高等数学高数课件 9.3全微分及其应用
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《全微分及其应用》课件
统计学中的应用
全微分在统计学中有重要的应用，如数据拟合、 回归分析等。
总结
全微分在实际中的重要性
全微分是解决实际问题的数学工具，对于 许多领域的研究与应用具有重要意义。
进一步探究的方向
全微分是一个广阔而深奥的领域，可以有 更多的研究和应用方向值得深入探索。
全微分的充要条件以及性质
全微分的存在与函数的偏导数连续性相关， 具有一些重要性质。
求解全微分
1
拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束最优化问题的方法，也可以用于求解全微 分的相关问题。
2
牛顿-莱布尼茨公式
牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本公式，用于计算全微分。
应用
工程问题中的应用
全微分在工程领域中有广泛的应用，如优化设 计、控制系统等。
《全微分及其应用》PPT 课件
全微分及其应用是一门重要的数学课程，本PPT课件将介绍全微分的定义、性 质、求解方法以及实际应用，帮助您深入了解这一概念。
引言
全微分是微积分中的核心概念之一，在许多应用领域中起着重要作用。本节将介绍全微分的定义 以及相关概念，并为后续内容打下基础。
ห้องสมุดไป่ตู้质
几何意义
全微分对应着曲面的切平面，具有重要的 几何意义。
全微分及其应用
常见方法
求解无约束最优化问题的方法包括梯度下降法、 牛顿法、拟牛顿法等。
牛顿法
牛顿法是一种基于目标函数二阶导数的迭代算法 ，通过构造海森矩阵并求解线性方程组来逼近最 优解。
有约束最优化问题
01
有约束最优化问题
有约束最优化问题是在存在约束条件限制下，寻找满 足所有约束条件的参数的最优解。
02 分类 有约束最优化问题可以分为等式约束问题和不等式约 束问题。
极值点判断
全微分还可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，则该点 可能是函数的极值点。
函数极值点的判断
极值点判断
全微分可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，且该点的二阶导数大于0，则该点 是函数的极值点。
极值点类型判断
全微分还可以用于判断函数的极值点类型，如极大值点或极小值点。如果函数在某一点的二阶导数小于0， 则该点是极大值点；如果二阶导数大于0，则该点是极小值点。
全微分的几何意义
总结词
全微分在几何上表示函数图像在 某一点处的切线斜率。
详细描述
全微分可以理解为函数图像在某 一点处的切线的斜率，这个斜率 表示函数在该点处沿任一方向的 变化率。
全微分的性质
总结词
全微分具有线性性质、可加性、可乘性和链式法则等性质。
详细描述
全微分具有线性性质，即两个函数的和或差的微分等于它们各自微分的和或差；全微分具有可加性，即函数在两 点间的微分等于这两点间各自微分的和；全微分还具有可乘性和链式法则等性质，这些性质在求导和积分中有着 广泛的应用。
应用
全微分在几何上表示函数图像在某点处的切线斜率的变化 量。
全微分在优化、近似计算、泰勒级数展开等方面有广泛应 用。
《高数全微分》课件
全微分的概念
全微分是多变量函 数的变化率，通过 定义、计算方法和 与偏微分的区别， 理解全微分的概念。
练习题选讲
1
练习题1
通过一个实际的计算例子来帮助学生巩固微分和导数的应用。
2
练习题2
挑选一道复杂且具有挑战性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
3
练习题3
提供一道综合性的练习题，结合了微分、导数和全微分的内容，以检验学生的综 合能力。
讲解内容
什么是微分
微分是基础概念， 具有多种定义方式。 通过物理解释和常 见定义使学生理解 微分的概念和意义。
导数的定义
导数是描述函数变 化率的工具，包括 导数的概念、计算 方法以及其在函数 极值中的应用。
微分的定义
微分作为导数的无 穷小变化量，给出 了函数在某一点上 的局部变化情况和 计算方法。
总结回顾
1 本节知识点回顾 2 知识点扩展
概述了微分、导数和 全微分的概念和定义， 强调了它们在数学中 的重要性。
引导学生进一步学习 微分和导数的应用领 域，如物理学和经济 学等。
3 下节课预告
展示下节课将会涉及 的主题和学习目标， 激发学生的兴趣和期 待。
《高数全微分》PPT课件
高数全微分 PPT课件
知识点概述
什么是微分
微分是一个数学概念，用于描述函数值的 变化率。它是微积分的基础。
微分的定义
微分是函数值的无穷小变化。它描述了函 数在某一点上的局部变化。
导数的定义
导数是函数在某一点上的变化率，可以解 释为函数在该点的切线斜率。
全微分的概念
全微分是多变量函数在某一点上的变化率， 它包括所有变量的微分。
高等数学(第三版)课件：全微分
z f (x x, y y) f (x, y) dz f x(x, y)x f y(x, y)y
从而
f (x x, y y) f (x, y) f x(x, y)x f y(x, y)y
例4 求(1.98)4.01 的近似值．
解 (1.98)4.0可1 看作函数 z x y在 x x 1.98 y y 4.01的函数值.取 x 2 x 0.02
全微分
一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
1、引例 一矩形金属片,长为 x ,宽为y ,则面积z xy
当边长x, y分别有增量x,y 时,面积的增量为 z (x x)( y y) xy yx xy xy
z称为函数z xy的全增量，记 (x)2 (y)2
y 4, y 0.01
f x(2,4) yx y1 x2 32 f y(2,4) x y ln x x2 11.09
y4
y4
(1.98)4.01 f x(2,4)x f y(2,4)y f (2,4)
32 (0.02) 11.09 0.0116 15.47
在点 (x, y)处必可微．
例１ 求函数 z x y 的全微分．
解
z yx y1 x
z x y ln x y
d z z d x z d y x y
yx y1 d x x y ln x d y
注：关于二元函数全微分的定义及可微分的充
分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上
的多元函数.
例２：计算 u
处的两个偏导数 z
x
、yz
必都存在．
(2)函数 z f (x, y) 在点 (x, y) 处可微,则函数在点(x, y)
处连续．
从而
f (x x, y y) f (x, y) f x(x, y)x f y(x, y)y
例4 求(1.98)4.01 的近似值．
解 (1.98)4.0可1 看作函数 z x y在 x x 1.98 y y 4.01的函数值.取 x 2 x 0.02
全微分
一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
1、引例 一矩形金属片,长为 x ,宽为y ,则面积z xy
当边长x, y分别有增量x,y 时,面积的增量为 z (x x)( y y) xy yx xy xy
z称为函数z xy的全增量，记 (x)2 (y)2
y 4, y 0.01
f x(2,4) yx y1 x2 32 f y(2,4) x y ln x x2 11.09
y4
y4
(1.98)4.01 f x(2,4)x f y(2,4)y f (2,4)
32 (0.02) 11.09 0.0116 15.47
在点 (x, y)处必可微．
例１ 求函数 z x y 的全微分．
解
z yx y1 x
z x y ln x y
d z z d x z d y x y
yx y1 d x x y ln x d y
注：关于二元函数全微分的定义及可微分的充
分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上
的多元函数.
例２：计算 u
处的两个偏导数 z
x
、yz
必都存在．
(2)函数 z f (x, y) 在点 (x, y) 处可微,则函数在点(x, y)
处连续．
高等数学 全微分PPT课件
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
由微分定义 : lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y x y
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可导
偏导数连续
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习 1. P72 题 1 (总习题八)
2. 选择题 函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微的充分条件是( D )
将 x , z 看成常数: u x w , w y z .
u y
( 2 , 2 ,1)
yz yz x ln x z y z 1 ( 2, 2,1) ( x ) ( 2, 2,1) y 4 ln 2
将 x , y 看成常数:u x w , w y z .
u y
第三节
2. 可微的条件
全微分
1. 全微分的定义
3. 连续、可导与可微的关系
4. 小结、作业
一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o( x)
d y f ( x)x
应用
近似计算 估计误差
机动
目录
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结束
一、全微分的定义
由微分定义 : lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y x y
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可导
偏导数连续
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思考与练习 1. P72 题 1 (总习题八)
2. 选择题 函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微的充分条件是( D )
将 x , z 看成常数: u x w , w y z .
u y
( 2 , 2 ,1)
yz yz x ln x z y z 1 ( 2, 2,1) ( x ) ( 2, 2,1) y 4 ln 2
将 x , y 看成常数:u x w , w y z .
u y
第三节
2. 可微的条件
全微分
1. 全微分的定义
3. 连续、可导与可微的关系
4. 小结、作业
一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o( x)
d y f ( x)x
应用
近似计算 估计误差
机动
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结束
一、全微分的定义
高等数学第九章9-3
第三节 全微分及其应用 一、全微分的定义 二、可微的条件 三、小结
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
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1
一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ≈ f x ( x , y )∆x
f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y ) ≈ f y ( x , y )∆y
∆ z = f x ( x , y )∆x + ε 1 ∆x + f y ( x , y ) ∆y + ε 2 ∆y
ε 1 ∆x + ε 2 ∆y →0 ∵ ≤ ε 1 + ε 2 ρ → 0, ρ
处可微. 故函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 处可微
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总成立, 总成立
当 ∆y = 0 时，上式仍成立，此时 ρ =| ∆x |, 上式仍成立，
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) = A ⋅ ∆x + o(| ∆x |),
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ∂z lim =A= , ∆x → 0 ∂x ∆x
ρ →0
∆x → 0 ∆y → 0
lim f ( x + ∆x , y + ∆y ) = lim[ f ( x , y ) + ∆z ]
ρ →0
= f ( x, y)
5
处连续. 故函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续
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二、可微的条件
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
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1
一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ≈ f x ( x , y )∆x
f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y ) ≈ f y ( x , y )∆y
∆ z = f x ( x , y )∆x + ε 1 ∆x + f y ( x , y ) ∆y + ε 2 ∆y
ε 1 ∆x + ε 2 ∆y →0 ∵ ≤ ε 1 + ε 2 ρ → 0, ρ
处可微. 故函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 处可微
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总成立, 总成立
当 ∆y = 0 时，上式仍成立，此时 ρ =| ∆x |, 上式仍成立，
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) = A ⋅ ∆x + o(| ∆x |),
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ∂z lim =A= , ∆x → 0 ∂x ∆x
ρ →0
∆x → 0 ∆y → 0
lim f ( x + ∆x , y + ∆y ) = lim[ f ( x , y ) + ∆z ]
ρ →0
= f ( x, y)
5
处连续. 故函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续
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二、可微的条件
高等数学下册-全微分课件
全微分的应用实例
01
近似计算
全微分可用于近似计算函数在某 一点的增量。
导数应用
02
03
物理应用
全微分与偏导数的关系可用于解 决实际问题中的优化问题，如最 值问题、极值问题等。
全微分在物理中有广泛的应用， 如速度、加速度、电磁场等物理 量的计算。
05
CATALOGUE
习题与解答
习题部分
题目1
计算函数$f(x, y) = x^2 + y^2$在点$(2, -3)$的全 微分。
率。
全微分与偏导数的关系式
全微分等于所有偏导数与自变量增量乘 积的和。
全微分公式：(dz = frac{partial f}{partial x} dx + frac{partial f}{partial y} dy + frac{partial f}{partial z} dz)
全微分公式适用于多元函数的可微 性，是微积分中的基本概念。
02
全微分具有连续性，即当函数在某点处可微时，其全
微分在该点连续。
03
全微分具有局部性，即全微分只在函数可微的点处有
意义，且与自变量的具体取值无关。
02
CATALOGUE
全微分的计算
函数的全微分
定义
函数在某点的全微分是该函数在该点的微分的 线性主部。
计算方法
根据定义，全微分等于所有偏导数与相应变量 的乘积之和。
题目2
已知函数$f(x, y) = sin(x + y)$，求在点$(1, frac{pi}{2})$的全微分。
题目3
设函数$f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$，求在点$(1, 1)$的全微分。
大一高数下全微分课件
乘积法则
总结词
乘积法则用于计算两个函数的乘积的 全微分。
详细描述
乘积法则是全微分的另一个重要法则， 它指出如果z是两个函数u和v的乘积， 那么dz=u*du+v*dv。具体来说，如果 z=u*v，那么全微分 dz=d(u*v)/du*du+d(u*v)/dv*dv=u*d u+v*dv。
商的法则
大一高数下全微分课件
• 全微分的定义 • 全微分的基本公式和法则 • 全微分的应用 • 常见函数的微分 • 微分中值定理与导数的应用 • 习题与解答
01
全微分的定义
全微分的概念
全微分是指在函数定义域内 某一点处，将函数在该点的 值与自变量在该点的值分别 进行微小变化，函数值变化
量的线性部分。
全微分是函数在一点处对所 有自变量偏导数的加权和， 权因子是偏导数与自变量变
答案2
dz = cos(x + y) * (cos/sin)(π/4) * (cos/sin)(π/6) = -√3/3
解析2
函数z = sin(x + y)在点(π/4, π/6)的 全微分为dz = cos(x + y) * cos(π/4) * cos(π/6) = -√3/3。
答案3
dz = e^(x + y) * (e^1) * (e^0) = e^(1+0) = e
高阶导数与高阶全微分
高阶导数可以用于计算高阶全微分， 高阶全微分可以用于研究函数的更高 阶的几何特性。
02
全微分的基本公式和法则
链式法则
总结词
链式法则描述了复合函数的全微分计算方法。
详细描述
链式法则是全微分的重要法则之一，它指出如果z是由y和x通过复合函数f(g(y)) 得到的，那么全微分dz=d(f(g(y)))/dz * dy。具体来说，如果u=g(y)且z=f(u) ，那么dz=d(f(u))/du * du=d(f(u))/du * d(g(y))/dy * dy。
全微分及其应用
当两边长分别取得增量 x 和 y 时的改变量
S (xx)( yy)x y yx x y x y
• 第一部分 y x x y 是 x , y 的线性函数 y
xy x y
• 第二部分 x y
lim
xy
y
S xy
'
x
x
(x)
'
y
y
x
dz dy
( y)
'
x
x
( y)
'
y
y
y
所以 d z f x ( x, y ) d x f y ( x, y )d y
叠加原理：二元函数的全微分等于它的两个偏 微分之和。
叠加原理：二元函数的全微分等于它的两个偏 微分之和。
叠加原理也适用于二元以上的多元函数的情形。
二元函数
对x 和对y 的偏增量
二元函数
对x 和对y 的偏微分
一元函数 y = f (x) 的微分概念： 若函数的增量： y f (x x) f (x) 能表示为： y A x o ( x)
则称函数 y = f (x) 在点 x 处是可微的，并称
d y A x 为函数的微分
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
xy
例如，
f
(
x,
y
)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点(0,0)处有 f x (0,0) f y (0,0) 0
xy
高等数学课件--D9_3全微分
x x
z x z y
lim xz x
x 0
x
A
Ax o ( x )
同样可证
2012-10-12
B , 因此有
同济版高等数学课件
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注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
xy
反例: 函数 f ( x, y )
x y
2
2
,
x y 0
2 2
0,
x y 0
2 2
易知 f x (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
z [ f x ( 0, 0 ) x f y ( 0, 0 ) y ]
x y ( x) ( y )
2
x y ( x) ( y )
[ f ( x x, y y ) f ( x, y y )] [ f ( x, y y ) f ( x, y )]
f x ( x 1 x, y y ) x f y ( x, y 2 y ) y ( 0 1 , 2 1 ) [ f x ( x, y ) ] x [ f y ( x, y ) ] y
S a
δ
a
S b
δ b
S C
δC
1
2 2 2 a 12.5, b 8.3 , C 30, δ a δ b 0.01, δ C
b sin C δ a
1
a sin C δ b
1
ab cos C δ π
C
故绝对误差约为 又
1 2
1800
12.5 8.3 sin 30 25.94
高等数学下9.3全微分
可偏导
x y 0
2 2
在点( 0,0)处有
.
f x (0,0) f y (0,0) 0
lim
0
x y 0
2 2
可微
z z z x y x y
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
( x ) 2 ( y ) 2
增量 x , y 的 全增量， 记为 z ， 即
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
一、全微分的定义
由一元函数可微的定义 如果函数
y Ax o( x ), 可微：
微分：dy Ax f ( x)dx.
定义
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
z =AN ：
z
z= f (x ,y)
( )
M
z
B z z0
曲面立标的增量
dz
A
.
dz=AB : 切面立标的增量
x
0
x
P
y
y
Q
二、全微分存在的必要条件和充分条件 如果函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y )的全增量
f ( x x , y y ) f ( x , y )
x y x x 2 2 lim lim ( x ) ( y ) 2 2 0 ( x ) 2 ( x ) 2 0 ( x ) ( y ) lim 0
xy 2 2 x y f ( x, y) 0
可偏导 可微
z z dz x y 的全微分 x y z f ( x , y )在点 ( x , y ) 可微分 z z x z y o( ) x y
x y 0
2 2
在点( 0,0)处有
.
f x (0,0) f y (0,0) 0
lim
0
x y 0
2 2
可微
z z z x y x y
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
( x ) 2 ( y ) 2
增量 x , y 的 全增量， 记为 z ， 即
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
一、全微分的定义
由一元函数可微的定义 如果函数
y Ax o( x ), 可微：
微分：dy Ax f ( x)dx.
定义
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
z =AN ：
z
z= f (x ,y)
( )
M
z
B z z0
曲面立标的增量
dz
A
.
dz=AB : 切面立标的增量
x
0
x
P
y
y
Q
二、全微分存在的必要条件和充分条件 如果函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y )的全增量
f ( x x , y y ) f ( x , y )
x y x x 2 2 lim lim ( x ) ( y ) 2 2 0 ( x ) 2 ( x ) 2 0 ( x ) ( y ) lim 0
xy 2 2 x y f ( x, y) 0
可偏导 可微
z z dz x y 的全微分 x y z f ( x , y )在点 ( x , y ) 可微分 z z x z y o( ) x y
《高数全微分方程》课件
参数方程法
总结词
参数方程法是通过引入参数，将全微分 方程转化为参数微分方程，然后求解参 数的微分，最后得到原全微分方程的解 。
VS
详细描述
参数方程法的步骤包括引入参数、将全微 分方程转化为参数微分方程、求解参数的 微分、将参数的解代回原方程，最后得到 原全微分方程的解。这种方法适用于具有 参数形式的全微分方程，能够简化求解过 程。
变量分离法
总结词
变量分离法是将全微分方程转化为可分离变量的微分方程，然后分别求解每个变量的微分，最后得到 原全微分方程的解。
详细描述
变量分离法的步骤包括将全微分方程转化为可分离变量的微分方程、分别求解每个变量的微分、将各 个变量的解代回原方程，最后得到原全微分方程的解。这种方法适用于具有可分离变量形式的全微分 方程，能够简化求解过程。
总结词
全微分方程描述了曲线的斜率在各个方向上的变化情 况。
详细描述
全微分方程可以表示曲线上任意一点的切线斜率的变 化情况，即该点处曲线在各个方向上的弯曲程度。通 过求解全微分方程，可以了解曲线的弯曲程度，从而 更好地理解曲线的几何特性。
曲线的弯曲程度与全微分方程
总结词
全微分方程描述了曲线的弯曲程度在各个方向上的变 化情况。
二阶全微分方程实例
总结词
二阶全微分方程是描述物理现象和工程问题的重要工具，具有丰富的数学性质和实际应 用价值。
详细描述
二阶全微分方程的一般形式为 d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中 f(x, y, z) 是关于 x、y 和 z 的函数。通过求解二阶全微分方程，可以找到满足特定边界条件的解，从而解决实际
高数全微分方程目录来自• 全微分方程简介 • 全微分方程的求解方法 • 全微分方程的实例分析 • 全微分方程的几何意义 • 全微分方程的扩展知识
《高等数学之全微分》课件
全微分的定义
全微分是多元函数的微分算子在某一点上的线性逼近。
微分算子
微分算子描述函数变化的矩阵运算。
某一点上
我们关注函数在特定点上的性质。
全微分的性质
全微分具有一些重要的性质，帮助我们深入理解函数的变化。
线性性质
全微分是线性算子，满足加 法和数乘运算。
位置无关性
全微分与坐标系的选取无关， 只与函数的性质相关。
点到点性质
全微分仅仅描述函数在某一 点上的性质。
全微分的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
全微分在实际问题中有广泛的应用，帮助我们进行函数的近似计算和优化。
1
近似计算
利用全微分可以进行函数值的近似计算，方便解决复杂问题。
2
优化问题
全微分可以帮助我们找到函数的极值点，解决优化问题。
3
微分学习
全微分是进一步学习微分学的基础，为后续的数学知识奠定重要基础。
《高等数学之全微分》 PPT课件
探索高等数学中的全微分的概念、定义、性质与应用，让你深入了解这一重 要的数学概念，并学会计算方法。让我们一起开始吧！
什么是全微分
全微分是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点上的线性逼近。
1 定义
全微分是函数在某一点上的一阶线性逼近。
2 性质
全微分是函数变化的最佳线性逼近。
全微分的计算方法
计算全微分是应用全微分的关键，我们需要学会相应的计算方法。
公式计算
利用相应的数学公式进行全微分的计算。
具体案例
通过具体的计算案例来加深理解和掌握全微分的计 算方法。
举例说明全微分
通过具体的例子来说明全微分的应用和计算方法。
1 函数示例
高等数学第九章第三节全微分课件.ppt
(x)2 (y)2
当 (x)2 (y)2 0 时是无穷小量 .
3. 已知 答案:
Ex:
证明函数
在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连
续, 而 f (x, y) 在点 (0,0) 可微 .
证: 1) 因
xy sin
1 x2 y2
xy
x2 y2 2
所以
lim f (x, y) 0 f (0,0)
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.
x y
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
x0 y0
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
2) f (x,0) 0, fx (0,0) 0 ; 同理 f y (0,0) 0.
3) 当(x, y) (0,0)时,
fx (x, y)
sin
1 x2 y2
x2 y (x2 y2)3
lim
当 (x)2 (y)2 0 时是无穷小量 .
3. 已知 答案:
Ex:
证明函数
在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连
续, 而 f (x, y) 在点 (0,0) 可微 .
证: 1) 因
xy sin
1 x2 y2
xy
x2 y2 2
所以
lim f (x, y) 0 f (0,0)
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.
x y
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
x0 y0
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
2) f (x,0) 0, fx (0,0) 0 ; 同理 f y (0,0) 0.
3) 当(x, y) (0,0)时,
fx (x, y)
sin
1 x2 y2
x2 y (x2 y2)3
lim
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x y
可微分．
证 z f ( x x, y y) f ( x, y)
[ f ( x x, y y) f ( x, y y)]
[ f ( x, y y) f ( x, y)],
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
f ( x x, y y) f ( x, y y)
fx ( x 1x, y y)x (0 1 1) fx ( x, y)x 1x （依偏导数的连续性） 其中1为x, y的函数, 且当x 0, y 0时，1 0.
x x y y 二元函数对 和对 的偏增量 二元函数对 和对 的偏微分
全增量的概念
如果函数 z f ( x, y)在点 P( x, y) 的某邻域内有 定义,并设 P( x x, y y) 为这邻域内的任意 一点, 则称 f ( x x, y y) f ( x, y)为函数在
偏增量与全增量
所以
lim f ( x x, y y) lim[ f ( x, y) z]
x0
x0
y0y0Biblioteka f ( x, y),故函数 z f ( x, y)在点( x, y)处连续.
可微的必要条件
定理 1 (必要条件) 如果函数 z f ( x, y)在点
( x, y) 处可微分,则该函数在点 ( x, y)的偏导数
x0
y0
其中： z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 )
当 0时，上述极限若不趋于 0 时, 则函数 f(x, y)在点 (x0, y0 ) 处就不可微.
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x, y)的偏 导数z 、z 在点( x, y)连续，则该函数在点( x, y)
第三节 全微分及其应用
一、全微分 二、全微分在近似计算中的应用 三、思考题
一、全微分（perfect differential)
偏增量与全增量 根据一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x, y) f ( x, y) fx ( x, y)x f ( x, y y) f ( x, y) f y ( x, y)y
定义,并设 P( x x, y y) 为这邻域内的任意 一点, 则称 f ( x x, y y) f ( x, y)为函数在
偏增量与全增量
定义,并设 P( x x, y y) 为这邻域内的任意 一点, 则称 f ( x x, y y) f ( x, y)为函数在
点 P对应于自变量增量 x, y的全增量,记为z 即 z f ( x x, y y) f ( x, y).
微分, 记为dz, 即dz Ax By. 函数若在某区域 D内各点处处可微分,则称这函
全微分的定义
函数若在某区域 D内各点处处可微分,则称这函
数在 D内可微分.
如果函数 z f ( x, y)在点 ( x, y)可微分, 则函数
在该点连续.
事实上,z Ax By o( ), lim z 0, 0
z x
,
z y
必存在,且
z
f ( x, y)在点( x, y)处的全
微分为
dz
z x
x
z y
y.
证 设函数 z f ( x, y) 在点P( x, y)处可微分, 则对于点 P的某个邻域内的任意一点
P( x x, y y),
恒有z Ax By o( ).
可微的必要条件
恒有z Ax By o( ).
特别当y 0时上式仍成立(此时 | x | ),
从而有
f ( x x, y) f ( x, y) A x o(| x |),
上式两端除以 x, 令 x 0 并取极限,即得
lim
x0
f ( x x, y) x
f (x,
y)
A,
即
z x
A,
同理有
B
z y
.
注: 一元函数在某点可导是在该点可微的充分
全微分的定义
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量
z f ( x x, y y) f ( x, y) 可以表示为z Ax By o( ),其中A, B 不
依赖于x, y 而仅与 x, y 有关,
(x)2 (y)2 ,
则称函数 z f ( x, y)在点 ( x, y)可微分, Ax By称为函数 z f ( x, y)在点( x, y) 的全
可微的必要条件 注: 一元函数在某点可导是在该点可微的充分 必要条件.但对于多元函数则不然.定理1 的结论 表明, 二元函数的各偏导数存在只是全微分存在 的必要条件而不是充分条件. 事实上. 函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿 坐标轴的变化率, 而全微分描述了函数沿各个方 向的变化情况.
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
xy
例如，
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点(0,0)处有 f x (0,0) f y (0,0) 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y ,
(x)2 (y)2
如果考虑点P(x, y)沿着直线y x 趋近于(0,0) ，
x y
则
(x)2
(y)2
x x (x)2 (x)2
1, 2
说明它不能随着 0而趋于 0, 当 0 时，
z [ fx (0,0) x f y (0,0) y] o( ),
函数在点(0,0) 处不可微.
函数 f(x, y)在点 (x0, y0 ) 处可微的充要条件
lim z [ fx (x0, y0 ) x f y (x0, y0 ) y] 0
的微分。即 dx x, dy y
则有
dz
z x
dx
z y
dy.
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
同理 f ( x, y y) f ( x, y)
f y ( x, y)y 2y, 当y 0时， 2 0,
z fx ( x, y)x 1x f y ( x, y)y 2y
1x 2y
1
2
0 0,
故函数z f ( x, y)在点( x, y)处可微.
与一元函数的情况相同，自变量的增量等于自变量
可微分．
证 z f ( x x, y y) f ( x, y)
[ f ( x x, y y) f ( x, y y)]
[ f ( x, y y) f ( x, y)],
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
f ( x x, y y) f ( x, y y)
fx ( x 1x, y y)x (0 1 1) fx ( x, y)x 1x （依偏导数的连续性） 其中1为x, y的函数, 且当x 0, y 0时，1 0.
x x y y 二元函数对 和对 的偏增量 二元函数对 和对 的偏微分
全增量的概念
如果函数 z f ( x, y)在点 P( x, y) 的某邻域内有 定义,并设 P( x x, y y) 为这邻域内的任意 一点, 则称 f ( x x, y y) f ( x, y)为函数在
偏增量与全增量
所以
lim f ( x x, y y) lim[ f ( x, y) z]
x0
x0
y0y0Biblioteka f ( x, y),故函数 z f ( x, y)在点( x, y)处连续.
可微的必要条件
定理 1 (必要条件) 如果函数 z f ( x, y)在点
( x, y) 处可微分,则该函数在点 ( x, y)的偏导数
x0
y0
其中： z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 )
当 0时，上述极限若不趋于 0 时, 则函数 f(x, y)在点 (x0, y0 ) 处就不可微.
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x, y)的偏 导数z 、z 在点( x, y)连续，则该函数在点( x, y)
第三节 全微分及其应用
一、全微分 二、全微分在近似计算中的应用 三、思考题
一、全微分（perfect differential)
偏增量与全增量 根据一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x, y) f ( x, y) fx ( x, y)x f ( x, y y) f ( x, y) f y ( x, y)y
定义,并设 P( x x, y y) 为这邻域内的任意 一点, 则称 f ( x x, y y) f ( x, y)为函数在
偏增量与全增量
定义,并设 P( x x, y y) 为这邻域内的任意 一点, 则称 f ( x x, y y) f ( x, y)为函数在
点 P对应于自变量增量 x, y的全增量,记为z 即 z f ( x x, y y) f ( x, y).
微分, 记为dz, 即dz Ax By. 函数若在某区域 D内各点处处可微分,则称这函
全微分的定义
函数若在某区域 D内各点处处可微分,则称这函
数在 D内可微分.
如果函数 z f ( x, y)在点 ( x, y)可微分, 则函数
在该点连续.
事实上,z Ax By o( ), lim z 0, 0
z x
,
z y
必存在,且
z
f ( x, y)在点( x, y)处的全
微分为
dz
z x
x
z y
y.
证 设函数 z f ( x, y) 在点P( x, y)处可微分, 则对于点 P的某个邻域内的任意一点
P( x x, y y),
恒有z Ax By o( ).
可微的必要条件
恒有z Ax By o( ).
特别当y 0时上式仍成立(此时 | x | ),
从而有
f ( x x, y) f ( x, y) A x o(| x |),
上式两端除以 x, 令 x 0 并取极限,即得
lim
x0
f ( x x, y) x
f (x,
y)
A,
即
z x
A,
同理有
B
z y
.
注: 一元函数在某点可导是在该点可微的充分
全微分的定义
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的全增量
z f ( x x, y y) f ( x, y) 可以表示为z Ax By o( ),其中A, B 不
依赖于x, y 而仅与 x, y 有关,
(x)2 (y)2 ,
则称函数 z f ( x, y)在点 ( x, y)可微分, Ax By称为函数 z f ( x, y)在点( x, y) 的全
可微的必要条件 注: 一元函数在某点可导是在该点可微的充分 必要条件.但对于多元函数则不然.定理1 的结论 表明, 二元函数的各偏导数存在只是全微分存在 的必要条件而不是充分条件. 事实上. 函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿 坐标轴的变化率, 而全微分描述了函数沿各个方 向的变化情况.
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
多元函数的各偏导数存在
全微分存在．
xy
例如，
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在点(0,0)处有 f x (0,0) f y (0,0) 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y ,
(x)2 (y)2
如果考虑点P(x, y)沿着直线y x 趋近于(0,0) ，
x y
则
(x)2
(y)2
x x (x)2 (x)2
1, 2
说明它不能随着 0而趋于 0, 当 0 时，
z [ fx (0,0) x f y (0,0) y] o( ),
函数在点(0,0) 处不可微.
函数 f(x, y)在点 (x0, y0 ) 处可微的充要条件
lim z [ fx (x0, y0 ) x f y (x0, y0 ) y] 0
的微分。即 dx x, dy y
则有
dz
z x
dx
z y
dy.
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
同理 f ( x, y y) f ( x, y)
f y ( x, y)y 2y, 当y 0时， 2 0,
z fx ( x, y)x 1x f y ( x, y)y 2y
1x 2y
1
2
0 0,
故函数z f ( x, y)在点( x, y)处可微.
与一元函数的情况相同，自变量的增量等于自变量