第6章平面向量与复数复数

复数

1．复数的有关概念

(1)定义：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：

(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．

(5)模：向量OZ →

的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义

复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →

＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算

(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .

(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．

如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2—→＝OZ 2→－OZ 1→

.

概念方法微思考

1．复数a ＋b i 的实部为a ，虚部为b 吗？

提示 不一定．只有当a ，b ∈R 时，a 才是实部，b 才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？

提示 复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．

1．（2020•海南）(12)(2)(i i ++=（ ） A ．45i +

B ．5i

C ．5i -

D ．23i +

【答案】B

【解析】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=， 故选B ．

2．（2020•北京）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z =（ ） A ．12i + B ．2i -+ C ．12i - D ．2i --

【答案】B

【解析】复数z 对应的点的坐标是(1,2)， 12z i ∴=+，

则(12)2i z i i i =+=-+， 故选B ． 3．（2020•山东）212i

i

-=+（ ） A ．1 B ．1-

C ．i

D ．i -

【答案】D 【解析】

2(2)(12)512(12)(12)14

i i i i

i i i i ----===-++-+， 故选D ．

4．（2020•新课标Ⅰ）若312z i i =++，则||z =（ ）

A ．0

B ．1

C

D ．2

【答案】C

【解析】312121z i i i i i =++=+-=+，

||z ∴=．

故选C ．

5．（2020•新课标Ⅲ）复数1

13i

-的虚部是（ ） A ．3

10

-

B ．110

- C ．

110

D ．

310

【答案】D 【解析】

11313

13(13)(13)1010

i i i i i +==+--+， ∴复数

113i -的虚部是3

10

． 故选D ．

6．（2020•新课标Ⅰ）若1z i =+，则2

|2|z z -=（ ）

A ．0

B ．1

C

D ．2

【答案】D

【解析】若1z i =+，则222(1)2(1)2222z z i i i i -=+-+=--=-， 则2|2||2|2z z -=-=， 故选D ．

7．（2020•新课标Ⅲ）若(1)1z i i +=-，则z =（ ） A ．1i - B ．1i + C ．i - D ．i

【答案】D

【解析】由(1)1z i i +=-，得2

1(1)1(1)(1)

i i z i i i i --===-++-，

z i ∴=．

故选D ．

8．（2020•浙江）已知a R ∈，若1(2)(a a i i -+-为虚数单位）是实数，则a =（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-

【答案】C

【解析】a R ∈，若1(2)(a a i i -+-为虚数单位）是实数， 可得20a -=，解得2a =． 故选C ．

9．（2020•新课标Ⅱ）4

(1)i -=（ ） A ．4- B ．4 C ．4i - D ．4i

【答案】A

【解析】4222(1)[(1)](2)4i i i -=-=-=-． 故选A ．

10．（2019•全国）复数12i

z i

-=在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】C 【解析】

21(1)()11

2222

i i i z i i i ---=

==---， z ∴在复平面内对应的点的坐标为1

(2

-，1)2

-，在第三象限．

故选C ．

11．（2019•新课标Ⅱ）设32z i =-+，则在复平面内z 对应的点位于（ ）