《算法分析与设计》第四章 单源最短路径-2
单源最短路径
单源最短路径单源最短路径在最短路径问题中，我们给定⼀个带权重的有向图和权重函数, 该权重函数将每条边映射到实数值的权重上。
图中⼀条路径的权重是构成该路径的所有边的权重之和：定义从结点u到结点v的最短路径权重如下：从结点u到结点v的最短路径则定义为任何⼀条权重为的从u到v的路径p。
最短路径的⼏个变体单源最短路径：给定⼀个图G=(V,E),我们希望找到从给定源结点到每个节点的最短路径。
单⽬的地最短路径问题：找到从每个节点u到给定⽬的地节点t的最短路径。
如果将图的每条边的⽅向翻转过来，我们就可以将这个问题转换为单源最短路径问题。
单节点对最短路径问题：找到从给定节点u到给定节点v的最短路径。
如果解决了针对单个节点u的单源最短路径问题，那么也就解决这个问题。
所有节点对最短路径问题：对于每个节点u和v，找到从结点u到结点v的最短路径。
虽然可以针对每节点运⾏⼀遍单源最短路径算法，但通常可以更快地解决这个问题。
初始化松弛操作Bellman-Ford算法topo sort有向⽆环图中的单源最短路径问题根据节点的拓扑排序次序对带权重的有向⽆环图G=(V,E)进⾏边的松弛操作，我们便可以在时间内计算出从单个源结点到所有节点之间的最短路径。
在有向⽆环图中，即使存在权重为负的边，但因为没有权重为负的环路，最短路径都是存在的。
算法⾸先对有向⽆环图进⾏拓扑排序，以便确定结点之间的⼀个线性次序。
以便确定结点之间的⼀个线性次序。
如果有向⽆环图包含从结点u到结点v的⼀条路径，则u的拓扑排序的次序中位于结点v的前⾯。
我们只需要按照拓扑排序的次序对结点进⾏⼀遍处理即可。
每次对⼀个节点进⾏处理时，我们对从该节点发出的发出的所有的边进⾏松弛操作。
Dijkstra算法三个算法的对⽐所有节点对的最短路径问题Floyd-Warshall算法//基本思想是：//进⾏中转......允许经过1~n号所有顶点进⾏中转，求任意两点之间的最短路程。
//⽤⼀句话概括就是：从i号顶点到j号顶点只经过前k号点的最短路程。
算法设计与分析第四章课件
}
若被检查的活动i的开始时间Si小于最近选择 的活动j的结束时间fi，则不选择活动i，否则 选择活动i加入集合A中。
由于输入的活动以其完成时间的非减序排列， 所以算法每次总是选择具有最早完成时间的相 容活动加入集合A中。直观上，按这种方法选 择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。 也就是说，该算法的贪心选择的意义是使剩余 的可安排时间段极大化，以便安排尽可能多的 相容活动。 算法的效率极高。当输入的活动已按结束时间 的非减序排列，算法只需θ (n)的时间安排n个 活动，使最多的活动能相容地使用公共资源。 如果所给出的活动未按非减序排列，可以用 θ (nlogn)的时间重排。
贪心算法的基本要素
最优子结构
当一个问题的最优解包含其子问题的最优解 时，称此问题具有最优子结构性质。问题的 最优子结构性质是该问题可用动态规划算法 或贪心算法求解的关键特征。
贪心算法与动态规划算法的差异
贪心算法和动态规划算法都要求问题具 有最优子结构性质，这是两类算法的一 个共同点。但是，对于具有最优子结构 的问题应该选用贪心算法还是动态规划 算法求解?是否能用动态规划算法求解的 问题也能用贪心算法求解?
1 i n
All 0
All 0
因此，(y1,y2,…,yn)是一个满足贪心选择性质的最优解。
然后，证明该问题具有最优子结构性质。
设(x1,x2,…,xn)是最优装载问题的一个满足贪心选择 性质的最优解，则x1=1，(x2,…,xn)是轮船载重为cw1且待装船集装箱为{2,3,…,n}时相应最优装载问 题的一个最优解。
单源最短路径计算机算法设计与分析
单源最短路径计算机算法设计与分析在单源最短路径问题中，给定一个带权重的有向图G=(V,E)，其中V表示顶点集，E表示边集，每条边（u，v）的权重表示从顶点u到顶点v的距离或成本。
我们需要找到从源节点s到图中其他所有节点的最短路径。
目前有多种经典的单源最短路径算法，包括迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法是一种广泛使用的单源最短路径算法。
该算法使用了一种贪心的策略，从源节点开始，依次计算源节点到所有其他节点的最短路径。
算法维护一个距离数组d[]，表示源节点到各个节点的最短距离。
初始时，设置源节点的最短距离为0，其他节点的最短距离为无穷大。
接下来，迭代地选择一个距离源节点最近的节点，更新该节点到其他节点的距离。
当所有节点都被选取时，算法终止。
迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，可以通过优先队列等数据结构进行优化，达到O(ElogV)。
贝尔曼-福特算法是另一种常见的单源最短路径算法。
该算法使用了一种动态规划的策略，通过逐步增加路径长度的方式，计算源节点到其他节点的最短路径。
算法维护一个距离数组d[]，表示源节点到各个节点的最短距离。
初始时，将所有节点的最短距离设置为无穷大，将源节点的最短距离设置为0。
接下来，迭代地对边集中的每条边进行松弛操作，即尝试通过该边缩短从源节点到目标节点的距离。
重复上述操作V-1次后，所有节点的最短距离就会得到更新。
贝尔曼-福特算法的时间复杂度为O(VE)，其中V和E分别表示节点和边的数量。
弗洛伊德算法是一种用于计算所有节点对之间最短路径的算法，也可以用于单源最短路径计算。
该算法使用了一种动态规划的策略，通过逐步增加经过的中间节点的数量，计算节点对之间的最短路径。
算法维护一个距离矩阵d[][]，其中d[i][j]表示节点i到节点j的最短距离。
初始时，将矩阵中的元素设置为边的权重。
接下来，迭代地对每个节点k进行考虑，更新所有节点对之间的最短距离。
单源点最短路径
单源点最短路径单源点最短路径是图论中的一种重要问题，用于寻找从一个特定节点到其他节点的最短路径。
在实际应用中，这个问题很常见，比如用于导航系统、通信网络、物流配送等领域。
下面将介绍单源点最短路径的定义、算法和应用。
需要明确单源点最短路径的定义。
在一个有向带权图中，每个边都有一个权重和方向。
单源点最短路径问题的目标是找到从给定的源节点s到所有其他节点的最短路径。
路径的长度由边的权重之和来衡量。
最短路径可能不唯一，但它们的长度必定是最小的。
接下来介绍两种经典的单源点最短路径算法：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决带权有向图的单源点最短路径问题。
它的基本思想是从源节点开始，逐层扩展，选择距离源节点最近的节点作为下一个中转节点。
通过动态维护一个距离数组，记录每个节点到源节点的当前最短路径长度，逐步更新和计算最短路径。
具体步骤如下：1.创建一个距离数组dist[]，用于记录每个节点到源节点的当前最短路径长度。
初始化dist[]为无穷大，源节点的距离为0。
2.创建一个集合sptSet[]，用于记录已经找到最短路径的节点。
初始化sptSet[]为空集合。
3.依次选择未加入sptSet[]的节点中距离源节点最近的节点u，并将u加入sptSet[]。
4.对于u的每个邻居节点v，如果经过u到v的路径长度dist[u]+weight(u,v)比dist[v]更小，则更新dist[v]。
5.重复步骤3和步骤4，直到最短路径全部找到。
Bellman-Ford算法是一种动态规划算法，用于解决带权有向图的单源点最短路径问题。
它通过迭代更新距离数组dist[]，直到每个节点的最短路径长度不再改变，或者存在负权环。
具体步骤如下：1.创建一个距离数组dist[]，用于记录每个节点到源节点的当前最短路径长度。
初始化dist[]为无穷大，源节点的距离为0。
2.重复以下步骤n-1次（其中n是图中节点的个数）：-对于图中的每条边(u, v)，如果dist[u] + weight(u, v)比dist[v]更小，则更新dist[v]。
单源最短路径算法
单源最短路径算法常见的单源最短路径算法有迪杰斯特拉算法(Dijkstra's algorithm)和贝尔曼-福特算法(Bellman-Ford algorithm)。
本文将详细介绍这两种算法的实现原理和特点。
1.迪杰斯特拉算法：迪杰斯特拉算法是一种用于求解带权重图的单源最短路径的算法。
它的基本思想是，维护一个集合S，初始时包含源节点，不断地向集合S中加入离源节点最近的节点，直到所有节点都加入了集合S。
在每次加入节点的过程中，更新源节点到集合S中每个节点的最短距离。
迪杰斯特拉算法的步骤如下：1)初始化源节点的最短距离为0，其他节点的最短距离为无穷大。
2)将源节点加入集合S。
3)对于源节点的每个邻居节点，更新从源节点到邻居节点的最短距离。
如果更新后的距离更短，更新邻居节点的最短距离。
4)从集合S中选择一个离源节点最近的节点加入集合S，并重复步骤35)重复步骤4，直到所有节点都加入了集合S。
迪杰斯特拉算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是节点的数量。
在稠密图中，即边的数量接近节点的数量平方时，迪杰斯特拉算法表现较好。
2.贝尔曼-福特算法：贝尔曼-福特算法是一种用于求解带有负权重边的单源最短路径的算法。
与迪杰斯特拉算法不同的是，贝尔曼-福特算法可以处理负权重边。
贝尔曼-福特算法的基本思想是，通过对边进行松弛操作，不断地更新节点的最短距离，直到找到所有节点的最短距离。
算法的步骤如下：1)初始化源节点的最短距离为0，其他节点的最短距离为无穷大。
2)对于边的数量-1次迭代，做以下操作：a)遍历所有边，对每条边(u,v)，如果源节点u的最短距离加上边的权重w小于目标节点v的最短距离，则更新目标节点v的最短距离。
3)再进行一次遍历，如果仍然存在可以松弛的边，则说明存在负权重环。
贝尔曼-福特算法的时间复杂度为O(V*E)，其中V是节点的数量，E 是边的数量。
相较于迪杰斯特拉算法，贝尔曼-福特算法的时间复杂度更高，但是它可以处理带有负权重边的图。
单源最短路径(分支限界法)
算法分析与设计实验报告第7次实验给定下示有向图，利用分支限界法的思想，计算并输出其单源最短路径。
1 算法从图 G 的源顶点 s 和空优先队列开始。
结点 s 被扩展后，它的儿子}随机数产生图的权值：通过这次实验，我回顾了分支界限法求解最短路径问题，在其中加入了舍附录：完整代码#include <iostream>#include <queue>#include<stdlib.h>using namespace std;#define MAX 9999//定义为无限大#define N 60int n,dist[N],a[N][N];class HeapNode//最小堆来存储活节点表{public:int i,length;//顶点编号，当前的路径长度HeapNode() { }HeapNode(int ii,int l){i=ii;length=l;}bool operator<(const HeapNode& node)const{return length<node.length;}};void shorest(int v){priority_queue<HeapNode> heap;HeapNode enode(v,0);for(int i=1; i<=n; i++) dist[i]=MAX;dist[v]=0;//搜索问题的解空间while(1){for(int j=1; j<=n; j++)if(a[enode.i][j]<MAX && enode.length+a[enode.i][j]<dist[j])//顶点I 到J是可达的，并且满足控制约束{dist[j]=enode.length+a[enode.i][j];HeapNode node(j,dist[j]);heap.push(node);//加入活节点优先队列}if(heap.empty()) break;//优先队列为空else{enode=heap.top();heap.pop();}}}int main (){int v,i;cout<<"个数：";cin>>n;cout<<"源点：";cin>>v;for(int i=1; i<=n; i++)for(int j=1; j<=n; j++){if(i!=j){if((a[j][i]==0)||(a[j][i]==MAX))a[i][j]=rand()%100+1;else a[i][j]=MAX;if(a[i][j]>50) a[i][j]=MAX;}}cout<<"\n路径： "<<endl;for( i=1;i<n+1;i++){for(int j=1;j<n+1;j++)cout<<a[i][j]<<" ";cout<<endl;}shorest(v);cout<<endl;for( i=2; i<n; i++) {cout<<v<<"到"<<i<<"的最短路径为："<<dist[i]<<endl; }cout<<v<<"到"<<i<<"的最短路径为："<<dist[n]<<endl; system("pause");return 0;}。
求解单源最短路径问题的算法
求解单源最短路径问题的算法单源最短路径问题是指从图中的一个顶点到其他所有顶点的最短路径的问题。
下面将详细介绍两种经典的求解该问题的算法：Dijkstra算法和Bellman-Ford 算法。
1. Dijkstra算法：- 初始化：将源顶点的距离初始化为0，其他顶点的距离初始化为无穷大。
创建一个集合S，记录已经确定最短路径的顶点。
- 重复以下步骤，直到集合S包含所有顶点：- 从未确定最短路径的顶点中选择距离源顶点最近的顶点u，并将其加入集合S。
- 对于与u相邻的顶点v，更新其距离为：min(distance[v], distance[u] + weight(u, v))，其中weight(u, v)表示边(u, v)的权值。
- 最终得到源顶点到图中所有其他顶点的最短路径。
2. Bellman-Ford算法：- 初始化：将源顶点的距离初始化为0，其他顶点的距离初始化为无穷大。
- 重复以下步骤，执行V-1次（V为顶点数）：- 遍历图中的所有边，对于每条边(u, v)，更新顶点v的距离为：min(distance[v], distance[u] + weight(u, v))。
- 检查是否存在负权回路：再次遍历所有边，如果对于边(u, v)，发现distance[v] > distance[u] + weight(u, v)，则说明存在从源顶点可达的负权回路，无法确定最短路径；否则，最短路径已经确定。
Dijkstra算法适用于无负权边且图稠密的情况，时间复杂度为O(V^2)，也可以通过最小堆优化（时间复杂度为O((V+E)logV)）。
Bellman-Ford算法适用于有负权边或存在负权回路的情况，时间复杂度为O(VE)。
需要注意的是，以上算法都是解决单源最短路径问题的经典算法，也可以使用其他如SPFA、Floyd-Warshall等算法求解，选择合适的算法应根据具体问题的要求和图的特性进行评估和选择。
《算法设计与分析教学资料》第4章-PPT课件
贪心算法的引入--找币问题
一种更简单可行的方法：
1. 先取2.5 2枚
价值2.5+2.5=5.0
余6.3-5=1.3
2. 再取1.0 1枚
价值1.0
余1.3-1=0.3
3. 不取0.5 0枚
因为0.5>0.3
4. 再取0.1 3枚
价值0.1×3=0.3
余0.3-0.3=0
5. 找零完毕。
6. 得最优解X={ 2, 1, 0, 3 } ，共需最少的硬币数6枚。
方法总结：在不超余额的前提下，每次都找最大面 值的硬币。这种找币的方法叫做贪心算法。
思考：有没有可能不是最好的方法？
7
贪心算法—描述
顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的 选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑， 它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选 择。
当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最 优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体 最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。如 单源最短路经问题，最小生成树问题等。
新学期来临，为迎接新生，各院系都要举办迎新晚 会。时间将近，各院系在申请使用学院礼堂进行彩 排。为了提高礼堂使用率，决定白天不间断的开放， 各院系可以上报各自使用的时间区间（开始时间以 及终止时间，时间长短不限），由礼堂管理人员安 排尽可能多的院系在同一天里彩排。
请根据以下时间段尽可能多安排几个院系： [8:00,10:30), [9:00,11:30), [7:00,11:00), [11:30-14:00), [12:00,13:30) , [13:00,15:30), [15:00,16:00), [14:30,16:00), [16:00,18:00)
单源点最短路径问题常用算法
单源点最短路径问题常用算法单源点最短路径问题是图论中的经典问题，其目标是在给定图中找到从源点到其他所有顶点的最短路径。
常用的解决该问题的算法包括迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法、弗洛伊德-沃沙尔算法、A*搜索算法和SPFA算法。
本文将依次介绍这些算法的原理和实现方法，并分析它们的优缺点。
1. 迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）迪杰斯特拉算法是一种贪心算法，它从源点开始逐步扩展到其他顶点，每次选择当前距离源点最近的顶点进行扩展，直到遍历完所有顶点。
该算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n为顶点数。
实现方法：(1) 初始化：将源点距离设为0，其他顶点距离设为正无穷大。
(2) 选择一个距离源点最近的顶点，将其加入已访问集合。
(3) 对于该顶点的所有邻居，更新它们到源点的距离（如果新的距离比原来的距离小）。
(4) 重复步骤2和3，直到所有顶点都被访问过。
优缺点分析：优点：算法简单直观，适用于稀疏图。
缺点：不适合处理带有负权边的图，因为可能会选到负权环中的顶点。
2. 贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm）贝尔曼-福特算法也是一种贪心算法，但它可以处理带有负权边的图。
该算法从源点开始遍历图的所有边，更新每条边的权值，并检查是否存在负权环。
如果存在负权环，则该边的权值将无限循环，因此需要停止遍历并报告错误。
该算法的时间复杂度为O(nm)，其中n 为顶点数，m为边数。
实现方法：(1) 初始化：将源点距离设为0，其他顶点距离设为正无穷大。
(2) 从源点开始遍历图的所有边，更新每条边的权值。
(3) 对于每个顶点，检查是否存在负权环。
如果存在，则停止遍历并报告错误。
优缺点分析：优点：可以处理带有负权边的图，并且可以检测是否存在负权环。
缺点：时间复杂度较高，且无法优化处理稀疏图。
同时，如果图中存在负权环，算法将无法给出正确的最短路径。
3. 弗洛伊德-沃沙尔算法（Floyd-Warshall Algorithm）弗洛伊德-沃沙尔算法是一种动态规划算法，它通过逐步构建中间顶点的最短路径来找到源点到所有其他顶点的最短路径。
单源最短路径算法
单源最短路径算法单源最短路径算法：1. 介绍：单源最短路径算法是指从一个特定的节点出发，通过最短路径算法求出在一个有向图中从该节点到所有其他节点的最短路径。
它把有向图要解决的问题划分为多个子问题来解决，各个子问题在组合解决方案时，子问题体现出来的更小的子问题有其更小的解，有的解可能是最优的。
单源最短路径算法既可以解决简单的有向图问题，也可以解决更复杂的有向图问题，如多边权图、有向网络等。
2. 定义与基本概念：单源最短路径算法中常见的一些基本概念包括：图(Graph)、边(Edge)、节点(Vertex)、权重(Weight)。
图是一种数据结构，它由若干节点和关联的边组成，是可以表达复杂数据关系的抽象数据类型；边是表示从一个节点指向另一个节点的连接；节点是图的基本单位，表示在图的一个位置；权重是一个网络中每条边所具有的值得，表示两个节点之间的距离或者需要消耗的时间。
3. 核心思想单源最短路径算法的核心思想是通过不断寻找与每个节点有已知最短路径的前驱节点，来求出一条最优路径。
该算法以最初的节点作为起点，为每个节点设定两个值：起点到该节点的最短路径长度，以及最短路径上的前驱节点。
根据该节点的前驱节点的信息，再到前驱节点求解最短路径，从而得到从起点到该节点的最短路径，从而解决最短路径问题。
4. 常见的单源最短路径算法一般的单源最短路径算法有：深度优先搜索法、广度优先搜索法、dijkstra算法和Bellman-Ford算法等。
深度优先搜索法是从搜索起点出发，沿着树的深度遍历树的节点，直到找到满足条件的叶子节点，再回到上一层，回溯，继续前进，直到遍历完整棵树为止。
广度优先搜索法是按照深度从上到下遍历，当搜索某一层节点，再搜索它们的所有子节点，直到找到满足条件的节点，然后再逐步回溯，直到遍历完整棵树。
Dijkstra算法又被称为单源最短路径算法，它的核心思想是求出从源点到任何一个节点的最短路径，该算法采用贪心策略，不断地更新未求出的点的最短路径，最终能够求出从源点到其他的所有点的最短路径。
《算法分析与设计》第四章 每对顶点最短路径
示例
A
7
D
12 1
2
6
B
C
3
等式1
递归式1
佛洛伊德（Floyd-WarShall）- 伪代码
基于递归式1，下面的自底向上的过程按k值递增顺序计算 dij 的值。它的输入是等式1中n*n矩阵w.过程返回最短路径权值的 矩阵 D( n) .
(k )
1. 2. 3.
Floall）-基本思想
从Vi到Vj的所有存在的路径中，
选出一条长度最短的路径。
（逐渐探测：每增加一个中间顶点，比之前路径长度短的 就取代，否则就甩掉）
可能存在的路径情况如下：
佛洛伊德（Floyd-WarShall）-基本思想
若<Vi,Vj>存在，则存在路径{Vi,Vj};//路径中不含其它 顶点
算法分析与设计
1
学习内容与目标
佛洛伊德（Floyd-WarShall） a) b)
简介 基本思想（重点）
c)
d)
代码实现（难点）
复杂度分析
每对顶点间最短路径——应用
交通—计算机交通咨询系统如何查找旅客指
定两地点间的最短路径（距离、时间、交通 费用……）
对一张公路图，需要制表说明每对城市间的
佛洛伊德（Floyd-WarShall）-简介
1962年Robert
W.Floyd在Communication of the ACM上发表了此算法。（1964年与Williams发表
了著名的堆排序算法，并于1978年获得了图灵奖。）
同年，Stephen
Warshall也独立发表了该算法。
n<—rows[W]
算法设计与分析 单点源最短路径
单点源最短路径问题问题：已知一个赋权有向图G=(V,E ，w),求由G 中某个指定的顶点v 0出发到其它各个顶点的最短路径。
一个加权有向图对于一般的单点源最短路径问题，我们采用逐条构造最短路径的办法，用迄今已生成的所有路径长度之和为最小作为贪心准则，因此，每一条单独的路径都必须具有最小长度。
假定已经构造了k 条最短路径，则下面要构造的路径应该是下一条最短长度的最小长度路径。
现在这k 条最短路径的终点之集记为S ，为陈述方便，也将v 0放于S 中。
如果V\S 不是空集，则从v 0到V\S 中顶点的最短路径中应该有一条最短的，比如是v 0到v k+1的最短路径P ：P=v 0u 1…u s-1u s v k+1(5.7)显然，P 1=v 0u 1…u s-1u s 应是v 0到u s 的最短路径，因而由S 的定义和选定的贪心准则，u s 应属于S ，同理，路径P 上其它顶点u i 也都在S 中。
所以，由v 0出发的新的最短路径一定是某个已有的最短路径向前延伸一步。
如果用Dist(v i )记从v 0到S 中顶点v i 的最短路径的长度，而图G 中的顶点w 依其属于S 与否分别记之为S(w)=1或S(w)=0，则从4550103530 30 20 15 1020 15 V 0 V 2 V 1 V 4V 5 V 3 路径 长度 (1) v 0v 2 10 (2) v 0v 2v 3 25 (3) v 0v 2v 3v 1 45 (4) v 0v 4 45从v 0到其它各个顶点的最短路v 0出发，新的最短路径的长度应该是 =)(S D )},()({min)(,1)(w u COST u Dist w S u S +==(5.8)满足(5.8)式的顶点w 被选择加入S ，新的最短路径就是从v 0出发到w 的最短路径,而此时的Dist(w)=D(S)，S 被更新为}{'w S S ⋃=,后者可以由更新w 的（集合）特征值来实现：S(w)=1(原来S(w)=0).上述算法思想是Dijkstra(迪杰斯特)提出的。
《算法设计与分析》第04章
【程序4-3】图的深度优先遍历
void Graph::DFS(int u, int* parent, ColorType* color) { color[u]=Gray; cout<<" "<<u; d[u]=time++; //记录第1个 时间 for (ENode* w=a[u]; w; w=w>nextArc){ int v=w->adjVex; if (color[v]==White) { parent[v]=u; DFS(v, parent, color); } } color[u]=Black; f[u]=time++; //记录第2 个时间 }
性质4-1：一个有向图无回路当且仅当在深度优 先搜索中不包含反向边。
性质4-2：一个无向图的深度优先森林中仅包含 树边和反向边。
4.Байду номын сангаас 双连通分量
4.3.1 基本概念（对无向图） 在无向连通图G=（V,E）中，可能存在某个（或多个） 结点a，使得一旦删除a及其相关联的边，图G不再是连通图， 则结点a称为图G的关节点。若删除图G的某条边b，该图分离 成两个非空子图，则称边b是图G的桥。 若无向连通图G中不包含关节点，则称图G 为双连通图 （biconnected graph）。一个无向连通图G的双连通分量 （biconnected component）是图G的极大双连通子图。
4.3.2 发现关节点
无向连通图不是双连通图充分必要条件：图中存在关节点。 识别关节点的简单方法：从图G中删除一个结点a和该结点的 关联边，再检查图G的连通性。 性质4-3：给定无向连通图G=（V,E），S=(V,T)是图G的一颗 深度优先树，图中结点a是一个关节点，当且仅当 （1）a是根，且至少有两个孩子； （2）或者a不是根，且a的某棵子树上没有指向a的祖先的反 向边。
《算法设计与分析》课件第4章
子问题空间就是从Sij中选择最大相互相容活动子集，0≤i，j ≤n+1，其他的Sij为空。为了搞清楚活动选择问题的子结构， 考虑某些非空子集Sij(有时称做子集，有时称做子问题，读 者可从上下文看出)。假定Sij的一个解包括活动ak，则有 fi≤sk<fk≤sj。活动ak产生两个子问题Sik和Skj。Sik表示活动ai完 成之后，活动ak开始之前的那些活动集。Skj表示活动ak
的相容活动集合。假定集合S={a1, a2,…, an}中含有n个希望 使用某一资源的活动，这样的资源有教室、某一设备等，它
们一次只能由一个活动使用。每个活动ai有开始时间(start time)si和完成时间(finish time)fi，其中，0≤si<fi<∞。如果某 个活动ai被选中使用资源，则该活动在半开区间(si，fi］这 段时间占据资源。如果活动ai和aj在时间区间(si，fi］和(sj， fj］上不重叠，则称它们是相容的(compatible)，即如果si≥fj 或者sj≥fi，活动ai和aj是相容的。活动选择问题是选择最大的 相容活动集合。
i 1
述假设，可以推得yk<xk。以下首先证明这一点，分三种情
况讨论：
(1) 若k<j，则xk=1。又yk≠xk，从而yk<xk。
(2) 若k=j，对于1≤i<nj，有xi=yi=1；而对于nj<i≤n，有xi=0。
若yk>xk，显然有
wi y，i 因W为
wi y与i y是W可
行解矛盾。若yk=xk，与假i1设yk≠xk矛盾，因此，i1yk<xk。
所选活动的完成时间随着时间严格递增。我们只需按照完成
单源最短路径算法
单源最短路径算法这篇文章将介绍两种常用的单源最短路径算法，Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，它们分别使用了贪心法和动态规划的思想来解决该问题。
一、Dijkstra算法：Dijkstra算法是一种贪心法的算法，以其发明者荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra的名字命名。
它的基本思想是通过逐步扩展已知最短路径集合，直到找到从起始节点到目标节点的最短路径为止。
算法步骤如下：1.初始化距离数组，将起始节点到所有其他节点的距离初始化为无限大。
2.将起始节点的距离设置为0。
3.对于与起始节点直接相连的节点，更新距离数组的值为起始节点到这些节点的距离。
4.选择距离数组中值最小且未访问过的节点作为下一个当前节点。
5.更新从起始节点到当前节点经过未访问过的节点的距离，并更新距离数组中的值。
6.重复步骤4和5，直到所有节点都被访问过或者无法再找到更短的路径。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为图中节点的数量。
使用优先队列或堆数据结构可以将时间复杂度降低到O((V+E)logV)。
二、Bellman-Ford算法：Bellman-Ford算法是一种动态规划的算法，它以其发明者Richard Bellman和Leslie Ford的名字命名。
与Dijkstra算法不同的是，Bellman-Ford算法可以处理含有负权边的图。
算法步骤如下：1.初始化距离数组，将起始节点到所有其他节点的距离初始化为无限大。
2.将起始节点的距离设置为0。
3.对于每条边，更新距离数组的值为起始节点到目标节点的距离。
4.重复步骤3，直到所有节点的距离不再改变。
5.检查是否存在负权回路，如果存在，说明不存在最短路径。
Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V为图中节点的数量，E为图中边的数量。
总结：Dijkstra算法和Bellman-Ford算法是解决单源最短路径问题的两种常用算法。
计算机算法设计与分析(王晓东第4版)第4章
23
最优解代价公式
c[i, j ]: Sij 最优解的大小 c[i, j ] = 0 if Sij = φ maxak ∈Sij {c[i, k ] + c[k, j ] + 1} if Sij = φ
School of Computer and Communication Engineer
24
活动选择问题动态规划方法
schoolcommunicationengineer一步一步构建问题的最优解决方案其中每一步只考虑眼前的最佳选择对解空间进行搜索时在局部范围内进行择优选取决定下一步搜索方向不是为了找到全部解而只是找出一种可行解在一定的情况下贪心算法找出的可行解将是最优解schoolcommunicationengineer42贪贪贪心心心算算算法法法基基基本本本要要要素素素算法包含一系列步骤每一步都有一组选择做出在当前看来最好的选择一个贪心算法是否产生最优解需要严格证明schoolcommunicationengineer最优子结构schoolcommunicationengineer贪贪贪心心心选选选择择择性性性质质质定定定义义义若若若一个优化问题的全局最优解可以通过局部最优选择得到则该问题称为具有贪贪贪心心心选选选择择择性性性
School of Computer and Communication Engineer 4
4.2 贪 心 算 法 基 本 要 素
• 算法包含一系列步骤, 每一步都有一组选择, 做出在 当前看来最好的选择 • 希望通过作出局部最优选择达到全局最优选择 • 一个贪心算法是否产生最优解, 需要严格证明
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示例
-3
B
2
A A
5
C
3
E
2
D
边的顺序不同，求解的过程不同；但是松弛判 断的比较需要：（V-1）E=20次。
使用SPFA算法求解A到其余顶点的单源最短路径
2
2
7
3
1 A
10
3
6 4
5
5
4
练习2
用C/C++/Java等编程语言实现SPFA算法
8.
9. 10. 11. 12. 13. 14.
for each v∈adj[u] do begin
tmp:=d[v]; relax(u,v); dequeue(Q); end; End; //松弛 if(tmp<>d[v])and(not v in Q)then enqueue(Q,v);
练习1
启发我们：每次仅对最短路估计值发生变化的顶
点的所有出边进行松弛，因此有了Bellman-Ford 的队列优化。
Bellman-Ford的队列优化
1.每次选取队首顶点u，对顶点u的所有出边进行松弛操 作； 2.如果松弛成功，且v（存在u->v）不在当前队列中， 将v入队列； 3.对顶点u的所有出边松弛完后，u出队。
for each edge（u,v） ∈E(G) do dist[v]=dist[u]+w(u,v) for each edge（u,v） ∈E(G) do return false return true
If dist[v]> dist[u]+ w(u,v) then //松弛判断
9.
10. 11.
4.对队首的顶点重复执行如上的操作，直至队列为空。
注意：如果某个点进入队列的次数超过n次，那么这个 图则肯定存在负权环。
示例
-3
B
2
A A
5
C
3
E
2
D
Bellman-Ford的队列优化-伪代码
1.
2. 3. 4. 5. 6. 7.
ProcedureSPFA;
Begin initialize-single-source(G,s); initialize-queue(Q); enqueue(Q,s); //源点入队 while not empty(Q) do begin u:=queue(head); //获取队首元素
Bellman-Ford 伪代码
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
for each vertex v ∈ V（G） do dist[v] ←+∞ dist[s] ←0; for i=1 to |v|-1 do
// 初始化 //初始化结束 //2阶段 开始，外循环进行 //对每条边进行松弛 //2阶段结束 松弛操作 //3判断是否存在从源点s可达的负权值回路
算法分析与设计
1
学习内容与目标
贝尔曼（Bellman-Ford） a) b)
简介 基本思想（重点）
c)
d) e)
代码实现（难点）
复杂度分析
队列优化（重点）
单源最短路径算法——应用
单源最短路径—给定带权有向图G＝(V, E)和源点 v∈V，求从v到G中其余各顶点的最短路径。 计算机网络传输—怎样找到一种最经济的方式，从 一台计算机向网上所有其它计算机发送一条消息。 交通—旅客从A城到B城选择一条中转次数/费用最少 的路线 导航—考虑请求量的问题，在基础算法之上进行改 进
贝尔曼-福特（Bellman-Ford）-简介
Lester
Ford在1956年和美国应用数学家理查 德.贝尔曼于1958 年都发表该算法。 可解决带负权边的有向图中最短路径问题， 但要求有向图无负权回路。
是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，
贝尔曼-福特（Bellman-Ford）-简介
If dist[v]> dist[u]+ w(u,v) then
//若存在，问题无解，返回False //若不存在，返回True，存在从源点s到各个点的最短路径
算法时间复杂度
有向图G的顶点数为V，边数为E;
1.初始化INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G,S)所需时间为 O(V);
Bellman
- ford算法是求含负权图的单源最短 路径算法，算法比较简单，核心代码只有4行 但效率较低。 其原理为持续地进行松弛，在每次松弛时把 每条边d（源点到其余各顶点的最短路径）值更新一下， 若在n-1次松弛后还能更新，则说明图中有负 环，因此无法得出结果，否则就完成。
贝尔曼-福特（Bellman-Ford）-基本思想
1.初始化：从v出发到其余各顶点vi的最短路径长度 D[i]初值为：源点D[v]=0,其余顶点D[vi]=+∞。 2.迭代松弛：反复对边集E中的每条边进行松弛操作 ，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐 步逼近其最短距离（收敛）；（松弛|v|-1次）
贝尔曼-福特（Bellman-Ford）-基本思想
2.迭代松弛共执行V-1次，每趟操作的运行时间为O(E);
3.检验负权回路的运行时间为O(E);
因此该算法的执行时间为O(VE)。
Bed算法在每实施一次松弛操作后，就
会有一些顶点已经求得其最短路，之后这些顶点 的最短路的估计值不会受后续松弛操作的影响， 但是算法中每次还要判断是否需要松弛，无疑浪 费了时间。