浙教版九年级数学下《22切线长定理》同步练习有答案MnPUnP

2.2 切线长定理
一、选择题
1．如图K －49－1，P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，E 是⊙O 上一点，且∠AEB ＝60°，则∠P 的度数为( )
A ．45°
B ．50°
C ．55°
D ．60°
图K －49－1
2．一个钢管放在V 形架内，图K －49－2是其截面图，O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN ＝60°，那么OP 的长为( )
图K －49－2
A ．50 cm
B ．25 3cm C.50 33
cm D ．50 3cm
3．如图K －49－3，P A ，PB 是⊙O 的切线，切点分别是A ，B .若∠APB ＝60°，P A ＝4，则⊙O 的半径为( )
A ．4 B.433C.3
4
3D ．3
图K －49－3
4．如图K －49－4，P A ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，AC 是⊙O 的直径，连结AB ，BC ，OP ，则与∠P AB 相等的角(不包括∠P AB 本身)有( )
图K －49－4
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．2017·无锡如图K －49－5，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO ＝10，则⊙O 的半径等于( )
图K －49－5
A ．5
B ．6
C ．2 5
D ．3 2 二、填空题
6．如图K －49－6，AE ，AD ，BC 分别切⊙O 于点E ，D ，F .若AD ＝20，则△ABC 的周长为________．
图K －49－6
7．如图K －49－7，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5 cm ，cos ∠ABC ＝3
5
.如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点
B ，
C ，那么线段AO ＝________ cm.
图K －49－7
8．从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，从这点到圆的最短距离为________． 9．2017·衢州如图K －49－8，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为(－1，0)，半径为1，P 为直线y ＝－3
4
x ＋3上的一动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是________.
图K －49－8
三、解答题
10．如图K－49－9，已知正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点，P 不与M和C重合，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E.求四边形CDFP的周长．
图K－49－9
11.如图K－49－10，AB，CD分别与半圆O切于点A，D，BC切⊙O于点E.若AB＝4，CD＝9，求⊙O 的半径．
图K－49－10
12．如图K－49－11，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，AC，PB的延长线相交于点D.
(1)若∠1＝20°，求∠APB的度数；
(2)当∠1为多少度时，OP＝OD？并说明理由．
图K－49－11
13．2017·遵义如图K－49－12，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°.连结PO并延长与⊙O交于点C，连结AC，BC.
(1)求证：四边形ACBP是菱形；
(2)若⊙O的半径为1，求菱形ACBP的面积．
图K－49－12
14分类讨论如图K－49－13，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC ＝26 cm，AB为⊙O的直径．动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3 cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t s，求t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相离、相交．
图K－49－13
1．[答案]D 2．[答案]A 3．[答案]B 4．[答案]C
5．[解析]C 如图，连结AC ，BD ，交点为P ，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，∴OE ∥PQ.
∵⊙O 与边AB ，AD 都相切，∴点O 在AC 上．
∵菱形ABCD 的面积为320，∴1
2AC·BD ＝320，∴AP ·BP ＝160.
∵AB ＝20，∴20PQ ＝AP·BP ＝160， ∴PQ ＝8.
由AC ⊥BD ，PQ ⊥AB ，可证△APQ ∽△PBQ ， ∴
AQ PQ ＝PQ BQ ，即AQ 8＝8
20－AQ
， ∴AQ ＝16或 AQ ＝4(不合题意，舍去)．
∴在Rt △APQ 中，AP ＝AQ 2＋PQ 2＝162＋82＝8 5. ∵OE ∥PQ ，∴OE OA ＝PQ AP ，即OE 10＝885，
∴OE ＝2 5.
∴⊙O 的半径等于2 5. 6．[答案] 40
[解析]∵AD ，AE 分别切⊙O 于点D ，E ， ∴AD ＝AE ＝20.
∵AD ，BF 分别切⊙O 于点D ，F ， ∴BD ＝BF.同理CF ＝CE.
∴C △ABC ＝AB ＋BC ＋AC ＝AB ＋BF ＋FC ＋AC ＝AB ＋BD ＋EC ＋AC ＝AD ＋AE ＝40. 7．[答案] 5
8．[答案] 9 5－9
9．[答案] 2 2
[解析] 如图，连结PA，PQ，AQ，有PQ2＝PA2－AQ2，∴PQ＝PA2－AQ2.又AQ＝1，故当AP有最小值时PQ最小．过点A作AP′⊥MN，则有AP′最小＝3，此时PQ最小＝32－12＝2 2.
10．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，∴OA⊥AD，OB⊥BC.
∵OA，OB是半径，
∴AF，BP都是⊙O的切线．
又∵PF是⊙O的切线，
∴FE＝FA，PE＝PB，
∴四边形CDFP的周长为AD＋DC＋CB＝2×3＝6.
11．解：如图，过点B作BF⊥CD于点F.
∵AB，CD与半圆O分别切于点A，D，
∴∠BAD＝∠CDA＝∠BFD＝90°，
∴四边形ADFB为矩形．
∵AB与BC分别切⊙O于点A，E，
∴AB＝BE.同理CE＝CD.
∵DF＝AB＝4，CE＝CD＝9，
∴BC＝BE＋CE＝13，CF＝CD－DF＝9－4＝5.
在Rt△BFC中，BF＝BC2－CF2＝132－52＝12，
∴⊙O的半径为6.
12．解：(1)∵PA 是⊙O 的切线， ∴∠BAP ＝90°－∠1＝70°. 又∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴PA ＝PB ，
∴∠BAP ＝∠ABP ＝70°， ∴∠APB ＝180°－70°×2＝40°. (2)当∠1＝30°时，OP ＝OD. 理由如下：
当∠1＝30°时，由(1)知∠BAP ＝∠ABP ＝60°， ∴∠APB ＝180°－60°×2＝60°. ∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴∠OPB ＝1
2
∠APB ＝30°.
又∵∠D ＝∠ABP －∠1＝60°－30°＝30°， ∴∠OPB ＝∠D ，∴OP ＝OD.
13．解：(1)证明：如图，连结OA ，则∠OAP ＝90°. ∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∠APB ＝60°， ∴PA ＝PB ，∠APC ＝∠BPC ＝30°， ∠AOP ＝60°.
∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝30°， 同理∠BCO ＝30°， ∴AP ∥BC ，BP ∥AC ， ∴四边形ACBP 是平行四边形． 又∵∠APC ＝∠BPC ， ∴四边形ACBP 是菱形．
(2)如图，连结AB 交CP 于点M ，连结OA ，
∴AB 垂直平分CP.
在Rt △AOM 中，OA ＝1，∠AOM ＝60°， ∴∠OAM ＝30°，
∴OM ＝12OA ＝1
2，
∴AM ＝OA 2－OM 2＝32
， ∴CM ＝3
2
，
即PC ＝3，AB ＝3，
∴菱形ACBP 的面积＝12×3×3＝33
2
.
14解：设运动t s 时，直线PQ 与⊙O 相切于点G ，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，
则PH ＝AB ＝8，BH ＝AP ， 可得HQ ＝26－3t －t ＝26－4t. 由切线长定理得AP ＝PG ，QG ＝BQ ，
则PQ ＝PG ＋QG ＝AP ＋BQ ＝t ＋26－3t ＝26－2t. 由勾股定理得PQ 2＝PH 2＋HQ 2， 即(26－2t)2＝82＋(26－4t)2， 整理，得 3t 2－26t ＋16＝0， 解得t 1＝2
3
，t 2＝8，
所以，当t ＝2
3或 t ＝8时直线PQ 与⊙O 相切．
当t ＝0时，直线PQ 与⊙O 相交；
当t ＝26
3时，点Q 运动到点B ，点P 尚未运动到点D ，但也停止运动，直线PQ 也与⊙O 相交．
综上可知：
当t ＝2
3或 t ＝8时，直线PQ 与⊙O 相切；
当0≤t ＜23或8＜t ≤26
3时，直线PQ 与⊙O 相交；
当2
3＜t ＜8时，直线PQ 与⊙O 相离．。