材料力学 动载荷
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材料力学 第十章 动载荷
a t
max
m
max 2 m 2 a
min 0
r0
a
t
（3）静应力：如拉压杆
max min m
a 0
r 1
（4）非对称循环：
a 0
max min m t
max min 0 max min a
第二节 交变应力的循环特性和应力幅值
应力循环:一点的应力由某一数值开始，经过一次完整的变 化又回到这一数值的一个过程。
a
m
T
1.最大应力： max
2.最小应力： min
min
max
t 5.循环特性：
3.平均应力：
m
max min
2
4.应力幅：
a
max min
疲劳极限或有限寿命持久极限：
材料在规定的应力循环次数N下，不发生疲劳破环的最大 应力值，记作 rN ( rN ) 。 无限寿命疲劳极限或持久极限 r ： 当 max 不超过某一极限值，材料可以经受“无数次”应力 循环而不发生破坏，此极限值称为无限寿命疲劳极限或持久极限。
疲劳失效特点 a、在交变应力下构件破坏时，最大应力不仅低于材料强 度极限和屈服极限，甚至低于比例极限； b、在交变应力作用下，构件破坏前，总是要经历若干次 应力重复；而且即使是塑性很好的材料，在经历若干次应力 重复后，也会像脆性材料一样突然断裂，断裂前没有明显的 塑性变形。 c、疲劳破坏的断口存在三个区域： 疲劳源区——在光滑区内有以微裂纹 起始点，又称为裂纹源（①区域）为中心 并逐渐扩展的弧形曲线； 疲劳扩展区——又称为光滑区（②区 域），有明显的纹条，类似被海浪冲击后 的海滩，它是由裂纹的传播所形成；
材料力学 动荷载
第十四章 动荷载/二、等加速运动构件的应力计算
1.惯性力的概念
等加速状态 构件处于加速运动状态 变加速状态
等加速运动状况—惯性力是个定值 变加速运动状况—惯性力是时间的函数 (是变荷载) 这里讨论等加速运动状态
2.等加速直线运动构件的应力计算
等加速直线运动：
FD
a W FD W a 1 W g g a
3 圆环等角度转动时构件的应力与变形计算： (1)圆环横截面上的应力
图示匀质等截面圆环,绕着通过环中心且
D o t 垂直于圆环平面的轴以等角速度旋转, 已知横截面面积为A,材料的容重为γ,壁厚
an
为t,求圆环横截面上的应力。
解：求沿圆环轴线的均匀分布惯性力集度 qD
qD
A A D an 2 g g 2
H
H
A B 弹簧
设：受重物Q自高度 H 落下，冲击弹性系统后， Q
速度开始下降至0，同时弹簧变形达到最 Nhomakorabea大值 d 。
H
Q Q
D
此时，全部（动）势能转化为变形能， 杆内动应力达最大值（以后要回跳）。就 以此时来计算：
释放出的动能（以势能的降低来表示）
弹簧
T Q(H D)
增加的变形能，在弹性极限内
材料力学
讲授:顾志荣
材料力学
第十四章 动荷载
同济大学航空航天与力学学院 顾志荣
第十四章 动荷载
一、动荷载的概念与实例 二、等加速运动构件的应力计算
三、受冲击荷载作用时构件的应力和变形计算
第十四章 动荷载
一、动荷载的概念与实例
第十四章 动荷载/一、动荷载的概念与实例
静荷载:作用在构件上的荷载由零逐渐增加到最终
材料力学第十四章动载荷
1 提供挑战
动载荷模拟现实环境中的力学行为，为材料的设计和优化提供了挑战。
2 引发研究
动载荷引发了许多重要的研究领域，如疲劳寿命和冲击响
动载荷的幅值大小对材 料的破坏性有直接影响。
高频载荷可能导致材料 的疲劳破坏，而低频载 荷可能导致材料弹性变 形。
3 应变速率
材料力学第十四章动载荷
欢迎来到材料力学第十四章动载荷的精彩旅程！在本章中，我们将深入探讨 动载荷的定义、分类以及其在材料工程中的作用。
动载荷定义和分类
1 定义
2 分类
动载荷是指在工程或实验过程中，对材料 施加的瞬时或频繁变化的荷载。
动载荷可以分为冲击载荷、振动载荷和循 环载荷等不同类型。
动载荷的作用
2 冲击破坏
突然的冲击载荷可能导致材料的瞬时破坏和变形。
动载荷的应用领域
航空航天
动载荷在航空航天工程中 的重要性不言而喻，如航 天器的起飞和着陆过程。
交通运输
道路、铁路和桥梁等交通 基础设施都要承受动载荷 的影响。
建筑工程
建筑结构需要抵抗风荷载、 地震等动态荷载的作用。
总结和展望
本章中，我们深入了解了动载荷的定义、分类、作用以及影响因素。动载荷 的研究对于材料工程的发展和设计至关重要，未来仍然有许多挑战和机会等 待我们探索。
快速应变速率下，材料 的应变率和应力值可能 会急剧增加。
动载荷的检测方法
1 传感器测量
2 数值模拟
使用应变传感器、加速度计等设备来监测 动载荷的大小和变化。
通过数值模拟方法，可以预测材料在特定 动载荷下的响应和破坏。
动载荷下的材料破坏
1 疲劳破坏
在长期循环载荷下，材料可能会发生疲劳破坏，导致损伤和断裂。
动载荷模拟现实环境中的力学行为，为材料的设计和优化提供了挑战。
2 引发研究
动载荷引发了许多重要的研究领域，如疲劳寿命和冲击响
动载荷的幅值大小对材 料的破坏性有直接影响。
高频载荷可能导致材料 的疲劳破坏，而低频载 荷可能导致材料弹性变 形。
3 应变速率
材料力学第十四章动载荷
欢迎来到材料力学第十四章动载荷的精彩旅程！在本章中，我们将深入探讨 动载荷的定义、分类以及其在材料工程中的作用。
动载荷定义和分类
1 定义
2 分类
动载荷是指在工程或实验过程中，对材料 施加的瞬时或频繁变化的荷载。
动载荷可以分为冲击载荷、振动载荷和循 环载荷等不同类型。
动载荷的作用
2 冲击破坏
突然的冲击载荷可能导致材料的瞬时破坏和变形。
动载荷的应用领域
航空航天
动载荷在航空航天工程中 的重要性不言而喻，如航 天器的起飞和着陆过程。
交通运输
道路、铁路和桥梁等交通 基础设施都要承受动载荷 的影响。
建筑工程
建筑结构需要抵抗风荷载、 地震等动态荷载的作用。
总结和展望
本章中，我们深入了解了动载荷的定义、分类、作用以及影响因素。动载荷 的研究对于材料工程的发展和设计至关重要，未来仍然有许多挑战和机会等 待我们探索。
快速应变速率下，材料 的应变率和应力值可能 会急剧增加。
动载荷的检测方法
1 传感器测量
2 数值模拟
使用应变传感器、加速度计等设备来监测 动载荷的大小和变化。
通过数值模拟方法，可以预测材料在特定 动载荷下的响应和破坏。
动载荷下的材料破坏
1 疲劳破坏
在长期循环载荷下，材料可能会发生疲劳破坏，导致损伤和断裂。
材料力学第十章 动载荷
Pl / 4 st 6 MPa Wz
A C
1.5m 1.5m P h
B
z
C 截面的静位移为
Pl 3 Δst 0.2143mm 48EI
增加弹簧后
Pl 3 P/2 Δst 1.881 mm 48 EI 2k Kd 1 1 2 20 5.7 1.881
stC
Pl Pa l Pa a 3EI z1 GI p 3EI z 2
3 3
P
H h
b A d l B
C
a
64 Pl 32 Pa l 4 Pa 4 4 3Eπd Gπd Ebh 3
kd 1 1
3
2
3
2．动荷系数 3．危险点： 4．静应力
2h
st
st
动荷因数为
2h Kd 1 1 14.7 Δst
梁的最大动应力为 d K d st 14.7 6 88.2 MPa
d 5.7 6 34.2 MPa
例 水平面内AC杆绕A匀速转动。C端有重Q的集中质量。若因故 在B点卡住，试求AC杆的最大冲击应力。设AC杆质量不计。
FATT
0
T
一般把晶粒状断口面积占整个断口面积50％的温度规定为~， 并称为FATT(fracture appearance transition temperature) 不是所有金属都有冷脆现象 温度降低，b增
大，却发生低温 脆断，原因何在 ？
练习 重P的重物从高H处自由下落到钢质曲拐上，试按第三强度准 则写出危险点的相当应力。 解：1．静位移 叠加法：AB杆(弯、扭)＋BC杆(弯)
第10章 动载荷
10.1 概述 10.2 动静法的应用 10.3* 受迫振动的应力计算 10.4* 杆件受冲击时的应力和变形 10.5* 冲击韧性
A C
1.5m 1.5m P h
B
z
C 截面的静位移为
Pl 3 Δst 0.2143mm 48EI
增加弹簧后
Pl 3 P/2 Δst 1.881 mm 48 EI 2k Kd 1 1 2 20 5.7 1.881
stC
Pl Pa l Pa a 3EI z1 GI p 3EI z 2
3 3
P
H h
b A d l B
C
a
64 Pl 32 Pa l 4 Pa 4 4 3Eπd Gπd Ebh 3
kd 1 1
3
2
3
2．动荷系数 3．危险点： 4．静应力
2h
st
st
动荷因数为
2h Kd 1 1 14.7 Δst
梁的最大动应力为 d K d st 14.7 6 88.2 MPa
d 5.7 6 34.2 MPa
例 水平面内AC杆绕A匀速转动。C端有重Q的集中质量。若因故 在B点卡住，试求AC杆的最大冲击应力。设AC杆质量不计。
FATT
0
T
一般把晶粒状断口面积占整个断口面积50％的温度规定为~， 并称为FATT(fracture appearance transition temperature) 不是所有金属都有冷脆现象 温度降低，b增
大，却发生低温 脆断，原因何在 ？
练习 重P的重物从高H处自由下落到钢质曲拐上，试按第三强度准 则写出危险点的相当应力。 解：1．静位移 叠加法：AB杆(弯、扭)＋BC杆(弯)
第10章 动载荷
10.1 概述 10.2 动静法的应用 10.3* 受迫振动的应力计算 10.4* 杆件受冲击时的应力和变形 10.5* 冲击韧性
材料力学10动载荷
目录
当载荷突然全部加到被冲击物上， 此时T=0
2T Kd 1 1 Q st
2
Q
由此可知,突加载荷的动荷系数是2，这时所引 起的应力和变形都是静荷应力和变形的2倍。 1.若已知冲击物自高度 h 处无初速下落,冲击
物与被冲击物接触时的速度为v
T
Qv 2g
2
h
v 2 2 gh
2
v 2h 2T 1 1 1 1 Kd 1 1 g st st Q st
d
a
目录
b
设冲击物体与弹簧开始接触的瞬时动能为 T 根据机械能守恒定律，冲击物的动能T和势能 V的变化应等于弹簧的变形能 V d,即
动能T
d
T V V d
1 V d Fd d 2
a
V Qd
b
1 T Q d Fd d 2
在线弹性范围内，载荷、变形和应力成正比， 即：
Ebh 4 wB d K d st 1 1 3 2 Ql
4Ql 3 Ebh3
目录
例10-3：图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘
上放置弹簧。弹簧在 1kN的静载荷作用下缩
短0.625mm。钢杆直径d=40mm, l =4m，许用 应力[σ]=120MPa, E=200GPa。若有重为 15kN的重物自由落下，求其许可高度h。
Fd d d Q st st
d Fd Q st
a
b
1 2 d V d Q 2 st
c
目录
V Qd
b
T V V d
a
1 2 d V d Q 2 st
c
当载荷突然全部加到被冲击物上， 此时T=0
2T Kd 1 1 Q st
2
Q
由此可知,突加载荷的动荷系数是2，这时所引 起的应力和变形都是静荷应力和变形的2倍。 1.若已知冲击物自高度 h 处无初速下落,冲击
物与被冲击物接触时的速度为v
T
Qv 2g
2
h
v 2 2 gh
2
v 2h 2T 1 1 1 1 Kd 1 1 g st st Q st
d
a
目录
b
设冲击物体与弹簧开始接触的瞬时动能为 T 根据机械能守恒定律，冲击物的动能T和势能 V的变化应等于弹簧的变形能 V d,即
动能T
d
T V V d
1 V d Fd d 2
a
V Qd
b
1 T Q d Fd d 2
在线弹性范围内，载荷、变形和应力成正比， 即：
Ebh 4 wB d K d st 1 1 3 2 Ql
4Ql 3 Ebh3
目录
例10-3：图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘
上放置弹簧。弹簧在 1kN的静载荷作用下缩
短0.625mm。钢杆直径d=40mm, l =4m，许用 应力[σ]=120MPa, E=200GPa。若有重为 15kN的重物自由落下，求其许可高度h。
Fd d d Q st st
d Fd Q st
a
b
1 2 d V d Q 2 st
c
目录
V Qd
b
T V V d
a
1 2 d V d Q 2 st
c
材料力学-10动载荷
3.动荷系数为Kd：
Pd K d Pj d Kd j
d Kd j
一、轴向自由落体冲击问题
冲击前： mg v
动能T1mv2 /2 势能V1mgh 变形能U10
冲击后： 动能T2 0
势能V2 mgd 变形能U 2 Pd d /2
h
冲击前后能量守恒，且 Pd Kd Pj (Pj mg)
d Kd j
d mg
1 2
mv
2
mg
(hKd
j
)
mg 2
K
2 d
j
Kd 1
1v2 /g2h j
△j:冲击物落点的静位移。
讨论： (1)v 0 :,
2h
Kd 1
1 j
(2)突然荷载h 0 :, Kd 2
二、不计重力的轴向冲击： v
mg
冲击前后能量守恒，且
Pd Kd Pj (Pj mg) d Kd j
1 mv 2 2
j
Pj L EA
WL EA
425
mm
Wv h=1m
Kd 1
1 2h 1 j
1 21000 217.9 425
③求动应力
f
6m
静应力： j W / A0.07074 MPa 动应力： d Kd j 15.41MPa
四、 梁的冲击问题
1.假设：
mg
ACh
冲击物为钢体；
不计被冲击物的重力势能和动能； B 冲击物不反弹；
实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不
超过比例极限 ,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动。
三、动荷系数：
动荷系数K
d
动响应 静响应
四、动应力分类：
材料力学(动载荷)
材料力学
第十四章 动荷载
前面章节中讨论的构件，都是在静止状态下承受荷载作 用的构件。所谓静荷载，是指荷载由零逐渐增长至最终值， 以后就保持不变或变动不明显的荷载。 如果构件本身处于加速度运动状态或静止的构件承受处 于运动状态的物体作用时，那么构件受到的荷载就是动荷载。 本章主要研究构件作等加速运动时，或受到作等加速运 动的物体作用时的应力和变形计算、构件受到冲击荷载作用 时的应力和变形计算。
圆环内的正应力为：
ND 2 D 14 3 A g
强度条件为：
D 2 14 4
g
从强度条件可知，若要旋转圆环不能因强度不足而破坏， 则应限制圆环的速度。从式（14-4）可得到容许的最大线速 度为： g 14 5
2 KD 1 1 14 9 g C
（二）水平冲击时的动荷系数
冲击物的动能为：
2 1 Q T m 2 2 2g
被冲击构件的变形能为：
2 1 Q D U D PD D 2 2 C
图14-4
根据 T=UD 得：
2 Q 2 Q D 2g 2 C
C
12 EIH Ql 3
图a
MA Ql 最大静应力为： C Wz 2Wz
（二）图b的动荷系数和最大静应力
Ql 3 Q 2Ql 3 B 点的静位移为： C 3 EI k 3 EI
动荷系数为： K D
2H 3 EIH C Ql 3
图b
M A Ql 最大静应力为： C Wz Wz
根据能量守恒，冲击物的全部动能完全转变为弹性体 （构件）的变形能，即
T U D 14 6
第十四章 动荷载
前面章节中讨论的构件，都是在静止状态下承受荷载作 用的构件。所谓静荷载，是指荷载由零逐渐增长至最终值， 以后就保持不变或变动不明显的荷载。 如果构件本身处于加速度运动状态或静止的构件承受处 于运动状态的物体作用时，那么构件受到的荷载就是动荷载。 本章主要研究构件作等加速运动时，或受到作等加速运 动的物体作用时的应力和变形计算、构件受到冲击荷载作用 时的应力和变形计算。
圆环内的正应力为：
ND 2 D 14 3 A g
强度条件为：
D 2 14 4
g
从强度条件可知，若要旋转圆环不能因强度不足而破坏， 则应限制圆环的速度。从式（14-4）可得到容许的最大线速 度为： g 14 5
2 KD 1 1 14 9 g C
（二）水平冲击时的动荷系数
冲击物的动能为：
2 1 Q T m 2 2 2g
被冲击构件的变形能为：
2 1 Q D U D PD D 2 2 C
图14-4
根据 T=UD 得：
2 Q 2 Q D 2g 2 C
C
12 EIH Ql 3
图a
MA Ql 最大静应力为： C Wz 2Wz
（二）图b的动荷系数和最大静应力
Ql 3 Q 2Ql 3 B 点的静位移为： C 3 EI k 3 EI
动荷系数为： K D
2H 3 EIH C Ql 3
图b
M A Ql 最大静应力为： C Wz Wz
根据能量守恒，冲击物的全部动能完全转变为弹性体 （构件）的变形能，即
T U D 14 6
材料力学 第11章_动载荷
二、动载荷
随时间明显变化的载荷，即具有较大 加载速率的载荷。
研究表明：
在动载荷作用下，只要应力不超过比例极限， 胡克定律仍成立，且弹性模量与静载时相同。
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三、 动载荷问题分类
(1) 加速度能确定的情况; (2) 冲击问题； (3) 振动问题； (4) 交变载荷。
返回
§11.2 动静法的应用
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3. 构件表面质量的影响 构件中的最大应力常发生于表层，疲劳裂纹也 多生成于表层。故构件表面的加工缺陷(划痕、擦 伤）等将引起应力集中，降低持久极限。 表面质量因数：
返回
4. 构件的持久极限
综合以上三种因素，在对称循环下，
构件的持久极限:
0 1
k
0 1
1
对切应力的对称循环，有：
2T Kd 1 1 , PΔst
水平冲击 K d
v2 gΔst
可见，要减小冲击载荷，应使受冲击点的静 位移尽量大。
返回
工程实例
在汽车大梁与轮轴间安装叠板弹簧;火车
车厢架与轮轴间安装压缩弹簧等。弹簧 变形较大，可减缓冲击。
返回
工程实例
受冲击的汽缸螺栓，将短螺栓改为长螺栓；
在某些机器零件上加橡皮垫等，均可增加 静位移，减缓冲击。
光滑区颗粒区裂纹源返回弹簧的疲劳失效断口疲劳源颗粒区光滑区返回四疲劳失效过程交变应力突然断裂形成断口的颗粒状粗糙区晶格位错位错聚集微观裂纹滑移带宏观裂纹宏观裂纹扩展形成断口的光滑区晶粒返回五按正弦规律变化的交变应力maxminminmaxminmax脉动循环六几种典型的交变应力minmaxminmaxmaxmin返回115持久极限及其影响因素返回总目录一持久极限持久极限由疲劳试验测定
材料力学课件第10章 动载荷zym
FNd
qd D Aρ D 2 2 = = ω 2 4
（3）截面应力： ）截面应力： FNd ρ D 2ω 2 σd = = = ρv2 A 4 （4）强度条件： ）强度条件：
σ d = ρ v 2 ≤ [σ ]
2、问题特点： 、问题特点： •截面应力与截面面积 无关。 截面应力与截面面积A无关 截面应力与截面面积 无关。 （三）扭转问题
2）强度计算： ）强度计算： （1）确定危险截面： ）确定危险截面： 为跨中截面。 为跨中截面。
l 1 l M = F −b − q 2 2 2 a l 1 = Aρ g 1 + − b l 2 g 4
2
（2）建立强度条件： ）建立强度条件： M d Aρ g a l σd = = 1 + − b l ≤ [σ ] W 2W g 4 2、问题特点： 、问题特点： 设加速度为零时的应力为σst 则： 设加速度为零时的应力为σ 1 l Aρ g − b l M 2 4 = Aρ g l − b l σ st = st = W W 2W 4 a σ d = σ st 1 + = σ st K d g
P
v
∆d P 即：Fd = ∆ st
代入得： 代入得： 1P 2 1 1 ∆2 d v = ∆ d Fd = P 2g 2 2 ∆ st
∆d =
Kd =
P
∆ st
v2 ∆ st g ∆ st
v2 g ∆ st (10.9)
∆ d = K d ∆ st ,
Fd = K d P,
σ d = K dσ st
= 1057 ×106 Pa
§10 – 5
材料力学第十二章动载荷
足牛顿第二定律 F ma
如引入惯性力 F* ma
即惯性力的方向与加速度a的方向相反，则有 F F* 0
即质点的惯性力与作用于质点的真实力组成平衡力系。在 质点系运动的每一瞬时，虚加于每个质点上的惯性力和作 用于质点系的外力组成平衡力系，这就是质点系的达朗贝 尔原理。故惯性力是遍布于整个构件的体积内的体积力。
杆长作线性分布。
根据胡克定律有微段的变形
d(L) FNd dx Fx dx EA EAL
dx
FNd (x)
FNd (x) dFNd
整个杆件的绝对变形为
qd
L
L Fx dx
FL
0 EAL 2EA
例题
例题2：一吊车以匀加速度起吊重物Q，若吊索的横截面积为A，材料
比重为，上升加速度为a，求吊索中的应力。
第十二章 动载荷 Dynamic Loading
1. 概述 2. 等加速直线运动及匀速转动时构件的动应力计算 3. 冲击问题 4. 冲击韧度 5. 提高构件抗冲击能力的措施 6. 考虑被冲击构件质量的冲击应力*
12.1 概述
概述
静载荷：作用在构件上的载荷由零开始缓慢地增加到某一 定值不再随时间改变。杆内各质点均处于静力平衡状态。 各点加速度很小，可以忽略不计。
解：构件的加速度 a F F Fg
பைடு நூலகம்m AL/ g AL
a
qd
F
构件单位长度上的惯性力(惯性力集度)
q A 1a F
d
g
L
用截面法求内力
Fx
0， FNd (x)
qd
x
F L
x
x
qd
FNd (x)
动应力
例题
d(x)
如引入惯性力 F* ma
即惯性力的方向与加速度a的方向相反，则有 F F* 0
即质点的惯性力与作用于质点的真实力组成平衡力系。在 质点系运动的每一瞬时，虚加于每个质点上的惯性力和作 用于质点系的外力组成平衡力系，这就是质点系的达朗贝 尔原理。故惯性力是遍布于整个构件的体积内的体积力。
杆长作线性分布。
根据胡克定律有微段的变形
d(L) FNd dx Fx dx EA EAL
dx
FNd (x)
FNd (x) dFNd
整个杆件的绝对变形为
qd
L
L Fx dx
FL
0 EAL 2EA
例题
例题2：一吊车以匀加速度起吊重物Q，若吊索的横截面积为A，材料
比重为，上升加速度为a，求吊索中的应力。
第十二章 动载荷 Dynamic Loading
1. 概述 2. 等加速直线运动及匀速转动时构件的动应力计算 3. 冲击问题 4. 冲击韧度 5. 提高构件抗冲击能力的措施 6. 考虑被冲击构件质量的冲击应力*
12.1 概述
概述
静载荷：作用在构件上的载荷由零开始缓慢地增加到某一 定值不再随时间改变。杆内各质点均处于静力平衡状态。 各点加速度很小，可以忽略不计。
解：构件的加速度 a F F Fg
பைடு நூலகம்m AL/ g AL
a
qd
F
构件单位长度上的惯性力(惯性力集度)
q A 1a F
d
g
L
用截面法求内力
Fx
0， FNd (x)
qd
x
F L
x
x
qd
FNd (x)
动应力
例题
d(x)
材料力学动载荷06
1 Ag(1 a )( l b)l
2
g4
③动应力
d
M W
Ag (1 a )( l b)l
2W g 4
④静应力 (a 0)
st
Ag
2W
(
l 4
b)l
动荷系数：
K
d
d st
1 a g
§10–4 杆件受冲击时旳应力和变形
措施原理：能量法 ( 机械能守恒 ）
在冲击物与受冲构件旳接触区域内，应力状态异常复杂， 且冲击连续时间非常短促，接触力随时间旳变化难以精确分 析。工程中一般采用能量法来处理冲击问题，即在若干假设 旳基础上，根据能量守恒定律对受冲击构件旳应力与变形进 行偏于安全旳简化计算。
一、直线运动构件旳动应力
[例1] 杆件旳横截面面积为A，单位体积旳质量为 , 以加速
度a上升，试求杆子中央横截面上旳动应力。
a
b
l
b
F
F
q
解：①受力分析如图:
均布载荷的集度：q qst qI
Ag Aa Ag(1 a )
g
②中央横截面上旳弯矩
M F ( l b) q ( l )2
2
22
B
1 P(hd ) 2 Fd d
Fd
A
Δd
P
A
Δst
B
Fd d P st
P(h
Fd P
st
)
1 2
Fd2 P
st
B
Fd (1
1 2h )P st
KdP
动荷系数:K
d
Fd P
1
1 2h st
突然荷载: h0, Kd 2
二、水平冲击： v mg
材料力学第十二章动载荷
冲击物对被冲击物作用一 个惯性力Fd ,因而被冲击物 发生变形；被冲击物给冲 击物一个反作用力，使冲 击物的速度减为零。
冲击过程是一个瞬间 过程，难以求得加速 度值，工程中用能量 法来研究。
动画
静止
冲击物为刚性，冲击时冲击 物的变形及变形能不计；冲击过程中，被冲击物始终
处于弹性范围之内；
h
简化假设：
复习
能量法
能量原理：外力功=变形能
拉压： Ul
N 2l 2EA
l
N 2 (x)dx 2EA
扭转： Un
M n2l 2GIp
纯弯曲：
l
M n2 (x)dx 2GI p
U
基本
w
变
形
M 2l
变2E形I能计
M
算l
2 (x)dx 2EI
第十二章 动 载荷
12-1 概述 静载荷 ：载荷由零缓慢增加，到达某值后保持不变； 动载荷 ：引起构件加速度的载荷或冲击载荷； 动变形和动应力 ：在动载荷下产生的变形和应力。 线弹性模型 ：动载荷作用下应力应变保持线形关系。
动载荷问题分类：
惯性力问题：达朗伯原理 冲击问题：能量守衡原理 疲劳问题：（下一次讨论） 振动问题：（不讲）
12-2 惯性力问题 １．等加速度运动时的应力 静内力： 静应力： 静变形： 动内力：
动应力： 动变形：
动荷系数
动荷系数：动内力与静内 力之比； 动应力与静应力之比； 动变形与静变形之比。
由于构件在静载荷作用下 的内力、应力和变形的计 算已经掌握，所以在此基 础上计算出动荷系数，就 可以求解动内力、动应力 和动变形了。所以，解决 动载荷问题的关键是确定 动荷系数。
2．旋转运动
（薄壁圆环的 匀速转动）
冲击过程是一个瞬间 过程，难以求得加速 度值，工程中用能量 法来研究。
动画
静止
冲击物为刚性，冲击时冲击 物的变形及变形能不计；冲击过程中，被冲击物始终
处于弹性范围之内；
h
简化假设：
复习
能量法
能量原理：外力功=变形能
拉压： Ul
N 2l 2EA
l
N 2 (x)dx 2EA
扭转： Un
M n2l 2GIp
纯弯曲：
l
M n2 (x)dx 2GI p
U
基本
w
变
形
M 2l
变2E形I能计
M
算l
2 (x)dx 2EI
第十二章 动 载荷
12-1 概述 静载荷 ：载荷由零缓慢增加，到达某值后保持不变； 动载荷 ：引起构件加速度的载荷或冲击载荷； 动变形和动应力 ：在动载荷下产生的变形和应力。 线弹性模型 ：动载荷作用下应力应变保持线形关系。
动载荷问题分类：
惯性力问题：达朗伯原理 冲击问题：能量守衡原理 疲劳问题：（下一次讨论） 振动问题：（不讲）
12-2 惯性力问题 １．等加速度运动时的应力 静内力： 静应力： 静变形： 动内力：
动应力： 动变形：
动荷系数
动荷系数：动内力与静内 力之比； 动应力与静应力之比； 动变形与静变形之比。
由于构件在静载荷作用下 的内力、应力和变形的计 算已经掌握，所以在此基 础上计算出动荷系数，就 可以求解动内力、动应力 和动变形了。所以，解决 动载荷问题的关键是确定 动荷系数。
2．旋转运动
（薄壁圆环的 匀速转动）
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M
nd
L
材料力学
动载荷/动静法的应用
完成课本320页例10.1
思路：
计算惯性力
将惯性力以虚拟外力的形式作用于飞轮上 转变为平衡问题求解
材料力学
难点：计算惯性力 分析：
飞轮绕轴旋转，使轴产生扭转变形，因此飞
轮的惯性力实际上是一个惯性力偶M。
计算：
M d I x
为角加速度。
I x 为转动惯量；
3.计算中点处的最大冲击应力
d max
k d
st max
材料力学
如果在B支座下加一弹簧，弹性系数为K，求 中点处的最大冲击应力。
Q H B L/2 L/2 k
A
材料力学
1.计算中点冲击处的最大静应力
加弹簧前后中点处的
H A
Q
B
最大静应力不变。
L/2
L/2
k
st max
M W
M
材料力学
U
材料力学
1 2
2 d st
P
动载荷/杆件受冲击时的应力和变形
4.将计算出的各参数代入能量法公式
T V U
得：
d
st
(1
1
2T P
st
)
Kd 1
材料力学
1
2T P
st
五.动载作用下动应力和动变形的求法
将动载荷作为静载作用到物体上，求出在 静载作用下的静应力和静变形，分别乘以动荷 系数，即为动应力和动变形。
度为，横截面积为A，比重为，壁厚为t，求
圆环横截面上的应力。
D o
材料力学
t
动载荷/动静法的应用
(1)计算惯性力并以虚拟外力的形式作用于圆环上 等角速度转动时，环内各点具有向心加速度， 且D>>t，可近似地认为环内各点向心加速度相 同。
qd
an D / 2
2
o
材料力学
沿圆环轴线均匀分布的惯性 力集度为：
材料力学
动载荷/杆件受冲击时的应力和变形
四.计算中用到的相关公式
T V U
思考：
冲击过程中，冲击物减少的动能和势能以
及被冲击物增加的变形能分别应如何计算？
材料力学
动载荷/杆件受冲击时的应力和变形
1.计算冲击物损失的动能T 所用公式： T
1 2
mv
2 0
1 2
mv
2 1
其中： v 0 ： 冲 击 前 的 速 度 ；
qd A g an AD 2g
2
动载荷/动静法的应用
(2)根据平衡问题求解 圆环横截面上的内力为：
qd
y
2N
N
d
qd D
2
AD 4g
o
N
d
x
N
d
d
2
圆环横截面上的应力为：
d
N
d
D
4g
2
2
v
g
2
A
式中， v
材料力学
D 2
是圆环轴线上各点的线
速度。
动载荷/动静法的应用
引言： 许多机械零件在工作中往往要受到冲击 载荷的作用，如锤杆，制造这类零件所用的 材料，其性能指标不能单纯用静载荷作用下 的指标来衡量，而必须考虑材料抵抗冲击载
荷的能力。
材料力学
一.冲击韧性 材料抵抗冲击载荷作用而不破坏的能力。
10 55 10
45
二.冲击试验
1.冲击试样的要求
10mm×10mm×55mm
圆环等角速度转动的强度条件为：
v
g
2
d
[ ]
结论：
1.环内应力与横截面积A无关； 2.要保证强度，应限制圆环的转速。
材料力学
课本320页例10.1-等截面圆轴受冲击扭转 在AB轴的B端有一个质量很大的飞轮，轴的质量 忽略不计，轴的另一端A装有刹车离合器，飞轮 的转速为n=100r/min，转动惯量Ix=0.5KN*S2， 轴的直径d=100mm，刹车时使轴在10S内均匀 减速停止转动，求轴内的最大动应力。
所以：
U
材料力学
Q H Q Q
d
弹簧
冲击过程中，动载荷所做的功即为被冲击物的应变能
1 2 Fd
d
动载荷/杆件受冲击时的应力和变形
若冲击物P以静载的方式作用于构件上，
构件的静变形和静应力为△st和σst，
根据胡克定律得： F d
P
d st
d st
带入应变能的计算公式得：
增加，动荷系数减小，从而起到了缓冲作用。
材料力学
课本332页例10.5 在AB轴的B端有一个质量很大的飞轮，轴的质量 忽略不计，轴的另一端A装有刹车离合器，已知 飞轮的转速n，转动惯量Ix，轴的直径d，切变 模量G，轴长L，求A段突然刹车时轴内的最大动 应力。 思路：
M
nd
不知道动荷系数的 公式，因此，用原
d
(x)
m
m
a
Q g
x
F d ( x ) Q (1
a g
)
a
Q
因此，吊索中的动应力为：
d
(x)
Fd A
Q A
(1
a g
)
材料力学
动载荷/动静法的应用
将动静载荷下的应力进行对比：
吊索中的动应力为：
d
(x)
Q A
(1
a g
)
当重物静止或作匀速直线运动时，吊索横截面上的静应力为：
QL 4
2.计算动荷系数
H
A
L/2 L/2
B
k
kd 1
1
2H
st
加弹簧后中点处的静变形等于不加弹簧时
的静挠度与弹簧在中点处产生的变形之和。
材料力学
st
QL
3
1 Q /2 2 k
48 EI
3.计算中点处的最大冲击应力
结论：
d max
k d
st max
在保持静应力不变的前提下，弹簧使得静变形
思考： 大能量一次冲击和小能量多次冲击 之间是否存在必然着必然的联系？ 试验1：人
试验2：铸铁
小能量多次冲击的衡量指标：
材料力学
冲击次数
总结
1.大能量一次冲击，冲击韧性的大小取决于
（
）；
2.小能量多次冲击，冲击韧性的大小取决于 （ ）。
答案1：冲击韧度的大小 答案2：材料的强度和塑性
材料力学Βιβλιοθήκη 第十章动载荷材料力学
动载荷/概述
§10.1 概述
材料力学
动载荷/概述
一.基本概念
静载荷：
大小不变或变化缓慢的载荷。
动载荷： 使构件产生明显加速度的载荷或者 随时间变化的载荷。
材料力学
动载荷/概述
本章讨论的两类问题：
作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件； 冲击载荷作用下构件的应力和变形计算。
可把动力学问题在形式上作为静力学问题
来处理，这就是动静法。
材料力学
动载荷/动静法的应用
动静法的解题步骤：
1.计算惯性力；
* F m a
2.将惯性力作为虚拟外力加于各质点上； 3.将整体作为平衡问题处理。
材料力学
动载荷/动静法的应用
三.动静法的应用举例
1. 匀加速运动构件 一吊车以匀加速度起吊重物Q, 吊索自重不计，若吊索的横截面积 为A，上升加速度为a，试计算吊索 中的应力。
料的试样冲断，问两种材料哪个的韧性更好。
10
55
10
k
冲击吸收功 断口面积
W A
冲击韧度越大，材料的韧性越好
材料力学
直接读数的摆锤冲击试验机：
材料力学
思考： 冲击韧性是否与温度有关。
材料力学
1938.3.14
比利时阿尔伯特桥在低温破裂
材料力学
1940年 油船在低温下破裂
材料力学
试验结果
L
材料力学
始能量法求解。
动载荷/杆件受冲击时的应力和变形
1.计算冲击后损失的动能
注意飞轮动能的损失计算方法
Td
T
L
1 2
I x
2
材料力学
动载荷/杆件受冲击时的应力和变形
2.计算冲击后损失的势能
V 0
3.计算增加的扭转变形能
U
1 2
Td d
其中：T d 为 冲 击 扭 转 力 矩 ；
求动荷系数
计算最大冲击应力
1.计算中点冲击处的最大静应力 梁发生弯曲变形，因此
H A L/2 L/2
Q
B
st max
M W
M
材料力学
QL 4
2.计算动荷系数 Q
B
kd 1
1
2H
st
H A
用积分法计算中点的
静变形（静挠度）
L/2
L/2
材料力学
st
w st
QL
3
48 EI
T V U
各符号的含义： T：冲击物减少的动能； V：冲击物减少的势能； U：被冲击物增加的变形能。
材料力学
动载荷/杆件受冲击时的应力和变形
三.计算冲击问题时所做假设
1.在整个冲击过程中，结构保持线弹性，即 力和变形成正比。 2.假定冲击物为刚体。只考虑其机械能的变 化，不计变形能。 3.假定被冲击物为弹性体。需要考虑其变形能， 但由于被冲击物的质量忽略不计，因此，不需 要考虑其机械能。 4.略去冲击过程中的其它能量损失。
nd
L
材料力学
动载荷/动静法的应用
完成课本320页例10.1
思路：
计算惯性力
将惯性力以虚拟外力的形式作用于飞轮上 转变为平衡问题求解
材料力学
难点：计算惯性力 分析：
飞轮绕轴旋转，使轴产生扭转变形，因此飞
轮的惯性力实际上是一个惯性力偶M。
计算：
M d I x
为角加速度。
I x 为转动惯量；
3.计算中点处的最大冲击应力
d max
k d
st max
材料力学
如果在B支座下加一弹簧，弹性系数为K，求 中点处的最大冲击应力。
Q H B L/2 L/2 k
A
材料力学
1.计算中点冲击处的最大静应力
加弹簧前后中点处的
H A
Q
B
最大静应力不变。
L/2
L/2
k
st max
M W
M
材料力学
U
材料力学
1 2
2 d st
P
动载荷/杆件受冲击时的应力和变形
4.将计算出的各参数代入能量法公式
T V U
得：
d
st
(1
1
2T P
st
)
Kd 1
材料力学
1
2T P
st
五.动载作用下动应力和动变形的求法
将动载荷作为静载作用到物体上，求出在 静载作用下的静应力和静变形，分别乘以动荷 系数，即为动应力和动变形。
度为，横截面积为A，比重为，壁厚为t，求
圆环横截面上的应力。
D o
材料力学
t
动载荷/动静法的应用
(1)计算惯性力并以虚拟外力的形式作用于圆环上 等角速度转动时，环内各点具有向心加速度， 且D>>t，可近似地认为环内各点向心加速度相 同。
qd
an D / 2
2
o
材料力学
沿圆环轴线均匀分布的惯性 力集度为：
材料力学
动载荷/杆件受冲击时的应力和变形
四.计算中用到的相关公式
T V U
思考：
冲击过程中，冲击物减少的动能和势能以
及被冲击物增加的变形能分别应如何计算？
材料力学
动载荷/杆件受冲击时的应力和变形
1.计算冲击物损失的动能T 所用公式： T
1 2
mv
2 0
1 2
mv
2 1
其中： v 0 ： 冲 击 前 的 速 度 ；
qd A g an AD 2g
2
动载荷/动静法的应用
(2)根据平衡问题求解 圆环横截面上的内力为：
qd
y
2N
N
d
qd D
2
AD 4g
o
N
d
x
N
d
d
2
圆环横截面上的应力为：
d
N
d
D
4g
2
2
v
g
2
A
式中， v
材料力学
D 2
是圆环轴线上各点的线
速度。
动载荷/动静法的应用
引言： 许多机械零件在工作中往往要受到冲击 载荷的作用，如锤杆，制造这类零件所用的 材料，其性能指标不能单纯用静载荷作用下 的指标来衡量，而必须考虑材料抵抗冲击载
荷的能力。
材料力学
一.冲击韧性 材料抵抗冲击载荷作用而不破坏的能力。
10 55 10
45
二.冲击试验
1.冲击试样的要求
10mm×10mm×55mm
圆环等角速度转动的强度条件为：
v
g
2
d
[ ]
结论：
1.环内应力与横截面积A无关； 2.要保证强度，应限制圆环的转速。
材料力学
课本320页例10.1-等截面圆轴受冲击扭转 在AB轴的B端有一个质量很大的飞轮，轴的质量 忽略不计，轴的另一端A装有刹车离合器，飞轮 的转速为n=100r/min，转动惯量Ix=0.5KN*S2， 轴的直径d=100mm，刹车时使轴在10S内均匀 减速停止转动，求轴内的最大动应力。
所以：
U
材料力学
Q H Q Q
d
弹簧
冲击过程中，动载荷所做的功即为被冲击物的应变能
1 2 Fd
d
动载荷/杆件受冲击时的应力和变形
若冲击物P以静载的方式作用于构件上，
构件的静变形和静应力为△st和σst，
根据胡克定律得： F d
P
d st
d st
带入应变能的计算公式得：
增加，动荷系数减小，从而起到了缓冲作用。
材料力学
课本332页例10.5 在AB轴的B端有一个质量很大的飞轮，轴的质量 忽略不计，轴的另一端A装有刹车离合器，已知 飞轮的转速n，转动惯量Ix，轴的直径d，切变 模量G，轴长L，求A段突然刹车时轴内的最大动 应力。 思路：
M
nd
不知道动荷系数的 公式，因此，用原
d
(x)
m
m
a
Q g
x
F d ( x ) Q (1
a g
)
a
Q
因此，吊索中的动应力为：
d
(x)
Fd A
Q A
(1
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)
材料力学
动载荷/动静法的应用
将动静载荷下的应力进行对比：
吊索中的动应力为：
d
(x)
Q A
(1
a g
)
当重物静止或作匀速直线运动时，吊索横截面上的静应力为：
QL 4
2.计算动荷系数
H
A
L/2 L/2
B
k
kd 1
1
2H
st
加弹簧后中点处的静变形等于不加弹簧时
的静挠度与弹簧在中点处产生的变形之和。
材料力学
st
QL
3
1 Q /2 2 k
48 EI
3.计算中点处的最大冲击应力
结论：
d max
k d
st max
在保持静应力不变的前提下，弹簧使得静变形
思考： 大能量一次冲击和小能量多次冲击 之间是否存在必然着必然的联系？ 试验1：人
试验2：铸铁
小能量多次冲击的衡量指标：
材料力学
冲击次数
总结
1.大能量一次冲击，冲击韧性的大小取决于
（
）；
2.小能量多次冲击，冲击韧性的大小取决于 （ ）。
答案1：冲击韧度的大小 答案2：材料的强度和塑性
材料力学Βιβλιοθήκη 第十章动载荷材料力学
动载荷/概述
§10.1 概述
材料力学
动载荷/概述
一.基本概念
静载荷：
大小不变或变化缓慢的载荷。
动载荷： 使构件产生明显加速度的载荷或者 随时间变化的载荷。
材料力学
动载荷/概述
本章讨论的两类问题：
作匀加速直线运动和匀角速旋转的构件； 冲击载荷作用下构件的应力和变形计算。
可把动力学问题在形式上作为静力学问题
来处理，这就是动静法。
材料力学
动载荷/动静法的应用
动静法的解题步骤：
1.计算惯性力；
* F m a
2.将惯性力作为虚拟外力加于各质点上； 3.将整体作为平衡问题处理。
材料力学
动载荷/动静法的应用
三.动静法的应用举例
1. 匀加速运动构件 一吊车以匀加速度起吊重物Q, 吊索自重不计，若吊索的横截面积 为A，上升加速度为a，试计算吊索 中的应力。
料的试样冲断，问两种材料哪个的韧性更好。
10
55
10
k
冲击吸收功 断口面积
W A
冲击韧度越大，材料的韧性越好
材料力学
直接读数的摆锤冲击试验机：
材料力学
思考： 冲击韧性是否与温度有关。
材料力学
1938.3.14
比利时阿尔伯特桥在低温破裂
材料力学
1940年 油船在低温下破裂
材料力学
试验结果
L
材料力学
始能量法求解。
动载荷/杆件受冲击时的应力和变形
1.计算冲击后损失的动能
注意飞轮动能的损失计算方法
Td
T
L
1 2
I x
2
材料力学
动载荷/杆件受冲击时的应力和变形
2.计算冲击后损失的势能
V 0
3.计算增加的扭转变形能
U
1 2
Td d
其中：T d 为 冲 击 扭 转 力 矩 ；
求动荷系数
计算最大冲击应力
1.计算中点冲击处的最大静应力 梁发生弯曲变形，因此
H A L/2 L/2
Q
B
st max
M W
M
材料力学
QL 4
2.计算动荷系数 Q
B
kd 1
1
2H
st
H A
用积分法计算中点的
静变形（静挠度）
L/2
L/2
材料力学
st
w st
QL
3
48 EI
T V U
各符号的含义： T：冲击物减少的动能； V：冲击物减少的势能； U：被冲击物增加的变形能。
材料力学
动载荷/杆件受冲击时的应力和变形
三.计算冲击问题时所做假设
1.在整个冲击过程中，结构保持线弹性，即 力和变形成正比。 2.假定冲击物为刚体。只考虑其机械能的变 化，不计变形能。 3.假定被冲击物为弹性体。需要考虑其变形能， 但由于被冲击物的质量忽略不计，因此，不需 要考虑其机械能。 4.略去冲击过程中的其它能量损失。