2017上海市黄浦区高三二模数学试题及答案

2．若关于 x, y 的方程组 ⎨

有无数多组解，则实数 a = _________． 4 x + ay - 2 = 0

5．若函数 f ( x ) = ⎨

a x + 1 ( x ≥ 0)

是 6．设变量 x, y 满足约束条件 ⎨ x - y ≤ 1，则目标函数 z = -2 x + y 的最小值为． ⎪ y ≤ 2， ⎪ n

=⎨ 1 若

⎪ b ⎩ n

黄浦区 2017 年高考模拟考

数 学 试卷 2017 年 4 月

（完卷时间：120 分钟满分：150 分）

一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分. 其中第 1~6 题每题满分 4 分，第 7~12 题每题

满分 5 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．函数 y = 2x - x 2 的定义域是．

⎧ ax + y - 1 = 0， ⎩

3．若“ x 2 - 2x - 3 > 0 ”是“ x < a ”的必要不充分条件，则 a 的最大值为．

4．已知复数 z = 3 + 4i ， z = t + i (其中 i 为虚数单位)，且 z ⋅ z 是实数，则实数 t 等于．

1

2 1 2

⎧

- x + 3a ( x < 0), ⎩ (a >0,且 a ≠1) R 上的减函数，则 a 的取值范围是．

⎧ x + y ≥ 2，

⎪ ⎩

7. 已知圆 C : ( x - 4)2 + ( y - 3)2 = 4 和两点 A(-m , 0), B(m , 0)( m > 0) ，若圆 C 上至少存在一

点 P ，使得 ∠APB = 90︒ ，则 m 的取值范围是．

π π

8.已知向量 a = (cos( + α ), 1) ， b = (1, 4) ，如果 a ∥ b ，那么 cos( - 2α ) 的值为．

3 3

9．若从正八边形的 8 个顶点中随机选取 3 个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角

形的概率是

．

π 10．若将函数 f ( x ) = | sin(ωx - ) | (ω > 0) 的图像向左平移 8

π 12

个单位后，所得

图像对应的函数为偶函数，则ω 的最小值是．

11．三棱锥 P - ABC 满足： AB ⊥ AC ， AB ⊥ AP ， AB = 2 ， AP + AC = 4 ，

则该三棱锥的体积 V 的取值范围是．

（第 11 题图）

12．对于数列{a } ，若存在正整数T ，对于任意正整数n 都有 a

n

是以 T 为

n +T

= a 成立，则称数列{a }

n n

周期的周期数列．设b = m (0 < m < 1) ，对任意正整数 n 都有 b 1

n +1 ⎧b - 1 (b > 1)，

n (0 < b ≤ 1)， n

数列 {b }

n

是以 5 为周期的周期数列，则 m 的值可以是．(只要求填写满足条件的一个 m 值即可)

二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题

纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．

π π

13．下列函数中，周期为 ，且在 [ π ， ]

上为减函数的是（） 4 2

π π

A ．y=sin(2x + )

B ．y = cos(2x + )

2 2 π π

C ．y=sin(x + )

D ．y = cos(x + )

2 2

14．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的

表面积是（）

A ． 9π

B ．10π

C ．11π

D ．12π

15．已知双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2

= 1(a > 0, b > 0) 的右焦点到左顶点的距离等

于它到渐近线距离的 2 倍，则其渐近线方程为（ ）

A ． 2x ± y = 0

B ． x ± 2 y = 0

C ． 4 x ± 3 y = 0

D ． 3x ± 4 y = 0

16．如图所示， ∠BAC = 2π

，圆 M 与 AB, AC 分别相切于点 D, E ，

3

AD = 1 ，点 P 是圆 M 及其内部任意一点，且 AP = x AD + y AE

( x , y ∈ R) ，则 x + y 的取值范围是（

）

A ． [1,4 + 2 3]

B ． [4 - 2 3,4 + 2 3]

C ． [1,2 + 3]

D ． [2 - 3,2 + 3]

三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分．）解答下列各题必须在答题 纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分 14 分） 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．

如图，在直棱柱 ABC - A B C 中， AA = AB = AC = 2 ， AB ⊥ AC ， D ,E ,F 分别是 1 1 1

1

A B , CC , BC 的中点．

1 1

1

（1）求证： AE ⊥ DF ；

（2）求 AE 与平面 DEF 所成角的大小及点 A 到平面 DEF 的距离．