数列 计算类

数列训练3 计算1已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a (其中,a b均为正整数)．(Ⅰ) 若1122,a b a b ==，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若1213,,,k n n n a a a a a L L ，，，12(3)k n n n <<<<<L L 成等比数列，求数列{}k n 的通项公式；(Ⅲ) 若11223a b a b a <<<<，且至少存在三个不同的b 值使得等式()m n a t b t N +=∈成立，试求a 、b 的值．解：（Ⅰ）由1122,a b a b ==得：a ba b ab =⎧⎨+=⎩，解得：0a b ==或2a b ==，,a b N +∈Q ， 2a b ∴==，从而2,2nn n a n b ==…………………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得132,6a a ==，∴1213,,,k n n n a a a a a L L，，，构成以2为首项，3为公比的等比数列，即：123k k n a +=⋅ ……………………………………………………… 7分又2k n k a n =，故1223k k n +=⋅，13k k n +∴=…………………………………………10分(Ⅲ) 由11223a b a b a <<<<得：2a b a b ab a b <<+<<+， 由a b ab +<得：()1a b b ->；由2ab a b <+得：()12a b b-<，而*,,a b N a b ∈<，即：1b a >≥，从而得：12211241111b b a b b b b <+=<<=+≤----，2,3a ∴=，当3a =时，2b =不合题意，故舍去，所以满足条件的2a =. …………………………………………………………………12分 又2(1)m a b m =+-Q ，12n n b b -=⋅，故()1212n b m t b -+-+=⋅，即：()1212n m b t--+=+①若1210n m --+=，则2t N =-∉，不合题意；………………………………… 14分②若1210n m --+≠，则1221n tb m -+=-+，由于121n m --+可取到一切整数值，且3b ≥，故要至少存在三个b 使得()m n a t b t N +=∈成立，必须整数2t +至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以t 的最小值为10，此时3b =或4或122.（3）若()Z b a b an b a n nn ∈+==,,,2,121-≥b ，记直线n n B A 的斜率为n k ，数列{}n k 前8项依次递减，求满足条件的数列{}n b 的个数。

⑶n k =002n n n n n b b an ba a -+=-=--．又数列{}n k 前8项依次递减， ∴1n n k k +-=11(1)222n n n a n b an b an a b+++++-+-+=0<对17()n n Z ≤≤∈成立， 即0an a b -+<对17()n n Z ≤≤∈成立．又数列{}n b 是递增数列，∴0a >，只要7n =时，即760a a b a b -+=+<．又112b a b =+≥-，，易得5120<<a 则1a =或2．当1a =时，136b -≤<-，13,12,11,10,9,8,7b =-------，有7解；当2a =时，1412b -≤<-，即14,13b =--，有2解．∴数列{}n b 共有9个． 3．设数列12,,S S K 是一个严格递增的正整数数列． (1) 若11,k k S S S S ++是该数列的其中两项，求证: 11k k S S S S ++≤;(2)该数列的两个子数列12,S S S S K 和1211,,S S S S ++K 都是等差数列，求证:这两个子数列公差等;(3) 若(2)中的公差为1，求证: 11k k S S S S ++≥,并证明数列{}n S 也是等差数列． 证：(1)由条件知: 1111k k k k S S S S S S ++++≤∴≤．(2)设两子数列的首项分别为,,a b 公差分别为12,d d ．11k k k S S S S S S ++<≤Q121(1)(1)a k d b k d a kd ∴+-<+-≤+即211(1)()a b k d d a b d -<--≤-+上式左，右端皆为常数,中间的k ∈N,故必须210d d -=，12d d ∴=(3) Q 公差为1, 11k k S S S S +∴=+．又数列{}n S 是严格递增的正整数数列,11k k S S S S +∴+≤ 11k k S S S S ++∴≤又由(1)知1111k k k k S S S S S S S S ++++∴≥∴=．故11(N),k k S S k +=+∈即数列{}n S 是公差为1的等差数列．4、（16分）定义：对于任意*n ∈N ，满足条件212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数）的无穷数列{}n a 称为T 数列．（1）若2n a n =-(*n ∈N )，证明：数列{}n a 是T 数列（2）设数列{}n b 的通项为243nn b n =-，且数列{}n b 是T 数列，求M 的取值范围；（3）设数列1n c q n p=--(*n ∈N )，问数列{}n c 是否是T 数列？请说明理由． 解：(1) 由2n a n =-得222212(2)2(1)20n n n a a a n n n +++-=--+++=-<所以数列{}n a 满足212n n n a a a +++≤. 2n a n =-(*n ∈N )单调递减,所以当n =1时，n a 取得最大值-1，即1n a ≤-.所以，数列{}n a 是T 数列. …… 4分(2) 由243n n b n =-得()1124132432423n n nn n b b n n ++-=+--+=-⋅，当24230n-⋅≥,即2n ≤时，10n n b b +->，此时数列{}n b 单调递增； ……………6分而当3n ≥时，10n n b b +-<，此时数列{}n b 单调递减；因此数列{}n b 中的最大项是3b ，所以，M 的取值范围是 3494M b ≥=. ……………9分（3）假设数列{}n c 是T 数列，依题意有：2111222(2)(1)()(1)(2)n n n c c c p n p n p n p n p n p n +++-=+-=--+-+----- …11分 因为*n ∈N ,所以当且仅当p 小于n 的最小值时,2102n n n c c c +++-≤对任意n 恒成立， 即可得1p <. ……………14分又当1p <时，0n p ->,1n c q q n p=-<-，故M q ≥ 综上所述：当1p <且M q ≥时，数列{}n c 是T 数列． ……………16分 5.设数列{a n }满足a 1 = 3，a n +1 = 2a n ＋n·2n +1＋3n ，n ≥1。

(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项之和S n 。

解: (1) a n =2n -1·(n 2-n )＋3n 。

(2)S n = M n ＋3＋32＋ (3)=3(3n -1)2- (n -2)·2n +1＋(n -1)·n ·2n -4。

6．（本小题满分16分）设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为q （q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{}n b 满足232()02n n n t b n b -++=（,t R ∈*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）试确定t 的值，使得数列{}n b 为等差数列； （Ⅲ）当{}n b 为等差数列时，对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c . 设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m .7已知)(x f 为二次函数，不等式02)(<+x f 的解集为1(1,)3-，且对任意α，β∈R 恒有(sin )0f α≤，(2cos )0f β+≥.数列}{n a 满足11a =，1131()()n n a n f a *+=-∈'Ν（1）求函数)(x f 的解析式；（2）设nn a b 1=，求数列}{n b 的通项公式； （3）若（2）中数列}{n b 的前n 项和为n S ，求数列{cos ()}n n S b π⋅的前n 项和n T . 19. （1）235()22f x x x ∴=+-（2）1(1)332()n b n n n *∴=+-⋅=-∈N . （3）22321(432(4n n n n T n n n ⎧--+⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数),为偶数）.8 （本题满分16分）在正项数列{}n a 中,令1nn i S ==.（Ⅰ）若{}n a 是首项为25,公差为2的等差数列,求100S ；（Ⅱ）若n S =p 为正常数）对正整数n 恒成立,求证{}n a 为等差数列；（Ⅲ）给定正整数k ,正实数M ,对于满足2211k a a M ++≤的所有等差数列{}n a ,求1221k k k T a a a +++=++⋅⋅⋅+的最大值. 【解】（Ⅰ）解：由题意得=,所以100S5=…(4 （Ⅱ）证:令1n ==,则p =1………………………(5分)所以1nn i S ==1）111n n i S ++==2）, （2）—（1）,,化简得121(1)(1)n n n a na a n +++-=≥（3）……………………………………(7分)231(2)(1)(1)n n n a n a a n +++-+=≥（4）,（4）—（3）得1322(1)n n n a a a n ++++=≥(9在（3）中令1n =,得1322a a a +=,从而{}n a 为等差数列 ………………………(10分) （Ⅲ）记1k t a +=,公差为d ,则1221k k k T a a a +++=++⋅⋅⋅+=(1)(1)2k k k t d +++…… 则12T kdt k =++,222211()k M a a t t kd +≥+=+- 222414()(43)()10210102kd kd t t kd t =++-≥+22()51T k =+……………………(14分)则(2k T +≤,当且仅当2432()52t kd kd M t =⎧⎪⎨=+⎪⎩,即1k a t d +⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(16分)92 6.2217m m m ⎧>⎪⇔⇔⎨⎪⎩，≥≥故所求最小正整数m 为6.9．定义在R 上的函数)(x f 和数列{}n a 满足下列条件：a a =1，12a a ≠，当*∈N n 且2≥n 时，)(1-=n n a f a 且)()()(11---=-n n n n a a k a f a f ．其中a 、k 均为非零常数． （3）试研究数列{}n a 为等比数列的充要条件，并证明你的结论．解： （3）{}n a 是等比数列的充要条件是kx x f =)()1(≠k ………………9分 充分性证明：若kx x f =)()1(≠k ，则由已知01≠=a a ，)(1-=n n a f a ),4,3,2(⋅⋅⋅=n 得1-=n n ka a ),4,3,2(⋅⋅⋅=n 所以，{}n a 是等比数列．必要性证明：若{}n a 是等比数列，由（2）知，)(121a a kb n n -=-)(*∈N n111212121)()()(a a a a a a a a b b b n n n n -=-+⋅⋅⋅+-+-=+⋅⋅⋅++--)2(≥n ， )(1211-+⋅⋅⋅+++=n n b b b a a ．当1=k 时，)1)((121--+=n a a a a n )2(≥n ．上式对1=n 也成立，所以，数列{}n a 的通项公式为：)1)()((--+=n a a f a a n )(*∈N n ．所以，当1=k 时，数列{}n a 是以a 为首项，a a f -)(为公差的等差数列． 所以，1≠k ．]当1≠k 时，k k a a a a n n ---+=-11)(1121)2(≥n ．上式对1=n 也成立，所以，k k a a f a a n n ---+=-11))((1k k a a f k a a f a n -----+=-1))((1)(1.01)(=--+kaa f a kaa f =⇒)(． 15.已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列a 1b ,a 2b ,…,a n b ,…为等比数列，其中b 1=1,b 2=5,b 3=17.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)记T n =C 1n b 1+C 2nb 2+C 3n b 3+…+C nn b n ,求nnn n bT +∞→4lim .10.解：(1)由题意知a 52=a 1·a 17，即(a 1+4d )2=a 1(a 1+16d )⇒a 1d =2d 2,∵d ≠0,∴a 1=2d ,数列{n b a }的公比q =11154a d a a a +==3,∴n b a =a 1·3n －1①又n b a =a 1+(b n －1)d =121a b n +②由①②得a 1·3n －1=21+n b ·a 1.∵a 1=2d ≠0,∴b n =2·3n－1－1.(2)T n =C 1n b 1+C 2n b 2+…+C n n b n =C 1n (2·30－1)+C 2n ·(2·31－1)+…+C n n (2·3n －1－1)=32(C 1n +C 2n ·32+…+C n n ·3n )－(C 1n +C 2n +…+C n n )=32［(1+3)n －1］－(2n －1)=32·4n －2n +31,。