高等数学：第六讲 全微分
高等数学-函数全微分
d z e2 d x 2e2 d y
(2,1)
9
例3. 设
解: f (x,0,0) x 3 cos x
注意: x , y , z 具有 轮换对称性
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
z x
z u z v u x v x
f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
3、 中间变量只有一个的情形
例如: z f u u x, y
z dz u x du x
z dz u y du y
z u xy
注: 由于 z f u 是一元函数,则它对u 的导数应该
fv
f2
2z u 2
fuu (u, v)
fuu
f11
2z v2
fvv (u, v)
fvv
f22
2z uv 2z vu
fuv (u, v) fvu (u, v)
f
fuv f12 vu f21
称为混合偏导数
当 f12 和 f21 均连续时有 f12 f21
在计算时注意合并同类项!
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
求
解
2z x y
2z yx
2y x2
f2
2y( x
y2 x2
f22 )
《高数全微分》课件
全微分的概念
全微分是多变量函 数的变化率，通过 定义、计算方法和 与偏微分的区别， 理解全微分的概念。
练习题选讲
1
练习题1
通过一个实际的计算例子来帮助学生巩固微分和导数的应用。
2
练习题2
挑选一道复杂且具有挑战性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
3
练习题3
提供一道综合性的练习题，结合了微分、导数和全微分的内容，以检验学生的综 合能力。
讲解内容
什么是微分
微分是基础概念， 具有多种定义方式。 通过物理解释和常 见定义使学生理解 微分的概念和意义。
导数的定义
导数是描述函数变 化率的工具，包括 导数的概念、计算 方法以及其在函数 极值中的应用。
微分的定义
微分作为导数的无 穷小变化量，给出 了函数在某一点上 的局部变化情况和 计算方法。
总结回顾
1 本节知识点回顾 2 知识点扩展
概述了微分、导数和 全微分的概念和定义， 强调了它们在数学中 的重要性。
引导学生进一步学习 微分和导数的应用领 域，如物理学和经济 学等。
3 下节课预告
展示下节课将会涉及 的主题和学习目标， 激发学生的兴趣和期 待。
《高数全微分》PPT课件
高数全微分 PPT课件
知识点概述
什么是微分
微分是一个数学概念，用于描述函数值的 变化率。它是微积分的基础。
微分的定义
微分是函数值的无穷小变化。它描述了函 数在某一点上的局部变化。
导数的定义
导数是函数在某一点上的变化率，可以解 释为函数在该点的切线斜率。
全微分的概念
全微分是多变量函数在某一点上的变化率， 它包括所有变量的微分。
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由微分定义 : lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y x y
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可导
偏导数连续
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思考与练习 1. P72 题 1 (总习题八)
2. 选择题 函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微的充分条件是( D )
将 x , z 看成常数: u x w , w y z .
u y
( 2 , 2 ,1)
yz yz x ln x z y z 1 ( 2, 2,1) ( x ) ( 2, 2,1) y 4 ln 2
将 x , y 看成常数:u x w , w y z .
u y
第三节
2. 可微的条件
全微分
1. 全微分的定义
3. 连续、可导与可微的关系
4. 小结、作业
一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o( x)
d y f ( x)x
应用
近似计算 估计误差
机动
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结束
一、全微分的定义
高等数学全微分方程精品PPT课件
dx x
dy y
0
即 d 1 d( ln x ) d( ln y ) 0
xy
1
因此通解为 1 ln x ln C , 即 x C e xy
xy y
y
因 x = 0 也是方程的解 , 故 C 为任意常数 .
练习题 解方程 y d x ( y x) d y 0.
解法1 积分因子法. 原方程变形为
2
3
因此方程的通解为
y (x, y)
x5 3 x2 y2 xy3 1 y3 C
2
3
o (x,0) x
例2. 求解
(
x
y x2
)
dx
1 x
dy
0
解:
P y
1 x2
Q , x
∴ 这是一个全微分方程 .
用凑微分法求通解. 将方程改写为
x
dx
x
d
y x2
y
dx
0
即
d 1 x2 d y 0, 或 d 1 x2 y 0
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) .
判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则
① 为全微分方程 求解步骤:
P Q , (x, y) D y x
1. 求原函数 u (x, y)
方法1 凑微分法;
方法2 利用积分与路径无关的条件.
2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
第二节 一阶微分方程
第十二章
一、可分离变量方程 二、齐次型微分方程 三、可化为齐次型的微分方程 四、一阶线性微分方程 五、全微分方程
五、全微分方程
若存在 u(x, y) 使 d u(x, y) P (x, y) dx Q (x, y) dy
高数 全微分
(1) f (x, y)在点 (x0, y0 ) 处连续；
(2) f (x, y)在点 (x0, y0 ) 处可偏导，且有 A fx(x0, y0), B fy(x0, y0) ，
从而 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 处的全微为
dz |(x0,y0) fx(x0, y0)dx fy(x0, y0)dy ．
我们由多元函数全增量的这种局部线性近似性，并参照一元函 数微分的定义形式，给出多元函数全微分的概念.
23-4
定义 9.4.1 设二元函数 z f (x, y) 在点 P0 (x0, y0 ) 的某邻域U (P0 ) 内有 定义，如果函数在点 P0 (x0, y0 ) 处的全增量
z f (x0 x, y0 y) f (x0, y0) (x0 x, y0 y)U(P0)
9.4 全 微 分
9.4.1 全微分的概念 9.4.2 多元函数可微的必要条件与充分条件
23-1
9.4.1 全微分的概念
在 3.5 中我们已经介绍了一元函数的微分，本节我们将把一元函 数的微分推广到多元函数中去．先回顾一下一元函数的微分概念．
如果函数 y f (x) 在点 x0 处的增量 y f (x0 x) f (x0 ) 可表示 为 y Ax o(x),（其中 A 为与 x 无关的常数），就称函数 y f (x) 在点 x0 处可微，Ax 称为函数 y f (x) 在点 x0 处的微分，记为 dy |xx0 ， 并随后证明了如果函数 y f (x) 在点 x0 处可微，则函数 y f (x) 在点 x0 处可导，且 A f (x0 ) ，从而有 dy |xx0 f (x0)dx ．
穷小，即
lim 2xxy y(x)2 (x)2 y 0 ．
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即受压后圆柱体体积减少了200cm3.
11
例4.计算 1.042.02的近似值. 解: 设 f(x,y)xy,则
fx(x,y)y xy1, fy(x,y)xy lnx 取 x1,y2, x 0 .0, 4 y 0 .02 则 1.02.4 0 2f(1.0,4 2.0)2
f( 1 ,2 ) f x ( 1 ,2 ) x f y ( 1 ,2 ) y 1 2 0 . 0 0 0 4 . 0 1 . 0 28
求计算面积时的绝对误差与相对误差.
解：δ S
S a
δa
S b
δb
S c
δc
1 2
bsinCδa12
asinC
δb12
abcoC s δC
故a 绝 1 对误.5 ,差2 b 约 为8 .3 δ,SC 03 .1 3,δ 0 a δ b 0 .0 ,δ 1 C 18
又 S1 2absiC n1 21.2 58.3si3n02.5 94
解: z ye xy , x
z xexy y
x z(2,1)e2, y z(2,1)2e2
dz e2dx2e2dye2(dx2dy)
(2,1)
例2. 计算函数 uxsinyeyz的全微分. 2
解: du 1dx(1 2co 2 y sz e y z )dyyeyz dz
9
*二、全微分在数值计算中的应用
所以 S 的相对误差约为 δ S 0.13 0.5% S 25 .94
15
例6.在直流电路中, 测得电压 U = 24 伏 ,相对误差为 0.3; 测得电流 I = 6安, 相对误差为 0.5 , 求用欧姆 定律计算电阻 R 时产生的相对误差和绝对误差 .
高等数学下册-全微分课件
全微分的应用实例
01
近似计算
全微分可用于近似计算函数在某 一点的增量。
导数应用
02
03
物理应用
全微分与偏导数的关系可用于解 决实际问题中的优化问题，如最 值问题、极值问题等。
全微分在物理中有广泛的应用， 如速度、加速度、电磁场等物理 量的计算。
05
CATALOGUE
习题与解答
习题部分
题目1
计算函数$f(x, y) = x^2 + y^2$在点$(2, -3)$的全 微分。
率。
全微分与偏导数的关系式
全微分等于所有偏导数与自变量增量乘 积的和。
全微分公式：(dz = frac{partial f}{partial x} dx + frac{partial f}{partial y} dy + frac{partial f}{partial z} dz)
全微分公式适用于多元函数的可微 性，是微积分中的基本概念。
02
全微分具有连续性，即当函数在某点处可微时，其全
微分在该点连续。
03
全微分具有局部性，即全微分只在函数可微的点处有
意义，且与自变量的具体取值无关。
02
CATALOGUE
全微分的计算
函数的全微分
定义
函数在某点的全微分是该函数在该点的微分的 线性主部。
计算方法
根据定义，全微分等于所有偏导数与相应变量 的乘积之和。
题目2
已知函数$f(x, y) = sin(x + y)$，求在点$(1, frac{pi}{2})$的全微分。
题目3
设函数$f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$，求在点$(1, 1)$的全微分。
全微分知识点总结
全微分知识点总结微分的概念在数学中占据着非常重要的位置，而全微分则是微分学中的一个重要概念。
全微分常常与偏导数、方向导数等概念联系在一起，是微分学中的一个重要概念。
下面我们就来系统地总结一下全微分的相关知识点。
概念全微分是对多元函数进行微分的概念。
在数学中，一个多元函数是指由多个自变量所构成的函数。
如果一个函数是一个二元函数，那么该函数可以表示为z = f(x, y)，其中x和y是自变量，z是因变量。
全微分指的是当x和y分别发生一个小的变化Δx和Δy时，z相应的变化Δz的极限近似值。
全微分的定义是函数f(x, y)在(x0, y0)点处，如果存在常数A和B，使得Δz = AΔx + BΔy + o(ρ)(Δρ)成立，那么就称f(x, y)在点(x0, y0)处可微分。
其中o(ρ)(Δρ)是一个与Δρ同阶的函数，且当Δρ趋进于0时，o(ρ)(Δρ)/Δρ趋进于0。
全微分的求法对于一个函数z = f(x, y)来说，如果该函数在点(x0, y0)处可微分，那么函数在该点的全微分可以通过下面的公式来求得：dz = ∂f/∂x * Δx + ∂f/∂y * Δy其中，∂f/∂x表示f对x的偏导数，∂f/∂y表示f对y的偏导数。
这个公式就是全微分的求法。
全微分与偏导数的关系在上面的公式中，我们可以看到全微分中包含了偏导数。
偏导数是指多元函数对某个自变量的导数，而全微分则是对多元函数进行微分的概念。
在求全微分时，我们要对每个自变量求偏导数，然后与自变量的变化相乘再求和，得到最后的全微分。
因此，可以说全微分与偏导数是相关的，而偏导数是全微分的一个组成部分。
全微分与方向导数的关系方向导数是指多元函数在某一点沿着某一方向的导数。
全微分与方向导数也是相关的。
在数学分析中，我们常常用全微分来求方向导数。
对于一个多元函数z = f(x, y)，在点(x0, y0)处沿着方向向量u = (α, β)的方向导数可以表示为：D_uf(x, y) = ∂f/∂x * α + ∂f/∂y * β可以看到，这个公式和全微分的求法十分相似。
大一高数下全微分课件
乘积法则
总结词
乘积法则用于计算两个函数的乘积的 全微分。
详细描述
乘积法则是全微分的另一个重要法则， 它指出如果z是两个函数u和v的乘积， 那么dz=u*du+v*dv。具体来说，如果 z=u*v，那么全微分 dz=d(u*v)/du*du+d(u*v)/dv*dv=u*d u+v*dv。
商的法则
大一高数下全微分课件
• 全微分的定义 • 全微分的基本公式和法则 • 全微分的应用 • 常见函数的微分 • 微分中值定理与导数的应用 • 习题与解答
01
全微分的定义
全微分的概念
全微分是指在函数定义域内 某一点处，将函数在该点的 值与自变量在该点的值分别 进行微小变化，函数值变化
量的线性部分。
全微分是函数在一点处对所 有自变量偏导数的加权和， 权因子是偏导数与自变量变
答案2
dz = cos(x + y) * (cos/sin)(π/4) * (cos/sin)(π/6) = -√3/3
解析2
函数z = sin(x + y)在点(π/4, π/6)的 全微分为dz = cos(x + y) * cos(π/4) * cos(π/6) = -√3/3。
答案3
dz = e^(x + y) * (e^1) * (e^0) = e^(1+0) = e
高阶导数与高阶全微分
高阶导数可以用于计算高阶全微分， 高阶全微分可以用于研究函数的更高 阶的几何特性。
02
全微分的基本公式和法则
链式法则
总结词
链式法则描述了复合函数的全微分计算方法。
详细描述
链式法则是全微分的重要法则之一，它指出如果z是由y和x通过复合函数f(g(y)) 得到的，那么全微分dz=d(f(g(y)))/dz * dy。具体来说，如果u=g(y)且z=f(u) ，那么dz=d(f(u))/du * du=d(f(u))/du * d(g(y))/dy * dy。
简述全微分的定义
全微分的定义介绍全微分是微积分中的一个重要概念，它描述了一个函数在某一点附近的变化情况。
全微分是多元函数中的概念，可以用来描述函数在各个方向上的变化率。
基本概念全微分可以用一阶偏导数来表示。
对于一个函数f(x, y)来说，它的全微分可以表示为：df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f对变量x和y的偏导数，dx和dy分别表示x 和y的微小变化量。
全微分的本质是描述函数在某一点附近的变化情况，即用两个变量的微小变化量来近似描述函数值的变化。
一维情况先来看一维情况下的全微分定义。
对于一个只有一个自变量的函数y=f(x)，它的全微分可以表示为：dy = f'(x) dx其中，f’(x)表示函数f对变量x的导数。
这个公式表示当自变量x发生微小变化dx时，函数值y的变化量为dy。
全微分就是描述函数值的微小变化。
二维情况现在考虑二维情况下的全微分定义。
对于一个有两个自变量的函数z=f(x, y)，它的全微分可以表示为：dz = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f对变量x和y的偏导数，dx和dy分别表示x 和y的微小变化量。
这个公式表示当自变量x和y分别发生微小变化dx和dy时，函数值z的变化量为dz。
多变量情况在多变量情况下，全微分的概念可以推广到任意多个自变量。
对于一个有n个自变量的函数f(x1, x2,…, xn)，它的全微分可以表示为：df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn其中，∂f/∂xi表示函数f对变量xi的偏导数，dxi表示xi的微小变化量。
这个公式表示当自变量x1, x2,…, xn分别发生微小变化dx1, dx2,…, dxn时，函数值f的变化量为df。
几何意义全微分有一个重要的几何意义，即表示函数在某一点附近的切平面。
对于函数f(x, y)来说，它的全微分dz可以表示一个切平面的法向量，该平面与函数图像在该点的切线垂直。
《全微分讲座》课件
展望
展望全微分在未来的发展，并鼓励学习者进一 步探索微积分的深邃世界。
《全微分讲座》PPT课件
欢迎参加《全微分讲座》！在本次课件中，我们将回顾微积分基础知识，探 讨什么是全微分，以及如何求解全微分。准备好了吗？让我们开始吧！
微积分基础回顾
1 导数与微分
2 链式法则
回顾导数的定义和微分的概念，以及它们 之间的关系。
了解链式法则的应用，在复杂函数中求导。
3 隐函数与参数方程
如何求全微分
拉格朗日全微分
介绍使用拉格朗日公式计算全微分的方法，并 提供实例演示。
泰勒级数展开
探讨使用泰勒级数将函数展开，并利用展开式 计算全微分的技巧。
全微分公式
函数类型 一元函数 二元函数 多元函数
全微分公式 df = f'(x)dx df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy df = ∂f/∂x1 * dx1 + ∂f/∂x2 * dx2 + ... + ∂f/∂xn * dxn
应用实例
1
物理学中的应用
2
介绍如何运用全微分来分析物理学中 的运动问题，并解释相应的物理概念。
3
经济学中的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用
探讨如何利用全微分来解决经济学中 的最优化问题。
工程学中的应用
讨论全微分在工程学中的实际应用以 及优化设计的案例。
总结与展望
总结
回顾全微分的重要概念和计算方法，并强调其 在不同领域的应用。
4 高阶导数
考虑隐函数和参数方程的微分表示，解决 相关问题。
介绍高阶导数概念，并讨论其应用。
什么是全微分
1 定义与解释
详细解释全微分的概念，并介绍其在多元函数中的应用。
高等数学第六章多元函数微分法及应用第三节 全微分
dz f x (1,2)dx f y (1,2)dy 2 0.04 0 0.02 0.08
(1.04)2.02 1.08
V 2rhr r 2h
其余部分是 (r)2 (h)2的高阶无穷小，所以
V 2rhr r 2h o( (r)2 (h)2 )
2020/2/13
线性主部
无穷小量
3
二 全微分的定义
(Definition of total differential)
全微分存在．
xy
例如，
f
(
x,
y)
x2 y2
0
x2 y2 0 .
x2 y2 0
在 点 (0 ,0 )处 f x (0 ,0 ) f y (0 ,0 ) 0
z [ f x (0,0) x f y (0,0) y]
x y , (x)2 (y)2
2020/2/13
14
记全微分为 dz z dx z dy. x y
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理．
叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
du u dx u dy u dz. x y z
2020/2/13
20
证 令 x cos , y sin ,
则 lim xy sin 1
( x , y )(0,0)
x2 y2
lim 2 sin cos sin 1
全微分的计算公式
全微分的计算公式全微分是微积分中的重要概念之一，用于描述函数在其中一点附近的变化情况。
全微分的计算公式是一种广义的求导公式，适用于多元函数以及复合函数的求导。
下面将详细介绍全微分的计算公式。
1.一元函数的全微分对于一元函数f(x)，在其中一点x=a处的全微分df可以通过求导来计算，计算公式为：df = f'(a)dx其中，f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数，dx表示自变量的微小变化量。
例如，对于函数f(x) = x^2，在点x=2处的全微分df可以通过求导得到：f'(x)=2xdf = f'(2)dx = 2(2)dx = 4dx2.多元函数的全微分对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，在其中一点P(x1=a1,x2=a2, ..., xn=an)处的全微分df可以通过对各个自变量求偏导数并乘以相应的微小变化量得到，计算公式为：df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn其中，∂f/∂xi表示对第i个自变量求偏导数，dxi表示第i个自变量的微小变化量。
例如，对于函数f(x, y) = x^2 + y^2，在点P(2, 3)处的全微分df可以通过对各个自变量求偏导数并乘以相应的微小变化量得到：∂f/∂x=2x，∂f/∂y=2ydf = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy = (2x)(dx) + (2y)(dy) = 4dx + 6dy3.复合函数的全微分对于复合函数f(g(x1, x2, ..., xn))，其中g(x1, x2, ..., xn)为自变量，f(t)为中间变量，t=g(x1, x2, ..., xn)。
在其中一点P(x1=a1, x2=a2, ..., xn=an)处的全微分df可以通过链式法则来计算，计算公式为：df = (∂f/∂t)(∂t/∂x1)dx1 + (∂f/∂t)(∂t/∂x2)dx2 + ... +(∂f/∂t)(∂t/∂xn)dxn其中， (∂f/∂t) 和 (∂t/∂xi) 分别表示对中间变量t和自变量xi求偏导数。
《全微分讲座》课件
算法示例
最速下降法、牛顿法、拟牛顿法 等。
利用全微分求解约束优化问题
约束优化问题
约束优化问题是在满足某些约束条件下寻找函数 最小值或最大值的问题。
全微分的应用
全微分在约束优化问题中主要用于计算拉格朗日 乘子，通过求解拉格朗日方程可以找到最优解。
算法示例
拉格朗日乘子法、罚函数法等。
全微分在机器学习中的应用
简为简单的乘法和求导数的运算。
03
全微分的应用
函数的全微分求导
总结词
全微分是函数在某点附近的小增量，通过全微分可以求得函数的导数，进而研 究函数的单调性、极值等性质。
详细描述
全微分是函数在某点附近的小增量，通过全微分可以求得函数的导数。导数描 述了函数在该点的切线斜率，进而可以研究函数的单调性、极值等性质。
复合函数的导数或全微分分解为简单函数的导数或全微分的乘积。
全微分的乘积法则
总结词
全微分的乘积法则是全微分运算的一个基本 性质，它表明两个函数的乘积的全微分等于 一个函数的导数乘以另一个函数的积分加上 一个函数的积分乘以另一个函数的导数。
详细描述
全微分的乘积法则是全微分运算的一个基本 性质，它表明两个函数的乘积的全微分等于 一个函数的导数乘以另一个函数的积分加上 一个函数的积分乘以另一个函数的导数。这 个法则在计算两个函数的乘积的全微分时非 常有用，因为它可以将复杂的全微分运算化
详细描述
全微分的线性性质是全微分运算的一个基本性质，它表明全微分满足线性运算的规则。具体来说，如果函数u和v 的全微分存在，那么对于任意实数a和b，(a*u+b*v)的全微分等于a乘以u的全微分加上b乘以v的全微分。这个性 质在计算全微分时非常有用，因为它可以将复杂的全微分运算化简为简单的线性组合。
《高数全微分方程》课件
参数方程法
总结词
参数方程法是通过引入参数，将全微分 方程转化为参数微分方程，然后求解参 数的微分，最后得到原全微分方程的解 。
VS
详细描述
参数方程法的步骤包括引入参数、将全微 分方程转化为参数微分方程、求解参数的 微分、将参数的解代回原方程，最后得到 原全微分方程的解。这种方法适用于具有 参数形式的全微分方程，能够简化求解过 程。
变量分离法
总结词
变量分离法是将全微分方程转化为可分离变量的微分方程，然后分别求解每个变量的微分，最后得到 原全微分方程的解。
详细描述
变量分离法的步骤包括将全微分方程转化为可分离变量的微分方程、分别求解每个变量的微分、将各 个变量的解代回原方程，最后得到原全微分方程的解。这种方法适用于具有可分离变量形式的全微分 方程，能够简化求解过程。
总结词
全微分方程描述了曲线的斜率在各个方向上的变化情 况。
详细描述
全微分方程可以表示曲线上任意一点的切线斜率的变 化情况，即该点处曲线在各个方向上的弯曲程度。通 过求解全微分方程，可以了解曲线的弯曲程度，从而 更好地理解曲线的几何特性。
曲线的弯曲程度与全微分方程
总结词
全微分方程描述了曲线的弯曲程度在各个方向上的变 化情况。
二阶全微分方程实例
总结词
二阶全微分方程是描述物理现象和工程问题的重要工具，具有丰富的数学性质和实际应 用价值。
详细描述
二阶全微分方程的一般形式为 d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)，其中 f(x, y, z) 是关于 x、y 和 z 的函数。通过求解二阶全微分方程，可以找到满足特定边界条件的解，从而解决实际
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《高等数学之全微分》课件
全微分的定义
全微分是多元函数的微分算子在某一点上的线性逼近。
微分算子
微分算子描述函数变化的矩阵运算。
某一点上
我们关注函数在特定点上的性质。
全微分的性质
全微分具有一些重要的性质，帮助我们深入理解函数的变化。
线性性质
全微分是线性算子，满足加 法和数乘运算。
位置无关性
全微分与坐标系的选取无关， 只与函数的性质相关。
点到点性质
全微分仅仅描述函数在某一 点上的性质。
全微分的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
全微分在实际问题中有广泛的应用，帮助我们进行函数的近似计算和优化。
1
近似计算
利用全微分可以进行函数值的近似计算，方便解决复杂问题。
2
优化问题
全微分可以帮助我们找到函数的极值点，解决优化问题。
3
微分学习
全微分是进一步学习微分学的基础，为后续的数学知识奠定重要基础。
《高等数学之全微分》 PPT课件
探索高等数学中的全微分的概念、定义、性质与应用，让你深入了解这一重 要的数学概念，并学会计算方法。让我们一起开始吧！
什么是全微分
全微分是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点上的线性逼近。
1 定义
全微分是函数在某一点上的一阶线性逼近。
2 性质
全微分是函数变化的最佳线性逼近。
全微分的计算方法
计算全微分是应用全微分的关键，我们需要学会相应的计算方法。
公式计算
利用相应的数学公式进行全微分的计算。
具体案例
通过具体的计算案例来加深理解和掌握全微分的计 算方法。
举例说明全微分
通过具体的例子来说明全微分的应用和计算方法。
1 函数示例
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若函数在区域 D 内yy0各点都可微，则称此函数在D 内可微.
01 全微分的定义
由可微定义可知
因此
lim Δz lim[(AΔx BΔy) o(ρ)] 0
Δx0
Δx0
Δy0
Δy0
lim
Δx0
f
( x0
Δx, y0
A fx(x0 , y0 ) B f y(x0 , y0 )
02 全微分的性质
性质2 （全微分存在的充分条件）
如果函数 z f (x, y) 在点P(x, y)处的两个偏导数 fx(x, y)、f y(x, y) 为连续函数，那么 z f (x, y) 在点 P(x, y) 处可微，且
dz
量与全微分. 解 由定义知全增量为
Δz f (x0 Δx, y0 Δy) f (x0, y0 )
z z
dz
x x0 y y0
Δx Δy. x y
Δz (2 0.02)2 (1 0.01)2 22 (1)2 0.1624
z 2xy2 z 2x2 y
x
y
z x
x2 4
y 1
Δy)
f (x0,
y0 )
Δy0
即 函数 z f (x, y) 在点(x0, y0 )可微
函数在该点连续.
连续是可微的必要条件， 或者说不连续必不可微.
02 全微分的性质
性质1 （全微分存在的必要条件）
设函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 可微，则该函数在此点
的两个偏导数 fx(x0, y0 )、f y(x0, y0 ) 必存在，且有
内容小结
1.可微及全微分的定义 d z d必要条件） A fx(x0, y0 ) B f y(x0, y0 )
性质2（全微分存在的充分条件）
d z z d x
x
z dy
y
fx(x, y)d x
f y(x, y)d y
谢谢
z x
dx
z y
dy
fx(x, y)d x
f y(x, y)d y
（全微分计算公式）
若函数 u f (x, y, z)存在全微分，则有 du u d x u d y u d z.
x y z
例题1：
求函数 z x2 y2在点 (2,1) 处，当 Δx 0.02, Δy 0.01 时的全增
为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 的全增量. 如果全增量可以表示成 Δz AΔx BΔy o(ρ), ρ (Δx)2 (Δy)2
其中 A、B 不依赖于Δx、Δy ,仅与x0、y0 有关,则称函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 可微，AΔx BΔy 称为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 )处的
全微分
目录
01 全微分的定义 02 全微分的性质
01 全微分的定义
复习 一元函数微分的相关概念
一元函数 y f (x)
可微 y Ax o(x)
微分 dy f (x)x d y f (x) d x
推广 多元函数的微分(全微分)
全 微分
定义 设函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 的某邻域内有定义，分别给 x0、y0 一增量 Δx、Δy ，则称 Δz f (x0 Δx, y0 Δy) f (x0, y0 )
z y
x2 8
y 1
全微分为
dz 4 0.02 (8) (0.01) 0.16
例题2：
求 z exsin(x y) 的全微分.
解 因为
z exsin(x y) excos(x y)
x
z excos(x y)
y
全微分为 d z z d x z d y
x y
[ exsin(x y) excos(x y)]dx excos(x y)dy