高等代数期末复习试题

(
)
3.一个向量组存在两个极大无关组，它们所含向量的个数不相同. (
)
4．两个向量空间之间的同构映射的逆映射还是同构映射. ( )
5．若数域上的两个阶矩阵、相似，则、合同.
()
6．任何一个阶实对称矩阵都相似且合同于一个实对角矩阵. ( )
7．两个复二次型等价的充要条件是它们有相同的秩.
(
)
8．向量空间的可逆线性变换的核是空集.
2．设,求的特征根及对应的特征向量.问是否可以对角化？若可以，则 求一可逆矩阵，使为对角形.
3． 写出3元二次型的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为 只含变量的平方项.
得 五分
阅卷教师
五．证明题（每小题10分，共20分） 1．设是数域上维向量空间线性变换，，若但试证是的一个基，并写出 关于此基的矩阵．
()
维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( )
．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组.
()
5．每一个线性变换都有本征值.
(
)
6．若向量是线性变换的属于本征值的本征向量，则由生成的子空间 为
的不变子空间.
()
7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换.
(
)
8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩.
数学系《高等代数》期末考试试卷
年级
专业
学号
姓名
注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。
题 号
一
二Leabharlann Baidu
三
四
五
总分
签名
得 分
得 一分
阅卷教师
装订线
一．判断题（正确的在题后的括号内打“√”；错误的在题后的括号内 打“×”.每小题2分，共18分）
1．向量空间一定含有无穷多个向量.
(
)
．若向量空间的维数,则没有真子空间.
2．设是维欧氏空间的正交变换，同时又是对称变换，是关于的某一规 范正交基的矩阵，证明为单位矩阵．
.
3. 向量空间中, 向量(1,2,3)在基{(1,1,1),(0,1,1),(0,0，1)}下的坐
标为
.
4.设是数域F上向量空间的线性变换，是的子空间，则是的不变子空间
的充分必要条件是
．
5.在欧氏空间中， 柯西-施瓦茨不等式成立，且等式成立：的充要条件
是
．
得 四分
阅卷教师
5． 计算题（每小题14分，共42分） 1．求齐次线性方程组 的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．
无关性.
2．两个n元实二次型等价的充要条件是( ) .
A．它们的秩相等；
B．它们的惯性指标相等；
C．它们的符号差相同；
D．它们有相同的秩和符号差.
3．数域F上所有对称矩阵的全体关于矩阵的加法及数乘所成的向量空间
的维数是( ) .
A.；
B.；
C.；
D. .
4. 向量空间中的下列变换，只有( )不是 的线性变换.
合；
C.若向量组线性无关，且每一可由向量 线性表示，则；
D. 维向量空间的任意两个基彼此等价.
2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ).
A．向量空间的可逆线性变换是到的同构映射；
B．数域上的维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域 上的
所有阶矩阵所成向量空间同构；
C．若是数域上向量空间到的同构映射，则是到的同构映射；
C．合同于三阶单位矩阵； D．对某一有.
得 三分
阅卷教师
三．填空题（每小题2分，共10分，把答案填在题中横线上）
1. 复数域作为实数域上的向量空间，它的一个基是________. 2. 设是数域上元行空间，对任意，定义，则是一个线性变换，
且的核的维数等于______. 3. 若是一个正交矩阵，则的行列式=________. 4. 在欧氏空间中向量与的夹角=______.
D．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.
3．阶矩阵有个不同的特征根是与对角矩阵相似的 ( ).
A．充分而非必要条件； B．必要而非充分条件；
C．充分必要条件；
D. 既非充分也非必要条件．
4．二次型 的矩阵是( ).
A．；
B．；
C．；
D．
5.实二次型正定的充分且必要条件是 ( ).
A．；
B．秩为3；
3． 写出3元二次型的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为 只含变量的平方项.
得 五分
阅卷教师
五．证明题（每小题10分，共20分） 1．设为阶矩阵的属于不同特征根，分别是的属于的特征向量，证明不 是的特征向量.
2．设是维欧氏空间的正交变换，且为单位变换，是关于的某一规范正 交基的矩阵，证明为对称矩阵．
(
)
9. 若两个阶实对称矩阵均正定,则它们的和也正定. ( )
得 二分
阅卷教师
二．单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答
案，并将其号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）
1. 下列命题不正确的是 ( ).
A. 若向量组线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性
无关；
B. 若向量组线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组
A. ； B. ；
C.； D.
5．设是一个阶酉矩阵，则 ( ) .
A. 的行列式等于；
B. 的特征根的模为；
C. 的行列式的模等于或；
得 三分
阅卷教师
D. 的特征根为或.
三．填空题（每小题2分，共10分，把答案填在题中横线上）
1. 3元实二次型是正定的，则取值范围为
.
2. 设A是n阶实对称矩阵,则A为正定的充要条件是
数学系《高等代数》期末考试试卷（A卷）
年级
专业
学号
姓名
注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。
题 号
一
二
三
四
五
总分
签名
得 分
得 一分
阅卷教师
装订线
一．判断题（正确的在题后的括号内打“√”；错误的在题后的括号内 打“×”.每小题2分，共18分）
1．任意数域可以看成是它自身上的向量空间.
(
)
2．欧氏空间的两个子空间的并还是子空间．
5. 实数域Ｒ上元二次型可分为_______类，属于同一类的二次 型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.
得 四分
阅卷教师
4． 计算题（每小题14分，共42分） 1．求齐次线性方程组 的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．
2．设,求的特征根及对应的特征向量.问是否可以对角化？若可以，则 求一可逆矩阵，使为对角形.
()
9．两个阶正交矩阵、的和还是正交矩阵.
()
得 二分
阅卷教师
二．单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答
案，并将其号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）
1. 下列命题正确的是 ( ) .
A. 线性变换保持向量长度不变； B. 对称变换保持向量的内积不
变；
C. 正交变换保持向量夹角不变； D. 线性变换保持向量的线性