人教版高中数学必修4知识点总结

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点 Ρ 的坐标是 ⎜
⎛ x1 + λ x2 , y1 + λ y2 1+λ ⎝ 1+λ
⎞． ⎟ ⎠
23、平面向量的数量积：
⑴ a ⋅ b = a b cos θ a ≠ 0,b ≠ 0, 0� ≤ θ ≤ 180� ．零向量与任一向量的数量积为 0 ． ⑵性质：设 a 和 b 都是非零向量，则① a ⊥ b ⇔ a ⋅b = 0 ．②当 a 与 b 同向时， a ⋅ b = a b ；当 a 与 b 反向 时， a ⋅ b = − a b ； a ⋅ a = a 2 = a 或 a =
( 2) sin ( π + α ) = − sinα ， cos ( π + α ) = − cos α ， tan ( π + α ) = tanα ．
( 3) sin ( −α ) = − sin α ， cos ( −α ) = cos α ， tan ( −α ) = − tanα ．
( 4) sin ( π − α ) = sinα ， cos ( π − α ) = − cos α ， tan ( π − α ) = − tan α ．
π ( k ∈ Ζ) 2
π ⎞ ⎛ 对称中心 ⎜ kπ + , 0 ⎟ ( k ∈ Ζ) 2 ⎠ ⎝
对称轴 x = kπ ( k ∈ Ζ )
kπ ⎞ 对称中心 ⎛ ⎜ 2 , 0⎟ (k ∈ Ζ) ⎝ ⎠
无对称轴
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
3
有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为 0 的向量． 单位向量：长度等于 1个单位的向量． 平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式： a − b ≤ a + b ≤ a + b ． ⑷运算性质：①交换律： a + b = b + a ；②结合律： a + b + c = a + b + c ；③ a + 0 = 0 + a = a ． ⑸坐标运算：设 a = ( x1 , y1 ) ， b = ( x2 , y2 ) ，则 a + b = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 ) ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设 a = ( x1 , y1 ) ， b = ( x2 , y2 ) ，则 a − b = ( x1 − x 2 , y1 − y 2 ) ． 设 Α 、 Β 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ， 则 ΑΒ = ( x1 − x2 , y1 − y2 ) ． 19、向量数乘运算： � � ⑴实数 λ 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 λ a ． ① λa = λ a ； ②当 λ > 0 时， λ a 的方向与 a 的方向相同；当 λ < 0 时， λ a 的方向与 a 的方向相反；当 λ = 0 时， λ a = 0 ． ⑵运算律：① λ ( µ a ) = (λµ ) a ；② ( λ + µ ) a = λ a + µ a ；③ λ a + b = λ a + λb ． ⑶坐标运算：设 a = ( x , y ) ，则 λ a = λ ( x , y ) = ( λ x ,λ y ) ． 20、向量共线定理：向量 a a ≠ 0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ ，使 b = λ a ． 设 a = ( x1 , y1 ) ， b = ( x2 , y2 ) ，其中 b ≠ 0 ，则当且仅当 x1 y2 − x2 y1 = 0 时，向量 a 、 b b ≠ 0 共线． 21、平面向量基本定理：如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ， 有 且只有一对实数 λ1 、 λ2 ，使 a = λ1 e1 + λ2 e2 ． （不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、 分点坐标公式： 设点 Ρ 是线段 Ρ1Ρ 2 上的一点， Ρ1 、 Ρ 2 的坐标分别是 ( x1 , y1 ) ， ( x2 , y2 ) ，当 Ρ1Ρ = λΡΡ 2 时，
性 函 质 数
y = sin x
y = cos x
y = tan x
图象
定义域 值域
R
R
⎧ π ⎫ ⎨ x x ≠ kπ + , k ∈ Ζ ⎬ 2 ⎩ ⎭
[ −1,1]
当 x = 2kπ +
[ −1,1]
R
最值
ymax
π ( k ∈ Ζ )时， 当 x = 2kπ ( k ∈ Ζ) 时， 2 π ymax = 1；当 x = 2 kπ + π = 1 ；当 x = 2kπ − 2
第一象限角的集合为 α k ⋅ 360� < α < k ⋅ 360� + 90� , k ∈ Ζ
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α n ∈ Ν* ) 所在象限的方法：先把各象限均分 n 等份，再从 x 轴的 ( n α 正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则 α 原来是第几象限对应的标号即为 终 n 边所落在的区域． 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度． l 6、半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l ，则角 α 的弧度数的绝对值是 α = ． r
既无最大值也无最小值
( k ∈ Ζ ) 时， ymin = −1 ．
周期性 奇偶性 2π 奇函数
( k ∈ Ζ) 时， ymin = −1．
2π 偶函数
π 奇函数
π π 在⎡ 2kπ − , 2kπ + ⎤ ⎢ 2 2⎥ ⎣ ⎦
在 [ 2kπ − π , 2kπ ] ( k ∈ Ζ) 上 是 增函数；在 [ 2 kπ , 2 kπ + π ]
y = sin ω x 的图象；再将函数 y = sin ω x 的图象上所有点向左（右）平移
ϕ 个单位长度，得到函数 ω
y = sin ( ω x + ϕ ) 的图象；再将函数 y = sin ( ω x + ϕ ) 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
Α 倍（横坐标不变） ，得到函数 y = Α sin ( ω x + ϕ ) 的图象．
y P T v O M A x
( sin
2
α = 1 − cos2 α , cos2 α = 1− sin 2 α ) ； ( 2)
⎞． ⎟ ⎠
sin α = tan α cos α
⎛ sin α = tanα cosα , cosα = sin α ⎜ tan α ⎝ 13、三角函数的诱导公式：
(1) sin ( 2k π + α ) = sin α ， cos ( 2kπ + α ) = cos α ， tan ( 2k π + α ) = tan α ( k ∈ Ζ ) ．
到函数 y = sin ( ω x + ϕ ) 的图象；再将函数 y = sin ( ω x + ϕ ) 的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短） 到 原来的 Α 倍（横坐标不变） ，得到函数 y = Α sin ( ω x + ϕ ) 的图象． 函数 y = sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 倍（纵坐标不变） ，得到函数 ω
函数 y = Α sin ( ω x + ϕ ) ( Α > 0, ω > 0) 的性质：
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①振幅： Α ；②周期： Τ =
2π 1 ω ；③频率： f = = ；④相位： ω x + ϕ ；⑤初相： ϕ ． ω Τ 2π
函数 y = Α sin (ω x + ϕ ) + Β ，当 x = x1 时，取得最小值为 ymin ；当 x = x2 时，取得最大值为 ymax ， 则 1 1 Τ ( ymax − ymin ) ， Β = ( ymax + ymin ) ， = x2 − x1 ( x1 < x2 ) ． 2 2 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： Α=
高中数学必修 4 知识点
⎧正角:按逆时针方向旋转形成的角 ⎪ 1、任意角 ⎨ 负角:按顺时针方向旋转形成的角 ⎪零角:不作任何旋转形成的角 ⎩
2、角 α 的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 α 为第几 象限角．
{ } 第二象限角的集合为 {α k ⋅ 360 + 90 < k ⋅ 360 +180 , k ∈ Ζ} 第三象限角的集合为 {α k ⋅ 360 + 180 < α < k ⋅ 360 + 270 , k ∈ Ζ} 第四象限角的集合为 {α k ⋅ 360 + 270 < α < k ⋅ 360 + 360 , k ∈ Ζ} 终边在 x 轴上的角的集合为 {α α = k ⋅180 , k ∈ Ζ} 终边在 y 轴上的角的集合为 {α α = k ⋅180 + 90 , k ∈ Ζ} 终边在坐标轴上的角的集合为 {α α = k ⋅ 90 , k ∈ Ζ} 3、与角 α 终边相同的角的集合为 { β β = k ⋅ 360 + α , k ∈ Ζ}
口诀：函数名称不变，符号看象限．
( 5 ) sin ⎛ ⎜ ( 6 ) sin ⎛ ⎜
π ⎞ ⎛π ⎞ − α ⎟ = cos α ， cos ⎜ − α ⎟ = sin α ． ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ π π +α ⎞ = cos α ， cos ⎛ +α ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ = −sin α ． ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠