高等数学高数课件 9.3全微分及其应用

x y
则
(x)2
(y)2
x x (x)2 (x)2
1, 2
说明它不能随着 0而趋于 0, 当 0 时，
z [ fx (0,0) x f y (0,0) y] o( ),
函数在点(0,0) 处不可微.
函数 f(x, y)在点 (x0, y0 ) 处可微的充要条件
lim z [ fx (x0, y0 ) x f y (x0, y0 ) y] 0
定义,并设 P( x x, y y) 为这邻域内的任意 一点, 则称 f ( x x, y y) f ( x, y)为函数在
偏增量与全增量
定义,并设 P( x x, y y) 为这邻域内的任意 一点, 则称 f ( x x, y y) f ( x, y)为函数在
点 P对应于自变量增量 x, y的全增量,记为z 即 z f ( x x, y y) f ( x, y).
x y
可微分．
证 z f ( x x, y y) f ( x, y)
[ f ( x x, y y) f ( x, y y)]
[ f ( x, y y) f ( x, y)],
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
f ( x x, y y) f ( x, y y)
fx ( x 1x, y y)x (0 1 1) fx ( x, y)x 1x （依偏导数的连续性） 其中1为x, y的函数, 且当x 0, y 0时，1 0.
微分, 记为dz, 即dz Ax By. 函数若在某区域 D内各点处处可微分,则称这函
全微分的定义
函数若在某区域 D内各点处处可微分,则称这函
数在 D内可微分.
如果函数 z f ( x, y)在点 ( x, y)可微分, 则函数
在该点连续.
事实上,z Ax By o( ), lim z 0, 0
可微的必要条件 注: 一元函数在某点可导是在该点可微的充分 必要条件.但对于多元函数则不然.定理1 的结论 表明, 二元函数的各偏导数存在只是全微分存在 的必要条件而不是充分条件. 事实上. 函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿 坐标轴的变化率, 而全微分描述了函数沿各个方 向的变化情况.
一元函数在某点的导数存在
同理 f ( x, y y) f ( x, y)
f y ( x, y)y 2y, 当y 0时， 2 0,
z fx ( x, y)x 1x f y ( x, y)y 2y
1x 2y
1
2
0 0,
故函数z f ( x, y)在点( x, y)处可微.
与一元函数的情况相同，自变量的增量等于自变量
第三节 全微分及其应用
一、全微分 二、全微分在近似计算中的应用 三、思考题
一、全微分（perfect differential)
偏增量与全增量 根据一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x, y) f ( x, y) fx ( x, y)x f ( x, y y) f ( x, y) f y ( x, y)y
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
xy
例如，
f
(
x,Байду номын сангаас
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点(0,0)处有 f x (0,0) f y (0,0) 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y ,
(x)2 (y)2
如果考虑点P(x, y)沿着直线y x 趋近于(0,0) ，
x0
y0
其中： z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 )
当 0时，上述极限若不趋于 0 时, 则函数 f(x, y)在点 (x0, y0 ) 处就不可微.
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x, y)的偏 导数z 、z 在点( x, y)连续，则该函数在点( x, y)
z x
,
z y
必存在,且
z
f ( x, y)在点( x, y)处的全
微分为
dz
z x
x
z y
y.
证 设函数 z f ( x, y) 在点P( x, y)处可微分, 则对于点 P的某个邻域内的任意一点
P( x x, y y),
恒有z Ax By o( ).
可微的必要条件
恒有z Ax By o( ).
所以
lim f ( x x, y y) lim[ f ( x, y) z]
x0
x0
y0
y0
f ( x, y),
故函数 z f ( x, y)在点( x, y)处连续.
可微的必要条件
定理 1 (必要条件) 如果函数 z f ( x, y)在点
( x, y) 处可微分,则该函数在点 ( x, y)的偏导数
全微分的定义
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量
z f ( x x, y y) f ( x, y) 可以表示为z Ax By o( ),其中A, B 不
依赖于x, y 而仅与 x, y 有关,
(x)2 (y)2 ,
则称函数 z f ( x, y)在点 ( x, y)可微分, Ax By称为函数 z f ( x, y)在点( x, y) 的全
的微分。即 dx x, dy y
则有
dz
z x
dx
z y
dy.
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
x x y y 二元函数对 和对 的偏增量 二元函数对 和对 的偏微分
全增量的概念
如果函数 z f ( x, y)在点 P( x, y) 的某邻域内有 定义,并设 P( x x, y y) 为这邻域内的任意 一点, 则称 f ( x x, y y) f ( x, y)为函数在
偏增量与全增量
特别当y 0时上式仍成立(此时 | x | ),
从而有
f ( x x, y) f ( x, y) A x o(| x |),
上式两端除以 x, 令 x 0 并取极限,即得
lim
x0
f ( x x, y) x
f (x,
y)
A,
即
z x
A,
同理有
B
z y
.
注: 一元函数在某点可导是在该点可微的充分