数字逻辑第二章

例：试化简下列函数：
F A[ AB AC ( A D)( A E )]
解：F A{0[0 B 1C (0 D)(1 E )]}
A{1[1B 0C (1 D)(0 E )]}
0 A{1[1B 0C (1 D)(0 E )]}
A A
A A
使用反演规则时，应注意保持原函数式中的运算 符号的优先顺序不变。另外不属于单个变量上的 反号应保持不变。 24
例1： F A B(C DE )
例2：F AB C
F A[ B C ( D E )]
F AB C (直接去掉反号)
F ( A B) C A B C AB C
A+(B C)=(A+B) (A+C)
证:右式=A+BA+C+(A+B)(A+C)=ABC+A+BC =A+BC+BC=A+(B C)=左式
(6) 因果互换律
若 A B=C 则 AC=B 或 B C=A
若 A B=C 则 A C=B 或 B C=A
A 0 0 1 1
B 0 1 0 1
二、逻辑代数的三个基本运算
1、与运算 若定义开关闭合为1，断开 为0。灯亮为1，灯灭为0。 E
A
B F
真值表 A B F
0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1
A 断 断 闭 闭
功能表 B F 断 灭 闭 灭 断 灭 闭 亮7
定义：某个事件受若干个条件影响，若所有的 条件都齐备，该事件才能成立，这样的逻辑关 系被称为逻辑乘(与)。
22
以此推广得到摩根律的一般形式:
ABCD A B C D
A B C D A B C D
23
二、反演规则
即由 F ( A, B, C ) 求反函数 F ( A, B, C ) 0 1 1 0 + +
11 1 1 0 1 0 1 1 00 0 1 0
16
二、公式(可由公理推出)
0 A 0
1 A 1
0 A A
1 A A A A A
A A 0
三、交换律
A A A
A A 1
A B B A
A B B A
17
四、结合律 A(BC)=(AB)C=(AC)B
( A B)(B AC)
26
三、对偶规则
由 F(A，B，C )求F`(A，B，C ) 0 1 1 0 + +
A A
A A
结论： 1. 若一个定理是正确的，则其对偶式也一定正确。 2. 若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。 3. (F`)`=F 即对对偶式再求对偶就得原函数本身。
一、逻辑函数的定义 (1)逻辑变量和逻辑函数的取值只有0和1。
(2)函数和变量之间的关系由“与、或、非”三 种基本运算决定。
设某一逻辑电路的输入为A1A2……An，输出函数 为F，当A1A2……An的值确定之后，F的值就唯一 的确定了，则称F为A1A2……An的逻辑函数。记为： F＝f(A1A2……An)
33
异或和同或的真值表如下:
A B 0 0 1 1 0 1 0 1 A B A B 0 1 1 0 1 0 0 1
结论：偶数个变量的异或和同或是互反的，奇 数个变量的异或和同或是相同的。
34
异或和同或的基本运算公式
(1) 1 0=0 1=1 0 0=0 1 1=0 (2) 0 A=A 0 1=1 0=0 1 1=1 0 0=1 1 A=A
A[ B (1 D) E ]
A( B E )
30
2.2.3 几种导出(复合)的运算
工程上常用的有：与非、或 非、与或非、异或、同或。 A B
＆
1
A B FA B
＆
F F
F＝AB
A B
A B
≥1
1
F＝A＋B
A
B
＋
F A B A B
≥1
F
F
31
A B C D
&
≥1
A B C D
1
F f ( X 1 , X 2 , X n )
X 1 f (0, X 2 X n ) X 1 f (1, X 2 X n ) [ X 1 f (0, X 2 X n )][ X 1 f (1, X 2 X n )
上述算式之正确性的验证只要令X1=0或1分别代 入便知。 用以化简某个变量出现次数较多的情况 29
+
F
F=AB+CD
&
A B C D
＆
≥1
F
A B C D
F
32
F A B AB AB 同或 F A B AB A B
异或
异或门的逻辑符号:
A B

F
A B
A
=1
F
B 美国符号
F
曾用符号
国标符号
同或门的逻辑符号:
A B F A B
=1
F
A B
F
曾用符号
国标符号
美国符号
即 F＝f(A，B)＝A∧B=A· B＝AB
实现逻辑乘的逻辑电路称为与门。
与门的逻辑符号为： A B
F
A B
& 国标符号
F
A B 美国符号
8
F
曾用符号
2、或运算
若定义开关闭合为1，断 开为0。灯亮为1，灯灭 为0。 真值表 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 F 0 1 1 1 E
A
B 功能表 A B F 断 断 闭 闭 断 闭 断 闭 灭 亮 亮 亮
A B A B A B A B A B
0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0
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七、其他常用公式
吸收律： A AB A 消去律：A AB A B 其它：
A ( A B) A A ( A B) A B
有数据溢出错误 6位二进制(63 ~ -63)
2
习题7: 分别用二进制反码补码完成运算-54-30
N1 = - 54 , N1 = - 0110110 N2 = - 30 , N2 = - 0011110 反码 11001001 + 11100001 110101010 1 10101011 补码 11001010 + 11100010 10101100
证明： 左式 AB AC [ BCD E (G H )] BC
AB AC BC [1 D E (G H )]
AB AC BC
AB AC = 右式
21
2.2.2 重要规则
一、代入规则 任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出 现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍 然成立。 例：对摩根律 AB A B 令 B BC 代入式中 则：A( BC ) A BC A B C
反演规则是摩根律的推广。摩根律与反演互证 例3： F AB B( A C ) 按反演规则可直接写出：
F ( A B)( B AC )
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若用摩根律则先对原函数两边取非，得：
F AB B( A C )
AB B( A C )
( A B)(B A C )
A+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+B 五、分配律
A(B+C)=AB+AC
A+BC=(A+B)· (A+C) 加法的分配律 证:右式=AA+AC+AB+BC=A+AC+AB+BC =A(1+C+B)+BC=A+BC=左式
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六、摩根律
AB A B
A B A B
证：用真值表法证明 AB A B
前面介绍了数字信号是离散信号，其变量 只有两种取值，故称双值变量。 双值 电路表示：高电位(UH)、低电位(UL)
代数表示：两个符号“1”、“0”Leabharlann Baidu
一、逻辑代数的定义
定义：逻辑代数L是一个封闭的代数系统，它由 一个逻辑变量集K、常量0和1以及“逻辑与 (乘)”、 “逻辑或(加)”、“逻辑非(反)”三种基本 运算所构成，记为： L={ K , + , · ,-,0,1} 6
证明冗余律： AB AC BC AB AC 左式= AB AC ( A A) BC
AB AC ABC ABC
AB(1 C ) AC (1 B) AB AC = 右式
冗余律推广： AB AC [ BCD E (G H )] AB AC
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利用对偶规则可以简化等式的证明。
例：试证 A+BC=(A+B)(A+C) 令: F1=A+BC F2=(A+B)(A+C)
求两个函数的对偶:
F1`=A(B+C)=AB+AC F2`=AB+AC
可知：F1`= F2`
所以F1=F2 得证
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四、展开规则
一个多变量函数F=f(X1,X2,· · · Xn)，可以将其中 任意一个变量，例如X1分离出来，并展开成：
R
A F
功能表 A F
断 亮 闭 灭
11
定义：一个事件的成立取决于条件的否定，即 事件与事件的成立条件之间构成矛盾，这样的 逻辑关系称逻辑反（非）。 函数式为：F＝A 。
完成逻辑反运算的电路称非门。
非门的逻辑符号为： A F=A
A
1
F=A
A 美国符号
F=A
曾用符号
国标符号
12
2.1.2逻辑函数及逻辑函数间的相等
13
二、逻辑函数的相等
设有F1＝f1(A1A2……An)、F2=f2(A1A2……An)如 果对应A1A2……An的任一组取值，F1和F2的值都 相等，则称F1和F2相等。计为F1＝F2 。 判断两个逻辑表达式是否相等的方法有： 1、列表法(真值表) 2、利用逻辑代数的公理、定理和规则证明。
14
2.1.3 逻辑函数的表示方法
1 A=A A A=0 A A=1
0 A=A A A=1 A A=0
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(3) 交换律 A B=B A (4) 结合律 A B=B A
A (B C)=(A B) C A (B C)=(A B) C (5) 分配律
A(B C)=AB AC 证: 右式=ABAC+ABAC=AB(A+C)+AC(A+B) 36 =ABC+ABC=A(B C)=左式
( A B) ( A B) A
冗余律 添加律
AB AB A
AB AC BC AB AC ( A B) ( A C ) ( B C ) ( A B) ( A C )
在两个乘积项中，若有一个变量是互反的，那 么由这两个乘积项中的其它变量组成的新的乘 积项就是多余的，可以消去。 20
3
反码与补码运算小结
1 符号位必须对齐
2 简单判断结果是否溢出，适当调整 符号位置 例1: -100 + (-10)
例2: -0.010 - 0.110
4
第二章
逻辑代数基础
2.1 逻辑代数的基本概念
2.2 逻辑代数的基本定理和规律 2.3 逻辑函数表达式的形式与变换 2.4 逻辑函数的化简
5
2.1.1 三种基本运算
一、真值表 主要用于直观的观察变量和函数之间的关系 * 二、逻辑函数表达式 主要用于获得逻辑电路图 * 三、卡诺图 主要用于逻辑函数化简 四、时序图、时间图 主要用于工作波形图 *
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2.2 逻辑代数的基本定理和规律
2.2.1 逻辑代数的基本定理
一、公理
00 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1
第一章 知识点回顾
1
2 3
计数进位制 与 数制转换(2,8,16,10)
带符号数的代码表示 原码、反码、补码的运算
4
BCD码:二进制码编写的十进制码 (8421, 2421,余三码等) 格雷码、奇偶校验码
1
习题7: 分别用二进制反码补码完成运算-54-30
N1 = - 54 , N1 = - 110110 N2 = - 30 , N2 = - 11110 反码 1001001 + 1100001 10101010 1 0101011 补码 1001010 + 1100010 0101100
9
F
定义：一个事件的成立与否有许多条件，只要 其中一个或几个条件成立，事件便成立，这样 的逻辑关系被称逻辑加（或）。 即：F＝f(A，B)＝A∨B＝A＋B
实现逻辑加的电路称或门。
或门的逻辑符号为： A B + F A B ≥1 F A B 美国符号 10 F
曾用符号
国标符号
3、非运算 若定义开关闭合为1，E 断开为0。灯亮为1， 灯灭为0。 真值表 A F 0 1 1 0