连续介质力学作业必做题
流体力学习题解答
流体力学习题解答一、填 空 题1．流体力学中三个主要力学模型是（1）连续介质模型（2）不可压缩流体力学模型（3）无粘性流体力学模型。
2．在现实生活中可视为牛顿流体的有水 和空气 等。
3．流体静压力和流体静压强都是压力的一种量度。
它们的区别在于：前者是作用在某一面积上的总压力；而后者是作用在某一面积上的平均压强或某一点的压强。
4．均匀流过流断面上压强分布服从于水静力学规律。
5．和液体相比，固体存在着抗拉、抗压和抗切三方面的能力。
6．空气在温度为290K ，压强为760mmHg 时的密度和容重分别为 1.2a ρ= kg/m 3和11.77a γ=N/m 3。
7．流体受压，体积缩小，密度增大 的性质，称为流体的压缩性 ；流体受热，体积膨胀，密度减少 的性质，称为流体的热胀性 。
8．压缩系数β的倒数称为流体的弹性模量 ，以E 来表示9．１工程大气压等于98.07千帕，等于10m 水柱高，等于735.6毫米汞柱高。
10．静止流体任一边界上压强的变化，将等值地传到其他各点（只要静止不被破坏），这就是水静压强等值传递的帕斯卡定律。
11．流体静压强的方向必然是沿着作用面的内法线方向。
12．液体静压强分布规律只适用于静止、同种、连续液体。
=13．静止非均质流体的水平面是等压面，等密面和等温面。
14．测压管是一根玻璃直管或U 形管，一端连接在需要测定的容器孔口上，另一端开口，直接和大气相通。
15．在微压计测量气体压强时，其倾角为︒=30α，测得20l =cm 则h=10cm 。
16．作用于曲面上的水静压力P 的铅直分力z P 等于其压力体内的水重。
17．通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法称为欧拉法。
19．静压、动压和位压之和以z p 表示，称为总压。
20．液体质点的运动是极不规则的，各部分流体相互剧烈掺混，这种流动状态称为紊流。
21．由紊流转变为层流的临界流速k v 小于 由层流转变为紊流的临界流速kv '，其中kv '称为上临界速度，k v 称为下临界速度。
（完整版）流体力学练习题
（完整版）流体⼒学练习题⼀、选择题1、连续介质假设意味着 B 。
（A）流体分⼦互相紧连；（B）流体的物理量是连续函数；（C）流体分⼦间有间隙；（D）流体不可压缩2、静⽌流体_A_剪切应⼒。
（A）不能承受；（B）可以承受；（C）能承受很⼩的；（D）具有粘性是可承受3、温度升⾼时，空⽓的粘度 B 。
（A）变⼩；（B）变⼤；（C）不变；（D）可能变⼤也可能变⼩4、流体的粘性与流体的D ⽆关。
（A）分⼦的内聚⼒；（B）分⼦的动量交换；（C）温度；（D）速度梯度5、在常温下，⽔的密度为 D kg/m3。
（A）1 ；（B）10 ；（C）100；（D）10006⽔的体积弹性模量A 空⽓的体积弹性模量。
（A）⼤于；（B）近似等于；（C）⼩于；（D）可能⼤于也可能⼩于7、 C 的流体称为理想流体。
（A）速度很⼩；（B）速度很⼤；（C）忽略粘性⼒；（D ）密度不变8、D的流体称为不可压缩流体。
（A）速度很⼩；（B）速度很⼤；（C）忽略粘性⼒；（D）密度不变9、与⽜顿内摩擦定律直接有关系的因素是B（A）切应⼒和压强；（B）切应⼒和剪切变形速率；（C）切应⼒和剪切变形；（D ）切应⼒和速度。
10、⽔的粘性随温度升⾼⽽B（A）增⼤；（B）减⼩；（C）不变；（D）不确定11、⽓体的粘性随温度的升⾼⽽A（A）增⼤；（B）减⼩；（C）不变；（D）不确定。
12、理想流体的特征是C（A）粘度是常数；（B）不可压缩；（C）⽆粘性；（D）符合pV=RT。
13、以下关于流体粘性的说法中不正确的是（A）粘性是流体的固有属性；（B）粘性是在运动状态下流体具有抵抗剪切变形速率能⼒的量度；（C）流体的粘性具有传递运动和阻滞运动的双重作⽤；（D）流体的粘性随温度的升⾼⽽增⼤。
14、按连续介质的概念，流体质点是指D（A）流体的分⼦；（B）流体内的固体颗粒；（C）⽆⼤⼩的⼏何点;（D）⼏何尺⼨同流动空间相⽐是极⼩量，⼜含有⼤量分⼦的微元体。
15、理想流体与实际流体的主要区别在于（ A ）。
工程流体力学__习题及答案
第1章 绪论选择题【1.1】 按连续介质的概念，流体质点是指：（a ）流体的分子；（b ）流体内的固体颗粒；（c ）几何的点；（d ）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。
解：流体质点是指体积小到可以看作一个几何点，但它又含有大量的分子，且具有诸如速度、密度及压强等物理量的流体微团。
（d ）【1.2】 与牛顿内摩擦定律直接相关的因素是：（a ）切应力和压强；（b ）切应力和剪切变形速度；（c ）切应力和剪切变形；（d ）切应力和流速。
解：牛顿内摩擦定律是d d v y τμ=，而且速度梯度d d vy 是流体微团的剪切变形速度d d t γ，故d d t γτμ=。
（b ）【1.3】 流体运动黏度υ的国际单位是：（a ）m 2/s ；（b ）N/m 2；（c ）kg/m ；（d ）N·s/m 2。
解：流体的运动黏度υ的国际单位是/s m 2。
（a ）【1.4】 理想流体的特征是：（a ）黏度是常数；（b ）不可压缩；（c ）无黏性；（d ）符合RT p =ρ。
解：不考虑黏性的流体称为理想流体。
（c ） 【1.5】当水的压强增加一个大气压时，水的密度增大约为：（a ）1/20 000；（b ）1/1 000；（c ）1/4 000；（d ）1/2 000。
解：当水的压强增加一个大气压时，其密度增大约95d 1d 0.51011020 000k p ρρ-==⨯⨯⨯=。
（a ）【1.6】 从力学的角度分析，一般流体和固体的区别在于流体：（a ）能承受拉力，平衡时不能承受切应力；（b ）不能承受拉力，平衡时能承受切应力；（c ）不能承受拉力，平衡时不能承受切应力；（d ）能承受拉力，平衡时也能承受切应力。
解：流体的特性是既不能承受拉力，同时具有很大的流动性，即平衡时不能承受切应力。
（c ） 【1.7】下列流体哪个属牛顿流体：（a ）汽油；（b ）纸浆；（c ）血液；（d ）沥青。
清华大学航天学院固体力学（非线性连续介质力学）考题汇总及答案解析
第一题为送分题，过程大家应该都会，只是看计算的功底了，这里我只讲一下大概思路 （1） 求位移拉格朗日：就是把x 用X 表示，求差。
欧拉 ：把X 用x 反表示，求差。
对于本题，需要求逆矩阵，根据各种方法的比较，最简单的应该是用伴随矩阵的方法，即*11A AA=-，注意A *要转置 （2） green 应变E=（F T*F-I ）/2,Almansi 应变e=(I-(F -1)T *(F -1))/2没有技巧，干算吧 答案：E=222/2/2/2/2/2/2/2/2/2A A A A A A A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ e=（I-4223232342233223234211/(1)1A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ⎛⎫++----⎪--++--+ ⎪ ⎪----++⎝⎭）/2 （3） 以E 为例，第（2）步的E=222/2/2/2/2/2/2/2/2/2A A A A A A A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭由于A 是小量，所以忽略A 的高阶项，得到E=0/2/2/20/2/2/20A A A A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，同理可以得到e 是一样的（只保留一次项，忽略高次项）（4） 求0/2/2/20/2/2/20A A A A A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的特征值和特征方向，过程不说了答案：λ=-1，-1，2特征方向：2对应的特征方向是，由于有一个重根，因此另两个主方向是与2对应的特征方向正交的二维子空间中的任意两个正交单位向量，例如：0,⎫⎪⎭注：该题没有什么技巧，但希望大家可以自己亲自算一下，在这过程中你会熟悉这个过程，而且亲自体验才发现，很容易出错的……解：12k σεε=+11k ησεσ=+1212d d dtdtηηηεεσηη==2112d d dt dtηηεεηη= 1211122d d d d dt dt dt dtηηηεεεεηηη+=+=1121112d d dtdtηηεηηεσηηη==+1211112d k dtηηεσεηη=++求导121d d d dt dt k dtεεσ=+消去1ε和1d dtε 令1212ηηηηη=+()21212d d k k k k k dt dtεσηεησ+=++对本构方程进行拉氏变换()()()()()()()212121201k s k k s s k k s s k k sηεησησ+=++=++()()()()12022112201112s k k s k sk s k k k k k k k s s ησεηση++=++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦反变换得()1101222111201211kt k t k k k t e k k k k k e k k k ηησεσ--⎡⎤+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦令1212k k k k k =+()1001k t t e k k ησσε-⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1) 纯剪受力0000'000τστσ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭eq σ=∴屈服时s τ=最外层最先达到屈服弹性极限时，3s r bτ==3s r bτ=⋅()2034442246be a s abs as M r rd drr dr brb a b πτθπππ=⋅=⋅=⋅=-⎰⎰⎰塑性极限时s a r bτ≤≤=()2023332239bp a s abs as M r rd drr dr r b a bπτθπππ=⋅==⋅=-⎰⎰⎰(2) 转角只与弹性区有关设弹性区与塑性区分界线为s r r =()22222ssbar bar M r drr dr r dr πτπττ==+⎰⎰⎰在弹性区s a r r ≤≤Gr τθ=在塑性区s r r b ≤≤3s τ=由连续性条件s s s ss Gr r θθ===由平衡条件324333243s s r s s a r s s s s s M r dr r dr a r r b r π⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪- ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰r=其中式1、式2、式3、由上可知：()//////b bn σε''-易知：1122n n ==- 式4由易得：11p ε= 式5 由 式2 ，式4 ，式5 得到 111123pb b E ε=（式 6）又，得到，2211113()F b σσ=-（式7）把 式6，7 带入式3（式3的分量式为111111111129()2()4pp Fb b E εασσσσ=-- ）并展开，得到1111b c σ= ，因而易得()1122s b c b σσ=-=- 由式6，得到11112232p pbb E εε==- 。
连续介质力学作业(第一章参考答案)
(
)
5
x ⋅ S ⋅ x = xm g m ⋅ =
1 ij S − S ji g i g j ⋅ xn g n 2
(
)
1 ij S − S ji xm x n g m ⋅ g i g j ⋅ g n 2 1 = S ij − S ji xm xn δim δ n j 2 1 1 = S ij xi x j − S ji xi x j 2 2 1 1 = S ij xi x j − S ji x j xi 2 2 1 1 = S ij xi x j − S ij xi x j 2 2 =0
其他两个，同理可证。 (1)如果二阶张量 S 是反对称张量，对于任意一阶张量 x ，证明 x ⋅ S ⋅ x = 0 (2) S 是二阶反对称张量， A 是二阶对称张量，证明 A : S = 0
5.
¾
解答：
m
（1） x = xm g
因为二阶张量 S 是反对称张量
S=
1 ij S − S ji g i g j 2
(
)
(
)
（2） S = S g i g j ， A = Amn g g ，
ij m n ij A : S = S ij g i g j : Amn g m g n = S ij Amn δim δ n j = S Aij
S ij Aij = − S ji Aij = − S ji A ji = − S ij Aij
c） R ε g R = ε l 所以
T
1 ⎤ ⎥ 2 ⎥ ⎡1.6 ⎢ 3 ⎥⎣ 0 2 ⎥ ⎦
⎡ 0 ⎤⎢ ⎢ 2.3⎥ ⎦⎢ ⎢ ⎣
3 2 1 2
1⎤ − ⎥ ⎡ 1.775 0.3031⎤ 2⎥ = ⎢ ⎥ 3 ⎥ ⎣0.3031 2.125 ⎦ 2 ⎥ ⎦
张量分析——精选推荐
《连续介质力学》例题和习题第一张、矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、 矢量代数令 11223A A A =++A e e e 112233B B B =++B e e e 则有 11223A A A αααα=++A e e e 11122233()()()A B A B A B +=+++++A B e ee 1122331122331122()()A A A B B B A B A B A B ∙=++∙++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e 又因为 11⨯=e e 0 123⨯=e e e 132⨯=-e e e 213⨯=-e e e 22⨯=e e 0 231⨯=e e e 312⨯=e e e 321⨯=-e e e 33⨯=e e 0则 2332131132122(_)()()A B A B A B A B A B A B⨯=+-+-A B e e e习题1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯∙⨯⨯⨯=∙⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯∙⨯=∙⨯-∙⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 单位为正交的基矢量。
*补充知识：矩阵及矩阵运算1、定义：[]()111213212223313233,1,2,3ij A A A A A A A i j A AA ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦A i 表示行，j 表示列；m 和n 相等表示为方阵，称为m （或n ）阶矩阵。
连续介质力学题目汇总
第一章例题1证明a x b=0当且仅当a与b线性相关。
证：(a)若a与b线性相关，则a=0或者存在一标量a满足b=αa。
在前种情况下，由公理（5）我们有a x b=0，在后种情况下，由公式（4）和（5）得到同样的结论。
（b）若a x b=0，由公理（7）、（3）和式（8）给出a·b=±|a| |b|。
假定正号成立，则由公理（2）和（1）有（|b|a-|a|b）·（|b|a-|a|b）=2|a|²|b|²-2|a||b|a·b=0，再由公理（3）即得到|b|a =-|a|b。
在两种情况下，我们都有a=0或者b为a的某一标量倍数。
因此a和b线性相关。
例题2证明三重积的下列性质：（1）[a，b，c] =[b，c， a ]=[c，a，b ]=-[a，c，b ]=-[b，a，c ]=-[c，b，a]∀a，b，c⊂E，（2）[αa+βb，c，d] =α[a，c， d ]+β[b，a，d]∀a，b，c，d∈E，α，β∈R，（3）[a，b，c]=0当且仅当a，b，c线性相关。
证：（1）由公理（4）、（2）和（1）知三重积当其中第二和第三元素交换位置时改变符号。
由公理（6）并借助于公理（2）和（5），0=（a+b）·{（a+b）xc}=a·（axb）+ a·（cxb）+ b·（axc）+ b·（bxc）=[a，b，c]+ ]+[b，a，c ]，由此得知，当交换第一和第二个元素时，三重积也改变符号，反复使得这两个性质即得到恒等式（10）。
（2）在公理（2）中用cxd替换c即得等式（11）。
（3）（a）首先注意到公理（2）和性质（10），意味着如果三重积中任何一个元素为零矢量，则其值为零。
若a，b，c线性相关，则存在三个不全为零的标量α，β，γ，满足αa+βb+γc=0，因此三重积[αa+βb+γc，b，c]，[a，αa+βb+γc，c]，[a，b，αa+βb+γc]均为零。
《流体力学》习题
一选择题（本大题共35小题，每小题2分，共70分）1.连续介质模型意味着：( B )A．流体分子间没有间隙 B．流体中的物理参数是连续函数C．流体分子间有间隙 D．流体不可压缩2．按连续介质的概念，流体质点是指：( D )A．流体的分子 B．流体的固体颗粒 C．几何点D．几何尺寸同流体空间相比是极小量，又含大量分子的微元体3．牛顿流体是指：( B )A．其黏性效应可以忽略的流体 B．切应力与剪切变形率成正比关系的流体C．其压缩性可以忽略的流体 D．切应力与剪切变形率成非线性关系的流体4．与牛顿摩擦定律直接相关的因素是：( B )A．切应力和流动速度 B．切应力和剪切变形速度C．切应力和剪切变形 D．切应力和压强5．理想流体的特征是：( A ) A．忽略黏性切应力 B．速度非常大C．没有运动 D．密度不改变6．压力体中：( D )A．必定充满液体 B．必定没有液体 C．至少有部分液体D．可能有液体也可能没有液体7．相对压强的起算基准：( C )A．绝对真空B．1个标准大气压C．当地大气压 D．液面压强8．金属压力表的读数值是：( C )A．绝对压强 B．绝对压强与当地大气压之和C．相对压强 D．相对压强与当地大气压之和9．某点的真空压强为65000 Pa，当地大气压为0.1 MPa，该点的绝对压强为：( D )A．65000 Pa B．165000 Pa C．55000 Pa D．35000 Pa10．绝对压强Pab与相对压强P、真空压强Pv、当地大气压Pa之间的关系是：( A )A．Pv = Pa - Pab B．P = Pab + Pv C．Pab = P + Pv D．P = Pa + Pv11．旋转角速度是：( B )A．标量B．矢量 C．都不是12．涡量与旋转角速度 ( B ) A．相等 B．成两倍关系 C．没有确定关系13．流体做有旋运动的特征是：( B )A．流体质点的运动轨迹是曲线B．速度的旋度不等于零 C．流场中的流线是曲线 D．涡量的三个分量都不等于零14．对于定常流动，在 ( A )表达式中流动参数与时间变量无关。
大学科目《流体力学》习题及答案
一、选择题1．按连续介质的概念，流体质点是指A .流体的分子； B. 流体内的固体颗粒； C . 无大小的几何点； D. 几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。
2．作用在流体的质量力包括A. 压力；B. 摩擦力；C. 重力；D. 惯性力。
3．单位质量力的国际单位是：A . N ； B. m/s ； C. N/kg ； D. m/s 2。
4．与牛顿内摩擦定律直接有关系的因素是Ａ. 切应力和压强； B. 切应力和剪切变形速率； C. 切应力和剪切变形。
5．水的粘性随温度升高而A . 增大； B. 减小； C. 不变。
6．气体的粘性随温度的升高而 A. 增大；Ｂ. 减小；Ｃ. 不变。
7．流体的运动粘度υ的国际单位是Ａ. m 2/s ；B. N/m 2 ； C. kg/m ；D. N ·s/ｍ2 8．理想流体的特征是Ａ. 粘度是常数；B. 不可压缩；C. 无粘性； D. 符合pV=RT 。
9．当水的压强增加１个大气压时，水的密度增大约为Ａ. 200001； Ｂ. 100001；Ｃ. 40001 。
10．水力学中，单位质量力是指作用在Ａ. 单位面积液体上的质量力；Ｂ. 单位体积液体上的质量力； Ｃ. 单位质量液体上的质量力；Ｄ. 单位重量液体上的质量力 11．以下关于流体粘性的说法中不正确的是Ａ. 粘性是流体的固有属性；Ｂ. 粘性是在运动状态下流体具有抵抗剪切变形速率能力的量度Ｃ. 流体的粘性具有传递运动和阻滞运动的双重作用；Ｄ. 流体的粘性随温度的升高而增大。
12．已知液体中的流速分布µ－y 如图所示，其切应力分布为 Ａ.τ＝０；Ｂ.τ＝常数； Ｃ. τ＝ky (k 为常数)。
13．以下关于液体质点和液体微团的正确论述是Ａ. 液体微团比液体质点大；Ｂ. 液体微团包括有很多液体的质点； Ｃ. 液体质点没有大小，没有质量；Ｄ. 液体质点又称液体微团。
14．液体的汽化压强随温度升高而 Ａ. 增大；Ｂ. 减小；Ｃ. 不变；15．一封闭容器盛以水，当其从空中自由下落时（不计空气阻力），其单位质量力为 Ａ. 0 ； Ｂ. -g ； Ｃ. mg ；Ｄ. –mg 。
连续介质力学 习题 1
Continuum MechanicsHomework #1Due: Tuesday March 23, 2010In completing the following problems, you may use Maple, Mathematica or Matlab to carry out some of the detailed calculations. If you do so, please attach a printout of the script showing your commands and results from the software.1. For the tensor and vector quantities given below, please (a) carry out the specific operations using the indicial notation, and (b) give the components of the resulting quantity for each operation.[][]{}{}11101212122,231,2,201233202⎡⎤⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪−−−⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪====⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪−⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎣⎦⎩⎭A B u v(i) :A B and ⋅⋅A B(ii) ×u v and ×v u (iii) ⋅B u and ⋅u B (iv) ⊗u v and ⊗v u2. Suppose A and B are second order tensors and u , v , and w are vectors. Use the index notation to show that the following relations hold.(i) ()T T T =AB B A(ii) ()111−−−=AB B A(ii) ()().×⋅=⋅×u v w u v w(iii) ()()().××=⋅−⋅u v w u w v v w u3. Indicate whether or not the following tensor equations are mathematically proper. If an equation is inadmissible, please provide a reason as to why. Note that A , B , and D are second-order and v is first-order.(i) ⋅+=A B A D (ii) ⋅⋅=A B v (iii) (),,,,12ij i j j i k i k j E u u u u =++ (iv) ,0ij ji A u +=(v) ,,ij i kk j mno oj mn A B K D ε+=(vi) ij im jn mnkl kl kk ll mn A C D B ααηη+= (vii) (),,ij j ijkl kl j C E Σ=4. If A and B are second order tensors, calculate ()−tr AB BA .5. Consider the 3-dimensional Cartesian space with basis vectors ()1,2,3i i =e aligned with respect to the 1x , 2x , and 3x axes. Find the rotation matrix []Α for the following changes of coordinates:(i). a rotation of 90 degrees about the 3x axis. (ii). a rotation of 180 degrees about the 2x axis.(iii). a rotation of -45 degrees about the 2x axis, followed by a rotation of 45 degreesabout the 3x axis.(iv). a rotation of 180 degrees about the 3x axis, followed by a 90 degrees about 1xaxis, followed by a -90 degrees about the 2x axis.6. Tensor A has the representation of []211111111⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎢⎥⎣⎦A in some basis.(i). Calculate the invariants of A .(ii). Write the characteristic equation of A .(iii). Find all eigenvalues and eigenvectors (the eigenvectors should be normalized). (iv). Show that the eigenvectors of A are mutually orthogonal.(v). Does A have eigenvectors that are other that the three you found? Why or whynot?7. Problem 2.4 on page 42 of Mase, Smelser & Mase (textbook).8. Problem 2.6 on page 43 of Mase, Smelser & Mase (textbook).。
连续介质力学-例题与习题
《连续介质力学》例题和习题第一章 矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、矢量代数令112233A A A =++A e e e ,112233B B B =++B e e e ,则有112233A A A αααα=++A e e e111222333()()()A B A B A B +=+++++A B e e e112233112233112233()()A A A B B B A B A B A B •=++•++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e又因为: 11⨯=e e 0;123⨯=e e e ;132⨯=-e e e ;213⨯=-e e e ;22⨯=e e 0;231⨯=e e e ; 312⨯=e e e ;321⨯=-e e e ;33⨯=e e 0则: 233213113212213(_)()()A B A B A B A B A B A B ⨯=+-+-A B e e e 习题:1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯•⨯⨯⨯=•⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯•⨯=•⨯-•⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 为单位正交基矢量。
3、试判断[]816549782-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵[]1-A 。
二、张量代数例1：令T 是一个张量，其使得矢量a ，b 经其变换后变为2=+Ta a b ，=-Tb a b ，假定一个矢量2=+c a b ，求Tc 。
流体力学习题解答
一、填 空 题1．流体力学中三个主要力学模型是（1）连续介质模型（2）不可压缩流体力学模型（3）无粘性流体力学模型。
2．在现实生活中可视为牛顿流体的有水 和空气 等。
3．流体静压力和流体静压强都是压力的一种量度。
它们的区别在于：前者是作用在某一面积上的总压力；而后者是作用在某一面积上的平均压强或某一点的压强。
4．均匀流过流断面上压强分布服从于水静力学规律。
5．和液体相比，固体存在着抗拉、抗压和抗切三方面的能力。
6．空气在温度为290K ，压强为760mmHg 时的密度和容重分别为 1.2a ρ= kg/m 3和11.77a γ=N/m 3。
7．流体受压，体积缩小，密度增大 的性质，称为流体的压缩性 ；流体受热，体积膨胀，密度减少 的性质，称为流体的热胀性 。
8．压缩系数β的倒数称为流体的弹性模量 ，以E 来表示9．１工程大气压等于98.07千帕，等于10m 水柱高，等于735.6毫米汞柱高。
10．静止流体任一边界上压强的变化，将等值地传到其他各点（只要静止不被破坏），这就是水静压强等值传递的帕斯卡定律。
11．流体静压强的方向必然是沿着作用面的内法线方向。
12．液体静压强分布规律只适用于静止、同种、连续液体。
13．静止非均质流体的水平面是等压面，等密面和等温面。
14．测压管是一根玻璃直管或U 形管，一端连接在需要测定的容器孔口上，另一端开口，直接和大气相通。
15．在微压计测量气体压强时，其倾角为︒=30α，测得20l =cm 则h=10cm 。
16．作用于曲面上的水静压力P 的铅直分力z P 等于其压力体内的水重。
17．通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法称为欧拉法。
18． 流线不能相交（驻点处除外），也不能是折线，因为流场内任一固定点在同一瞬间只能有一个速度向量，流线只能是一条光滑的曲线或直线。
19．静压、动压和位压之和以z p 表示，称为总压。
20．液体质点的运动是极不规则的，各部分流体相互剧烈掺混，这种流动状态称为紊流。
流体力学填空、判断、简答题(2学分)
一、填 空 题1．流体力学中三个主要力学模型是(1)连续介质模型（2）不可压缩流体力学模型（3）无粘性流体力学模型。
2．在现实生活中可视为牛顿流体的有水和空气等。
3．流体静压力和流体静压强都是压力的一种量度。
它们的区别在于：前者是作用在 某一面积上的总压力；而后者是作用在某一面积上的平均压强或某一点的压强。
4．均匀流过流断面上压强分布服从于水静力学规律。
5．和液体相比，固体存在着抗拉、抗压和抗切三方面的能力。
6．流体受压，体积缩小，密度增大的性质，称为流体的压缩性；流体受热，体积膨胀，密度减少的性质，称为流体的 热胀性。
7．压缩系数β的倒数称为流体的 弹性模量，以 E 来表示。
8．１工程大气压等于 98.07 千帕，等于10m 水柱高，等于735.6mm 汞柱高。
9．静止流体任一边界上压强的变化，将等值地传到其他各点（只要静止不被破坏），这就是水静压强等值传递 的帕斯卡定律。
10．流体静压强的方向必然是沿着作用面的内法线方向。
11．液体静压强分布规律只适用于静止、同种、连续液体。
12．静止非均质流体的水平面是等压面，等密面和等温面。
13．测压管是一根玻璃直管或U 形管，一端连接在需要测定的容器孔口上，另一端开口，直接和大气相通。
14．在微压计测量气体压强时，其倾角为︒=30α，测得20l =cm 则h=10cm 。
15．作用于曲面上的水静压力P 的铅直分力z P 等于其压力体内的水重。
16．通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法称为欧拉法。
17．通过描述每一质点的运动来研究流体运动的方法称为拉格朗日法。
18．流线不能相交（驻点处除外），也不能是折线，因为流场内任一固定点在同一瞬间只能有一个速度向量 ，流线只能是一条光滑的 曲线或直线。
19．静压、动压和位压之和以z p 表示，称为总压。
20．液体质点的运动是极不规则的，各部分流体相互剧烈掺混，这种流动状态称为 紊流。
21．由紊流转变为层流的临界流速k v 小于由层流转变为紊流的临界流速kv '，其中k v '称为上临界速度，k v 称为下临界速度。
连续介质力学作业(第一章)答案
连续介质力学作业（第一章）习题1. 向量~~~~k z j y i x a ++=。
~i ，~j ，~k 表示三维空间中标准正交基。
给定一组协变基~~12i g =，~~~2j i g +=，~~~3k j g +=。
（1）求逆变基1g ，2g ，3g 。
（2）求ij g（3）向量~a 参考逆变基~1g ，~2g ，~3g 表示时，~~i i g a a =，求i a 。
（1）[]222~~~~~~~~~3~2~1= +•= +• +×=• ×=k j k k j j i i g g g g+−=+× += ×=~~~~~~~~3~2~121211i j k k j j i g g g g~~~~~~1~3~22211j k i k j g g g g +−= × += ×=~~~~~2~1~32211k j i i g g gg =+×= ×=(2) g ij =gg ii ⋅gg jj �g ij �=�3/4−11/2−12−11/2−11�(3)a i =aa ⋅gg ii a 1=2x,a 2=x +y,a 3=y +z2. 已知笛卡尔坐标系331e e e ,,，一个新的坐标系定义为−−−= ′′′32132161312161312162310e e e e e e 向量321e e e x 321x x x ++=，给定函数2321x x )f(−=x 。
（1） 求函数f 的梯度）（f grad（2） 求向量x 参考新坐标系的表示形式i ′′=e x i x（3） 求函数f 在新的坐标系下的表达形式),,(321′′′′x x x f （4） 判断）（f grad 的客观性。
3. 二维情况下，一质点应力张量σ主值6.11=σλ，3.22=σλ。
主方向2112123e e N −=，2122321e e N +=。
连续介质力学 习题3
Continuum MechanicsHomework #3Due: Thursday, April 15, 20101. The cylindrical specimen for a uniaxial tensile test has a rectangular cross section. The sidedimensions of the cross section are 0a and 0b . The length of the specimen is 0c . During the test, thebottom end of the specimen is fixed and the top end is pulled at a velocity of ()V t . At any time t , the dimensions of the specimen are ()a t , ()b t , and ()c t , respectively. Assume the deformation is homogeneous throughout the specimen and the whole deformation process.(i) Write a mathematical expression for the deformation function ˆ(,)t yx and calculate the v , a , q and a and specify the domains over which they are defined;(ii) Calculate the right stretch U , left stretch V , rotation Q, right Cauchy-Green strain C , left Cauchy-Green strain B , Lagrangian strain E , small strain ε, Eulerian strain *E , Lagrangian strain rate E, small strain rate ε, rate of deformation D , and spin W ; (iii) For comparison, also calculate the conventional nominal strain (or engineering strain c =−E U Iand the logarithmic strain ln =E U A . Show that =E D A, confirming what you proved in homework 2 that D can be regarded as the logarithmic strain rate.2. If ˆ(,):t t →yx R R is a deformation, ˆ(,)t =∇F y x on R is the deformation gradient and (,)J det t =F x on R is the Jacobian. Show that {}T J −∇⋅F is a null vector, i.e.,{}on T J −∇⋅=F 0R .Hint: you may want to use index notation and the expression for the components of the inverse of a tensor.3. The deformation map for the pure torsion of a shaft of length A and radius r subject to loading undera pair of torques at its ends can be expressed as()()()()23-e +e e 1323113233ˆ()=cos sin sin cos x x x x x x x x x ββββ⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦yx .Here, β is a known constant.Answer the following questions with words and, if you wish, with very simple expressions which can highlight the essence of your points. Calculations are not required or expected in parts (i) – (iv) and simple calculations may be carried out in part (v). Too much math may obfuscate your points.(i)In your previous “Mechanics of Deformable Bodies ” course, an engineering solution was obtained for circular shafts in pure torsion. That solution is based on several assumptions which include “cross-sections perpendicular to the axis rotate rigidly ” and “length of shaft remains constant ”. Comment on the relationship between this deformation and the deformation in the engineering solution. (ii) Is this a homogeneous deformation? (iii) What is the meaning of β?(iv) This is a locally isochoric (volume-preserving) deformation. Without carrying out any calculation, provide a very brief conceptual explanation for why this is the case.(v)A line is etched on the surface of the undeformed shaft, parallel to the axis as shown. Without calculating the deformation gradient or any strain tensor, find a simple way for calculating the length of the line in the deformed configuration and calculate this length. Only simple math is expected here.4. In many applications, it is desirable to measure the deformation characteristics at specific locations ofbodies. To achieve this, circles, squares or other geometrical patterns are etched onto the surface of a body before deformation. The strains at different locations are then quantified by measuring the deformed shapes of the patterns. In this problem, a small circle of radius δ is inscribed via nanolithography at the center of a square plate which undergoes the deformation of()()23e e e 11212123ˆ()=,t x x x x x x x αβ++++yx .Here, and αβ are parameters which can be regarded as functions of time. Obviously, the smallcircle assumes an elliptical shape after the deformation, as shown. In answering the following questions, you can assume that and 13αβ==.y (x )r1x 2x 3x UndeformedDeformed(i)Find the lengths of the major (long) and minor (short) semi-axes of the ellipse;(ii)Find the angle between the major axis of the ellipse and the edirection;1(iii)State the functional form of the equation of this ellipse, you do not have to write down all the details of this equation – an illustration of the general form of the equation will suffice.。
连续介质力学习题一
1 / 1 连续介质力学习题一一、张量复习1-1 已知k j i ,,为直角坐标系的基矢量，某斜角坐标系的协变基矢为j i g k i g k j g +=+=+=321,,，（1）求逆变基矢321,,g g g （用k j i ,.,表示）；（2）求度量张量ij g ；（3）验证公式i ij j g g g =；（4）有两个矢量：,32321g g g u -+=321g g g v +-=，求v u ,的协变分量i i v u ,及两矢量点积v u ⋅。
1-2 球坐标系，令ϕθ===321,,x x R x ，求该坐标系的2,,,,ds g g g g ij ij j i 。
1-3 设有一抛物柱面坐标系(由两族抛物柱面及平面构成),令ςηξ===321,,x x x ，若已知抛物柱面坐标系与直角坐标系的关系为：ςξηξη-==-=z y x ,),(2122，设 321,,i i i 为直角坐标系的基矢量，试求抛物柱面坐标系的协变基矢和逆变基矢及度量张量(用直角坐标系的基矢量表示)。
1-4 设T 为二阶对称张量，S 为二阶反对称张量，u 为任意矢量，试证明：（1）u T T u ⋅=⋅；（2）u S S u ⋅-=⋅。
1-5 设T 为二阶对称张量，设S 为二阶反对称张量，求证：0:=S T 。
1-6 设S T ,为任意二阶张量，**,S T 为它们的转置，求证：*:**:*::T S S T T S S T ===。
1-7 证明：（1）*)(*)(11--=T T ；（2）对称张量的逆也对称；（3）111)(---⋅=⋅A B B A 。
1-8 设)(),(x v x u 为光滑矢量场，试证：（1）v u v u v u ⋅∇⨯-∇⨯⋅=∇⋅⨯)()()( ；（2）v u v u v u v u v u )()()()()(∇⋅-⋅∇+∇⋅-⋅∇=⨯⨯∇ 。
1-9 证明：对二阶对称张量N ，有N N ⋅∇=∇⋅。
连续介质力学作业
6
k z
k
r
r
r
j j
i
i
设柱坐标对应 x r , , z ，球坐标对应 X R, , ，则有对应关系：
r R sin z R cos
Jacobi 矩阵为：
sin 0 R cos x xi 1 0 0 X X j cos 0 R sin
这些参数在前面题目中均已求出，不再冗述。 2.13 证明单位张量 I g j gi g gi g g j gij g g g gi g j 。
i j j i i j ij
证明：
I gi g i gij g j g i gij g j g i gij g i g j gi g ij g j g ij gi g j gij g j g il gl gij g il g j gl l j g j gl g i gi
div v v i xi vi xi
vi vi xi xi
divv v
div u v div e u j vk ei
ijk
eijk u j vk xi vk xi vk xi
2 于是， C 的谱表示为： C L L ，其中 L L1 T
L2
2 L3 , L 为对应于 的
12 2 特征向量，
2 2
2 3
定义与之对应的唯一对称正定张量 U ，谱表示为：
Tu Tv Tw u v w
连续介质力学作业必做题参考答案
2-12
& 0 k 0 r L = 0 0 0 0
0 0 0
0 & r k0 D= 2 0
r
=−
2 27 = 318 81
(3)ν , µ 两方向上直角的改变量 γ νµபைடு நூலகம்
r X 2 物质速度 V = 2 X 0
2-6
0 r 3 + X 3 t X 2 − X 3 −t e − e 空间速度 v = x 2 2 x 2 + X 3 t X 2 − X 3 −t e + e 2 2
2 0 − 2 0 0 0 r r ，小转动 Ω = 0 0 1 ，小转动张量的 e= 0 2 1 − 2 1 0 0 − 1 0
− 1 反偶矢量为 ω = 0 0
r
(2)ν 方向上的线应变 eνν
r r
2 1 + k 0 0 r r rT 0 , B = F ⋅ F = k 0 0 1
k0 1 0
0 0 1
2 2 C B C I 1C = I 1B = 3 + k 0 , I 2 = I 2 = 3 + k 0 , I 3 = I 3B = 1
2-4
(1)小应变
0 r 2 格朗日加速度场 A = 2 X 6 X 3 (1 + t ) r D= − 0 0 0 A 3 2 3 − 2 − A 0 r A , W = 0 − 3 A −A 2 3 A 2 9 0 − A 2 9 A 0 2 0
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连续介质力学作业必做题
以下各题中，取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i x 为同一个直角坐标系，其单
位基向量为),,(321e e e 。
2-1 如果物体在运动过程中保持任意两点间的距离不变，则称这样的运动为刚体
运动，试证：物体的运动若为刚体运动，则参考构形中的物质点X 变换到当前
构形中的空间位置x 时，必满足：)()()(t a A X t Q x +-⋅=，其中)(t Q 为正常正交
仿射量。
2-2 现取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i x 为同一个直角坐标系，其单位基向
量为),,(321e e e ，有一物体的变形为：33222011,,X x X x X k X x ==+=，试写出以下各量：
1）变形梯度张量F 和变形梯度张量之逆1-F ；
2）右，左Cauchy-Green 张量B C ,；并计算C 和B 的三个主不变量；
2-4 现取空间坐标系}{i x 为直角坐标系，其单位基向量为),,(321e e e ，有一物体的
小变形位移场为3212323213131))(())((e x x e x x x x e x x x x u -+++--=，试求：
（1）P （0，2，-1）点的小应变张量e ，小转动张量Ω 及其反偶矢量ω ；
（2）求P 点在9/)48(321e e e +-=ν方向上的线应变；
（3）求P 点在9/)48(321e e e +-=ν和9/)744(321e e e -+=μ二方向上的直角
的变化量。
2-6 取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i x 为同一个直角坐标系，其单位基向量
为),,(321e e e ，有一物体的运动为：
11X x =，
2/)(2/)(32322X X e X X e x t t -++=-，
2/)(2/)(32323X X e X X e x t t --+=-，
试求物质和空间速度分量。
2-12 在习题2-2给出的简单剪切变形中，如果)(00t k k =是时间t 的函数，
试写出相应的速度梯度L ，变形率张量D 和物质旋率W 的表达式。
2-13 一介质速度场用)1/(3),1/(2),1/(332211t x v t x v t x v +=+=+=来描述，试：
1）求这一运动的欧拉加速度场；
2）求这一运动的位移关系式),(t X x x i
i =； 3）求这个运动的拉格朗日加速度分量。
2-15 某一介质流动的速度场为⎪⎩
⎪⎨⎧-⋅=⋅-==--Bt Bt e x x x x A v e x x x x A v v )()(0312********，式中A ，B 是常数，
求这一运动的速度梯度L ，并计算当t =0时，点P(1,0,3)的变形率张量D 和
物质旋率张量W 。
2-16 对于介质的定常速度场333212322121123e x x x x e x x x e x x x v ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=,
求介质在P(1,1,1)点沿5/)43(31e e l -=方向的长度率l d ，并求该方向上的方向率dt
l d 。
2-18 在一介质的二维不可压缩定常流动中，已知其速度场的一个分量为
)/(221122x x x x Ax v ⋅+⋅-=，如果在截面01=x 处速度场的边界条件为
001
1==x v ，求速度场的另一个分量1v ，并证明该介质做无旋运动。
2-19 一介质速度场为：
⎪⎩
⎪⎨⎧=⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅-⋅=0))(/(2))(/()(3221122112122211221122111v x x x x x x x x x Ax v x x x x x x x x x x x x A v
证明这个运动是不可压缩的，并写出该运动应满足的连续性方程。
2-20 一热力学连续介质，其本构方程为：
)()23(20θθαδμλμδλσ-+-+=ij ij ij kk ij D D ，式中αμλ,,为材料性能参数，θ
为温度，0θ为参考温度，试证明：
当ij σ为偏斜张量时，有)(30θθα-=kk D 。