浙教版九年级数学下册知识点汇总
初三数学知识点浙教版
初三数学知识点浙教版天才就是勤奋曾经有人这样说过。
如果这话不完全正确，那至少在很大程度上是正确的。
学习，就算是天才，也是需要不断练习与记忆的。
下面是小编给大家整理的一些初三数学的知识点，希望对大家有所帮助。
九年级下册数学知识点知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。
(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.知识点5.相似三角的判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.知识点6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理初三下册数学知识点总结半径与弦长计算，弦心距来中间站。
关于浙教版九年级数学知识点
关于浙教版九年级数学知识点学问点是学问、理论、道理、思想等的相对独立的最小单元。
以下是为大家整理的关于浙教版九年级数学学问点【三篇】,欢迎品鉴!【篇1】浙教版九年级数学学问点①平行四边形的对边相等;②平行四边形的对角相等;③平行四边形的对角线相互平分。
矩形的性质①矩形具有平行四边形的一切性质;②矩形的四个角都是直角;③矩形的对角线相等.正方形的判定与性质1.判定方法：(1)邻边相等的矩形;(2)邻边垂直的菱形;(3)对角线垂直的矩形;(4)对角线相等的菱形;2.性质：(1)边：四边相等，对边平行;(2)角：四个角都相等都是直角，邻角互补;(3)对角线相互平分、垂直、相等，且每长对角线平分一组内角。
【篇2】浙教版九年级数学学问点1、圆的对称性(1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
(3)圆是对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论：平分弦(非直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d。
7、(1)过两点的圆的圆心肯定在两点间连线段的中垂线上。
(2)不在同始终线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。
(直角的外心就是斜边的中点。
)8、直线与圆的位置关系。
d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交;直线与圆只有一个交点，直线与圆相切;直线与圆没有交点，直线与圆相离。
9、中，A(x1，y1)、B(x2，y2)。
初三下册数学第一章知识点：第2节锐角三角函数公式(浙教版)
初三下册数学第一章知识点：第2节锐角三角函数公式（浙教版）两角和与差的三角函数：sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB ?cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cos γ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sin γ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tnα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos (α)-sin (α)=2cos (α)-1=1-2sin(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan (α)]·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin (α)cos(3α)=4cos (α)-3cosα·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα) =(1-cosα)/sinα·降幂公式sin (α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos (α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan (α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan (α/2)]cosα=[1-tan (α/2)]/[1+tan (α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan (α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos α1-cos2α=2sin α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n) +……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin (α)+sin (α-2π/3)+sin (α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0以上就是为大家整理的初三下册数学第一章知识点：第2节锐角三角函数公式(浙教版)，大家还满意吗?希望对大家有所帮助!。
浙教版九年级数学期末知识点复习
浙教版九年级数学期末知识点复习数学作为一门学科，是学生在学校教育中必修的一门科目。
九年级数学是初中最后一个学年的数学课程，也是初中数学知识点的总结和复习的阶段。
接下来，我们来一起复习一些浙教版九年级数学课程的重点内容。
一、代数运算代数运算是数学中的一个基础部分，它包括了各种代数运算法则以及代数式的化简、展开等内容。
九年级的代数运算主要包括整式和分式的四则运算，特别是分式的乘除运算和整式与分式的加减运算。
在这方面，需要注意运用因式分解、通分、约分等技巧来简化运算。
二、方程与不等式方程与不等式是数学中应用广泛的内容，特别是在问题求解中。
九年级的方程与不等式主要包括一元二次方程的解法、一次不等式的解法等。
在解方程和不等式的过程中，重点是要掌握等式与不等式两边的性质保持一致的原则。
三、平面几何平面几何是初中数学中的一个重点内容，其中包括了点、线、圆以及相应的性质和定理。
九年级的平面几何主要包括线段和角的运算、图形的相似与全等、三角形的性质等。
在这方面，需要掌握好投影定理、正弦定理、余弦定理等重要的几何定理。
四、统计与概率统计与概率是数学中的一门实用性较强的内容，九年级的统计与概率主要包括统计图的绘制和分析、事件的概率计算等。
在这方面，需要掌握好直方图、饼图、折线图等统计图的绘制方法，以及事件概率的计算公式和方法。
五、函数与图像函数与图像是数学中的一个重点和难点内容，也是数学与现实世界联系最为紧密的部分。
九年级的函数与图像主要包括函数概念的理解、一次函数、二次函数等基本函数的图像性质的掌握。
需要重点理解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质。
通过对以上几个重点内容的复习，同学们可以全面地回顾九年级数学的知识点。
同时，在复习过程中，也需要注意一些特殊的数学方法和思维方式，例如几何中的证明方法、方程的解题思路等。
同时，请同学们务必进行大量的练习和解题，加深对知识点的理解和应用。
总之，九年级数学的复习是初中数学学习的最后一个重要阶段，同学们需要做好总结和复习，以便顺利过渡到高中数学学习。
数学知识点九年级浙教版
数学知识点九年级浙教版数学是一门广泛应用于各个领域的学科，它涵盖了许多重要的知识点。
在九年级的数学课程中，我们将学习浙江教育版的数学知识。
一、整式与分式运算在九年级数学中，我们将学习整式与分式的运算。
整式就是由整数和字母的乘积和的形式，例如3x+2y。
分式是由分子和分母组成的表达式，例如2/3。
我们将学习如何进行整式的加减乘除运算，以及分式的加减乘除运算。
二、方程与不等式方程是指一个含有未知数的等式，例如2x+5=13。
我们学习如何解一元一次方程、一元一次方程组以及一元二次方程。
此外，我们还将学习如何利用方程来解决实际问题。
不等式则是包含不等关系的数学表达式，例如x>3。
我们将学习如何解一元一次不等式以及一元二次不等式。
三、函数与图像在九年级数学中，我们将学习函数与图像的概念。
函数是一种特殊的关系，它将一个自变量映射到一个因变量。
我们将学习函数的定义、函数图像的绘制以及函数的性质。
此外，我们还将学习线性函数、二次函数、反比例函数等常见函数的性质和图像特征。
四、平面图形的性质与计算九年级数学中，我们将学习平面图形的性质与计算。
我们将学习圆的性质，包括弦长、弧长、扇形面积等的计算公式。
此外，我们还将学习三角形的性质，例如勾股定理、正弦定理和余弦定理。
同时，我们将学习四边形、多边形以及圆柱、圆锥等的性质和计算方法。
五、统计与概率统计与概率也是九年级数学的重要内容。
我们将学习如何进行数据的收集、整理和分析，以及如何利用统计方法进行数据的总结和推断。
概率部分，我们将学习随机事件的概念、概率的计算方法以及概率在实际问题中的应用。
总结：数学知识点九年级浙教版涵盖了整式与分式运算、方程与不等式、函数与图像、平面图形的性质与计算，以及统计与概率等内容。
通过学习这些知识，我们可以提高自己的数学能力，并将其应用于实际问题中。
数学不仅是一门学科，更是一种思维方式，它培养了我们的逻辑思维和解决问题的能力。
希望同学们在九年级数学学习中取得好成绩！。
浙教版九年级(下)数学教学内容整理
第一章 解直角三角形1、锐角三角函数（1）锐角A 的对边与斜边 的比叫做A 的正弦，记作A sin ；c aA A =∠=斜边的对边sin（2）锐角A 的邻边与斜边 的比叫做A 的余弦，记作A cos ；c bA A =∠=斜边的邻边cos（3）锐角A 的对边与邻边 的比叫做A 的正切，记作A tan ；baA A A =∠∠=的邻边的对边tan特殊的三角函数值若090=∠+∠B A ，则B A cos sin =，即)90cos(sin 0A A -=；B A sin cos =，即)90sin(cos 0A A -=； BA t a n 1t a n =正切与正余弦之间的关系： AAA cos sin tan =同角的正余弦关系：1cos sin 22=+A A2、有关三角函数的计算用计算器求相应的三角函数的值 3、解直角三角形概念：在直角三角形中，除了直角外的5个元素，只要知道其中的2个元素（至少要有一个是边），求其它3个元素的过程叫解直角三角形。
依据：（1）三边间的关系：勾股定理222c b a =+ （2）锐角间的关系：090=∠+∠B A ；（3）边角间的关系：c a A =sin ，c b A =cos ，b aA =tan ；（4）面积公式：ch ab S ABC 2121==∆ 直角三角形可解的条件及可直接解的直角三角形的解（1） 已知两边或已知一边及一锐角，则此三角形可解，即在已知的两个条件中，至少有一个是边。
（2） 可直接解求解的直角三角形分为以下四种情况：① 已知两条直角边a ，b 其解法为22b a c +=，由ba A =tan 得A ∠，A B ∠-=∠090. ② 已知斜边和一直角边（如a ）其解法为22a c b -=，由ca A =sin 得A ∠，A B ∠-=∠090. ③ 已知一直角边和一锐角（如a ，A ∠）其解法为A B ∠-=∠090，A a b tan =，22b a c +=或Aa c sin =④ 已知斜边和一锐角（如c 和A ∠）其解法为A B ∠-=∠090，A c a sin ∙=，B c b sin ∙=或22a c b -=不可解直角三角形的解法除直角外已知的两个元素（至少有一个是边）的直角三角形都是可解的直角三角形，对于不可角的三角形，通常借助于解方程的思想求解。
九年级数学浙教版知识点归纳总结
九年级数学浙教版知识点归纳总结数学作为一门学科，是我们学习过程中必不可少的一部分。
九年级数学作为初中阶段最后一个学年的内容，相对来说难度会有所增加，但是只要我们能够合理的归纳和总结知识点，相信能够轻松应对这个阶段的学习。
一、整数运算在九年级的数学学习中，整数运算是一个基础中的基础，也是其他知识点的基础。
整数的加减乘除运算以及乘方运算是我们需要掌握的内容。
在运算过程中，要特别注意符号的运用，正、负数的加减法原则以及负数相乘、相除的规律等。
二、代数式的基本概念和运算代数式是九年级数学中一个新的知识点，它是由数字、字母和运算符号组成的。
我们需要学会如何列代数式、代数式的运算和化简。
代数式的基本运算包括加减乘除以及乘方等。
化简代数式要根据各种运算的规则，将代数式化为最简形式。
三、一元一次方程一元一次方程是一个重要的数学概念，也是初中数学中的重点内容。
我们需要学会如何解一元一次方程，通过应用等式的性质和运算规则来找出方程中的未知数。
同时，还要学会将实际问题转化为一元一次方程进行求解。
四、相似与相等在几何的学习中，相似与相等是一个重要的概念。
我们需要学会如何判断两个图形的相似与相等关系，以及相似三角形的性质和相似比的计算等。
通过应用相似与相等的概念，可以帮助我们解决各种几何问题。
五、平面直角坐标系与图形的坐标平面直角坐标系与图形的坐标是数学中的一个重要内容。
我们需要学会如何确定点的坐标、如何利用坐标求两点之间的距离以及计算线段的斜率等。
通过熟练掌握坐标运算，可以帮助我们更好地理解和应用几何知识。
六、函数在数学学习的过程中，函数是一个重要的概念。
我们需要学会如何理解函数的定义、函数的图像以及函数的性质等。
同时，还要学会如何通过函数关系式来解决问题，以及如何求解一些常见的函数方程和不等式等。
七、统计与概率统计与概率是九年级数学中的另一个重要知识点。
我们需要学会如何进行统计分析，如何对数据进行分类整理和展示，以及如何通过统计结果来进行推断和判断。
(完整版)浙教版九年级数学下册第二章
2.1【知识梳理1：切线的判定】1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线2. 切线判定的三种方法：（1）和圆只有一个公共点的直线（2）圆心到直线的距离等于圆的半径的直线（3）切线判定定理例题讲解例1 下列说法中，不正确的是（）A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线D.垂直于半径的直线是圆的切线例2 如图，AB是⊙O的直径，下列条件中，不能判定直线AT是⊙O的切线的是（）A. AB＝4，AT＝3，BT＝5B. ∠B＝45°，AB＝ATC. ∠B＝55°，∠TAC＝55°D. ∠ATC＝∠B第2题 第3题例3 如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC经过AB的中点D，CE∥AB，点F在⊙O上，eA. ∠F ＝∠AOCB. AB ⊥BFC. CE 是⊙O 的切线D. ＝12AC ︵ BC ︵例4如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 与CD 交于点E ，CE ＝DE ，过点B 作BF ∥CD ，交AC 的延长线于点F ，求证：BF 是⊙O 的切线.【变式训练】1. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A.点(0，3)B.点(2，3)C.点(5，1)D.点(6，1)(第1题) (第2题)2. 如图，已知∠ABC ＝90°，O 为射线BC 上一点.以点O 为圆心，BO 长为半径作⊙O .当12射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转______________(不超过360°)时与⊙O 相切.3. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，以对角线BD 为直径作⊙O ，分别与BC ，AD 交于点E ，F .（1）求证：四边形BEDF 为矩形.（2）若BD 2＝BE ·BC ，试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由.4. 如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OD⊥AB于点D.以点O为圆心，OD长为半径的圆交OA于点E，在BA上截取BC＝OB，连结CE.求证：CE是⊙O的切线.5. 如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(不与点A，B重合)，AD⊥C D.（1）若BC＝3，AB＝5，求AC的长.（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线.【知识梳理2：切线的性质】1. 切线的性质：经过切点的半径垂直于切线2. 只要知道以下其中两个性质就可以推出第三个：①过圆心；②过切点；③垂直于切线例题讲解例1 如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，且BC=OB，CD切⊙O于点D.则∠A=（）Ath A. 15° B. 30° C. 60° D. 75°第1题第2题例2 如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D.若OD ＝2，tan ∠OAB ＝，则AB 的长是（）12A. 4B. 2C. 8D. 433例3 如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于点T，连结AT ，AC ⊥PQ 于点C ，交⊙O 于点D.（1）求证：AT 平分∠BA C.（2）若AO ＝2，AT ＝2 ，求AC 的长.3例4如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝8，O 是斜边AB 上一点，以点O 为圆心的⊙O 分别与AC ，BC 相切于点D ，E .（1）当AC ＝2时，求⊙O 的半径.（2）设AC ＝x ，⊙O 的半径为y ，求y 关于x 的函数表达式.thd【变式训练】1. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连结A C.若∠A＝30°，PC＝3，则BP的长为_________.第1题第2题2. 如图，半圆O与等腰直角三角形ABC的两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG 在AB上.若BG＝－1，则△ABC的周长为__________23. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A. B. C. D. 21339243135第3题 第4题4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4 .若动点D在线段AC上(不与3点A，C重合)运动，过点D作DE⊥AC交AB边于点E.（1）当点D运动到线段AC的中点时，DE＝___________.（2）若点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE＝__________时，⊙C与直线AB相切.5. 如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，F是DA延长线上的一点，AC平分∠FAB 交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为E.（1）求证：CE是⊙O的切线.（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径.6. 如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D，A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB的延长线交于点E.（1）求证：∠1＝∠2.（2）若OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求AG的长.【综合例题讲解】例1如图，公路MN 与公路PQ 在点P 处交会，且QPN ＝30°，在点A 处有一所中学，AP ＝160 m.假设拖拉机行驶时，周围100 m 以内会受噪音影响，那么拖拉机在公路交会处沿PN 方向行驶时，学校是否会受噪音影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，且已知拖拉机的速度为18 km/h ，则学校受影响的时间为多少秒？例2如图，在平面直角坐标系中，原点为O ，点A 的坐标为(4，0)，点B 的坐标为(－1，0)，以AB 的中点P 为圆心，AB 长为直径作⊙P 交y 轴正半轴于点C.（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线所对应的函数表达式.（2）设M 为(1)中抛物线的顶点，求直线MC 对应的函数表达式.（3）试说明直线MC 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论.【变式训练】1. 如图①，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 交边BC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，且ED ⊥AC.（1）试判断△ABC 的形状，并说明理由.（2）如图②，若线段AB ，DE 的延长线交于点F ，∠C ＝75°，CD ＝2－，求⊙O 的半径3和BF 的长.2.如图，射线QN 与等边三角形ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM ＝MB ＝2cm ，QM ＝4cm.动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t (s)，以点P 为圆心，cm 为半径的圆与△ABC 的边相切(切点在边上)，3请求出t 可取的一切值2.2知识要点：切线长定理】1. 切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等2. 注意切线和切线长两个不同的概念【例题讲解】例1如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B.如果∠APB ＝60°，PA ＝8，那么弦AB 的长是（）A. 4B. 8C. 4D. 833例1图 变式1图【变式训练】1. 如图，PA ，PB ，CD 分别与⊙O 相切于点A ，B ，E ，若PA ＝7，则△PCD 的周长为_________2. 如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA ，PB 于点C ，D.若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长为3r ，连结OA ，OP ，则的值是_________OAPA变式2图变式3图3.如图，⊙O 与△ABC 中AB ，AC 的延长线及BC 边相切，且∠ACB ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长依次为3，4，5，则⊙O 的半径是___________.例2如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，连结OP 与⊙O 交于点C ，连结AC ，B C.求证：AC ＝B C.【变式训练】1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ，EF ⊥AB ，垂足为F .（1）求证：DE ＝B C.12（2）若AC ＝6，BC ＝8，求S △ACD ∶S △EDF 的值.2. 如图，O 是△ABC 内一点，⊙O 与BC 相交于F ，G 两点，且与AB ，AC 分别相切于点D ，E ，DE ∥BC ，连结DF ，EG .（1）求证：AB ＝A C.（2）若AB ＝10，BC ＝12，求当四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径.3. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点(不与点M ，C 重合)，以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交AD 于点F ，切点为E .求四边形CDFP 的周长.【综合例题讲解】1. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，BE ∥CO .（1）求证：BC 是∠ABE 的平分线；（2）若DC ＝8，⊙O 的半径OA ＝6，求CE 的长．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于点N .（1）求证：∠ADC ＝∠ABD ；（2）求证：AD 2＝AM ·AB ；（3）若AM ＝，sin ∠ABD ＝，求线段BN 的长．185352.3【知识要点：三角形的内切圆】1. 三角形内、外心的区别名称确定方法图形性质外心三角形_____________的交点内心三角形_____________的交点2. 注意“接”与“切”，“内”与“外”的区别，任意一个三角形都有________的内切圆和外接圆，但圆有__________个外切三角形和内接三角形.解题小技巧：（1）已知△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，三边长为a ，b ，c ，则有： S=（a+b+c ）12r （2）已知Rt △ABC 两直角边为a ，b ，斜边为c ，则该直角三角形的内切圆半径：r=（a+b+c ）12例题讲解例1给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式训练】1. 下列说法中，不正确的是( )A ．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C ．垂直于半径的直线是圆的切线D ．三角形的内心到三角形的三边的距离相等例2如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）A.B.C.D. 16π6π8π5例2图变式1图【变式训练】1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，⊙O 为△ABC 的内切圆，D 是斜边AB 的中点，则tan ∠ODA ＝（）A.B.C. D. 233323例3如图，在平面直角坐标系中，有一正方形AOB C.反比例函数y ＝的图象经过正方形kx AOBC 对角线的交点，半径为4－2的圆内切于△ABC ，求k 的值.2【变式训练】1. 如图，⊙O 是以∠ACB 为直角的△ABC 的内切圆，切点分别是D ，E ，F .（1）填空：当_____________时，EF ∥AB （填上符合题目要求的一个条件即可）.（2）当EF ∥AB 时，设⊙O 的半径r ＝1，DE ，AC 的延长线交于点G ，求GF 的长.2. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，I 为△ABC 的内心，O 为BC 上一点，过B ，I 两点的⊙O 交BC 于点D ，tan ∠CBI ＝，AB ＝6.13（1）求线段BD 的长.（2）求线段BC 的长.【链接中考】1. △ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（）A ．120°B ．125°C ．135°D ．150°2. 一个钢管放在V 形架内， O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60︒，则OP =________.3. 如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙Ocm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm．4. . 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=16，点O 为△ABC 的内心，M 为斜边AB 的中点，求OM 的长【综合例题讲解】例1如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠CAB ＝α(定值)，⊙O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC ，BC 相切于点P ，Q .（1）求∠POQ 的度数(用含α的代数式表示).（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与⊙O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断∠DOE 的度数是否保持不变，并说明理由.（3）在（2）的条件下，如果AB ＝m(m 为已知数)，cos α＝，设AD ＝x ，DE ＝y ，求y35关于x 的函数表达式（并指出自变量x 的取值范围）.例2 在Rt △ABC ，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD ⊥AB 于点D ，以D 为坐标原点，CD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）若⊙O 1、⊙O 2分别为△ACD ，△BCD 的内切圆，求直线O 1O 2的函数表达式【课后作业】1. 如图，AB 是⊙O 的直径，CO ⊥AB ，CD 切⊙O 于D ，AD 交CO 于E.求证：CD ＝CE.2. 如图，⊙D 的半径为3，A 是⊙D 外一点，且AD ＝5，AB ，AC 分别与⊙D 相切于B ，C 两点，G 是上任意一点，过点G 作⊙D 的切线，交AB 于点E ，交AC 于点F .BC︵ （1）求△AEF 的周长.（2）当G 为线段AD 与⊙D 的交点时，连结CD ，求五边形DBEFC 的面积.3.如图，直线l 与⊙O 相交于A ，B 两点，且与半径OC 垂直，垂足为H ，已知AB ＝16cm ，cos ∠OBH ＝.45（1）求⊙O 的半径；（2）如果要将直线l 向下平移到与⊙O 相离的位置，平移的距离应满足什么条件？4. 如图①，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝6，AD ＝8.点P ，Q 同时从A 点出发，分别做匀速运动，其中点P 沿AB ，BC 向终点C 运动，速度为每秒2个单位，点Q 沿AD 向终点D 运动，速度为每秒1个单位．当这两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．设这两点运动了t 秒．（1）动点P 与Q 哪一点先到达终点？此时t 为何值？(直接写出结果)（2）当0＜t ＜2时，求证：以PQ 为直径的圆与AD 相切(如图②)．（3）以PQ 为直径的圆能否与CD 相切？若能，求出t 的值或取值范围；若不能，请说明理由．。
浙教版数学九年级下册_直棱柱的表面展开图
直棱柱的表面展开图立方体是常见的特殊的直四棱柱，下面我们以它为代表来复习直棱柱的表面展开图.一、知识要点1. 立方体的表面展开图(1)概念:将立方体沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，这样展开后的平面图形称为立方体的表面展开图.(2)类型:立方体的表面展开图共有11种不同的情形，可归纳为4种基本类型.① 1—4—1型，如图(1)～(6)，包括下列6种情形:(6)(5)(4)(3)(2)(1)说明:(a)每个图形都由三行组成，从上到下每行分别有1个，4个，1个小正方形；(b)以图(1)为基准，将第1行或第3行的小正方形左右平移即可得图(2)～(6)；(c)若两个图形可通过轴对称变换得到的，就认为是同一种情形，如图(甲)与图(乙)所示.② 1—3—2型，如图(7)～(9)，包括下列3种情形: (9)(8)(7)(乙)(甲)说明:每个图形都由三行组成，从上到下每行分别有1个，3个，2个小正方形；③2—2—2型，如图(10)，只有1种情形.说明:这个图形由三行组成，从上到下每行都有2个小正方形；④3—0—3型，如图(11)，只有1种情形.说明:这个图形可看作由三行组成，从上到下每行分别有3个，0个，3个小正方形，这样便于统一编写、记忆它们的型号.(3)注意点:①展开图的面与面之间必须以棱相连接，不能以顶点相连接；②行与行之间，不能同时有两对或两对以上的小正方形具有公共边；③有下列情形之一者，肯定不是立方体的表面展开图:(a)小正方形的个数不足6个或超过6 个; (b)行数是1行或超过3行(经旋转变换的图形除外)；(c)图中包含“田”字型部份；(d)整个图形呈“L ”字型.2.直棱柱的侧面展开图直棱柱的侧面展开图是由若干个长方形或正方形组合而成的，整个图形是一个长方形或正方形.3.直棱柱的表面积与侧面积计算直棱柱的表面积与侧面积，实质上就是利用长方形或正方形的面积公式进行面积计算.二、典例赏析例1 如图是某些多面体的平面展开图，说出这些多面体的名称.解:因为图(1)是由6个正方形组成的多面体的平面展开图，所以它是立方体；图(2)是由2个直角三角形，3个长方形组成的多面体的平面展开图，所以它是直三棱柱. (10)(11)析解:(1)根据平面展开图中所给图形的形状，先判断几何体的底面是什么图形，从而确定是哪一种多面体.(2) 如图，图(1)可看作由上述“1—3—2型”的基本图形(8)旋转变换而得.例2 如图是一个几何体的三视图，主视图与左视图是大小相同的长方形，俯视图是等边三角形.(1)任意画出它的一种表面展开图；(2)若长方形的长为10cm,等边三角形的边长为4cm,求这个几何体的表面积.解:(1) 如图是该几何体的一种表面展开图.(2)这个几何体的表面积为3×(10×4)+)24421(222-⨯⨯⨯ =120+83(cm 2).析解:整个图形是一个不规则的图形，不能直接利用公式来计算，可用分割法把它转化为规则图形的面积来计算.例3 如图甲，有一个棱长为10cm 的立方体盒子，在盒子底部A 处有一只蚂蚁，欲吃顶点C 1处的一粒熟米.问蚂蚁应沿什么路径爬行，才能在最短的间内吃到这粒熟米?求出蚂蚁爬行的最短路径长.解：如图乙，它是立方体盒子沿侧棱展开的平面图形之一. 观察图形，根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段AC 1爬行的路径最短，所用时间最短.在Rt △AB 1C 1中，AB 1=20cm ，B 1C 1=10cm.由勾股定理得AC 12=AB 12+B 1C 12=202+102=400+100=500,∴AC 1=105(cm).因此，蚂蚁沿着路径AC爬行，才能在最短的时间内吃到熟米，最短路径长1为105cm.析解：因为蚂蚁必须沿着立方体盒子的侧面爬行，所以要想在最短时间内吃两点不在同一个面内，须将它展开转到熟米，必须选择最短的路径.此时A、C1化为平面图形来解决.图乙是立方体盒子沿侧棱展开的平面图形之一.观察图形爬行的路径最短，所用时间最短.可知，蚂蚁沿线段AC1。
浙教版九下数学知识点归纳总结
浙教版九下数学知识点归纳总结一、二次函数1、二次函数的定义一般地，如果形如\（y ＝ax^2 ＋bx ＋c\）（＼（a\）、＼（b\）、＼（c\）是常数，＼（a ≠ 0\））的函数，叫做二次函数。
2、二次函数的图象二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线\（x ＝＼dfrac{b}｛2a}＼）。
当\（a ＞0\）时，抛物线开口向上，顶点坐标为\（＼left(＼dfrac{b}｛2a}，＼dfrac{4ac b^2}｛4a}＼right)＼），在对称轴左侧，＼（y\）随\（x\）的增大而减小；在对称轴右侧，＼（y\）随\（x\）的增大而增大。
当\（a ＜0\）时，抛物线开口向下，顶点坐标为\（＼left(＼dfrac{b}｛2a}，＼dfrac{4ac b^2}｛4a}＼right)＼），在对称轴左侧，＼（y\）随\（x\）的增大而增大；在对称轴右侧，＼（y\）随\（x\）的增大而减小。
3、二次函数的解析式（1）一般式：＼（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a\）、＼（b\）、＼（c\）为常数，＼（a ≠ 0\））（2）顶点式：＼（y ＝ a(x h)＾2 ＋ k\）（＼（a ≠ 0\），顶点坐标为\（（h, k)＼））（3）交点式：＼（y ＝ a(x x_1)（x x_2)＼）（＼（a ≠ 0\），＼（x_1\）、＼（x_2\）为抛物线与\（x\）轴交点的横坐标）4、二次函数的平移抛物线的平移实质上是它的顶点\（（h, k)＼）的移动（点的移动规律），遵循“上加下减，左加右减”的规律。
5、二次函数与一元二次方程的关系抛物线\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）与\（x\）轴的交点的横坐标\（x_1\）、＼（x_2\），就是一元二次方程\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0\）的根。
当\（＼Delta ＝ b^2 4ac ＞ 0\）时，抛物线与\（x\）轴有两个交点；当\（＼Delta ＝ b^2 4ac ＝ 0\）时，抛物线与\（x\）轴有一个交点；当\（＼Delta ＝ b^2 4ac ＜ 0\）时，抛物线与\（x\）轴没有交点。
九年级数学浙教版 知识点
九年级数学浙教版知识点学习数学是培养学生逻辑思维和解决问题能力的一种重要途径。
在九年级的数学学习中，我们将接触到许多重要的知识点，这些知识点将为我们打下坚实的数学基础。
本文将对九年级数学浙教版的知识点进行全面介绍。
1. 有理数有理数是我们学习数学的基础，它包括整数、正数、负数和分数。
在九年级的数学中，我们需要掌握有理数的加减乘除运算法则，以及有理数的比较大小。
2. 平方根与立方根平方根和立方根是数学中的重要概念。
平方根是指一个数的平方等于它本身的非负数，而立方根是指一个数的立方等于它本身的数。
在学习中，我们需要熟练掌握平方根和立方根的计算方法和特性。
3. 直角三角形直角三角形是由一个直角和两个锐角组成的三角形。
在九年级数学中，我们需要了解直角三角形的性质，如勾股定理和正弦定理、余弦定理等，以及应用这些定理解决实际问题。
4. 平行线与比例平行线和比例是九年级数学中常见的概念。
平行线是指在同一个平面内永不相交的直线，比例则是指两个有相等比例的数之间的关系。
我们需要学习平行线的判定方法，以及比例的计算和应用。
5. 多边形的面积与体积多边形的面积与体积是九年级数学学习的重点。
我们需要学习计算各种不规则多边形的面积，并了解立体图形的体积计算方法，如长方体、正方体等。
6. 几何变换几何变换是九年级数学中的一项重要内容。
它包括平移、旋转、翻转和对称等操作。
我们需要学习几何变换的定义、性质以及应用，能够通过几何变换解决与图形位置和形状相关的问题。
7. 数据统计与概率数据统计与概率是数学中的一门应用学科，它与实际生活密切相关。
我们需要学习数据的收集、整理和分析方法，以及概率的计算和应用。
通过对以上九年级数学浙教版的知识点的学习，我们将能够掌握数学的基本概念、方法和技巧，培养我们的逻辑思维和解决问题的能力。
希望同学们在九年级的数学学习中能够努力学习，取得优异成绩！。
浙教版九年级数学期末知识点归纳
浙教版九年级数学期末知识点归纳数学是一门需要逻辑思维和严密推理的学科，掌握好数学的基本知识点对于学生来说至关重要。
九年级是初中数学的最后一年，学生将会接触到更多复杂的数学知识，为了帮助同学们复习数学，并提供一些学习方法，本文将对浙教版九年级数学期末的知识点进行归纳和总结。
1. 整式与分式- 整式是指由常数项和各种代数式通过加、减、乘、除以及乘方运算符号组成的代数式。
- 分式是指一个整式的书写形式，包括有理数的除法以及多项式的分式形式。
- 在处理整式与分式运算时，需要掌握整式的化简与展开，以及分式的约分与通分。
2. 一次函数与二次函数- 一次函数是指函数的最高次数为1的函数，其函数图像在坐标平面上表现为一条直线。
- 二次函数是指函数的最高次数为2的函数，其函数图像在坐标平面上通常表现为抛物线的形状。
- 在学习一次函数与二次函数时，需要掌握对函数图像的解读，如判断函数的增减性、奇偶性和平移、翻折等操作。
3. 平面直角坐标系与点、线、面- 平面直角坐标系是二维空间中最常见的坐标系，用来表示平面上的点和进行几何运算。
- 点是平面上没有延伸的位置，用坐标表示，可以通过坐标计算点之间的距离、斜率等。
- 线是由无数个点组成，有直线和曲线之分，可以通过斜率等运算进行分析。
- 面是由无数个线构成的，可以通过面积、角度等属性进行研究。
4. 几何运算与三角形- 几何运算是指对点、线、面进行运算，例如线段的延长、平行、垂直等运算，以及面的切割和合并运算。
- 三角形是平面上由三条边和三个顶点组成的一种特殊图形，有不同的分类和性质。
- 在进行几何运算和研究三角形时，需要掌握一些重要的定理，如勾股定理和正弦、余弦、正切定理等。
5. 概率与统计- 概率是一种用于描述事件发生可能性的数学方法，涉及到试验、样本空间、事件和概率值等概念。
- 统计是一种对数据进行收集、整理、分析和解读的方法，包括数据图表的制作和数据指标的计算等内容。
最新浙教版九年级数学下册教学课件全册
第1章 解直角三角形 1.1 锐角三角函数
1.1 锐角三角函数（1）
锐角三角函数的定义
直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，你能 说出各条边的名称吗？
B
斜边 c
对边 a
┓┓
A
C
邻边 b
实际问题
某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为7m， 扶梯的长度是多少?
作业
1.计算：(1)tan450-sin300; (2)cos600+sin450-tan300;
36 tan2 300 3 sin 600 2 cos 450.
2.如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直 于两岸.桥长12m,在C处看桥两端A,B,夹 角∠BCA=600. 求B,C间的距离(结果精确到1m).
提示
1．sinA，cosA，tanA 是在直角三角形中定义的， ∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)．
2．sinA， cosA，tanA 是一个比值（数值）． 3．sinA， cosA， tanA 的大小只与∠A的大小有 关，而与直角三角形的边长无关．
小练习
1、如图1，在Rt△MNP中，∠N＝90゜. ∠P的对边是_________,∠P的邻边是___________; ∠M的对边是________,∠M的邻边是___________;
1 2
(C) 小于 3
2
(B)大于
1 2
(D)大于 3
2
☆ 应用练习 1.已知角，求值 2.已知值，求角 3. 确定值的范围 4. 确定角的范围
确定角的范围
3. 当∠A为锐角，且tan A的 值大于 3 时，∠A（ B ）
3
(A)小于30° (B)大于30°
浙教版初三数学知识点整理
第一章反比例函数 知识点：1.定义：形如y ＝x k（k 为常数，k ≠0）的函数称为反比例函数。
其中x是自变量，y 是函数，自变量x 的取值是不等于0的一切实数。
说明：1）y 的取值范围是一切非零的实数。
2）反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数，因此其解析式也可以写成xy=k ；1-=kx y ；xk y 1=（k 为常数，k ≠0） 3）反比例函数y ＝xk （k 为常数，k ≠0）的左边是函数，右边是分母为自变量x 的分式，也就是说，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式，如x y 1=，x y 213=等都是反比例函数， 但21+=x y 就不是关于x 的反比例函数。
2. 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数y ＝xk 只有一个待定系数，因此只需要知道一组对应值，就可以求出k 的值，从而确定其解析式。
3. 反比例函数的画法：1）列表；2）描点；3）连线注：（1）列表取值时，x ≠0，因为x ＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴4. 图像：反比例函数的图像属于双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x 和 y= －x ；对称中心是：原点5. 性质:说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。
2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x 轴、y 轴，但与x 轴、y 轴没有交点。
3）越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直． 越小，图象的弯曲度越大．4）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．6. 反比例函数y ＝xk （k ≠0）中的比例系数k 的几何意义表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
浙教版九下数学知识点归纳总结
浙教版九下数学知识点归纳总结第一章分式方程与分式不等式1.1分式的定义与性质-分式的定义：分式是由整式（多项式）与非零常数的商组成的表达式。
-分式的性质：分式一般可化简为最简形式。
分式的最简形式是指分子与分母之间互质，即它们没有公共因子。
1.2分式方程-分式方程的定义：含有未知数的分式等式称为分式方程。
-分式方程的解：使分式方程成立的未知数的值称为分式方程的解。
-分式方程的求解步骤：通常使用消元法，将含有未知数的分式方程转化为整式（多项式）方程。
1.3分式不等式-分式不等式的定义：分式的大小关系称为分式不等式。
-分式不等式的解集：分式不等式的解集就是满足分式不等式的所有实数。
1.4解分式方程与分式不等式的方法-满足分式等式条件且在分母非零的定义域内的解即是方程的解。
-解分式不等式的方法：找出使分式不等式的分子或分母变号的点，然后根据各个变号的区间来确定不等式的解集。
第二章几何与立体几何2.1角-角的定义：角是由两条相交的射线或线段所围成的图形。
-角的分类：按角的大小可以分为锐角、直角、钝角和平角。
-角的度量：利用角度表示角的大小，以度（°）为单位。
2.2三角形的性质与判定-三角形的性质：三角形的内角和等于180°。
-三角形的判定：根据边长和角度的关系可以判断三角形的类型，如等腰三角形、直角三角形等。
2.3相似三角形-相似三角形的定义：具有对应角相等且对应边成比例的两个三角形称为相似三角形。
-相似三角形的判定：三角形对应角相等即可判断它们相似。
-相似三角形的性质：两个相似三角形的对应边长之比等于对应边长之比的绝对值。
2.4平行线与比例-平行线与比例的定义：平行线的概念是指在同一平面内，不相交的两直线，它们的每一对相对线上的点的终点分别平行连接，这样的直线称为平行线。
比例是指两个有序线段长度的比值。
-平行线的性质：平行线的对应角相等，平行线与截线的交角为内错角；同位角相等，内错角互补；与平行线相交的两直线任意一对同位角互补。
九年级数学 浙教知识点
九年级数学浙教知识点九年级数学是中学数学的重要阶段，其中浙教知识点作为数学学科的重要内容之一，对于学生的学习至关重要。
下面将介绍九年级数学中的一些浙教知识点。
一、整式与分式整式是指只包含加、减、乘、常数的有理式，如多项式以及其运算。
分式是指包含有分数形式的有理式，其中含有分母。
九年级学生需要掌握整式的加减乘除运算和因式分解，以及分式的简化、加减乘除运算等。
二、数与式数与式是九年级数学的基础知识，包括正负数，数的运算，数的性质等。
九年级学生需要熟练掌握正负数的加减乘除运算规则，以及解决实际问题中的应用。
三、平方根与立方根平方根是指一个数的平方等于它本身的非负数，立方根是指一个数的立方等于它本身的数。
九年级学生需要学会求解平方根和立方根，并灵活运用于解决实际问题。
四、一元一次方程与不等式一元一次方程是指一个未知数的最高次数为一次的方程，不等式是指含有不等号的方程。
九年级学生需要学会解一元一次方程和不等式，并能应用于实际问题中求解。
五、二次根式与二次方程二次根式是指含有二次根号的根式，二次方程是指未知数的最高次数为二次的方程。
九年级学生需要学会化简和计算二次根式，以及解二次方程的方法和应用。
六、函数函数是数学中的重要概念，描述变化关系的规律性。
九年级学生需要学会函数的表示方法，函数的性质和图像特征，并能灵活应用于实际问题中。
七、统计与概率统计与概率是数学中的应用部分，包括数据的收集整理和统计分析，以及事件的概率计算等内容。
九年级学生需要学会统计图表的制作和分析，以及概率计算的方法和应用。
综上所述，九年级数学中的浙教知识点包括整式与分式、数与式、平方根与立方根、一元一次方程与不等式、二次根式与二次方程、函数以及统计与概率等内容。
学生需要系统地学习这些知识点，并能够在解题过程中熟练应用。
通过对浙教知识点的掌握，九年级学生将能够更好地理解数学的本质和应用，提高解决实际问题的能力。
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九年级（下册）
1.解直角三角形
1.1.锐角三角函数
锐角a的正弦、余弦和正切统称∠a的三角函数。
如果∠a是Rt△ABC的一个锐角，则有
;
t
;
c
;
sin
的邻边
的对边
斜边
的邻边
斜边
的对边
A
A
anA
A
osA
A
A
∠
∠
=
∠
=
∠
=
1.2.锐角三角函数的计算
1.3.解直角三角形
在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。
2.直线与圆的位置关系
2.1.直线与圆的位置关系
当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交；当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，公共点叫做切点；当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。
直线与圆的位置关系有以下定理：
相离；直线与相切；
直线与相交；
直线与，那么，
的距离为到直线，圆心的半径为如果O ⊙r d O ⊙r d O ⊙r d d l O r O ⊙⇔>⇔=⇔<
直线与圆相切的判定定理：
经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。
圆的切线性质：
经过切点的半径垂直于圆的切线。
2.2. 切线长定理
从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长。
切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等。
2.3. 三角形的内切圆
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。
三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点。
3. 三视图与表面展开图
3.1. 投影 物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影。
光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。
由平行的投射线所形成的投射叫做平行投影。
可以把太阳光线、探照灯的光线看成平行光线，它们所形成的投影就是平行投影。
3.2.简单几何体的三视图
物体在正投影面上的正投影叫做主视图，在水平投影面上的正投影叫做俯视图，在侧投影面上的正投影叫做左视图。
主视图、左视图和俯视图合称三视图。
产生主视图的投影线方向也叫做主视方向。
3.3.由三视图描述几何体
三视图不仅反映了物体的形状，而且反映了各个方向的尺寸大小。
3.4.简单几何体的表面展开图
将几何体沿着某些棱“剪开”，并使各个面连在一起，铺平所得到的平面图形称为几何体的表面展开图。
圆柱可以看做由一个矩形ABCD绕它的一条边BC旋转一周，其余各边所成的面围成的几何体。
AB、CD旋转所成的面就是圆柱的两个底面，是两个半径相同的圆。
AD旋转所成的面就是圆柱的侧面，AD不论转动到哪个位置，都是圆柱的母线。
圆锥可以看做将一根直角三角形ACB绕它的一条直角边(AC)旋转一周，它的其余各边所成的面围成的一个几何体。
直角边BC旋转所成的面就是圆锥的底面，斜边AB旋转所成的面就是圆锥的侧面，斜边AB不论转动到哪个位置，都叫做圆锥的母线。
一个底面半径为r，母线长为l的圆锥，它的侧面展开图是一个半径为母线长l，弧长为底面圆周长r 2的扇形，由此得到的圆锥的侧面积和全面积公式为：
；；
全侧rl r S rl S πππ+==2
若设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为θ，则由r l o πθ
π2180=，得到
圆锥侧面展开图扇形的圆心角度数的计算公式：
o l 360r
⋅=θ。