高等数学第三节新 全微分

z cos( x 2 y) 2 y sin( x 2 y), y
dz ( ,) 4
z dx x ( ,)
4
z dy y ( ,)
4
2 (4 7 ).
8
例 3 计算函数u x sin y e yz 的全微分. 2
解 u 1, x
u 1 cos y ze yz , y 2 2
u ye yz , z
解 先求偏导数
z 2x cos(x2 y) x
z cos(x 2 y) y
dz z dx z dy x y
= 2xcos（x2 + y）dx + cos（x2 + y）dy
例 2 求函数z y cos( x 2 y)，当x ，y ，
4
dx ，dy 时的全微分.
4
解 z y sin( x 2 y), x
函数在该点连续.
注意 对于二元函数，可微一定连续，连续不一定 可微。不连续，一定不可微
定理2 若函数z = f (x，y)在点（x，y）处可微， 则函数z = f (x，y)在点（x，y）处的两个偏导数 存在.
一元函数在某点的导数存在
微分存在．
二元函数的两个偏导数存在
全微分存在．
例如
求函数
f
(
x,
第三节全 微 分
全微分的定义 可微的条件
一元函数y = f (x)的微分
y f (x)x o(x)
dy f (x)x
对二元函数的全微分有类似的定义
一、全微分的概念
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
处全增量
可表示成
z z x z y o( ) ,
Байду номын сангаас
所求全微分
du dx (1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
例4 一圆柱形的铁罐，内半径为5cm，内高为12cm， 壁厚均为0.2cm，估计制作这个铁罐所需材料的体 积大约是多少（包括上、下底）？
解 圆柱体的体积V r2h ，
因为 r 0.2 , h 0.4 都比较小,所以
y)
x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
在（0，0）处的连续性、可偏导性及全微分
由于f (x, y)在点（0，0)处不连续，
所以f (x, y)在(0,0)处不可微
但 f x(0,0), f y(0,0)都存在
二元函数的两个偏导数存在
全微分存在．
２、充分条件
定理 3（充分条件） 如果函数z f ( x, y)的偏
x y
则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，
z x z y 称为函数 f (x, y)
x
在点 (x,
y)
y
的全微分,
记作
dz
z x x
z y y
z dx x
z dy y
若函数在区域 D 内各点都可微,
则称此函数在D 内可微.
二、可微的条件
1、必要条件
定理1 如果函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分, 则
V dV V dr V dh r h
2rhdr r2dh r(2hdr rdh)
5 (240.2 51.4) 34 106.8
即，这个铁罐所需材料的体积约为 106.8 cm3
三、小结
１、多元函数全微分的概念； ２、多元函数全微分的求法； ３、多元函数连续、可偏导、可微的关系
（注意：与一元函数有很大区别）
导数 z 、 z 在点( x, y)连续，则该函数在点 x y
( x, y)可微．
即
dz z dx z dy. x y
全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
du u dx u dy u dz. x y z
多元函数连续、可偏导、可微的关系
函数连续
函数可偏导
函数可微 偏导数连续
【例1】 求z = sin (x 2+ y)的全微分。