高等数学复习-多元函数微分法及其应用
多元函数微分法及其应用总结
多元函数微分法及其应用总结多元函数微分法及其应用是高等数学中一个重要的内容。
多元函数是指自变量有两个或者多个的函数，如z=f(x,y)。
而微分法是研究函数的变化率的一种方法。
本文将对多元函数微分法及其应用进行总结。
1. 多元函数微分法的基本概念多元函数的微分可以分为偏导数和全微分两种形式。
对于多元函数z=f(x,y)，其偏导数表示函数在某一自变量上的变化率，可以记作∂z/∂x，∂z/∂y。
全微分表示函数在所有自变量上的变化率，可以记作dz。
多元函数的微分法有很多性质和定理，如链式法则、高阶偏导数、隐函数定理等。
2. 多元函数的极值与最值利用多元函数微分法，我们可以求多元函数的极值与最值。
对于多元函数z=f(x,y)，其极值、最值的求解步骤大致如下：（1）求函数的偏导数，得到所有的偏导数；（2）令所有的偏导数等于零，求解出关于x和y的方程；（3）求解方程组，得到x和y的解；（4）将解代回原函数，求得z的值；（5）比较求得的z值，得到最大值或最小值。
3. 多元函数的泰勒展开多元函数的泰勒展开是利用多元函数在某一点附近进行近似求解的一种方法。
对于多元函数z=f(x,y)，其泰勒展开公式为：f(x+Δx,y+Δy) = f(x,y) + (∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy + 1/2(∂²f/∂x²)(Δx)² + 1/2(∂²f/∂y²)(Δy)² + (∂²f/∂x∂y)ΔxΔy + O(Δx²,Δy²)这里的O(Δx²,Δy²)表示高阶无穷小，Δx和Δy表示自变量的增量。
4. 多元函数微分法的应用多元函数微分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。
具体应用如下：（1）在物理学中，多元函数微分法可以用于描述粒子在空间中的运动轨迹，求解最优路径等问题。
（2）在工程学中，多元函数微分法可以用于建模和优化设计，如求解最优结构、最优控制等问题。
考研高数冲刺考点精华：多元函数微分法及其应用
凯程考研历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！考研高数冲刺考点精华：多元函数微分法及其应用距离考研已经越来越近了，为了帮助广大考生更好地进行考研数学高数冲刺复习，避免在高数答题的时候必要的丢分。
凯程考研小编为大家整理分享考研高数冲刺考点精华之多元函数微分法及其应用，希望对大家有所帮助。
考研要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。
2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数的概念及其性质。
4.掌握多元函数偏导数的求法。
5.掌握多元函数全微分的概，念会求全微分。
了解全微分存在的必要条件和充分条件。
6.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
7.了解全微分的形式不变性。
8.理解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。
9.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念。
会求它们的方程。
10.理解方向导数与梯度的概念，掌握其计算方法。
11.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值。
12.会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单应用问题。
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《高等数学教学课件》9.1多元函数微分学法及其应用
在社会科学中的应用（如人口动态学、市场均衡分析等）
在工程科学中的应用（如机器人控制、信号处理等）
总结词：优化和控制
感谢观看
THANKS
全微分的定义
线性性质、可加性、全微分与偏导数的关系、全微分与方向导数的关系。
全微分的性质
全微分的定义与性质
03
梯度的性质
梯度与方向导数的关系、梯度的几何意义。
01
方向导数的定义
在某一方向上函数值的变化率。
02
梯度的定义
方向导数在各个方向上的最大值，表示函数值变化最快的方向。
方向导数与梯度
04
多元函数的极值
在物理科学中的应用（如流体动力学、热传导等）
总结词：揭示内在机制 总结词：预测和政策制定 总结词：复杂系统分析 详细描述：在人口动态学和市场均衡分析等社会科学领域，多元函数微分学也具有广泛的应用。通过建立微分方程模型，我们可以揭示人口动态变化和市场供需关系的内在机制，预测未来的发展趋势。此外，这些模型还可以为政策制定提供依据，帮助政府和企业制定有效的政策和措施。在复杂系统分析中，多元函数微分学也为我们提供了理解和预测系统动态行为的有力工具。
极值点处的函数一阶导数必须为零
如果一个多元函数在某点的所有偏导数都为零，并且该点的二阶导数矩阵正定，那么该点就是函数的极值点。
费马定理是判断多元函数极值点的充分条件，但在实际应用中，需要结合其他条件进行判断，例如函数的单调性、凹凸性等。
极值的充分条件（费马定理）
费马定理的应用
费马定理
最大值与最小值的定义
多元函数的表示方法
可以用数学符号表示，如$z = f(x, y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域
高等数学(二)复习指导-第8章 多元函数微分法及其应用
AC − B 2 = 0
无法判断
将 该 问 题 化 为 求 函 数 L( x, y, λ ) = f ( x, y ) + λϕ ( x, y ) 的 无 条 件 极 值 ， 因 此 从
1、切线方程：
⎧ F ( x, y , z ) = 0 ⎨ ⎩G ( x, y, z ) = 0
x − x0 y − y0 z − z0 = = 1 y x ' (M 0 ) z x ' (M 0 ) 2、法平面方程： ( x − x0 ) + y X ' ( M 0 )( y − y 0 ) + z x ' ( M 0 )( z − z 0 ) = 0
⎧ f x ( x, y ) + λϕ x ( x, y ) = 0 ⎪ ⎨ f y ( x, y ) + λϕ y ( x, y ) = 0 中 求 出 的 ( x0 , y 0 ) ， 就 是 函 数 f ( x, y ) 在 约 束 条 件 ⎪ ⎩ϕ ( x, y ) = 0
ϕ ( x, y ) = 0 下的可能的极值点。
6
高等数学（二）复习指导
第八章 多元函数微分法及其应用
在实际应用中，只有一个最值，而在讨论的范围内所求的函数只有唯一的一个可能极值 点，则该点就是所求的最值点
三、典型例题分析
1. 多元函数的定义域、极限和连续
1、求定义域 和一元函数的定义域的求法相同，都是化为解不等式，注意求出的定义域是平面区域。
dz ∂z du ∂z dv = + 。 dt ∂u dt ∂v dt
高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)
f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0，y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ，P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数 ，总存在 0 ，当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意 只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点，如图9.2所示.
②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边
界，如图9.3所示．
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集.
④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
高等数学（下册）（慕课版）
第九章 多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德 教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括：
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导
多元函数微分法及其应用
多元函数微分法及其应用
多元函数微分法是一种在多元复杂函数未知时可以对其进行微分求解的数学方法。
在求解函数的时候，会遇到各种各样的多元复杂函数，有的维度数量很多，比如非线性函数等，此时多元函数微分法可以有效地计算。
多元函数微分方法又分为后两种：一种是基于梯度的方法，另一种是基于偏微分的方法。
梯度法是以一阶导数的负梯度为搜索方向，不断迭代更新函数值求出最小值；而偏微分则是利用二阶偏导数来求解函数最小值，可以得到函数的极小值以及其极小值点，有时候可以结合梯度法和偏微分法来进行更加细节的计算。
多元函数的微分计算有很多应用场景，比如机器学习中常见的训练优化，多元函数的极小值可以有效地用来实现优化的目的；同样，多元函数的微分法也可以用于数学建模，物理建模，进行流体力学分析，科学事件预测等等。
总之，多元函数微分法是一种在多元复杂函数未知时比较有效的求解方法，并且还有多种应用场景，对提升工作效率等等都有很大的帮助，有较广泛的应用前景。
(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
A. 538. 函数 z = xy + 50第八章 偏导数与全微分参考答案第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若 u=u(x, y)是可微函数，且 u ( x,y) y = x 2 = 1,1 1A.-B.C. -1D. 122∂u ∂x y = x 2= x, 则∂u∂y y = x 2 = [A ]2.函数 z = x 2 + y 2 - 6x + 2 y + 6 [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数 f (x, y )在点 (x , y 0) 处的两个偏导数 f (x , y ), f x 0 0y (x , y )存在是函数 f 在0 0该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 设 u= x 2 +2 y 2+3 z 2 +xy+3x-2y-6z 在点 O(0, 0, 0)指向点 A(1, 1, 1)方向的导数5 3 5 3 5 3 B. -C.D.-66335. 函数 z = x 3 + y 3 - 3xy [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值6.二元函数 f (x, y )在点 (x , y)处可微是 f (x, y )在该点连续的[ A ]0 0A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件∂u∂l= [ D ]7. 已知 y - ε sin y - x = 0(0 < ε < 1) , 则 dy dx= [ B ]A. 1 + ε cos yB. 1 1C. 1 - ε cos yD.1 - ε cos y 1 + ε cos y20 + （x>0，y>0）[ D ] x yA. 在点(2, 5)处取极大值B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值-1-C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件10.曲线x=t,y=-t2,z=t3所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有[B]A.1条B.2条C.3条D.不存在11．设f(x,y)=xy x y，则f(,)=B y2-x2y xA.xyy4-x2 B.x2y2x2+y2y2-x2C.D.y4-x4y4-x4y4-x412．为使二元函数f(x,y)=为B x+yx-y沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择A.x x x2x=y B.=y C.=y D.=y 432313．设函数z=f(x,y)满足∂2z∂y2=2，且f(x,1)=x+2，f'(x,1)=x+1，则f(x,y)=ByA.y2+(x+1)y+2B.y2+(x-1)y+2C.y2+(x-1)y-2D.y2+(x+1)y-2 14．设f(x,y)=3x+2y，则f(x y,f(x,y))=CA.3xy+4x+4yB.xy+x+2yC.3xy+6x+4yD.3xy+4x+6y15．为使二元函数f(x,y)=xy2x2+y2在全平面内连续，则它在(0,0)处应被补充定义为BA.-1B.0C.1D.16．已知函数f(x+y,x-y)=x2-y2，则∂f(x,y)∂f(x,y)+=C ∂x∂yA.2x-2yB.2x+2yC.x+yD.x-yy 17．若f()=x x2+y2x(x>0)，则f(x)=BA.x2-1B.x2+1C.∂z∂z 18．若z=y x，则在点D处有=∂y∂x x2+1x D.xx2-1A.(0,1)B.(e,1)C.(1,e)D.(e,e)20.函数f(x,y)=⎨11x sin+y sin,xy≠0y x4(C)(D)-119．设z=x y2，则下列结论正确的是AA.∂2z∂2z∂2z∂2z -=0B.->0∂x∂y∂y∂x∂x∂y∂y∂xC.∂2z∂2z-<0 D.两者大小无法确定∂x∂y∂y∂x⎧0,xy=0⎪⎪⎩，则极限lim f(x,y)（C）.x→0y→0(A)等于1(B)等于2(C)等于0(D)不存在21.函数z=xy在点(0,0)(D).(A)有极大值(B)有极小值(C)不是驻点(D)无极值22.二元函数z=x2+y2在原点(0,0)处（A）.(A)连续，但偏导不存在(B)可微(C)偏导存在，但不连续(D)偏导存在，但不可微23．设u=f(r)，而r=x2+y2+z2，f(r)具有二阶连续导数，则（B）.12(A)f''(r)+f'(r)(B)f''(r)+f'(r)r r 1112f''(r)+f'(r)(D)f''(r)+f'(r) (C)r2r r2r ∂2u∂2u∂2u++∂x2∂y2∂z2=24．函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点偏导存在的（D）.00(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件25．函数z=1-x2-y2的极大值点是（D）.(A)(1,1)(B)(1,0)(C)(0,1)(D)(0,0)26．设f(x,y)=arcsin yx，则f'(2,1)=（B）.x(A)14(B)-112227．极限limx→0x2yx4+y2（B）.∂x 0z = u 2ln v , u =xy , v = xy, 则 x 22 x x（D ） y 232．设f ( x , y) =xy(A) f x, ⎪ = f ( x , y) ；(B) f ( x + y , x - y) = f ( x , y) ；33．设 z = e x cos y ，则 ∂2z34．已知 f ( x + y , x - y) = x 2- y2 ，则∂f第八章 偏导数与全微分参考答案(A) 等于 0(B) 不存在(C) 等于 12(D) 存在且不等于 0 及 1228． z = f ( x , y) 若在点 P ( x , y ) 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）.0 0(A) f ( x , y) 在点 P 连续(B) z = f ( x , y ) 在点 x 连续0 0(C) dz = ∂z|⋅dx +P ∂z| ⋅dy (D) A,B,C 都不对 ∂y P 029. 设函数 z = x y ，则 d z =（ A ）．(A)． yx y -1d x + x y ln x d y (B)． yx y -1d x + x y d y(C)． x y d x + x y ln x d y(D)． yx y -1d x + x y ln y d y∂z 30. 已知∂y =（ C ）2 x 2 （A ） y 3ln xy + x2 y3 2 x 2 （B ） y 3 ln xy - x 2y 3- 2 x 2（C ） y3ln xy +31．函数 z = 1 - x 2 - y 2 的定义域是（ D）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1} （B.）D={(x,y)|x 2+y 2 ≥ 1} （C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2 ≤ 1} x 2 + y 2 ，则下列式中正确的是（ C）；⎛ y ⎫ ⎝ x ⎭(C) f ( y , x) = f ( x , y) ；(D) f ( x ,- y) = f ( x , y)∂x ∂y = （D）；(A)e x sin y ； (B) e x + e x sin y ； (C) -e x cos y ； (D) -e x sin y∂x + ∂f ∂y = （ C ）；∂x⎛x,y⎫,lim f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y)f(x+∆x,y)-f(x,y)lim∆x∆xf(x+∆x,y)-f(x,y)f(x+∆x,y)lim∆x∆x37.设由方程e-xyz=0确定的隐函数z=f(x,y),则(((A)2x+2y；(B)x-y；(C)2x-2y(D)x+y．35.设z=2x2+3xy-y2∂z=，则∂x∂y（B）（A）6（B）3（C）-2（D）2.36.设z=f(x,y)则∂z=⎝00⎭（B）0000000（A）∆x→0（B）∆x→0lim （C）∆x→0000000（D）∆x→0z∂z∂x=（B）z z y y （A）1+z（B）x(z-1)（C）x1+z)（D）x1-z)38.二次函数z=ln(4-x2-y2)+1x2+y2-1的定义域是（D）A.1＜x2+y2≤4；B.–1≤x2+y2＜4；C.–1≤x2+y2≤4；D.1＜x2+y2＜4。
多元函数微分学及其应用总结
多元函数微分学及其应用总结
多元函数微分学是微积分学的一个分支，研究的是多元函数的导数和微分，并在实际应用中得到广泛的应用。
本文将从多元函数的导数、微分和应用等方面进行总结。
多元函数的导数是指多元函数在某一点处的切向量。
与一元函数的导数不同，多元函数的导数是一个向量，而不是一个数。
多元函数的导数可以通过偏导数来定义，偏导数是指多元函数在某一点处，对于某一个变量求导时，其他所有变量都视为常数的导数。
通过偏导数的定义，我们可以求出多元函数在某一点处的所有偏导数，再将这些偏导数组成一个向量，就是该点的导数。
多元函数的微分是指函数在某一点处沿着切向量的变化率。
对于一个多元函数，其微分可以通过求出该点的导数，再将其与自变量的变化量相乘得到。
多元函数的微分在实际应用中有着重要的作用，比如在经济学中，微分可以用来描述市场需求和供给之间的关系，从而帮助企业做出决策。
在实际应用中，多元函数微分学有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在物理学中，多元函数微分学可以用来描述物理量之间的关系。
比如在热力学中，温度、压力和体积之间的关系可以用多元函数来表示，通过求导和微分可以得到温度、压力和体积的变化率。
在机器学习中，多元函数微分学也有着重要的应用，比如在神经网
络中，通过求导和微分可以得到网络参数的更新量，从而提高模型的准确性。
多元函数微分学是微积分学中一个重要的分支，它可以用来描述多元函数的导数和微分，并在实际应用中得到广泛的应用。
对于学习微积分学的同学们来说，多元函数微分学是一个重要的课程，需要认真学习，并通过实际应用来加深对其的理解。
多元函数微分法及其应用第三节多元函数微分法
设函数 的单值连续函数
导数；
则方程组
且有偏导数公式 :
的某一邻域内可唯一确定一组 满足条件
u1(F,G)
u 1(F,G)y J(y,v)
v 1(F,G) 1
Fv
Fu Fv
Gv
Gu Gv
x
J(x,v) x J(u,x) 1 Fu Fu Fv Gu Gu Gv
v 1(F,G) 1
Fv
Fu Fv
y2 x3
f
z y
x1 x
f f
2z y2
1 x
f
x2
2z x2
y2
2z y2
y2 x
f
y2 x
f
0
2 全微分形式不变性
设函数 zf(u,v)具有连续偏导数， 如果 u,v 是自
变量， 则有全微分
dzzduzdv u v
当 u(x,y)、 v(x,y)时， 由于
dzxzdxyzdyu zu xvzxvdx
yexy 2 z ez z 0
x
x
z x
y e xy ez 2
xexy 2 z y
ez
z y
0
z x e xy y e z 2
dz(eyz ex2y)dx(exz ex2y)dy
xe
ye xy ez 2
,
e 2 . dz(eyzex2y)dx(exzex2y)dy
第三节 多元函数微分法
一 复合函数微分法 二 隐函数微分法
单击此处添加副标题
一 复合函数微分法
1 链式法则
定理 如果函数 u(t) 及 v(t)都在点 t
可导， 函数 zf(u,v)在对应点 (u,v) 具有连续偏
高等数学第八章 多元函数微分法及其应用
其中是曲面在M的法向量
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
2、曲面方程：z=f(x，y)
它在点M( x0 , y0 , z0 )的切平面方程
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
第五节 隐函数的求导公式
存在定理1：设函数F(x，y)在点 P( x0 , y0 ) 的某一邻
域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0，
则方程F(x，y)=0在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能确定
一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足
性质:(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函 数，若在D上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 ：设函数z=f(x，y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有定
义有存，增在当量，则yf固(称x定0此在极xy限,0而y0为x) 在函xf数(0处xz0=,有yf(0增x)，，量如y)果在x 时点lxi，m(0x相f0,(y应x00)处地x对函x,x数y的0 )
,
y
|x x0 , z y y y0
|x x0 y y0
或f y ( x0 ,
y0 )
类似导数，函数z=f(x，y)对自变量x的偏导函数为
z x
,
f x
,
z
x或f
x
(
x,
多元函数微分法及应用
第9章 多元函数微分法及应用第2节 偏导数函数在点处对y 的偏导数定义为),(y x f z =),00y x （yy x f y y x f y ∆∆+→∆),(-),(lim 00000记法：),(,,00,,,000000y x f Z y f yz y y y x x yy y x x y y x x 或======∂∂∂∂定理：如果函数的两个二阶混合偏导数及在区域D 内连续，那么),(y x f z =x y z∂∂∂2y2∂∂∂x z在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。
*拉普拉斯方程：①满足；22ln y x z +=0y2222=∂∂+∂∂zx z ②满足。
)(,1222z y x r r u ++==0zy 222222=∂∂+∂∂+∂∂u u x u 第3节 全微分全增量：)(),(),(),(22y x y B x A y x f y y x x f z ∆+∆=+∆+∆=-∆+∆+=∆ρρο全微分：y yzx x z dz ∆∂∂+∆∂∂=习惯上分别记作dx,dy,并分别称自变量x,y 的微分。
y x ∆∆,通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加定理。
zzu y y u x x u du ∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=第4节 多元复合函数的求导法则定理1：如果函数及都在点t 可导，函数在对应点（u,v)具有)(t u ϕ=)(t v ψ=),(v u f z =连续导数，则复合函数在点t 可导，且有全导数：)](),([t t f z ψϕ=dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂=全微分形式不变性：设函数具有连续偏导数，则有全微分，如果u,v 又是),(v u f z =dv vzdu u z ∂∂+∂∂=dz 中间变量，即，且这个函数也具有连续偏导数，则复合函数),(),,(y x v y x u ψϕ==的全微分为，无论u,v 是自变量还是中间变量，)],(),,([y x y x f z ψϕ=dy yzdx z ∂∂+∂∂=x dz 函数的全微分形式是一样的。
第九章多元函数微分法及其应用
E
• 若点 P 的任一去心邻域 U (P) 中总有 E 中的点， 则称 P 为 E 的 聚点 。 聚点 可能 属于 E，也可能 不属于 E 。 聚点 是 内点 或者 边界点。
E
• 若点 PE，且 P 不是聚点， 则称 P 为 E 的 孤立点 。
孤立点 属于 E
3.开区域及闭区域
• 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
同理可以定ffx义y((xx函,,yy数))，z liyfxmf，0( xfz,
，或 z x( x, y xy) y)对自变量y y
f (x, y)
的偏导数，
记作
f
y
(
x,
y)，
f y
，
z
y
，或
z y
由上述定义可知，求二元函数 z f (x, y) 关于某个变量的偏导数， 只需将另一个自变量 看作常数，然后利用一元函数求导公式和求导法 则，就可求得结果。
② 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x, y) 存在， x x0 y y0 但两者不相等，则极限不存在。
例2
讨论函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
kx2
lim
x0
f
( x,
y)
lim
如果存在
lim
P P0
f (P)
f (P0 )
则称 二元函数 f (P)在点P0 连续;
否则称为不连续, 此时 称为间断点 。
如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续。
例如, 函数
大学课件高等数学多元函数微分法及其应用
的 基
显然, E的内点属于E.
本
P3 •
• P1
概
念
(2) 外点 如果存在点P的某个邻域 U(P),
E
使U(P) ∩ E = , 则称P为E的外点.(P2 )
• P2
(3) 边界点 如点P的任一邻域内既有属于E的点,
也有不属于E的点, 称P为E的边界点. (P3 )
E的边界点的全体称为E的边界, 记作 E.
U( P0,δ ) {P PP0 δ, P Rn }.
10
二、多元函数的概念
多
1. 二元函数的定义
元 函
数
(1) 定义
的 基
例 理想气体的状态方程是 pV RT
(R为常数)
本 概
念
其中p为压强, V为体积, T为绝对温度.
如温度T、体积V都在变化, 则压强 p依赖
于T,V 的关系是 p R T V
18
三、多元函数的极限
多
讨论二元函数 z f ( x, y),当x x0 , y y0 ,
元 函
即P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限.
数 的 基
怎样描述呢? 回忆: 一元函数的极限
本 概
念
注 (1) P(x, y)趋向于P0(x0, y0)的方向有任意多个,
路径又是多种多样的.
如 {( x, y)1 x2 y2 4}, {( x, y) x y 0}
多
元
都是闭区域 .
函 数
开区域、闭区域与半开半闭区域统称为区域。
的 基
本
但注意：当教材规定了区域为开区域时，
概 念
一般的区域要称一般区域。
有界区域
总可以被包围在一个以原点为中心、 半径
高等数学 第九章多元函数微分法及其应用
2 x y 4
2 2
2 x y
所求定义域为
D {( x, y ) | 2 x y 4, x y }.
2 2 2
（6） 二元函数 z f ( x , y )的图形
D ，对于任意 设函数 z f ( x , y ) 的定义域为 取定的 P ( x , y ) D ，对应的函数值为 y 为纵坐 x 为横坐标、 z f ( x , y ) ，这样，以 标、 z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x , y , z ) ， 当 x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x , y , z ) | z f ( x , y ), ( x , y ) D }，这个点集称 为二元函数的图形.
邻域： U ( P0 , ) P | PP0 | , P R n
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．
（5）二元函数的定义 设D 是平面上的一个点集，如果对于每个点 P ( x , y ) D ，变量z 按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称z 是变量x , y 的二元函数，记为 z f ( x , y ) （或记为 z f ( P ) ）.
确定极限不存在的方法：
（1）令 P ( x , y ) 沿 y kx 趋向于P0 ( x 0 , y0 ) ，若
k 有关，则可断言极限不存在； 极限值与
（2） 找两种不同趋近方式，使 lim f ( x , y ) 存在，
x x0 y y0
但两者不相等，此时也可断言 f ( x , y ) 在点
（2）介值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，如 果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上 取得介于这两值之间的任何值至少一次． 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
多元函数微分法及其应用
1、多元函数存在的条件存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数接近某一确定值，我们还不能由此断定函数存在。
反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的不存在。
例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠02、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。
性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。
性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D 上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。
这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)。
4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。
5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微分。
6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。
定理(充分条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，则f(x，y)在点(x0，y0)处是否取得极值的条件如下：(1)AC-B2>0时具有极值，且当A0时有极小值;(2)AC-B27、多元函数极值存在的解法(1)解方程组fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切实数解，即可求得一切驻点。
第九章多元函数微分法及其应用
第九章多元函数微分法及其应用教学目的：1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
5、掌握多元复合函数偏导数的求法。
6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
8、了解二元函数的二阶泰勒公式。
9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
教学重点：1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；7、多元函数极值和条件极值的求法。
教学难点：1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法；7、多元函数的最大值和最小值。
§8. 1 多元函数的基本概念一、平面点集n维空间1．平面点集由平面解析几何知道,当在平面上引入了一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应.于是,我们常把有序实数组(x,y)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组(x,y)的全体,即R2=R⨯R={(x,y)|x,y∈R}就表示坐标平面.坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作E={(x,y)| (x,y)具有性质P}.例如,平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C={(x,y)| x2+y2<r2}.如果我们以点P表示(x,y),以|OP|表示点P到原点O的距离,那么集合C可表成C={P| |OP|<r}.邻域:设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点, δ是某一正数. 与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体, 称为点P 0的δ邻域, 记为U (P 0, δ), 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P U . 邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ >0为半径的圆的内部的点P (x , y )的全体.点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δPU, 即 }||0 |{) ,(00δδ<<=P P P PU. 注: 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0PU. 点与点集之间的关系:任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种: (1)内点: 如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点; (2)外点: 如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点;(3)边界点: 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点.E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E .E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E . 聚点:如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点.由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E . 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1<x 2+y 2≤2}.满足1<x 2+y 2<2的一切点(x , y )都是E 的内点; 满足x 2+y 2=1的一切点(x , y )都是E 的边界点, 它们都不属于E ; 满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点, 它们都属于E ; 点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点.开集: 如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集. 闭集: 如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集. 开集的例子: E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}. 闭集的例子: E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.集合{(x , y )|1<x 2+y 2≤2}既非开集, 也非闭集.连通性: 如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集.区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}.闭区域: 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 例如E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.有界集: 对于平面点集E , 如果存在某一正数r , 使得 E ⊂U (O , r ),其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集.无界集: 一个集合如果不是有界集, 就称这集合为无界集.例如, 集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域; 集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域; 集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域. 2. n 维空间设n 为取定的一个自然数, 我们用R n 表示n 元有序数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合, 即R n =R ⨯R ⨯⋅ ⋅ ⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )| x i ∈R , i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n }.R n 中的元素(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )有时也用单个字母x 来表示, 即x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ). 当所有的x i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )都为零时, 称这样的元素为R n 中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R 2(或R 3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而R n 中的元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )也称为R n 中的一个点或一个n 维向量, x i 称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量. 特别地, R n 中的零元0称为R n 中的坐标原点或n 维零向量. 为了在集合R n 中的元素之间建立联系, 在R n 中定义线性运算如下: 设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )为R n 中任意两个元素, λ∈R , 规定 x +y =(x 1+ y 1, x 2+ y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n + y n ), λx =(λx 1, λx 2, ⋅ ⋅ ⋅ , λx n ). 这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间.R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )和点 y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )间的距离, 记作ρ(x , y ), 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ.显然, n =1, 2, 3时, 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至. R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中, 通常将||x ||记作|x |), 即22221 ||||n x x x ⋅⋅⋅++=x .采用这一记号, 结合向量的线性运算, 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x . 在n 维空间R n 中定义了距离以后, 就可以定义R n 中变元的极限:设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n . 如果||x -a ||→0,则称变元x 在R n 中趋于固定元a , 记作x →a . 显然,x →a ⇔ x 1→a 1, x 2→a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n →a n .在R n 中线性运算和距离的引入, 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念, 可以方便地引入到n (n ≥3)维空间中来, 例如,设a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n , δ是某一正数, 则n 维空间内的点集 U (a , δ)={x | x ∈ R n , ρ(x , a )<δ}就定义为R n 中点a 的δ邻域. 以邻域为基础, 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点, 以及开集、闭集、区域等一系列概念. 二. 多元函数概念例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系 V =πr 2h .这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定. 例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系V RTp =, 其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之确定.例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系2121R R R R R +=.这里, 当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2) | R 1>0, R 2>0}内取定一对值( R 1 , R 2)时, R 的对应值就随之确定.定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D )其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量.上述定义中, 与自变量x 、y 的一对值(x , y )相对应的因变量z 的值, 也称为f 在点(x , y )处的函数值, 记作f (x , y ), 即z =f (x , y ). 值域: f (D )={z | z =f (x , y ), (x , y )∈D }.函数的其它符号: z =z (x , y ), z =g (x , y )等.类似地可定义三元函数u =f (x , y , z ), (x , y , z )∈D 以及三元以上的函数.一般地, 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f : D →R 就称为定义在D 上的n 元函数, 通常记为u =f (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D , 或简记为u =f (x ), x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D , 也可记为u =f (P ), P (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D .关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时, 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而, 对这类函数, 它的定义域不再特别标出. 例如,函数z =ln(x +y )的定义域为{(x , y )|x +y >0}(无界开区域);函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x , y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形: 点集{(x , y , z )|z =f (x , y ), (x , y )∈D }称为二元函数z =f (x , y )的图形, 二元函数的图形是一张曲面.例如 z =ax +by +c 是一张平面, 而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面.三. 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似, 如果在P (x , y )→P 0(x 0, y 0)的过程中, 对应的函数值f (x , y )无限接近于一个确定的常数A , 则称A 是函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限. 定义2设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε总存在正数δ, 使得当),(),(0δPU D y x P⋂∈时, 都有 |f (P )-A |=|f (x , y )-A |<ε成立, 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为Ay x f y x y x =→),(lim ),(),(00, 或f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)),也记作AP f P P =→)(lim 0或f (P )→A (P →P 0). 上述定义的极限也称为二重极限.例4. 设22221sin)(),(y x y x y x f ++=, 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .证 因为2222222222 |1sin ||| |01sin)(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-,可见∀ε >0, 取εδ=, 则当δ<-+-<22)0()0(0y x ,即),(),(δO U D y x P⋂∈时, 总有|f (x , y )-0|<ε,因此0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .必须注意:(1)二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在. 讨论:函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(2222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有无极限？ 提示: 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时,0lim )0 ,(lim ),(lim 00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0, 0)时,0lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f .当点P (x , y )沿直线y =kx 有22222022 )0,0(),(1limlimk k x k x kx y x xy x kx y y x +=+=+→=→. 因此, 函数f (x , y )在(0, 0)处无极限.极限概念的推广: 多元函数的极限.多元函数的极限运算法则: 与一元函数的情况类似.例5 求x xy y x )sin(lim)2,0(),(→. 解:y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim→→⋅==1⨯2=2. 四. 多元函数的连续性定义3 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)为D 的聚点, 且P 0∈D . 如果 ),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→,则称函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)连续.如果函数f (x , y )在D 的每一点都连续, 那么就称函数f (x , y )在D 上连续, 或者称f (x , y )是D 上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去. 例6设f (x ,y )=sin x , 证明f (x , y )是R 2上的连续函数.证 设P 0(x 0, y 0)∈ R 2. ∀ε>0, 由于sin x 在x 0处连续, 故∃δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有 |sin x -sin x 0|<ε.以上述δ作P 0的δ邻域U (P 0, δ), 则当P (x , y )∈U (P 0, δ)时, 显然 |f (x , y )-f (x 0, y 0)|=|sin x -sin x 0|<ε,即f (x , y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0) 连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续. 证 对于任意的P 0(x 0, y 0)∈R 2. 因为),(sin sin lim),(lim 000),(),(),(),(0000y x f x x y x f y x y x y x y x ===→→,所以函数f (x ,y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0)连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续.类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时, 它们在各自的定义域内都是连续的.定义4设函数f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)不连续, 则称P 0(x 0, y 0)为函数f (x , y )的间断点. 例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(2222y x y x y x xy y x f , 其定义域D =R 2, O (0, 0)是D 的聚点. f (x , y )当(x , y )→(0, 0)时的极限不存在, 所以点O (0, 0)是该函数的一个间断点.又如, 函数11sin22-+=y x z , 其定义域为D ={(x , y )|x 2+y 2≠1}, 圆周C ={(x , y )|x 2+y 2=1}上的点都是D 的聚点, 而f (x , y )在C 上没有定义, 当然f (x , y )在C 上各点都不连续, 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点.注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数; 连续函数的商在分母不为零处仍连续; 多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数: 与一元初等函数类似, 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数, 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.例如2221y y x x +-+, sin(x +y ), 222z y x e ++都是多元初等函数.一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性, 如果要求多元连续函数f (P )在点P 0处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则)()(lim 00P f P f p p =→.例7 求xy yx y x +→)2,1(),(lim.解: 函数xy yx y x f +=),(是初等函数, 它的定义域为 D ={(x , y )|x ≠0, y ≠0}.P 0(1, 2)为D 的内点, 故存在P 0的某一邻域U (P 0)⊂D , 而任何邻域都是区域, 所以U (P 0)是f (x , y )的一个定义区域, 因此23)2,1(),(lim)2,1(),(==→f y x f y x . 一般地, 求)(lim 0P f P P →时, 如果f (P )是初等函数, 且P 0是f (P )的定义域的内点, 则f (P )在点P 0处连续, 于是)()(lim 00P f P f P P =→.例8 求xy xy y x 11lim)0 ,0(),(-+→.解:)11()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x .多元连续函数的性质:性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数, 必定在D 上有界, 且能取得它的最大值和最小值.性质1就是说, 若f (P )在有界闭区域D 上连续, 则必定存在常数M >0, 使得对一切P ∈D , 有|f (P )|≤M ; 且存在P 1、P 2∈D , 使得f (P 1)=max{f (P )|P ∈D }, f (P 2)=min{f (P )|P ∈D },性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.§8. 2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z =f (x , y ), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数z =f (x , y )对于x 的偏导数.定义 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量f (x 0+∆x , y 0)-f (x 0, y 0).如果极限x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作0y y x x x z==∂∂,0y y x x xf ==∂∂,0y y x x xz ==, 或),(00y x f x .例如x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000.类似地, 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000,记作y y x x y z==∂∂,y y x x y f==∂∂,y y x x yz ==, 或f y (x 0, y 0).偏导函数: 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作x z ∂∂, x f∂∂, x z , 或),(y x f x .偏导函数的定义式:x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0.类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, y f∂∂, z y , 或),(y x f y .偏导函数的定义式: y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0.求x f∂∂时, 只要把y 暂时看作常量而对x 求导数; 求y f ∂∂时, 只要把x 暂时看作常量而对y 求导数.讨论: 下列求偏导数的方法是否正确？),(),(00y y x x x x y x f y x f ===,00),(),(00y y x x y y y x f y x f ===.0]),([),(000x x x y x f dx d y x f ==, 0]),([),(000y y y y x f dy dy x f ==.偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为x z y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim),,(0,其中(x , y , z )是函数u =f (x , y , z )的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.例1 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数.解 y x x z 32+=∂∂, yx y z 23+=∂∂.8231221=⋅+⋅=∂∂==y x xz,7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz .例2 求z =x 2sin 2y 的偏导数.解 y x x z 2sin 2=∂∂, yx y z 2cos 22=∂∂.例3 设)1,0(≠>=x x x z y, 求证: z y z x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证 1-=∂∂y yx x z , x x y z y ln =∂∂.zx x x x x yx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-.例4 求222z y x r ++=的偏导数.解r x z y x x x r =++=∂∂222; r y z y x y y r =++=∂∂222. 例5 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数),求证: 1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂p T T V V p .证 因为V RTp =, 2V RT V p-=∂∂;p RT V =, p RT V =∂∂;R pV T =, R Vp T =∂∂;所以12-=-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pV RT R V p R V RT p T T V V p .例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商. 二元函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的偏导数的几何意义:f x (x 0, y 0)=[f (x , y 0)]x '是截线z =f (x , y 0)在点M 0处切线T x 对x 轴的斜率.f y (x 0, y 0) =[f (x 0, y )]y '是截线z =f (x 0, y )在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率.偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有, f x (0, 0)=0, f y (0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续. 提示:0)0 ,(=x f , 0) ,0(=y f ;0)]0 ,([)0 ,0(==x f dx d f x , 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy df y .当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时, 有0lim )0 ,(lim ),(lim 00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;当点P (x , y )沿直线y =kx 趋于点(0, 0)时, 有22222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→.因此, ),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在, 故函数f (x , y )在(0, 0)处不连续.类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为y z ∂∂, y f∂∂, z y , 或),(y x f y .偏导函数的定义式:y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0.二. 高阶偏导数设函数z =f (x , y )在区域D 内具有偏导数),(y x f x z x =∂∂, ),(y x f y z y=∂∂,那么在D 内f x (x , y )、f y (x , y )都是x , y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z =f (x , y )的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数f x (x , y )、f y (x , y )也具有偏导数,则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数),()(22y x f x z x z x xx=∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂,),()(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(22y x f y z y z y yy =∂∂=∂∂∂∂.其中),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂, ),()(2y x f x y z y z x yx=∂∂∂=∂∂∂∂称为混合偏导数.22)(x z x z x ∂∂=∂∂∂∂, y x zx z y ∂∂∂=∂∂∂∂2)(, x y z y z x ∂∂∂=∂∂∂∂2)(, 22)(y z y z y ∂∂=∂∂∂∂.同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例6 设z =x 3y 2-3xy 3-xy +1, 求22x z ∂∂、33x z∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z ∂∂∂2.解 y y y x x z --=∂∂32233, xxy y x y z --=∂∂2392;2226xy x z =∂∂, 2336y x z =∂∂;196222--=∂∂∂y y x y x z , 196222--=∂∂∂y y x x y z .由例6观察到的问题: y x z x y z ∂∂∂=∂∂∂22定理 如果函数z =f (x , y )的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及y x z∂∂∂2在区域D 内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.例7 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y z x z .证 因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+=, 所以 22y x xx z +=∂∂, 22y x y y z +=∂∂,222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x xz +-=+⋅-+=∂∂,22222)()(2)(y x y x y x y y y x yz +-=+⋅-+=∂∂. 因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z .例8．证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u ,其中222z y x r ++=.证: 32211r xr x r x r r xu -=⋅-=∂∂⋅-=∂∂, 52343223131r x r x r r x r x u +-=∂∂⋅+-=∂∂. 同理 5232231r y r yu +-=∂∂, 5232231r z r z u +-=∂∂. 因此)31()31()31(523523523222222r z r r y r r x r z u y u xu +-++-++-=∂∂+∂∂+∂∂ 033)(3352352223=+-=+++-=r r r r z y x r .提示: 6236333223)()(r x rr x r r r x x r r x x x u ∂∂⋅--=∂∂⋅--=-∂∂=∂∂.§8. 3全微分及其应用 一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 偏增量与偏微分:f (x +∆x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )∆x ,f (x +∆x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )∆x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +∆y )-f (x , y )≈f y (x , y )∆y ,f (x , y +∆y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )∆y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ).计算全增量比较复杂, 我们希望用∆x 、∆y 的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量 ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ) 可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ, 其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即dz =A ∆x +B ∆y .如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续. 这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则 ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ), 于是 0lim 0=∆→z ρ,从而 ),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ.因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续. 可微条件:定理1(必要条件)如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ∂∂、y z∂∂必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为yy z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +∆x , y +∆y ), 有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有 f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得 Ax y x f y x x f x =∆-∆+→∆),(),(lim,从而偏导数x z ∂∂存在, 且Ax z =∂∂. 同理可证偏导数y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以yy z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 简要证明: 设函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分. 于是有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得Ax x o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)(|[lim ),(),(lim00,从而x z ∂∂存在, 且A x z =∂∂. 同理y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以yy z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 偏导数x z ∂∂、y z∂∂存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件.例如,函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0, 但函数在(0, 0)不可微分, 即∆z -[f x (0, 0)∆x +f y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小. 这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x yx .定理2(充分条件)如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、y z∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分.定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.按着习惯, ∆x 、∆y 分别记作dx 、dy , 并分别称为自变量的微分, 则函数z =f (x , y )的全微分可写作dyy z dx x z dz ∂∂+∂∂=. 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u =f (x , y , z ) 的全微分为dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=. 例1 计算函数z =x 2y +y 2的全微分.解 因为xy x z 2=∂∂, yx y z 22+=∂∂,所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .例2 计算函数z =e xy 在点(2, 1)处的全微分.解 因为xy ye x z =∂∂, xy xe y z =∂∂, 212e x z y x =∂∂==, 2122ey z y x =∂∂==,所以 dz =e 2dx +2e 2dy .例3 计算函数yze yx u ++=2sin 的全微分.解 因为1=∂∂x u , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yzye z u =∂∂, 所以 dzye dy ze ydx du yz yz +++=)2cos 21(.*二、全微分在近似计算中的应用当二元函数z =f (x , y )在点P (x , y )的两个偏导数f x (x , y ) , f y (x , y )连续, 并且|∆x |, |∆y |都较小时, 有近似等式∆z ≈dz = f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y ,即 f (x +∆x , y +∆y ) ≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y . 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm 增大到20. 05cm , 高度由100cu减少到99cm . 求此圆柱体体积变化的近似值.解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V , 则有 V =π r 2h .已知r =20, h =100, ∆r =0. 05, ∆h =-1. 根据近似公式, 有 ∆V ≈dV =V r ∆r +V h ∆h =2πrh ∆r +πr 2∆h=2π⨯20⨯100⨯0. 05+π⨯202⨯(-1)=-200π (cm 3). 即此圆柱体在受压后体积约减少了200π cm 3. 例5 计算(1. 04)2. 02的近似值.解 设函数f (x , y )=x y . 显然, 要计算的值就是函数在x =1.04, y =2.02时的函数值f (1.04, 2.02).取x =1, y =2, ∆x =0.04, ∆y =0.02. 由于f (x +∆x , y +∆y )≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y=x y +yx y -1∆x +x y ln x ∆y ,所以(1.04)2. 02≈12+2⨯12-1⨯0.04+12⨯ln1⨯0.02=1.08.例6 利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是224T l g π=. 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l =100±0.1cm 、T =2±0.004s. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少？解 如果把测量l 与T 所产生的误差当作|Δl |与|ΔT |, 则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数224T lg π=的全增量的绝对值|Δg |. 由于|Δl |, |ΔT |都很小, 因此我们可以用dg 来近似地代替Δg . 这样就得到g 的误差为||||||T T gl l g dg g ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ Tl T g l g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||)21(4322T l T l T δδπ+=, 其中δl 与δT 为l 与T 的绝对误差. 把l =100, T =2, δl =0.1, δT =0.004代入上式, 得g 的绝对误差约为)004.02100221.0(4322⨯⨯+=πδg)/(93.45.022s cm ==π. 002225.0210045.0=⨯=ππδg g.从上面的例子可以看到, 对于一般的二元函数z =f (x, y ), 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为δx 、δy , 即|Δx |≤δx , |Δy |≤δy ,则z 的误差||||||y y z x x z dz z ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ ||||||||y y z x x z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤ y x y z x z δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||;从而得到z 的绝对误差约为yx z yz xz δδδ⋅∂∂+⋅∂∂=||||;z 的相对误差约为y x z zy z z x zz δδδ∂∂+∂∂=||.§8. 4 多元复合函数的求导法则设z =f (u , v ), 而u =ϕ(t ), v =ψ(t ), 如何求dt dz？设z =f (u , v ), 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), 如何求x z ∂∂和y z∂∂？1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数u =ϕ(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有dt dvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.简要证明1: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有dvv z du u z dz ∂∂+∂∂=. 又因为u =ϕ(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有dt dt du du =, dt dt dv dv =, 代入上式得dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dt dv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=, 从而 dt dvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.简要证明2: 当t 取得增量∆t 时, u 、v 及z 相应地也取得增量∆u 、∆v 及∆z . 由z =f (u , v )、u =ϕ(t )及v =ψ(t )的可微性, 有)(ρo v v z u u z z +∆∂∂+∆∂∂=∆)()]([)]([ρo t o t dt dv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂=)()()()(ρo t o v z u z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂=, t o t t o v z u z dtdv v z dt du u z t z ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ, 令∆t →0, 上式两边取极限, 即得dt dvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.注:0)()(0)()()(lim )(lim 222200=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dt dv dt du t v u o t o t t ρρρ.推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [ϕ(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为:dt dww z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=.上述dt dz称为全导数.2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, y vv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, y ww z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.讨论:(1)设z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(y ), 则=∂∂x z ？=∂∂y z ？ 提示: x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dy dvv z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.(2)设z =f (u , x , y ), 且u =ϕ(x , y ), 则=∂∂x z ？=∂∂y z ？提示: x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂, y fy u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂.这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的, x z∂∂是把复合函数z =f [ϕ(x , y ), x , y ]中的y 看作不变而对x 的偏导数,x f∂∂是把f (u , x , y )中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数. y z ∂∂与y f ∂∂也朋类似的区别.3．复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形定理3 如果函数u =ϕ(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dy dvv z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.例1 设z =e u sin v , u =xy , v =x +y , 求x z ∂∂和y z∂∂. 解 x vv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=e u sin v ⋅y +e u cos v ⋅1=e x y [y sin(x +y )+cos(x +y )],y vv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=e u sin v ⋅x +e u cos v ⋅1=e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )].例2 设222),,(zy xez y x f u ++==, 而y x z sin 2=. 求x u ∂∂和y u∂∂.解 x zz f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x ze xez y xz y xsin 222222222⋅+=++++yx y xey x x 2422sin 22)sin 21(2++++=.y zz f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x ze ye z y x zy x cos 222222222⋅+=++++ yx y x e y y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=.例3 设z =uv +sin t , 而u =e t, v =cos t . 求全导数dt dz.解 t zdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂==v ⋅e t +u ⋅(-sin t )+cos t =e t cos t -e t sin t +cos t =e t (cos t -sin t )+cos t .例4 设w =f (x +y +z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数, 求x w ∂∂及z x w∂∂∂2.解 令u =x +y +z , v =xyz , 则w =f (u , v ). 引入记号:u v u f f ∂∂='),(1, v u v u f f ∂∂∂='),(12; 同理有2f ',11f '',22f ''等. 21f yz f x v v f x u u f x w '+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,z f yz f y z f f yz f zz x w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)(2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''= 22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''=. 注: 1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂, 2221222f xy f z vv f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂.例5 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式:(1)22)()(y u xu ∂∂+∂∂; (2)2222y u x u ∂∂+∂∂. 解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 u =f (x , y )=f (ρcos θ, ρsin θ)=F (ρ, θ), 其中x =ρcos θ, y =ρsin θ,22y x +=ρ,x yarctan=θ.应用复合函数求导法则, 得xu x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρy u x u ∂∂-∂∂=ρθθθρsin cos y u u ∂∂-∂∂=, yu y u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρx u y u ∂∂+∂∂=ρθθθρcos sin ∂∂+∂∂=u u . 两式平方后相加, 得22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u y u xu . 再求二阶偏导数, 得x x u x x u xu ∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22 θρθθθρρcos )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂=u uρθρθθθρθsin )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u 22222222sin cos sin 2cos ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u u ρθρρθθθ22sin cos sin 2∂∂+∂∂+u u . 同理可得2222222222cos cos sin 2sin ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u yu ρθρρθθθ22cos cos sin 2∂∂+∂∂-u u . 两式相加, 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂uu yu x u])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=u u .全微分形式不变性: 设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分dvv z du u z dz ∂∂+∂∂=. 如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂= dy y v v z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)()(dy y v dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=dvv z du uz ∂∂+∂∂=. 由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.例6 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分.解dv v z du u z dz ∂∂+∂∂== e usin vdu + e u cos v dv = e u sin v (y dx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .§8. 5 隐函数的求导法则一、一个方程的情形 隐函数存在定理1设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有y xF F dxdy-=. 求导公式证明: 将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式 F (x , f (x ))≡0,等式两边对x 求导得=⋅∂∂+∂∂dx dy y F x F ,由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得y xF F dxdy-=. 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y xF F dx dyy x -=-=, 00==x dx dy ;332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=,1022-==x dx yd .隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有z x F F xz -=∂∂, z yF F y z -=∂∂. 公式的证明: 将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F (x , y , f (x , y ))≡0, 将上式两端分别对x 和y 求导, 得0=∂∂⋅+x z F F z x , 0=∂∂⋅+y zF F z y .因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得z x F F xz -=∂∂, z y F F y z -=∂∂. 例2. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求2x z∂∂.解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4,z x z x F F x z z x -=--=-=∂∂2422,3222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂.二、方程组的情形在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x ,y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=,22y x x v +=. 事实上, xu -yv =0 ⇒u y x v =⇒1=⋅+u y x x yu ⇒22y x yu +=, 2222y x x y x yy x v +=+⋅=.如何根据原方程组求u , v 的偏导数？ 隐函数存在定理3 隐函数存在定理3设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式:v G u Gv Fu Fv u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),(在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零, 则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 它们满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, y 0), 并有v uv uv x v xG G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1,v uvux u x uG G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1,v u vu vy v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1,v u vu yu y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1.隐函数的偏导数:设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的 二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则偏导数x u ∂∂, x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定;偏导数y u ∂∂, y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定.例3 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求x u ∂∂, x v ∂∂, y u ∂∂和y v∂∂. 解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于x u ∂∂和x v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v x u y x v y x u x u ,当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yv xu xu ++-=∂∂, 22y x xvyu x v +-=∂∂. 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于y u ∂∂和y v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yu xv y u +-=∂∂, 22y x yvxu yv ++-=∂∂. 另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx , 即⎩⎨⎧--=+-=-vdxudy xdv ydu udxvdy ydv xdu .解之得dy y x yuxv dx y x yv xu du 2222+-+++-=,dy y x yvxu dx y x xv yu dv 2222++-+-=.于是 22y x yv xu xu ++-=∂∂, 22y x yu xv y u +-=∂∂, y x xv yu x v +-=∂∂, 22y x yv xu yv++-=∂∂. 例4 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数, 又0),(),(≠∂∂v u y x .。
多元函数微分法及其应用笔记
多元函数微分法及其应用笔记一、引言多元函数微分法是微积分中的重要内容之一，它涉及到多元函数的极限、连续性、可微性以及方向导数、梯度等概念。
在实际应用中，多元函数微分法有着广泛的应用，例如在物理、经济、生物等领域中都会遇到相关问题。
本文将详细探讨多元函数微分法的相关概念及其应用。
二、多元函数的极限与连续性2.1 多元函数的极限多元函数的极限与一元函数的极限类似，但需要考虑多维空间中的情况。
对于多元函数f(x,y)，当点(x,y)靠近某一点(a,b)时，如果f(x,y)的数值趋近于一个确定的常数L，则称L为函数f(x,y)在点(a,b)处的极限，记作lim(x,y)→(a,b)f(x,y)=L。
2.2 多元函数的连续性与一元函数类似，多元函数的连续性也是建立在极限的基础上。
若函数f(x,y)在点(a,b)处极限存在且与函数在该点的数值相等，则称函数f(x,y)在点(a,b)处连续。
三、多元函数的偏导数3.1 偏导数的定义对于多元函数f(x,y)，其偏导数表示函数在某一方向上的变化率，而不考虑其他方向的变化。
对于偏导数的计算，可以按照以下步骤进行： 1. 将函数中的其他自变量视为常数，仅对某一个自变量求导； 2. 将其他自变量恢复为原来的形式。
对于函数f(x,y)，其对x的偏导数表示为∂f∂x ，对y的偏导数表示为∂f∂y。
3.2 高阶偏导数与一元函数类似，多元函数也可以计算高阶偏导数。
对于函数 f (x,y )，其二阶混合偏导数为 ∂2f ∂x ∂y 和 ∂2f∂y ∂x ，它们的求导顺序不同可能会得到不同的结果。
如果这两个混合偏导数相等，则称函数 f (x,y ) 具有混合偏导数的对称性。
四、方向导数与梯度4.1 方向导数的定义方向导数表示函数在某一给定方向上的变化率，通常用单位向量 u =(u 1,u 2) 表示给定的方向。
对于函数 f (x,y )，其在点 (x 0,y 0) 处沿方向 u 的方向导数定义如下：D u f (x 0,y 0)=lim ℎ→0f (x 0+ℎu 1,y 0+ℎu 2)−f (x 0,y 0)ℎ4.2 梯度的定义梯度是多元函数微分法中的一个重要概念，表示函数在某一点上变化最快的方向和变化率。
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高等数学复习-多元函数微分法及其应用
一、列举二元函数的例子？
二、求多元函数的极限？
三、证明函数的连续性？
四、多元函数的性质？
五、求多元函数再某点的偏导数？
六、求多元函数的偏导数？
七、求多元函数的高阶偏导数？
八、二阶混合偏导数定理？
九、求函数的全微分？
十、全微分的应用?
十一、一元函数与多元函数复合定理?
十二、多元函数与多元函数复合定理?
十三、其它复合定理？
十四、求复合函数的偏导数？
十五、求复合函数的全导数？
十六、利用全微分形式不变形求偏导数？
十七、利用隐函数求导？
十八、利用方程组求偏导数?
十九、求函数的单位切向量？
二十、求曲线的切线及法平面方程？
二十一、求球面的切线及法平面方程？
二十二、求旋转抛物面的切线及法平面方程？
二十三、求某个方向的方向导数？
二十四、求函数在某点的梯度？
函数在某点的梯度是这样一个向量，他的方向是函数再这点方向导数取得最大值的方向，它的模就等于方向导数的最大值。
（1）求出函数在各个自变量上的偏导数
（2）带入点惊醒计算
（3）表示出该向量（记得加上i、j、k）
二十五、求函数再某个方向的变化率？
二十六、举例说明多元函数最值及极值？
二十七、有极值定理?
二十八、求多元函数的极值？
二十九、拉个朗日乘数法求极值？。