苏教版初二数学第七章《锐角三角函数》解答题苏州历年试题汇编卷

第七章《锐角三角函数》解答题苏州历年试题汇编卷
1．（2019秋•常熟市期末）某校综合实践小组要对一幢建筑物MN的高度进行测量．如图，该小组在一斜坡坡脚A处测得该建筑物顶端M的仰角为45°，沿斜坡向上走20m到达B处，（即AB＝20m）测得该建筑物顶端M的仰角为30°．已知斜坡的坡度i＝3：4，请你计算建筑物MN的高度（即MN的长，结果保留根号）．
2．（2019秋•张家港市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝4，解这个直角三角形．3．（2019秋•吴江区期末）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70°方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25°方向上，求灯塔C与码头B之间的距离（结果保留根号）．
4．（2019秋•工业园区期末）计算：tan45°﹣4sin30°cos230°．
5．（2018秋•常熟市期末）如图，公园里有三条笔直的健身步道，两两相交呈三角形，交点为A、B、C．经测量，点B在点A的正东方向，点C在点A北偏东60°的方向，且在点B北偏东45°的方向，BC＝2km．小明从C处出发，沿着C﹣A﹣B的路径散步．求小明散步的路程．
6．（2018秋•苏州期末）计算：2sin45°+tan30°•cos30°﹣．
7．（2018秋•苏州期末）如图，一艘轮船在A处测得灯塔P在船的北偏东30°的方向，轮船沿着北偏东60°的方向航行16km后到达B处，这时灯塔P在船的北偏西75°的方向．求灯塔P与B之间的距离（结果保留根号）．
8．（2018秋•张家港市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，解这个直角三角形．9．（2018春•苏州期末）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB＝2km，从A测得船C 在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，求船C离海岸线l的距离（即CD的长）．
10．（2018春•苏州期末）计算tan60°﹣+1
11．（2017秋•常熟市期末）如图，在一笔直的沿湖道路上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A 北偏东60°的方向，在码头B北偏东15°的方向，AB＝4km．
（1）求观光岛屿C与码头A之间的距离（即AC的长）；
（2）游客小明准备从观光岛屿C乘船沿湖回到码头A或沿CB回到码头B，若开往码头A、B的游船
速度相同，设开往码头A、B所用的时间分别是t 1、t2，求的值．（结
果保留根号）
12．（2017秋•吴江区期末）如图，长为10米的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端A到地面的距离AC为8米，当梯子的顶端A下滑1米到A'时，底端B向外滑动到点B'，求BB'的长（精确到0.01米）．（参考数据：≈7.1414）
13．（2017秋•太仓市期末）如图，锐角△ABC中BC＝a，AC＝b，AB＝c，记三角形ABC的面积为S．（1）求证：S＝ab sin C
（2）求证：
14．（2017秋•工业园区期末）计算：cos245°﹣4sin30°tan45°．
15．（2017秋•太仓市期末）如图在塔底的水平面上某点A测得塔顶P的仰角为α，由此点向塔沿直线行走m（单位米）到达点B，测得塔顶的仰角为β，求塔高PQ的长．（用α、β、m表示）
16．（2017秋•工业园区期末）如图，长为8m的梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上．当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向左滑动后位于CD位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18'．求梯子滑动的距离BD．
17．（2017秋•高新区期末）如图，从地面上的点A看山坡上一垂直于地面的电线杆PQ，测得杆顶端点P 的仰角是45°，向前走9m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果保留根号）．
18．（2017秋•吴中区期末）计算：2sin30°+3cos60°﹣4tan45°．
19．（2017秋•苏州期中）计算：
（1）cos45°+3tan30°﹣2sin60°
（2）2cos30°﹣．
20．（2019•苏州模拟）小松想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆AB的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小松拿起绳子末端，后退至E处，并拉直绳子，此时绳子末端D距离地面2m且绳子与水平方向成45°角．求旗杆AB的高度．
21．（2019•高新区模拟）如图，李明在大楼27米高（即PH＝27米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角∠QPA＝15°，山脚B处的俯角∠QPB＝60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面内．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．
（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于度；
（2）求AB的长（结果保留根号）．
22．（2017•昆山市校级模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角为45°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为20m，求这栋楼的高度．（结果保留根号）
23．（2016•苏州模拟）如图，AC、BD是一斜坡AB上的两幢楼房，斜坡AB的坡度是．从点A 测得楼BD顶部D处的仰角是60°，从点B测得楼AC顶部C处的仰角是30°，楼BD的自身高度比楼AC高12m．求楼AC与楼BD之间的水平距离．（结果保留根号）
24．（2016秋•张家港市期末）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°．（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF（结果保留根式）．
25．（2016秋•吴中区期末）海关缉私人员驾艇在C处发现正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向北偏东60°的方向航行，缉私艇随即以90km/h的速度在B处将可疑船只拦截．缉私艇从C处到B处需航行多长时间？（结果保留根号）
26．（2016秋•工业园区期末）计算：tan45°﹣cos230°+（3﹣2）0．
27．（2016秋•工业园区期末）如图，一枚火箭从地面O处发射，在距离发射点9km处的地面观测站P 点测得火箭底部到达A点时，其底部的仰角为30°；20s后火箭底部到达B点，测得其底部的仰角为60°．求这枚火箭从A点到B点的平均速度（精确到0.1km/s）（参考数据：≈1.41，≈1.73，
≈2.24）
28．（2016秋•常熟市期末）如图，△ABC中，∠B＝45°，AB＝3，D是BC中点，tan C＝．
求：
（1）BC的长；
（2）sin∠ADB．
29．（2016秋•常熟市期末）计算：2sin60°+cos245°﹣4tan30°．
30．（2016秋•太仓市校级期末）如图，在平面直角坐标内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，BO＝5，sin∠BOA＝．
（1）求点B的坐标；
（2）求tan∠BAO的值．
答案与解析
1．【分析】作BD⊥AN于D，BC⊥MN于C．设MN＝AN＝x．根据BC＝CM构建方程求出x即可解决问题．
【解答】解：作BD⊥AN于D，BC⊥MN于C．设MN＝AN＝x．
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，AB＝20m，BD：AD＝3：4，
设BD＝3k，AD＝4k则AB＝5k，
∴5k＝20，
∴k＝4，
∴BD＝12m，AD＝16m，
∵四边形BDNC是矩形，
∴CN＝BD＝12，BC＝DN＝16+x，
在Rt△BCM中，∵∠MBC＝30°，
∴BC＝CM，
∴16+x＝（x﹣12），
解得x＝（14+26）m，
答：建筑物MN的高度为（14+26）m．
2．【分析】先利用直角三角形中两锐角互余，计算出∠B的度数，根据正弦的定义分别计算AC、BC的长．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵sin B＝，
∴AC＝4sin30°＝2，
∵sin A＝，
∴BC＝4sin60°＝6．
3．【分析】根据方向角先确定∠DAB＝60°，∠C＝45°，再根据特殊角的三角函数解直角三角形即可求解．【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC于点D
由题意知，AB＝30海里，∠DAB＝60°，∠ABC＝50°+25°＝75°，
∴∠C＝45°
在Rt△ABD中，∵sin∠DAB＝，
∴sin60°＝
∴BD＝海里
在Rt△BCD中，∵sin∠C＝，
∴sin45°＝
∴BC＝海里
答：灯塔C与码头B之间的距离为海里．
4．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式＝1﹣4××（）2
＝1﹣
＝﹣．
5．【分析】如图，作CH⊥AB交AB的延长线于H．解直角三角形求出CH，AC，AB即可解决问题．【解答】解：如图，作CH⊥AB交AB的延长线于H．
在Rt△BCH中，∵∠H＝90°，∠CBH＝45°，BC＝2，
∴BH＝CH＝2，
在Rt△ACH中，∵∠CAB＝30°，
∴AC＝2CH＝4，AH＝CH＝2，
∴AB＝2﹣2，
∴小明散步的路程：AC+CB＝4+2﹣2＝2+2（km）
6．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．
【解答】解：原式＝2×+×﹣
＝+﹣
＝．
7．【分析】作PH⊥AB，由题意得∠PAB＝30°，∠PBA＝45°，设PH＝x，则AH＝x，BH＝x，PB＝x，由AB＝16可得关于x的方程，解之可得．
【解答】解：过点P作PH⊥AB于点H，
由题意得∠PAB＝30°，∠PBA＝45°，
设PH＝x，则AH＝x，BH＝x，PB＝x，
∵AB＝16，
∴x+x＝16，
解得：x＝8﹣8，
∴PB＝x＝8﹣8，
答：灯塔P与B之间的距离为（8﹣8）km．
8．【分析】利用勾股定理可求出b＝2，结合c＝4可得出b＝c，进而可得出∠B＝30°，∠A＝60°．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝4，a＝2，
∴b＝＝2，
∴b＝c，
∴∠B＝30°，∠A＝60°．
9．【分析】根据题意在CD上取一点E，使BD＝DE，得出EC＝BE＝2km，再利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案．
【解答】解：在CD上取一点E，使BD＝DE，
∵CD⊥AB，
∴∠EBD＝45°，AD＝DC，
∵AB＝AD﹣BD，CE＝CD﹣DE，
∴CE＝AB＝2km，
∵从B测得船C在北偏东22.5°的方向，
∴∠BCE＝∠CBE＝22.5°，
∴BE＝EC＝2km，
∴BD＝ED＝km，
∴CD＝2+（km）．
答船C离海岸线l的距离为（2+）km．
10．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式＝﹣+1
＝﹣+1
＝．
11．【分析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，先解Rt△ABD，求出AD，再解Rt△ABD，求出CD，再根据AC＝AD+CD求解即可；
（2）先解Rt△BCD，求出BC，再根据速度相同，时间与路程成正比即可求解．
【解答】解：（1）如图，过点B作BD⊥AC于点D．
根据题意得∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝60°，
∴∠CBD＝45°，
在Rt△ABD中，∠CAB＝30°，AB＝4km，
∴BD＝AB sin30°＝2km，AD＝AB cos30°＝2km，
在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴CD＝BD tan45°＝2km，
AC＝AD+CD＝（2+2）km；
（2）在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，
∴BC＝BD＝2km，
∵速度相同，
∴＝＝＝．
12．【分析】在Rt△ABC中，根据AC，AB的长可以求得BC的长，在Rt△A'B'C中，根据A'C和A'B'的长可以求得B'C的长，即可求得BB'的长，即可解题．
【解答】解：∵Rt△ABC中，AC＝8m，AB＝10m，
∴BC＝＝6m，
∵Rt△A'B'C中，A'C＝8m﹣1m＝7m，A'B'＝10m，
∴B'C＝m，
∴BB′＝B'C﹣BC＝（﹣6）m≈1.14m．
答：BB′的长约为1.14 m．
13．【分析】（1）过A作AH⊥BC于H，可得AH＝b×sin C，依据三角形ABC的面积＝×BC×AH，即
可得到S＝ab sin C；
（2）过点C作CD⊥AB于D，在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，可得sin A＝，sin B＝，由此可得．同理可证，进而得到结论．
【解答】解：（1）如图，过A作AH⊥BC于H，则
Rt△ACH中，sin C＝＝，
∴AH＝b×sin C，
∵三角形ABC的面积＝×BC×AH，
∴S＝ab sin C；
（2）如图，过点C作CD⊥AB于D，
在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，
则sin A＝，sin B＝，
∴，．
∴．
过点A作AH⊥BC于H，同理可证．
∴．
14．【分析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算即可．
【解答】解：原式＝（）2﹣4××1＝﹣2＝﹣．
15．【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边PQ及AB的长构造关系式，进而可求出答案．
【解答】解：在Rt△APQ中，AQ＝，
在Rt△PBQ中，BQ＝，
∴﹣＝m，
∴PQ＝．
16．【分析】在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD ＝OD﹣OB即可求解．
【解答】解：在Rt△ABO中，cos∠ABO＝，
∴OB＝AB•cos∠ABO＝8×cos60°＝4m．
在Rt△CDO中，cos∠CDO＝，
∴OD＝CD•cos∠CDO＝8×cos51°18′＝5m．
∵BD＝OD﹣OB＝5﹣4＝1m．
故梯子滑动的距离BD是1m．
17．【分析】（1）根据题意可以得到∠BPQ的度数；
（2）根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得该电线杆PQ的高度．
【解答】解：（1）∵从B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，
∴∠BPQ＝90°﹣60°＝30°，
即∠BPQ的度数是30°；
（2）延长PQ交AB于点C，如右图所示，
设BQ＝x，
∵∠BPQ＝30°，∠PBC＝60°，∠QBC＝30°，
∴∠PBQ＝30°，
∴PQ＝BQ＝x，
∵∠QCB＝90°，∠QBC＝30°，
∴BC＝，QC＝x，
∴PC＝PQ+QC＝x+x＝x，
∵∠PAC＝45°，∠PCA＝90°，
∴PC＝AC，
∴AC＝x，
∵AB＝9，BC＝，
∴9+x＝x，
解得，x＝+9，
即该电线杆PQ的高度是（+9）米．
18．【分析】直接利用把特殊角的三角函数值代入求出答案．
【解答】解：2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
＝2×+3×﹣4×1
＝﹣1.5．
19．【分析】（1）根据特殊角三角函数值，可得答案；
（2）根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：（1）原式＝+3×﹣﹣2×
＝+﹣
＝；
（2）原式＝2×﹣（﹣1）
＝1．
20．【分析】过点D作DF⊥AB于点F，设BC＝x，由题意可知AD＝AC＝2x，AF＝DF＝x，然后根据tan30°＝列出方程解出x的值即可求出答案．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
设BC＝x，
∵∠ACB＝60°，
∴∠CAB＝30°，
∴AC＝2x，
∵AD＝AC＝2x，∠ADF＝45°，
∴由勾股定理可知：AF＝DF＝x，
∵DE＝BF＝2，
∴AB＝x+2，
∵tan30°＝，
∴＝，
解得：x＝＝2+2，
∴AB＝（2+2）+2＝2+6．
21．【分析】（1）根据tan∠ABC＝，即可直接求出∠ABC＝30°；
（2）先求出∠PBH＝∠QPB＝60°，∠APB＝45°，再根据∠ABC＝30°，求出∠ABP＝90°，根据∠PAB＝45°，得出AB＝PB，最后根据PB＝求出PB即可．
【解答】解：（1）∵tan∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝30°，
故答案为：30；
（2）由题意知过点P的水平线为PQ，∠QPA＝15°，∠QPB＝60°，
∴∠PBH＝∠QPB＝60°，∠APB＝∠QPB﹣∠QPA＝45°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠ABP＝90°，
∴∠PAB＝45°，
∴AB＝PB，
∵在Rt△PBH中，PB＝＝＝18，
∴AB＝PB＝，
答：AB的长为18米．
22．【分析】在Rt△ABD中，求出BD，在Rt△ACD中，求出CD，二者相加即为楼高BC．【解答】解：在Rt△ABD中，∠BDA＝90°，∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝20．
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，
∴CD＝AD＝20．
∴BC＝BD+CD＝20+20（m）．
答：这栋楼高为（20+20）m．
23．【分析】作BE⊥AC于E，设BH＝x米，则AE＝x米，BE＝AH＝2x米．CE＝2x•米＝2x 米，所以AC＝3x米，根据5x﹣3x＝12求出x的值，近而求出AH的值．
【解答】解：作BE⊥AC于E，
设BH＝x米，
则AE＝x米，
∵斜坡AB的坡度是．
∴BE＝AH＝2x米．
∴CE＝BE•tan∠CBE＝2x•＝2x米，
∴AC＝3x米，
∵∠DAH＝60°，
∴DH＝AH•tan∠DAH＝2x•＝6x米，
∴BD＝5x米，
根据题意，得：5x﹣3x＝12，
解得：x＝6，
∴AH＝6×2＝12（米），
答：两楼之间水平距离12米．
24．【分析】（1）作BH⊥AF于H，如图，在Rt△ABH中根据正弦的定义可计算出BH的长，从而得到EF 的长；
（2）先在Rt△CBE中利用∠CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可．
【解答】解：（1）作BH⊥AF于H，如图，
在Rt△ABH中，∵sin∠BAH＝，
∴BH＝800•sin30°＝400，
∴EF＝BH＝400米．
答：AB段山坡的高度EF为400米；
（2）在Rt△CBE中，∵sin∠CBE＝，
∴CE＝200•sin45°＝100，
∴CF＝CE+EF＝（100+400）（米）．
答：山峰的高度CF为（100+400）米．
25．【分析】过B作BD⊥AC于点D，设缉私艇从C处到B处需航行x小时，在直角△ABD中利用三角函数表示出BD和AD，然后在直角△BCD中利用勾股定理即可列方程求解．
【解答】解：设缉私艇从C处到B处需航行x小时，则
AB＝60xkm，BC＝90xkm．
过B作BD⊥AC于点D，则
AD＝30xkm，BD＝30xkm．
根据题意得（90x）2＝（30+30x）2+（30x）2，
即5x2﹣2x﹣1＝0，
解得x1＝，x2＝（舍去）．
答：缉私艇从C处到B处需航行小时．
26．【分析】根据特殊角三角函数值，零次幂，可得答案．
【解答】解：原式＝1﹣（）2+1＝2﹣＝．
27．【分析】根据正切的定义分别求出OA、OB，计算即可．
【解答】解：在Rt△APO中，tan∠APO＝，
∴OA＝OP•tan∠APO＝9×＝3≈5.2km，
在Rt△APO中，tan∠BPO＝，
∴OB＝OP•tan∠BPO＝9×≈15.6km，
∴AB＝OB﹣OA＝10.4，
则火箭从A点到B点的平均速度为10.4÷20≈0.5km/s．
28．【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角函数的定义得到AE＝AB•sin B＝3×＝3，CE＝15，于是得到结论；
（2）由D是BC中点，得到BD＝BC＝9，根据勾股定理得到AD＝＝3，由三角
函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∴∠AEB＝90°，
∵∠B＝45°，∵sin B＝，
∴AE＝AB•sin B＝3×＝3，
∴BE＝AE＝3，
∵∠AEC＝90°，tan C＝，
∴CE＝15，
∴BC＝BE+CE＝18；
（2）∵D是BC中点，
∴BD＝BC＝9，
∴DE＝BD﹣BE＝6，
∴AD＝＝3，
∴sin∠ADB＝＝＝．
29．【分析】首先把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的运算即可．
【解答】解：原式＝2×+×（）2﹣4×
＝．
30．【分析】（1）由题意，过点B作BH⊥OA于H，根据BO＝5，sin∠BOA＝，可得BH＝3，OH＝4，即可得出；
（2）如图，根据题意，OA＝10，可得AH＝6，所以，在Rt△AHB中，可得tan∠BAO＝＝．【解答】解：（1）如图，过点B作BH⊥OA于H，
∵OB＝5，sin∠BOA＝，
∴BH＝3，OH＝4，
∴点B的坐标为（4，3），（2）∵OA＝10，
∴AH＝OA﹣OH＝10﹣4＝6，∴在Rt△AHB中，
tan∠BAO＝＝＝．。