数列 计算类
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数列训练3 计算
1已知等差数列
{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a (其中,a b
均为正整数)．(Ⅰ) 若
1122
,a b a b ==，求数列
{}n a 、{}n b 的通项公式；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若1213,,,k n n n a a a a a L L ，，，12(3)
k n n n <<<< 求数列{}k n 的通项公式；(Ⅲ) 若11223a b a b a <<<<，且至少存在三个不同的b 值使得等 式 () m n a t b t N +=∈成立，试求a 、b 的值． 解：（Ⅰ）由1122,a b a b ==得：a b a b ab =⎧⎨ +=⎩ ，解得：0a b ==或2a b ==， ,a b N +∈Q ， 2a b ∴==，从而2,2n n n a n b ==…………………………………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得132,6 a a ==，∴ 1213,,,k n n n a a a a a L L ，，，构成以2为首项，3为公比的等比 数列，即：1 23k k n a +=⋅ ……………………………………………………… 7分 又 2k n k a n =，故 1223k k n +=⋅， 1 3k k n +∴=…………………………………………10分 (Ⅲ) 由 11223 a b a b a <<<<得：2a b a b ab a b <<+<<+， 由a b ab +<得： ()1a b b ->；由2ab a b <+得： ()12a b b -<， 而* ,,a b N a b ∈<，即：1b a >≥，从而得： 122 11241111b b a b b b b <+ =<<=+≤----， 2,3a ∴=，当3a =时，2b =不合题意，故舍去， 所以满足条件的2a =. …………………………………………………………………12分 又 2(1) m a b m =+-Q ， 1 2n n b b -=⋅，故 ()1 212n b m t b -+-+=⋅，即： ()1 2 12n m b t --+=+ ①若1 210n m --+=，则2t N =-∉，不合题意；………………………………… 14分 ②若1 2 10n m --+≠，则 1221n t b m -+= -+，由于121n m --+可取到一切整数值，且3b ≥， 故要至少存在三个b 使得 () m n a t b t N +=∈成立，必须整数2t +至少有三个大于或等于3 的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以t 的最小值为10，此时3b =或4或12 2.（3）若()Z b a b an b a n n n ∈+==,,,2,121-≥b ，记直线n n B A 的斜率为n k ，数列{} n k 前8项依次递减，求满足条件的数列{}n b 的个数。 ⑶n k = 002 n n n n n b b an b a a -+=-=--．又数列{}n k 前8项依次递减， ∴1n n k k +-=11 (1)222n n n a n b an b an a b +++++-+- += 0<对17()n n Z ≤≤∈成立， 即0an a b -+<对17()n n Z ≤≤∈成立．又数列{}n b 是递增数列，∴0a >，只要7n =时，即760a a b a b -+=+<．又112b a b =+≥-，，易得512 0<