高等数学(下)_ 多元函数微分学及其应用_
多元函数微分学的应用习题及详细解答
（x, y) 0 下的极值点，下列选项正确的是（ D ）。
A.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 C.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
B.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0 D.若fx(x0, y0 ) 0,则f y(x0, y0 ) 0
x 1 y 2 z 1. 1 1 1
5.已知曲面 z x2 y2 z2 上点 P 处的切平面 x 2y 2z 0 平行，求点 P 的坐标以及曲
面在该点的切平面方程。
解：曲面在点 P 处的法向量为 n Fx, Fy, Fz 2x, 2y, 2z 1 ，依题意，n 1, 2, 2 ，
(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是（ A ）。
A. f (0) 1, f (0) 0 C. f (0) 1, f (0) 0
B. f (0) 1, f (0) 0 D. f (0) 1, f (0) 0
(5)设 f (x, y)与（x, y) 均为可微函数，且y (x, y) 0,已知（x0, y0)是f (x, y)在约束条件
在何处？
解：行星表面方程为 x2 y2 z2 36 .令 L 6x y2 xz 60 (x2 y2 z2 36) ，求
解方程组 6 z 2x 0 ， 2 y 2 y 0 ， x 2z 0 ，则可得驻点
x
y
z
(4, 4, 2), ( 3, 0,3), (0, 0, 6) ，结合题意易知 H 在 (4, 4, 2) 处最小，且最小值为 12.
2x a2
2y b2
y
0,
y
b2 a2
x y
所以在点
a, 2
b 2
第8章 多元函数微分学及其应用
第8章 多元函数微分学及其应用上册中我们所讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数．而在实际问题中，还会遇到多于一个自变量的函数，这就是本章将要讨论的多元函数．多元函数是一元函数的推广．它的一些基本概念及研究问题的思想方法与一元函数有许多类似之处，但是由于自变量个数的增加，它与一元函数又存在着某些区别，这些区别之处在学习中要加以注意．对于多元函数，我们将着重讨论二元函数．在掌握了二元函数的有关理论与研究方法之后，我们可以把它推广到一般的多元函数中去．§1 多元函数的极限与连续一、平面点集与n 维空间一元函数的定义域是实数轴上的点集，而二元函数的定义域是坐标平面上的点集．因此，在讨论二元函数之前，有必要先了解有关平面点集的一些基本概念．1．平面点集由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个直角坐标系后，平面上的点P 与二元有序实数组(,)x y 之间就建立了一一对应．于是，我们常把二元有序实数组(,)x y 与平面上的点P 看作是等同的．这种建立了坐标系的平面称为坐标平面．二元有序实数组(,)x y 的全体，即2{(,),}R x y x y R =∈就表示坐标平面．坐标平面上满足某种条件C 的点的集合，称为平面点集，记作{(,)(,)E x y x y =满足条件}C ．例如，平面上以原点为中心，r 为半径的圆内所有点的集合是222{(,)}E x y x y r =+<．现在，我们引入平面中邻域的概念．设000(,)P x y 是平面上一点，δ是一正数．与点000(,)P x y 距离小于δ的点(,)P x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为0(,)U P δ或0()U P ，即00(,){ }{(,}U P P P P x y δδδ=<=<．不包含点0P 在内的邻域称为点0P 的空心δ邻域，记为0(,)UP δ 或0()U P ，即00(,){ 0<}{(,)0}U P P P P x y δδδ=<=<< ． 在几何上，邻域0(,)U P δ就是平面上以点000(,)Px y 为中心，δ为半径的圆的内部的点(,)P x y 的全体．下面利用邻域来描述点和点集之间的关系．任意一点2P R ∈与任意一个点集2E R ⊂之间必有以下三种关系之一：（1）内点：若存在点P 的某个邻域()U P ，使得()U P E ⊂，则称点P 是点集E 的内点（见图8-1）．（2）外点：如果存在点P 的某个邻域()U P ，使得()U P E =∅ ，则称点P 是点集E 的外点（见图8-2）．（3）边界点：如果在点P 的任何邻域内既含有属于E 的点，又含有不属于E 的点，则称点P 是点集E 的边界点（见图8-3）．E 的边界点的全体称为E 的边界,记作E ∂．E 的内点必定属于E ；E 的外点必定不属于E ；E 的边界点可能属于E ，也可能不属于E ．点和点集还有另外一种关系，这就是下面定义的聚点．聚点：若点P 的任何空心邻域0()U P 内总有E 中的点，则称P 为点集E 的聚点．聚点本身可能属于E 也可能不属于E ．显然，E 的内点一定是E 的聚点，E 的外点一定不是E 的聚点．例如，点集22{(,)14}D x y x y =≤+<，满足2214x y <+<的一切点是D 的内点；满足221x y +=的一切点是D 的边界点，它们都属于D ；满足224x y +=的点也是D 的边界点，但它们不属于D ；点集D 连同它的外圆边界上的点都是D 的聚点．根据点集的特征，我们再来定义一些重要的平面点集．开集：如果点集E 的点都是E 的内点，则称E 为开集．闭集：如果点集E 的所有聚点都属于E ，则称E 为闭集． 例如，集合22{(,)14}x y x y <+<是开集；集合22{(,)14}x y x y ≤+≤是闭集；而集合22{(,)14}x y x y ≤+<既非开集，也非闭集．此外，还约定全平面2R 和空集∅既是开集又是闭集．连通集：若点集E 中任意两点都可以用完全含于E 的有限条直线段所组成的折线相连接，则称E 是连通集．区域（开区域）：连通的开集称为区域或开区域．闭区域：开区域连同它的边界一起组成的集合，称为闭区域． 例如，22{(,)14}x y x y <+<是区域；22{(,)14}x y x y ≤+≤是闭区域．有界集：对于点集E ，如果能包含在以原点为中心的某个圆内，则称E 是有界点集．否则称为无界点集． 例如22{(,)1}x y x y +≤是有界闭区域，而22{(,)1}x y x y +>是无界的开区域．2．n 维空间称n 元有序实数组12(,,)n x x x 的全体为n 维空间，记为12{(,,,),1,2,,}n n i R x x x x R i n =∈= ．n R 中的每个元素12(,,,)n x x x 称为n 维空间中的一个点，i x 称为该点的第i 个坐标．设点12(,,,)n M x x x ，12(,,,)n N y y y 为nR 中的两点，我们规定M ，N 两点间的距离为MN =显然，当1,2,3n =时，上式就是解析几何中在直线、平面、空间中两点间的距离公式．有了两点间的距离规定之后，就可以把平面点集中的邻域的概念推广到n R 中去．设0n P R ∈，δ是一正数，那么nR 中的点集 00(,){ ,}n U P P P P P R δδ=<∈就称为点0P 的δ邻域．有了邻域之后，就可以把平面点集中的内点、外点、边界点、聚点、开集、闭集、区域等概念推广到n 维空间去．二、二元函数的概念1．二元函数的概念在很多自然现象以及实际问题中，经常会遇到一个变量依赖于多个变量的关系，下面先看几个例子．例1 正圆锥体的体积V 和它的高h 及底面半径r 之间有关系213V r h π=．当r 和h 在集合{(,)0,0}r h r h >>内取定一组数时，通过关系式213V r h π=，V 有唯一确定的值与之对应． 例 2 一定量的理想气体的压强P 、体积V 和绝对温度T 之间有关系RT PV =，其中R 为常数．当V 、T 在集合{(,)0,0}V T V T >>内取定一组数时，通过关系式RT P V=，P 有唯一确定的值与之对应． 上面两个例子，虽然来自不同的实际问题，但都说明，在一定的条件下三个变量之间存在着一种依赖关系，这种关系给出了一个变量与另外两个变量之间的对应法则，依照这个法则，当两个变量在允许的范围内取定一组数时，另一个变量有唯一确定的值与之对应．由这些共性便可得到以下二元函数的定义．定义1 设D 是平面上的一个点集，如果对于D 内任意一点(,)P x y ，变量z 按照某一对应法则f 总有唯一确定的值与之对应，则称z 是变量x 、y 的二元函数（或称z 是点P 的函数），记作(,),(,)z f x y x y D =∈或(),z f P P D =∈．其中点集D 称为函数的定义域，x ，y 称为自变量，z 也称为因变量，数集{(,),z z f x y = (,)}x y D ∈称为该函数的值域．z 是x ，y 的函数也可记为(,)z z x y =．按照定义，在例1和例2中，V 是h 和r 的函数，P 是V 和T 的函数，它们的定义域由实际问题来确定．当二元函数仅用算式表示而未注明定义域时，约定其定义域为使算式有意义的点的集合．例3 求下列函数的定义域．（1）ln()z x y =+； （2）22arcsin()z x y =+．解 （1）要使ln()x y +有意义，必须有0x y +>，所以定义域为 {(,)0}x y x y +>．（见图8-4），这是一个无界开区域．（2）要使22arcsin()x y +有意义，必须有221x y +≤，所以定义域为22{(,)1}x y x y +≤．（见图8-5），这是一个有界闭区域．设二元函数(,)z f x y =的定义域为D ，对任一点(,)x y D ∈，必有唯一的(,)z f x y =与之对应．这样，以x 为横坐标，y 为纵坐标，(,)z f x y =为竖坐标在空间就确定一个点(,,)P x y z ．当(,)x y 取遍D 上一切点时，相应地得到一个空间点集{(,,)(,),(,)}x y z z f x y x y D =∈，这个点集称为二元函数(,)z f x y =的图形（见图8-6）．通常(,)z f x y =的图形是一张曲面，函数(,)f x y 的定义域D 便是该曲面在xOy 面上的投影．例如，由空间解析几何知道，25zx y =+的图形是一张平面，而函数22z x y =+的图形是旋转抛物面．2．n 元函数的概念定义2 设E 是nR 中的一个点集，如果对于E 中任意一点12(,,,)n P x x x ，变量u 按照某一对应法则f 总有唯一确定的值与之对应，则称u 是定义在E 上的n 元函数，记作 1212(,,,),(,,,)n n u f x x x x x x E =∈ ，或(),u f P P E =∈．点集E 称为函数的定义域，数集1212{(,,,),(,,,)}n n u u f x x x x x x E =∈ 称为该函数的值域．在定义2中，分别令2n =和3n =，便得到二元函数和三元函数的定义，二元及二元以上的函数统称为多元函数．三、二元函数的极限设二元函数(,)z f x y =定义在平面点集D 上，000(,)P x y 为点集D 的聚点，我们来讨论当点000(,)(,)P x y P x y →，即点0x x →，0y y →时函数(,)z f x y =的极限．这里000(,)(,)P x y P x y →是指点P 以任意的方式趋于0P ，亦即两点P 与0P 之间的距离趋于零，也就是00P P =→．与一元函数的极限概念类似，如果在000(,)(,)P x y P x y →的过程中，(,)P x y 所对应的函数值(,)f x y 无限接近于一个常数A ，则称当000(,)(,)P x y P x y →时，函数(,)z f x y =以A 为极限．下面用“εδ-”语言来描述这个极限的概念．定义3 设二元函数(,)z f x y =的定义域为D ，000(,)P x y 是D 的聚点，A 是一个常数．如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0(,)(,)P x y UP D δ∈ 时，恒有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称当000(,)(,)P x y P x y →时函数(,)z f x y =以A 为极限，记为 00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=或00lim (,)x x y y f x y A →→=， 也记作0lim ()P P f P A →=．二元函数的极限也称为二重极限．例4设(,)f x y =(,)(0,0)lim (,)0x y f x y →=．证 这里函数(,)f x y 的定义域是2D R =，点(0,0)O 显然为D 的聚点．由于(,)0sin 0f x y -=≤可见，对任意给定的0ε>，取δε=，则当0δ<<，即(,)(,)P x y U O D δ∈ 时，恒有(,)0f x y ε-≤<，成立，根据二元函数极限的定义，证得(,)(0,0)lim (,)0x y f x y →=．我们必须注意，所谓二重极限存在，是指(,)P x y 以任何方式趋于000(,)P x y 时，函数(,)f x y 都无限接近于同一个常数A ．因此，当P 以某种特殊方式趋近于0P ，即使函数(,)f x y 无限接近于某一常数，也不能断定二重极限存在．但当P 以某种特殊方式趋近于0P 时，函数(,)f x y 的极限不存在，或者当P 沿两个特殊方式趋近于0P 时，函数(,)f x y 分别无限接近于两个不同的常数，则可以断定二重极限不存在． 例5 讨论22(,)xy f x y x y=+当(,)(0,0)x y →时是否存在极限． 解 当点(,)x y 沿着直线ykx =趋于(0,0)时，有2222222(,)(0,0) 0 lim lim 1x y x y kxxy kx k x y x k x k →→===+++． 其值因k 而异，这与极限定义中当(,)P x y 以任何方式趋于000(,)P x y 时，函数(,)f x y 都无限接近于同一个常数A 的要求相违背，因此当(,)(0,0)x y →时，22(,)xy f x y x y =+的极限不存在．以上关于二元函数极限的有关描述，可相应地推广到一般的n 元函数()u f P =即12(,,,)n u f x x x = 上去．多元函数极限的性质和运算法则与一元函数相仿，这里不再重复．例6 求22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y→++． 解 因为(,)(0,0)lim ()0x y x y →+=，而221sin 1x y ≤+，利用有界函数与无穷小的乘积是无穷小，即知22(,)(0,0)1lim ()sin 0x y x y x y→+=+． 例7 2222(,)(0,0)sin()lim x y x y x y→++． 解 利用变量替换．令22u x y =+，当(,)(0,0)x y →时，有0u →，因此2222(,)(0,0)0sin()sin lim lim 1x y u x y u x y u→→+==+． 例8 求222(,)(0,0)lim x y x y x y →+． 解 利用极坐标变换．令co s x r θ=，sin y r θ=，当(,)(0,)x y →时，有0r →，因此2322222(,)(0,0)00cos sin lim lim lim cos sin 0x y r r x y r r x y rθθθθ→→→===+． 四、二元函数的连续有了二元函数极限的概念，仿照一元函数连续性的定义，不难得出二元函数连续性的定义．定义4 设二元函数(,)z f x y =的定义域为D ，000(,)P x y 是D 的聚点，且0P D ∈，如果0000(,)(,)lim (,)(,)x y x y f x y f x y →= （1） 则称二元函数(,)z f x y =在0P 点连续．若记0x x x ∆=-，0y y y ∆=-，则称0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-为函数(,)f x y 在点000(,)P x y 的全增量．和一元函数一样，可用增量的形式来描述连续性，即当 0000(,)(0,0)(,)(0,0)lim lim (,)(,)0x y x y z f x x y y f x y ∆∆→∆∆→∆=+∆+∆-= 时，(,)f x y 在点000(,)P x y 连续．若函数(,)f x y 在D 上每一点都连续，则称(,)f x y 在D 上连续，或称(,)f x y 是D 上的连续函数．若(,)f x y 在0P 点不连续，则称0P 是函数(,)f x y 的间断点．当函数(,)f x y 在0P 点没有定义；或虽有定义，但当0P P→时函数(,)f x y 的极限不存在；或极限虽存在，但极限值不等于该点处的函数值，则0P 都是函数(,)f x y 的间断点．例如，考察函数22 ()(00)() 0 ()(00).xy x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，，，，，，，，例5中已说明，22(,)(0,0)limx y xy x y →+不存在，所以点(00)，是函数()f x y ，的间断点． 再如函数2()x y f x y x y -=-，在曲线2x y =上每一点处都没有定义，所以曲线2x y =上每一点都是该函数的间断点．根据极限的运算法则和多元函数连续性的定义，不难证明多元连续函数的和、差、积、商（分母不等于零）也都是连续函数．多元连续函数的复合函数也是连续函数．与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的．例如22sin()x y +，ln()x y +都是多元初等函数．根据连续函数的和、差、积、商的连续性以及连续函数的复合函数的连续性，再利用基本初等函数的连续性，我们进一步可以得出如下结论：多元初等函数在其定义区域内是连续的．所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．由多元初等函数的连续性，如果需求极限0lim()P P f P →，而0P 正是初等函数()f P 定义区域内的一点，则00lim ()()P P f P f P →=．例9 求(,)(1,2)lim ln()x y x y →+．解 函数ln()x y +是多元初等函数，它的定义域{(,)0}D x y x y =+>是一个区域，而点(1,2)D ∈，所以(,)(1,2)lim ln()ln(12)ln3x y x y →+=+=．例10求(,)lim x y → 解(,)((,)(0,0)l i m l i x y x y →→=(,)(l i m 1 2.x y →=+=1+在点(0,0)的连续性．类似于闭区间上一元连续函数的性质，在有界闭区域上的多元连续函数具有以下几个重要性质：性质1（最大值、最小值定理） 在有界闭区域上连续的多元函数，在该区域上有最大值与最小值；性质2（有界性定理） 在有界闭区域上连续的多元函数，在该区域上有界；性质3（介值定理） 在有界闭区域上连续的多元函数，必能取得介于最大值与最小值之间的任何值．习题 8-11．判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、闭区域、有界集、无界集，并指出它们的边界和聚点． （1）{(,)0,0}D x y x y =≠≠；（2）2{(,)}D x y y x =>； （3）{(,)1}D x y x y =+≤．2．求下列函数的定义域，并作出定义域的草图：（1）2222x y z x y+=-； （2）ln ln z x y =+； （3）22z=（4）z=3．求下列各极限： （1）2222(,)(0,0)1lim ()sinx y x y x y→++； （2）(,)(0,2)sin()lim x y xy x →； （3）22(,)limx y →； （4）(,)limy x y →．4．证明下列极限不存在： （1）22(,)(0,0)limx y xy x y →+； （2）(,)(0,0)limx y x yx y →+-． 5．求下列函数的间断点：（1）1sinx y+； （2）22tan()x y +． §2 偏导数与全微分一、偏导数1．偏导数定义及其计算在一元函数中，我们通过函数的增量与自变量增量之比的极限引出了导数的概念，这个比值的极限刻画了函数对于自变量的变化率．对于多元函数同样需要讨论它的变化率，由于多元函数的自变量多于一个，使得变化率问题变得较为复杂．在这一节里，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，即讨论只有一个自变量变化，而其余自变量固定不变（视为常量）时函数的变化率．定义1 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域内有定义，当y 固定在0y ，而x 在0x 处有增量x ∆时（点（00,x x y +∆）仍在该邻域中），相应地函数有增量 0000(,)(,)f x x y f x y +∆-． 如果极限00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对x 的偏导数，记作00(,)x y zx ∂∂，00(,)x y fx ∂∂，00(,)x z x y 或00(,)x f x y ①，即0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆． （1）类似地，函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对y 的偏导数定义为00000(,)(,)limy f x y y f x y y∆→+∆-∆， （2）记作00(,)x y z y∂∂，00(,)x y f y∂∂，00(,)y z x y 或00(,)y f x y ．①偏导数记号x z ，x f 也常记作x z '，x f '．由偏导数的定义可知，二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对x 的偏导数00(,)x f x y ， 实际上就是把y 固定在0y 时，一元函数0(,)f x y 在0x 点的导数0d (,)d x x f x y x =；00(,)y f x y 就是一元函数0(,)f x y 在0y 点的导数0d (,)dyy y f x y =．如果函数(,)z f x y =在区域D 内每一点(,)x y 处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x ，y 的函数，称它为函数(,)z f x y =对自变量x 的偏导函数，记作z x ∂∂，fx∂∂ x z 或(,)x f x y ．类似地，可以定义函数(,)z f x y =对自变量y 的偏导函数，记作z y ∂∂，f y∂∂，y z 或(,)y f x y ．偏导函数也简称为偏导数．显然函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处对x 的偏导数00(,)x f x y 就是偏导函数(,)x f x y 在点00(,)x y 处的函数值；00(,)y f x y 就是偏导函数(,)y f x y 在点00(,)x y 处的函数值．至于实际求(,)z f x y =的偏导数，并不需要用新的方法，因为偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数(,)z f x y =看成是另一个自变量的一元函数的导数．计算f x ∂∂时，只要把y 看作常数，而对x 求导数；类似地，计算f y∂∂时，只要把x 看作常数，而 对y 求导数．二元以上的函数的偏导数可类似定义．例如三元函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 处对x 的偏导数可定义为(,,)(,,)(,,)limx x f x x y z f x y z f x y z x∆→+∆-=∆其中(,,)x y z 是函数(,,)u f x y z =的定义域的内点．求二元以上函数对某个自变量的偏导数也只需把其余自变量都看作常数而对该自变量求导即可．例1 求二元函数arctanyz x=的偏导数． 解 对x 求偏导数时，把y 看作常数，则222211z y y xx x y y x ∂⎛⎫=⋅-=- ⎪∂+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 对y 求偏导数时，把x 看作常数，则222111z xyx x yy x ∂=⋅=∂+⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 例2 设323(,)2f x y x x y y =+-，求(1,3)x f ，(1,3)y f ．解 方法一：先求出偏导函数(,)x f x y 和(,)y f x y ，再求偏导函数在点(1,3)的函数值．2(,)34x f x y x xy =+，22(,)23y f x y x y =-，所以 (1,3)15x f =，(1,3)25y f =-．方法二：将(1,3)x f 转化为当3y =时，计算一元函数(,3)f x 在1x =处的导数，32(,3)627f x x x =+-，所以 211d (,3)(1,3)(312)15d x x x f x f x x x ====+=．将(1,3)y f 转化为当1x =时，计算一元函数(1,)f y 在3y =处的导数，3(1,)12f y y y =+-，所以 233d (1,)(1,3)(23)25dyy y y f y f y ====-=-．例3已知函数r =2221r r r x y z ⎛⎫∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭．证 求rx∂∂时，把y 和z 看作常数，则r x x r∂==∂，由于所给函数关于自变量对称①，所以r y y r∂=∂，r z z r ∂=∂，从而有22222221r r r x y z x y z r ⎛⎫∂∂∂++⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 例4 已知理想气体的状态方程是PV RT =（R 是常数），求证1P V TV T P∂∂∂⋅⋅=-∂∂∂． 证2P R T R TV V V V ∂∂⎛⎫==- ⎪∂∂⎝⎭， V RT RT T P P ∂∂⎛⎫== ⎪∂∂⎝⎭， T PV V P P RR∂∂⎛⎫== ⎪∂∂⎝⎭， 故21P V T RT R V RT V T P V P R PV∂∂∂⋅⋅=-⋅⋅=-=-∂∂∂． 从例4不难说明偏导数的记号P V ∂∂，V T ∂∂，TP∂∂是一个整体记号，不能像一元函数的导数d d y x那样看成分子与分母之商，否则将导致1P V TV T P ∂∂∂⋅⋅=∂∂∂的错误结论． 2．偏导数的几何意义在空间直角坐标系中，二元函数(,)z f x y =的图像是一个空间曲面S ．根据偏导数的定义，00(,)x f x y 就是把y 固定在0y ，一元函数0(,)f x y 在0x 点的导数．而在几何上，一元函数0(,)z f x y =表示曲面S 与平面0y y =的交线10(,):z f x y C y y =⎧⎨=⎩，则由一元函数导数的几何意义知，00(,)x f x y 就是曲线1C 在点00000(,,(,))P x y f x y 处的切线0x PT 对x 轴的斜率，即0x PT 与x 轴正向所成倾角的正切tan α（见图8-7）． 同理，00(,)y f x y 就是曲面S 与平面0x x =的交线20(,):z f x y C x x =⎧⎨=⎩在点0P 处的切线①若函数表达式中任意两个自变量对调后，仍表示原来的函数，则称函数关于这两个自变量对称．0y PT 对y 轴的斜率tan β（见图8-8）．3．偏导数与连续的关系我们知道，若一元函数()y f x =在点0x 处可导，则()f x 必在点0x 处连续．但对于 二元函数(,)z f x y =来讲，即使在点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，也不能保证函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续．这是因为偏导数00(,)x f x y ，00(,)y f x y 存在只能保证一元函数0(,)z f x y =和0(,)z f x y =分别在0x 和0y 处连续，但不能保证(,)x y 以任何方式趋于00(,)x y 时，函数(,)f x y 都趋于00(,)f x y ． 例5 求二元函数22()(00)() 0 ()(00)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，，，，，，，，，在点(0,0)处的偏导数，并讨论它在点(0,0)处的连续性．解 点(0,0)是函数(,)f x y 的分界点，类似于一元函数，分段函数分界点处的偏导数 要用定义去求．0(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--===∆∆， 又由于函数关于自变量x ，y 是对称的，故(0,0)0y f =．我们在第一节已经知道(,)f x y 在点(0,0)处不连续．当然，(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续也不能保证(,)f x y 在点00(,)x y 的偏导数存在． 例6讨论函数(,)f x y =(0,0)处的偏导数与连续性．图8-7 图8-8解 因为(,)f x y =2R 是一个区域，而2(0,0)R ∈，因此(,f x (0,0)处连续．但00(0,0)(0,0)(0,0)limlim x x x x f x f f x x∆→∆→∆+∆-==∆∆不存在．由函数关于自变量的对称性知，(0,0)y f 也不存在．4．高阶偏导数设函数(,)z f x y =在区域D 内具有偏导数(,)x zf x y x ∂=∂，(,)y z f x y y∂=∂， 一般来讲，在D 内(,)x f x y ，(,)y f x y 仍然是x ，y 的函数，如果(,)x f x y ，(,)y f x y 关于x ，y 的偏导数也存在，则称(,)x f x y ，(,)y f x y 的偏导数是函数(,)z f x y =的二阶偏导 数．按照对两个自变量求导次序不同，二元函数(,)z f x y =的二阶偏导数有如下四种情形：对x 的二阶偏导数：2222(,)xx z z ff x y x x x x ∂∂∂∂⎛⎫=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭， 先对x 后对y 的二阶偏导数：22(,)xy z z ff x y y x x y x y∂∂∂∂⎛⎫=== ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭， 先对y 后对x 的二阶偏导数：22(,)yx z z ff x y x y y x y x ⎛⎫∂∂∂∂=== ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭， 对y 的二阶偏导数：2222(,)yy z z f f x y y y y y⎛⎫∂∂∂∂=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭①．如果二阶偏导数的偏导数存在，就称它们是函数(,)f x y 的三阶偏导数，例如2323z z x x x ⎛⎫∂∂∂= ⎪∂∂∂⎝⎭，2322z zy x x y⎛⎫∂∂∂= ⎪∂∂∂∂⎝⎭等．类似地，我们可以定义四阶，五阶，…，n 阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．如果高阶偏导数中既有对x 也有对①二阶偏导数记号xx f ，xy f ，yx f ，yy f 也常记作xxf ''， xy f ''， yx f ''， yy f ''．y 的偏导数，则此高阶偏导数称为混合偏导数，例如2z x y ∂∂∂，2zy x∂∂∂．例7 求函数2x yz e +=的所有二阶偏导数．解 由于2x y z e x +∂=∂，22x y ze y+∂=∂， 因此有 2222()x y x yz z e e x x x x++∂∂∂∂⎛⎫=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭， 222()2x y x y z z e e x y y x y++∂∂∂∂⎛⎫=== ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， 2222222(2)2(2)4.x y x y x y x yz z e e y x x y xz z e e y y y y++++⎛⎫∂∂∂∂=== ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎛⎫∂∂∂∂=== ⎪∂∂∂∂⎝⎭，在此例中，两个二阶混合偏导数相等，即22z zx y y x∂∂=∂∂∂∂，但这个结论并非对任何函数 成立，只有在满足一定条件时，二阶混合偏导数才与求偏导的次序无关．对此，我们不加证明地给出下面的定理．定理1 如果函数(,)z f x y =的两个二阶混合偏导数2z x y ∂∂∂及2zy x∂∂∂在区域D 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数相等．换句话说，两个二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求偏导的次序无关．对于二元以上的函数，我们也可以类似地定义高阶偏导数．而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求偏导的次序无关．例8验证函数ln z =满足拉普拉斯（Laplace ）方程22220z zx y∂∂+=∂∂．证因为221lnln()2z x y ==+，所以2222222222222222()2()()()z x x x yz z x x y x x y xx x x x x y x y x y ∂=∂+∂∂∂∂+-⋅-⎛⎫==== ⎪∂∂∂∂+++⎝⎭，，利用函数关于自变量的对称性，在22zx∂∂的结果中，将x 与y 互换，便得到2222222()z x y y x y ∂-=∂+， 因此 222222222222220()()z z y x x y x y x y x y ∂∂--+=+=∂∂++．二、全微分1．全微分的定义我们知道一元函数()y f x =在点0x 可微是指：如果当自变量x 在0x 处有增量x ∆时，函数增量y ∆可表示为00()()()y f x x f x A x o x ∆=+∆-=∆+∆，其中A 与x ∆无关，()o x ∆是当0x ∆→时较x ∆高阶的无穷小量，则称()y f x =在点0x 可微，并称A x ∆为()f x 在点0x 处的微分，记为d y A x =∆．对于二元函数，我们也用类似的方法来定义可微性及全微分．定义2 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某邻域内有定义，点00(,)x x y y +∆+∆为该邻域内任意一点，若函数在点00(,)x y 处的全增量0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆=+∆+∆-可表示为 ()z A x B y o ρ∆=∆+∆+， （3）其中A ，B 仅与点00(,)x y 有关，而与x ∆，y ∆无关，ρ=()o ρ是当0ρ→时较ρ高阶的无穷小量，即0()lim0o ρρρ→=，则称函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处是可微的，并称A x B y ∆+∆为函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处的全微分，记作00(,)d xy z ，即(,)d x y z A x B y =∆+∆． （4）2．可微性条件定理2（可微的必要条件） 若(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微，则 （1）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续；（2）(,)f x y 在点00(,)x y 处的偏导数存在，且00(,)x A f x y =，00(,)y B f x y =．证（1） 设(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微，根据可微的定义有0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+，当(,)(0,0)x y ∆∆→时，有0ρ=，于是()0o ρ→，从而有0000(,)(0,0)(,)(0,0)lim lim(,)(,)x y x y z f x x y y f x y ∆∆→∆∆→∆=+∆+∆- (,)(0,0)lim()0x y A x B y o ρ∆∆→=∆+∆+=，所以(,)f x y 在点00(,)x y 处连续．（2）因为(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微，则有0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+，上式对任意的x ∆，y ∆都成立，特别地，当0y ∆=时，x ρ=∆，则有0000(,)(,)()f x x y f x y A x o x +∆-=∆+∆，等式两边同除以x ∆，再令0x ∆→，得000000()(,)(,)limlim x x A x o x f x x y f x y A x x∆→∆→∆+∆+∆-==∆∆， 即(,)f x y 在点00(,)x y 处对x 的偏导数存在，且00(,)x f x y A =．同理可证(,)f x y 在点00(,)x y 处对y 的偏导数也存在，且00(,)y f x y B =．证毕．根据此定理，(,)z f x y =在点00(,)x y 处的全微分可以写成0000(,)d (,)(,)x y x y z f x y x f x y y =∆+∆．与一元函数的情形一样，由于自变量的增量等于自变量的微分，即d x x ∆=，d y y ∆=，所以(,)z f x y =在点00(,)x y 处的全微分又可以写成0000(,)d (,)d (,)d x y x y z f x y x f x y y =+． （5）如果函数(,)z f x y =在区域D 上每一点都可微，则称函数在区域D 上可微，且(,)z f x y =在D 上全微分为d d d z zz x y x y∂∂=+∂∂． （6） 在一元函数中，函数在某点可导与可微是等价的，但对于多元函数来说，情形就不同了，函数的偏导数存在，不一定能保证函数可微．当偏导数存在时虽然在形式上能写出0000(,)(,)x y f x y x f x y y ∆+∆，但它与z ∆的差不一定是当0ρ→时较ρ高阶的无穷小量，62只有当0000[(,)(,)]()x y z f x y x f x y y o ρ∆-∆+∆=时，即00000[(,)(,)]limx y z f x y x f x y y ρρ→∆-∆+∆=时，才能说函数在该点可微．例如本节例5中所讨论的函数22()(00)() 0 ()(00)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，，，，，，，，，在点(0,0)处有(0,0)0x f =，(0,0)0y f =，所以3222[(0,0)(0,0)](0,0)(0,0)[(0,0)(0,0)][()()]x y z f x f y f x y f f x f y x y x y ρ∆-∆+∆+∆+∆--∆+∆=∆∆=∆+∆，如果考虑点(,)x y ∆∆按照y x ∆=∆的方式趋向于点(0,0)，这时有233(,)(0,0)022322()limlim[()()]2()x y x y xx y x x y x ∆∆→∆→∆=∆∆∆∆==∞∆+∆∆，即0[(0,0)(0,0)]limx y z f x f y ρρ→∆-∆+∆不存在，则由可微性定义有(,)f x y 在点(0,0)处不可微．当然由本节例5可知，函数(,)f x y 在点(0,0)处不连续，由定理2知不连续则不可微，因此(,)f x y 在点(0,0)处的不可微．此例题说明偏导数存在只是可微的必要条件而不是充分条件．但是如果将可偏导的条件加强为偏导数连续，则函数就可微了．定理3（可微的充分条件） 若函数(,)z f x y =的偏导数在点00(,)x y 的某邻域内存 在，且(,)x f x y 与(,)y f x y 在点00(,)x y 处连续，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可微．证 函数(,)f x y 的全增量z ∆可以表示为000000000000(,)(,)[(,)(,)][(,)(,)],z f x x y y f x y f x x y y f x y y f x y y f x y ∆=+∆+∆-=+∆+∆-+∆++∆-63在第一个方括号中，变量0y y +∆保持不变，因此可以把方括号中的表达式看作是关于x 的一元函数0(,)f x y y +∆的增量；在第二个方括号中，变量0x 保持不变，因此可以把方括号中的表达式看作是关于y 的一元函数0(,)f x y 的增量．对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理得010002(,)(,)x y z f x x y y x f x y y y θθ∆=+∆+∆∆++∆∆，（10θ<，21θ<）． 由于(,)x f x y 与(,)y f x y 在点00(,)x y 处连续，因此有01000(,)(0,0)lim(,)(,)x x x y f x x y y f x y θ∆∆→+∆+∆=， 00200(,)(0,0)lim(,)(,)y y x y f x y y f x y θ∆∆→+∆=，即 01000(,)(,)x x f x x y y f x y θα+∆+∆=+，00200(,)(,)y y f x y y f x y θβ+∆=+，其中当0x ∆→，0y ∆→时，0α→，0β→．从而0000(,)(,)x y z f x y x f x y y x y αβ∆=∆+∆+∆+∆．而20)x y αβρ∆+∆≤0αβ≤+→，(0x ∆→，0)y ∆→所以(,)(0,0)lim0x y x yαβρ∆∆→∆+∆=，又由于0x ∆→，00y ρ∆→⇔→①，所以0lim0x yραβρ→∆+∆=，即当0ρ→时，有()x y o αβρ∆+∆=．①由于,x yx yρ∆∆≤=∆+∆，所以有0x ∆→，00y ρ∆→⇔→．64于是证明了(,)f x y 在点00(,)x y 处可微．证毕．注意偏导数连续只是函数可微的充分条件，不是必要条件．例9 证明22221(sin ()(00)(,) 0 ()(00)x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩)，，，，，，，，在点(0,0)处可微，但在点(0,0)处偏导数不连续．证 20(0,0)(0,0)1(0,0)limlim sin 0()x x x f x f f x x x ∆→∆→+∆-==∆=∆∆， 由于函数关于自变量是对称的，则(0,0)0y f =．于是[(0,0)(0,0)]limx y z f x f y ρρ→∆-∆+∆22220(0,0)(0,0)[(0,0)(0,0)]lim1[()()]sin[()()]lim x y f x y f f x f y x y x y ρρρρ→→+∆+∆--∆+∆=∆+∆∆+∆=221sinlim0ρρρρ→==，所以函数(,)f x y 在点(0,0)处可微．当(,)(0,0)x y ≠时，由22221(,)(sinf x y x y x y =++)有222222121(,)2sincos x x f x y x x y x y x y=-+++， 222222(,)(0,0)(,)(0,0)121lim(,)lim 2sin cos x x y x y x f x y x x y x y x y →→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭， 当点(,)x y 沿x 轴趋于(0,0)时，由于222(,)(0,0)0 011lim 2sinlim2sin 0x y x y x x x y x →→===+，6522222(,)(0,0)0 02121limcos lim cos x y x y x x y x y x x →→==++不存在，所以(,)(0,0)lim (,)x x y f x y →不存在，即(,)x f x y 在点(0,0)处不连续，同理(,)y f x y 在点(0,0)处也不连续．根据前面的讨论，函数(,)f x y 连续，偏导数存在，可微的关系可用下图表示：偏导数连续连续以上关于全微分的定义及可微的必要条件和充分条件可以完全类似地推广到三元及三元以上的函数．例如，若三元函数(,,)u f x y z =的三个偏导数都存在且连续，则它的全微分存在，并有d d d d u u uu x y z x y z∂∂∂=++∂∂∂． 例10 求函数222z x y xy =+在点(1,2)处的全微分．解24z xy y x ∂=+∂，2(1,2)(1,2)(4)12zxy y x ∂=+=∂，222z x xy y ∂=+∂，2(1,2)(1,2)(22)6zx xy y ∂=+=∂，由于z x ∂∂，zy∂∂在点(1,2)处连续，所以函数222z x y xy =+在点(1,2)处可微，且有 (1,2)(1,2)(1,2)d d d 12d 6d z zz x y x y x y ∂∂=+=+∂∂． 例11 求函数2xyzu exy z =++的全微分．解xyz u yze y x ∂=+∂，xyz uxze x y∂=+∂，2xyz u xye z z ∂=+∂ 由于u x ∂∂，u y ∂∂，u z∂∂连续，所以函数2xyz u e xy z =++可微，且有 d ()d ()d (2)d xyz xyz xyz u yze y x xze x y xye z z =+++++．66例12 求函数22z x y =在点(2,1)-处，当0.02x ∆=，0.01y ∆=-时的全微分d z 和全增量z ∆．解22z xy x ∂=∂，2(2,1)(2,1)24z xy x --∂==∂，22z x y y ∂=∂，2(2,1)(2,1)28zx y y --∂==-∂，由于z x ∂∂，zy∂∂在点(2,1)-处连续，所以函数22z x y =在点(2,1)-处可微，且 (2,1)(2,1)(2,1)d 4(0.02)(8)(0.01)0.16z zz x y x y ---∂∂=∆+∆=⨯+-⨯-=∂∂，2222(20.02)(10.01)2(1)0.1624z ∆=+⨯---⨯-=．此例中z ∆与d z 的差仅为0.0024．3．全微分在近似计算中的应用设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微，则它在点00(,)x y 处的全增量为00000000(,)(,)(,)(,)()x y z f x x y y f x y f x y x f x y y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+，其中()o ρ是当0ρ→时较ρ高阶的无穷小量．因此，当x ∆，y ∆都很小时，有近似公 式 0000d (,)(,)x y z z f x y x f x y y ∆≈=∆+∆， 上式有时也写成00000000(,)(,)(,)(,)x y f x x y y f x y f x y x f x y y +∆+∆≈+∆+∆． （7）利用上面的近似公式（7）可以计算函数的近似值． 例13 计算 3.96(1.08)的近似值．解 把 3.96(1.08)看作是函数(,)yf x y x =在 1.08x =， 3.96y =时的函数值(1.08,3.96)f ．取01x =，04y =，0.08x ∆=，0.04y ∆=-．由于1(,)y x f x y yx -=，(1,4)4x f =，(,)ln y y f x y x x =，(1,4)0y f =，67(1,4)1f =，应用近似公式（7）有3.96(1.08)(1,4)(1,4)0.08(1,4)(0.04) 140.080(0.04) 1.32.x y f f f ≈+⨯+⨯-=+⨯+⨯-=例14 金属圆锥体受热变形，底面半径由30cm 增加到30.1cm ，高由60cm 减少到59.5cm ，求圆锥体体积变化的近似值．解 设圆锥体的底面半径、高和体积依次为r 、h 和V ，则圆锥体体积为213V r h π=． 记r 、h 和V 的增量依次为r ∆、h ∆和V ∆．应用近似公式（7）有221d 33V V V V r h rh r r h r h ππ∂∂∆≈=∆+∆=∆+∆∂∂． 将30r =，60h =，0.1r ∆=，0.5h ∆=-代入上式，得圆锥体体积变化的近似值232130600.130(0.5)3330().V cm πππ∆≈⨯⨯⨯+⨯⨯-=- 即圆锥体的体积约减少了330cm π．习题 8-21．求下列函数的偏导数：（1）yz x =； （2）sin x z xe y =； （3）ln()z x x y =+； （4）z =（5）z = （6）ln(z x =+；（7）arctan1x yz xy +=-； （8）zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （9）z yu x =； （10）zyu x =．2．设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x ．683．求曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角． 4．求下列函数的二阶偏导数：（1）44224z x y x y =+-； （2）xyz e =； （3）2sin (2)z x y =+； （4）arctan x z y=． 5．验证： （1）11x y z e⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=满足方程222z z xy z x y∂∂+=∂∂； （2）ln()x yz e e =+满足方程2222220z z z x y x y ⎛⎫∂∂∂⋅-= ⎪∂∂∂∂⎝⎭；（3）r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂；（4）1u r =满足方程2222220u u u x y z∂∂∂++=∂∂∂，其中r =6．设ln()z x xy =，求32z x y ∂∂∂，32zx y∂∂∂． 7．考察函数221sin ()(00)() 0 ()(00)y x y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，，，，，，，，，在点(0,0)处的偏导数是否存在．8．求下列函数的全微分： （1）y z x=； （2）yz x =； （3）xyz xe y =+； （4）222ln()u x y z =++． 9．求下列函数在指定点的全微分：（1）xyz e =，在点(2,1)处； （2）arctanyz x=，在点(1,1)处．6910．求函数z xy =，当10x =，8y =，0.2x ∆=，0.1y ∆=-时的全增量和全微分．11．证明函数222(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)x yx y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩， ， 在点(0,0)处连续，且偏导数存在，但在点(0,0)处不可微．12．求下列各式的近似值：（1） 1.98(1.03)； （2．13．金属圆柱体受热变形，半径由20cm 增加到20.02cm ，高由30cm 增长到30.03cm ，求圆柱体体积变化的近似值．§3 多元函数微分法一、复合函数微分法1．复合函数微分法在一元函数中，我们介绍了复合函数的求导法则：如果函数()u x ϕ=在点x 处可导 而()y f u =在对应点u (())u x ϕ=处可导，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处可导，且有d d d ()()d d d y y u f u x x u xϕ''=⋅=⋅． 现在将这一微分法则推广到多元复合函数的情形，并按照多元复合函数的不同的复合情形，分三种情况讨论．（1）复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 设函数()u t ϕ=，()v t ψ=在点t 处可导，函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 处可微，则复合函数[(),()]z f t t ϕψ=在点t 处可导，并且有d d d d d d z z u z v t u t v t∂∂=+∂∂． （1） 证 给t 以增量t ∆，相应地()()u t v t ϕψ==，有增量u ∆和v ∆，从而函数(,)z f u v = 有增量z ∆．因为函数(,)z f u v =在点(,)u v 可微，故有()z z z u v o u vρ∂∂∆=∆+∆+∂∂，其中ρ=()o ρ是当0ρ→时较ρ高阶的无穷小量．上式两端同时除以t ∆，得()z z u z v o t u t v t tρ∆∂∆∂∆=++∆∂∆∂∆∆，。
多元函数微分法和应用期末复习试题高等数学（下册）（上海电机学院）
多元函数微分法和应⽤期末复习试题⾼等数学（下册）（上海电机学院）第⼋章偏导数与全微分⼀、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =??=则=??=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极⼤值B. 在点(-1, 3)处取极⼩值C. 在点(3, -1)处取极⼤值D. 在点(3, -1)处取极⼩值3.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分⽽⾮必要条件B.必要⽽⾮充分条件C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)⽅向的导数=??lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极⼤值B. 在点(1, 1)处取极⼩值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼤值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极⼩值 6.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分⽽⾮必要条件 B.必要⽽⾮充分条件 C.充分必要条件D.既⾮充分也⾮必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极⼤值 B. 在点(2, 5)处取极⼩值C.在点(5, 2)处取极⼤值D. 在点(5, 2)处取极⼩值9.⼆元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要⽽⾮充分条件 B. 充分⽽⾮必要条件 C.充分必要条件 D.既⾮充分也⾮必要条件10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平⾯x+2y+z=4平⾏的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使⼆元函数(,)x yf x y x y+=-沿某⼀特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满⾜222zy=，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使⼆元函数222(,)xy f x y x y=+在全平⾯连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数2 2(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y+= C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BC.x18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x= A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ??-= B. 220z zx y y x ??-> C.220z zx y y x-0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =??=?+≠??，则极限00lim (,)x y f x y →→（ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极⼤值 (B) 有极⼩值 (C) 不是驻点 (D) ⽆极值 22.⼆元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，⽽r =，()f r 具有⼆阶连续导数，则222222u u ux y z++=（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要⽽⾮充分条件 (B) 充分⽽⾮必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既⾮充分⼜⾮必要条件 25．函数221z x y =--的极⼤值点是（ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A) 14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x y x y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个⼀阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ??=+ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=??===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ）（A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =??； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ??=??+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()==?x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ?-?+?+→?00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ?-?+→?00000,,lim （D ）()x y x x f x ??+→?000,lim37. 设由⽅程0=-xyz e z确定的隐函数()==x zy x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. ⼆次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。
高等数学下册第7章多元函数微分法及其应用 (7)
故当 y y0， x x0时，有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
5
说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值,
必有
f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) 0.
从几何上看，这时如果曲面 z f ( x, y) 在点
21
例6
求椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 的内接长方体,
使长方体的体积为最大.
解 设长方体与椭球面在第一卦限内的接点坐标为
(x, y, z),则内接长方体的体积为8x构yz造, 函数
F
( x,
y,
z)
8 xyz
(
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1),
得方程组
8
yz
2x a2
0,
8 xz
2y b2
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
8
例1 求函数f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x的极值.
解 先解方程组
f x ( x, y) 3x2 6x 9 0,
x y 1 3，z 2 3 和 2
x y 1 3，z 2 3 2
dmax 9 5 3, dmin 9 5 3.
25
例8. 求函数f(x, y)=xy在闭区域x2 y2 1上的
最大值与最小值
解 由fx(x, y)=y=0, fy(x, y)得=x到=0函, 数在区域内 的唯一驻点为(0,0),且 f(0,0)下=0面.考虑函数在区域 的边界x2+ y2=1上的最大值与最小值.设
高等数学(下册)第9章第5节方向导数与梯度
x P0
y P0
z P0
f cos f cos f cos o() .
x P0
y P0
z P0
一、方向导数
所以
f lim f (P) f (P0 ) f cos f cos f cos .
l 0 P0
x P0
y P0
z P0
注 对于二元函数f (x, y)，由于 π ，所以相应于(1)式的结果是
二、梯度
例 9.30 求函数u x2 2 y2 3z2 3x 2 y在点(1,1, 2)处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？
解 由梯度计算公式得
gradu(x, y, z) u i u j u k = (2x 3)i (4 y 2) j 6zk， x y z
故gradu(1,1,
cos 1 ，cos 1 .因为
2
2
z e2 y 1；z 2xe2 y 2，
x (1,0)
(1,0)
y
(1,0)
(1,0)
故所求方向导数为
z 1 l (1,0)
1 221 2Fra bibliotek2. 2
一、方向导数
例 9.28 设n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量，求函数
2)
5i
2
j
12k.易知在点P0
(
3 2
,
1 2
,
0)处梯度为零.
高等数学（下册）
学海无涯，祝你成功！
u
1
(6x2
1
8y2)2
在此处沿方向n 的方向导数.
z
解 令F (x, y, z) 2x2 3y2 z2 6，因为
Fx P 4x P 4，Fy P 6 y P 6，Fz P 2z P 2，
《高等数学教学课件》9.1多元函数微分学法及其应用
在社会科学中的应用（如人口动态学、市场均衡分析等）
在工程科学中的应用（如机器人控制、信号处理等）
总结词：优化和控制
感谢观看
THANKS
全微分的定义
线性性质、可加性、全微分与偏导数的关系、全微分与方向导数的关系。
全微分的性质
全微分的定义与性质
03
梯度的性质
梯度与方向导数的关系、梯度的几何意义。
01
方向导数的定义
在某一方向上函数值的变化率。
02
梯度的定义
方向导数在各个方向上的最大值，表示函数值变化最快的方向。
方向导数与梯度
04
多元函数的极值
在物理科学中的应用（如流体动力学、热传导等）
总结词：揭示内在机制 总结词：预测和政策制定 总结词：复杂系统分析 详细描述：在人口动态学和市场均衡分析等社会科学领域，多元函数微分学也具有广泛的应用。通过建立微分方程模型，我们可以揭示人口动态变化和市场供需关系的内在机制，预测未来的发展趋势。此外，这些模型还可以为政策制定提供依据，帮助政府和企业制定有效的政策和措施。在复杂系统分析中，多元函数微分学也为我们提供了理解和预测系统动态行为的有力工具。
极值点处的函数一阶导数必须为零
如果一个多元函数在某点的所有偏导数都为零，并且该点的二阶导数矩阵正定，那么该点就是函数的极值点。
费马定理是判断多元函数极值点的充分条件，但在实际应用中，需要结合其他条件进行判断，例如函数的单调性、凹凸性等。
极值的充分条件（费马定理）
费马定理的应用
费马定理
最大值与最小值的定义
多元函数的表示方法
可以用数学符号表示，如$z = f(x, y)$，其中$x$和$y$是自变量，$z$是因变量。
多元函数的定义域
高等数学第9章多元函数微分学及其应用(全)
f ( x, y ) A 或 f x, y A( x x0，y y0 ).
31
二、二元函数的极限
定义 9.3
设二元函数z f ( P) f ( x, y ) 的定义域为D ，P0 ( x0 , y0 )
是D 的一个聚点，A 为常数．若对任给的正数 ，总存在 0 ，当
0 当 P( x, y) D 且 0 P0 P ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 总有
f ( P) A , 则称A为 P P0 时的(二重)极限.
4
01
极限与连续
注意 只有当 P 以任何方式趋近于 P0 相应的 f ( P )
都趋近于同一常数A时才称A为 f ( P ) P P0 时的极限
P为E 的内点，如图9.2所示.
②边界点：如果在点P的任何邻域内，既有属于E 的点，也有不
属于E的点，则称点P 为E 的边界点．E 的边界点的集合称为E 的边
界，如图9.3所示．
P
E
图 9.2
P
E
图 9.3
16
一、多元函数的概念
③开集：如果点集E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集.
④连通集：设E 是平面点集，如果对于E 中的任何两点，都可用
高等数学（下册）（慕课版）
第九章 多元函数微分学及其应用
导学
主讲教师 | 张天德 教授
第九章
多元函数微分学及其应用
在自然科学、工程技术和社会生活中很多实际问题的解决需要引进多元
函数. 本章将在一元函数微分学的基础上讨论多元函数微分学及其应用.
本章主要内容包括：
多元函数的基本概念
偏导数与全微分
多元复合函数和隐函数求偏导
《高等数学》-各章知识点总结——第9章
《高等数学》-各章知识点总结——第9章第9章 多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。
3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三维空间。
nR 为n元数组),,,(21nx x x 的全体，称为n 维空间。
n维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y 间的距离：2221122||()()()n n PQ y x y x y x =-+-++-邻域:设0P 是nR 的一个点，δ是某一正数，与点0P距离小于δ的点P 的全体称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即00(,){R|||}nU P P PP δδ=∈<空心邻域: 0P 的δ邻域去掉中心点0P 就成为0P 的δ空心邻域,记为0(,)U P δ=0{0||}PPP δ<<。
内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，nP ∈R 是一个点。
如果存在点P 的某个邻域),(δP U ，使得EP U ⊂),(δ，则称点P 为集合E 的内点。
如果点P 的任何邻域内都既有属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点,E 的边界点的全体称为E的边界．聚点：设E 为n 维空间中的点集，nP ∈R 是一个点。
如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。
开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。
设点集nE ⊆R , 如果E 的补集nE-R是开集，则称E 为闭集。
区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0>M ，使得(,)E U O M ⊆，即E 中所有点到原点的距离都不超过M，则称点集E 为有界集，否则称为无界集．如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域． 有界闭区域的直径：设D 是nR 中的有界闭区域，则称1212,()max{||}P P Dd D PP ∈=为D 的直径。
多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
第八章 偏导数与全微分一、选择题1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x xuxy =∂∂=则=∂∂=2x y y u [A ] A. 21-B. 21C. -1D. 12.函数62622++-+=y x y x z [ D ]A. 在点(-1, 3)处取极大值B. 在点(-1, 3)处取极小值C. 在点(3, -1)处取极大值D. 在点(3, -1)处取极小值3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ]A. 充分而非必要条件B.必要而非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件4. 设u=2x +22y +32z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数=∂∂lu[ D ] A.635 B.635- C.335 D. 335- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ]A. 在点(0, 0)处取极大值B. 在点(1, 1)处取极小值C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dxdy= [ B ] A. y cos 1ε+ B.y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. ycos 11ε+8. 函数yx xy z 2050++= （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值C.在点(5, 2)处取极大值D. 在点(5, 2)处取极小值9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 10. 曲线x=t, y=2t -, z=3t 所有切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有 [ B ] A. 1 条 B.2条 C. 3条 D.不存在 11．设22(,)xy f x y y x =-，则(,)x yf y x= B A. 42xyy x - B. 2244x y y x - C. 2244x y y x +- D. 2244y x y x --12．为使二元函数(,)x yf x y x y+=-沿某一特殊路径趋向(0,0)的极限为2，这条路线应选择为 B A.4x y = B. 3x y = C. 2x y = D. 23x y = 13．设函数(,)z f x y =满足222zy∂=∂，且(,1)2f x x =+，(,1)1y f x x '=+，则(,)f x y =BA.2(1)2y x y +++ B. 2(1)2y x y +-+ C. 2(1)2y x y +-- D. 2(1)2y x y ++- 14．设(,)32f x y x y =+，则(,(,))f xy f x y = CA.344xy x y ++B. 2xy x y ++C. 364xy x y ++D. 346xy x y ++15．为使二元函数222(,)xy f x y x y=+在全平面连续，则它在(0,0)处应被补充定义为 B A.-1 B.0 C.1 D. 16．已知函数22(,)f x y x y x y +-=-，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂ C A.22x y - B. 22x y + C. x y + D. x y -17．若()yf x=(0)x >，则()f x =BB. C.xD.18．若xz y =，则在点 D 处有z z y x∂∂=∂∂ A.(0,1) B.(,1)e C.(1,)e D. (,)e e19．设2y z x =，则下列结论正确的是 AA.220z z x y y x ∂∂-=∂∂∂∂ B. 220z zx y y x ∂∂->∂∂∂∂ C.220z zx y y x∂∂-<∂∂∂∂ D.两者大小无法确定 20.函数0,0(,)11sin sin ,0xy f x y x y xy y x =⎧⎪=⎨+≠⎪⎩，则极限00lim (,)x y f x y →→ （ C ）. (A) 等于1 (B) 等于2 (C) 等于0 (D) 不存在 21.函数z xy =在点(0,0) ( D ).(A) 有极大值 (B) 有极小值 (C) 不是驻点 (D) 无极值 22.二元函数z =在原点(0,0)处（ A ）.(A) 连续，但偏导不存在 (B) 可微(C) 偏导存在，但不连续 (D) 偏导存在，但不可微23．设()u f r =，而r =()f r 具有二阶连续导数，则222222u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂（ B ）.(A) 1''()'()f r f r r +(B) 2''()'()f r f r r+ (C) 211''()'()f r f r r r + (D) 212''()'()f r f r r r+24．函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处连续是它在该点偏导存在的（ D ）. (A) 必要而非充分条件 (B) 充分而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件 25．函数221z x y =--的极大值点是 （ D ）.(A) (1,1) (B) (1,0) (C) (0,1) (D) (0,0)26．设(,)f x y =(2,1)x f '=（B ）.(A)14 (B) 14- (C) 12 (D) 12-27．极限24200lim x y x yx y →→+（ B ）.(A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于12 (D) 存在且不等于0及1228．(,)z f x y =若在点000(,)P x y 处的两个一阶偏导数存在，则（B ）. (A) (,)f x y 在点0P 连续 (B) 0(,)z f x y =在点0x 连续 (C) 00||P P z zdz dx dy x y ∂∂=⋅+⋅∂∂ (D) A,B,C 都不对 29. 设函数y x z =，则z d =（ A ）． (A)．y x x x yxy y d ln d 1+- (B)．y x x yx y y d d 1+-(C)．y x x x x yy d ln d + (D)．y y x x yxy y d ln d 1+-30. 已知=∂∂===y zxy v y x u v u z 则 ,,,ln 2（ C ）（A ）y x xy y x 3232ln 2+ （B ）y xxy y x 3232ln 2-（C ）y x xy y x 3232ln 2+- （D ）y x xy y x 22ln 2+31．函数z=22y x 1--的定义域是（ D ） （A.） D={(x,y)|x 2+y 2=1}（B.）D={(x,y)|x 2+y 2≥1}（C.） D={(x,y)|x 2+y 2<1}（D.）D={(x,y)|x 2+y 2≤1}32．设22),(yx xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-33．设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）；)A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos xy -； )D ( e sin xy -34．已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f ∂∂=∂∂+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．35. 设y xy x z 2232-+=，则=∂∂∂y x z（ B ）（A ）6 （B ）3 （C ）-2 （D ）2.36.设()=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛x zy x y x f z 00, ,,则（ B ）（A ）()()x y x f y y x x f x ∆-∆+∆+→∆00000,,lim（B ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆0000,,lim（C ）()()x y x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim（D ）()x y x x f x ∆∆+→∆000,lim37. 设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x z y x f z 则,,（ B ）（A ）z z+1 （B ）()1-z x z （C ）()z x y +1 （D ）()z x y -138. 二次函数 11)4ln(2222-++--=y x y x z 的定义域是（ D ）A. 1 ＜ 22y x + ≤ 4；B. –1 ≤ 22y x + ＜ 4； C. –1 ≤ 22y x + ≤ 4； D. 1 ＜ 22y x + ＜ 4。
高等数学第八章 多元函数微分法及其应用
其中是曲面在M的法向量
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
2、曲面方程：z=f(x，y)
它在点M( x0 , y0 , z0 )的切平面方程
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
第五节 隐函数的求导公式
存在定理1：设函数F(x，y)在点 P( x0 , y0 ) 的某一邻
域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0，
则方程F(x，y)=0在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能确定
一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足
性质:(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函 数，若在D上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 ：设函数z=f(x，y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有定
义有存，增在当量，则yf固(称x定0此在极xy限,0而y0为x) 在函xf数(0处xz0=,有yf(0增x)，，量如y)果在x 时点lxi，m(0x相f0,(y应x00)处地x对函x,x数y的0 )
,
y
|x x0 , z y y y0
|x x0 y y0
或f y ( x0 ,
y0 )
类似导数，函数z=f(x，y)对自变量x的偏导函数为
z x
,
f x
,
z
x或f
x
(
x,
高等数学(第七版·下册) 同济大学知识点
高等数学（第七版·下册）同济大学知识点一、多元函数微分学多元函数微分学是高等数学中的一个重要分支，研究的是多元函数的导数、微分以及应用。
在本章中主要介绍了以下几个知识点：1. 偏导数与全微分•偏导数：多元函数的偏导数是指函数在某一点上某个自变量的变化率。
•全微分：多元函数的全微分是在某一点上，函数值关于自变量的微小变化量。
2. 高阶偏导数与多元函数的泰勒展开式•高阶偏导数：多元函数的高阶偏导数是指对多个自变量进行重复求导的结果。
•多元函数的泰勒展开式：用多项式逐次逼近函数的方法，可以近似表示函数在某一点附近的取值。
3. 隐函数与参数方程的求导•隐函数求导：对于由方程定义的函数，可以通过偏导数求导的方法来求解其导数。
•参数方程求导：对于由参数方程定义的函数，可以通过链式法则将参数的导数转化为函数关于参数的导数。
4. 方向导数与梯度•方向导数：多元函数在某一点沿着给定方向的变化率。
•梯度：多元函数的梯度是一个向量，它的方向指向函数值增加最快的方向，模表示变化率最大的值。
5. 多元函数的极值与条件极值•多元函数的极值：函数取得的最大值或最小值。
•条件极值：在满足一定条件下，函数取得的最大值或最小值。
6. 格林公式与高斯公式•格林公式：二维平面上的曲线积分与这个曲线所围成的区域上的面积分之间的关系。
•高斯公式：三维空间中，某个闭合曲面上的散度与这个曲面所围成的空间区域内的体积分之间的关系。
二、多元函数积分学多元函数积分学是研究多元函数的积分以及应用的学科。
本章介绍了以下几个知识点：1. 二重积分•二重积分的概念：二重积分是将二元函数沿着某一平面区域上的小面积元素进行累加得到的量。
•二重积分的性质：二重积分具有线性性、可加性、保号性等性质。
2. 二重积分的计算方法•基本的计算方法：可以通过把二重积分化为累次积分的形式进行计算。
•坐标变换法：通过变换坐标系，使得被积函数的形式更简单，从而更容易计算。
第六章多元函数微分学及其应用
第六章 多元函数微分学及其应用主要考点：必考内容. 计算容易得分.难点：（1）涉及概念或结合应用的问题.（2）抽象函数的相关的计算（3）二元函数的泰勒公式（从未考过）概念：①多元函数微分学的基本概念及其联系．计算：②常见函数的偏导数、全微分等概念与计算（包括利用定义）．体会复合函数球偏导数的方法；理解一阶微分形式不变性．③抽象复合函数的偏导数、全微分的计算④隐函数的偏导数、全微分的概念与计算．．⑤变量替换下方程的变形．⑥方向导数与梯度（只对数一）．应用：⑦几何应用（求曲面的切平面和法线，空间曲线的切线和法平面）（只对数一）．⑧多元函数的极最值．常见题型：选择题、填空题、计算题.知识网络图一 多元函数微分学的基本概念及其联系几个概念之间的关系： ⇑⇐⇒⇓连续偏导数方向连续偏导数可微分方向导数存在注意：关注几个典型的例子!!!【例】（97）二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x yx xyy x f 在点（0，0）处 （ ） P87（A ）连续，偏导数存在， （B ）连续，偏导数不存在，（C ）不连续，偏导数存在， （D ）不连续，偏导数不存在。
【例】（02）考虑二元函数的下面4条性质： P87（1）在点处连续； （2）在点处的两个偏导数连续； ),(y x f ),(00y x ),(y x f ),(00y x （3）在点处可微； （4）在点处的两个偏导数存在。
),(y x f ),(00y x ),(y x f ),(00y x 【例】(07)二元函数(,)f x y 在点（0，0）处可微的一个充分条件是 （ ） P153（A ）()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →−=⎡⎤⎣⎦（B ） ()(),00,0lim0x f x f x →−=，且()()00,0,0lim0y f y f y →−= （C ）()(,0,0,00,0lim 0x y f x f →−=（D ） 且()0lim ',0'(0,0)0,x x x f x f →−=⎡⎤⎣⎦()0lim ',0'(0,0)0,y y y f x f →⎡⎤−=⎣⎦ 二常见函数的偏导数、全微分等概念与计算1．利用定义【例】(08) 已知(,)f x y =，则 P153（A ），都存在 （B ）不存在，存在 (0,0)x f ′(0,0)y f ′(0,0)x f ′(0,0)y f ′（C ）不存在，不存在 （D ），都不存在 (0,0)x f ′(0,0)y f ′(0,0)x f ′(0,0)y f ′【例】32)sin(1)1(x xy x y z ++−=，求)1,2(x z ′。
多元函数微分法及其应用教案
第九章多元函数微分法及其应用教案(总43页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第九章多元函数微分法及其应用【教学目标与要求】1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。
2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。
3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。
5、掌握多元复合函数偏导数的求法。
6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。
7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。
8、了解二元函数的二阶泰勒公式。
9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
【教学重点】1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算；4、多元复合函数偏导数；5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法；6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；【教学难点】1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。
【教学课时分配】 (18学时)第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课【参考书】[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社23§91 多元函数的基本概念一、平面点集n 维空间1．区域由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后 平面上的点P 与有序二元实数组(x y )之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组(x y )与平面上的点P 视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面二元的序实数组(x y )的全体 即R 2R R {(x y )|x y R }就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合 称为平面点集 记作 E {(x y )| (x y )具有性质P }例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C {(x y )| x 2y 2r 2}如果我们以点P 表示(x y ) 以|OP |表示点P 到原点O 的距离 那么集合C 可表成C {P | |OP |r } 邻域设P 0(x 0 y 0)是xOy 平面上的一个点 是某一正数 与点P 0(x 0 y 0)距离小于的点P (x y )的全体 称为点P 0的邻域 记为U (P 0 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x PU邻域的几何意义 U (P 0 )表示xOy 平面上以点P 0(x 0 y 0)为中心、>0为半径的圆的内部的点P (x y )的全体 点P 0的去心邻域记作),(0δP U即}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U注如果不需要强调邻域的半径则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域 点P 0的去心邻域记作)(0P U点与点集之间的关系任意一点P R 2与任意一个点集E R 2之间必有以下三种关系中的一种(1)内点 如果存在点P 的某一邻域U (P ) 使得U (P )E 则称P 为E 的内点 (2)外点 如果存在点P 的某个邻域U (P ) 使得U (P )E 则称P 为E 的外点(3)边界点 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点 也有不属于E 的点 则称P 点为E 的边点E 的边界点的全体 称为E 的边界 记作E4E 的内点必属于E E 的外点必定不属于E 而E 的边界点可能属于E 也可能不属于E 聚点如果对于任意给定的0 点P 的去心邻域),( P U内总有E 中的点则称P 是E 的聚点由聚点的定义可知 点集E 的聚点P 本身 可以属于E 也可能不属于E 例如 设平面点集E {(x y )|1x 2y 22}满足1x 2y 22的一切点(x y )都是E 的内点 满足x 2y 21的一切点(x y )都是E 的边界点 它们都不属于E 满足x 2y 22的一切点(x y )也是E 的边界点 它们都属于E 点集E 以及它的界边E 上的一切点都是E 的聚点 开集 如果点集E 的点都是内点 则称E 为开集 闭集 如果点集的余集E c 为开集 则称E 为闭集 开集的例子 E {(x y )|1<x 2y 2<2} 闭集的例子 E {(x y )|1x 2y 22}集合{(x y )|1x 2y 22}既非开集 也非闭集连通性 如果点集E 内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称E 为连通集区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 例如E {(x y )|1x 2y 22}闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如E {(x y )|1x 2y 22}有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得 E U (O r )其中O 是坐标原点 则称E 为有界点集无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集例如 集合{(x y )|1x 2y 22}是有界闭区域 集合{(x y )| x y 1}是无界开区域集合{(x y )| x y 1}是无界闭区域 2 n 维空间设n 为取定的一个自然数 我们用R n 表示n 元有序数组(x 1 x 2 x n )的全体所构成的集合 即 R n R R R {(x 1 x 2 x n )| x i R i 1 2n }R n 中的元素(x 1 x 2 x n )有时也用单个字母x 来表示 即x (x 1 x 2 x n ) 当所有的x i (i 1 2 n )都为零时 称这样的元素为R n 中的零元 记为0或O 在解析几何中 通过直角坐标 R 2(或R 3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应 因而R n 中的元素x (x 1 x 25x n )也称为R n 中的一个点或一个n 维向量 x i 称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量 特别地 R n 中的零元0称为R n 中的坐标原点或n 维零向量二多元函数概念例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系 V r 2h这里 当r 、h 在集合{(r h ) | r >0 h >0}内取定一对值(r h )时 V 对应的值就随之确定例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系 VRT p =其中R 为常数 这里 当V 、T 在集合{(V T ) | V >0 T >0}内取定一对值(V T )时 p 的对应值就随之确定定义1 设D 是R 2的一个非空子集 称映射f D R 为定义在D 上的二元函数 通常记为z f (x y ) (x y )D (或z f (P ) P D )其中点集D 称为该函数的定义域 x y 称为自变量 z 称为因变量上述定义中 与自变量x 、y 的一对值(x y )相对应的因变量z 的值 也称为f 在点(x y )处的函数值 记作f (x y ) 即z f (x y ) 值域 f (D ){z | z f (x y ) (x y )D }函数的其它符号 z z (x y ) z g (x y )等类似地可定义三元函数u f (x y z ) (x y z )D 以及三元以上的函数 一般地 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D 映射f D R 就称为定义在D 上的n 元函数 通常记为u f (x 1 x 2 x n ) (x 1 x 2 x n )D 或简记为u f (x ) x (x 1 x 2 x n )D 也可记为u f (P ) P (x 1 x 2 x n )D关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数u f (x )时 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如函数z ln(x y )的定义域为{(x y )|x y >0}(无界开区域)函数z arcsin(x 2y 2)的定义域为{(x y )|x 2y 21}(有界闭区域)二元函数的图形 点集{(x y z )|z f (x y ) (x y )D }称为二元函数z f (x y )的图形 二元函数的图形是一张曲面6三 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似 如果在P (x y )P 0(x 0 y 0)的过程中 对应的函数值f (x y )无限接近于一个确定的常数A 则称A 是函数f (x y )当(x y )(x 0 y 0)时的极限定义2 ：设二元函数f (P )f (x y )的定义域为D P 0(x 0 y 0)是D 的聚点 如果存在常数A对于任意给定的正数总存在正数使得当),(),(0δP U D y x P⋂∈时都有|f (P )A ||f (x y )A |成立 则称常数A 为函数f (x y )当(x y )(x 0 y 0)时的极限记为Ay x f y x y x =→),(lim ),(),(00 或f (x y )A ((x y )(x 0y 0))也记作 A P f P P =→)(lim 0或f (P )A (P P 0)上述定义的极限也称为二重极限例4. 设22221sin )(),(yx y x y x f ++= 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x证 因为2222222222 |1sin ||| |01sin )(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-可见 >0 取εδ= 则当δ<-+-<22)0()0(0y x 即),(),(δO U D y x P⋂∈时总有|f (x y )0|因此 0),(lim )0,0(),(=→y x f y x必须注意(1)二重极限存在 是指P 以任何方式趋于P 0时 函数都无限接近于A(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(00)有无极限 提示 当点P (x y )沿x 轴趋于点(00)时70lim )0 ,(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f当点P (x y )沿y 轴趋于点(0 0)时0lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f当点P (x y )沿直线y kx 有22222022 )0,0(),(1limlimk k x k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→因此 函数f (x y )在(0 0)处无极限极限概念的推广 多元函数的极限多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似例5 求x xy y x )sin(lim )2,0(),(→解y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim →→⋅=122四多元函数的连续性定义3 设二元函数f (P )f (x y )的定义域为DP 0(x 0 y 0)为D 的聚点 且P 0D如果),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→则称函数f (x y )在点P 0(x 0 y 0)连续如果函数f (x y )在D 的每一点都连续 那么就称函数f (x y )在D 上连续 或者称f (x y )是D 上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去 例6设f (x ,y )sin x 证明f (x y )是R 2上的连续函数 证 设P 0(x 0 y 0) R 2 0 由于sin x 在x 0处连续 故0 当|x x 0|时 有 |sin x sin x 0|以上述作P 0的邻域U (P 0 ) 则当P (x y )U (P 0 )时 显然 |f (x y )f (x 0 y 0)||sin x sin x 0|即f (x y )sin x 在点P 0(x 0 y 0) 连续 由P 0的任意性知 sin x 作为x y 的二元函数在R 2上连续类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的8定义4设函数f (x y )的定义域为D P 0(x 0 y 0)是D 的聚点 如果函数f (x y )在点P 0(x 0 y 0)不连续 则称P 0(x 0 y 0)为函数f (x y )的间断点 例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f其定义域D R 2 O (0 0)是D 的聚点 f (x y )当(x y )(0 0)时的极限不存在所以点O (0 0)是该函数的一个间断点 又如 函数11sin 22-+=y x z 其定义域为D {(x y )|x 2y 21} 圆周C {(xy )|x 2y 21}上的点都是D 的聚点 而f (x y )在C 上没有定义 当然f (x y )在C 上各点都不连续 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点 注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的例如2221y y x x +-+ sin(x y ) 222z y xe ++都是多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域例7 求xyyx y x +→)2,1(),(lim一般地求)(lim 0P f P P →时如果f (P )是初等函数且P 0是f (P )的定义域的内点则f (P )在点P 0处连续 于是 )()(lim 00P f P f P P =→例8 求xyxy y x 11lim)0 ,0(),(-+→五、多元连续函数的性质性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数 必定在D 上有界 且能取得它的最大值和最小值9性质1就是说 若f (P )在有界闭区域D 上连续 则必定存在常数M 0 使得对一切P D 有|f (P )|M 且存在P 1、P 2D 使得 f (P 1)max{f (P )|P D } f (P 2)min{f (P )|P D }性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值小结1. 区域的概念；2. 多元函数的定义；3. 多元函数的极限及其求解；4. 多元函数的连续性。
《高等数学》 第八章(下)多元函数微积分简介
x2
y2
xdy x2
ydx
x2
y
y2
dx
x2
x
2．全微分在近似计算中的应用
设函数 z f (x ，y) 在点 P0(x0 ，y0 ) 可微，则函数在点 P0(x0 ，y0 ) 的全增量为 z f (x0 x ，y0 y) f (x0 ，y0 ) fx(x0 ，y0 )x f y(x0 ，y0 )y () ，
1
y x2
y2
，
所以 全微分为
z 1 ，z 1 ． x (1，1) 3 y (1，1) 3 dz z x z y 1 x 1 y ．
x y 3 3
第二节 多元函数微分学
例 16 求 z arctan y 的全微分． x
解
dz
d arctan
y x
1
1 y x
2
d
y x
x2
x y dz z x z y ．
x y 在一元函数里，可微和可导是等价的，定理 1 告诉我们，二元函数可微一定 存在偏导数，反过来，是否成立呢？也就是就，若二元函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 处存在偏导数，那么二元函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 是否可微呢？回 答是否定的．
第二节 多元函数微分学
定理 4 （充分性）若函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 邻域内存在关于 x ， y 的两 个偏导数 z ，z ，且它们在该点连续，则函数 z f (x ，y) 在点 P(x ，y) 处可微．
x y 此定理说明，只有当二元函数的两个偏导数在该点连续，才能保证其可微． 习惯上，把自变量的改变量 x ， y 分别记作 dx ，dy ，并称为自变量的微分， 所以二元函数的全微分可以表示为 dz fxdx f ydy ． 类似地，二元函数的微分及性质可以推广到三元以及三元以上的函数．
高等数学 第八章 多元函数微分法及其应用 第五节 隐函数的求导法则
事实上,这个函数就是 y = 1 x 2 , ( 1 < x < 1)
函数的一阶和二阶导数为
dy Fx x dy = = , = 0, dx Fy y dx x = 0
y x 2 d y y xy′ = = y2 dx2 y2
x y = 1 dx x=0
F ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 4z, 解 令
Fx z x 则 Fx = 2x , Fz = 2 z 4, = = , Fz x 2 z
x z (2 z ) + x 2 (2 z ) + x z 2 z x = = 2 2 x 2 (2 z ) (2 z )
Fx dy = . dx Fy
求导公式推导:
隐函数的求导公式
方程 F ( x , f ( x )) ≡ 0两边对 x求导数,得:
Fx dy dy = 0, = . Fx + Fy dx Fy dx
例1 验证方程 x + y 1 = 0 在点 ( 0,1) 的某邻 域内能唯一确定一个可导,且 x = 0 时 y = 1 的隐 函数 y = f ( x ) ,并求这函数的一阶和二阶导 数在 x = 0 的值.
z Fx = Fz x
隐函数的求导公式
Fy z = y Fz
求导公式推导:
由
F ( x , y , f ( x , y )) ≡ 0,
Fx z = , x Fz
两边分别对 x 和 y 求导,得
z = 0, Fx + Fz x
z = 0, Fy + Fz y
Fy z = , y Fz
2z 例 3 设 x 2 + y 2 + z 2 4 z = 0,求 2 . x
西安交通大学《高等数学(下)》期末考试拓展学习(一)8
西交《高等数学(下)》(一)第八章多元函数微分学及其应用一．学习多元函数微分学应该注意什么？答多元函数微分学是一元函数微分学的推广。
多元函数微分学与一元函数微分学有密切联系，两者有很多类似之处，但特别应注意是，两者在概念、理论及计算方法上还有一些实质性的差异。
从二元到二元以上的函数理论上以及研究方法上是类似的。
因此，我们是以二元函数为代表对多元函数微分学进行研究。
在学习本章时，一定要注意与一元函数相对照、类比，比较它们之间的异同，这样有助于学好多元函数微分学。
二．怎样领会和运用多元函数的依赖关系式？答二元函数的依赖关系式“ ”中的“ ”表示函数与自变量的对应关系。
熟练且灵活运用函数依赖关系式是学习多元函数的基本要求。
多元函数依赖关系式的运用与一元函数相仿，但要比一元函数依赖关系式的运用复杂些。
例如，设求的表达式。
由已知，所以，从而得。
三、何谓偏导数？怎样求偏导数？答多元函数的偏导数，就是只有一个自变量变化（其它自变量看成是常数）时，函数的变化率。
因此，求多元函数的偏导数就相当于求一元函数的导数。
一元函数的导数公式和求导的四则运算法则对于求多元函数的偏导数完全适用。
偏导数的求法：1°当二元函数为分段函数时，求在分段点或分段线上的点（）处的偏导数时，要根据偏导数的定义来求。
即2°求多元初等函数偏导数时，可将多元函数视为一元函数，即将不对其求偏导数的那些变量统统看成常量，利用一元函数的求导公式和求导法则求出偏导数。
值得指出，多元函数的偏导数记号与一元函数的导数记号不同。
偏导数记号、是一个整体，不能分开。
不能看成与之商，记号与本身没有意义。
而一元函数的导数记号，可看成两个微分与之商。
四．与两者是怎样的关系？答表示在点处对x 的偏导数 . 表示对x 的偏导数在点处的值，两者关系是：求在点处的偏导数时，如果为的分段点，则应按问题 3 中1°所讲用偏导数定义来做，如果是求初等函数的，一般可先求出, 然后再求在点处的函数值。