函数图像的切线问题

函数图像的切线问题

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函数图像的切线问题

要点梳理归纳

1.求曲线ｙ＝ｆ（ｘ)的切线方程的三种类型及其方法

（1)已知切点Ｐ(x 0,ｆ(x 0）),求y=ｆ(x ）在点Ｐ处的切线方程:

切线方程为 y-f(ｘ0)＝f′(x 0)（x-x 0)． (2)已知切线的斜率为k,求ｙ＝f(x)的切线方程：

设切点为P （x ０,y 0)，通过方程k=f′(ｘ0)解得x ０,再由点斜式写出方程． (３)已知切线上一点(非切点）A(s,t)，求ｙ=ｆ(ｘ）的切线方程：

设切点为P(ｘ0,y 0),利用导数将切线方程表示为ｙ－ｆ(x ０）=f′(x 0)(ｘ－x 0），再将A （s,t ）代入求出x 0． 2．两个函数图像的公切线

函数ｙ=f （x)与函数ｙ＝ｇ(x ） 存在公切线, 若切点为同一点Ｐ(x 0，y 0），则有

错误!

若切点分别为(x 1,f(ｘ1)）,(x 2，g （x 2)),则有2

12121)

()()()(x x x g x f x g x f --=

'='.

题型分类解析

题型一 已知切线经过的点求切线方程

例1.求过点(2,2)P 与已知曲线3

:3S y x x =-相切的切线方程． 解：点P 不在曲线S 上.

设切点的坐标()00,x y ，则3

0003y x x =-,函数的导数为2

'33y x =-,

切线的斜率为0

20'33x x k y x ===-，2

000(33)()y y x x x ∴-=--切线方程为,

点(2,2)P 在切线上,20002(33)(2)y x x ∴-=--,又3

0003y x x =-，二者联立可

得001,13,x x ==±或相应的斜率为0k =或963k =-±

∴切线方程为2y =或()

963(2)2y x =-±-+．

例2． 设函数()()2f x g x x =+，曲线()y g x =在点()()

1,1g 处的切线方程为

21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为___＿____

解析：由切线过()()

1,1g 可得:()13g =,所以()()21114f g =+=,另一方面,()'12g =，且

()()''2f x g x x =+,所以()()''1124f g =+=,从而切线方程为：

()4414y x y x -=-⇒=

例3. 已知直线1y kx =+与曲线3

y x ax b =++切于点(1,3),则b 的值为＿_＿______ 解析:代入(1,3)可得：2k =，()'23f x x a =+，

所以有()()'113132

f a b f a =++=⎧⎪⎨=+=⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩

题型二 已知切线方程（或斜率）,求切点坐标（或方程、参数)

例4．已知函数()ln 2f x x x =+,则：

(１）在曲线()f x 上是否存在一点,在该点处的切线与直线420x y --=平行 （2)在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线30x y --=垂直 解：设切点坐标为()00,x y ()'

00

1

2f

x x ∴=

+ 由切线与420x y --=平行可得: ()'00011242f x x x =

+=⇒= 011ln 122y f ⎛⎫

∴==+ ⎪⎝⎭

∴切线方程为:11ln 244ln 212y x y x ⎛

⎫-+=-⇒=-- ⎪⎝

⎭

（2)设切点坐标()00,x y ()'

00

1

2f

x x ∴=

+，直线30x y --=的斜率为1 ()'00011

213

f x x x ∴=

+=-⇒=- 而()00,x ∈+∞ 01

3

x ∴=-不在定义域中,舍去

∴不存在一点,使得该点处的切线与直线30x y --=垂直

例5．函数()2ln f x a x bx =-上一点()()

2,2P f 处的切线方程为32ln22y x =-++，求,a b 的值

思路:本题中求,a b 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解,P 在直线32ln22y x =-++上,322ln222ln24y ∴=-⋅++=-，即()2=2ln24f -,得到,a b 的一个等量关系，在从切线斜率中得到2x =的导数值，进而得到,a b 的另一个等量关系，从而求出,a b 解：

P 在32ln22y x =-++上，()2322ln222ln24f ∴=-⋅++=-

()2ln242ln24f a b ∴=-=-

又因为P 处的切线斜率为3- ()'

2a

f

x bx x

=

- ()'2432a f b ∴=-=-, ln 242ln 24

21432

a b a a b b -=-⎧=⎧⎪

∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩

例６．设函数()()32910f x x ax x a =---<，若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行,求a 的值

思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为12-，进而可得导函数的