【浙教版】九年级下册数学 全册精品PDF资料 (合集)
最新浙教版九年级数学下册专题训练资料(全册 共7个专题 附解析 共79页)
最新浙教版九年级数学下册专题训练资料（全册共7个专题附解析共79页）目录专题1 二次函数专题2 简单事件的概率专题3 圆的基本性质专题4 相似三角形专题5 解直角三角形专题6 直线与圆的位置关系专题7 三视图与表面展开图专题1 二次函数题型一二次函数的图象和性质例 1 对于抛物线y＝－x2＋2x＋3，有下列四个结论：①它的对称轴为x＝1；②它的顶点坐标为(1，4)；③它与y轴的交点坐标为(0，3)，与x轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)；④当x＞0时，y随x的增大而减小．其中正确的个数为( C )A．1 B．2 C．3 D．4【解析】①对称轴为x＝－b2a＝－22³（－1）＝1，∴①正确；②y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴它的顶点坐标为(1，4)，∴②正确；③y＝－x2＋2x＋3，当x＝0时，y＝3，当y ＝0时，－x2＋2x＋3＝0，x1＝－1，x2＝3，∴y＝－x2＋2x＋3与y轴的交点坐标为(0，3)，与x轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)，∴③正确；④∵a＝－1＜0，∴当x＞1时，y随x 的增大而减小，∴④错误．故正确的选项有①②③三个．【点悟】二次函数的性质，常常从对称轴、顶点坐标、最大值(最小值)，增减性等角度分析．变式跟进1．小张同学说出了二次函数的两个条件：(1)当x＜1时，y随x的增大而增大；(2)函数图象经过点(－2，4)．则符合条件的二次函数表达式可以是( D )A．y＝－(x－1)2－5 B．y＝2(x－1)2－14C．y＝－(x＋1)2＋5 D．y＝－(x－2)2＋202．求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x轴的交点坐标．(1)y＝4x2＋24x＋35；(2)y＝－3x2＋6x＋2；(3)y＝x2－x＋3；(4)y＝2x2＋12x＋18.解：(1)∵y＝4x2＋24x＋35，∴对称轴是直线x＝－3，顶点坐标是(－3，－1)，解方程4x 2＋24x ＋35＝0，得x 1＝－52，x 2＝－72，故它与x 轴交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，0；(2)∵y ＝－3x 2＋6x ＋2，∴对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，5)， 解方程－3x 2＋6x ＋2＝0， 得x 1＝1＋153，x 2＝1－153， 故它与x 轴的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋153，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－153，0； (3)∵y ＝x 2－x ＋3，∴对称轴是直线x ＝12，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，114，解方程x 2－x ＋3＝0，无解，故它与x 轴没有交点； (4)∵y ＝2x 2＋12x ＋18，∴对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，0)， 当y ＝0时，2x 2＋12x ＋18＝0，∴x 1＝x 2＝－3， ∴它与x 轴的交点坐标是(－3，0)．题型二 二次函数的平移例 2 将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线表达式为( C ) A ．y ＝－2(x ＋1)2B ．y ＝－2(x ＋1)2＋2 C ．y ＝－2(x －1)2＋2D ．y ＝－2(x －1)2＋1【点悟】 二次函数图象的平移实质上是顶点位置的变化，只要确定平移前、后的顶点坐标，就可以确定抛物线的平移规律．变式跟进3．将抛物线y ＝2x 2＋4x －5的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线表达式是( C ) A ．y ＝2(x ＋1)2－7 B ．y ＝2(x ＋1)2－6 C ．y ＝2(x ＋3)2－6D ．y ＝2(x －1)2－6题型三 二次函数与一元二次方程和不等式的关系例 3 [2016²宁夏]若二次函数y ＝x 2－2x ＋m 的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是__m ＜1__．【解析】 ∵二次函数y ＝x 2－2x ＋m 的图象与x 轴有两个交点，∴Δ＞0，∴4－4m ＞0，∴m ＜1.【点悟】 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的交点的横坐标x 1，x 2，就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，判断抛物线与x 轴是否有交点，只要判断b 2－4ac 与0的大小即可．变式跟进4．已知二次函数y ＝x 2－2x ＋m (m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(－1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0的两个实数根是( D ) A ．x 1＝1，x 2＝2 B ．x 1＝1，x 2＝3 C ．x 1＝－1，x 2＝2D ．x 1＝－1，x 2＝3【解析】 二次函数y ＝x 2－2x ＋m (m 为常数)的对称轴是x ＝1，(－1，0)关于x ＝1的对称点是(3，0)．则一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0的两个实数根是x 1＝－1，x 2＝3.5．[2017²高邮二模]如图1，二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y 2＝kx 的图象交于点A 和原点O ，点A 的横坐标为－4，点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是__－4＜x ＜－3__．图1 第5题答图【解析】 如答图所示，∵点A 的横坐标为－4，点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为x ＝－32，∵二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y 2＝kx的图象交于点A 和原点O ，∴C 点坐标为(－3，0)，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是－4＜x ＜－3.题型四 二次函数的图象与系数之间的关系例 4 如图2，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于点A (－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝1.下列结论：①abc ＞0； ②4a ＋2b ＋c ＞0；③4ac －b 2＜8a ； ④13＜a ＜23； ⑤b ＞c .其中含所有正确结论的选项是( D )图2A ．①③B ．①③④C ．②④⑤D ．①③④⑤【解析】 ①∵函数开口方向向上，∴a ＞0，∵对称轴在原点右侧，∴ab 异号，∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确；②∵图象与x 轴交于点A (－1，0)，对称轴为直线x ＝1，∴图象与x 轴的另一个交点为(3，0)，∴当x ＝2时，y ＜0，∴4a ＋2b ＋c ＜0，故②错误；③∵图象与x 轴交于点A (－1，0)，∴当x ＝－1时，y ＝(－1)2a ＋b ³(－1)＋c ＝0，∴a －b ＋c ＝0，即a ＝b －c ，c ＝b －a ，∵对称轴为直线x ＝1，∴－b2a ＝1，即b ＝－2a ，∴c ＝b －a＝(－2a )－a ＝－3a ，∴4ac －b 2＝4a (－3a )－(－2a )2＝－16a 2＜0.∵8a ＞0，∴4ac －b 2＜8a ，故③正确；④∵图象与y 轴的交点B 在(0，－2)和(0，－1)之间，∴－2＜c ＜－1，∴－2＜－3a ＜－1，∴23＞a ＞13，故④正确； ⑤∵a ＞0，∴b －c ＞0，即b ＞c ，故⑤正确．【点悟】 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；|a |还可以决定开口大小，|a |越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时(即ab ＞0)，对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时(即ab ＜0)，对称轴在y 轴右侧(简称：左同右异)．③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于(0，c )．变式跟进6．[2016²孝感]如图3是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n )，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c >0； ②3a ＋b ＝0； ③b 2＝4a (c －n )； ④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是( C )图3A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(－2，0)和(－1，0)之间．∴当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，∴①正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a ＝1，即b ＝－2a ，∴3a ＋b ＝3a －2a ＝a ，∴②错误；∵抛物线的顶点坐标为(1，n )，∴4ac －b 24a ＝n ，∴b 2＝4ac －4an ＝4a (c －n )，∴③正确；∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，∴抛物线与直线y ＝n －1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根，∴④正确．题型五 二次函数的实际应用例 5 [2016²潍坊]旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x (元)是5的倍数，发现每天的运营规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出；当x 超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1 100元． (1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)(2)当每辆车的日租金为多少时，每天的净收入最多？解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0≤x ≤100，由50x －1 100＞0，解得x ＞22， ∵x 是5的倍数，∴每辆车的日租金至少为25元；(2)设每天的净收入为y 元，当0≤x ≤100时，y 1＝50x －1 100，∵y 1随x 的增大而增大，∴当x ＝100时，y 1的最大值为50³100－1 100＝3 900.当x ＞100时，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫50－x －1005x －1 100＝－15x 2＋70x －1 100＝－15(x －175)2＋5 025. 当x ＝175时，y 2的最大值是5 025，∵5 025＞3 900，∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多，最多收入是5 025元．【点悟】 应用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的最大值(或最小值)．解题时，要先根据题目提供的条件确定函数关系式，并将它配成顶点式，y ＝a (x －h )2＋k ，再根据二次函数的性质确定最大值或最小值．变式跟进7．[2016²杭州]把一个足球垂直水平地面向上踢，时间t (s)与该足球距离地面的高度h (m)适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)． (1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度； (2)当足球距离地面的高度为10 m 时，求t 的值；(3)若存在实数t 1，t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (m)，求m 的取值范围．解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝15(m)， ∴此时足球离地面的高度为15 m ； (2)∵h ＝10，∴20t －5t 2＝10，即t 2－4t ＋2＝0，解得t ＝2＋2或t ＝2－2，∴经过2＋2或2－ 2 s 时，足球距离地面的高度为10 m ；(3)∵m ≥0，由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m 的两个不相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝202－20m ＞0，解得m ＜20， ∴m 的取值范围是0≤m ＜20.题型六 二次函数的综合题例 6 [2017²浙江月考]如图4，抛物线C 1：y ＝－3x 2＋23x 的顶点为A ，与x 轴的正半轴交于点B .(1)将抛物线C 1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的表达式；(2)将抛物线C 1上的点(x ，y )变为(kx ，ky )(|k |＞1)，变换后得到的抛物线记作C 2，抛物线C 2的顶点为C ，求抛物线C 2的表达式(用k 表示)；(3)在(2)条件下，点P 在抛物线C 2上，满足S △PAC ＝S △ABC ，且∠ACP ＝90°.当k ＞1时，求k的值．图4 例6答图解：(1)∵y ＝－3x 2＋23x ＝－3(x －1)2＋3， ∴抛物线C 1经过原点O ，点A (1，3)和点B (2，0)三点， ∵将抛物线C 1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍， ∴变换后的抛物线经过原点O ，(2，23)和(4，0)三点．设变换后抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ，将(2，23)和(4，0)代入， 得⎩⎨⎧4a ＋2b ＝23，16a ＋4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝23， ∴变换后抛物线的表达式为y ＝－32x 2＋23x ； (2)∵抛物线C 1经过原点O ，点A (1，3)和点B (2，0)三点，将抛物线C 1上的点(x ，y )变为(kx ，ky )(|k |＞1)，变换后得到的抛物线记作C 2，则抛物线C 2过原点O ，(k ，3k )，(2k ，0)三点， ∴抛物线C 2的表达式为y ＝－3kx 2＋23x ；(3)∵y ＝－3kx 2＋23x ＝－3k(x －k )2＋3k ，∴O ，A ，C 三点共线，且顶点C 为(k ，3k )． 如答图，∵S △PAC ＝S △ABC ，k ＞1，∴BP ∥AC ， 过点P 作PD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥AO 于E .由题意知△ABO 是边长为2的正三角形，四边形CEBP 是矩形， ∴OE ＝1，CE ＝BP ＝2k －1，∵∠PBD ＝60°， ∴BD ＝k －12，PD ＝32(2k －1)，∴P ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k ＋32，32（2k －1），∴32(2k －1)＝－3k ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋322＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋32，解得k ＝92. 变式跟进8．[2017²诸城校级月考]如图5，在矩形OABC 中，OA ＝5，AB ＝4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．图5(1)求OE 的长；(2)求经过O ，D ，C 三点的抛物线的表达式；(3)一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为t s ，当t 为何值时，DP ＝DQ .解：(1)∵CE ＝CB ＝5，CO ＝AB ＝4， ∴在Rt △COE 中，OE ＝CE 2－CO 2＝52－42＝3；(2)设AD ＝m ，则DE ＝BD ＝4－m ， ∵OE ＝3，∴AE ＝5－3＝2，在Rt △ADE 中，由勾股定理可得AD 2＋AE 2＝DE 2，即m 2＋22＝(4－m )2，解得m ＝32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－5，∵C (－4，0)，O (0，0)， ∴设过O ，D ，C 三点的抛物线为y ＝ax (x ＋4)， ∴－5＝－32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋4，解得a ＝43，∴抛物线表达式为y ＝43x (x ＋4)＝43x 2＋163x ；(3)∵CP ＝2t ，∴BP ＝5－2t ，由折叠的性质，得BD ＝DE ＝52，在Rt △DBP 和Rt △DEQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧DP ＝DQ ，BD ＝ED ，∴Rt △DBP ≌Rt △DEQ (HL )，∴BP ＝EQ ，∴5－2t ＝t ，∴t ＝53.过关训练1．已知，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图1所示，则以下说法不正确的是( C )图1A ．根据图象可得该函数y 有最小值B ．当x ＝－2时，函数y 的值小于0C ．根据图象可得a ＞0，b ＜0D ．当x ＜－1时，函数值y 随着x 的增大而减小【解析】 由图象可知：A.抛物线开口向上，该函数y 有最小值，此选项正确；B.当x ＝－2时，图象在x 轴的下方，函数值小于0，此选项正确；C.对称轴为x ＝－1，a ＞0，则b ＞0，此选项错误；D.当x ＜－1时，y 随x 的增大而减小，此选项正确．2．抛物线y ＝(x ＋2)2－1可以由抛物线y ＝x 2平移得到，下列平移方法中正确的是( B ) A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【解析】 ∵函数y ＝x 2的图象沿x 轴向左平移2个单位长度，得y ＝(x ＋2)2；然后y 轴向下平移1个单位长度，得y ＝(x ＋2)2－1，故选B.3．一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( C )A B C D4．如图2，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A(－1，0)，其对称轴为直线x＝1，下列结论中正确的是( D )图2A．abc＞0 B．2a－b＝0C．4a＋2b＋c＜0 D．9a＋3b＋c＝0【解析】∵抛物线的开口向下，则a＜0，对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，图象与y轴交于正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0；∵对称轴为x＝1，∴－b2a＝1，∴－b＝2a，∴2a＋b＝0；当x＝2时，4a＋2b＋c＞0；当x＝3时，9a＋3b＋c＝0.5．已知二次函数y＝3x2＋36x＋81.(1)写出它的顶点坐标；(2)当x取何值时，y随x的增大而增大；(3)求出图象与x轴的交点坐标；(4)当x取何值时，y有最小值，并求出最小值；(5)当x取何值时，y＜0.解：(1)∵y＝3x2＋36x＋81＝3(x＋6)2－27，∴顶点坐标为(－6，－27)；(2)∵抛物线的对称轴为x＝－6，且抛物线的开口向上，∴当x＞－6时，y随x的增大而增大；(3)当3x2＋36x＋81＝0时，得x1＝－3，x2＝－9，∴该函数图象与x轴的交点为(－9，0)，(－3，0)；(4)∵抛物线的顶点坐标为(－6，－27)，∴当x ＝－6时，y 有最小值，最小值为－27；(5)∵该函数图象与x 轴的交点为(－9，0)，(－3，0)，且抛物线的开口向上， ∴当－9＜x ＜－3时，y ＜0.6．已知二次函数的图象以A (－1，4)为顶点，且过点B (2，－5)．(1)求该二次函数的表达式；(2)求该二次函数图象与y 轴的交点坐标．解：(1)由顶点A (－1，4)，可设二次函数关系式为y ＝a (x ＋1)2＋4(a ≠0)． ∵二次函数的图象过点B (2，－5)，∴－5＝a (2＋1)2＋4，解得a ＝－1.∴二次函数的关系式是y ＝－(x ＋1)2＋4；(2)令x ＝0，则y ＝－(0＋1)2＋4＝3，∴图象与y 轴的交点坐标为(0，3)．7．如图3，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点．图3(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；(2)当0＜x ＜3时，求y 的取值范围；(3)点P 为抛物线上一点，若S △PAB ＝10，求出此时点P 的坐标．解：(1)把A (－1，0)，B (3，0)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3， ∴抛物线表达式为y ＝x 2－2x －3.∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴顶点坐标为(1，－4)；(2)由图可得当0＜x ＜3时，－4≤y ＜0；。
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若AC=5呢?
A
C
取宝物比赛
10m
10m
（1）
1m
5m
（2）
B
∠A的对边
sinA
斜边
斜边
∠A的对边 cosA
∠A的邻边 斜边
A
∠A的邻边
C
tanA
∠A的对边 ∠A的邻边
下课了！
锐角三角函数
B
∠A的对边
sinA
斜边
斜边
∠A的对边 cosA
∠A的邻边 斜边
A
∠A的邻边
C
tanA
∠A的对边 ∠A的邻边
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
水平宽度
梯子在上升变陡的过程中，倾 斜角，铅直高度与梯子的比,水 平宽度与梯子的比,铅直高度与 水平宽度的比,都发生了什么变 化？
铅 直 高 度
水平宽度
cos 60 a 1
2a 2
60°
tan 60 3a 3 a
设两条直角边长为a，则斜边长＝ a2 a2 2a
sin 45 a 2 2a 2
cos 45 a 2
45°
2a 2
tan 45 a 1 a
仔细观察,说说你发现 30°、45°、60°角的正弦值、余这弦值张和表正有切哪值些如下规表律：?
你想知道小明怎样 算出的吗？
?
1.65米
30°
10米
例3 (1)如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AB= 6 ,BC= 3 。求∠A的度 数。
(2)如图,已3知圆锥的高AO等于圆锥的底面半
浙教版九年级(下)数学教学内容整理
第一章 解直角三角形1、锐角三角函数（1）锐角A 的对边与斜边 的比叫做A 的正弦，记作A sin ；c aA A =∠=斜边的对边sin（2）锐角A 的邻边与斜边 的比叫做A 的余弦，记作A cos ；c bA A =∠=斜边的邻边cos（3）锐角A 的对边与邻边 的比叫做A 的正切，记作A tan ；baA A A =∠∠=的邻边的对边tan特殊的三角函数值若090=∠+∠B A ，则B A cos sin =，即)90cos(sin 0A A -=；B A sin cos =，即)90sin(cos 0A A -=； BA t a n 1t a n =正切与正余弦之间的关系： AAA cos sin tan =同角的正余弦关系：1cos sin 22=+A A2、有关三角函数的计算用计算器求相应的三角函数的值 3、解直角三角形概念：在直角三角形中，除了直角外的5个元素，只要知道其中的2个元素（至少要有一个是边），求其它3个元素的过程叫解直角三角形。
依据：（1）三边间的关系：勾股定理222c b a =+ （2）锐角间的关系：090=∠+∠B A ；（3）边角间的关系：c a A =sin ，c b A =cos ，b aA =tan ；（4）面积公式：ch ab S ABC 2121==∆ 直角三角形可解的条件及可直接解的直角三角形的解（1） 已知两边或已知一边及一锐角，则此三角形可解，即在已知的两个条件中，至少有一个是边。
（2） 可直接解求解的直角三角形分为以下四种情况：① 已知两条直角边a ，b 其解法为22b a c +=，由ba A =tan 得A ∠，A B ∠-=∠090. ② 已知斜边和一直角边（如a ）其解法为22a c b -=，由ca A =sin 得A ∠，A B ∠-=∠090. ③ 已知一直角边和一锐角（如a ，A ∠）其解法为A B ∠-=∠090，A a b tan =，22b a c +=或Aa c sin =④ 已知斜边和一锐角（如c 和A ∠）其解法为A B ∠-=∠090，A c a sin ∙=，B c b sin ∙=或22a c b -=不可解直角三角形的解法除直角外已知的两个元素（至少有一个是边）的直角三角形都是可解的直角三角形，对于不可角的三角形，通常借助于解方程的思想求解。
(完整版)浙教版九年级数学下册第二章
2.1【知识梳理1：切线的判定】1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线2. 切线判定的三种方法：（1）和圆只有一个公共点的直线（2）圆心到直线的距离等于圆的半径的直线（3）切线判定定理例题讲解例1 下列说法中，不正确的是（）A.与圆只有一个交点的直线是圆的切线B.经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线C.与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线D.垂直于半径的直线是圆的切线例2 如图，AB是⊙O的直径，下列条件中，不能判定直线AT是⊙O的切线的是（）A. AB＝4，AT＝3，BT＝5B. ∠B＝45°，AB＝ATC. ∠B＝55°，∠TAC＝55°D. ∠ATC＝∠B第2题 第3题例3 如图，已知AB是⊙O的弦，半径OC经过AB的中点D，CE∥AB，点F在⊙O上，eA. ∠F ＝∠AOCB. AB ⊥BFC. CE 是⊙O 的切线D. ＝12AC ︵ BC ︵例4如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB 与CD 交于点E ，CE ＝DE ，过点B 作BF ∥CD ，交AC 的延长线于点F ，求证：BF 是⊙O 的切线.【变式训练】1. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A.点(0，3)B.点(2，3)C.点(5，1)D.点(6，1)(第1题) (第2题)2. 如图，已知∠ABC ＝90°，O 为射线BC 上一点.以点O 为圆心，BO 长为半径作⊙O .当12射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转______________(不超过360°)时与⊙O 相切.3. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，以对角线BD 为直径作⊙O ，分别与BC ，AD 交于点E ，F .（1）求证：四边形BEDF 为矩形.（2）若BD 2＝BE ·BC ，试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由.4. 如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，OD⊥AB于点D.以点O为圆心，OD长为半径的圆交OA于点E，在BA上截取BC＝OB，连结CE.求证：CE是⊙O的切线.5. 如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上(不与点A，B重合)，AD⊥C D.（1）若BC＝3，AB＝5，求AC的长.（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线.【知识梳理2：切线的性质】1. 切线的性质：经过切点的半径垂直于切线2. 只要知道以下其中两个性质就可以推出第三个：①过圆心；②过切点；③垂直于切线例题讲解例1 如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，且BC=OB，CD切⊙O于点D.则∠A=（）Ath A. 15° B. 30° C. 60° D. 75°第1题第2题例2 如图，以点O 为圆心的两个圆中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，OA 交小圆于点D.若OD ＝2，tan ∠OAB ＝，则AB 的长是（）12A. 4B. 2C. 8D. 433例3 如图，AB 为⊙O 的直径，PQ 切⊙O 于点T，连结AT ，AC ⊥PQ 于点C ，交⊙O 于点D.（1）求证：AT 平分∠BA C.（2）若AO ＝2，AT ＝2 ，求AC 的长.3例4如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝8，O 是斜边AB 上一点，以点O 为圆心的⊙O 分别与AC ，BC 相切于点D ，E .（1）当AC ＝2时，求⊙O 的半径.（2）设AC ＝x ，⊙O 的半径为y ，求y 关于x 的函数表达式.thd【变式训练】1. 如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连结A C.若∠A＝30°，PC＝3，则BP的长为_________.第1题第2题2. 如图，半圆O与等腰直角三角形ABC的两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG 在AB上.若BG＝－1，则△ABC的周长为__________23. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A. B. C. D. 21339243135第3题 第4题4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4 .若动点D在线段AC上(不与3点A，C重合)运动，过点D作DE⊥AC交AB边于点E.（1）当点D运动到线段AC的中点时，DE＝___________.（2）若点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE＝__________时，⊙C与直线AB相切.5. 如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，F是DA延长线上的一点，AC平分∠FAB 交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为E.（1）求证：CE是⊙O的切线.（2）若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径.6. 如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D，A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB的延长线交于点E.（1）求证：∠1＝∠2.（2）若OF∶OB＝1∶3，⊙O的半径为3，求AG的长.【综合例题讲解】例1如图，公路MN 与公路PQ 在点P 处交会，且QPN ＝30°，在点A 处有一所中学，AP ＝160 m.假设拖拉机行驶时，周围100 m 以内会受噪音影响，那么拖拉机在公路交会处沿PN 方向行驶时，学校是否会受噪音影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，且已知拖拉机的速度为18 km/h ，则学校受影响的时间为多少秒？例2如图，在平面直角坐标系中，原点为O ，点A 的坐标为(4，0)，点B 的坐标为(－1，0)，以AB 的中点P 为圆心，AB 长为直径作⊙P 交y 轴正半轴于点C.（1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线所对应的函数表达式.（2）设M 为(1)中抛物线的顶点，求直线MC 对应的函数表达式.（3）试说明直线MC 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论.【变式训练】1. 如图①，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 交边BC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，且ED ⊥AC.（1）试判断△ABC 的形状，并说明理由.（2）如图②，若线段AB ，DE 的延长线交于点F ，∠C ＝75°，CD ＝2－，求⊙O 的半径3和BF 的长.2.如图，射线QN 与等边三角形ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM ＝MB ＝2cm ，QM ＝4cm.动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t (s)，以点P 为圆心，cm 为半径的圆与△ABC 的边相切(切点在边上)，3请求出t 可取的一切值2.2知识要点：切线长定理】1. 切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等2. 注意切线和切线长两个不同的概念【例题讲解】例1如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B.如果∠APB ＝60°，PA ＝8，那么弦AB 的长是（）A. 4B. 8C. 4D. 833例1图 变式1图【变式训练】1. 如图，PA ，PB ，CD 分别与⊙O 相切于点A ，B ，E ，若PA ＝7，则△PCD 的周长为_________2. 如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA ，PB 于点C ，D.若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长为3r ，连结OA ，OP ，则的值是_________OAPA变式2图变式3图3.如图，⊙O 与△ABC 中AB ，AC 的延长线及BC 边相切，且∠ACB ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长依次为3，4，5，则⊙O 的半径是___________.例2如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，连结OP 与⊙O 交于点C ，连结AC ，B C.求证：AC ＝B C.【变式训练】1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ，EF ⊥AB ，垂足为F .（1）求证：DE ＝B C.12（2）若AC ＝6，BC ＝8，求S △ACD ∶S △EDF 的值.2. 如图，O 是△ABC 内一点，⊙O 与BC 相交于F ，G 两点，且与AB ，AC 分别相切于点D ，E ，DE ∥BC ，连结DF ，EG .（1）求证：AB ＝A C.（2）若AB ＝10，BC ＝12，求当四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径.3. 如图，已知正方形ABCD 的边长为2，M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点(不与点M ，C 重合)，以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交AD 于点F ，切点为E .求四边形CDFP 的周长.【综合例题讲解】1. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点C ，BE ∥CO .（1）求证：BC 是∠ABE 的平分线；（2）若DC ＝8，⊙O 的半径OA ＝6，求CE 的长．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 切⊙O 于点D ，AM ⊥CD 于点M ，BN ⊥CD 于点N .（1）求证：∠ADC ＝∠ABD ；（2）求证：AD 2＝AM ·AB ；（3）若AM ＝，sin ∠ABD ＝，求线段BN 的长．185352.3【知识要点：三角形的内切圆】1. 三角形内、外心的区别名称确定方法图形性质外心三角形_____________的交点内心三角形_____________的交点2. 注意“接”与“切”，“内”与“外”的区别，任意一个三角形都有________的内切圆和外接圆，但圆有__________个外切三角形和内接三角形.解题小技巧：（1）已知△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，三边长为a ，b ，c ，则有： S=（a+b+c ）12r （2）已知Rt △ABC 两直角边为a ，b ，斜边为c ，则该直角三角形的内切圆半径：r=（a+b+c ）12例题讲解例1给出下列说法：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式训练】1. 下列说法中，不正确的是( )A ．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C ．垂直于半径的直线是圆的切线D ．三角形的内心到三角形的三边的距离相等例2如图，△ABC 是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB ＝15，AC ＝9，BC ＝12，阴影部分是△ABC 的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（）A.B.C.D. 16π6π8π5例2图变式1图【变式训练】1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，⊙O 为△ABC 的内切圆，D 是斜边AB 的中点，则tan ∠ODA ＝（）A.B.C. D. 233323例3如图，在平面直角坐标系中，有一正方形AOB C.反比例函数y ＝的图象经过正方形kx AOBC 对角线的交点，半径为4－2的圆内切于△ABC ，求k 的值.2【变式训练】1. 如图，⊙O 是以∠ACB 为直角的△ABC 的内切圆，切点分别是D ，E ，F .（1）填空：当_____________时，EF ∥AB （填上符合题目要求的一个条件即可）.（2）当EF ∥AB 时，设⊙O 的半径r ＝1，DE ，AC 的延长线交于点G ，求GF 的长.2. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，I 为△ABC 的内心，O 为BC 上一点，过B ，I 两点的⊙O 交BC 于点D ，tan ∠CBI ＝，AB ＝6.13（1）求线段BD 的长.（2）求线段BC 的长.【链接中考】1. △ABC 中，AB ＝AC ，∠A 为锐角，CD 为AB 边上的高，I 为△ACD 的内切圆圆心，则∠AIB 的度数是（）A ．120°B ．125°C ．135°D ．150°2. 一个钢管放在V 形架内， O 为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm ，∠MPN = 60︒，则OP =________.3. 如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙Ocm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm．4. . 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=16，点O 为△ABC 的内心，M 为斜边AB 的中点，求OM 的长【综合例题讲解】例1如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠CAB ＝α(定值)，⊙O 的圆心O 在AB 上，并分别与AC ，BC 相切于点P ，Q .（1）求∠POQ 的度数(用含α的代数式表示).（2）设D 是CA 延长线上的一个动点，DE 与⊙O 相切于点M ，点E 在CB 的延长线上，试判断∠DOE 的度数是否保持不变，并说明理由.（3）在（2）的条件下，如果AB ＝m(m 为已知数)，cos α＝，设AD ＝x ，DE ＝y ，求y35关于x 的函数表达式（并指出自变量x 的取值范围）.例2 在Rt △ABC ，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，CD ⊥AB 于点D ，以D 为坐标原点，CD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系. （1）求A ，B ，C 三点的坐标；（2）若⊙O 1、⊙O 2分别为△ACD ，△BCD 的内切圆，求直线O 1O 2的函数表达式【课后作业】1. 如图，AB 是⊙O 的直径，CO ⊥AB ，CD 切⊙O 于D ，AD 交CO 于E.求证：CD ＝CE.2. 如图，⊙D 的半径为3，A 是⊙D 外一点，且AD ＝5，AB ，AC 分别与⊙D 相切于B ，C 两点，G 是上任意一点，过点G 作⊙D 的切线，交AB 于点E ，交AC 于点F .BC︵ （1）求△AEF 的周长.（2）当G 为线段AD 与⊙D 的交点时，连结CD ，求五边形DBEFC 的面积.3.如图，直线l 与⊙O 相交于A ，B 两点，且与半径OC 垂直，垂足为H ，已知AB ＝16cm ，cos ∠OBH ＝.45（1）求⊙O 的半径；（2）如果要将直线l 向下平移到与⊙O 相离的位置，平移的距离应满足什么条件？4. 如图①，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝6，AD ＝8.点P ，Q 同时从A 点出发，分别做匀速运动，其中点P 沿AB ，BC 向终点C 运动，速度为每秒2个单位，点Q 沿AD 向终点D 运动，速度为每秒1个单位．当这两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．设这两点运动了t 秒．（1）动点P 与Q 哪一点先到达终点？此时t 为何值？(直接写出结果)（2）当0＜t ＜2时，求证：以PQ 为直径的圆与AD 相切(如图②)．（3）以PQ 为直径的圆能否与CD 相切？若能，求出t 的值或取值范围；若不能，请说明理由．。
浙教版九年级下册 解直角三角形 讲义(PDF版)
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)； ②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
【典型例题】 类型一、锐角三角函数值的求解策略
1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）
A．2 B．
C． D．
举一反三：
解法步骤
两直角边(a，b)
由
求∠A，
∠B=90°－∠A，
Rt△ABC
两 边
斜边，一直角边(如 c，a)
由
求∠A，
∠B=90°－∠A，
一直角边 一
和一锐角 边
一
角
锐角、邻边 (如∠A，b)
锐角、对边 (如∠A，a)
斜边、锐角(如 c，∠A)
∠B=90°－∠A，
， ∠B=90°－∠A，
， ∠B=90°－∠A，
要点诠释： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最
好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形
来解.
3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意 图，进而根据条件选择合适的方法求解.
量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出
几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的
问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示.
新浙教版九年级数学下册第二章《切线长定理》精品课件1 (2)
5．(4分)如图，四边形ABCD的边AB，BC， CD，DA和⊙O分别相切于点L，M，N，P.若 四边形ABCD的周长为20，则AB＋CD等于 (C ) A．5 B．8 C．10 D．12
6．(4分)如图，⊙O的半径为3 cm，点P到 圆心的距离为6 cm，经过点P引⊙O的两条 切线，这两条切线的夹角为__6_0_度．
3．(4分)如图所示，P是⊙O外一点，PA，PB 分别和⊙O切于A，B两点，C是 A︵B上任意一点， 过C作⊙O的切线分别交PA，PB于点D，E。若 △PDE的周长为12，则PA的长为 ( )B A．12 B．6 C．8 D．4
4．(4分)如图，PA，PB切⊙O于点A，B，PA ＝10，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两 点，则△PCD的周长是 ( C )
7．(4分)如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B， 若∠P＝70°，则∠C的大小为______5．5°
8．(4分)如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条 切线PA，PB，切点分别为A，B.下列结论： ①OP垂直平分AB；②∠APB＝∠BOP；③ △ACP≌△BCP；④PA＝AB；⑤若∠APB ＝80°，则∠OBA＝40°.正确的是 __①__③__⑤____．(填序号)
(2)在 Rt△ PAO 与 Rt△ PBO 中，∵OA＝ OB，PO＝PO，∴Rt△ PAO≌RBPO
＝
1 2
∠APB
＝
30°，
∴PO⊥AB，∴∠DAO＝∠APO＝30°，
∴OA＝sin∠APO×OP＝12×20＝10(cm)．在 Rt△ AOD 中，∠DAO
＝30°，OA＝10 cm，∴AD＝cos∠DAO×OA＝ 23×10＝5 3(cm)，
10．(10分)如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结PO与⊙O 相交于点C，连结AC，BC，求证：AC＝BC.
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这几个比值都是锐角∠A的函数，记作sin A、cos A、 tan A，即
A的对边 sin A= 斜边 A的对边 tan A= A的邻边
A的邻边 cos A= 斜边
图 19.3.1
分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的 三角函数.
1、sinA 不是一个角 2、sinA不是 sin与A的乘积 3、 sinA 是一个比值 4、sinA 没有单位
建立数学模型
C
5.5米
引例：山坡上种树，要求株距（相临两树间的水平
距离）是5.5米，测得斜坡倾斜角是24º，求斜坡上相
邻两树间的坡面距离是多少米?第二棵树离开地面的高度是 B 多少米？（精确到0.1米）
解：在Rt△ABC中，∠C=90°
AC cos A AB
24º
C
≈6.0（米）
5.5米
A
B c
a
A b ┌ C
练习：
1、下图中∠ACB=90° ，CD⊥AB 指出∠A的对边、邻边。 B D
A
C
2、1题中如果CD=5，AC=10，则sin∠ACD= sin ∠DCB=
如图:在等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6. 求: sinB,cosB,tanB
A
5 B 5
┌ 6 D
C
提示:过点A作AD垂直于BC于D.
C
A
12cm
B
课堂小结
我学会了……
1.3 解直角三角形
数学家华罗庚曾经说：“宇宙之 大，粒子之微，火箭之速，化工之 巧，地球之变，日月之繁，无处不 用数学。”这是对数学与生活的精 彩描述。在我们周围处处有数学， 时时会碰到数学问题。
生活中的数学问题
引例：在山坡上种树（从低处往高处种），测得斜坡倾斜角 是24º，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5米，求斜 坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？第二棵树离开地面的 高度是多少米？（精确到0.1米） B 24º 5.5米 A
浙教版九年级数学下册教学课件全册
案例分析
案例总结
总结案例中的数学知识点和解题方法 ，加深学生对数学知识的理解和掌握 。
通过案例分析，帮助学生理解数学概 念、定理和公式在实践中的应用。
教学方法2：启发式教学
01
02
03
问题导入
通过设置问题情境，引导 学生主动思考和探索数学 问题。
启发思考
引导学生逐步深入思考问 题，激发他们的思维能力 和创造力。
考试分析
对考试成绩进行分析，找出学 生在学习中存在的问题和薄弱 环节，以便进行有针对性的辅
导和加强。
学生反馈与评价
学生意见收集
通过问卷调查、座谈会等方式， 收集学生对教学的意见和建议，
了解学生的学习需求和期望。
学生作业分析
分析学生作业中的常见错误和问题 ，找出学生在学习中存在的困难和 不足，以便进行有针对性的指导和 帮助。
浙教版九年级数学下册教科书
包含了本学期需要学习的所有知识点和例题，是教学的主要依据。
浙教版九年级数学下册教学参考书
提供了详细的教学建议、课程内容的解析和例题的解答，有助于教师更好地备 课和教学。
网络资源
浙教版九年级数学下册课件
可以在网络上找到一些教师分享的课件，这些课件通常包含了详细的教学内容和 练习题，可以作为教学辅助材料。
05
教学评价与反馈
作业与考试
作业布置
根据教学内容和学生实际情况 ，布置有针对性的作业，以巩 固所学知识和提高解题能力。
作业批改
认真批改学生的作业，及时发 现和纠正学生在学习中存在的 问题，并给予必要的指导和帮 助。
考试安排
定期组织考试，检测学生对所 学知识的掌握程度和应用能力 ，及时调整教学策略。
学生发展的关注
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1.1锐角三角函数
浙教版九年级数Biblioteka 下册电子课本课 件【全册】1.2锐角三角函数的计算
浙教版九年级数学下册电子课本课 件【全册】
1.3解直角三角形
浙教版九年级数学下册电子课本课 件【全册】
第2章 直线与圆的位置关系
浙教版九年级数学下册电子课本课 件【全册】
浙教版九年级数学下册电子课本 课件【全册】目录
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第1章 解直角三角形 1.2锐角三角函数的计算 第2章 直线与圆的位置关系 2.2切线长定理 第3章 投影与三视图 3.2简单几何体的三视图 3.4简单几何体的表面展开图
第1章 解直角三角形
最新浙教版九年级数学下册教学课件全册
第1章 解直角三角形 1.1 锐角三角函数
1.1 锐角三角函数（1）
锐角三角函数的定义
直角三角形ABC可以简记为Rt△ABC，你能 说出各条边的名称吗？
B
斜边 c
对边 a
┓┓
A
C
邻边 b
实际问题
某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为7m， 扶梯的长度是多少?
作业
1.计算：(1)tan450-sin300; (2)cos600+sin450-tan300;
36 tan2 300 3 sin 600 2 cos 450.
2.如图,河岸AD,BC互相平行,桥AB垂直 于两岸.桥长12m,在C处看桥两端A,B,夹 角∠BCA=600. 求B,C间的距离(结果精确到1m).
提示
1．sinA，cosA，tanA 是在直角三角形中定义的， ∠A是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)．
2．sinA， cosA，tanA 是一个比值（数值）． 3．sinA， cosA， tanA 的大小只与∠A的大小有 关，而与直角三角形的边长无关．
小练习
1、如图1，在Rt△MNP中，∠N＝90゜. ∠P的对边是_________,∠P的邻边是___________; ∠M的对边是________,∠M的邻边是___________;
1 2
(C) 小于 3
2
(B)大于
1 2
(D)大于 3
2
☆ 应用练习 1.已知角，求值 2.已知值，求角 3. 确定值的范围 4. 确定角的范围
确定角的范围
3. 当∠A为锐角，且tan A的 值大于 3 时，∠A（ B ）
3
(A)小于30° (B)大于30°
浙教初中数学九年级下PPT全册课件 (133)
这些皮影戏与手影戏有什么特征？
由于中心投影与平行投影的投射线具有不同的性 质，因此，在这两种投影下，物体的影子也就有明显 的差别。如图4-14，当线段AB与投影面平行时，AB 的中心投影A‘B’把线段AB放大了，且AB∥A’B‘， △OAB～ OA‘B’.又如图4-15，当△ABC所在的平 面与投影面平行时， △ABC的中心投影 △A‘B’C‘也把△ABC放大了，从△ABC到 △A‘B’C‘是我们熟悉的位似变换.
活动二（1）固定投影面，改变小棒的摆放位置和方向，它 的影子分别发生了什么变化？
当小棒与太阳光线平行时， 它们的影子形成一个点.
当小棒与投影面平行时, 它们的影子的大小和形状
与原物全等
（2）思考固定投影面，改变三角形纸片的摆放位置和方向， 它的影子分别发生了什么变化？
当三角形纸片与太阳光线平行， 它们的影子形成一条线. 当三角形纸片与投影面平行， 它们的影子的大小和形状
甲
乙
课堂小结
我们这节课学习了什么知识？让学生概括以下知识点.
• 物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影. • 太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行 投影 • 物体在太阳光下形成的影子随着物体与投影面的位置关系的改变而 改变，当小棒、三角形等纸片与投影面平行时，它们的影子的大小和 形状与原物全等.
用日影测定时刻的仪器,它由 “晷面”与“晷针”组成，当太阳光照在日晷上时，晷针的影 子就会投向晷面，随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢 移动，聪明的古人以此来显示时刻．
活动二： 影子随处可见，请问你能举出生活中关于物
体在光线的照射下形成影子的实例吗？
投影定义：物体在光线的照射下，在某个平面内
浙教版数学九年级下知识点
浙教版数学九年级下知识点数学是一门抽象而智力密集的学科，对于学生来说，掌握数学知识点对于学习和发展至关重要。
浙教版数学九年级下的知识点涵盖了各种数学概念、公式和技巧，以下将对其中一些重要的知识点进行讨论和总结。
第一部分：代数与函数1.1 二次函数二次函数是数学中重要的一种函数形式，它的定义如下：y =ax² + bx + c (a ≠ 0)。
其中，a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像为抛物线，具有顶点、对称轴和判别式等特点。
在学习二次函数时，我们需要掌握求解二次方程、确定二次函数的图像以及应用二次函数进行实际问题的解答等相关知识和技巧。
1.2 指数与对数指数与对数是数学中重要的概念和运算规则。
指数的定义如下：aⁿ，其中a为底数，n为指数。
指数运算有乘法法则、除法法则和幂运算法则等。
对数是指数运算的逆运算，用log表示，例如logₐM = n，其中a为底数，n为真数，M为对数值。
学习指数与对数时，我们需了解它们之间的关系和运算规则，以及它们在科学计算和实际问题中的应用。
第二部分：几何与向量2.1 立体几何立体几何研究的是三维空间中的几何形状和体积问题。
在九年级下学期中，我们将学习到常见的几何体如正方体、长方体、圆柱体和圆锥体等，了解它们的特征和性质，包括表面积和体积的计算方法等。
2.2 相似与全等三角形相似与全等三角形是几何中的常见概念。
相似三角形指的是对应角相等，对应边成比例的三角形，而全等三角形则是对应边和角都相等的三角形。
通过相似与全等三角形的性质，我们可以进行各种三角形的证明和计算，包括角度计算、边长比例计算和面积计算等。
第三部分：概率与统计3.1 概率概率是研究随机事件发生可能性的数学分支，是实际问题中常常遇到的概念。
我们将学习到概率的定义及其计算方法，包括基本概率、条件概率和事件间的关系等。
掌握概率的基本理论和计算方法，对于分析和解决实际问题具有重要意义。
3.2 统计统计是搜集、整理和分析数据的一门学科。
浙教版数学九年级(下)
30 31
龄死亡的人数d 龄死亡的人数 30＝755人，活到 79 人 31岁的人数 31＝976611－755＝ 80 岁的人数l 岁的人数 － ＝ 975856(人)． 人． 81
82
61 的含义举例说明： 对lx、dx 的含义举例说明：对于出 62 生的每1000000人，活到 岁的人 生的每 人 活到30岁的人 63 数l30＝976611人(x＝30)，这一年 人 ＝ ， 64
概率与人们生活密切相关，在生活， 概率与人们生活密切相关，在生活，生产和科研等各个领 与人们生活密切相关 域都有着广泛的应用 应用． 域都有着广泛的应用．
1.某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性相同， 某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性相同， 某商场举办有奖销售活动 以每10000张奖券为一个开奖单位，设特等奖１个，一等奖 张奖券为一个开奖单位， 以每 张奖券为一个开奖单位 设特等奖１ 10个，二等奖 张奖券中一等奖的概率是多少？ 个 二等奖100个，问１张奖券中一等奖的概率是多少？ 个 中奖的概率是多少？ 中奖的概率是多少？ 因为10000张奖券中能中一等奖的张数是 张,所以 张奖券中能中一等奖的张数是10张 所以 所以1 解:因为 因为 张奖券中能中一等奖的张数是 10 1 张奖券中一等奖的概率是: 张奖券中一等奖的概率是
生存人数l 生存人数 x
1000000 997091 976611 975856 867685 856832 845026 832209 488988 456246 422898 389141
死亡人数d 死亡人数 x
2909 2010 755 789 10853 11806 12817 13875 32742 33348