云南省大理州云龙县苗尾九年制学校九年级数学下册 相似三角形的判定(三)学案(无答案) 新人教版
九年级数学下册 27.2.1相似三角形的判定(3) 精品教案 人教新课标版
教学过程设计27（三）直角三角形相似的判定1.你可以用什么方法来证明两个直角三角形相似？2.满足一个锐角相等，它们相似吗？两组直角边的比相等的时候呢？3.课本47页思考：“HL”的迁移.“HL”可以证明两个直角三角形全等，那么当斜边的比值和一组直角边的比值相等时，它们相似吗？分析：据已有条件可知只要设法证出另一组直角边的比值等于已知的比值即可.结合勾股定理和等量代换,把分子分母中所含线段转化成同一条线段来表示,从而只剩下比值.三、课堂训练1完成课本48页练习2.补充练习:①如图，DE//BC，D、E分别在BA、CA的延长线上，△ADE与△ABC 相似吗？②Rt△ABC中，CD是斜边上的高，△ACD和△CBD和△ABC相似吗？证明你的结论？③底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论？④判断下列命题是否正确.错误的，举出反例；正确的，用定义加以说明.⑴所有的等腰三角形都相似.⑵所有的等边三角形都相似.⑶所有的直角三角形都相似.⑷所有的等腰直角三角形都相似.四、课堂小结1相似三角形判定方法?2直角三角形相似的判定3 用到的数学思想方法，你这节课有什么感悟？五、作业设计教材习题27.2 必做题2(3),4,5选做题： 10补充：如图，D为△ABC的AB边上的一点，过点D作DE//AC，交BC于E， BE：EC=2：1，AC=6CM，求DE的长. 学生思考问题，并回答,认识到判定直角三角形的相似能用已学的几种方法,感知并主动探求“HL”.分析已知条件，回忆、思路迁移,独立尝试进行证明.学生独立分析解决练习, 一生板演，教师巡视指导, 之后学生讨论,师视情况点拨.学生回顾总结，归纳本节课所学知识，这节课感悟，教师系统归纳.生的观察能力,再次体会由一般到特殊的思想方法.体会知识之间的联系让学生充分暴露自己的问题,兵教兵、广参与，同提高帮助学生归纳总结，巩固所学知识，加深对数学思想方法的认识.板书设计。
九年级数学下册《相似三角形的性质》教案、教学设计
-学生回顾全等三角形的性质，为新课的学习打下基础。
（二）讲授新知
1.教师引导学生从相似三角形的定义入手，探讨相似三角形的性质。
-解释相似三角形的定义，强调比例关系。
-引导学生观察相似三角形的边长和角度，发现性质。
2.教师运用几何画板动态展示相似三角形的性质，帮助学生形象理解。
-学生能够运用相似三角形的性质，进行严密的几何证明，掌握证明过程中的逻辑关系。
-学生能够灵活运用相似三角形的性质，解决复合几何问题，提高解题技巧。
3.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，增强数学应用能力。
-学生能够运用相似三角形的性质，解决生活中的实际问题，如测量高度、距离等。
-学生能够将相似三角形的性质与其他数学知识相结合，解决综合性的数学问题。
3.培养学生的创新精神和实践能力，激发学生探索未知世界的热情。
-教师鼓励学生提出问题、解决问题，培养学生的创新思维。
-学生通过解决实际问题，感受数学与现实生活的联系，激发探索未知世界的热情。
4.培养学生的严谨学生严谨对待数学问题，养成良好的学习习惯。
（二）教学难点
1.相似三角形性质的推理和证明过程。
2.学生在解决实际问题中，对相似三角形性质的应用。
3.帮助学生建立几何直观，理解相似三角形的空间变化。
教学设想：
1.采用情境导入法，引发学生兴趣
-通过展示生活中与相似三角形相关的实例，如建筑物的立面设计、摄影中的构图等，激发学生的学习兴趣，引导学生认识到相似三角形在实际中的应用。
九年级数学下册《相似三角形的性质》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解相似三角形的定义及其判定条件，掌握相似三角形的性质和比例关系。
人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定(第3课时)教学设计
根据学生的学习情况，设计不同层次的课后作业，使学生在完成作业的过程中，能够巩固基础知识，提高解决问题的能力。
7.教学评价，关注成长
采用多元化的评价方式，如课堂提问、课后作业、小组讨论等，关注学生在学习过程中的表现，激发他们的学习兴趣，培养良好的学习习惯。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
c.对学生在作业中的优秀表现给予表扬，激发学生的学习积极性，促进学生的全面发展。
b.鼓励学生在解题过程中积极思考，遇到问题主动寻求帮助，培养良好的学习习惯。
c.教师在批改作业时，要及时给予反馈，指出学生的错误，引导学生正确解题。
5.作业检查与评价：
a.教师要定期检查学生的作业完成情况，了解学生的学习进度，为教学提供参考。
b.采用多元化的评价方式，如课堂提问、作业批改、小组讨论等，全面评估学生的学习成果。
4.对学生的作业进行批改和反馈，让学生了解自己的学习情况，针对性地进行改进。
（五）总结归纳
1.引导学生回顾本节课所学的内容，总结相似三角形的判定定理及其应用。
2.对学生在课堂上的表现进行点评，肯定优点，指出不足，鼓励学生继续努力。
3.提醒学生课后复习，加强对相似三角形知识的掌握，为后续学习打下坚实基础。
4.布置适量的课后作业，巩固课堂所学知识，拓展学生的思维。
五、作业布置
1.结合本节课所学的相似三角形的判定定理，布置以下作业：
a.选择题：设计5道选择题，涵盖相似三角形的判定、性质、应用等方面，旨在巩固学生对基础知识的掌握。
b.填空题：设计5道填空题，主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和应用。
c.解答题：设计3道解答题，分别涉及相似三角形的判定、性质和实际应用，旨在提高学生的解题能力和思维水平。
人教版九年级数学下册： 27.2.1《相似三角形的判定》教学设计3
人教版九年级数学下册： 27.2.1《相似三角形的判定》教学设计3一. 教材分析本节课的主题是《相似三角形的判定》，是人教版九年级数学下册第27.2.1节的内容。
相似三角形是几何中的一个重要概念，它是学习更复杂几何知识的基础。
本节课的内容包括相似三角形的定义、性质和判定方法。
通过本节课的学习，学生将对相似三角形有更深入的理解，并能够运用相似三角形的知识解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质、角的度量等基础知识，对几何图形有一定的认识。
但是，他们对相似三角形的理解和应用还比较模糊，需要通过本节课的学习来进一步明确相似三角形的概念和判定方法。
此外，学生可能对一些抽象的概念和证明过程感到困难，需要教师在教学过程中进行耐心引导和解释。
三. 教学目标1.理解相似三角形的定义和性质。
2.学会使用相似三角形的判定方法判断两个三角形是否相似。
3.能够运用相似三角形的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.相似三角形的定义和性质。
2.相似三角形的判定方法。
3.运用相似三角形的知识解决实际问题。
五. 教学方法本节课采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过提出问题、展示案例、引导学生进行小组讨论和合作，激发学生的思考和探究欲望，培养学生的动手操作能力和团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图片。
2.准备教学课件和板书设计。
3.准备练习题和作业题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾三角形的基本性质和角的度量知识。
激发学生对相似三角形的兴趣和好奇心。
2.呈现（10分钟）展示一些相似三角形的案例，让学生观察和分析，引导学生发现相似三角形的特征。
引导学生通过小组讨论，总结出相似三角形的定义和性质。
3.操练（10分钟）让学生通过实际操作，使用尺子和直尺来画出相似三角形。
引导学生通过小组合作，探索并验证相似三角形的判定方法。
4.巩固（10分钟）让学生解答一些相似三角形的练习题，巩固他们对相似三角形的理解和应用。
九年级数学下册《相似三角形》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解并掌握相似三角形的定义，能够识别图形中的相似三角形。
2.掌握相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例，能够运用性质解决相关问题。
3.学会使用相似三角形的判定方法，如AA、SAS、SSS等，能够判断两个三角形是否相似。
4.能够运用相似三角形的知识解决实际问题，如测量物体的高度、计算角度等。
2.提出问题：询问学生是否知道这些图形中的相似三角形，它们有什么特点？如何判断两个三角形是相似的？
3.学生回答：鼓励学生积极思考，回答问题，分享他们的观察和发现。
4.教师总结：根据学生的回答，总结相似三角形的初步概念，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.教学内容：详细讲解相似三角形的定义、性质（对应角相等、对应边成比例）及判定方法（AA、SAS、SSS）。
（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）情感态度与价值观
1.培养学生积极主动探索数学知识的热情，增强学生学习数学的自信心。
2.培养学生严谨、细致的学习态度，对待数学问题要有耐心和毅力。
3.培养学生善于发现生活中的数学问题，体会数学在现实生活中的应用价值。
4.培养学生的审美观念，欣赏相似三角形在几何图形中的美感。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了三角形的基本概念和性质，能够进行简单的几何推理。在此基础上，学习相似三角形的知识，对学生来说是水到渠成的过程。然而，由于相似三角形涉及的概念和性质较为抽象，学生在理解上可能存在一定困难。因此，在教学过程中，教师需要关注以下几点：
（3）单元测试：通过单元测试，检验学生对相似三角形知识的掌握程度，发现并解决学生存在的问题。
部编版九年级数学下册《相似三角形的判定》教案及教学反思
部编版九年级数学下册《相似三角形的判定》教案及教学反思第一部分：教案设计一、教学目标1.了解相似三角形的定义2.学习相似三角形的判定方法3.学会应用相似三角形的性质求解实际问题二、教学内容本节课主要内容为相似三角形的判定方法，包括以下三个部分：1.两角对应相等，两边成比例2.两边成比例，夹角相等3.两边比例相等三、教学过程1.导入通过一个简单的小故事，引导学生了解相似三角形的概念。
2.知识点讲解通过授课的方式，详细讲解相似三角形的定义和三种常见的判定方法。
3.小组合作练习将学生分为小组，让他们通过合作的方式完成下列练习：1.试证明下列三角形相似：（1）$\\triangle ABC\\sim \\triangle DEF$，其中$\\angle A = \\angle D =60^{\\circ}$，$\\angle C = \\angle F = 40^{\\circ}$，AB=4，AC=6，BC=8，求EF的长度；（2）$\\triangleABC \\sim \\triangle ADE$，其中$\\angle A =120^{\\circ}$，$\\angle B = 50^{\\circ}$，AB=3，BC=4，AC=5，求AD的长度。
2.在田径运动中，有一项比赛是两名运动员分别从距离开始的起点出发，同步开始开始向终点前进。
甲选手速度较慢，在某时刻跑了x米后与乙选手几乎相遇，但此时乙选手已领先另一名富有天赋的选手y米。
已知甲选手从起点到这一时刻用时t秒，乙选手用时2t秒，且$\\frac{x}{t}=\\frac{3}{2}$，$\\frac{y}{t}=\\frac{12}{5}$，求富有天赋的选手领先甲选手多少米？4.板书总结教师在黑板上给出相似三角形的定义和三种判定方法的公式及应用实例，让学生进行总结。
四、课后作业1.完成教师留下来的课堂练习；2.预习下一课的相关内容。
第二部分：教学反思本节课主要是讲解相似三角形的判定方法，通过小组合作练习的方式让学生将理论知识应用到实际问题中。
九年级下册数学教案《相似三角形的判定》
九年级下册数学教案《相似三角形的判定》教材分析本节教材是初中数学九年级第二十七章第二节的内容，是初中数学四大板块中空间与图形的一部分，是相似一章的重要内容之一。
既是全等三角形的延续，也为测量相似三角形的应用和研究三角函数做铺垫，还是研究圆中比例线段的重要工具，同时也是相似三角形性质的研究基础，更为其它学科和今后高中的学习打下基础，重要的是它还是中考必考的知识点。
因此，必须熟练掌握三角形相似的判定，并能灵活运用，显得尤为重要。
相似三角形的判定起着承前启后的作用。
学情分析初三的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，学生的观察能力、记忆能力和想象能力也随之迅速发展，但同时，这一阶段的学生与高中生不同，他们好动、好奇、好表现，注意力容易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应该抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
学生在此之前已经学习了相似三角形的判定预备定理，这为学生本节课探究三角形相似的条件做好了知识上的准备，使学生能主动参与本节课的操作研究。
教学目标1、了解相似比的概念，掌握判定两个三角形相似的方法；平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2、培养学生的观察、发现、比较、归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法与全等三角形判定方法的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
3、让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
教学重点两个三角形的相似的判定定理。
教学难点探究判定定理、判定方法的过程。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法 教学过程一、复习提问，引入新课相似多边形是如何定义的？两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。
人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定(3)》教案
人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定（3）》教案一. 教材分析人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定（3）》是相似三角形章节的一部分，主要介绍了相似三角形的判定方法。
本节课的内容是在学生已经掌握了相似三角形的定义和性质的基础上进行的，目的是让学生进一步理解相似三角形的判定方法，提高解决问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力，对于相似三角形的概念和性质已经有了一定的了解。
但是，学生在运用判定方法解决问题时，可能会出现理解不深刻、应用不熟练的情况。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生深入理解判定方法，提高运用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握相似三角形的判定方法，能够运用判定方法解决问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：相似三角形的判定方法。
2.难点：运用判定方法解决问题，理解判定方法的本质。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，引导学生主动探究相似三角形的判定方法。
2.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对判定方法的理解。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具准备：三角板、直尺、圆规。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些生活中的相似图形，如建筑物的立面图、服装设计图等，引导学生观察并思考：这些图形为什么说是相似的？激发学生的学习兴趣，引出相似三角形的概念。
2.呈现（10分钟）介绍相似三角形的判定方法，引导学生通过观察、操作、思考，总结出判定方法。
方法一：三边法如果三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
方法二：两边及其夹角法如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，则这两个三角形相似。
九年级数学 相似三角形的判定(教案、导学案)
27.2相似三角形27.2.1 相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定（3）【知识与技能】1.掌握“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法以及直角三角形中特有的判定相似的方法.2.能运用相似三角形的判定方法解决具体问题.【过程与方法】在观察、动手探究等活动中，掌握判定三角形相似的方法，体会转化思想.【情感态度】经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的探究、交流能力和推理能力.【教学重点】掌握相似三角形的判定定理3及直角三角形中特有的相似判定方法. 【教学难点】探究两个判定定理的过程及其证明方法.一、情境导入，初步认识观察展示教师用的大三角板（45°和45°) 及学生用小三角尺（45°和45°)，请学生们观察这样的两个三角形相似吗？对应相等，这样的两个三角形相似吗？【教学说明】教师简要回顾学过的相似三角形的判定方法1，2后，提出“还有没有其它的 方法来判定两个三角形相似呢？”，进而展示所准备好的三角尺，让学生获得感性认识，顺理成章地提出思考，激发学生求知欲望.二、思考探究，获取新知问题1 作△ABC 和△A ′B ′C ′，使∠A=∠A ′,∠B=∠B ′，分别度量这两个三角形的边长，计算C A AC C B BC B A AB ''''''，，的值，你有什么发现？ 由此你能作出一个怎样的猜想？【教学说明】让全班同学动手画图，并按要求独立完成探索过程，获得结论后，与同伴交流；只要画图和测量尽可能准确，则会得到它们 的比值相等，从而初步了解“有两个角对应相等的两个三角形相似”的结论.教师巡视，对出现偏差的结论应予以帮助，查找问题，尽量让他们也能获得正确结论.问题2 如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A=∠A ′,∠B=∠B ′，则△ABC ～△A ′B ′C ′吗？说说你的理由.【教学说明】教师应引导学生论证上述结论，在学生动笔前给予适当点拨，让学生能独立完成说理.在巡视时，对有困难的学生给予指导，并给出足够的时间，锻炼学生的合情推理能力.对应相等，那么这两个三角形相似.试一试如图，点D是AB边上一点，且∠ACD=∠B，试问：图中是否存在能够相似的二角形？如果存在，请指出来，并说明理由. 【教学说明】现学现用，巩固所学新知识.问题3对于直角三角形，我们知道“有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形是全等的”，那么如果两个直角三角形中，有一条直角边与斜边的比对应相等，这样的两个直角三角形相似吗？【教学说明】教师应先与学生一道交流，找出两个直角三角形的已知条件有哪些（用图形和符号语言来表述），从这些条件到所探讨的结论之间还缺少什么条件，能否通过推理计算获得相应条件，从而引出利用勾股定理来探讨第三条对应边之间关系而获得结论.然后让学生独立完成，或相互交流获得论证过程.直角三角形相似的特殊判定方法：斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.三、典例精析，掌握新知例1教材P35例2.例2如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB边上的高线.求证：（1）△ABC～△CBD；（2）CD2=AD•DB.【教学说明】例1可让学生自主探究，独立完成，再相互交流.例2则需师生共同探讨，利用直角三角形及高线定义找出图中能够相等 的角，从而获得相似的三角形有哪些，进而可解决问题.但它的证明过程仍可由学生自己完成，教师再挑选两至三份作业予以展示，共同评析，达到掌握本节知识的目的.四、运用新知，深化理解1.底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论.2.如图，AD 、BE 是AABC 的高线，它们相交于点 F.求证：AF • DF=BF • EF.3. 如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且BD CD CD AD ，试求∠ACB 的大小.【教学说明】1，3两题分别应用本节的两种三角形相似的判定方法来获得结论，是对本节知识较好的理解与掌握的体现，而第2题则是用一般三角形相似的判定方法来解决直角三角形中的相似问题，具有代表性.这些练习可根据实际情况选做，要求学生自主完成或相互交 流来得到结论.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名师导学”部分.五、师生互动，课堂小结1.本节学习两种判定三角形相似的方法，它们分别是什么？2.总结一下判定两个直角三角形相似的方法.【教学说明】釆用师生互动方式进行，教师设问，学生抢答，进行必要的知识梳理.1.布置作业：从P42〜44习题27.2中选取.2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.本课时应强调学生自主探究的原则，让学生通过观察、实验、动手探究等方式掌握判定三角形相似的方法.整堂课应注重转化思想的运用，本课时难点在于探究两个判定定理的过程及其证明方法，教师教学时讲解要尽可能详尽.教学过程中，应鼓励学生相互交流探讨，以提高学生的学习热情.27.2.1相似三角形的判定第3课时相似三角形的判定（3）——相似三角形的判定3和直角三角形相似的判定一、新课导入1.课题导入情景：拿一个含30°角的三角尺，让学生判断其内、外轮廓构成的两个含30°角的直角三角形是否相似.问题1：你是怎么判定的？能用前面学习的判定定理判定它们相似吗？问题2：我们由三角形全等的SSS和SAS的判定方法类似地得到了三角形相似的判定定理，那么能否同样地由三角形全等的ASA或AAS类比得到相应的三角形相似的判定方法呢？（板书课题）2.学习目标(1)知道两角分别相等的两个三角形相似；知道斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似.(2)能证明结论“斜边、直角边成比例的两个直角三角形相似”.(3)能灵活选择适当的方法证明两个三角形相似.3.学习重、难点重点：相似三角形的判定方法3以及直角三角形相似的判定方法.难点：定理的证明.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P35.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：仿照上课时探究1,2完成探究提纲.（4）探究提纲：①探究：与同伴合作,一人先画△ABC,另一人再画△A′B′C′，使得∠A=∠A′，∠B=∠B′.a.操作判断：分别测量这两个三角形的边长，计算,,AB AC BC A B A C B C ''''''的值，你有什么发现？∠C=∠C′ 吗？由此你得到一个什么样的猜想？b.交流比较：把你的结果跟你周围的同学比较，你们的结论相同吗？c.归纳猜想：两角分别相等的两个三角形相似.d.推理证明：已知△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC ∽△A′B′C′.证明：在A′B′上截取A′D=AB,过D 作DE ∥B′C′交A′C′于点E.∵DE ∥B′C′,∴△A′DE ∽△A′B′C′.又∵∠A=∠A′,∠B=∠B′,DE ∥B′C′,AB=A′D,∴∠A′DE=∠B′=∠B.∴△ABC ≌△A′DE.∴△ABC ∽△A′B′C′.e.推理格式：∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC ∽△A′B′C′.②教材P35例2：如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8，E 是AC 上一点，AE=5，ED ⊥AB,垂足为D,求AD 的长.a.AB,AC,AE,AD 分别是哪两个三角形的边？这两个三角形相似吗？b.怎样证明这两个三角形相似？由此可以得到关于AB,AC,AE,AD 的一个怎样的比例式？c.写出你的解答过程.AB,AC 是△ABC 的边，AE,AD 是△AED 的边，这两个三角形相似.∵ED ⊥AB,∴∠EDA=90°,又∵∠C=90°,∠A=∠A,∴△AED ∽△ABC.∴AD AE AC AB =.∴AD=·AC AE AB=4. ③如图，若∠B=∠AED ，则△ADE ∽△ACB 吗？为什么？△ADE ∽△ACB.理由：∵∠B=∠AED,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB.④底角相等的两个等腰三角形相似吗？顶角相等的两个等腰三角形相似吗？证明你的结论.（相似，证明略）2.自学：学生参照自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生对三角形相似的判定定理3的掌握情况.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：∠A＝∠A′，∠B＝∠B′△ABC∽△A′B′C′.1.自学指导（1）自学内容：教材P36.（2）自学时间: 6分钟.（3）自学方法:注意怎样根据已知条件选择合适的定理.(4)自学参考提纲：①由已知∠C=∠C′=90°，AB ACA B A C='''',能根据定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明两个三角形相似吗？为什么？（不能，∠C和∠C′并非对应两边的夹角）②选择定理“三边成比例的两个三角形相似”证明两个三角形相似，还差什么条件？AB BC A B B C=''''③能否像前面三个判定定理的证明一样，构造一个与已知的一个三角形全等而与已知的另一个三角形相似的中间三角形的方法来证明呢？④如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高.求证：a.△ACD∽△ABC；b.△CBD∽△ABC.证明：∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠CDB=90°.∴∠ADC=∠ACB=∠CDB.a.在△ACD和△ABC中，∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ACD∽△ABC.b.在△CBD和△ABC中，∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB,∴△CBD∽△ABC.⑤如果Rt△ABC的两条直角边分别为3和4，那么以3k和4k(k＞0)为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC相似吗？为什么？（相似，理由：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）2.自学：学生参照自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：直角三角形相似判定定理的归纳与证明.②差异指导：根据学情进行指导.（2）生助生：生生互动交流、研讨.4.强化（1）直角三角形相似的判定方法.（2）点学生口答后，点3位学生板演，并点评.三、评价1.学生学习的自我评价：这节课你学到了些什么？有哪些收获和不足？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：从学习态度、参与程度、思维状况等方面进行评价.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时应以学生自主探究为原则，让学生通过观察、实验、动手操作等方式探究并掌握判定三角形相似的方法.在这节课中，通过设计问题和启发、引导，让学生悟出学习方法和途径，培养学生独立学习的能力.整堂课应注重转化思想的运用，难点在于探究两个判定定理的过程及其证明方法，教师教学时讲解要尽可能详尽.教学过程中，应鼓励学生相互交流探讨，以提高学生的学习热情.一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，当∠ADE=∠C（答案不唯一）时，△ABC∽△AED(填写一个条件).第1题图第2题图2.(10分)如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC ∽△EPD，则点P所在的格点为（C）A.P1B.P2C.P3D.P43.(10分)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于点D，求证：△ABC∽△BDC.证明：∵AB=AC，∠A=36°,BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠A=∠DBC.在△ABC和△BDC中,∠A=∠DBC,∠C=∠C.∴△ABC∽△BDC.4. (10分)如图，AD是Rt△ABC的斜边上的高.若AB=4 cm,BC=10 cm,求BD 的长.解：∵AD⊥BC,∠BAC=90°,∴∠ADB=∠CAB.∴△ABD∽△CBA,∴BD BA AB CB=,即4410BD=,BD=1.6(cm).5.(30分)从下面这些三角形中，选出相似的三角形.①、⑤、⑥相似，③、④、⑧相似，②和⑦相似.二、综合应用（20分）6.(20分)如图，△ABC中，D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16.（1）求证：△ABC∽△DAC;（2）求CD的长.（1）证明：∵∠BAC=∠ADC,∠C=∠C,∴△ABC∽△DAC.(2)解：∵△ABC∽△DAC，∴CD ACCA BC=,即8816CD=,∴CD=4.三、拓展延伸（10分）7.(10分)如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一个定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（C）A.1条B.2条C.3条D.4条。
27.2.1相似三角形的判定-初中九年级下册数学教案(人教版)
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的定义及判定方法。相似三角形指的是形状相同但大小不一定相同的三角形，其对应角相等，对应边成比例。相似三角形的判定方法包括SSS、SAS和ASA。这些方法在几何证明和计算中具有重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析案例中相似三角形的判定过程，了解这些方法在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
3.能够运用相似三角形的判定解决实际问题。
4.完成教材中相关的习题，加深对相似三角形判定方法的理解和运用。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，通过相似三角形判定方法的探究，使学生能够运用严谨的逻辑思维推导和证明结论。
2.提升学生的几何直观，通过观察、比较和分析相似三角形的性质，增强学生对几何图形的认识和理解。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了相似三角形的定义、判定方法以及在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对相似三角形判定的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-针对问题转化的难点，教师应引导学生通过画图、分析已知条件和求解目标，逐步建立起相似三角形的模型，并选择合适的判定方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的判定》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断两个三角形是否相似的情况？”（如地图上的比例尺应用）这个问题与我们将要学习的内容密相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形判定的奥秘。
人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定》教学设计(三)
人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定》教学设计（三）一. 教材分析《相似三角形的判定》是人教版数学九年级下册第27.2.1节的内容。
本节主要介绍了相似三角形的判定方法，是学生进一步理解三角形性质，提高解决实际问题能力的基础。
教材通过丰富的例题和练习，使学生掌握判定两个三角形相似的方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了三角形的基本性质，如内角和定理、边角关系等。
但他们对相似三角形的概念及判定方法可能还较为陌生，因此需要在教学过程中给予引导和启发。
此外，学生可能对一些判定方法的应用场景和实际意义难以理解，需要通过实例进行讲解和演练。
三. 教学目标1.理解相似三角形的概念，掌握相似三角形的判定方法。
2.能够运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.判定两个三角形相似的方法。
2.相似三角形的性质及应用。
五. 教学方法1.讲授法：讲解相似三角形的概念、判定方法和性质。
2.案例分析法：分析实际问题，引导学生运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
4.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教案、PPT、教学素材。
2.三角板、直尺、圆规等教具。
3.练习题和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的相似图形，如人民币、房屋建筑等，引导学生思考：这些图形为什么看起来相似？激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解相似三角形的概念，并通过示例演示相似三角形的判定方法。
引导学生理解相似三角形的性质及其应用。
3.操练（10分钟）分组讨论，让学生运用相似三角形的判定方法解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）课堂练习：给出一些三角形，让学生判断它们是否相似。
教师及时批改，给予反馈。
数学九年级下册《相似三角形的判定(三)》教案
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足
∠C=∠C 1，
11AB A B =11BC B C =11AC A C 。
分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。
） 探究方法： 分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素。
） 符号语言： 若∠A=∠A 1，∠B=∠B 1 ，则∆ABC ∽ ∆A 1B 1C 1 归纳：斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似。
学习小结 1、在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法。
2、公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，
是判别两个三角形相似的重要依据。
3、如果两个三角形是直角三角形， 则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似。
课堂练习 1：P36练习题1。
2019-2020学年九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定教案3(新人教版).doc
二、学情分析
学生通过前面的学习已认识了相似图形的性质和判定，认识了相似三角形，这为探究三角形相似的判定做好了知识上的准备。九年级学生动手操作能力逐渐成熟，能主动参与本节课 的操作、探究，充分体验获得知识的快乐。
三、教学目标
1.掌握判定两个三角形相似的方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
五、教学过程设计
一．新课引入：
1．复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS）的区别与联系：SSS
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（相似的判定方法1）
2．回顾探究判 定引例﹑判定方法1的过程
探究两个三角形相似判定方法2的途径
二．提出问题：
利用刻度尺和量角器画∆ABC与∆A1B1C1，使∠A=∠A1， 和 都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C 1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？
归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）
若∠A=∠A1， = =k
则 ∆ABC∽∆A1B1C1
辨析：对于∆ABC与∆A1B1C1，如果 = ，∠B=∠B1，
这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例 。）
数学九年级下册《相似三角形的判定3》教案
初中20 -20 学年度第一学期教学设计主备教师审核教师授课周次授课时间课题27.2.4相似三角形的判定3 课型新授课教学目标1.掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法；2.能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
教学重点掌握并应用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法；教学难点掌握并应用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法；教学方法与手段类比法教学准备多媒体第一课时课时数1课时课堂教学实施设计（教师活动、学生活动）复备内容或集体备课讨论记录(标、增、改、删、调)一．复习引入：师：1）我们学过哪些判定三角形相似的方法？生：定义法，平行线法，SSS法，SAS法。
2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？——引出课题．师：那今天我们继续类比全等三角形的判定学习相似三角形的判定。
二．新课引入：1）研读课文：思考：如图，已知△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', ∠B=∠B'，求证: △ABC∽△A'B'C'归纳：相似三角形的判定4：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．（AA ）符号语言表示为：∵∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∴△A ′B ′C ′∽△ABC2)例题讲解:例1（教材例2）．分析：要证PA •PB=PC •PD ，需要证，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．证明：略（见教材例2）．例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长．分析：要求的是线段DF 的长，观察图形，我们发现AB 、AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF 的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．解：略（DF=）． 三：自学检测：判断题：⑴所有的直角三角形都相似.（ ）⑵所有的等边三角形都相似.（ ）⑶所有的等腰直角三角形都相似.（ ）⑷有一个角相等的两等腰三角形相似四．巩固训练：已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：．五：能力提升：已知：如图，BE 是△ABC 的外接圆O 的直径，CD 是△ABC 的高．（1）求证：AC •BC=BE•CD ；（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙OPBPC PD PA =310FDEF BF AF =的直径BE的长．六．小结：七：作业：教学反思（教学内容、过程、策略）：板书设计：相似三角形的判定判定1：平行线法：判定:2：SSS法：。
九年级数学下册 27_2_1《相似三角形的判定(3)》教学 新人教版
，它们不相似
三、研读课文
知
识
1．如图，在平行四边形ABCD 中 ， AB ＝ 10
点
，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F， 使△CBF∽△CDE，则BF
二
9 的长是_____5 _______.
三、研读课文
2、如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.
五、强化训练
2、已知：如图，在四边形ABCD中， ∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5， CD= ，求AD的长．
解： AB 6 , BC 4 , AC 5, CD 7 1 2
AB CD
6 71
4 , BC 5 AC
4 5
2
AB BC CD AC
又 B ACD
△ABC∽△DCA
一
）
A 、AC AB
CD BC
B 、BC CD AC AD
C 、 CD 2 AD • DB
D 、 AC 2 AD • AB
三
角
形
知相
识
似 的
点判
二
定 方
法
2
的
应
用
三、研读课文
例1 根据下列条件，判断△ABC与△A´B´C´是否 相似，并说明理由：
((12)∠)AA=B1=240c°m ，ABCB==67cmcm，，AAC=C8=c1m4cm, ∠AA´B´´==11220c°m ，AB´´CB´=´=138cmm，AA´´CC´´==261cmm,
______________________________________
____________________________
数学：27.2.1相似三角形的判定(3课时)教案(人教新课标九年级下)
27.2.1 相似三角形的判定（一）一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．3．会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．2．难点：三角形相似的预备定理的应用．3．难点的突破方法（1）要注意强调相似三角形定义的符号表示方法（判定与性质两方面），应注意两个相似三角形中，三边对应成比例，A C CA C B BC B A AB ''=''=''每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项分别是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错；（2）要注意相似三角形与全等三角形的区别和联系，弄清两者之间的关系．全等三角形是特殊的相似三角形，其特殊之处在于全等三角形的相似比为1．两者在定义、记法、性质上稍有不同，但两者在知识学习上有很多类似之处，在今后学习中要注意两者之间的对比和类比；（3）要求在用符号表示相似三角形时，对应顶点的字母要写在对应的位置上，这样就会很快地找到相似三角形的对应角和对应边；（4）相似比是带有顺序性和对应性的（这一点也可以在上一节课中提出）：如△ABC ∽△A ′B ′C ′的相似比k A C CA C B BC B A AB =''=''=''，那么△A ′B ′C ′∽△ABC 的相似比就是k 1CA A C BC C B AB B A =''=''=''，它们的关系是互为倒数．这一点在教学中科结合相似比“放大或缩小”的含义来让学生理解；（5）“平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”定理也可以简单称为“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．三、例题的意图本节课的两个例题均为补充的题目，其中例1是训练学生能正确去寻找相似三角形的对应边和对应角，让学生明确可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素：即（1）对顶角一定是对应角；（2）公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；（3）对应角所对的边一定是对应边；（4）对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．例2是让学生会运用“三角形相似的预备定理”解决简单的问题，这里要注意，此题两次用到相似三角形的对应边成比例（也可以先写出三个比例式，然后拆成两个等式进行计算），学生刚开始可能不熟练，教学中要注意引导．四、课堂引入1．复习引入（1）相似多边形的主要特征是什么？（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且k AC CA C B BC B A AB =''=''=''． 我们就说△ABC 与△A ′B ′C ′相似，记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，k 就是它们的相似比．反之如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=∠A ′, ∠B=∠B ′, ∠C=∠C ′, 且AC CA C B BC B A AB ''=''=''． （3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？2．教材P42的思考，并引导学生探索与证明．3．【归纳】三角形相似的预备定理 平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．五、例题讲解例1（补充）如图△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA ．（1）写出对应边的比例式；（2）写出所有相等的角；（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD 、DC 的长．分析：可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD 与DC 的长．解：略（AD=3，DC=5）例2（补充）如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长．分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，再由相似三角形的性质，有AC AE AB AD =，又由AD=EC 可求出AD 的长，再根据ABAD BC DE =求出DE 的长． 解：略（310DE =）． 六、课堂练习1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）A ．两个直角三角形B ．两个钝角三角形C ．两个等腰三角形D ．两个等边三角形2．（选择）如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形一共有（ ）A．1对B．2对C．3对D．4对3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．（CD= 10）七、课后练习1．如图，△ABC∽△AED, 其中DE∥BC，写出对应边的比例式．2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式．3．如图，DE∥BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．教学反思27.2.1 相似三角形的判定（二）一、教学目标1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．2．经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似．2．难点：（1）三角形相似的条件归纳、证明；（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．3．难点的突破方法（1）关于三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”，教科书虽然给出了证明，但不要求学生自己证明，通过教师引导、讲解证明，使学生了解证明的方法，并复习前面所学过的有关知识，加深对判定方法的理解．（2）判定方法1的探究是让学生通过作图展开的，我们在教学过程中，要通过从作图方法的迁移过程，让学生进一步感受，由特殊的全等三角形到一般相似三角形，以及类比认识新事物的方法．（3）讲判定方法1时，要扣住“对应”二字，一般最短边与最短边，最长边与最长边是对应边．（4）判定方法2一定要注意区别“夹角相等” 的条件，如果对应相等的角不是两条边的夹角，这两个三角形不一定相似，课堂练习2就是通过让学生联想、类比全等三角形中SSA 条件下三角形的不确定性，来达到加深理解判定方法2的条件的目的的．（5）要让学生明确，两个判定方法说明：只要分别具备边或角的两个独立条件——“两边对应成比例，夹角相等”或“三边对应成比例”就能证明两个三角形相似．（6）要让学生学会自觉总结如何正确的选择三角形相似的判定方法：这两种方法无论哪一个，首先必需要有两边对应成比例的条件，然后又有目标的去探求另一组条件，若能找到一组角相等，而这组对应角又是两组对应边的“夹角”时，则选用判定方法2，若不是“夹角”，则不能去判定两个三角形相似；若能找到第三边也成比例，则选用判定方法1．（7）两对应边成比例中的比例式既可以写成如C A AC B A AB ''=''的形式，也可以写成C A B A AC AB ''''=的形式． （8）由比例的基本性质，“两边对应成比例”的条件也可以由等积式提供．三、例题的意图本节课安排的两个例题，其中例1是教材P46的例1，此例题是为了巩固刚刚学习过的两种三角形相似的判定方法，（1）是复习巩固“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法；（2）是复习巩固“三组对应边的比相等的两个三角形相似” 的判定方法．通过此例题要让学生掌握如何正确的选择三角形相似的判定方法．例2是补充的题目，它既运用了三角形相似的判定方法2，又运用了相似三角形的性质，有一点综合性，由于学生刚开始接触相似三角形的题目，而本节课的内容有较多，故此例题可以选讲．四、课堂引入1．复习提问：(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？(3) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？(4) 如图，如果要判定△ABC 与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？ 2．（1）提出问题：首先，由三角形全等的SSS 判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？（2）带领学生画图探究；（3）【归纳】三角形相似的判定方法 1 如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．3．（1）提出问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）教师带领学生探求证明方法．4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：（1）提出问题：由三角形全等的SAS 判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？（2）让学生画图，自主展开探究活动．（3）【归纳】三角形相似的判定方法2 两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．五、例题讲解例1（教材P46例1）分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，看是不是符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边．解：略※例2 （补充）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=217，求AD 的长． 分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出ACCD CD AB =，结合∠B=∠ACD ，证明△ABC ∽△DCA ，再利用相似三角形的定义得出关于AD 的比例式ADAC AC CD =，从而求出AD 的长． 解：略（AD=425）． 六、课堂练习1．教材P47．2．2．如果在△ABC 中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？3．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△DEF ．七、课后练习1．教材P47．1、3．2．如图，AB•AC=AD•AE ，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△AED ．※3．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD，求证：△ADC∽△CDP．教学反思27.2.1 相似三角形的判定（三）一、教学目标1．经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．2．掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．3．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．二、重点、难点1．重点：三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”2．难点：三角形相似的判定方法3的运用．3．难点的突破方法（1）在两个三角形中，只要满足两个对应角相等，那么这两个三角形相似，这是三角形相似中最常用的一个判定方法．（2）公共角、对顶角、同角的余角（或补角）、同弧上的圆周角都是相等的，是判别两个三角形相似的重要依据．（3）如果两个三角形是直角三角形，则只要再找到一对锐角相等即可说明这两个三角形相似．三、例题的意图本节课安排了两个例题，例1是教材P48的例2，是一个圆中证相似的题目，这个题目比较简单，可以让学生来分析、让学生说出思维的方法、让学生自己写出证明过程．并让学生掌握遇到等积式，应先将其化为比例式的方法．例2是一个补充的题目，选择这个题目是希望学生通过这个题的学习，掌握利用三角形相似的知识来求线段长的方法，为下节课学习“27.2.2 相似三角形的应用举例”打基础．四、课堂引入1．复习提问：（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．（3）如（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？——引出课题．（4）教材P48的探究3 ．五、例题讲解例1（教材P48例2）．分析：要证PA •PB=PC •PD ，需要证PBPC PD PA =，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．证明：略（见教材P48例2）．例2 （补充）已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长．分析：要求的是线段DF 的长，观察图形，我们发现AB 、AD 、AE 和DF 这四条线段分别在△ABE 和△AFD 中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF 的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．解：略（DF=310）． 六、课堂练习1．教材P49的练习1、2．2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．3．下列说法是否正确，并说明理由．（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．七、课后练习1． 已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ． 求证：FDEF BF AF =．2．已知：如图，BE 是△ABC 的外接圆O 的直径，CD 是△ABC 的高．（1）求证：AC •BC=BE •CD ；（2）若CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O 的直径BE 的长．教学反思。
九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定(第3课时)教案新人教版(2021年整理)
九年级数学下册27.2.1 相似三角形的判定（第3课时）教案（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下册27.2.1 相似三角形的判定（第3课时）教案（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为九年级数学下册27.2.1 相似三角形的判定（第3课时）教案（新版）新人教版的全部内容。
27.2.1 相似三角形的判定第三课时一、教学目标1．核心素养通过相似三角形的判定的学习，初步形成基本的几何直观、运算能力、推理能力．2．学习目标（1）掌握相似三角形的判定方法3:两角分别相等的两个三角形相似．（2）掌握两个直角三角形相似的判定（HL）:斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．（3)会利用相似三角形的基本图形证题，掌握证比例式或等积式技巧．3．学习重点相似三角形的判定方法3和两个直角三角形相似的判定（HL）及其应用．会利用相似三角形的基本图形证题，掌握证比例式或等积式技巧．4．学习难点探究相似三角形的判定方法3和两个直角三角形相似的判定（HL）．会利用相似三角形的基本图形证题，掌握证比例式或等积式技巧．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务任务1 阅读教材P35，思考:两角分别相等的两个三角形相似吗？如何证明？任务2 阅读教材P36，思考：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？如何证明?2．预习检测1．两角分别 的两个三角形相似．斜边和一条直角边________的两个直角三角形相似．2．已知△ABC 的两个角分别是60°和72°，C B A '''∆的两个角分别是60°和48°,则△ABC 和C B A '''∆ ．3.已知在Rt△ABC 和Rt C B A '''∆中,︒='∠=∠90C C ，且BA ABC A AC ''='',则Rt△ABC 和Rt C B A '''∆ ．（二)课堂设计1．知识回顾1． 全等三角形的判断方法:AAS,ASA,HL ．2．相似三角形预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．3．三角形相似的判定方法1：三边成比例的两个三角形相似．4．三角形相似的判定方法2:两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似．2．问题探究问题探究一 两角分别相等的两个三角形相似吗？ 重点、难点知识★▲ ●活动1 导入新知，类比探究引入:小文同学不小心把学校实验室的玻璃打碎成三块，如图，现在，李文同学要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,为了省事,李文决定只带其中一块去做模型．小颖说：带第①块去．小明说：带第②块去．小华说：带第③块去．思考片刻后，李文同学决定接受小华的建议，带第③块去．这是因为在第③块中保留有原三角形的两角及夹边,果然，去配回的 三角形的玻璃与原三角形的玻璃一模一样．这件事给我们的启示是:有两角及夹边对应相等的两个三角形全等；那么,有两个角对应相等的三角形是否相似呢？相似三角形的判定是否有类似全等三角形的判定方法呢?●活动2 感悟新知：观察两副三角尺（如图），其中有同样两个锐角(30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同,但它们看起来是相似的．提出问题: 如果两个三角形有两组角对应相等,它们一定相似吗? 延伸问题：作∆ABC 与∆A 1B 1C 1，使得∠A=∠A 1，∠B=∠B 1,这时它们的第三角满足∠C=∠C 1吗?分别度量这两个三角形的边长，计算11AB A B ﹑11BC B C ﹑11AC A C ，你有什么发现?（学生独立操作并判断）分析:学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三角满足∠C=∠C 1，11AB A B =11BC B C =11AC A C ． 探究：分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断．）教师应用“几何画板"等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变因素．由此能得出三角形相似的判定定理：两个角分别相等的两个三角形相似．几何语言：如图，在△ABC 与∆A 1B 1C 1中，∵∠A ＝∠A 1,∠B ＝∠B 1，∴△ABC ∽ △A 1B 1C 1．●活动3 例题讲解，相似三角形判定3的应用例： 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=8．E 是AC 上一点,AE=5，ED ⊥AB ，垂足为D,求AD 的长．【知识点：相似三角形判定3；数学思想:数形结合】解：∵ ED ⊥AB ，∴ ∠EDA=90°．又∠C=90 °， ∠A=∠A,∴△AED ∽△ABC ． .AD AE AC AB ∴=85 4.10AC AE AD AB •⨯∴=== 点拨：两个直角三角形，当有一个锐角相等时，它们相似．利用相似求线段长是常用方法．●活动4 应用练习1．如图,已知点D ，E 分别在AB ，AC 或它们的延长线上，且∠1=∠2，分别指出图中的相似三角形．【知识点：相似三角形判定3】解：△ADE ∽ △ACB ； △ADC ∽ △ACB ； △ADE ∽ △ABC; △ADE ∽ △ACB2．如图，过平行四边形ABCD 的一个顶点A 作一直线分别交对角线BD 、边BC 、边DC 的延长线于点E ，F ，G ．图中相似的三角形共有（ ）A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对【知识点：相似三角形判定3】解：C2．已知：如图，ΔABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：AF EF BF FD． 【知识点：相似三角形判定3】解：∵AD ⊥BC 、BE ⊥AC,∴︒=∠=∠90FEA FDB ，∴AFE BFD ∠=∠,∴BFD ∆∽AFE ∆，∴AFEF BF FD． 问题探究二 两边成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似吗? 重点、难点知识★▲●活动1 类比探究思考：我们知道,两个直角三角形全等可以用“HL”来判定．那么，满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似吗？论证：事实上，这两个直角三角形相似．下面让学生讨论，得出证明． 如图，在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中， ∠C ＝90°， ∠C′＝90°，,AB AC A B A C ='''' 求证： Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′．分析：要证Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′ ，可设法证.BC AB AC B C A B A C =='''''' ==.AB AC BC k k A B A C B C =''''''若设，则只需证 ==,=.AB AC k AB kA B AC kA C A B A C''''=''''设，则证明：2222,.BC AB AC B C A B A C ''''''=-=-由勾股定理，得222222.BC AB AC k A B k A C k B C k B C B C ''''''-•-••∴===='''' .BC AB AC B C A B A C ∴==''''''∴Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′．归纳：直角三角形相似的判定定理:(1)有一锐角相等的两个直角三角形相似;（2)有两组直角边对应成比例的两直角三角形相似；（3)斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．数学表达式：在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，(1)∵∠C ＝∠C′＝90°，∠A ＝∠A′，∴Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′;（2）∵∠C ＝∠C′＝90°,.AC BC A C B C ∴=''''∴Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′． (3）∵∠C ＝90°，∠C′＝90°, ,AB AC A B A C =''''∴ Rt △ABC ∽Rt △A′B′C′． ●活动2 例题讲解，直角三角形相似的判定（HL)的应用例1、在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠C ＝∠F ＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( ）A ．∠A ＝55°，∠D ＝35°B ．AC ＝9，BC ＝12，DF ＝6，EF ＝8C ．AC ＝3，BC ＝4，DF ＝6，DE ＝8D ．AB ＝10，AC ＝8，DE ＝15，EF ＝9【知识点:直角三角形相似的判定】解析：选项A:在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝55°，∴∠B ＝35°， ∵∠D ＝35°,∴∠B ＝∠D,∴Rt △ABC ∽Rt △DEF （有一锐角相等的两个直角三角形相似）；选项B:∵AC ＝9，BC ＝12，DF ＝6，EF ＝8，∴43129==BC AC ,4386==EF DF ，∴EFDF BC AC =，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF （两组直角边对应成比例的两直角三角形相似）；选项C ：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∴AC ：BC ：AB ＝3：4：5，在Rt △DEF 中,∠F ＝90°,DF＝6，DE ＝8，∴EF ＝726822=-， ∴EE ：DF ：DE ＝72:6：8=7:3:4,故Rt △ABC 与Rt △DEF 不相似； 选项D ：在Rt △DEF 中，∠F ＝90°,DE＝15，EF ＝9，∴DF=1291522=-, ∴541512==DE DF ,在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，∴54108==AB AC ， ∴DE DF AB AC =，∴Rt △ABC ∽Rt △DEF （斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似)．故选C ．例2、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．【知识点：直角三角形相似的判定】射影定理:1．直角三角形中，斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项;2．每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 已知：如图，在RtΔABC 中，CD 是斜边AB 上的高．(1）求证：ΔACD∽ΔABC∽ΔCBD（2）求证:DB AD CD ⋅=2;AB AD AC ⋅=2;AB BD BC ⋅=2．证明:（1） ∵ ∠A=∠A ，∠ADC=∠ACB=90°,∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两三角形相似)同理 ΔCBD ∽ ΔABC．∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD．此结论可以称为“母子相似定理”,今后可以直接使用．（2）由ΔCBD∽ΔACD，得DBCD CD AD =，∴DB AD CD ⋅=2． 由ΔACD∽ΔABC，得ABAC AC AD =，∴AB AD AC ⋅=2． 由ΔCBD∽ΔABC，得DB BC BC AB =,∴AB BD BC ⋅=2． 以上三个结论称为“射影定理"，今后可以直接使用．例3、已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP ．【知识点：直角三角形相似的判定】解：设PC的长为a，则BP＝3a，正方形ABCD的边长为4a，DQ＝2a，AD＝4a，QC＝2a，∴错误!＝错误!＝错误!，又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP．点拨：当题中条件已知线段之间的关系时，可找出成比例的线段，又其夹角相等时，可得三角形相似．●活动3 应用练习1．在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是( ）A．∠B＝∠B1 B．错误!＝错误! C．错误!＝错误! D．错误!＝错误!【知识点：直角三角形相似的判定】解：D2．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝____________时,△ABC∽△A′B′C′．【知识点：直角三角形相似的判定】解：10问题探究三如何利用相似三角形的基本图形证题?引入:几何图形大多数由基本图形复合而成，因此熟悉三角形相似的基本图形,有助于快速、准确地识别相似三角形，从而顺利找到解题思路和方法．活动1 合作探究，归纳总结思考:相似三角形的基本图形有哪些？学生讨论后归纳，相似三角形的几种基本图形如下：如图：称为“平行线型”的相似三角形．（有“A 型"与“X 型”图)如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型"的相似三角形．（有“反A 共角型”、“反A 共角共边型”、“蝶型”）如图：称为“垂直型”．（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也④如图：∠1=∠2,∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形．活动2 合作探究,归纳总结思考:怎么利用这些基本图形解题呢？在学生讨论的基础上总结，几种基本图形的具体应用：若DE ∥BC （A 型和X 型），则△ADE ∽△ABC ．射影定理 若CD 为Rt △ABC 斜边上的高(双直角图形），则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=AD ·AB ,CD 2=AD ·BD，BC 2=BD ·AB．E ADC BE A D C B A D C B 满足：ⅰ、AC 2=AD·AB，ⅱ、∠ACD=∠B ，ⅲ、∠ACB=∠ADC ，都可判定△A B E B (D )E CADC ∽△ACB ． ④当AB AE AC AD 或AD·AB=AC·AE 时,△ADE ∽△ACB ． 活动3 例题讲解,巧用“基本图形”探索相似条件（1）平行线型例1．如图,在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D ．(1)求证：AE·BC＝BD·AC;（2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．【知识点：相似三角形的判定与性质，三角形面积；数学思想：数形结合】 分析：要证AE·BC＝BD·AC,需证错误!＝错误!．又由ED ∥BC,有△ADE ∽△ABC ，可得错误!＝错误!,因此只需证DE ＝BD 即可．详解:（1)证明：∵ED ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ．∴错误!＝错误!．∵BE 平分∠ABC ，∴∠DBE ＝∠EBC ．∵ED ∥BC ，∴∠DEB ＝∠EBC ．∴∠DBE ＝∠DEB ．∴DE ＝BD ．∴AE AC＝错误!， 即AE·BC＝BD·AC．(2）解：设h △ADE 表示△ADE 中DE 边上的高,h △BDE 表示△BDE 中DE 边上的高，h △ABC 表示△ABC 中BC 边上的高．∵S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，∴错误!＝错误!＝错误!． ∴错误!＝错误!．∵△ADE ∽△ABC ，∴错误!＝错误!＝错误!．∵DE ＝6，∴BC ＝10．点拨：将乘积式转化为比例式，再利用比例式找三角形相似是常用之法．（2）斜交型例2．如图，点D,E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且错误!＝错误!，试问△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．【知识点：相似三角形的判定与性质】分析：由错误!＝错误!，及夹角相等，易得△BOE∽△COD，△DOE∽△COB，再设法证∠ADE＝∠ABC即可．解：相似．理由如下：因为错误!＝错误!，∠BOE＝∠COD，∠DOE＝∠COB，所以△BOE∽△COD，△DOE∽△COB．所以∠EBO＝∠DCO，∠DEO＝∠CBO．因为∠ADE＝∠DCO＋∠DEO,∠ABC＝∠EBO＋∠CBO．所以∠ADE＝∠ABC．又因为∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC．(3）垂直型例3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°,AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F．求证：错误!＝错误!．【知识点:相似三角形的判定与性质;数学思想：转化思想】分析：由“垂直型”相似,可得△ABC∽△DBA，有ABAC＝错误!,需证错误!＝错误!，应证△DBF∽△ADF．证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D,∴∠BAC＝∠ADB＝90°．又∵∠CBA＝∠ABD，∴△ABC∽△DBA．∴错误!＝错误!，∠BAD＝∠C．∵AD⊥BC于点D，E为AC的中点，∴DE＝EC．∴∠BDF＝∠CDE＝∠C．∴∠BDF＝∠BAD．又∵∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF．∴错误!＝错误!．∴错误!＝错误!．点拨:当所证等积式或比例式运用“三点定型法”不能定型或能定型而不相似，条件又不具备成比例线段时，可考虑用中间比“搭桥"，称为“等比替换法”．有时还可用“等积替换法”．（4)旋转型例4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC．求证:(1)△ADE∽△ABC;(2）错误!＝错误!．【知识点：相似三角形的判定与性质】证明：(1)∵∠DAB＝∠EAC,∴∠DAE＝∠BAC．又∵∠ADE＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC．（2）∵△ADE∽△ABC,∴错误!＝错误!．∵∠DAB＝∠EAC，∴△ADB∽△AEC．∴错误!＝错误!．点拨：由“旋转型”，易得对应的角相等．问题探究四证比例式或等积式有哪些技巧？证比例式或等积式，若所遇问题中无平行线或相似三角形，则需构造平行线或相似三角形，得到成比例线段；若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形或不在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似或先将它们转化到两个三角形中再证两三角形相似，若在两个明显不相似的三角形中,可运用中间比代换．活动1 合作探究，证比例式或等积式的技巧技巧1 构造平行线法例1．如图，过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F 和点E．求证：AE•ED＝2AF•FB．【知识点：相似三角形的判定与性质】分析:图中无三角形相似，应作辅助性构造三角形相似,作平行线是常用之法．证明：如图，过点B作BN∥CF交AD的延长线于点N．∴错误!＝错误!，∠ECD＝∠NBD．又∵∠CDE＝∠BDN，∴△EDC∽△NDB．∴错误!＝CD．BD∵BD＝CD,∴ED＝DN＝错误!EN．∴错误!＝错误!．∴AE•ED＝2AF•FB．点拨：过某一点作平行线，构造出“A”型或“X”型的基本图形，通过相似三角形转化线段的比,从而解决问题．技巧2 “三点定型”找三角形相似法例2．如图，在△ABC中,∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D,交AB于E．求证：AM2＝MD·ME．【知识点:相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析：要证AM2＝MD·ME，即证错误!＝错误!．横看知，需证△AME与△DMA相似．证明:∵DM⊥BC，∠BAC＝90°,∴∠B＋∠BEM＝90°，∠D＋∠DEA＝90°．∵∠BEM＝∠DEA，∴∠B＝∠D．又∵M为BC的中点，∠BAC＝90°,∴BM＝AM．∴∠B＝∠BAM．∴∠BAM＝∠D．又∵∠AME＝∠DMA．∴△AME∽△DMA．∴错误!＝错误!．∴AM2＝MD·ME．点拨:由比例式找三角形相似,可运用“三点定型法”找相似三角形,口诀是:横看、竖看定相似．技巧3 构造相似三角形法例3．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N．求证：BP·CP＝BM·CN．【知识点：相似三角形的判定与性质】分析：要证BP·CP＝BM·CN，即证错误!＝错误!,由横看知，需证△BPM∽△CNP，因此应连接PM、PN,构造出△BPM和△CNP．证明：如图,连接PM，PN．∵MN是AP的垂直平分线，∴MA＝MP，NA＝NP．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．又∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝∠1＋∠3＝60°．∴∠2＋∠4＝60°．∴∠5＋∠6＝120°．又∵∠6＋∠7＝180°－∠C＝120°．∴∠5＝∠7．∴△BPM∽△CNP．∴错误!＝错误!,即BP·CP＝BM·CN．点拨:通过要证的比例式，用“三点定型法"找到需证明的相似三角形，若这两三角形不存在,就应通过作辅助线构造出来．技巧4 等比过渡法例4．如图,CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G,交CE于点D．求证：CE2＝DE·PE．【知识点:相似三角形的判定与性质;数学思想:转化思想】分析：由“垂直型”相似，可利用射影定理得CE2＝AE·BE,要证CE2＝DE·PE，就需证DE·PE＝AE·BE，就需证△DEB∽△AEP．证明：∵BG⊥AP，PE⊥AB，∴∠AEP＝∠BED＝∠AGB＝90°．∴∠P＋∠PAB＝90°，∠PAB＋∠ABG＝90°．∴∠P＝∠ABG．∴△AEP∽△DEB．∴错误!＝错误!，即AE·BE＝PE·DE．又∵CE⊥AB，∴∠CEA＝∠BEC＝90°，∴∠CAB＋∠ACE＝90°．又∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBE＝90°．∴∠ACE＝∠CBE．∴△AEC∽△CEB．∴错误!＝错误!，即CE2＝AE·BE．∴CE2＝DE·PE．点拨:当要证的等积式中的三条线段在同一条线段上时,找不出需证的相似三角形,就可以采用“等比过渡法”证明．技巧5 等积代换法例5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．求证:AEAF＝错误!．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】分析:要证AEAF＝错误!，可证AE·AB＝AF·AC，又由“垂直型”相似，可利用射影定理得AE·AB＝AD2，AF·AC=AD2，故得证．证明：∵AD⊥BC，DE⊥AB,∴∠ADB＝∠AED＝90°．又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD，得AD2＝AE·AB，同理可得AD2＝AF·AC,∴AE·AB＝AF·AC，∴错误!＝错误!．点拨：要证的比例式，不能直接通过证三角形相似得到,可将比例式转化为乘积式，利用“等积代换法”来证．技巧6 等线段代换法例6．已知：如图，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P．求证：PD2＝PB·PC．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想:转化思想】分析:由EP垂直平分AD,可连接AP，有PA=PD．要证PD2＝PB·PC，可证PA2＝PB·PC,需证△PAC∽△PBA．证明:如图，连接PA，则PA＝PD，∴∠PDA＝∠PAD．∴∠B ＋∠BAD ＝∠DAC ＋∠CAP ．又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠DAC ．∴∠B ＝∠CAP ．又∵∠APC ＝∠BPA ，∴△PAC ∽△PBA ，∴PA PB ＝错误!, 即PA 2＝PB·PC,∴PD 2＝PB·PC．点拨：当要证的等积式中的三条线段在同一条线段上时，找不出需证的相似三角形，也可把其中的一条线段替换成与它线段的线段,再找三角形相似来证明．活动2 巩固练习1．如图,在△ABC 中，D 为AB 的中点，DF 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，求证：AE·CF＝BF·EC．【知识点：相似三角形的判定与性质;数学思想：转化思想】证明：如图，过点C 作CM ∥AB 交DF 于点M ．∵CM ∥AB ，∴△CMF ∽△BDF ．∴错误!＝错误!．又∵CM ∥AD,∴△ADE ∽△CME ．∴AE EC＝错误!．∵D 为AB 的中点, ∴BD CM＝错误!．∴错误!＝错误!,即AE·CF＝BF·EC． 2．如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高,∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ，交AD 于F ．求证：错误!＝错误!．【知识点:相似三角形的判定与性质；数学思想:转化思想】证明：易得∠BAC＝∠BDF＝90°．∵BE平分∠ABC,∴∠ABE＝∠DBF，∴△BDF∽△BAE,得错误!＝错误!．∵∠BAC＝∠BDA＝90°，∠ABC＝∠DBA．∴△ABC∽△DBA,得错误!＝错误!，∴错误!＝错误!．3．如图，等腰△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，求证：BP2＝PE·PF．【知识点：相似三角形的判定与性质；数学思想：转化思想】证明：连接PC，如图．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD垂直平分BC，∠ABC＝∠ACB，∴BP＝CP，∴∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4．∵CF∥AB,∴∠3＝∠F，∴∠4＝∠F．又∵∠CPF＝∠CPE,∴△CPF∽△EPC，∴错误!＝错误!，即CP2＝PF·PE．∵BP＝CP，∴BP2＝PE·PF．3．课堂总结【知识梳理】（1）相似三角形的判定3：两角分别相等的两个三角形相似．（2）两个直角三角形相似的判定定理（HL）:斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．（3)三角形相似的基本图形有:“平行线型"、“斜交型"、“垂直型”、“旋转型”．(4）证明比例式或等积式的常用技巧有:构造平行线法、“三点定型”找三角形相似法、构造相似三角形法、等比过渡法、等积代换法、等线段代换法．【重难点突破】（1）两角分别相等的两个三角形相似，是判断两三角形是否相似的常用方法之一．当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等,当此思路不通时,再找夹等角的两边对应成比例．找角相等时应注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角（或补角）等．(2）找对应角的方法：对顶角一定是对应角；公共角一定是对应角；最大角或最小的角一定是对应角；对应角所对的边一定是对应边；对应边所对的角一定是对应角；对应边所夹的角一定是对应角．（3）判定两直角三角形相似的方法:一个锐角对应相等，两组直角边对应成比例，斜边和一直角边对应成比例．(4)常用的重要结论：①母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似；②射影定理：直角三角形中,斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．（5)熟悉三角形相似的基本图形,掌握证比例式或等积式的技巧，并会熟练应用．4．随堂检测1．下列各组条件中，不能判定△ABC与△A′B′C′相似的是（）A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝35°，∠B′＝55°C．∠A＝∠B，∠A′＝∠B′D．∠A＋∠B＝∠A′＋∠B′，∠A－∠B＝∠A′－∠B′【知识点：相似三角形判定3】2．下列说法：①有一个110°角的两个等腰三角形相似；②所有的等腰直角三角形都相似;③有一个60°角的两个等腰三角形相似；④有一个70°角的两个等腰三角形相似；⑤有一个底角相等的两个等腰三角形相似．其中正确的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．2【知识点：相似三角形判定3】3．已知点R在直角三角形的直角边上，过点R作直线使截得的三角形与原三角形相似，则这样的直线最多可作的条数是( )A．4条 B．3条 C． 2条 D． 1条【知识点：相似三角形判定3】4．已知点M、N分别是矩形ABCD的边CD、BC上的点，AM⊥MN,则一定有（）A．ΔADM∽ΔAMN B．ΔMCN∽ΔAMNC．ΔAMN∽ΔABN D．ΔADM∽ΔMCN【知识点:两直角三角形相似的判定】5．如图,在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若AB=12，BC=18,则CD的长是（ )A．6 B．8 C．10 D．12【知识点:两直角三角形相似判定的应用】（三）课后作业基础型自主突破1．下列说法正确的是（ )A.两个相似三角形全等 B．两个顶角为80°的等腰三角形相似C．两个直角三角形相似 D．所有等腰三角形都相似【知识点：相似三角形的判定】2．下列各对三角形中一定不相似的是（）A．△ABC中，∠A=46°,∠B=74°；△A′B′C′中,∠C′=60°，∠B′=74°B．△ABC中，∠B=90°，AB=10,AC=26; △A′B′C′中，∠B′=90°,A′B′=5a，B′C′=12aC．△ABC中,∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm; △A′B′C′中，∠C′=90°，A′C′=24cm，B′C′=30cmD．△ABC中，∠C=90°，∠A=48°；△A′B′C′中，∠C′=90°，∠A′=42°【知识点：相似三角形的判定】3．如图，在ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，则图中的相似三角形有( ）A 4对B 3 对C 2 对D 1对【知识点：相似三角形的判定3】4．如图,MN∥EF,MF、EN交于O,MO=6,FO=8,EN=21，则EO长为( ）A．8 B．9 C．10 D．12【知识点：相似三角形的判定3及应用;数学思想：数形结合】5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的高，AC=30，AD=18，．则BC=且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N,使截得的三角形与原三角形相似，则MN= ．AMCB【知识点：相似三角形的判定及应用;数学思想:数形结合、分类讨论】能力型师生共研7．如图，矩形ABCD中,AB＝12，BC＝6,点E在AB上，点F在CD上，点G,H 在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是( ）A ．35B ．295 C ．7．5 D ．9【知识点：相似三角形的判定及应用，矩形、菱形性质；数学思想：数形结合】8.如图，正方形ABCD 中,AE=BE,AF ⊥DE 于点G ， 则______ DGAG ．【知识点：直角三角形相似的判定及应用，正方形性质】9．如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC=15．D 为AC 上一点,AD=2CD ，CH ⊥BD 于H,点G 是AB 中点,连接GH,则GH= ．【知识点：相似三角形的判定及应用，三角形全等,等腰直角三角形性质;数学思想：数形结合】10．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点E,F 分别是BC ，AC 边上的点,且∠AEF ＝∠B ．（1）求证:AC·CF＝CE·BE;（2)若AB＝10，BC＝12,当EF∥AB时，求BE的长．【知识点：相似三角形的判定及应用；数学思想：数形结合】探究型多维突破11．如图,五边形ABCDE是正五边形，其边长为2，对角线BE,CE与对角线AD2；③FG=3分别交于点F，G．给出下列结论:①∠AFE=108°;②ADAF=AG⋅﹣；④S△EBC=2﹣1．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【知识点：相似三角形的判定及应用，勾股定理，正五边形的性质；数学思想：数形结合】12．如图,在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，点E在AC上，AE=EC，AB延长线与ED延长线交于点F．求证：AB·AF＝AC·DF．【知识点：相似三角形的判定及应用；数学思想：转化思想】自助餐1．下列各组条件中，能推得△ABC与△GMN相似的是（）A．∠A=∠M且∠G=∠N B．∠A=∠B且∠G=∠NC ．∠A=∠M 且MG AC AB MN =D ．∠A=∠M 且MGBC AB GN = 【知识点:相似三角形的判定】2．如图，在△ABC 中，∠A=78°，AB=8，AC=12．下列图中阴影三角形与原三角形不相似．．．的是（ ）【知识点：相似三角形的判定；数学思想：数形结合】3．如图，在△ABC 中,AE 交BC 于点D ，∠EBC ＝∠EAC ，AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4,则DC 的长等于（ ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!【知识点：相似三角形的判定3及应用；数学思想：数形结合】4．如图，FGA BAC ∆≅∆,∠BAC=∠FGA=90°，AB=AC ，下列不正确的是（ ）A ． △DAE ∽△DCAB ． △EAD ∽△EBAC ． △BAE ∽△CDAD ． △BAD ∽△CAE【知识点：相似三角形判定3，等腰直角三角形性质】5．如图，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 、DC 上,且DE ⊥AF 于M ，∠BAE=∠EAF ，BE=3，AE=2，则MF 的长是（ )A ．B ．C ．1D ．【知识点：直角三角形相似的判定及应用，正方形性质,勾股定理；数学思想：数形结合】6．如图,E 为矩形ABCD 的边DC 中点,AD=23AB ，BP=2CP,连接EP 并延长，交AB 的延长线于点F ，AP 、BE 相交于点O ．下列结论：①EP 平分∠CEB ； ②EF PB BF ⋅=2；③22AD EF PF =⋅；a④PO AO EP EF ⋅=⋅4．其中正确的是( ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．③④【知识点：直角三角形相似的判定及应用，矩形性质；数学思想:数形结合】 7.如图，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，BC=24，CD=18,则AD= ．DC B A【知识点：直角三角形相似的判定及应用；数学思想：数形结合】8．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在边CD 上，AD=4，AB=10，要使△ADE 与△BCE 相似，则DE 的长为= ．【知识点:直角三角形相似的判定及应用；数学思想：数形结合、分类讨论】9．如图,在△ABC中，∠BAD=∠CAD，延长BC到E，EF⊥AD于点F，FG=FD，连接EG交AC于点H．若AB：AC=5：4，点H是AC的中点，则AG：FD的值为．【知识点：三角形全等，等腰三角形，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定及应用；数学思想：数形结合】10.已知：如图,在△ABC中，CM⊥AB于M，BN⊥AC于N．求证：△AMN∽△ACB．【知识点：相似三角形的判定及应用】11．如图，在直角△ABC中，斜边AB=100，AC=80,点M从A点出发沿AB边以每秒10个单位的速度向点B运动,同时点N从C点出发沿CA边以每秒8个单位的速度向点A运动，运动时间为t秒(0＜t＜10），连接MN．（1)若△AMN与△ABC相似，求t的值;（2）连接BN，CM，若BN⊥CM,求t的值；（3)试证明：MN的中点在△ABC的一条中位线上．【知识点：相似判定及应用；数学思想：数形结合】12．如图,在△ABC中，AM垂直平分BC,AM=16，BC=20．点G从点B出发沿线段BC以每秒6个单位长度的速度向点C运动，与此同时，平行于BC的直线m从底边BC出发，以每秒4个单位长度的速度沿MA方向平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点G到达点C时，点G与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0)．（1)当t=2时，连接ME、MF,求证：四边形AEMF为菱形；(2)在整个运动过程中，所形成的△GEF的面积存在最大值，当△GEF的面积最大时,求线段BG的长;(3）是否存在某一时刻t,使△GEF为直角三角形?若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．【知识点：菱形的判定与性质,相似三角形判定及应用，勾股定理；数学思想：数形结合、分类讨论】五．参考答案。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
云南省大理州云龙县苗尾九年制学校九年级数学下册 相似三
角形的判定（三）学案（无答案） 新人教版
学习目标:
(1) 初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法． (2)能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
重点、难点
学习重点:掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似。
学习难点: （1）三角形相似的条件归纳、证明；
（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．
一.知识链接
(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？
(2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
(3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？
二 、探索新知
探讨问题：
1、如图，如果要判定△ABC 与△A’B’C’相似，
是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边
的关系？
2、可否用类似于判定三角形全等的SSS 方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？
3、 探究2 B'C'
A'A B
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。
（1）问题：怎样证明这个命题是正确的呢？
（2）探求证明方法．（已知、求证、证明）
如图27.2-4，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，A C CA C B BC B A AB ''=''=''， 求证△ABC∽△A ′B ′C ′证明 ：
4 【归纳】
三角形相似的判定方法1
如果两个三角形的三组对应边的比相等， 那么这两个三角形相似．
5 、探讨问题：可否用类似于判定三角形全等的SAS 方法，能否通过两个三角形的两组对应边的比相等和它们对应的夹角相等，来判定两个三角形相似呢？
（画图，自主展开探究活动）
6 【归纳】
三角形相似的判定方法2
两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．
三、例题讲解
解：
归纳分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，画草图，看是否符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法中，对于（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边．
例2 （补充）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠
ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=217，求AD 的长． 分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用
“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得
出
AC
CD CD AB =，结合∠B=∠ACD ，证明△ABC ∽△DCA ，再利用相似三角形的定义得出关于AD 的比例式AD AC AC CD =，从而求出AD 的长． 解：
四、课堂练习
1．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？
2．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：△ABC∽△DEF．
五、回顾与反思．
(1)谈谈本节课你有哪些收获．
六当堂检测
1．如图，AB•AC=AD•AE，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△AED．
2．已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD•AD，
求证：△ADC∽△CDP．。