第04章刚体的转动2

——质点的角动量守恒定律。
例5、如图所示，在光滑水平面上有一个小球系在 一条细绳的一端，该细绳通过平面上的小孔向下拉。 初始时刻小球在平面上作半径为R的圆周运动，速 度为v0 ，当下拉细绳使小球以半径R/2作圆周运动时， 其速度是多大？
解：先作受力分析：
通过受力分析，在根据力 矩的计算公式，我们知道： 如果以质点运动的圆心作 为参考点，则合力矩为零
互相抵消．
M ij
rj
j
O
d
ri
i
Fij
Fji
M ji
Mij M ji
2. 转动定律
（1）单个质点 m与
转轴刚性连接
M rF sin θ rFt
Ft mat mr
M mr2
z
M
Ft
F
O
r m
Fn
（2）刚体转动定律
dF
df
adm
dF和 为df合外力和合内力
分解为作用在质量元dm上的
比较：
Ek
1 2
J 2
Ek
1 2
mv 2
2、刚体定轴转动的动能定理
设在外力矩 M 的作用下， 刚体绕定轴发生角位移d
M
元功：
dA Md Jd J d d Jd
dt
2
1
M d
1 2
J22
1 2
J12
刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体 转动动能的增量。
例3、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有 一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。
一质量为m的物体而下垂。忽略轴处
mg
摩擦，求物体m由静止下落高度h时
的速度和此时滑轮的角速度。
解：对M：M ＝TR＝J J＝1 MR2
2
对m : mg T ma a R
解方程得：a
ຫໍສະໝຸດ Baidu
m
m M
2
g
mg
v 2ah 4mgh 2m M
v 1 4mgh
R R 2m M
例2圆盘以
0
在桌面上转动,受摩擦力而静止
第四章
刚体的转动
•刚体（rigid body）
任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化的模型 ）。 刚体是特殊的质点系，其上各质元间的相对位置保持不变。
（或任意两点之间的距离始终保持不变） 在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状和体积的改 变的理想模型。
刚体的运动形式：平动、转动．
一 平动：
刚体在运动中，其上任意两点的
连线始终保持平行。
r
xi
yj
zk
r r2 r1 r(t2) r(t1)
r (t
t
)
r (t
)
r
dr
v lim
lim
t 0
t
t0 t dt
a(t) lim v dv d 2r
t0 t dt dt2
二 转动：对点、对轴（只讨论定轴转动）
定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心 都在一条固定不动的直线（转轴）上。
成反比。
刚体定轴转动的转动定律
M J
M＝J 与 F ma 地位相当
m反映质点的平动惯性， J反映刚体的转动惯性。
力矩是使刚体转动状态发生 改变而产生角加速度的原因。
3、转动惯量的计算 (1) 与转动惯量有关的因素： 转轴的位置、刚体质量及其分布情况。
单个质点的转动惯量
质点系的转动惯量
质量连续分布的 刚体的转动惯量
解：取如图坐标，dm=dx
A
B
L
X
A
C
L/2
B
L/2
X
J A r2dm
L x2dx mL2 / 3 0
JC r 2dm
L
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
2
平行轴定理
J A mL2 / 3 JC mL2 /12
前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表 示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距
a
dv dt
R
d dt
R
an
v2 R
R2
例 有高速旋转圆柱形转子可绕垂直
其横截面通过中心的轴转动．开始时，它的
角速度 ω0 0 ，经300 s 后，其转速达到
18 000 r·min-1 ．转子的角加速度与时间成正 比．问在这段时间内，转子转过多少转？
解 令 ct，即 d ct，积分
L r p r(mv)
zL
p
Or
′
· L′
r 平面 z 轴 ′
O′
2、质点的角动量定理
L
r
mv
dL
d
(r mv)
r
d (mv)
dr
mv
dt dt
dt dt
F
d (mv)
v dr
dt
dt
dL
r
F
v
mv
dt
dL r dt
dL dt
F
M
v
mv
v mv 0
r
F
M
角动量定理的微分形式
1 3
mL L2
Jo
2 5
mo R2
mL
mO
对过球 心的轴
J L2 J0 m0d 2 J0 m0 (L R)2
J
1 3
mL
L2
2 5
mo
R2
mo (L R)2
刚体定轴转动的转动定律的应用
例1、一个质量为M、半径为R的定滑
轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，
绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
转轴
各质元的线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同 描述刚体整体的运动用角量最方便。
d
dt
d
dt
d 2
dt 2
d
dt
角速度方向规定为沿轴方向， 指向用右手螺旋法则确定。
加速转动 减速转动
方方向向一 相致 反
v r
r v
、 本来是矢量，由于在定轴转动中轴的
方位不变，故只有沿轴的正负两个方向， 可以用标量代替。
角加速度对所有质量元都相等
所以
r2dm ( r2dm) J
m
m
其中 J r 2dm 刚体绕定轴Z的转动惯量 m (moment of inertia)
于是有
M J
写成矢量形式
M
J
J
d
dt
刚体的转动定律
n
i1
M iz
J
J
d
dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚
体上的合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量
最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加
速度和角速度。
解：棒下摆为加速过程，外
O 力矩为重力对O的力矩。 棒
上取质元dm,当棒处在下摆
l
角时，该质量元的重力对轴
的元力矩为
dm dl
gdm
dM l cos gdm gl cosdl
dM l cosgdm gl cosdl O
重力对整个棒的合力矩为
ml 2
m( l )2 4
7 ml 2 48
(2)
(1)、(2)解得： 2 6g sin
7l
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
五、 角动量 角动量守恒定律
1、质点的角动量
L
O r mv
d
质点相对O点的矢径 r 与质点 的动量 mv 的矢积定义为该时 刻质 点相对于O点的角动量， 用 L 表示。
mgLsin 3g sin
J
L
例4已知：如图示，均匀直杆质量为m，长为l，
初始水平静止。轴光滑，AO l / 4 。
轴O l , m
· A θ
B
· l /4 C
求： 杆下摆到 角时，
角速度 ?
ω
解：（杆+地球）系统，只有重力作功，E守恒。
1 2
J
O
2
mg
l sin
4
0
(1)
JO
1 12
解：取半径为r宽为dr的薄圆环,
dm dV 2rdr l
dJ r 2dm 2lr3dr
Z OR
J dJ R 2lr 3dr 1 R4l
0
2
m
R 2l
J
1 2
mR2
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的
转动惯量也是mR2/2。
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴 的转动惯量。
在刚体作匀变速转动时，相应公式:
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2a(x x0 )
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
角量与线量的关系 线量 速度、加速度 角量 角速度、角加速度
r v
v ds R d R dt dt
力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理．
四、力矩的功 定轴转动的动能定理
dAi Fidsi Firid Mid
式中 Fi Fi cosi sin
O
dri
dri i
Fi
M i Fi ri
对i求和，得： dA ( Mi )d Md
A dA 2 M d 1
力矩的功率为：
M z xFy yFx
力 矩
讨论
（1）若力 F不在转动平面内，把力分
解为平行和垂直于转轴方向的两个分量
F Fz F
力矩其为中零，Fz对故转F轴对的转
轴的力矩 Mzk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
（2）合力矩等于各分力矩的矢量和 M M1 M2 M3
（3）刚体内作用力和反作用力的力矩
L rmv sin L r mv 右手定则
直角坐标系中角 动量的分量表示
Lx ypz zpy Ly zpx xpz Lz xpy ypx
质点匀速率圆周运动时 质点对O点的角动量（的大小）
L rmv mr2
角动量的大小、方向均不变！
L
O
R •m
注意：同一质点相对于不同 的点，角动量可以不同。 在说明质点的角动量时，必 须指明是对哪个点而言的。
dt
t
d c tdt
得 1 ct 2
0
0
2
1 ct 2
2
当 t =300 s 时
18 000 r min 1 600π rad s1
c
2
t2
2 600 π 3002
π 75
1 ct 2 π t 2
2 150
由 d π t 2
dt 150
得
d
π
t t 2dt
L/2。可见：
J A＝JC＋m
L 2
2
1 12
mL2
1 4
mL2
1 mL2 3
推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距
为d，刚体对其转动惯量为J，则有：J＝JC＋md2。
这个结论称为平行轴定理。
练习：右图所示，刚体对经过 棒端且与棒垂直的轴的转动惯 量如何计算？(棒长为L、球半 径为R）
J L1
n
J (miri2 ) i1
J r 2dm m
(2) 单位为千克·米2（kg·m2）
(3) 转动惯量具有可加性
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全 ？
大都分布于外轮缘？
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
dm dl 其中、、分别
dm ds 为质量的线密度、 面密度和体密度。
dm dV
切向力和法向力：
Zv
dF df adm dFn dfn andm
将切向分量式两边同乘以r， 变换得
Mz v
v dF
vdf
Odr
dm
v
dF
v
rdF rdf r2dm
转动平面
dFn
对等式左边积分得:
rdF rdf rdF 0 r sindF M
对等式右边积分:
rdF rdf r2dm
l
M＝
dM
L
0 gl
cosdl
gL2 cos 1 mgL cos
2
2
代入转动定律，可得
M
1 mgLcos
2
3g cos
J
1 mL2
2L
3
dm dl
gdm
2
1
Md
1 2
J22
1 2
J12
代入M＝1 mgl cos
2
1 mgLcosd 1 J2
02
2
1 mgLsin 1 J2
2
2
J 1 mL2 3
线分布
面分布
体分布
注 只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 意 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。 轴与圆环平面垂直并通过圆心。
解: J r2dm
R2dm R2 dm mR 2
若为薄圆筒（不计厚度）结果 相同。
OR dm
例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动 惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。
求 到圆盘静止所需时间
解 取一质元
dm ds 2πrdr
R
d M rdf r gdm
摩擦力矩 M
R
dM
2 mgR
0
3
由转动定律 M J d
dt
2 mgR 1 mR2 d
3
2 dt
t
0
dt
3R d
0
0 4g
t 3R0 4g
力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理．
P dA M d M
dt
dt
当输出功率一定时, 力矩与角速度成反比。
定轴转动的动能定理
1、转动动能
Eki
1 2
mi vi 2
1 2
miri2 2
Ek
n i 1
1 2
mi
ri
2
2
1n (
2 i1
miri2 ) 2
1 2
J 2
刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量 与角速度平方乘积的一半。
0
150 0
π t 3 rad
450
在 300 s 内转子转过的转数
N π (300)3 3104
2π 2π 450
三、力矩 转动定律 转动惯量
1、力矩
M
O rF
M Fr sin
M rF
单位：牛·米（N ·m）
力矩的分量式:
M x yFz zFy
对 轴
M y zFx xFz 的
作用在质点上的力矩等于角动量对时间的变化率。
t
t0 Mdt L2 L1 角动量定理的积分形式
外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。
3、质点角动量守恒定律
M
dL
dt
若M 0
L
r
mv
常矢量
t
t0
Mdt
L2
L1
质点所受外力对固定点的力矩为零，则质点 对该固定点的角动量守恒。