高等数学：第六讲 全微分

全微分， 记作 d z xx0 d f (x0, y0 ) AΔx BΔy.
若函数在区域 D 内yy0各点都可微，则称此函数在D 内可微.
01 全微分的定义
由可微定义可知
因此
lim Δz lim[(AΔx BΔy) o(ρ)] 0
Δx0
Δx0
Δy0
Δy0
lim
Δx0
f
( x0
Δx, y0
A fx(x0 , y0 ) B f y(x0 , y0 )
02 全微分的性质
性质2 （全微分存在的充分条件）
如果函数 z f (x, y) 在点P(x, y)处的两个偏导数 fx(x, y)、f y(x, y) 为连续函数，那么 z f (x, y) 在点 P(x, y) 处可微，且
dz
量与全微分. 解 由定义知全增量为
Δz f (x0 Δx, y0 Δy) f (x0, y0 )
z z
dz
x x0 y y0
Δx Δy. x y
Δz (2 0.02)2 (1 0.01)2 22 (1)2 0.1624
z 2xy2 z 2x2 y
x
y
z x
x2 4
y 1
Δy)
f (x0,
y0 )
Δy0
即 函数 z f (x, y) 在点(x0, y0 )可微
函数在该点连续.
连续是可微的必要条件， 或者说不连续必不可微.
02 全微分的性质
性质1 （全微分存在的必要条件）
设函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 可微，则该函数在此点
的两个偏导数 fx(x0, y0 )、f y(x0, y0 ) 必存在，且有
内容小结
1.可微及全微分的定义 d z d必要条件） A fx(x0, y0 ) B f y(x0, y0 )
性质2（全微分存在的充分条件）
d z z d x
x
z dy
y
fx(x, y)d x
f y(x, y)d y
谢谢
z x
dx
z y
dy
fx(x, y)d x
f y(x, y)d y
（全微分计算公式）
若函数 u f (x, y, z)存在全微分，则有 du u d x u d y u d z.
x y z
例题1：
求函数 z x2 y2在点 (2,1) 处，当 Δx 0.02, Δy 0.01 时的全增
为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 的全增量. 如果全增量可以表示成 Δz AΔx BΔy o(ρ), ρ (Δx)2 (Δy)2
其中 A、B 不依赖于Δx、Δy ,仅与x0、y0 有关,则称函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 可微，AΔx BΔy 称为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 )处的
全微分
目录
01 全微分的定义 02 全微分的性质
01 全微分的定义
复习 一元函数微分的相关概念
一元函数 y f (x)
可微 y Ax o(x)
微分 dy f (x)x d y f (x) d x
推广 多元函数的微分(全微分)
全 微分
定义 设函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 的某邻域内有定义，分别给 x0、y0 一增量 Δx、Δy ，则称 Δz f (x0 Δx, y0 Δy) f (x0, y0 )
z y
x2 8
y 1
全微分为
dz 4 0.02 (8) (0.01) 0.16
例题2：
求 z exsin(x y) 的全微分.
解 因为
z exsin(x y) excos(x y)
x
z excos(x y)
y
全微分为 d z z d x z d y
x y
[ exsin(x y) excos(x y)]dx excos(x y)dy