3.12二分法求方程的近似解
必修1课件：3.1.2《用二分法求方程的近似解(四)》课件ppt
142 273
y
f(x)= 2 x+3x-7
可知f(1)·f(2)<0,说明在区间 说明在区间(1,2)内有零点。 可知 说明在区间 内有零点 通过计算得下表
区间[a,b] 区间[a,b] a 1 1 1.25 1.375 1.375 b 2 1.5 1.5 1.5 1.4375 中点c 中点c 1.5 1.25 1.375 1.4375 1.40625 f （c ） 0.328427125 -0.87158577 -0.281320891 0.021011094 -0.13078 -1 0
（1）若f（c）=0， c就是函数的零点。 ） （ ） ， 就是函数的零点 则 就是函数的零点。 （2）若f（a）·f（c）﹤0， ） （ ） （ ） ， （3）若f（c）·f（b）﹤0， ） （ ） （ ） ，
则令b=c（此时零点 x 0 ∈（a，c））； （ 则令 ， ））； 则令a=c（此时零点 x 0 ∈（c，b）； （ 则令 ， ）； 4.判断是否达到精确度；若︱ a-b︱﹤m则得到零点 判断是否达到精确度； 判断是否达到精确度 则得到零点 近似值a（或b）；否则重复2～4。 近似值 （ ）；否则重复 。 ）；否则重复
2 2.5
2.75
3
因为︱ 因为︱2.5-2.5625︱=0.0625 <0.1时，2.5（或2.5625）就是方程 ︱ 时 （ ） lnx+2x-6=0的近似解 的近似解 2.5 根 2.5625
二分法定义: 二分法定义
对于在区间[a,b]上连续不断且＿＿＿＿＿ 的函数 上连续不断且 对于在区间 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿ f(a)·f(b)<0 y=f(x),通过不断地把函数 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二， 的零点所在的区间一分为二， 通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方 法叫做二分法 .
3.1.2 用二分法求方程的近似解--讲义练习及答案
3.1.2 用二分法求方程的近似解1.A 方程322360x x x -+-=在区间[2,4]-上的根必定在( ) A ．[2,1]-内B ．5[,4]2内C ．7[1,]4内 D ．75[,]42内 2.A 已知函数3()28f x x x =+-的零点用二分法计算，附近的函数值参考数据如下表所示：则方程3280x x +-=的近似解可取为(精确度为0.1)( ) A ．1.50 B ．1.66C ．1.70D ．1.752()2(0)f x x x =->，我们知道f (1)·f (2)<0(1,2)的近似值满足精确度为0.1，则对区间(1，2)二等分的次数至少为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6新知新讲1.B 已知函数3()log 26f x x x =+-证明：（1）在定义域内只有唯一的一个零点； （2）试求出一个零点所在的长度不大于14的区间.2.A 如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是______.3.B某电器公司生产A种型号的家庭电脑，2010年平均每台电脑的生产成本为5000元，并按纯利润为20%标定出厂价.2011年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产逐年降低，2014年平均每台A种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是2010年的80%，但却实现了纯利润50%.(1)求2014年每台电脑的生产成本；(2)以2010年的生产成本为基数，用二分法求2010年-2014年间平均每年生产成本降低的百分率（精确度0.01）.1.B已知函数f(x)=13x3-x2-3x+9.(1)求函数f(x)的一个负实数零点(精确到0.1);(2)解不等式13x3-x2-3x+9≤0.3.1.2 用二分法求方程的近似解参考答案1. D2. B3. B新知新讲1.（1）证明：因为(1)40f =-<，(3)10f =>，且3log y x =在(0,)+∞上是单调增函数，2y x =在(0,)+∞上是单调增函数，所以函数3()log 26f x x x =+-在(0,)+∞上是单调增函数，所以函数3()log 26f x x x =+-在定义域内只有唯一的一个零点.（2）因为3(2)log 220f =-<，由（1）知，零点在(2,3)之间，因为355()log 1022f =-<，所以零点在(52,3)之间，因为311111()log 0442f =->，所以零点在(52,114)之间.即零点所在的长度不大于14的区间是(52,114). 2.①③3.(1)3200元 （2）10.3125%1.(1)-3 (2){|33}x x x ≤-=或。
【高中数学必修一】3.1.2二分法求方程的近似解
知识探究(一)：二分法的概念
小结：
(1)用天平称 3 次就可以找出这个稍重的球.
(2)要找出稍重的球， 尽量将稍重的球所在的范围 尽量的缩小， 我们通过不断地 “平分球” 、 “锁定” 、 “淘汰”的方法逐步缩小稍重的球所在的范围， 直到满意为止.
(3)这种“平分球”的方法，就是“二分法”的体现.
新知展现
1.二分法的定义
新知展现
1.二分法的定义
对于区间[a，b]上连续不断且 f (a)· f (b)＜0 的函数 y = f (x)，通过不断地把函数 f (x)的 零点所在的区间一分为二，使区间的两个端 点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法.
新知展现
1.二分法的定义
对于区间[a，b]上连续不断且 f (a)· f (b)＜0 的函数 y = f (x)，通过不断地把函数 f (x)的 零点所在的区间一分为二，使区间的两个端 点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方 法叫做二分法.
通过“取区间中点”的方法逐步缩小零点所 在的范围(区间).
知识探究(一)：二分法的概念
思考3：通过阅读教材，你知道是用什么办 法将零点所在范围(区间)缩小的?
通过“取区间中点”的方法逐步缩小零点所 在的范围(区间).
ab 一般地，我们把 x 称 2
为区间(a,b)的中点.
知识探究(一)：二分法的概念
另 种 情 况 为
一样重
知识探究(一)：二分法的概念
一分为二(3)
另 种 情 况 为
一样重
被选出的球为最重的球.
知识探究(一)：二分法的概念
小结：
(1)用天平称 3 次就可以找出这个稍重的球.
知识探究(一)：二分法的概念
二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解
二分法是一种求解方程近似解的数值方法。
它的思路是将待求解
区间分成两个子区间，通过比较子区间端点函数值的符号确定新的待
求解区间，重复这个过程直到达到指定的精度要求。
二分法的优点是
收敛速度较快，但需要满足一定的前提条件，如函数在待求解区间内
单调、连续等。
具体实现时，可以先确定一个初始区间[a,b]，计算出函数在两
个端点的值f(a)和f(b)。
如果f(a)和f(b)符号相同，则表示该区间
内没有实根，需要选择另一个区间；否则，可以将区间的中点
c=(a+b)/2计算出来，计算f(c)的符号，如果与f(a)的符号相同，则
舍弃前一半区间，否则舍弃后一半区间，将c作为新的端点继续迭代，直到满足精度要求为止。
二分法求解方程的近似解，在数学、物理等领域广泛应用，它不
仅在理论上有严格的证明，而且在计算机实现中也十分方便。
在实际
问题中，我们可以通过对待求解区间的缩减和符号比较来快速确定解
的位置，从而实现高效的计算。
用二分法求方程的近似解(很实用)通用课件
使用数学软件实现二分法
总结词
数学软件如Matlab、Mathematica等提 供了强大的符号计算和数值计算功能， 适合用于实现二分法。
VS
详细描述
这些数学软件通常提供了内置的二分法函 数，可以直接调用。用户只需要输入方程 的形式和初始区间，软件会自动调用二分 法函数来求解近似解。
使用在线工具实现二分法
二分法的原理
总结词
二分法基于函数的连续性和零点的存在性定理，通过不断缩小搜索区间来逼近零点。
详细描述
二分法利用了函数在区间端点上的函数值异号的性质，每次迭代都将搜索区间缩小一半，从而以较快 的速度逼近零点。这个过程一直持续到找到满足精度要求的零点或者搜索区间长度小于某个阈值。
二分法的适用范围
总结词
二分法适用于寻找连续函数在某个区间内的零点。
详细描述
二分法要求函数在零点所在的区间内连续，且在区间的端点上的函数值异号。对于一些不满足这些条件的函数， 如分段函数或有多个零点的函数，二分法可能无法找到正确的零点。因此，在使用二分法之前，需要先对函数进 行适当的分析和验证。
02
二分法的基本步骤
确定初始区间
首先需要确定方程有解的初始区间 ，可以通过代入法或观察法得到。
计算中点
在初始区间内取中点，并计算中点 的函数值。
判断中点性质
根据中点的函数值与区间端点的函 数值进行比较，确定下一步的搜索 区间。
迭代搜索
不断重复上述步骤，每次将搜索区 间缩小一半，直到达到所需的精度 要求。
求函数的零点
01
确定初始区间
同样需要确定函数有零点的初 始区间。
02
计算中点
在初始区间内取中点，并计算 中点的函数值。
数学：3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件(新人教A版必修1)
（2.5625，2.625） f(2.5625)<0，f(2.625)>0
1.二分法的定义；
2.用二分法求函数零点近似值的步骤。
3.逐步逼近思想. 4.数形结合思想. 5.近似与精确的相对统一.
用二分法求方程的近似解一般步骤：
确定初始区间 求中点，算其函数值Βιβλιοθήκη 缩小区间算长度，比精度 下结论
返 回
口 诀
4、判断是否达到精确度ε ，即若|a-b|< 则得到零点近似值a(或b),否则重复2~4
ε
牛刀小试：
例2 借助计算器或计算机用二分法求方 程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）
解：原方程即2x+3x=7，令f(x)= 2x+3x-7， 用计算器作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值 表和图象如下：
f(2)=_____,f(3)=_____
单调
如何求出这个零点？
缩小零点所在的区间范围，直到满足精确度。
引例：有12个大小相同的小球，其中有 11个小球质量相等，另有一个小球稍重， 用天平称几次就可以找出这个稍重的球？
引 例
从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话 线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如 何迅速查出故障所在？(每50米一根电线杆)
定区间，找中点， 同号去，异号算， 中值计算两边看. 零点落在异号间.
周而复始怎么办?
精确度上来判断.
x 0 1 2 3 4 5 f(x) -6 -2 3 10 21 40 6 75 7 142 8 273
练习：用二分法求方程x 3 lg x在(2, 3) 内的近似解(精确度0.1).
根所在区间 （2，3） （2.5，3） （2.5，2.75） （2.5，2.625） 区间端点函数值符号 f(2)<0，f(3)>0 f(2.5)<0，f(3)>0 f(2.5)<0，f(2.75)>0 f(2.5)<0，f(2.625)>0 中点值 2.5 2.75 2.625 2.5625 中点函数值 符号 f(2.5)<0 f(2.75)>0 f(2.625)>0 f(2.5625)<0
用二分法求方程的近似解的方法
用二分法求方程的近似解的方法二分法（又称折半法）是一种常用于求解方程近似解的数值计算方法。
它基于一个非常重要的思想：如果在一个区间内的函数值在两个端点处取值的符号不同，那么在该区间内一定存在一个根，即方程在该区间内至少有一个解。
二分法的基本原理是将求解的区间不断缩小，每次将区间一分为二，并找出中间点的函数值。
根据中间点的函数值与两个端点的函数值的符号关系，确定新的区间。
通过不断缩小区间的范围，最终找到一个满足精度要求的近似解。
下面将详细介绍二分法的步骤及相关注意事项。
步骤1：选择一个区间[a,b]，其中a和b是方程的根的近似区间。
确保方程在a和b点的函数值异号，即f(a)*f(b)<0。
如果不满足这个条件，需要重新选择一个区间。
步骤2：求出区间的中点c，计算f(c)的值。
步骤3：根据f(c)的符号与f(a)的符号的关系，更新区间。
如果f(c)与f(a)的符号相同，则新的区间是[c,b]。
如果f(c)与f(a)的符号不同，则新的区间是[a,c]。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求为止。
一般可以设置一个容差范围eps，当区间的长度小于eps时，即认为求解已经足够精确。
注意事项：1.在选择初始区间[a,b]时，需要确保方程在这个区间内有一个解。
通常可以通过画出函数曲线或分析函数的性质来确定初始区间。
2.在每次更新区间时，要保证新的区间仍然满足f(a)*f(b)<0。
如果不满足，需要选择一个新的区间，并重新开始算法。
3. 二分法是一种迭代算法，需要根据精度的要求来设置迭代次数。
通常可以通过判断区间长度是否小于eps来确定迭代的终止条件。
4.二分法并不能保证找到方程在给定区间内的所有解，而只能找到一个解。
如果方程有多个解，需要根据需要修改初始区间，并多次运行二分法来找到所有的解。
总结：二分法是一种简单而有效的求解方程近似解的方法。
通过不断缩小区间的范围，并利用函数值的符号关系来确定新的区间，可以找到一个满足精度要求的近似解。
高中数学 3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件 新人教A版必修1
(1.375,1.5) 1.438
(1.375,1.43
|a－b| 1 0.5
0.25 0.125
第十六页，共24页。
由上表计算可知区间(1.375,1.438)长度小于0.1，故可在 (1.438,1.5)内取1.406 5作为函数f(x)正数的零点的近似值．
第十七页，共24页。
1．准确理解“二分法”的含义 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不 断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附 近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值 近似地表示真正的零点．
图象可以作出，由图象确定根的大致区间，再用二分法求解．
第九页，共24页。
【解析】 作出y＝lg x，y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有 唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)=lgx+x-3，用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0，
∴x0∈(2,3)； f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5,3)； f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75)； f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625)； f(2.562)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562,2.625)． ∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1 ∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
第四页，共24页。
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的 是( )
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念． 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解引言在解决一些数学问题中，经常需要求解一个方程的近似解。
其中一种常用的方法是二分法。
二分法是一种逐步逼近的算法，通过不断将搜索区间缩小来寻找方程的解。
本文将介绍二分法的基本原理，并结合一个具体的例子来演示如何使用二分法求解方程的近似解。
二分法的基本原理二分法基于一个重要的性质，即如果一个函数在某个区间上是单调递增或单调递减的，则在该区间上存在一个唯一解。
基于这个性质，二分法的基本原理可以总结为以下几步：1.确定一个初始搜索区间，该区间需要包含方程解的范围。
2.每次将搜索区间划分为两个子区间。
3.判断解是否在左子区间还是右子区间中。
4.不断重复步骤2和步骤3，直到搜索区间足够小，或者找到了近似解。
实例演示假设我们要求解方程 f(x) = 0 的近似解，其中函数 f(x) 是一个连续的单调递增函数。
下面我们使用二分法来求解方程x^2 - 4 = 0的近似解。
首先，我们需要定义初始搜索区间。
根据方程x^2 - 4 = 0的特点，我们可以发现，方程的解位于区间 [-3, 3] 内，因为 (-2)^2 = 4 和 (2)^2 = 4。
因此，我们将初始搜索区间定义为 [-3, 3]。
接下来，我们每次将搜索区间划分为两个子区间，并判断解位于哪个子区间中。
假设我们定义每个子区间的长度不超过 0.01。
然后，我们可以按照以下步骤进行迭代：1.将搜索区间 [-3, 3] 划分为两个子区间：[-3, 0] 和 [0, 3]。
2.计算子区间的中点，分别为 -1.5 和 1.5。
3.判断解是否位于左子区间 [-3, -1.5] 中。
由于方程是单调递增的，我们可以判断解不在该子区间中。
4.判断解是否位于右子区间 [-1.5, 0] 中。
由于方程是单调递增的，我们可以判断解位于该子区间中。
5.更新搜索区间为 [0, 1.5]。
6.重复步骤1到步骤5，直到搜索区间足够小。
通过不断缩小搜索区间的长度，最终我们可以得到一个足够接近方程解的近似解。
用二分法求方程的近似解
用二分法求方程的近似解一、二分法的定义对于区间[]b a ，上的连续不断且0b f a f ）＜（）（∙的函数）（x f y =，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似解的方法叫做二分法二、用二分法求函数）（x f y =零点x 0的近似值的一般步骤1、确定零点x 0的初始区间[]b a ，，验证0b f a f ）＜（）（∙.2.求区间），（b a 中点c .3.计算）（c f ，并进一步确定零点所在区间：（1）若0c f =）（（此时，c x 0=）,则c 就是函数零点；（2）若0c f a f ）＜（）（∙（此时，），（c a x 0∈），则令c b =（3）若0b f c f ）＜（）（∙（此时，），（b c x 0∈），则令c a =.4.判断是否达到精确度ε：若ε＜b a -，则得到零点的近似值为a（或b ）；否则重复步骤2～4三、总结通过不断地把函数的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，得到零点近似值.对于在某一区间上函数图象连续不断，且区间端点的函数值的乘积符号为负的函数，都可以利用这种方法来求零点的近似值四、题型二分法的定义与应用例1若函数y=f(x)的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=-2,f(1.25)=-0.984,f(1.375)=-0.260,f(1.40625)=-0.054,f(1.4375)=0.162,f(1.5)=0.625,那么方程f(x)=0的一个近似根(精确度0.1)为()A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5解：因为f(1)<0,f(1.5)>0,所以f(1)f(1.5)<0,所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.5-1=0.5>0.1;因为f(1.25)<0,所以f(1.25)f(1.5)<0,所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为1.5-1.25=0.25>0.1;因为f(1.375)<0,所以f(1.375)f(1.5)<0,所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5-1.375=0.125>0.1;因为f(1.4375)>0,所以f(1.4375)f(1.375)<0,所以函数在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375-1.375=0.0625<0.1;所以方程f(x)=0的一个近似根(精确度0.1)是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值(包括端点值).故选：C.例2已知函数x e x x f --=）（的部分函数值如表所示：例3若函数f(x)=x³+x²-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f(1)=—2f(1.5)=0.625f(1.25)=—0.984f(1.375)=—0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=—0.054那么方程x³+x²-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()A.1.25B.1.375C.1.42D.1.5解：由表格可得，函数f(x)=x³+x²-2x-2的零点在(1.40625,1.4375)之间；结合选项可知，方程x³+x²-2x-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42;故选：C.例4设函数f(x)=x ²-2,用二分法求f(x)=0的一个近似解时，第1步确定了一个区间为），（231,到第3步时，求得的近似解所在的区间应该是()A 、），（231B 、，（2345C 、），（23811D 、，（1623811解：令(x)=x ²-2,则f(1)=-1<0,则023f >（,016745f <-=）（;所以到第二步求得的近似解所在的区间应该是，（2345；0647811f <-=）（,由023f 811f <（（知到第3步时，求得的近似解所在的区间应该是在），（23811故选：C.例5已知图象连续不断的函数y=f(x)在区间(a,b)(b-a=1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.1)的近似值，那么将区间(a,b)等分的次数至少是（）.解：设至少需要将区间(a,b)等分n 次，则1.02ab n ≤-,即10121n ≤所以n ≥4,即将区间(a,b)等分的次数至少是4次.故答案为：4.例6用二分法求函数f(x)=x³+5的零点可以取的初始区间是()A.[-2,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[1,2]解：二分法求变号零点时所取初始区间[a,b],应满足使f(a)·f(b)<0.由于本题中函数f(x)=x³+5,由于f(-2)=-3,f(1)=6,显然满足f(-2)f(1)<0,故函数f(x)=x³+5的零点可以取的初始区间是[-2,1],故选：A.。
二分法求方程近似解的过程
二分法求方程近似解的过程
二分法是一种常用的求方程近似解的有效方法，它的基本思想是
用区间法，轮流缩短解所在的区间。
这种方法的优点是速度快，准确
性高。
二分法求方程近似解的步骤如下：
首先，确定方程，并确定原函数f(x)在一段闭区间内有且仅有一个零点。
其次，取这段区间的中点作为解的猜测值（称为根）；再次，计算函数f(x)的值f(x0)，用f(x0)的值判断f(x)的根位于哪一段区间，然后以此确定新的区间范围；最后，重复上述步骤，即以新区间
为依据取中点作为猜测值，计算函数值，最终使根收敛于函数零点。
此时，舍入值可以视为对方程的近似解。
二分法求方程近似解既快又准确，因此被广泛应用于解决复杂的
数学问题。
但是，要使用二分法求方程近似解，想要取得最佳解，必
须认真地确定函数的定义域、确定函数的取值范围，同时要考虑舍入
误差的影响等内容。
只有全面综合考虑，才能使二分法求方程近似解
效果最佳。
3.1.2 二分法
上海A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M N
O旧金山
如何缩小零点所在的范围，得到一个越来越 小的区间，以使零点仍在此区间内?
将一个区间分为两个区间，该找怎样的分点?
取中点
对于一个已知的零点所在区间(a,b)，取中点
【思路点拨】 选定区间[1，2]
→ 用二分法逐次计算 → 精确度0.01 → 结果
【解】 由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，因此可 取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐次 计算，见下表 y＝x3－3
区间 中点的值 中点函数近似值 (1,2) 1.5 0.375 (1,1.5) 1.25 －1.0469 1.375 (1.25,1.5) －0.4004 (1.375,1.5) －0.0295 1.4375 (1.4375,1.5) 0.1684 1.46875 (1.4375,1.46875) 1.453125 0.06838 (1.4375,1.453125) 1.4453125 0.0192 (1.4375,1.4453125) 1.44140625 －0.005259 从表中可知|1.4453125－1.4375| ＝0.0078125 ＜0.01， 所以函数y＝x3－3的一个正零点可取1.4375.
4.判断是否达到精确度ε。 若|a-b|<ε，则得到零点近似值；否则重复 步骤2-4。
作业
《启迪有方》3.1.2练习册及活页。
ab ab f( ) ，如果这个函数值为0，那么中 ，计算 2 2
点就是函数的零点；如果不为0，通过比较中点与 两个端点函数值的正负，即可判知零点是在(a , 内，还是在 ( 了一半。