【高考数学】《函数切线问题》微专题
函数的切线问题典例精讲
函数的切线问题典例精讲例1：求函数()()32xf x ex =-在1x =处的切线方程思路：本题切点已知，代入原函数求得函数值，代入导函数中求得切线斜率，进而利用点斜式求出切线方程解：()1f e=∴切点坐标为()1,e ()()()'33231x x x f x e x e x e =+-=+()'14f e∴=∴切线方程为：()4143y e e x y ex e-=-⇒=-例2：已知函数()ln 2f x x x =+，则：（1）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线420x y --=平行（2）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线30x y --=垂直解：（1）思路：切点未知，考虑设切点坐标为()00,x y ，再利用平行条件求出0x ，进而求出切线方程设切点坐标为()00,x y ()'0012f x x ∴=+由切线与420x y --=平行可得：()'00011242f x x x =+=⇒=011ln 122y f ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭∴切线方程为：11ln 244ln 212y x y x ⎛⎫-+=-⇒=-- ⎪⎝⎭（2）思路：与（1）类似，切点未知，考虑设切点坐标为()00,x y ，有垂直关系可得切线斜率与已知直线斜率互为负倒数，列出方程求出0x ，进而求出切线方程设切点坐标()00,x y ()'0012f x x ∴=+，直线30x y --=的斜率为1()'00011213f x x x ∴=+=-⇒=-而()00,x ∈+∞013x ∴=-不在定义域中，舍去∴不存在一点，使得该点处的切线与直线30x y --=垂直例3：函数()2ln f x a x bx =-上一点()()2,2P f 处的切线方程为32ln 22y x =-++，求,a b 的值思路：本题中求,a b 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，P 在直线32ln 22y x =-++上，322ln 222ln 24y ∴=-⋅++=-，即()2=2ln24f -，得到,a b 的一个等量关系，在从切线斜率中得到2x =的导数值，进而得到,a b 的另一个等量关系，从而求出,a b 解：P 在32ln 22y x =-++上，()2322ln 222ln 24f ∴=-⋅++=-()2ln 242ln 24f a b ∴=-=-又因为P 处的切线斜率为3-()'2af x bx x=-()'2432af b ∴=-=-ln 242ln 2421432a b a a b b -=-⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩例4：曲线xy e =在点()22,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A.2eB.22eC.24eD.22e 思路：()'xf x e =由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程()'22fe ∴=所以切线方程为：()222y e e x -=-即220e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为()()21,00,e -221122e S e ∴=⨯⨯=答案：D例5：一点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()．A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C.3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来。
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x0
抓住关键：
y0 k
f (x0 ) f (x0 )
；
3．过点 A(x1, y1) 的切线方程：设切点为 P(x0 , y0 ) ，则斜率 k f (x0 ) ，过切点的切线方程为： ∵过点 A(x1, y1) ，∴ y1 y0 f (x0 )(x1 x0 ) 然后解出 x0 的值．（ x0 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）
函数的切线问题微专题
第一讲 函数切线及其应用
1．导数的几何意义:
函数 f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x)) 处的切线的斜率．注：（ k f x tan ）
2．在点
A(x0 ,
y0 ) 处的切线方程：
y
f
(x0 )
f
(x0 ) x
A． (5 , 4)
B． (5 , 0)
C． (4 , 0)
D． (5 , 3]
【解析】法一： f x x3 3x2 ,则 f x 3x2 6x ，设切点为 x0 , x03 3x02 ,则 f x0 3x02 6x0 ．
∴过切点处的切线方程为 y x03 3x02 3x02 6x0 x x0 ，把点 2 ，n 代入得：
e2－2x，则 y′＝2＋2e2－2x>0.∵x＝1 时，y＝0，∴x0＝1.故选 A.
[答案] A
【例 1.3】设点 P 是曲线 y x3 3x 3 上的任意一点，点 P 处切线的倾斜角为 ，则角 的范围是（ ） 5
A．
0
，2 3
B．
0
，
2
2 3
，
C．
2
，2 3
D．
3
，2 3
函数切线问题的解法探究
函数切线问题的解法探究一、导数的几何意义对于函数f(x)，在其中一点x=a处的导数f'(a)表示函数在该点的切线斜率。
也就是说，如果在点a处存在切线，那么切线的斜率就是函数在该点的导数。
我们知道，切线是曲线在该点附近的一条直线，具有与曲线相切的性质。
通过求函数在其中一点的导数，我们可以得到该点处的切线斜率，从而确定切线的位置。
根据导数的定义公式f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)]/h，我们可以求得函数在任意一点的导数。
二、切线问题的解决步骤解决函数切线问题的一般步骤如下：1.求函数的导数首先，我们需要求得给定函数f(x)的导数f'(x)。
导数的计算可以通过直接求解导数的定义公式，或者运用导数的性质（如常数因子法则、和法则、差法则、乘积法则、商法则等）来求解。
这一步是解决函数切线问题的关键，因为只有求得导数，才能确定函数在特定点的切线斜率。
2.确定切点找到切线的第一步是确定切点的坐标。
通常，切点的x坐标可以从题目中给出，然后我们可以利用这个值来求出切点的y坐标。
计算切线的切点坐标可以帮助我们更好地理解切线的位置。
3.求切线方程已知切点和切线的斜率，我们可以通过切线的斜截式方程来求出切线的方程。
切线的斜率已经通过导数得到，我们可以用导数的值代入斜截式方程的斜率，再代入切点的坐标，即可得到切线方程。
4.分析问题得到切线方程之后，我们可以通过与给定的函数对比分析切线的性质。
比如，两条曲线在切点处的斜率是否相等，两条曲线在切点处是否相切等问题。
这些问题可以通过切线方程和给定函数的关系来解决。
总之，函数切线问题是高中数学中重要的一部分，它通过导数的几何意义和性质来帮助我们解决函数与曲线的关系问题。
我们需要掌握导数的定义和导数的计算方法，熟练掌握运用导数的性质，才能解决函数切线问题。
高中数学高考中三次函数图象的切线问题
高中数学高考中三次函数图象的切线问题三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，三次函数的切线蕴含着许多美妙的性质，用导数方法探求切线的性质，用导数方法探求切线的性质，用导数方法探求切线的性质，为分为分析问题和解决问题提供了新的视角、析问题和解决问题提供了新的视角、新的方法，新的方法，新的方法，不仅方便实用，不仅方便实用，不仅方便实用，而且三次函数的而且三次函数的切线性质变得十分明朗切线性质变得十分明朗..纵览近几年高考数学试题，三次函数的切线问题频频出现，本文给出三次函数切线的三个基本问题现，本文给出三次函数切线的三个基本问题. .一、已知斜率为k 与三次函数图象相切的切线三次函数)0()(23¹+++=a d cx bx ax x f1、0>a ,斜率ab ac k 332-=时，有且只有一条切线；a b ac k 332->时，有两条不同的切线；ab ac k 332-<时，没有切线；2、0<a ,斜率ab ac k 332-=时，有且只有一条切线；a b ac k 332-<时，有两条不同的切线；ab ac k 332->时，没有切线；证明证明 c bx ax x f ++=23)(2/1、 0>a 当a b x 3-=时，.33)(2min /a b ac x f -=\ 当当ab ac k 332-= 时，方程ab ac c bx ax 332322-=++有两个相同解，所以斜率为k 的切线有且只有一条；其方程为：).3(33)3(2ab x a b ac a bf y +-=--当当a b ac k 332->时，方程k c bx ax =++232，有两个不同的解21,x x ，且21x x +=-a b 32-，即存在两个不同的切点))(,()),(,(2211x f x x f x ，且两个切点关于三次函数图象对称中心对称。
所以斜率为k 的切线有两条。
高中数学微重点02 函数的公切线问题(4大考点+强化训练)(习题版)
微重点02函数的公切线问题（4大考点+强化训练）函数的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．【知识导图】【考点分析】考点一：求两函数的公切线规律方法求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．【例1】已知抛物线21:2C y x x =+和22:C y x a =-+，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．(1)a 取什么值时，1C 和2C 有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若1C 和2C 有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．考点二：与公切线有关的求值问题规律方法利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．【例2】（2024下·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知()e sin x f x x =+，()ln(1)1g x a x =+-．(1)若()f x 在(0,(0))f 处的切线也与()g x 的图象相切，求a 的值；(2)若()()0f x g x +≥在(1,)∈-+∞x 恒成立，求a 的取值集合．【变式】设0t ≠，点(),0P t 是函数()3f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．(1)用t 表示a ，b ，c ；(2)若函数()()y f x g x =-在()1,3-上单调递减，求t 的取值范围．考点三：判断公切线条数规律方法运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数，通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况．【例3】曲线C 1：x y e =与曲线C 2：y ＝ln x 公切线的条数是。
2021届高考数学二轮复习高频考点14 函数的切线问题(解析版)
微专题十四 函数的切线问题一、基础知识： （一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。
这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。
（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。
例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。
（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。
对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。
例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点()()00,B x x f x x +∆+∆，则割线AB 斜率为：()()()()()000000AB f x x f x f x x f x k x x x x +∆-+∆-==+∆-∆ 当B 无限接近A 时，即x ∆接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为：()()000limx f x x f x k x∆→+∆-=∆,即切线斜率，由导数定义可知：()()()'0000limx f x x f x k f x x∆→+∆-==∆。
专题01 利用导函数研究函数的切线问题(原卷版)-2024年高考数学复习解答题解题思路训练
专题01利用导函数研究函数的切线问题(典型题型归类训练)目录一、必备秘籍.......................................................1二、典型题型.......................................................3题型一：在型求切线方程..........................................3题型二：过型求切线方程..........................................3题型三：已知切线斜率求参数......................................3题型四：确定过一点可以做切线条数................................4题型五：已知切线条数求参数......................................4题型六：距离问题转化为相切问题..................................5题型七：公切线问题..............................................5三、专项训练. (6)一、必备秘籍1、切线的斜率：函数()y f x =在点0x x =处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率k ，即0()k f x '=.2、曲线的切线问题（基础题）（1）在型求切线方程已知：函数)(x f 的解析式.计算：函数)(x f 在0x x =或者))(,(00x f x 处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标)(0x f （方法：把0x x =代入原函数)(x f 中），切点))(,(00x f x .第二步：计算切线斜率'()k f x =.第三步：计算切线方程.切线过切点))(,(00x f x ，切线斜率)('0x f k =。
函数的切线问题专题
函数切线与导数1．已知函数()()2ln 222+--=x x x x x f ，则函数()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程为 ．2．已知函数()2ln bx x a x f -=上一点()()2,2f P 处的切线方程为22ln 23++-=x y 则=a =b ．3．若曲线x ey -=上点P 处的切线平行于直线012=++y x ，则点P 的坐标为 ． 4．已知函数()323+-=x x x f 上一动点P ，则函数()x f y =在点P 处的切线的倾斜角的取值范围为 ．5．已知函数()()01923<---=a x ax x x f ，若函数()x f y =的斜率最小的切线与直线0612=-+y x 平行，则=a ．6．直线1+=kx y 与曲线()b ax x x f ++=3切于点()3,1，则=b ．7．已知直线1-+=a ex y 为曲线()x xe xf x ln 1++=的切线，则=a ． 8．过点()8,2A 作函数()3x x f =的切线，则切线方程为 ．9．已知直线1-=ax y为曲线x y ln =的切线，则=a ． 10．已知曲线x x y ln +=在点()1,1处的切线与曲线()122+++=x a ax y 相切，则=a ．11．设函数()()()2,0ln x x g a bx x a x f =>+=，且满足()()()()11,11g f g f '='=，若存在实数m k ,使得()()m kx x g m kx x f +≥+≤,成立，则=k =m ． 12．过点()0,1的直线与曲线9415,23-+==x ax y x y 均相切，则=a ． 13．已知函数()x x x f 323-=，若果过点()t P ,1存在三条直线与曲线()x f 相切，则实数t 的取值范围为 ．14．若曲线x ae y x y ==与曲线2存在公切线，则a 的取值范围为 ．设函数()()3,ln 23--=+=x x x g x x xa x f （1）讨论函数()()xx f x h =的单调性 （2）如果对任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21,t s 都有()()t g s f ≥成立。
txw6函数切线问题教师版
函数的切线问题微专题第一讲 函数切线及其应用1．导数的几何意义:函数)(x f 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率．注：（()tan k f x α'==） 2．在点00(,)A x y 处的切线方程：()000()()y f x f x x x '-=-抓住关键：000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩；3．过点11(,)A x y 的切线方程：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：∵过点11(,)A x y ，∴10010()()y y f x x x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）考点1 切线及斜率问题【例1.1】已知函数()f x 是偶函数，定义域为()()00-∞⋃+∞，，，且0x >时， ()1x x f x e-=，则曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为 ． 【解析】()()()21','1,10,xx f x f f e e-=∴==∴曲线y =是偶函数， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线方程与曲线轴对称，为()11y x e =-+，故答案为()11y x e=-+A ．1 B ．－1 C ．2D ．e －1[解析] 设切点为(x 0，e 2x 0－1)，∵f ′(x )＝2e 2x －1，∴2e 2x0－1＝e 2x 0－1＋e x 0，化简得2x 0－1＝e2－2x 0.令y ＝2x －1－e 2－2x，则y ′＝2＋2e 2－2x>0.∵x ＝1时，y ＝0，∴x 0＝1.故选A.[答案] A【例1.3】设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是（ ）A ．203π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，，C ．223ππ⎛⎤⎥⎝⎦，D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，233x -，【练习1】(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：选D 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .法二：易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.【练习2】若P 是函数()()()1ln 1f x x x =++图象上的动点，点()1,1A --，则直线AP 斜率的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[]0,1C ．(1,e e -⎤⎦D ．(1,e -⎤-∞⎦【解析】由题意可得： ()()'ln 11f x x =++ ，结合函数的定义域可知，函数在区间11,1e ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ 上单调递减，在区间11,e ⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且1111f e e ⎛⎫-+=->- ⎪⎝⎭ ，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为()()()000,1ln 1x x x ++ ，该点的斜率为()0ln 11k x =++ ，切线方程为：()()()()00001ln 1ln 11y x x x x x ⎡⎤-++=++-⎣⎦，切线过点()1,1-- ，则： ()()()()000011ln 1ln 111x x x x ⎡⎤--++=++--⎣⎦ ，解得:00x = ，切线的斜率()0ln 111k x =++= ，综上可得：则直线AP 斜率的取值范围为[)1,+∞．0000________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0)【练习4】设P是函数)1y x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ． [0,θπ∈考点2 切线条数问题【例2】过点(),A m m 与曲线()ln f x x x =相切的直线有且只有两条，则m 的取值范围是（ ） A ．()e -∞，B ．()+e ∞，C ．10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．()1+∞，【练习】设函数233)(x x x f -=，若过点),2(n 可作三条直线与曲线)(x f y =相切，则实数n 的取值范围是（ ） A ．)4,5(--B ．)0,5(-C ．)0,4(-D ．]3,5(--【解析】法一：()323f x x x =-,则()236f x x x '=-，设切点为()32000,3x x x -,则()200036f x x x '=-． ∴过切点处的切线方程为()()3220000336y x x x x x x -+=--，把点()2n ，代入得： ()()322000003362n x x x x x -+=--．整理得：3200029120x x x n -++=．若过点()2n ，可作三条直线与曲线()y f x =相切,则方程3200029120x x x n -++=有三个不同根（左图） 令()322912g x x x x =-+，则()()()261812612g x x x x x '=-+=--，∴当()()12+x ∈-∞⋃∞，，时,()0g x '>；当()12x ∈，时,()0g x '<， ∴()g x 的单调增区间为()1-∞，和()2+∞，；单调减区间为()12，． ∴当1x =时,()g x 有极大值为()15g =；当2x =时,()g x 有极小值为()24g =．由45n <-<，得54n -<<-． ∴实数n 的取值范围是()54--，．故选A ．法二：()323f x x x =-关于点()1,2-中心对称，()()23613f x x x f ''=-⇒=-，在对称中心的切线方程为31,25y x x y =-+==-时，，()24f =-，故当点()2,n 位于区域Ⅰ，有三条切线时，54n -<<-．（如右图）考点3 零点、交点、极值点问题【例3.1】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()0∞－，B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．(0,)+∞【解析】函数()()ln f x x x ax =-，则()1'ln ln 21f x x ax x a x ax x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令()'ln 210f x x ax =-+=得ln 21x ax =-，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，等价于()'ln 21f x x ax =-+有两个零点，等价于函数ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当12a =时，直线21y ax =-与ln y x = 的图象相切，由图可知，当102a <<时， ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选B ．例3.1图 例3.2图【例3.2】设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围（ ） A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =．在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图1所示）．当1x >时， ()ln f x x =．由ln y x =得1y x'=．设过原点的直线y ax =与函数y x ln =的图象切于点()00,ln A x x ，则有0001lnx ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得0 1x ea e=⎧⎪⎨⎪⎩=．所以当直线y ax =与函数ln y x =的图象切时1a e =．又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e=．结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭．即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ．【练习】对任意的0x >，总有lg 0f x a x x =--≤，则a 的取值范围是（ ） A ．()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦， B ．(]1-∞，C ．()1lg lg lg e e ⎡⎤-⎣⎦， D ．()lg lg lg e e ⎡⎤-+∞⎣⎦，【解析】原问题即lg x x a ≥-+在区间()0,+∞上恒成立，考查临界情况， 即函数()lg g x x =与()h x x a =-+相切时的情形，如图， 很明显切点横坐标位于区间()0,1内，此时， ()()1lg ,'ln10g x x g x x =-=， 由()'1g x =-可得：1lg ln10x e =-=-，则切点坐标为： ()()lg ,lg lg e e --， 切线方程为： ()lg lg lg y e x e +=+，令0x =可得纵截距为： ()lg lg lg e e -， 结合如图所示的函数图象可得则a 的取值范围是()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦，．故选A ．考点4 参数范围问题【例4】已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()()2k x f x -<对任意的2x >恒成立，则k 的最大值为（ ）(参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986==) A ．3B ．4C ．5D ．6 【解析】设直线()2y k x =- 与曲线()y f x = 相切时的切点为()(),m f m ，此时()()0'2f m f m m -=- ，即ln 2ln 2m m mm m +=+- ，化简得42ln 0m m --=，设 ()42ln 0g m m m =--= ，因为()2280g e e =-<，()33100g e e =-> ，所以23e m e << ，所以切线斜率2ln m + 的取值范围为()4,5 ，所以整数k 的最大值为4 ，故选B ．【练习】已知,a b 为正实数，直线y x a =-与曲线()ln y x b =+相切，则2a b+的取值范围为 ．【解析】由题意知1'1y x b==+, 1x b ∴=-,切点为()1,0b -,代入y x a =-,得1a b += , ,a b 为正实数, ()0,1a ∴∈,则2223a a b a =+- ,令()23a g a a =-,则()()()26'03a a g a a -=>-, 则函数()g a 为增函数, 210,22a b ⎛⎫∴∈ ⎪+⎝⎭． 考点5 距离问题和平行切线问题【例5.1】设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线()ln 2y x =上，则PQ 最小值为（ ）A ．1ln2-B )21ln 2-C ．1ln2+D )21ln 2+【例5.2】直线y m =分别与曲线()21y x =+，与ln y x x =+交于点,A B ，则AB 的最小值为（ ） A B ．2 C ．3 D ．32【练习1】已知函数()()02x f x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x y e =上，则PQ 的最小值为 ．【解析】由()()02x f x f e ''=-+，令0x =可得()01f '=，所以()2x f x e x =-+，所以切线的斜率()01k f '==，又()01f =-，故切线方程为10x y --=．由题意可知与直线10x y --=平行且与曲线x y e =相切的切点到直线【练习2】函数()21x f x e x x =+++与()g x 的图象关于直线230x y --=对称，P Q 、分别是函数()()f x g x 、图象上的动点，则PQ 的最小值为（ ） A B C D ．值．()f x e '=()x x e =+考点6 两点间距离平方问题【例6】已知实数a b 、满足225ln 0a a b c R --=∈，，则()()22a cbc -++的最小值为（ ） A ．12BCD ．92【练习】已知()()()22ln S x a xa a R =-+-∈，则S 的最小值为（ ） A B ．12C D ．2第二讲 函数公切线问题与是否有公切线，决定它们公切线条数的是由函数凹凸性和共单调区间交点。
高考数学知识点复习：函数的切线问题
专题1函数的切线问题秒杀秘籍：第一讲切线的几何意义1．导数的几何意义:函数)(x f 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y 在点))(,(0x f x 处的切线的斜率．注：（ tan k f x ）切线方程 000()()y f x f x x x 的计算:2．在点00(,)A x y 处的切线方程： 000()()y f x f x x x 抓住关键：000()()y f x k f x3．过点11(,)A x y 的切线方程：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x ，过切点的切线方程为：∵过点11(,)A x y ，∴10010()()y y f x x x 然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）4．定理：令 ln x f x e g x x 过原点的切线斜率为1e e；ln ax xa h x e t x 过原点的切线斜率为1ae ae类推： ,,0,f x h x m g x t x m 过,0过的切线斜率分别为111m m e e （根据平移记忆）和111am m ae ae（不要求记忆）考点1切线及斜率问题【例1】曲线1x y xe 在点 11，处切线的斜率等于（）A ．e2B ．e C ．2D ．1【解析】1101122x x x f x x e x e x e k f e，，C 选．【例2】设点P 是曲线3335y x x上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为 ，则角 的范围是（）A ．203，B ．2023，，C ．223，D ．233，【解析】 22233tan 333tan 33f x x x∵，，，（ 为第二象限角）或02，（ 为第一象限角）．【例3】已知函数 f x 是偶函数，定义域为 00 ，，，且0x 时， 1xx f x e ，则曲线 y f x 在点 11f ，处的切线方程为．【解析】 21','1,10,xx f x f f e e∵∵曲线 y f x 在点 1,1f 处的切线方程为 11y x e ，又 f x 是偶函数， 曲线 y f x 在点 1,1f 处的切线方程与曲线 y f x 在点 1,1f 处的切线方程故意y 轴对称，为 11y x e，故答案为 11y x e．【例4】设P 是函数 1y x x 图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为 ，则 的取值范围是．【解析】由题意知313131tan 23222222y x x x x x x0,,22∵．【例5】若P 是函数 1ln 1f x x x 图象上的动点，点 1,1A ，则直线AP 斜率的取值范围为（）A ．1, B ．0,1C ．1,e eD ．1,e【解析】由题意可得： 'ln 11f x x ，结合函数的定义域可知，函数在区间11,1e上单调递减，在区间11,e 上单调递增，且1111f e e，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为 000,1ln 1x x x ，该点的斜率为 0ln 11k x ，切线方程为： 00001ln 1ln 11y x x x x x ，切线过点 1,1 ，则： 000011ln 1ln 111x x x x ，解得:00x ，切线的斜率0ln 111k x ，综上可得：则直线AP 斜率的取值范围为 1, ．【例6】已知函数 32f x mx nx 的图象在点 1,2 处的切线恰好与直线30x y 平行，若 f x 在区间,1t t 上单调递减，则实数t 的取值范围是．【解析】由题意知 32f x mx nx ，∴ 232f x mx nx ．由题意得121323f m n f m n解得13m n ，∵ 323f x x x ，∴ 23632f x x x x x ，由 320f x x x ，得20x ，所以函数 f x 的单调减区间为 2,0 ．由题意得 ,1t t 2,0 ，∴210t t，解得21t ．考点2切线条数问题【例7】过点 ,A m m 与曲线 ln f x x x 相切的直线有且只有两条，则m 的取值范围是（）A ．e ，B ．+e ，C ．10e，D ．1+ ，【解析】设切点为 00x y ，, ln 1f x x ,所以切线方程为: 0000ln ln 1y x x x x x ,代入 ,A m m ,得 0000ln ln 1m x x x m x ,即这个关于0x 的方程有两个解．化简方程为00ln x m x ,即0ln 1x m x,令 ln 0x g x x x, 21ln xg x x, g x 在 0e ，上单调递增,在e ，上单调递减, 1g e e,x , 0g x ， 10g ,所以110m e,所以m e ．故选B ．【例8】已知曲线x a y e 与2y x 恰好存在两条公切线，则实数�的取值范围是（）A ．2ln 22+ ，B ．2ln 2+ ，C ．2ln 22 ，D ．2ln 22 ，【解析】2y x 的导数2x a y x y e ，的导数为x a y e ，设与曲线x a y e 相切的切点为 2m n y x ，，相切的切点为 s t ，，则有公共切线斜率为2m at n s e s m，又2+m at s n e ，，即有222s s s s m，即为12s s m ，即有 202s m s ，则有2m a e s ，即为 2ln 202s a s s ，恰好存在两条公切线，即s 有两解，令 2ln 202x f x x x，则 112f x x ，当0x 时， 0f x f x ，递减，当02x 时， 0f x f x ，递增，即有2x 处 f x 取得极大值，也为最大值，且为2ln 22 ，由恰好存在两条公切线可得y a 与 y f x 有两个交点，结合函数的图象与单调性可得a 的范围是2ln 22a ，故选D ．【例9】过点 A m n ，与曲线 ln f x x x 相切的直线有且只有两条，则实数m 的取值范围是（）A ．),(e B ．),( e C ．1,0(eD ．),1( 【解析】设切点为 00x y ，， ln 1f x x ,所以切线方程为: 0000ln ln 1y x x x x x ，代入 A m n ，，得 0000ln ln 1m x x x m x ，即这个关于0x 的方程有两个解．化简方程为00ln m x x ，即0ln 1x m x,令 ln 0x g x x x, 21ln x g x x , g x 在 0,e 上单调递增,在 ,e 上单调递减, 1g e e,x ， 0g x ， 10g ，所以110m e，所以m e ．【例10】设函数233)(x x x f ，若过点),2(n 可作三条直线与曲线)(x f y 相切，则实数n 的取值范围是（）A ．)4,5( B ．)0,5( C ．)0,4( D ．]3,5( 【解析】法一： 323f x x x ,则 236f x x x ，设切点为 32000,3x x x ,则 200036f x x x ．∴过切点处的切线方程为32200000336y x x x x x x ，把点2n ，代入得：322000003362n x x x x x ．整理得：3200029120x x x n ．若过点 2n ，可作三条直线与曲线y f x 相切,则方程3200029120x x x n 有三个不同根（左图）令 322912g x x x x ，则 261812612g x x x x x ，∴当 12+x ，，时, 0g x ；当 12x ，时, 0g x ，∴ g x 的单调增区间为 1 ，和 2+ ，；单调减区间为 12，．∴当1x 时, g x 有极大值为 15g ；当2x 时, g x 有极小值为 24g ．由45n ，得54n ．∴实数n 的取值范围是 54 ，．故选A ．法二： 323f x x x 关于点 1,2 中心对称， 23613f x x x f ，在对称中心的切线方程为31,25y x x y 时，， 24f ，故当点 2,n 位于区域Ⅰ，有三条切线时，54n ．（如右图）考点3零点、交点、极值点问题【例11】若函数 2x f x ae x a 有两个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,eB ．10,eC ．0 ，D ．0+ ，【解析】法一：∵ 2x f x ae x a ，∴ 1x f x ae ．①当0a 时， 0f x 恒成立，故函数 f x 在R 上单调，不可能有两个零点；②当0a 时，令 0f x ，得1lnx a ，函数在1ln a -，上单调递减，在1ln +a，,上单调递增，所以 f x 的最小值为11ln 1ln 21ln 2f a a a a a，令 1ln 2,0g a a a a ，则 1122a g a a a ，∴当102a时， 0,g a g a 单调递增；当12a 时， 0g a ， g a 单调递减．∴ max 1ln 02g a g a，∴ f x 的最小值为1ln 1ln 20f a a a，∴函数 2x f x ae x a 有两个零点．综上实数a 的取值范围是 0+ ，．法二： 202x x x f x ae x a e a，即x y e 与22y x a 交点问题，由图可知，0a 时，一定有两个交点，0a 时，有仅有一个交点；故选D ．例题10例题11例题12【例12】关于x 的方程2xx a e 有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为．【解析】如图，临界情况为 2y x a 与xy e 相切的情况，'2xy e ，则ln2x ，所以切点坐标为ln2,2，则此时1ln2a ，所以只要2y x a 图象向左移动，都会产生3个交点，所以1ln2a ，即 1ln2, ．【例13】已知函数ln f x x x ax 有两个极值点，则实数的取值范围是（）A ． 0 －，B ．10,2C ．0,1D ．(0,)【解析】函数 ln f x x x ax ，则 1'ln ln 21f x x ax x a x ax x，令 'ln 210f x x ax 得ln 21x ax ，函数 ln f x x x ax 有两个极值点，等价于'ln 21f x x ax 有两个零点，等价于函数ln y x 与21y ax 的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当12a时，直线21y ax 与ln y x 的图象相切，由图可知，当102a 时，ln y x 与21y ax 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是10,2，故选B ．【例14】设ln f x x ，若函数g x f x ax 在区间上有三个零点，则实数的取值范围（）A ．10,eB ．211,e eC ．222,e eD ．221,e e【解析】令 0g x f x ax ，可得f x ax ．在坐标系内画出函数 ln f x x 的图象（如图9所示）．当1x 时， ln f x x ．由ln y x 得1y x．设过原点的直线y ax 与函数y x ln 的图象切于点 00,ln A x x ，则有0001lnx ax a x，解得0 1x ea e ．所以当直线y ax 与函数ln y x 的图象切时1a e ．又当直线y ax 经过点2B ,2e 时，有22a e ，解得22a e．结合图象可得当直线y ax 与函数 ln f x x 的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e．即函数 g x f x ax 在区间20,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e．故选D ．例题13例题14【例15】对任意的0x ，总有 lg 0f x a x x ，则a 的取值范围是（）A ． lg lg lg e e，B ．1 ，C ． 1lg lg lg e e，D ． lg lg lg e e，【解析】原问题即lg x x a 在区间 0, 上恒成立，考查临界情况，即函数 lg g x x 与 h x x a 相切时的情形，如图10，很明显切点横坐标位于区间 0,1内，此时， 1lg ,'ln10g x x g x x ，由 '1g x 可得：1lg ln10x e，则切点坐标为： lg ,lg lg e e ，切线方程为：lg lg lg y e x e ，令0x 可得纵截距为： lg lg lg e e ，结合如图所示的函数图象可得则a 的取值范围是 lg lg lg e e ，．选A ．【例16】已知定义在, 上的函数 f x ，满足 f x f x ，且当 1,x 时 ln f x x ，若函数g x f x ax 在1,上有唯一的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,ln eB ． ln ,ln 0C ．0,ln D ． 1,ln 0e【解析】由题意知 1f x f x , 1,x 时， ln f x x ，1,1x时， 11,x ，11ln f f x x x， ln f x x ， g x 零点，就是 y f x 与y ax 的交点，画出两函数图象，如图，由图11知，ln OA k 过原点与ln y x 相切的直线斜率为1e，所有直线与曲线有一个交点的a 的范围是1,ln 0e，故选D ．【例17】若函数 ln f x x ax 存在与直线20x y 平行的切线，则实数a 的取值范围是．【解析】∵函数 ln f x x ax 存在与直线20x y 平行的切线，即 2y a x 与ln y x 切线平行，过原点且与ln y x 相切的直线为xy e，如下图所示，显然120,2a a e且，故实数a 的取值范围是11222e e，，．【例18】已知函数 f x 为偶函数，当0x 时， ln f x x ax ．若直线y x 与曲线 y f x 至少有两个交点，则实数a 的取值范围是（）A ．111,1e eB ．111,11e eC ．11,eD ．111,11,e e【解析】函数 f x 为偶函数，故当0x 时， ln f x x ax x 有交点，则 ln 1x a x 有解，故11a e ；当0x 时， ln f x x ax x，1y a x 与 ln y x 相切时，11a e ；如下图，1101,11a a e e，故a 的取值范围是111,11,e e．故选D ．【例19】已知函数 201720161120162017f x x x x x x x ，在不等式20171x e ax x R 恒成立的条件下等式 20182017f a f b 恒成立，求b 的取值集合（）A ．{|20162018}b bB ．2016,2018C ． 2018D ．2017【解析】20172017'2017xxee，函数2017,1x y e y ax 均经过点 0,1，则直线1y ax 是函数2017x y e 的切线，据此可得：2017a ，等式即： 12017f f b ，很明显函数 f x 是偶函数，则：20171b ，解得：2016b 或2018b ，结合绝对值和式的几何意义可得实数b 的取值范围是：{|20162018}b b ．【例20】已知函数 ln f x x x x ，若k Z ，且 2k x f x 对任意的2x 恒成立，则k 的最大值为（）(参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986 )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】设直线 2y k x 与曲线 y f x 相切时的切点为 ,m f m ，此时0'2f m f m m ，即ln 2ln 2m m mm m ，化简得42ln 0m m ，设 42ln 0g m m m ，因为2280g e e ，33100g e e ，所以23e m e ，所以切线斜率2ln m 的取值范围为 4,5，所以整数k 的最大值为4，故选B ．【例21】已知,a b 为正实数，直线y x a 与曲线 ln y x b 相切，则2b的取值范围为．【解析】由题意知1'1y x b,1x b ,切点为 1,0b ,代入y x a ,得1a b ,∵,a b 为正实数, 0,1a ,则2223a a b a ,令 23a g a a ,则26'03a a g a a ,则函数 g a 为增函数,210,22a b．【例22】若直线y kx b 为函数 ln f x x 图象的一条切线，则k b 的最小值为．【解析】设切点 0,ln P x x ，则 001k f x x ，所以方程为 0001ln y x x x x ，即001ln 1y x x x ，所以001,ln 1k b x x， 00001ln 1(0)g x k b x x x ，可得 0g x 在 0,1上单调递减，在 1, 单调递增，所以当01x 时，k b 取得最小值0．【例23】设点P 在曲线12x y e 上，点Q 在曲线 ln 2y x 上，则PQ 最小值为（）A ．1ln 2B21ln 2 C ．1ln 2D21ln 2 【解析】两函数互为反函数，即图像关于y x 对称，函数12x y e 上的点12x x e，到直线y x 的距离为122xe x，设函数 11122x x g x e x g x e ，得 min 1ln 2g x ，所以min 1ln 22d ，由图像关于y x 对称得：PQ 的最小值为 min 221ln 2d ．【例24】直线y m 分别与曲线 21y x ，与ln y x x 交于点,A B ，则AB 的最小值为（）A ．324B ．2C ．3D ．32【解析】由题意可知，当过点B 的切线与 21y x 平行时，AB 取得最小值．为此对ln y x x 进行求导得11y x，令2y ，解得1x ，代入ln y x x ，知1y ，所以当BC 取到最小值时，1m ，所以 11112A B，，，，易知13122AB ，故选D ．【例25】已知函数 02x f x f e x ，点P 为曲线 y f x 在点 00f ，处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x y e 上，则PQ 的最小值为．【解析】由 02x f x f e ，令0x 可得 01f ，所以 2x f x e x ，所以切线的斜率 01k f ，又 01f ，故切线方程为10x y ．由题意可知与直线10x y 平行且与曲线x y e 相切的切点到直线10x y 的距离即为所求．设切点为t Q t e ，，则11t k e ，故0t ，即 01Q ，，该点到直线10x y 的距离为222d．【例26】函数 21x f x e x x 与 g x 的图象关于直线230x y 对称，P Q 、分别是函数 f x g x 、图象上的动点，则PQ 的最小值为（）A 5B 5C 25D ．25【解析】由题意得当P 点处切线平行直线230x y ，Q 为P 关于直线230x y 对称点时，PQ 取最小值． 21x f x e x ∵， 2121202x x f x e x e x P ，，PQ 的最小值为02322514，故选D ．考点6两点间距离平方问题【例27】已知实数a b 、满足225ln 0a a b c R ，，则 22a cbc 的最小值为（）A ．12B ．32C ．322D ．92【解析】考查22a cbc 的最小值：x 代换a ，y 代换b ，则x y ，满足：225ln 0x x y ，即225ln 0y x x x ，以x 代换c ，可得点 x x ，，满足0y x ．因此求 22a cbc 的最小值即为求曲线 225ln 0y x x x 上的点到直线0y x 的距离的最小值．设直线0y x m y +x +m =0与曲线 225ln 0y f x x x x 相切于点 00P x y ，， 54f x x x，则 000541f x x x ，解得01x ，∴切点为 12P ，．∴点P 到直线0y x 的距离33222d，得： 22a cbc 的最小值为92．【例28】已知 22ln S x a x a a R ，则S 的最小值为（）A ．22B ．12C 2D ．2【解析】设 ln A x x B a a ，，，，则问题化为求平面上两动点 ln A x x B a a ，，，之间距离的平方的最小值的问题，也即求曲线 ln f x x 上的点到直线y x 的点的距离最小值问题．因 1f x x，设切点 ln P t t ，，则切线的斜率1k t ，由题设当11t ，即1t 时，点 10P ，到直线y x 的距离最近，其最小值为min 12d ，所以所求S 的最小值为min 12S，故选B ．达标训练1．直线y m 分别与曲线 21y x ，与ln y x x 交于点,A B ，则AB 的最小值为（）A ．324B ．2C ．3D ．322．已知函数 3110sin 6f x x x在0x 处的切线与直线0nx y 平行，则二项式211nx x x 展开式中4x 的系数为（）A ．120B ．135C ．140D ．1003．已知 4201xf x a x x x，若曲线 f x 上存在不同两点,A B ，使得曲线 f x 在点,A B 处的切线垂直，则实数a 的取值范围是（）A ． 3,3B ．2,2 C ．3,2D ． 34．已知a b c R 、、，且满足221b c ，如果存在两条互相垂直的直线与函数 cos sin f x ax b x c x 的图象都相切，则23a b c 的取值范围是（）A ．2,2 B ．5,5 C ．6,6 D ．2,225．设函数 222ln 2f x x a x a ，其中0x ，R a ，存在0x 使得 045f x成立，则实数a 的值是（）A ．15B ．25C ．12D ．16．已知 f x 是定义在R 上的单调函数，满足 1x f f x e ，则 f x 在 0,0f 处的切线方程为（）A ．1y xB ．1y xC ．1y xD ．1y x 7．已知12,P P 为曲线:ln C y x （0x 且1x ）上的两点，分别过12,P P 作曲线C 的切线交y 轴于,M N 两点，若120PM P N ，则MN（）A ．1B ．2C ．3D ．48．如右图，直线2y ax 与曲线 y f x 交于A B 、两点，其中A 是切点，记 ,f x h x g x f x ax x，则下列判断正确的是（）A ． h x 只有一个极值点B ． h x 有两个极值点，且极小值点小于极大值点C ． g x 的极小值点小于极大值点，且极小值为2D ． g x 的极小值点大于极大值点，且极大值为29．过点 21A ，作曲线 33f x x x 的切线最多有（）A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条10．设函数 2340f x x ax a 与 22ln g x a x b 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）A ．21e B ．212e C ．213e D ．214e 11．已知定义在1, 上的函数 f x ，满足 1f x f x，且当 1,x 时 ln f x x ，若函数g x f x ax 在1,上有唯一的零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,ln eB ． ln ,ln 0C ．0,ln D ． 1,ln 0e12．已知 11,A x y ， 22,B x y 12()x x 是函数 3f x x x 图像上的两个不同点．且在,A B 两点处的切线互相平行，则21x x 的取值范围是（）A ． 1,1B ．1,2 C ．2.0 D ．1,0 13．设函数 232(0)2f x x ax a与 2g x a lnx b 有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为（）A ．212e B ．212e C ．1eD ．232e14．设直线12,l l 分别是函数 ,01,1lnx x f x lnx x图象上点12,P P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且12,l l 分别与y 轴相交于点,A B ，则PAB 的面积的取值范围是（）A ．0,1B ．1, C ．0, D ．0,215．函数 ln f x x 在点 00f P x x ，处的切线l 与函数 x g x e 的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个16．已知函数 x af x x e (0)a ，且 y f x 的图象在0x 处的切线l 与曲x y e 相切，符合情况的切线（）A ．有0条B ．有1条C ．有2条D ．有3条17．若曲线21(11)ln 1f x e x e a x和 32(0)g x x x x 上分别存在点,A B ，使得AOB 是以原点O 为直角顶点的直角三角形，且斜边AB 的中点y 轴上，则实数a 的取值范围是（）A ．2,e eB ．2,2e eC ．21,e D ．1,e 18．已知函数 1x f x x a e，曲线 y f x 上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y 轴垂直，则实数a 的取值范围是（）A ．2,eB ．2,0e C ．21,eD ．21,0e19．已知函数 f x 为偶函数，当0x 时， ln f x x ax ．若直线y x 与曲线 y f x 至少有两个交点，则实数a 的取值范围是（）A ．111,1e eB ．111,11e eC ．11,eD ．111,11,e e20．若曲线21:(0)C y ax a 与曲线2:x C y e 存在公共切线，则a 的取值范围为（）A ．20,8eB ．20,4eC ．2,8eD ．2,4e21．已知曲线21y x 在点200(,+1)P x x 处的切线为l ，若l 也与函数 ln ,0,1y x x 的图象相切，则0x 满足（）（其中 2.71828...e ）A ．012x B 02x eC 03e x D 032x 22．已知曲线1C :2y x 与曲线2C :2ln (y x x,直线l 是曲线1C 和曲线2C 的公切线,设直线l 与曲线1C 切点为P ,则点P 的横坐标t 满足（）A ．102t eB ．1122t e C ．1222t D ．222t 23．设函数 sin f x x 的图象与直线(0)y kx k 有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为 ，则 （）A ．cosB ．tanC ．sinD ．tan24．已知函数 f x 是定义在 0, 的可导函数， f x 为其导函数，当0x 且1x 时，201f x xf x x ，若曲线 y f x 在1x 处的切线的斜率为34，则 1f （）A ．0B ．1C ．83D ．5125．函数 y f x 图象上不同两点 1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定 ,A B k k A B AB叫做曲线在点A 与点B 之间的“弯曲度”．设曲线x y e 上不同的两点 1122,,,A x y B x y ，且121x x ，若 •,3t A B 恒成立，则实数t 的取值范围是（）A ．,3 B ．,2 C ．3 D ．1,326．过点 22M p ，引抛物线 220x py p 的切线，切点分别为A B 、，若410AB ，则P 的值是（）A ．1或2B ．2或2C ．1D ．227．已知曲线 32+3f x x x x 在1x 处的切线与抛物线22y px 相切，则抛物线的准线方程为（）A ．116xB ．1x C ．1y D ．1y 28．已知函数 2,01,0x x a x f x x x的图象上存在不同的两点,A B ,使得曲线 y f x 在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是．29．若 323f x f x x x 对R x 恒成立，则曲线 y f x 在点 2,2f 处的切线方程为．30．直线 22,1FB x y分别是函数 sin [0π]f x x x ，，图象上点12P P ，处的切线，12l l ，垂直相交于点P ，且12l l ，分别与y 轴相交于点A B ，，则PAB 的面积为．31．已知函数1*n n f x x x n N ，曲线 y f x 在点 2,2f 处的切线与y 轴的交点的纵坐标为n b ，则数列 n b 的前n 项和为．32．已知函数 21,f x g x x x．若直线l 与曲线 ,f x g x 都相切，则直线l 的斜率为．33．设P 是函数 1y x x 图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为 ，则 的取值范围是．34．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与函数 2220f x x a x 和 3220g x x a x 均相切（其中a 为常数），切点分别为 11,A x y 和 22,B x y ，则12x x 的值为．35．过点 11 ，与曲线 32f x x x 相切的直线方程是．36．若直线y kx b 为函数 ln f x x 图象的一条切线，则k b 的最小值为．37．若曲线 ln *2n y x x n N在2x n 处的切线斜率为n a ，则数列11n n a a的前n 项和n S．38．曲线(0)y x a 与曲线y x a 的值为．39．已知函数 f x 是偶函数，定义域为 00 ，，，且0x 时， 1x x f x e，则曲线 y f x 在点 11f ，处的切线方程为．40．已知函数 3f x x ．设曲线 y f x 在点 11P x f x ，处的切线与该曲线交于另一点 22Q x f x ，，记 f x 为函数 f x 的导数，则12f x f x 的值为．41．若实数,,,a b c d 满足22ln 321a a c b d，则 22a cb d 是最小值为．42．已知函数2223ln 2f x x x a x a a R ，若关于x 的不等式 8f x 有解，则实数a 为．43．已知函数215()3,()322f x lnx x xg x x ，P ，Q 分别()f x ，()g x 为图象上任意一点，则||PQ 的最小值为．44．已知函数 222ln 323ln 310f x x x a x x a 若存在0x 使得 0110f x有解，则实数a 为．。
高考数学 切线问题(教师版)
专题1 切线问题1.若函数()ln f x x =与函数2()2(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是A ．1(ln,)2e+∞ B ．(1,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．(ln 2,)-+∞答案：A【解析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，，则切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ；设公切线与函数2()2g x x x a =++切于22222(2)(0)B x x x a x ，++<，则切线方程为22222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-，所以有2121212(1){ln 1x x x x a =+-=-+，．∵210x x <<，∴1102x <<．又2211111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11t x =，∴2102ln 4t a t t t ，<<=--．设21()ln (02)4h t t t t t =--<<，则211(1)3()1022t h t t t t--=--'=<，∴()h t 在(0，2)上为减函数，则1()(2)ln 21ln2h t h e >=--=，∴1ln 2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，故选A ． 2.已知直线2y x =与曲线()()ln f x ax b =+相切，则ab 的最大值为（ ） A ．4eB ．2e C ．e D ．2e答案：C【解析】设切点()()00,ln x ax b +，则由()002af x ax b '==+得()0102ax b a a +=>，又由()00ln 2ax b x +=，得()0011ln ln 222a x ax b =+=，则0ln 2222a a a ab ax =-=-， 有()2211ln 0222a ab a a a =->，令()2211ln 222a g a a a =-，则()1ln 22a g a a ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，故当0a <<()0g a '>；当a >()0g a '<，故当a =()g a 取得极大值也即最大值(g e =.故选：C.3.已知P 是曲线1C ：xy e =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln xy x=上任意一点，则PQ 的最小值是（ ）A ．ln 212-B ．ln 212+ C ．2 D 答案：D【解析】（1）曲线1C ：e x y =，求导得e xy '=，易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+. 下面证明e 1x x ≥+恒成立：构造函数()e 1xf x x =--，求导得()e 1xf x '=-，则(),0x ∈-∞时，0fx，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增.故函数()()00f x f ≥=，即e 1x x ≥+恒成立，有1C 为下凸曲线（2）曲线2C ：ln x y x =，求导得21ln xy x-'=，当1x =时，1y '=，且2C 过点()1,0B 故2C 在点()1,0处的切线方程为1y x =-.下面证明ln 1xx x-≥在0,上恒成立：令()2ln F x x x x =--，则()()()221112121x x x x F x x x x x+---'=--==， 当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增， 所以()()min 10F x F ==，即()()10F x F ≥=，则2ln 0--≥x x x ，即ln 1xx x-≥在0,上恒成立，有2C 为上凸曲线（3）由1C 在()0,1A 处切线1y x =+与2C 在B ()1,0处的切线1y x =-，知：它们相互平行 又直线AB 的斜率k = -1，即可知：直线AB 与两条切线同时垂直 ∴综上，知：PQ 最小时，A 即为P 点，B 即为Q 点，故min ||||PQ AB =∴min ||PQ = AB ==D4.若曲线y ＝ax +2cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[B ．[﹣1，1]C ．（﹣∞，1]D ．[，1]答案：A【解析】2sin y a x '=-，要使曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直， 只需切线斜率最小时，其负倒数仍在导函数值域内取值，即1max miny y -''，显然0mn y '<，故只需()()1min max y y '⨯'-，因为2sin y a x '=-最小值为20a -<，最大值为20a +>，所以(2)(2)1a a -+-，即23a ，解得33a．故选：A ．5.已知关于x 不等式x ae x b ≥+对任意x ∈R 和正数b 恒成立，则ab的最小值为（ ）A ．12 B ．1CD ．2答案：B【解析】设()xf x ae =，()g x x b =+，若x ae x b ≥+，对任意x ∈R 和正数b 恒成立，则()()f x g x ≥，对任意x ∈R 和正数b 恒成立，如图，0a ≤时，x ae x b ≥+，对任意x ∈R 和正数b 不恒成立；如图，0a >时，()x f x ae =，则()xf x ae '=，设()001x f x ae '==，解得0ln x a =-，且()0ln 01x a f x ae ae -===，∴当()xf x ae =的切线斜率为1时，切点坐标为()ln ,1a -，由直线的点斜式方程可得切线方程为1ln y x a -=+，即ln 1y x a =++， 若()()f x g x x b ≥=+，对任意x ∈R 和正数b 恒成立，则ln 1a b +≥∴ln ln 1ln a b b b -≥--，∴1ln b ba e b--≥，设()1ln h b b b =--，0b >，()111b h b b b -'=-=，∴()1,0b h b '==，()1,0b h b '>>，()1,0b h b '<<，∴()()10h b h ≥=，∴()1ln 01h b b b ae e e b--≥≥≥=，故选：B.6.若存在实数,a b ，使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值是（ ） AB ．2eC．D ．2答案：C【解析】存在实数,a b ，使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立，要求a 的最大值，临界条件即为直线y ax b =+恰为函数21()=2ln ,()2f x e xg x x e =+的公切线. 设()=2ln f x e x 的切点为111(,)(0)x y x >，122()=,e e f x a x x '∴=. 设21()2g x x e =+的切点为222(,)(0)x y x >，2()g x x a x '=∴=，,所以21212=,2ea x x x e x =∴=. 由题得21221212112ln 22,2ln 30e x x ee a x x x x x --==∴+-=-.设111212()2ln 3(0)e h x x x x =+->， 所以211331112424()x ee h x x x x -'=-=，所以函数11212()2ln 3e h x x x =+-在(0,上单调递减，在)+∞单调递增.又23=1+23=0eh e=--， 当1x →+∞时，11212()2ln 30eh x x x =+->，所以方程另外一个零点一定大于max a ==.故选：C 7.若对函数()2sin f x x x =-的图象上任意一点处的切线1l ，函数()()2xg x me m x =+-的图象上总存在一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则m 的取值范围是（ ）A ．,02e ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．0,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,0-D ．()0,1 答案：D【解析】由()2sin f x x x =-，得()[]2cos 1,3f x x '=-∈，所以111,=2cos 3A x ⎡⎤-∈--⎢⎥-⎣⎦，由()()2xg x me m x =+-，得()2xg x me m '=+-.(1)当0m >时，导函数单调递增，()()2,g x m '∈-+∞，由题意得()()1212211,,()1()x x f x g x g x A B f x '''∀∃=-∴=-∴⊆'，故21m -<-，解得01m << (2)当0m <时，导函数单调递减，()(),2g x m '∈-∞-，同理可得123m ->-，与0m <矛盾，舍去；（3）当0m =时，不符合题意.综上所述：m 的取值范围为()0,1，故选：D .8.若过点()1,P m 可以作三条直线与曲线:xC y xe =相切，则m 的取值范围是（ ）A ．25,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．25,e e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 答案：A【解析】设切点为()00,M x y ，∵e xy x =，∴()1e xy x '=+，∴M 处的切线斜率()001e x k x =+，则过点P 的切线方程为()()000001e e x xy x x x x =+-+，代入点P 的坐标，化简得()02001e xm x x =-++，∵过点()1,P m 可以作三条直线与曲线:e xC y x =相切，∴方程()02001e xm x x =-++有三个不等实根.令()()21e xf x x x =-++，求导得到()()22e x f x x x '=--+，可知()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,1-上单调递增，在1,上单调递减，如图所示，故()20f m -<<，即250em -<<.故选：A.9.已知y kx b =+是函数()ln f x x x =+的切线，则2k b +的最小值为______． 答案：2ln2+【解析】根据题意，直线y ＝kx +b 与函数f （x ）＝lnx +x 相切，设切点为（m ，lnm +m ），函数f （x ）＝lnx +x ，其导数f ′（x ）1x =+1，则f ′（m ）1m=+1，则切线的方程为：y ﹣（lnm +m ）＝（1m +1）（x ﹣m ），变形可得y ＝（1m+1）x +lnm ﹣1，又由切线的方程为y＝kx +b ，则k 1m =+1，b ＝lnm ﹣1，则2k +b 2m =+2+lnm ﹣1＝lnm 2m++1， 设g （m ）＝lnm 2m++1，其导数g ′（m ）22122m m m m -=-=，在区间（0，2）上，g ′（m ）＜0，则g （m ）＝lnm 2m ++1为减函数，在（2，+∞）上，g ′（m ）＞0，则g （m ）＝lnm 2m++1为增函数，则g （m ）min ＝g （2）＝ln 2+2，即2k +b 的最小值为ln 2+2；故答案为ln 2+2． 10.存在0, 0k b >>使2ln kx k b x -+≥对任意的0x >恒成立，则bk的最小值为________. 答案：1【解析】存在0, 0k b >>使2ln kx k b x -+≥对任意的0x >恒成立，则等价于等价于存在0k >，0b >，()2y k x b =-+在ln y x =的上方.直线()2y k x b =-+过定点()2,b ，即定点在直线2x =上，设直线()2y k x b =-+与ln y x =相切于点()00,x y ，()''1ln y x x ==，所以01k x =，由0000ln 22y b x b k x x --==--得1ln12b k k k-=-， 化简得21ln b k k =--，故1ln 2b k k k k =--.构造函数()()1ln 20kg k k k k=-->，则()'22211ln ln k k g k k k k-=-=，所以当01k <<时，()'0g k <，函数()g k 递减， 当1k >时，()'0g k >，函数()g k 递增，所以()()min 1211g k g ==-=.所以b k的最小值为1.故答案为：111.若直线y kx b =+是曲线e x y =的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则k =_____． 答案：1或1e【解析】设y kx b =+与e x y =和()ln 2y x =+，分别切于点()11,xx e ，()()22,ln 2x x +， 由导数的几何意义可得：1212x k ex ==+，即1212x x e +=，① 则切线方程为111()x x y e e x x -=-，即1111x x xy e x e x e =-+，或2221ln(2)()2y x x x x -+=-+，即2221ln(2)()2y x x x x -+=-+，② 将①代入②得11121x xy e x e x =+--，又直线y kx b =+是曲线e x y =的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则111x x e x e -+=1121x e x --，即11(1)(1)0xe x -+=，则11x =-或10x =，即01k e ==或11k e e -==，故答案为：1或1e. 12.已知直线y kx b =+与函数xy e =的图像相切于点()11,P x y ，与函数ln y x =的图像相切于点()22,Q x y ，若21>x ，且()2,1x n n ∈+，n Z ∈，则n =__________． 答案：4【解析】依题意，可得112112221ln x xe k x y e kx b y x kx b⎧==⎪⎪⎪==+⎨⎪==+⎪⎪⎩，整理得2222ln ln 10x x x x ---=令()ln ln 1(1)f x x x x x x =--->，则1()ln f x x x'=-在()1,+∞单调递增且(1)(2)0f f ''⋅<，∴存在唯一实数()1,2m ∈，使()0f m '=min ()()(1)0f x f m f =<<，(2)ln 230f =-<，(3)2ln340f =-<，(4)3ln 450f =-<，(5)4ln560f =->，∴2(4,5)x ∈，故4n =.13.若直线y kx b =+既是曲线ln y x =的切线，又是曲线2x y e -=的切线，则b =______.答案：0或1-【解析】令()ln f x x =，()2x g x e-=，则()1'f x x=，()2'x g x e -=. 设切点分别()11,P x y ，()22,Q x y ，则切线方程为()1111ln y x x x x -=-，即111ln 1y x x x =⋅+-；()22222x x y e e x x ---=-，即()222221x x y e x x e --=⋅+-， ∴()22212121ln 11x x ex x x e --⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，即()212212ln 2ln 11x x x x x e -=-⎧⎨-=-⎩，∴()()222110x x e--⋅-=，∴21x=或22x =.当21x =时，切线方程为1y x e=，∴0b =；当22x =时，切线方程为1y x =-，∴1b =-.综上所述，0b =或1b =-. 故答案为: 0b =或1b =-14.已知实数 a b c d ,,,，满足ln 211a cb d ==- ，那么()()22a cb d -+-的最小值为_________．答案：2(2+ln 2)5【解析】由ln 1a b =可知，点(),A a b 在函数()ln f x x =上，由211cd =-知，点(),B c d 在直线21y x =+上，则()()222=||a c b d AB -+-，所以当点A 处的切线与直线21y x =+平行时，点A 到直线21y x =+的距离的平方就是()()22a cb d -+-的最小值. 由()f x '12x ==得，12x =，所以1,ln22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()()()22222+ln25a c b d -+-≥=，所以()22ln 2min 5+=， 故答案为()22ln 25+.15.若直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点P ，与曲线()ln 1y x =+相切于点Q ，则k =_________.答案：2【解析】设直线与ln 2y x =+相切与点(),ln 2m m +，此时斜率为1m，由点斜式得切线方程为()()1ln 2y m x m m -+=-，即1ln 1y x m m=++.对于曲线()ln 1y x =+，其导数'11y x =+，令111m x =+，得1x m =-，故切点坐标为()1,ln m m -，代入切线方程得1ln 1ln m m m m -++=，解得12m =，故12k m==.。
专题三 函数的切线高考数学主干知识整合
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【点评】 本题中方程 m＝－2x30＋6x20－6 的三个根判定的问 题，需要借助于图形来进行研究，先求导研究函数 g(x)＝－2x3 ＋6x2－6 的性质，再求出极值，即可求出 m 的范围．
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► 探究点三 与切线有关的多边形问题 函数的切线与其他线，如坐标轴所围成图形的面积或者线
(1)求 f(x)的解析式； (2)若过点 A(2，m)可作曲线 y＝f(x)的三条切线，求实数 m 的取 值范围．
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【解答】 (1)由 f(x)＝ax3＋bx2＋cx，得 f′(x)＝3ax2＋2bx ＋c.
依题意ff′′1－＝1＝3a＋3a－2b＋2b＋c＝c＝0，0
b＝0， ⇒3a＋c＝0.
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► 探究点一 公切线问题
公切线问题是函数切线求解一个更深层次的问题，主要是 求解两个函数图象与一条直线相切于同一个点的问题．
例 1 [2011·湖北卷] 设函数 f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2 －3x＋2，其中 x∈R，a、b 为常数，已知曲线 y＝f(x)与 y＝g(x) 在点(2,0)处有相同的切线 l.
(1)求 a、b 的值，并写出切线 l 的方程； (2)若方程 f(x)＋g(x)＝mx 有三个互不相同的实根 0、x1、x2， 其中 x1<x2，且对任意的 x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立， 求实数 m 的取值范围．
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【解答】 (1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3. 由于曲线 y＝f(x)与 y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线， 故有 f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1. 由此得81＋2＋8a8＋a＋2bb＋＝a1＝，0， 解得ab＝＝－5. 2， 所以 a＝－2，b＝5，切线 l 的方程为 x－y－2＝0. (2)由(1)得 f(x)＝x3－4x2＋5x－2， 所以 f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x. 依题意，方程 x(x2－3x＋2－m)＝0 有三个互不相同的实根 0、 x1、x2， 故 x1、x2 是方程 x2－3x＋2－m＝0 的两相异的实根． 所以 Δ＝9－4(2－m)>0，即 m>－14.
【高考数学】《函数切线问题》微专题
【高中数学】《函数的切线问题》微专题第一讲 函数切线及其应用1．导数的几何意义:函数)(x f 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率．注：（()tan k f x α'==）2．在点00(,)A x y 处的切线方程：()000()()y f x f x x x '-=-抓住关键：000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩；3．过点11(,)A x y 的切线方程：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：∵过点11(,)A x y ，∴10010()()y y f x x x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）考点1 切线及斜率问题【例1.1】已知函数()f x 是偶函数，定义域为()()00-∞⋃+∞，，，且0x >时， ()1x x f x e-=，则曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为 ． 析】()()()21','1,10,xx f x f f e e-=∴==∴曲线y ， 是偶函数， ∴曲线()y f x =在点((1,f --相切，则切点的横坐标为( )A ．1B ．－1C ．2D ．e －1[解析] 设切点为(x 0，e 2x 0－1)，∵f ′(x )＝2e 2x －1，∴2e 2x 0－1＝e 2x 0－1＋ex 0，化简得2x 0－1＝e2－2x 0.令y ＝2x －1－e 2－2x ，则y ′＝2＋2e 2－2x >0.∵x ＝1时，y ＝0，∴x 0＝1.故选A.[答案] A【例1.3】设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是（ ）A ．203π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， C ．223ππ⎛⎤⎥⎝⎦，D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，233x -，为第一象限角）．设函数f ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：选D 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .法二：易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.【练习2】若P 是函数()()()1ln 1f x x x =++图象上的动点，点()1,1A --，则直线AP 斜率的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[]0,1C ．(1,e e -⎤⎦D ．(1,e -⎤-∞⎦【解析】由题意可得： ()()'ln 11f x x =++ ，结合函数的定义域可知，函数在区间11,1e ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,e⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且1111f e e⎛⎫-+=->- ⎪⎝⎭，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为()()()000,1ln 1x x x ++ ，该点的斜率为()0ln 11k x =++ ，切线方程为： ()()()()00001ln 1ln 11y x x x x x ⎡⎤-++=++-⎣⎦，切线过点()1,1-- ，则： ()()()()000011ln 1ln 111x x x x ⎡⎤--++=++--⎣⎦ ，解得:00x = ，切线的斜率()0ln 111k x =++= ，综上可得：则直线AP 斜率的取值范围为[)1,+∞．00点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0) 【练习4】设P 是函数()1y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ．【解析】由题意知313131tan 23222222y x x x xx x θ=+∴=+≥⋅=' [)30,,2ππθπθ⎡⎫∈∴∈⎪⎢⎣⎭． 考点2 切线条数问题【例2】过点(),A m m 与曲线()ln f x x x =相切的直线有且只有两条，则m 的取值范围是（ ）A ．()e -∞，B ．()+e ∞，C ．10e ⎛⎫⎪⎝⎭，D ．()1+∞，【练习】设函数233)(x x x f -=，若过点),2(n 可作三条直线与曲线)(x f y =相切，则实数n 的取值范围是（ ）A ．)4,5(--B ．)0,5(-C ．)0,4(-D ．]3,5(--【解析】法一：()323f x x x =-,则()236f x x x '=-，设切点为()32000,3x x x -,则()200036f x x x '=-．∴过切点处的切线方程为()()32200000336y x x x x x x -+=--，把点()2n ，代入得： ()()322000003362n x x x x x -+=--．整理得：3200029120x x x n -++=．若过点()2n ，可作三条直线与曲线()y f x =相切,则方程3200029120x x x n -++=有三个不同根（左图）令()322912g x x x x =-+，则()()()261812612g x x x x x '=-+=--，∴当()()12+x ∈-∞⋃∞，，时,()0g x '>；当()12x ∈，时,()0g x '<， ∴()g x 的单调增区间为()1-∞，和()2+∞，；单调减区间为()12，． ∴当1x =时,()g x 有极大值为()15g =；当2x =时,()g x 有极小值为()24g =．由45n <-<，得54n -<<-． ∴实数n 的取值范围是()54--，．故选A ．法二：()323f x x x =-关于点()1,2-中心对称，()()23613f x x x f ''=-⇒=-，在对称中心的切线方程为31,25y x x y =-+==-时，，()24f =-，故当点()2,n 位于区域Ⅰ，有三条切线时，54n -<<-．（如右图）考点3 零点、交点、极值点问题【例3.1】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0∞－，B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．(0,)+∞【解析】函数()()ln f x x x ax =-，则()1'ln ln 21f x x ax x a x ax x⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令()'ln 210f x x ax =-+=得ln 21x ax =-，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，等价于()'ln 21f x x ax =-+有两个零点，等价于函数ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当12a =时，直线21y ax =-与ln y x = 的图象相切，由图可知，当102a <<时， ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选B ．例3.1图 例3.2图【例3.2】设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围（ ）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =．在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图1所示）．当1x >时， ()ln f x x =．由ln y x =得1y x'=．设过原点的直线y ax =与函数y xln =的图象切于点()00,ln A x x ，则有0001lnx ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得0 1x ea e =⎧⎪⎨⎪⎩=．所以当直线y ax =与函数ln y x =的图象切时1a e =．又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e =．结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ． 0x >()lg 0f x a x x=--≤a A ．()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦， B ．(]1-∞，C ．()1lg lg lg e e ⎡⎤-⎣⎦，D ．()lg lg lg e e ⎡⎤-+∞⎣⎦，【解析】原问题即lg x x a ≥-+在区间()0,+∞上恒成立，考查临界情况， 即函数()lg g x x =与()h x x a =-+相切时的情形，如图， 很明显切点横坐标位于区间()0,1内，此时，()()1lg ,'ln10g x x g x x =-=，由()'1g x =-可得：1lg ln10x e =-=-，则切点坐标为：()()lg ,lg lg e e --，切线方程为： ()lg lg lg y e x e +=+，令0x =可得纵截距为： ()lg lg lg e e -， 结合如图所示的函数图象可得则a 的取值范围是()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦，．故选A ．考点4 参数范围问题【例4】已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()()2k x f x -<对任意的2x >恒成立，则k 的最大值为（ ）(参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986==) A ．3B ．4C ．5D ．6【练习】已知,a b 为正实数，直线yx a =-与曲线()ln y x b =+相切，则2a b+的取值范围为 ．考点5 距离问题和平行切线问题【例5.1】设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线()ln 2y x =上，则PQ 最小值为（ ）A ．1ln2- B)1ln 2- C ．1ln2+D )1ln 2+【例5.2】直线y m =分别与曲线()21y x =+，与ln y x x =+交于点,A B ，则AB的最小值为（ ） A B ．2 C ．3D ．32【练习1】已知函数()()02x f x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x y e =上，则PQ 的最小值为 ．【解析】由()()02x f x f e ''=-+，令0x =可得()01f '=，所以()2x f x e x =-+，所以切线的斜率()01k f '==，又()01f =-，故切线方程为10x y --=．由题意可知与直线10x y --=平行【练习2】函数()21x f x e x x =+++与()g x 的图象关于直线230x y --=对称，P Q 、分别是函数()()f x g x 、图象上的动点，则PQ 的最小值为（ ）ABC D ．【解析】由题意得当P 点处切线平行直线230x y --=，Q 为P 关于直线230x y --=对称取最小值．()f x e '=12+=⇒考点6 两点间距离平方问题【例6】已知实数a b 、满足225ln 0a a b c R --=∈，，则()()22a c b c -++的最小值为（ ）A ．12BC ．2D ．92225ln 0x x y --=，即()225ln 0y x x x =->，以x 代换c，可得点()x x -，，满足0y x +=．因此【练习】已知()()()22ln S x a x a a R =-+-∈，则S 的最小值为（ ） AB ．12C D ．2【解析】设()()ln A x x B a a ，，，，则问题化为求平面上两动点()()ln A x x B a a ，，，之间距离的第二讲函数公切线问题与是否有公切线，决定它们公切线条数的是由函数凹凸性和共单调区间交点。
【导数专题（二）】利用导数的几何意义研究函数的切线问题（有答案）
【导数专题（二）】利用导数的几何意义研究函数的切线问题（有答案）利用导数的几何意义研究函数的切线问题一、亮点1.导数的几何意义作为高中数学的重点章节，经常出现的高考中，在考试中占据重要地位；2.函数切线以及与函数切线相关的问题，往往是考察的重点，也是学生的易错点；3.本篇导数几何意义问题涉及面广，知识点多，会覆盖到极值点、最值等知识点，故本篇适合章节复习、综合复习.二、教学目标1.掌握导数的几何意义这类问题的基本列式方法及其解题对应思路；2.熟练掌握已知切点P(x0,y0)时，切线的求法；3.熟练掌握未知切点时，先设切点P(x0,y0)，再通过题目条件列方程组，解决问题的方法.三、考情总结导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0)的几何意义为函数y=f(x)图像在点(x0,f(x0))处的切线斜率.用导数的几何意义研究曲线y=f(x)的切线方程的两种类型及方法：类型1：已知切点P(x0,y0)问题已知切点P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程，解题过程为：先求出切线的斜率k切，即=f′(x0) ,再通过题目已知条件（可用点斜式），写出方程.k切类型2：未知切点P(x0,y0)问题若未知切点P，解题过程为：先设切出点P(x0,y0)，利用导数写出切线斜率k切=f′(x0)一个等量关系，再利用条件列出x0的另一个等量关系，求解方程(组)解得x0，求出斜率，再求出直线方程.1四、精品题单考点一：已知切点P(x0,y0)问题.学情分析：由于已知切点坐标，此类题目比较简单，直接求在切点处的导数，即为切线的斜率，带入点斜式就能解题.注意切点务必明确位置.这类题型的易错点有以下几个：（1）复杂函数求导易错，要注意方法和技巧，仔细求导；（2）明确切点位置易错，特别是一些相交问题中，必须要明确具体切点位置；（3）导数问题与其他问题结合易错，注意要用到数列、函数等其他知识综合解决.练1.（2019·南通模拟）已知x=1是函数f(x)=(x2+ax)e x的一个极值点，则曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线斜率为__________．【推荐理由】易错题，经典题【思路点拨】注意求导方法，求导要仔细【答案】?32【解析】解：由题意，函数f(x)=(x2+ax)e x，则f′(x0)=(x2+ax+2x+a)e x又由x=1是函数f(x)=(x2+ax)e x的一个极值点，所以f′(1)=(3+2a)e=0，解得a=?32，即f′(x)=(x2+12x?32)e x所以f′(0)=?32所以函数f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为?32．故答案为?32．2练2：（2019·无锡校级月考）已知f(x)=lnx，g(x)=12x2+mx+72(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m 的值为__________【推荐理由】易错题，考察思路【思路点拨】同时相切，导数相同，列方程组【答案】?2【解析】解：由题意得，f(x)=ln x的导数为f′(x)=1x ，g(x)=12x2+mx+72(m<0)的导数为g′(x)=x+m，∴与f(x)图象的切点为(1，f(1))的切线l的斜率k=f′(1)=1，且f(1)=ln1=0，所以切点为(1，0)，∴直线l的方程为：y=x?1，∵直线l与g(x)的图象也相切，∴{y=x?1y=12x2+mx+72此方程组只有一解，即12x2+(m?1)x+92=0只有一解，∴Δ=(m?1)2?4×12×92=0，解得m=?2或m=4(舍去)．故答案为?2．练3：（2019·南通模拟）设曲线y=x n+1(n∈N?)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，令a n=lgx n，则a1+a2+?+a99的值为______．【推荐理由】综合题，导数与数列结合3【思路点拨】注意求导后，形成的数列表达式的推导【答案】?2【解析】解：∵曲线y=x n+1(n∈N?)，∴y′=(n+1)x n，∴f′(1)=n+1，∴曲线y=x n+1(n∈N?)在(1，1)处的切线方程为y?1=(n+1)(x?1)，该切线与x轴的交点的横坐标为x n=nn+1，∵a n=lgx n，∴a n=lgn?lg(n+1)，∴a1+a2+?+a99=(lg1?lg2)+(lg2?lg3)+(lg3?lg4)+(lg4?lg5)+(lg5?lg6)+?+(lg9 9?lg100)=lg1?lg100=?2故答案为?2．练4:（2019·泰州调研）己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=1?2ln(?x)x则曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为__________．【推荐理由】导数与函数奇偶性结合问题，综合性问题【思路点拨】注意奇函数求另一半的基本技巧．【答案】3x+y?4=0【解析】解：设x>0，则?x<0，所以f(?x)=1?2lnxx因为f(x)为奇函数，则f(?x)=?f(x)，所以f(x)=1?2lnxx (x>0)，则f′(x)=2lnx?3x2，所以切线的斜率为k=f′(1)=?3又f(1)=1，即切点坐标为(1，1)，所以切线的方程为y?1=?3(x?1)，即3x+y?4= 0．故答案为3x+y?4=0．45练5.（2019·苏州模拟）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y =ax 2+b x (a ，b 为常数)过点P(2，-5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x +2y +3=0平行，则a +b 的值是______．【推荐理由】已知切线斜率，求参数问题【思路点拨】已知斜率，求导解方程【答案】?3 【解析】解：∵直线7x +2y +3=0的斜率k =?72，曲线y =ax 2+bx (a ，b 为常数)过点P(2，?5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x +2y +3=0平行，∴y ′=2ax ?b x 2，∴{4a +b 2=?54a ?b4=?72，解得：{a =?1b =?2，故a +b =?3．故答案为?3．练6：（2019·南京模拟）设函数f(x)=x 2+c 与函数g(x)=ae x 的图象的一个公共点为P(2，t)，且曲线y =f(x)，y =g(x)在点P 处有相同的切线，若函数f(x)?g(x)的唯一零点在区间(k ，k +1)(k ∈Z)内，则k = 【推荐理由】易错题【思路点拨】相同切线问题，找方程组【答案】?1【解析】解：f′(x)=2x，g′(x)=ae x，∵曲线y=f(x)，y=g(x)在P(2，t)点处有相同的切线，∴f′(2)=g′(2)，即4=ae2，①又P为两曲线的公共点，∴f(2)=g(2)，即4+c=ae2，②，由①②解得c=0，a=4e x=x2?4e x?2，令?(x)=f(x)?g(x)=x2?4e2则?′(x)=2x?4e x?2，当x?0时，?′(x)<0，∴?(x)在(?∞，0)上递减，又?(?1)=1?4e?3>0，?(0)=?4e?2<0，∴?(x)在(?1，0)内有唯一零点，由题意知(k，k+1)=(?1，0)，∴k=?1．故答案为?1．考点二：未知切点P(x0,y0)问题学情分析：此类题型是切线问题中的难题，关键在于要主动设切点坐标，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解.这类题型的易错点有以下几个：（1）设切点后找方程组过程易错，需仔细审题后找到对应的方程组；（2）方程组解题易错，要注意解方程组技巧；（3）审题不仔细易错，此类题目条件比较复杂，必须仔细审题，找到切入点解题.练1：（2019·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx 上，且该曲线在点A处的切线经过点(?e，?1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是______．6【推荐理由】高考题，典型题【思路点拨】设切点坐标【答案】(e，1)【解析】解：设A(x0，lnx0)，由y=lnx，得y′=1x，∴y′|x=xx 0，则该曲线在点A处的切线方程为y?lnx0=1x(x?x0)，∵切线经过点(?e，?1)，∴?1?lnx0=?ex01，即lnx0=e x，则x0=e．由右图可知e是唯一解∴A点坐标为(e，1)．故答案为：(e，1)．练2：（2019·苏北四市二模改编）过曲线y=x?1x(x>0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴，y轴交于点A、B，O是坐标原点，若ΔOAB的面积为1 3，则x0=_________【推荐理由】综合性强，易错题【思路点拨】注意方程组和面积的表达【答案】√5【解析】解：由题意可得y0=x0??1x0，x0>0，，∴切线的斜率为1+1x02，则切线的方程为y?x0+1x0=(1+1x02)(x?x0)，令x=0可得y=?2x0，令y=0可得x=2x01+x02，7∴ΔOAB的面积S=12·2x0·2x01+x02=13，解得x0=√5负的舍去)．故答案为√5．练3：（2019·江苏卷改编）若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x?y+1=0，则点P的坐标是______．【推荐理由】高考题改编【思路点拨】已知斜率，求导解方程【答案】(e，e)【解析】解：函数的定义域为(0，+∞)，函数的导数为f′(x)=lnx+x?1x=1+lnx，直线2x?y+1=0的斜率k=2，∵曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x?y+1=0，∴f′(x)=1+lnx=2，即lnx=1，解得x=e，此时y=elne=e，故点P的坐标是(e，e)，故答案为：(e，e)．练4：（2019·连云港校级模拟）若曲线f(x)=ln x+12ax2?(a+2)x+1上存在某点处的切线斜率不大于?5，则正实数a的最小值为________．8【推荐理由】易错题【思路点拨】设点坐标求导，解不等式【答案】9【解析】解：因为f(x)=ln x+12ax2?(a+2)x+1，所以f′(x)=1x+ax?(a+2)．因为f(x)上存在某点处的切线斜率不大于?5，设切点为(x,y) 所以存在x∈(0，+∞)，1x+ ax?(a+2)≤?5，得到2√(1x )·ax?(a+2)≤?5，当且仅当1x=ax时取“=”，化简得a?2√a?3≥0，解得a≥9．则正实数a的最小值为9．故答案为9．练5：（2019·宿迁模拟）点P在曲线y=x3?x+23上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是_____________【推荐理由】切线斜率是导数【思路点拨】求的是切线斜率范围，就是求所有导函数的值域【答案】[0，π2)∪[3π4，π)【解析】解：∵tanα=3x2?1，∴tanα∈[?1，+∞)．当tanα∈[0，+∞)时，α∈[0，π2)；当tanα∈[?1，0)时，α∈[3π4，π)．∴α∈[0，π2)∪[3π4，π)故答案为[0，π2)∪[3π4，π)．9练6:（2019·淮安模拟）若曲线y=x?lnx与曲线y=ax2+x在公共点处有相同的切线，则实数a=_________．【推荐理由】易错题【思路点拨】注意相同切线问题，斜率相同，列方程组【答案】?12e【解析】解：设曲线y=x?lnx与曲线y=ax2+x在它们的公共点P(s，t)，，{1?1s=2as+1 (1)s?lns=as2+s (2)由(1)得a=12s2，代入(2)式，解得a=?12e，故答案为a=?12e．练7：（2019·盐城模拟）已知函数f(x)=x3.设曲线y=f(x)在点P(x1，f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2，f(x2))，记f′(x)为函数f(x)的导数，则f′(x1)f′(x2)的值为_______．【推荐理由】综合性强，易错题【思路点拨】利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．【答案】14【解析】解：∵函数f(x)=x3，∴f′(x)=3x2，则曲线y=f(x)在点P(x1，f(x1))处的切线斜率为f′(x1)=3x12则曲线y=f(x)在点P(x1，f(x1))处的切线方程为y?x13=3x12(x?1011x 1)，与y =x 3联立，得x 3?3xx 12+2x 13=(x ?x 1)2(x +2x 1)=0，即x 2=?2x 1，，∴f ′(x 2)=3x 22=12x 12 , f ′(x 1)f ′(x 2)=14练8：（2019·徐州二模改编）已知点P 在曲线C ：y =12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为________．【推荐理由】易错题，关键题【思路点拨】利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．【答案】1【解析】解：设P (t ，12t 2)，因为y′=x ，所以切线l 的斜率k =t ，且t ≠0，则直线PQ ：y ?12t 2=?1t (x ?t)，即y =?1t x +12t 2+1，由{y =?1t x +12t 2+1，y =12x 2，消y 得：tx 2+2x ?t 3?2t =0，设Q(x 1，y 1)，则x 1+t =?2t ，即x 1=?t ?2t ，又因为点Q 在曲线C 上，所以y 1=12x 12=12(?t ?2t )2=12t 2+2+2t 2，故Q (?t ?2t ，12t 2+2+2t 2)．因为OP ⊥OQ ，所以OP ?OQ =0，即t ?(?t ?2t )+12t 2?(12t 2+2+2t2)=0，化简得t 4=4，则t 2=2，所以点P 的纵坐标为1．12练9：（2019·苏州校级模拟）设曲线y =(ax ?1)e x 在点A(x 0，y 1)处的切线为l 1，曲线y =1?x e x在点B(x 0，y 2)处的切线为l 2.若存在x 0∈[0，32]，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是________．【推荐理由】综合性强【思路点拨】利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．【答案】1≤a ≤32【解析】解：函数y =(ax ?1)e x 的导数为y′=(ax +a ?1)e x ，∴l 1的斜率为k 1=(ax 0+a ?1)e x 0，函数y =(1?x)e ?x 的导数为y′=(x ?2)e ?x ∴l 2的斜率为k 2=(x 0?2)e ?x 0，由题设有k 1?k 2=?1从而有(ax 0+a ?1)e x 0(x 0?2)e ?x 0=?1 ∴a(x 02?x 0?2)=x 0?3，∵x 0∈[0，32]得到x 02?x 0?2≠0，所以a =x 0?3x 02?x 0?2，又a′=(x 0?1)(x 0?5)(x 02?x 02)2，令导数大于0，解得1<="">x 0?3x 02?x 0?2在(0，1)是减函数，在(1，32)上是增函数，x 0=0时取得最大值为32； x 0=1时取得最小值为1．∴1≤a ≤32故答案为1≤a ≤32．13练10：（2019·常州模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数y =2lnx 的图像与圆M ：(x ?3)2+y 2=r 2的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数y =f(x)的图像经过点O ，P ，M ，则y =f(x)的最大值为________．【推荐理由】综合性强【思路点拨】利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．【答案】98【解析】解：设点P(x 0，2lnx 0)，则因为y =2lnx ，所以，故函数y =2lnx ．在点P 处的切线的斜率为k 1=2x 0，又k PM =2ln x 0x 0?3，从而圆在点P 处的切线的斜率为k 2=?x 0?32ln x 0，从而k 1=k 2，即2x 0=?x 0?32ln x 0，故4ln x0x 02?3x=?1．因为函数f(x)过点O(0，0)，M(3，0)，所以设f(x)=ax(x ?3)，又过点P ，所以2lnx 0=ax 0(x 0?3)，解得a =2ln x 0x0(x 03)=?12，从而得f(x)=?12x(x ?3)=?12(x ?32)2+98≤98，当x =32时，f(x)max =98练11：（2019·镇江模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线y =?x 3+1上的一14个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值为．【推荐理由】综合性强，计算要求高【思路点拨】利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系来构造方程组求解．【答案】3√234【解析】解：根据题意设P 的坐标为(t ，?t 3+1)，且0<="" 2，="" 2，故切线的斜率k="y′|x=t" 3+1)="?3t" 3+13t="" 3+1；令y="0，解得：x"，所以△AOB 的面积S =12(2t 3+1)·2t 3+13t 2=16(2t 2+1t )2，设f(t)=2t 2+1t ，则f ′(t )=4t ?1t 2=4t 3?1t 2令f ′(t )=0则t =√143，当0<√1<="" p="">4时，f ′(t )<0,f(t)单调递减，当t >√143时，f ′(t )>0,f(t)单调递增，所以当t =√143时，f(t)取得最小值，此时S 也取最小值为3√23 4．故答案为3√234．。
高中数学专题 微重点2 函数的公切线问题
在一条直线l与f(x)的图象和g(x)的图象都相切，则a等于
A.0
B.－1
C.3
√D.－1或3
设直线l与f(x)＝xln x相切的切点为(m，mln m)， 由f(x)＝xln x得f′(x)＝1＋ln x， 可得切线的斜率为1＋ln m， 则切线方程为y－mln m＝(1＋ln m)(x－m)， 将A(0，－1)代入切线方程可得 －1－mln m＝(1＋ln m)(0－m)， 解得m＝1，则切线l的方程为y＝x－1， 联立yy＝＝xx－2＋1a，x，
可得x2＋(a－1)x＋1＝0， 由Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3.
考点三 判断公切线条数
例3 (2023·广州模拟)曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝ln x公切线的条数是
A.0
B.1
√C.2
D.3
设公切线与 y＝x2 的切点为(x1，x21)，
与y＝ln x的切点为(x2，ln x2)， y＝x2 的导数为 y′＝2x，y＝ln x 的导数为 y′＝1x， 则在切点(x1，x21)处的切线方程为 y－x21＝2x1(x－x1)，即 y＝2x1x－x21，
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
设曲线C1：y＝x3在点A(x0，y0)处的切线的斜率为0， 则 3x20＝0，y0＝x30， 所以x0＝0，y0＝0，切线方程为y＝0， 设曲线C2：y＝cos x－1在点B(x1，y1)处的切线的斜率为0， 则－sin x1＝0，y1＝cos x1－1， 所以x1＝2kπ，y1＝0或x1＝2kπ＋π，y1＝－2， 取x1＝0，y1＝0可得切线方程为y＝0， 所以l与C1，C2均相切.
规 律Leabharlann 利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k的函数，
第17讲 函数的切线问题,导函数的几何意义(原卷版)-高考数学二轮复习
第17讲 函数的切线问题，导函数的几何意义一、知识与方法设函数()y f x =的图像如图2-1所示．AB 是过点()00,A x y 与点()()00,B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆． 可知曲线割线的斜率就是曲线的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线叫作此曲线在点A 的切线．于是，当0x ∆→时，割线AB 的斜率趋近于在点A 的切线AD 的斜率．即()()000lim x f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线()y f x =在点()()00,x f x 的切线的斜率等于()0f x '．即导数的几何意义是曲线的切线的斜率．若α表示这条切线与x 轴正向的夹角，则()0tan f x α'=．二、典型例题【例1】已知抛物线21:2C y x x =+和221:2C y x =--，如果直线l 同时是1C 和2C 的切线，称l 是1C 和2C 的公切线，求公切线l 的方程．【例2】（1）已知曲线3232y x x x =-+，直线:l y kx =，且l 与曲线相切于点()()000,0x y x ≠．求直线l 的方程和切点坐标；（2）已知曲线31433y x =+．①求曲线在点(2,4)P 处的切线方程； ②求曲线过点(2,4)P 的切线方程．【例3】已知()f x 是二次函数，()f x '是它的导函数．且对任意的x ∈R ，2()(1)f x f x x '=++恒成立．（1）求()f x 的解析式；（2）设0t >，曲线:()C y f x =在点(,())P t f t 处的切线为l ，l 与坐标轴围成的三角形面积为()S t ，求()S t 的最小值．三、易错警示【例】求曲线3:3C y x x =-过点(2,2)A -的切线方程．四、难题攻略【例】已知函数32()31()f x x x x =+-∈R ，记()y f x =的图像为曲线C ．（1）求证：若以曲线C 上的任意一点()00,P x y 为切点作C 的切线，则切线的斜率存在最小值3-；（2）求证：以曲线C 上的两个动点A B 、为切点分别作C 的切线12l l 、，若12l l ∥恒成立，则动直线AB 恒过某定点M ；（3）在（2）条件下，当直线AB 的斜率2AB k =时，求OAB △的面积（其中O 是坐标原点）．五、强化训练1．已知函数32()12f x ax bx x =+-在2x =±处取得极值．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求证：对于区间[2,2]-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()122||3f x f x -； （3）若过点(1,)A m 可作曲线()y f x =的3条切线，求实数m 的取值范围．2．已知函数321()23()3f x x x x x =-+∈R 的图像为曲线C ．（1）求曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；（2）若曲线C 上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围；（3）试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，请说明理由．。
高考数学讲义微专题14函数的切线问题(含详细解析)
()()(x + ∆x ) - x微专题 14 函数的切线问题一、基础知识：（一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点 A 附近取点 B ，并使 B 沿曲线不断接近 A 。
这样直线 AB 的极限位置就是曲线在点 A 的切线。
（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点 A 附近的点向 A 不断接近，当与 A 距离非常小时，观察直线 AB 是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。
例如函数 y = x 3在(-1,-1) 处的切线，与曲线有两个公共点。
（3）在定义中，点 B 不断接近 A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线 AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点 A 处的切线。
对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。
例如y = x 在 (0,0) 处，通过观察图像可知，当 x = 0 左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为 y = - x ，而当 x = 0 右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为 y = x ，两个不同的方向极限位置不相同，故 y = x在 (0,0) 处不含切线（4）由于点 B 沿函数曲线不断向 A 接近，所以若 f (x )在 A 处有切线，那么必须在 A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数 y = f (x ) 上点 A (x , f (x 0 0B (x + ∆x, f (x + ∆x ))，则割线 AB 斜率为：)), f (x )在 A 附近有定义且附近的点k0 00 0=f (x + ∆x ) - f (x )0 0∆x当 B 无限接近 A 时，即 ∆x 接近于零，∴ 直线 AB 到达极限位置时的斜率表示为：k = lim∆x →0f (x + ∆x ) - f (x )0 0∆x,即切线斜率，由导数定义可知：k=lim∆x→0f(x+∆x)-f(x)00∆x=f'(x)。
2022三轮复习微专题：7.2 函数切线与函数构造
7.2 函数切线与函数构造一、考情分析1．高考对函数切线的考察有两大分类，一种情况是以切线放缩、函数构造的形式考察，难度很大，多集中在压轴题的位置出现，如T11、T12；另一种情况是以切线几何意义的形式考察，难度中档偏下，多集中在主观题中出现，如T20(1)、T21(1)． 2．此部分内容以多与方程、不等式融合命题． 二、考点整合1．切线方程的三种类型、方法：（1）已知点00(,)P x y （在曲线上是切点），求()y f x =在点P 处的切线方程；（2）已知点00(,)P x y （在切线上不是切点），求()y f x =过点P 的切线方程，此时需要另外设出切点；（3）已知切线的斜率为k ，求()y f x =的切线方程，需要设出切点，并求出切点，在写出方程． 2．切线放缩：（1）一般是指由ln 1x x ≤−所引发的放缩，常见变形有：ln(1)x x +≤、ln x x e≤、1ln 1x x ≥−（ln 1x x x ≥−）、2ln x x x ≤−（ln 1x x x ≤−）、21ln (1)2x x ≤−、1xe x ≥+、24x e e x x ≥；（2）其中的切线方程注意其位置关系，弄清是哪个曲线的切线，y x =、1y x =−、1y x =+、xy e=、24e y x =．3．函数构造：（1）“加”、“减”关系式公式构造法；（2）作差构造法；（3）换元构造法；（4）分离（分参和函数重构）构造法；（5）朗博同构构造法；三、真题赏析例1 (2018·全国Ⅰ理5)设函数32()(1)f x x a x ax =+−+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( )DA ．2y x =−B ．y x =−C ．2y x =D ．y x = 例2 (2018·全国Ⅱ理13)曲线2ln(1)y x +在点(0,0)处的切线方程为__________．2y x = 例3 (2019·全国Ⅰ理13)曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．3y x =例4 (2020·全国新课标Ⅰ理6)函数43()2f xx x =−的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为( )BA. 21y x =−− B. 21y x =−+ C. 23y x =− D. 21y x =+ 例5 (2020·全国新课标Ⅰ理12)若242log 42log a b a b +=+，则( )BA. 2a b >B. 2a b <C. 2a b >D. 2a b <【提示】222242222log 42log 2log 2log 22log 1a b b b b a b b b b +=+=+<+=++，构造2()2log x f x x =+． 例6 (2020·全国新课标Ⅱ理11)若2233x y x y −−−<−，则( )A A ．(1)0ln y x −+> B ．(1)0ln y x −+< C ．||0ln x y −> D ．||0ln x y −<【提示】构造()23x x f x −=−．例7 (2020·全国新课标Ⅲ理12)已知5458<，45138<．设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则( )AA ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【提示】从比较大小的基本方法，作差法或作商法入手，结合均值不等式放缩，以及题干条件即可．例8 (2021·全国甲卷理13)曲线212x y x −=+在点(1,3)−−处的切线方程为__________．520x y −+=例9 (2021·全国乙卷理12)设2 1.01a ln =， 1.02b ln =，1c −，则( )BA ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b << 【提示】构造()2(1)1)f x ln x =+−，()(12)1)h x ln x =+−−，01x <<． 解法一：2 1.01 1.0201a ln ln == ， 1.02b ln =，a b ∴>，令()2(1)1)f x ln x =+−−，01x <<，t =，则1t <<214t x −∴=， 223()2()12(3)1244t g t ln t ln t t ln +∴=−+=+−+−， 2222443(1)(3)()10333t t t t t g t t t t −−−−∴′=−==−>+++，()g t ∴在上单调递增， ()g t g ∴>（1）241240ln ln =−+=，()0f x ∴>，a c ∴>， 同理令()(12)1)h x ln x =+−−，t =，则1t <214t x −∴=， 221()()1(1)122t t ln t ln t t ln ϕ+∴=−+=+−+−， 2222(1)()1011tt t t t ϕ−−∴′=−=<++，()t ϕ∴在上单调递减，()t ϕϕ∴<（1）21120ln ln =−+−=，()0h x ∴<，c b ∴>，a c b ∴>>．解法二：由2 1.01 1.0201a ln ln ==> 1.02b ln =，则排除AD,结合选项BC ，只需判断a,c 的大小，设()2ln(1)1f x x =++，∴()1)f x x ′<<，又22(1)2(2)0x x x x x −+=−=−>1x >+，∴()0f x ′>，∴()f x 在(0,1)上单增，∴(0.01)(0)0f f >=，∴2ln1.011>−，∴a c >，故选B ．例10 (2021·新高考Ⅰ卷理7)若过点(,)a b 可以作曲线x y e =的两条切线，则( )DA ．b e a <B ．a e b <C ．0b a e <<D ．0a b e <<【解析】：函数x y e =是增函数，0x y e ′=>恒成立，函数的图象如图，0y >，即取得坐标在x 轴上方， 如果(,)a b 在x 轴下方，连线的斜率小于0，不成立． 点(,)a b 在x 轴或下方时，只有一条切线． 如果(,)a b 在曲线上，只有一条切线； (,)a b 在曲线上侧，没有切线；由图象可知(,)a b 在图象的下方，并且在x 轴上方时， 有两条切线，可知0a b e <<．故选：D ．例11 (2021·新高考Ⅱ卷理16)已知12()|1|,0,0x f x e x x <=>−，函数()f x 的图象在点11(,())A x f x 和点22(,())B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．(0,1)【提示】由导数几何意义得120x x +=，结合直线得A M =解法一：由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <= −−−≥ =，则()0,,0x x x f x e e x − =<> ′ ，所以点()11,1x A x e −和点()22,1xB x e −，12,x x AM BN k e k e =−=, 所以12121,0x xe e x x −⋅=−+=，所以()()111111,0:,11xx x x e e x x e AM e y M x −+=−−−+， 所以AM = 同理B N =所以()10,1x e NAMB =∈=. 故答案为：0,1解法二：由题()e 1,0e 1,0x x xf x x −> = −+< ，得()e ,0e ,0x x x f x x > ′= −<，故1e xAM k =−，2e x AN k =，又121e x x AM AN AM AN k k +⊥⇒⋅==−−，得120x x +=， 如图易得AEM BFN △△ ，且有BF OE =， 所以tan AMAE AEAOE BNBFOE===∠， 而00tan =1e AOE <∠<，所以(0,1)AM BN∈．故填：(0,1)．例12 (2018·全国Ⅰ理21)已知函数1()ln f x x a x x=−+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：()()12122f x f x a x x −<−−．例12 (2018·全国Ⅰ理21)【提示】构造函数1()2ln g x x x x=−+. 【解析】：（2）由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.因为22211()1a x ax f x x x x −+′=−−+=−，由于()f x 的两个极值点12,x x 满足210x ax −+=，所以121x x =，不妨设12x x <，则21x >. 由于12121221212121222()()ln ln ln ln 2ln 11221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x −−−−=−−+=−+=−+−−−−，所以1212()()2f x f x a x x −<−−等价于22212ln 0x x x −+<.设1()2ln g x x x x=−+，由（1）知()g x 在(0,)+∞单调递减， 又(1)0g =，从而当(1,)x ∈+∞时，()0g x <. 所以22212ln 0x x x −+<，即1212()()2f x f x a x x −<−−.例13 (2019·全国Ⅱ理20)已知函数()11ln x f x x x −=−+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线. 例13 (2019·全国Ⅱ理20)【提示】考察导数几何意义，要会利用导数求曲线的切线.【解析】：（2）因为0ln 01e x x −=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上． 由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=−， 故直线AB 的斜率00000000000111ln 111ln 1x x x x x kx x x x x x +−−−==+−−−−−． 曲线y =e x 在点001(ln ,)B x x −处切线的斜率是01x ， 曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是1x ， 所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线．例14 (2020·全国新课标Ⅰ理21)已知函数2()x f x e ax x =+−． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，31()12f x x ≥+，求a 的取值范围．例14 (2020·全国新课标Ⅰ理21)【提示】本题分参构造函数和作差构造函数均可，但方便分离参数时，一般考虑“分参构造函数”.【解析】：（2）解法一：（分离参数法）当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立，①当0x =时，不等式恒成立，可得a R ∈；②当0x >时，可得32112xx x e a x++−≥恒成立， 设32112()xx x e h x x ++−=，则231(2)(1)2()x x e x x h x x −−−−′=， 可设21()12x m x e x x =−−−，可得()1x m x e x ′=−−，()1x m x e ′′=−，由0x ≥，可得''()0m x ≥恒成立，可得()m x ′在(0,)+∞递增， 所以()(0)0min m x m ′=′=，即'()0m x ≥恒成立，即()m x 在(0,)+∞递增，所以()(0)0min m x m ==， 再令()0h x ′=，可得2x =，当02x <<时，()0h x ′>，()h x 在(0,2)递增； 2x >时，()0h x ′<，()h x 在(2,)+∞递减，所以()maxh x h =（2）274e −=，所以274e a −≥，综上可得a 的取值范围是27[4e −，)+∞．解法二：（作差直接构造函数）2311,2x e ax x x +−≥+即231--102x e ax x x +−≥令()231--12x g x e ax x x =+−()()()2321-2-3-3=2x x x g x e ax x g x e a x g x e ′′′′′′=+−=+=，，0，=ln 3x ，()g x ′′在()-ln 3∞，单调递减，在()ln 3,+∞单调递增，()g x ′′在x ln 3=取得最小值 ()ln 33ln 32g a ′′=−+3故当3ln 3-32a ≥时，()0g x ′′≥恒成立，所以()()0=0g x g ′′≥， 于是()()g 00g x ≥=成立。
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【高中数学】《函数的切线问题》微专题第一讲 函数切线及其应用1．导数的几何意义:函数)(x f 在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率．注：（()tan k f x α'==）2．在点00(,)A x y 处的切线方程：()000()()y f x f x x x '-=-抓住关键：000()()y f x k f x =⎧⎨'=⎩；3．过点11(,)A x y 的切线方程：设切点为00(,)P x y ，则斜率0()k f x '=，过切点的切线方程为：∵过点11(,)A x y ，∴10010()()y y f x x x '-=-然后解出0x 的值．（0x 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）考点1 切线及斜率问题【例1.1】已知函数()f x 是偶函数，定义域为()()00-∞⋃+∞，，，且0x >时， ()1x x f x e-=，则曲线()y f x =在点()()11f --，处的切线方程为 ． 析】()()()21','1,10,xx f x f f e e-=∴==∴曲线y ， 是偶函数， ∴曲线()y f x =在点((1,f --相切，则切点的横坐标为( )A ．1B ．－1C ．2D ．e －1[解析] 设切点为(x 0，e 2x 0－1)，∵f ′(x )＝2e 2x －1，∴2e 2x 0－1＝e 2x 0－1＋ex 0，化简得2x 0－1＝e2－2x 0.令y ＝2x －1－e 2－2x ，则y ′＝2＋2e 2－2x >0.∵x ＝1时，y ＝0，∴x 0＝1.故选A.[答案] A【例1.3】设点P 是曲线335y x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的范围是（ ）A ．203π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， C ．223ππ⎛⎤⎥⎝⎦，D ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，233x -，为第一象限角）．设函数f ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：选D 法一：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立， 即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝3x 2＋1，∴f ′(0)＝1， ∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .法二：易知f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ＝x [x 2＋(a －1)x ＋a ]，因为f (x )为奇函数，所以函数g (x )＝x 2＋(a －1)x ＋a 为偶函数，所以a －1＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y ＝x .故选D.【练习2】若P 是函数()()()1ln 1f x x x =++图象上的动点，点()1,1A --，则直线AP 斜率的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．[]0,1C ．(1,e e -⎤⎦D ．(1,e -⎤-∞⎦【解析】由题意可得： ()()'ln 11f x x =++ ，结合函数的定义域可知，函数在区间11,1e ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间11,e⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且1111f e e⎛⎫-+=->- ⎪⎝⎭，绘制函数图象如图所示，当直线与函数图象相切时直线的斜率取得最小值，设切点坐标为()()()000,1ln 1x x x ++ ，该点的斜率为()0ln 11k x =++ ，切线方程为： ()()()()00001ln 1ln 11y x x x x x ⎡⎤-++=++-⎣⎦，切线过点()1,1-- ，则： ()()()()000011ln 1ln 111x x x x ⎡⎤--++=++--⎣⎦ ，解得:00x = ，切线的斜率()0ln 111k x =++= ，综上可得：则直线AP 斜率的取值范围为[)1,+∞．00点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．[解析] ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1，∴ln x 0＋1＝1，ln x 0＝0，∴x 0＝1，∴f (x 0)＝0，即P (1,0)．[答案] (1,0) 【练习4】设P 是函数()1y x x =+图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ．【解析】由题意知313131tan 23222222y x x x xx x θ=+∴=+≥⋅=' [)30,,2ππθπθ⎡⎫∈∴∈⎪⎢⎣⎭． 考点2 切线条数问题【例2】过点(),A m m 与曲线()ln f x x x =相切的直线有且只有两条，则m 的取值范围是（ ）A ．()e -∞，B ．()+e ∞，C ．10e ⎛⎫⎪⎝⎭，D ．()1+∞，【练习】设函数233)(x x x f -=，若过点),2(n 可作三条直线与曲线)(x f y =相切，则实数n 的取值范围是（ ）A ．)4,5(--B ．)0,5(-C ．)0,4(-D ．]3,5(--【解析】法一：()323f x x x =-,则()236f x x x '=-，设切点为()32000,3x x x -,则()200036f x x x '=-．∴过切点处的切线方程为()()32200000336y x x x x x x -+=--，把点()2n ，代入得： ()()322000003362n x x x x x -+=--．整理得：3200029120x x x n -++=．若过点()2n ，可作三条直线与曲线()y f x =相切,则方程3200029120x x x n -++=有三个不同根（左图）令()322912g x x x x =-+，则()()()261812612g x x x x x '=-+=--，∴当()()12+x ∈-∞⋃∞，，时,()0g x '>；当()12x ∈，时,()0g x '<， ∴()g x 的单调增区间为()1-∞，和()2+∞，；单调减区间为()12，． ∴当1x =时,()g x 有极大值为()15g =；当2x =时,()g x 有极小值为()24g =．由45n <-<，得54n -<<-． ∴实数n 的取值范围是()54--，．故选A ．法二：()323f x x x =-关于点()1,2-中心对称，()()23613f x x x f ''=-⇒=-，在对称中心的切线方程为31,25y x x y =-+==-时，，()24f =-，故当点()2,n 位于区域Ⅰ，有三条切线时，54n -<<-．（如右图）考点3 零点、交点、极值点问题【例3.1】已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0∞－，B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．(0,)+∞【解析】函数()()ln f x x x ax =-，则()1'ln ln 21f x x ax x a x ax x⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，令()'ln 210f x x ax =-+=得ln 21x ax =-，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，等价于()'ln 21f x x ax =-+有两个零点，等价于函数ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，在同一坐标系中作出它们的图象（如图），当12a =时，直线21y ax =-与ln y x = 的图象相切，由图可知，当102a <<时， ln y x =与21y ax =-的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是10,2⎛⎫⎪⎝⎭，故选B ．例3.1图 例3.2图【例3.2】设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围（ ）A ．10,e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【解析】令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =．在坐标系内画出函数()ln f x x =的图象（如图1所示）．当1x >时， ()ln f x x =．由ln y x =得1y x'=．设过原点的直线y ax =与函数y xln =的图象切于点()00,ln A x x ，则有0001lnx ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得0 1x ea e =⎧⎪⎨⎪⎩=．所以当直线y ax =与函数ln y x =的图象切时1a e =．又当直线y ax =经过点()2B ,2e 时，有22a e =⋅，解得22a e =．结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．即函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．故选D ． 0x >()lg 0f x a x x=--≤a A ．()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦， B ．(]1-∞，C ．()1lg lg lg e e ⎡⎤-⎣⎦，D ．()lg lg lg e e ⎡⎤-+∞⎣⎦，【解析】原问题即lg x x a ≥-+在区间()0,+∞上恒成立，考查临界情况， 即函数()lg g x x =与()h x x a =-+相切时的情形，如图， 很明显切点横坐标位于区间()0,1内，此时，()()1lg ,'ln10g x x g x x =-=，由()'1g x =-可得：1lg ln10x e =-=-，则切点坐标为：()()lg ,lg lg e e --，切线方程为： ()lg lg lg y e x e +=+，令0x =可得纵截距为： ()lg lg lg e e -， 结合如图所示的函数图象可得则a 的取值范围是()(lg lg lg e e ⎤-∞-⎦，．故选A ．考点4 参数范围问题【例4】已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且()()2k x f x -<对任意的2x >恒成立，则k 的最大值为（ ）(参考数据：ln20.6931,ln3 1.0986==) A ．3B ．4C ．5D ．6【练习】已知,a b 为正实数，直线yx a =-与曲线()ln y x b =+相切，则2a b+的取值范围为 ．考点5 距离问题和平行切线问题【例5.1】设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线()ln 2y x =上，则PQ 最小值为（ ）A ．1ln2- B)1ln 2- C ．1ln2+D )1ln 2+【例5.2】直线y m =分别与曲线()21y x =+，与ln y x x =+交于点,A B ，则AB的最小值为（ ） A B ．2 C ．3D ．32【练习1】已知函数()()02x f x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线l 上的一点，点Q 在曲线x y e =上，则PQ 的最小值为 ．【解析】由()()02x f x f e ''=-+，令0x =可得()01f '=，所以()2x f x e x =-+，所以切线的斜率()01k f '==，又()01f =-，故切线方程为10x y --=．由题意可知与直线10x y --=平行【练习2】函数()21x f x e x x =+++与()g x 的图象关于直线230x y --=对称，P Q 、分别是函数()()f x g x 、图象上的动点，则PQ 的最小值为（ ）ABC D ．【解析】由题意得当P 点处切线平行直线230x y --=，Q 为P 关于直线230x y --=对称取最小值．()f x e '=12+=⇒考点6 两点间距离平方问题【例6】已知实数a b 、满足225ln 0a a b c R --=∈，，则()()22a c b c -++的最小值为（ ）A ．12BC ．2D ．92225ln 0x x y --=，即()225ln 0y x x x =->，以x 代换c，可得点()x x -，，满足0y x +=．因此【练习】已知()()()22ln S x a x a a R =-+-∈，则S 的最小值为（ ） AB ．12C D ．2【解析】设()()ln A x x B a a ，，，，则问题化为求平面上两动点()()ln A x x B a a ，，，之间距离的第二讲函数公切线问题与是否有公切线，决定它们公切线条数的是由函数凹凸性和共单调区间交点。