⋅=-⋅⎰⎰S E l B S ld dt ∂∇⨯=-∂BE t5. 全电流定律和位移电流全电流定律： d ()d ∂⋅=+⋅∂⎰⎰D H l J S l S t ∂∇⨯=+∂DH J t 位移电流： d =DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0∂⎧⋅=+⋅⎪∂⎪∂⎪⋅=-⋅⎪∂⎨⎪⋅=⎪⎪⋅=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D H J S B E S D S B S l S l SSV Sl t l t V d ρ 0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩D H J B E D B t t ρ ()() ()()0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩E H E H E E H t t εσμερμ 二、电与磁的对偶性e m e m e m e e m m e e m mm e 00∂∂⎫⎧∇⨯=-∇⨯=⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪⎪∇⨯=+∇⨯=--⎬⎨∂∂⎪⎪∇=∇=⎪⎪⎪⎪∇=∇=⎩⎭⋅⋅⋅⋅B D E H D B H J E J D B D B t t &t t ρρ m e e m ∂⎧∇⨯=--⎪∂⎪∂⎪∇⨯=+⇒⎨∂⎪∇=⎪⎪∇=⎩⋅⋅B E J D H J D B tt ρρ 三、边界条件 1. 一般形式12121212()0()()()0⨯-=⨯-=⋅-=⋅-=e E E e H H J e D D e B B n n S n Sn ρ2. 理想导体界面和理想介质界面111100⨯=⎧⎪⨯=⎪⎨⋅=⎪⎪⋅=⎩e E e H J e D e B n n Sn S n ρ 12121212()0()0()0()0⨯-=⎧⎪⨯-=⎪⎨⋅-=⎪⎪⋅-=⎩e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章静态场分析一、静电场分析1. 位函数方程与边界条件位函数方程： 220∇=-∇=ρφφε电位的边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂-=-⎪∂∂⎩s nn φφφφεερ 111=⎧⎪⎨∂=-⎪∂⎩s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qC φ两导体间的电容：=C q /U任意双导体系统电容求解方法：2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε 3. 静电场的能量N 个导体： 112==∑ne i i i W q φ 连续分布： 12=⎰e VW dV φρ 电场能量密度：12D E ω=⋅e二、恒定电场分析1. 位函数微分方程与边界条件位函数微分方程：20∇=φ边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂=⎪∂∂⎩nn φφφφεε 12()0⋅-=e J J n 1212[]0⨯-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦耳定律欧姆定律的微分形式： =J E σ 焦耳定律的微分形式： =⋅⎰E J VP dV3. 任意电阻的计算2211d d 1⋅⋅====⋅⋅⎰⎰⎰⎰E l E l J SE SSSU R G Id d σ （L R =σS ）4. 静电比拟法：C —— G ，ε —— σ2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε 2211d d d ⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析1. 位函数微分方程与边界条件矢量位：2∇=-A J μ 12121211⨯⨯⨯A A e A A J n s μμ()=∇-∇=标量位：20m φ∇= 211221∂∂==∂∂m m m m n nφφφφμμ 2. 电感定义：d d ⋅⋅===⎰⎰B S A l SlL IIIψ=+i L L L3. 恒定磁场的能量 N 个线圈：112==∑Nm j j j W I ψ 连续分布：m 1d 2A J =⋅⎰V W V 磁场能量密度：m 12H B ω=⋅ 第4章静电场边值问题的解一、边值问题的类型● 狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ ● 纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()∂=∂f s nφ● 混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()∂==∂f s f s nφφ ● 自然边界：lim r r φ→∞=有限值二、唯一性定理静电场的惟一性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布）下，空间静电场被唯一确定。

带电体在电磁场中的受力分析和运动分析解读

，dm
Uq
m Eq a ==通过电场区的时间：0
v L
t =
粒子通过电场区的侧移距离：2
2
2mdv UqL y =图1
粒子通过电场区偏转角：2
mdv UqL
tg =
θ带电粒子从极板的中线射入匀强电场，其出射时速度方向的反向延长线交于入射线的中点。所以侧移距离也可表示为：θtg L
y 2
=
。4、粒子在交变电场中的往复运动
π三、带电粒子在复合场中运动的分析
带电粒子在复合场中运动，实际上仍是一个力学问题，解决此类问题的关键是对带电粒子进行正确受力分析和运动情况分析。
1、受力分析：带电粒子在重力场、电场、磁场中运动时，其运动状态的改变是由其受到的合力决定。对运动粒子进行受力分析时必须先场力（包括重力、电场力、磁场力）、后弹力、再摩擦力等。另外要注意重力、电场力与粒子运动速度无关，由粒子的质量决定重力大小，由电场强决定电场力大小；但洛仑兹力的大小与粒子速度有关，方向还与电荷的性质有关。
Uq
a =
粒子通过偏转电场的时间2t为：Uq
m
L
v L t 202==粒子在偏转电场中的侧移距离y为：4
2122L
at y ==
侧向速度y v为：m
Uq at v y 22=
=则粒子射出偏转电场时的速度v为：m
Uq
v v v y 25220=
+=
以速度v进入磁场做匀速度圆周运动的洛仑兹力为向心力，设运动半径为R：
二、带电粒子在匀强磁场的受力分析和运动分析
带电粒子在匀强磁场中运动时，若00=v，有0=洛f，则粒子为静止状态；若B v //，有0=洛f，则粒子做匀速直线运动；若B v ⊥，有Bqv f =洛,则粒子做匀速圆周运动，其

电磁场与电磁波(第三章)静电场分析102页PPT

0(1
r2 a2
)
分布于一个半径为
a的球形区域内，其中 0 为常数。试计算球内外的电场强度
分析：电场方向垂直球面。电场大小只与r有关。
解：1) 取如图所示高斯面。
v (r)
r
a
在球外区域：ra
ÑS Ev(rv)gdSv
Q
0
r
Q
v
(r)dV
V
a 0
0(1ra'22
)4r'2
dr'
1850a3
则：点B（x、y、z）的电位为：
(x,y,z)(xA、 yA、 zA)E vgdlv (x、 y、 z)
二、电位参考点须选定电位参考点，空间中各点电位方可唯一确定。
电位参考点选择原则：
1）电位参考点电位一般为0；
2）应使电位表达式有意义；
3）一个问题，只能有一个电位参考点
4）当电荷分布在有限区域时，参考点一般选择无穷
E ( rv) g4
r2
8 15 0
0a 3
uv E
(
rv
)
2 0a 3 15 0r 2
uuv er
uv D(
rv
)
0
uv E
(
rv
)
ห้องสมุดไป่ตู้
2 0a 3 15r2
uuv er
在球内区域：ra
Q
r 0
(r)4r'2dr'
r 0
0(1ra'22)4r'2dr'
40(r33
r5 )
5a2
ÑS Ev(rv)gdSv
分析：电场方向垂直于球面。
r
a

静电场的解法ppt课件

17
第三章静电场的解法
r d (r df ) k 2 0 f (r) dr dr
φ必须是单值
[k( 2 ) (k)
d 2 g() k 2 g 0
d 2
k必须为整数
g[k( 2 ) g(k)
方程的解为
g() Asin(n) B cos(n)
将k＝n代入方程得 r d (r df (r)) n2 f (r) 0 dr dr
k
2 x
k
2 y
k
2 z
0
由上式可知三个待定常数中只有两个是独立的，且它们
不能全为实数，也不能全为虚数，如有两个取实数时，第三个必取虚数，若其中一个为零值，剩下的两上必定一个是实数，一个是虚数，分离常数kx，ky，kz的选取由边界条件决定；解的具体形式由分离常数的取值决定。如：
当kx＝0时当kx为实数时
g(y)和h(z)的情况与此类似，这样我们就求出了拉普拉斯方程的特解形式φ＝f(x)g(y)h(z) 。然后再将所有可能的特解迭加起来并使其满足边界条件，即可确定出该边值问题的真解。
14
第三章静电场的解法
例
若在区域 z0 z z0 内电荷密度为
2
2
10 8
z cos(
z0
)
，
在其它区域内电荷密度为0。试由泊松方程求解电位和电场
若令 A
式中参量是在区域内两个任意的标量函数，并要求在边界上一阶连续，在区域内二阶连续。
4
第三章静电场的解法
则有
A 2
A
n
n
n
V Ad s A ndS
格林第一恒等式
2 v
d
s
dS