不同坐标系之间的变换.

§10.6不同坐标系之间的变换

10.6.1欧勒角与旋转矩阵

对于二维直角坐标，如图所示，有：

(10-8

在三维空间直角坐标系中，具有相同原点的两坐标系间的变换一般需要在三个坐标平面上，通过三次旋转才能完成。如图所示，设旋转次序为：

①绕旋转角，旋转至；

②绕旋转角旋转至；

③绕旋转角，旋转至。

为三维空间直角坐标变换的三个旋转角，也称欧勒角，与它相对应的旋转矩阵分别为：

(10-10

(10-11

(10-12

令(10-13

则有：

(10-14 代入：

一般为微小转角，可取：

于是可化简

(10-16

上式称微分旋转矩阵。

10.6.2不同空间直角坐标之间的变换

当两个空间直角坐标系的坐标换算既有旋转又有平移时，则存在三个平移参数和三个旋转参数，再顾及两个坐标系尺度不尽一致，从而还有一个尺度变化参数，共计有七个参数。相应的坐标变换公式为：

(10-17

上式为两个不同空间直角坐标之间的转换模型，其中含有7个转换参数，为了求得7个转换参数，至少需要3个公共点，当多于3个公共点时，可按最小二乘法求得个参数的最或是值。

10.6.3不同大地坐标系的变换

对于不同大地坐标系的换算，除包含三个平移参数、三个旋转参数和一个尺度变化参数外，还包括两个地球椭球元素变化参数，以下推导不同大地坐标系的换算公式。

由(7-30式

取全微分得

(10-19 式中

(10-20

(10-21

上式两端乘以并加以整理得：

(10-22

式中

顾及（10-21）式及

(10-23 （10-22）式可写为：

(10-24

上式通常称为广义大地坐标微分公式或广义变换椭球微分公式。如略去旋转参数和尺度变化参数的影响，即简化为一般的大地坐标微分公式。根据3个以上公共点的两套大地坐标值，可列出9个以上(10-24式的方程，可按最小二乘法求得8个转换参数。