反比例函数说课课件需详解
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反比例函数的图象和性质说课课件
THANKS
正比例函数定义
一般地，形如y=kx（k为常数， k≠0）的函数叫做正比例函数。
表示形式差异
反比例函数通常表示为y=k/x， 而正比例函数则表示为y=kx。
图象和性质上的差异
01
反比例函数图象
反比例函数的图象属于双曲线，与x轴和y轴无交点，永远不与坐标轴相
的图象是一条直线，与x轴和y轴有交点，且过原点。
03
性质差异
反比例函数的图象在x轴和y轴的同一侧，且在二、四象限内，先递增后
递减；正比例函数的图象在x轴和y轴的同侧，且过原点，呈上升趋势。
应用上的差异
反比例函数应用
反比例函数主要用于解决与比例相关的实际问题，如行程问题、工程问题等。
正比例函数应用
正比例函数主要用于解决与速度相关的实际问题，如速度=路程/时间等。
奇偶性：反比例函数是奇函数，图像关于原点对称。
反比例函数的图象特点
连续性
反比例函数的图像在实数 范围内是连续的。
无界性
反比例函数的图像无法限 定在某一范围内，是延伸 到无穷大的。
垂直渐近线
当x趋向于正负无穷大时， y趋向于0，图像无限接近 于x轴。
反比例函数的图象变换
平移
反比例函数的图像可以通过上 下平移进行变换。
伸缩
反比例函数的图像可以通过伸缩变 换改变其纵横比。
旋转
反比例函数的图像在坐标系中保持 原点对称，可以任意角度旋转。
03
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
总结词：单调递减
详细描述：当k>0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当 k<0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大。
正比例函数定义
一般地，形如y=kx（k为常数， k≠0）的函数叫做正比例函数。
表示形式差异
反比例函数通常表示为y=k/x， 而正比例函数则表示为y=kx。
图象和性质上的差异
01
反比例函数图象
反比例函数的图象属于双曲线，与x轴和y轴无交点，永远不与坐标轴相
的图象是一条直线，与x轴和y轴有交点，且过原点。
03
性质差异
反比例函数的图象在x轴和y轴的同一侧，且在二、四象限内，先递增后
递减；正比例函数的图象在x轴和y轴的同侧，且过原点，呈上升趋势。
应用上的差异
反比例函数应用
反比例函数主要用于解决与比例相关的实际问题，如行程问题、工程问题等。
正比例函数应用
正比例函数主要用于解决与速度相关的实际问题，如速度=路程/时间等。
奇偶性：反比例函数是奇函数，图像关于原点对称。
反比例函数的图象特点
连续性
反比例函数的图像在实数 范围内是连续的。
无界性
反比例函数的图像无法限 定在某一范围内，是延伸 到无穷大的。
垂直渐近线
当x趋向于正负无穷大时， y趋向于0，图像无限接近 于x轴。
反比例函数的图象变换
平移
反比例函数的图像可以通过上 下平移进行变换。
伸缩
反比例函数的图像可以通过伸缩变 换改变其纵横比。
旋转
反比例函数的图像在坐标系中保持 原点对称，可以任意角度旋转。
03
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
总结词：单调递减
详细描述：当k>0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当 k<0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大。
反比例函数的图象与性质(说课课件)
在数学建模和实际问题解决中，有时需要将幂函数和反比例函数结合起来，以更好地描述实 际问题。
THANKS
谢谢
在实际生活中的应用
价格与销售量的关系
在市场经济中，价格与销售量通常成反比关系，价格上涨时，销售量通常会减少；反之，价格下降时，销售量通 常会增加。
人口密度与城市规模的关系
一般来说，大城市的人口密度较低，而小城市的人口密度较高。这是因为城市规模越大，人均占有的空间资源越 多，人口密度就越低。
05
CHAPTER
解析法
通过解析函数表达式，确定函数 图像在坐标系中的位置和形状。
描点法
选取一系列x值，计算对应的y值 ，然后在坐标系上描出对应的点 ，通过连接各点形成图像。
图像的特性分析
无限接近x轴与y轴
随着x的增大或减小，y值逐渐趋近于0，但永远不会等于0。
单调性
在各自象限内，随着x的增大或减小，y值分别单调递减或递增。
反比例函数的图象与性质（说 课课件)
目录
CONTENTS
• 反比例函数的概念 • 反比例函数的图像分析 • 反比例函数的性质研究 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
01
CHAPTER
反比例函数的概念
反比例函数的定义
01
反比例函数是指形如$f(x)
=
frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的
对称性
图像关于原点对称。
图像的变化规律
k值影响
随着k值的增大或减小，图像分别向右 上或左下方向移动。
渐近线
增减性
在第一象限和第三象限内，随着x的增 大，y值分别减小和增大；在第二象限 和第四象限内，随着x的增大，y值分 别增大和减小。
THANKS
谢谢
在实际生活中的应用
价格与销售量的关系
在市场经济中，价格与销售量通常成反比关系，价格上涨时，销售量通常会减少；反之，价格下降时，销售量通 常会增加。
人口密度与城市规模的关系
一般来说，大城市的人口密度较低，而小城市的人口密度较高。这是因为城市规模越大，人均占有的空间资源越 多，人口密度就越低。
05
CHAPTER
解析法
通过解析函数表达式，确定函数 图像在坐标系中的位置和形状。
描点法
选取一系列x值，计算对应的y值 ，然后在坐标系上描出对应的点 ，通过连接各点形成图像。
图像的特性分析
无限接近x轴与y轴
随着x的增大或减小，y值逐渐趋近于0，但永远不会等于0。
单调性
在各自象限内，随着x的增大或减小，y值分别单调递减或递增。
反比例函数的图象与性质（说 课课件)
目录
CONTENTS
• 反比例函数的概念 • 反比例函数的图像分析 • 反比例函数的性质研究 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他知识点的联系
01
CHAPTER
反比例函数的概念
反比例函数的定义
01
反比例函数是指形如$f(x)
=
frac{k}{x}$（其中$k neq 0$）的
对称性
图像关于原点对称。
图像的变化规律
k值影响
随着k值的增大或减小，图像分别向右 上或左下方向移动。
渐近线
增减性
在第一象限和第三象限内，随着x的增 大，y值分别减小和增大；在第二象限 和第四象限内，随着x的增大，y值分 别增大和减小。
关于反比例函数的ppt课件
05
反比例函数的学习方 法
理解概念和定义
总结词：掌握基础
详细描述：首先需要理解反比例函数的基本概念和定义，包括反比例函数的表达 式、自变量和因变量的关系等。
学习图像和性质
总结词：深入理解
详细描述：通过学习反比例函数的图像和性质，可以更好地理解函数的特性，包括函数的单调性、奇 偶性等。
掌握应用和比较
图像特性
正比例函数图像是一条通过原点 的直线，而反比例函数的图像则 位于第一象限和第三象限，且在 x轴和y轴上分别存在一个无穷远
点。
增减性
正比例函数随着x的增大而增大 或减小，而反比例函数在x增大 时y减小，在x减小时y增大。
与一次函数的比较
01
定义
一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k和b为常数且k≠0；反比例函数
题目2
已知反比例函数$y = frac{k}{x}$的图 象经过第一、三象限，且与直线$y = mx + b$相交于两点，求证：这两点 的横坐标互为相反数。
题目1
已知点$(m,n)$和$(p,q)$在反比例函 数$y = frac{k}{x}$的图象上，且$m times n = p times q$，求证：$k = 0$。
双曲余切函数
01
02
03
定义
双曲余切函数是双曲函数 的一种，定义为 (e^x + e^-x) / (e^x - e^-x)。
性质
双曲余切函数在实数范围 内是连续且可导的，具有 类似于余切函数的周期性 和奇偶性。
应用
双曲余切函数在解决某些 数学问题、优化算法和工 程计算中有应用。
双曲反正切函数
定义
关于反比例函数的 ppt课件
反比例函数说课稿课件
反比例函数说课稿课件《反比例函数》说课稿一、说教学内容（一）、本课时的内容、地位及作用本课内容是人教版八年级（下）数学第十七章《反比例函数》的第一课时，是继一次函数学习之后又一类新的函数——反比例函数，它位居初中阶段三大函数中的第二，区别于一次函数，但又建立在一次函数之上，而又为以后更高层次函数的学习，函数、方程、不等式间的关系的处理奠定了基础。
函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数则是基础函数，因此，本节内容有着举足轻重的地位。
（二）、本课题的教学目标教学目标是教学的出发点和归宿。
因此，我根据新课标的知识、能力和德育目标的要求，以学生的认知点，心理特点和本课的特点来制定教学目标：1、知识目标（1）通过对实际问题的探究，理解反比例函数的实际意义。
（2）体会反比例函数的不同表示法。
（3）会判断反比例函数。
2、能力目标（1）通过三个实际问题，培养学生勤于思考和分析归纳能力。
（2）在思考、归纳过程中，发展学生的合情说理能力。
（3）让学生会用待定系数法求反比例函数关系式。
3、情感目标（1）通过创设情境让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程，体验数学活动与人类的生活的密切联系，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯。
（2）理论联系实际，让学生有学有所用的感性认识。
4、本课题的重点、难点和关键重点：反比例函数的概念难点：求反比例函数的解析式。
关键：如何由实际问题转化为数学模型。
二、说教学方法本课将采用探究式教学，让学生主动去探索，并分层教学将顾及到全体学生，达到优生得到培养，后进生也有所收获的效果。
同时在教学中将理论联系实际，让学生用所学的知识去解决身边的实际问题。
由于学生在前面已学过“变量之间的关系”和“一次函数”的内容，对函数已经有了初步的认识。
因此，在教这节课时，要注意和一次函数，尤其是正比例函数一反比例的类比。
引导学生从函数的意义、自变量的取值范围等方面辨明相应的差别，在学生探索过程中，让学生体会到在探索的途径和方法上与一次函数相似。
《反比例函数》PPT课件
些这样的实际例子吗？
问题4：
若y =(m + 1)xm 2-2 是关于x的反比例
函数,确定m的值,并求其函数关系式。
说说收获
1.通过本节课的学习，你有哪些收获？ 2.你还存在什么疑问？
课后作业
1.课本:习题1，2，3，4 2.举两个生活中有关反比例函数
的例子。Biblioteka 问题4: 一个面积为6400㎡的长方形,那么花坛
的长a(m)与宽b(m)之间的关系式为
问题5:京沪高速公路长1262km，汽车沿京沪 高速公路从上海驶往北京，汽车行完
全程所需的时间t（h）与行驶的平均
速度v(km/h)之间的函数关系式为
反比例函数的定义
成一般地y ，=如xk（果k两为个常变数量，xk，≠y之0）间的的形关式系，可那以么表示
物理中的数学
例1:电流I、电阻R、电压U之间满足关系式
U=IR。在照明电路中，正常电压U=220V。
（1）求I与R之间的函数关系式 ？ （2）变量I是R的反比例函数吗？ （3）利用写出的关系式完成下表：
R（Ώ）
20
60
I（A）
2.2
例2:在某一电路中,保持电压U(伏)不变， 电流I(安)是电阻R(欧)的反比例函 数,当电阻R=5欧时,电流I=2安。
称y是x的反比例函数。
注意:变量x,y都不能等于0.
基础练习
下列函数表达式中，x表示自变量，哪些是反比 例函数？若是，请指出相应的k值。
（1）y
=
4
x
（2）
y
=
-
1
2x
（3）
y
=
1-x
（4）xy = 1
（5）y
=
关于反比例函数的ppt课件
。
鼓励提问
02
鼓励学生提出自己的疑问和不解，可以是对知识点的理解问题
，也可以是相关应用问题。
问题记录
03
老师或助教将学生的问题记录下来，以便在后续环节中进行解
答。
小组讨论环节组织安排
分组方式
根据学生的座位或者自愿组合，将学生分成若干小组，每 组4-6人。
讨论时间
给每个小组分配5-8分钟的讨论时间，要求学生在规定时 间内围绕主题展开讨论。
标轴是反比例函数的渐近线。
对称性
反比例函数图像关于原点对称，即 如果(x,y)在图像上，那么(-x,-y)也 在图像上。
增减性
在第一象限和第三象限内，随着x的 增大，y的值逐渐减小；在第二象限 和第四象限内，随着x的增大，y的 值逐渐增大。
与正比例函数关系
• 正比例函数与反比例函数的关系：正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x的图像都经过原点，但它们的图像形状和性质完全 不同。正比例函数的图像是一条过原点的直线，而反比例函数的图像是一条以原点为中心的双曲线。当k>0时，正比例函数 的图像在第一、三象限，而反比例函数的图像也在第一、三象限；当k<0时，正比例函数的图像在第二、四象限，而反比例 函数的图像也在第二、四象限。因此，我们可以通过观察函数的图像来判断它是正比例函数还是反比例函数。
变化。
弹簧振子运动规律
胡克定律
描述弹簧伸长或压缩量与弹力之间的关系，即F=kx，其中 k为弹簧常数，x为伸长或压缩量。当弹力固定时，伸长或 压缩量与弹簧常数成反比。
振动周期与弹簧常数
弹簧振子的振动周期与弹簧常数成反比，可以用反比例函 数来描述这种关系。
能量与振幅
弹簧振子的振动能量与其振幅的平方成正比，而振幅与弹 簧常数成反比，因此能量与弹簧常数之间具有复杂的反比 例关系。
九年级下册数学《反比例函数》说课课件
1 第一环节：创设情境，引出课题
旧知回顾：什么是函 数？我们学习过哪些 具体的函数
师生共同复习回顾， 为本课时的函数模型做铺 垫，为后面类比学习反比 例函数的概念形成过程打 下基础
问题引入
设计意图
1 第一环节：创设情境，引出课题
问题1、 港珠澳大桥全长为55km，在通过全桥时，某穿 梭巴士的平均速度v（单位：km/思考1、 港珠澳大桥全 长为55km，在通过全桥时，某穿梭巴士的平均速度v （单位：km/h)随此巴士的运行时间t（单位：h）的变化 而变化；
说教材
• 教学背景
• 教学重难 点
说教学目标
• 知识与技 能
• 过程与方 法
• 情感态度 与价值观
说教法学法
• 教法 • 学法
说板书设计
•板书内容
说教学过程
• 创设情境 • 新知探究 •典例分析 •课堂小结
1
教学背景
2
教学重难点
1 教学背景
本节课是人教版数学九年级下册第二十六章《反比例函数 》的第一课时，本节内容是在学生已具有了对函数概念的 理解，掌握了一次函数、二次函数的基础上进行学习的、 可以说是对函数概念、一次函数、二次函数的相关知识的 延伸和再认识、再巩固，同时也为学生将来学习三角函数 、对数函数等相关知识打下坚实基础，而反比例函数的应 用又是解决实际问题的有效办法，因此反比例函数知识在 初中教学中占据着较为重要的地位。
问题引入
设计意图
2 第二环节：新知探究
探究：请同学们观察这三个函数 表达式在表达形式上有什么共同 之处
v 55 , y 1000 , s 2.0257 104
t
x
n
让学生在观察出它们的 共同特征之后，根据已 有的一次函数、二次函 数概念的形成过程，类 比归纳出反比例函数的 概念。
27.1 反比例函数课件(共16张PPT)
1.要制作容积为15 700 cm3的圆柱形水桶，水桶的底面积为S cm2，高为h cm，则Sh= ，用h表示S的函数表达式为 .2.自行车运动员在长为10 000 m的路段上进行骑车训练，行驶全程所用时间为t s，行驶的平均速度为v m/s，则vt= ，用t表示v的函数表达式为 .3.y与x的乘积为-2，用x表示y的函数表达式为 .
2.下列函数是y关于x的反比例函数的是( ) A. B. C. D.3.若函数 是反比例函数，则m的值是_____.
C-1ຫໍສະໝຸດ 展提升答案：解：2. 已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=4. (1)写出y关于x的函数表达式； (2)当x = 1.5时，求y的值； (3)当y = 6时，求x的值.
第 二十七章 反比例函数
27.1 反比例函数
学习目标
1．认识反比例函数的概念.2．能够根据已知条件，确定反比例函数的表达式.
学习重难点
重点
理解反比例函数的概念；能根据已知条件写出函数表达式.
难点
理解反比例函数的概念.
情景引入
若将成正比例的两个量视为变量，则这两个量之间具有正比例函数关系.那么，当将两个成反比例的量视为变量时，它们之间又具有怎样的函数关系呢？
做一做
新知引入
知识点1 反比例函数的定义
15 700
10 000
归纳总结
k≠0
自变量 x 的取值范围是不等于 0 的实数.
典型例题
例1
写出下列问题中y与x之间的函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数k.（1）y与x互为相反数.（2）y与x互为负倒数.（3）y与2x的积等于a（a为常数，且a≠0）.
k≠0
知识点2 确定反比例函数的表达式
2.下列函数是y关于x的反比例函数的是( ) A. B. C. D.3.若函数 是反比例函数，则m的值是_____.
C-1ຫໍສະໝຸດ 展提升答案：解：2. 已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=4. (1)写出y关于x的函数表达式； (2)当x = 1.5时，求y的值； (3)当y = 6时，求x的值.
第 二十七章 反比例函数
27.1 反比例函数
学习目标
1．认识反比例函数的概念.2．能够根据已知条件，确定反比例函数的表达式.
学习重难点
重点
理解反比例函数的概念；能根据已知条件写出函数表达式.
难点
理解反比例函数的概念.
情景引入
若将成正比例的两个量视为变量，则这两个量之间具有正比例函数关系.那么，当将两个成反比例的量视为变量时，它们之间又具有怎样的函数关系呢？
做一做
新知引入
知识点1 反比例函数的定义
15 700
10 000
归纳总结
k≠0
自变量 x 的取值范围是不等于 0 的实数.
典型例题
例1
写出下列问题中y与x之间的函数关系式，指出其中的正比例函数和反比例函数，并写出它们的比例系数k.（1）y与x互为相反数.（2）y与x互为负倒数.（3）y与2x的积等于a（a为常数，且a≠0）.
k≠0
知识点2 确定反比例函数的表达式
反比例函数ppt课件
本节课我们开始学习反比例函数.
探究新知
知识点1 反比例函数的概念
问题1 京沪线铁路全程为 1 463 km，某次列车的平均速度 v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间 t（单位：h） 的变化而变化. （1）平均速度 v，运行时间 t 存在什么数量关系？
（2）这两个变量间有函数关系吗？试说明理由. （3）你能写出 v 关于 t 的解析式吗？
位：m）随宽 x（单位：m）的变化而
变化.
y 1 000 x
问题3 已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人均占有面 积 S（单位： km2 /人）随全市总人口 n（单位：人）的变化 而变化.
1.68 104 S
n
v 1 463 t
y 1 000 x
S 1.68104 n
y k（k ≠ 0） x
高 h（单位：cm）随底面积 S（单位：cm2）的变化
而变化；
h 1 000 S
k = 1 000
（3）一个物体重 100 N，物体对地面的压强 p
（单位：Pa）随物体与地面的接触面积 S（单位：
m2）的变化而变化.
p 100 S
k = 100
2．下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函
数？并指出比例系数.
的比例系数 k 是
____2_____.
练习
1．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应 关系，并指出比例系数 k 的值.
（1）一个游泳池的容积为 2 000 m3，游泳池注 满水所用时间 t（单位：h）随注水速度 v（单位： m3/h）的变化而变化；
t 2 000 k = 2 000 v
（2）某长方体的体积为 1 000 cm3，长方体的
探究新知
知识点1 反比例函数的概念
问题1 京沪线铁路全程为 1 463 km，某次列车的平均速度 v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间 t（单位：h） 的变化而变化. （1）平均速度 v，运行时间 t 存在什么数量关系？
（2）这两个变量间有函数关系吗？试说明理由. （3）你能写出 v 关于 t 的解析式吗？
位：m）随宽 x（单位：m）的变化而
变化.
y 1 000 x
问题3 已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人均占有面 积 S（单位： km2 /人）随全市总人口 n（单位：人）的变化 而变化.
1.68 104 S
n
v 1 463 t
y 1 000 x
S 1.68104 n
y k（k ≠ 0） x
高 h（单位：cm）随底面积 S（单位：cm2）的变化
而变化；
h 1 000 S
k = 1 000
（3）一个物体重 100 N，物体对地面的压强 p
（单位：Pa）随物体与地面的接触面积 S（单位：
m2）的变化而变化.
p 100 S
k = 100
2．下列哪些关系式中的 y 是 x 的反比例函
数？并指出比例系数.
的比例系数 k 是
____2_____.
练习
1．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应 关系，并指出比例系数 k 的值.
（1）一个游泳池的容积为 2 000 m3，游泳池注 满水所用时间 t（单位：h）随注水速度 v（单位： m3/h）的变化而变化；
t 2 000 k = 2 000 v
（2）某长方体的体积为 1 000 cm3，长方体的
26.1.1 反比例函数课件(共22张PPT)
x
例如:
①y-1与x+1成反比例，则y-1= k ; x和y不是反比例函数
②若y与x2成反比例，则y=
k x2
x1
成反比例关系，x和y不是反比例函数
③反比例函数y= k (k≠0) 必成反比例关系
x
26.1.1 反比例函数
(5) y k (k为常数) 6 xy 123 x 解：(5)k可能为0，不是反比例函数
x1
26.1.1 反比例函数
课堂小结
形如y k （k为常数，k ≠ 0） x ，y均不等于0．
概念
x
其他形式：1. xy = k ； 2. y = kx-1；3. y k
反 比
( k 为常数，k ≠ 0)
x
例
x, y可以表示单独字母，
函
x与y成反比例 多项式或单项式
数 成反比例与反
比例函数的区别
7 y - 2 8 y 6
3x
x1
解：(6)是反比例函数，可化为 y
123 x
，自变量x≠0，因变量y≠0
2
解：(7)是反比例函数，可化为 y 3 ，自变量x≠0，因变量y≠0
x
解：(8)不是反比例函数
26.1.1 反比例函数
试一试
根据上面的练习，你能帮小唯唯总结一下反比例函数有哪些形式吗？
一般形式
(
k2
≠
0
)，
则
y
k1
x
1
k2 x
1
.
∵ x = 0 时，y = -3；x = 1 时，y = -1，
∴ -3= -k1+k2
1
1 2
k2
∴k1 = 1，k2 = -2.
例如:
①y-1与x+1成反比例，则y-1= k ; x和y不是反比例函数
②若y与x2成反比例，则y=
k x2
x1
成反比例关系，x和y不是反比例函数
③反比例函数y= k (k≠0) 必成反比例关系
x
26.1.1 反比例函数
(5) y k (k为常数) 6 xy 123 x 解：(5)k可能为0，不是反比例函数
x1
26.1.1 反比例函数
课堂小结
形如y k （k为常数，k ≠ 0） x ，y均不等于0．
概念
x
其他形式：1. xy = k ； 2. y = kx-1；3. y k
反 比
( k 为常数，k ≠ 0)
x
例
x, y可以表示单独字母，
函
x与y成反比例 多项式或单项式
数 成反比例与反
比例函数的区别
7 y - 2 8 y 6
3x
x1
解：(6)是反比例函数，可化为 y
123 x
，自变量x≠0，因变量y≠0
2
解：(7)是反比例函数，可化为 y 3 ，自变量x≠0，因变量y≠0
x
解：(8)不是反比例函数
26.1.1 反比例函数
试一试
根据上面的练习，你能帮小唯唯总结一下反比例函数有哪些形式吗？
一般形式
(
k2
≠
0
)，
则
y
k1
x
1
k2 x
1
.
∵ x = 0 时，y = -3；x = 1 时，y = -1，
∴ -3= -k1+k2
1
1 2
k2
∴k1 = 1，k2 = -2.
反比例函数ppt课件
x
y
.
∴y＝
∴当菱形的面积一定时,它的一条对角线长y是另一条对角线长x的反比
例函数.
典例精析
例3 已知y 是关于 x 的反比例函数，当 x =0.3时，y = -6. 求 y 关于
x 的函数表达式和自变量 x 的取值范围.
解：∵ y 是关于 x 的反比例函数，
∴可设
y=
( k 为常数， k ≠0).
x和y不为反比例关系
是.
k= ，x≠0
不是
⑤y=3x-1 x和y的积为3，为反比例关系 是. k=， x≠0
知识要点
1.判断一个函数为反比例函数的条件：
①函数表达式形如y＝
(一般式）或y＝kx－1 （乘积式）
或xy＝k（判别式）的等式.
②比例系数k是常数，且k≠0.
2.反比例函数y＝ 的取值范围：
第一章 反比例函数
1.1 反比例函数
复习导入
1.什么是函数？
如果变量y随着变量x而变化，并且对于x所取的每一个值，y
都有 唯一 的一个值和它对应，那么称y是x的函数.其中
x 叫
做自变量， y 叫做因变量.
2.什么是一次函数？
一般形式： y=kx+b
（k、b为常数，k ≠0），y称作x的
一次函数.
特别地，当b=0时，称y是x的 正比例 函数，即y= kx （k为常数，
求解析式方法：待定系数法
设、列、解、代
k≠0）.
复习导入
3.反比例关系：
如果两个量x和y的积k是一个常数，即满足
xy=k
为常数，k≠0)，那么x、y就成反比例关系.
初三反比例函数ppt课件
揭示本质
从函数形式上，我们可以将反比例函 数表示为y=k/x，其中k为常数，且 k≠0。这表明函数的输出y与输入x成 反比关系。
反比例函数的表达形式基本源自式y=k/x，其中k为常数，且k≠0。
变形形式
当k>0时，函数图像位于第一、三象限，y随x的增大而减小；当k<0时，函数图 像位于第二、四象限，y随x的增大而增大。
交点与函数图像的关系
01
当两个函数有交点时，交点的横 纵坐标分别对应两个函数在某一 点处的函数值。
02
通过交点，可以观察两个函数在 某一点处的相互关系及其变化趋 势。
利用交点解决实际问题
路程问题
01
在两个物体以不同速度相对运动的问题中，交点的横坐标表示
相遇的时间，纵坐标表示相遇的地点。
工程问题
02
满足奇偶性定义
由于反比例函数满足奇函数的定义 ，即$f( - x) = - f(x)$，因此它是奇 函数。
反比例函数的凹凸性
二阶导数判定
通过求二阶导数判断函数的凹凸 性。如果二阶导数大于0，则函 数是凹函数；如果二阶导数小于 0，则函数是凸函数。对于反比 例函数，可以通过求导再求二阶
导数来判断凹凸性。
在工程进度问题中，交点的横坐标表示完成工程所需的总时间
，纵坐标表示完成工程量。
经济问题
03
在投入产出问题中，交点的横坐标表示投资额，纵坐标表示产
值。
06
CATALOGUE
复习与巩固
反比例函数的概念与性质复习
总结词：掌握基础
详细描述：通过图表和实例，复习反 比例函数的概念和性质，包括定义、 表达式、图像等。
凹函数
通过计算二阶导数发现，反比例 函数是凹函数。这意味着函数图
从函数形式上，我们可以将反比例函 数表示为y=k/x，其中k为常数，且 k≠0。这表明函数的输出y与输入x成 反比关系。
反比例函数的表达形式基本源自式y=k/x，其中k为常数，且k≠0。
变形形式
当k>0时，函数图像位于第一、三象限，y随x的增大而减小；当k<0时，函数图 像位于第二、四象限，y随x的增大而增大。
交点与函数图像的关系
01
当两个函数有交点时，交点的横 纵坐标分别对应两个函数在某一 点处的函数值。
02
通过交点，可以观察两个函数在 某一点处的相互关系及其变化趋 势。
利用交点解决实际问题
路程问题
01
在两个物体以不同速度相对运动的问题中，交点的横坐标表示
相遇的时间，纵坐标表示相遇的地点。
工程问题
02
满足奇偶性定义
由于反比例函数满足奇函数的定义 ，即$f( - x) = - f(x)$，因此它是奇 函数。
反比例函数的凹凸性
二阶导数判定
通过求二阶导数判断函数的凹凸 性。如果二阶导数大于0，则函 数是凹函数；如果二阶导数小于 0，则函数是凸函数。对于反比 例函数，可以通过求导再求二阶
导数来判断凹凸性。
在工程进度问题中，交点的横坐标表示完成工程所需的总时间
，纵坐标表示完成工程量。
经济问题
03
在投入产出问题中，交点的横坐标表示投资额，纵坐标表示产
值。
06
CATALOGUE
复习与巩固
反比例函数的概念与性质复习
总结词：掌握基础
详细描述：通过图表和实例，复习反 比例函数的概念和性质，包括定义、 表达式、图像等。
凹函数
通过计算二阶导数发现，反比例 函数是凹函数。这意味着函数图
反比例函数ppt免费课件
与一次函数的结合
一次函数和反比例函数结合可以 形成复合函数，这种复合函数在 解决实际问题中具有广泛的应用
。
与二次函数的结合
在解决最值问题时，可以利用反比 例函数和二次函数的性质进行求解 。
与对数函数的结合
在解决增长率问题时，可以利用反 比例函数和对数函数的性质进行求 解。
CHAPTER 03
反比例函数的性质和特点
CHAPTER 02
反比例函数的应用
反比例函数在实际问题中的应用
01
02
03
物理问题
电流与电阻的关系、压强 与压力的关系等都可以用 反比例函数表示。
经济问题
例如，商品销售量与价格 的关系，当价格一定时， 销售量与价格成反比。
地理问题
例如，人口密度与土地面 积的关系，在一定条件下 ，人口密度与土地面积成 反比。
反比例函数的单调性
01
反比例函数在各自象限内单调递 减，随着x的增大，y值逐渐减小 。
02
在第一象限和第三象限，当x增大 时，y值减小；在第二象限和第四 象限，当x增大时，y值也减小。
反比例函数的奇偶性
反比例函数是奇函数，满足f(-x)=-f(x)。 在坐标系中，反比例函数的图像关于原点对称。
反比例函数的周期性和对称性
探讨两者图像的交点、单调性以及函数值的变化规律。
反比例函数与二次函数的结合
研究如何利用反比例函数的性质解决二次函数问题，如求最值等。
反比例函数在微积分中的应用
导数与反比例函数
理解反比例函数的导数形式，掌 握利用导数研究函数的单调性、 极值等问题。
积分与反比例函数
掌握对反比例函数进行积分的计 算方法，理解积分在解决实际问 题中的应用。
初中数学反比例函数ppt课件ppt
难点
如何理解反比例函数的实际应用，以及如何利用反比例函数解决实际问题。
THANKS
感谢观看
高难度练习
综合应用
给出一些多个反比例函数的问题，让学生综合运用所学知识 解决。
探索性题目
让学生自己探索反比例函数的性质和表达式的规律，提出自 己的猜想并加以验证。
06
总结与回顾
反比例函数的主要内容
定义和表达式
应用和实际意义
图像和性质
重点和难点回顾
重点
反比例函数的图像和性质，特别是当k>0和k<0时函数的图像和性质的变化。
04
反比例函数的难点与易错 点
反比例函数的难点
函数表达式理解
理解反比例函数的表达式 和系数含义，区分正比例 函数和反比例函数。
图像绘制
掌握反比例函数的图像绘 制方法，理解图像的形状 、趋势和与坐标轴的交点 。
实际问题应用
能够将实际问题转化为反 比例函数问题，并利用反 比例函数解决实际问题。
反比例函数的易错点
奇偶性
由于反比例函数是奇函数，因此 其图像关于原点对称。
单调性
在某个区间内，如果函数的导数大 于0，则函数是单调递增的；如果 函数的导数小于0，则函数是单调 递减的。
曲线的渐近线
反比例函数的图像没有水平渐近线 ，但有垂直渐近线。当函数趋向于 无穷大时，函数值会趋向于0。
反比例函数的单调性
单调递增区间
定义域和值域：x≠0，y≠0
反比例函数的基本形式
y=k/x（k为常数，k≠0）
图像：双曲线
变化规律：当k>0时，图像在第一、三象限，y值随x的增大而减小；当k<0时，图像在第二 、四象限，y值随x的增大而增大。
如何理解反比例函数的实际应用，以及如何利用反比例函数解决实际问题。
THANKS
感谢观看
高难度练习
综合应用
给出一些多个反比例函数的问题，让学生综合运用所学知识 解决。
探索性题目
让学生自己探索反比例函数的性质和表达式的规律，提出自 己的猜想并加以验证。
06
总结与回顾
反比例函数的主要内容
定义和表达式
应用和实际意义
图像和性质
重点和难点回顾
重点
反比例函数的图像和性质，特别是当k>0和k<0时函数的图像和性质的变化。
04
反比例函数的难点与易错 点
反比例函数的难点
函数表达式理解
理解反比例函数的表达式 和系数含义，区分正比例 函数和反比例函数。
图像绘制
掌握反比例函数的图像绘 制方法，理解图像的形状 、趋势和与坐标轴的交点 。
实际问题应用
能够将实际问题转化为反 比例函数问题，并利用反 比例函数解决实际问题。
反比例函数的易错点
奇偶性
由于反比例函数是奇函数，因此 其图像关于原点对称。
单调性
在某个区间内，如果函数的导数大 于0，则函数是单调递增的；如果 函数的导数小于0，则函数是单调 递减的。
曲线的渐近线
反比例函数的图像没有水平渐近线 ，但有垂直渐近线。当函数趋向于 无穷大时，函数值会趋向于0。
反比例函数的单调性
单调递增区间
定义域和值域：x≠0，y≠0
反比例函数的基本形式
y=k/x（k为常数，k≠0）
图像：双曲线
变化规律：当k>0时，图像在第一、三象限，y值随x的增大而减小；当k<0时，图像在第二 、四象限，y值随x的增大而增大。
《反比例函数》PPT课件
（来自《点拨》）
1 列说法不正确的是( )
1
A．在y＝ x －1中，y＋11与x成反比例
x
B．在xy＝－12中，y与 成正比例
2x2
C．在y＝
中，y与x成反比例
知2－练
（来自《典中点》）
知识点 2 确定反比例函数的表达式
知2－讲
1. 求反比k例函数的表达式，就是确定反比例函数表达式
y ＝ x (k≠0)中常数k的值，它一般需经历：
知3－练
（来自《典中点》）
知3－练
2 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80 千米/小
时的平均速度用了4个小时到达乙地，当他按原
路匀速返回时，汽车的速度v千米/小时与时间t小
时的函数关系是( )
A．v＝320t C．v＝20t
B．v＝
320 t
D．v＝
20 t
（来自《典中点》）
一般地形如y= （k为k常数， ⑴“反比例关系”与“反比例函数”：成反 x
（来自《点拨》）
总结
知3－讲
建立反比例函数的模型，首先要找出题目中的
等量关系，然后把未知量用未知数表示，列出等式，
转化为反比例函数的一般式即可.同时注意未知数的
取值范围.
（来自《点拨》）
1 在下列选项中，是反比例函数关系的是( ) A．多边形的内角和与边数的关系 B．正三角形的面积与边长的关系 C．直角三角形的面积与边长的关系 D．三角形的面积一定时，它的底边长a与这边上 的高h之间的关系
速地求出反比例函数解析式中的k.从而得到反比例函数的 解析式.两个变量的积均是一个常数(或定值).这也是识别两 个量是否成反比例函数关系的关键.
用待定系数法确定反比例函数表达的“四步骤”：
反比例函数概念说课课件
12
问题五：形成概念
12
请同学们观察黑板上这3个表达式有什么共同的特点？y=50/x t=1500/v I=220/R归纳以上几个函数表达式的共同特点:①每个表达式中都有 2 个变量， 1 个常量，因变量随自变量的变化而变化）；②表达式右面是分式形式且常数在分子位置，分母位置只有一个自变量；这些具有相同特征的一类函数叫做反比例函数，你能根据上述分析的特点类比着正比例函数的定义给反比例函数下一个定义吗？
12
的剖析，使学生对反比例函数的表象认识上升到
2.反比例本函质数的的认一识般，形从式而：深刻理解(k反为比常例数函，数k≠的0)概念，
思考：自突变破量难x点的，取为值后范续围运？用概念解决问题提供扎实的3.反比例函数的3种形式（学生归理纳论）基础。
； （ ）y=- （3） y=1-x
（4）xy=1 ； （5） y= (6)y=
25
5.归纳总结，反思提高
25
通过这节课的学习，你学到了什么知识?收获了哪些方法和技能?你还有哪些疑惑？
学生自主梳理本节课中的知识点，思想和方法。
设计意图
通过问题式的小结，让学生再次归纳、总结本节课的重点，完善知识体系。
6.推荐作业，分层落实
必做题：
25
计划修建铁路1200km，那么铺轨天数y（d）是每日铺轨量x的反比例 函数吗？解：因为 设计意图：必做题体现了，所对以新y课是x标的下反比“学例有函数价。三角形的面积S是常值数的，数它学的一”、条边“人长人为y能,这获条得边必上要的高的为数x,学列”出的y 落实 关于b的函数关，系选式为做题体现了让“不同的。 人在数学上得到不同已知变量y与x成反的比发例，展并。且当x=2时，y=6。求（1） y与x之间的函数关系式 （2）当x=4时，求y的值。拓展延伸（选做题）：
问题五：形成概念
12
请同学们观察黑板上这3个表达式有什么共同的特点？y=50/x t=1500/v I=220/R归纳以上几个函数表达式的共同特点:①每个表达式中都有 2 个变量， 1 个常量，因变量随自变量的变化而变化）；②表达式右面是分式形式且常数在分子位置，分母位置只有一个自变量；这些具有相同特征的一类函数叫做反比例函数，你能根据上述分析的特点类比着正比例函数的定义给反比例函数下一个定义吗？
12
的剖析，使学生对反比例函数的表象认识上升到
2.反比例本函质数的的认一识般，形从式而：深刻理解(k反为比常例数函，数k≠的0)概念，
思考：自突变破量难x点的，取为值后范续围运？用概念解决问题提供扎实的3.反比例函数的3种形式（学生归理纳论）基础。
； （ ）y=- （3） y=1-x
（4）xy=1 ； （5） y= (6)y=
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5.归纳总结，反思提高
25
通过这节课的学习，你学到了什么知识?收获了哪些方法和技能?你还有哪些疑惑？
学生自主梳理本节课中的知识点，思想和方法。
设计意图
通过问题式的小结，让学生再次归纳、总结本节课的重点，完善知识体系。
6.推荐作业，分层落实
必做题：
25
计划修建铁路1200km，那么铺轨天数y（d）是每日铺轨量x的反比例 函数吗？解：因为 设计意图：必做题体现了，所对以新y课是x标的下反比“学例有函数价。三角形的面积S是常值数的，数它学的一”、条边“人长人为y能,这获条得边必上要的高的为数x,学列”出的y 落实 关于b的函数关，系选式为做题体现了让“不同的。 人在数学上得到不同已知变量y与x成反的比发例，展并。且当x=2时，y=6。求（1） y与x之间的函数关系式 （2）当x=4时，求y的值。拓展延伸（选做题）：