随机误差的正态分布.

y f (x)
1
e( x )2 / 2 2
2
y：概率密度； x：测量值 μ：总体平均值，即无限次测定数据的平均值，无系 统误差时即为真值；反映测量值分布的集中趋势。
σ：总体标准偏差，反映测量值分布的分散程度； x-μ：随机误差
概率
正态分布曲线：以x-μ为横坐标建立的曲线。 曲线与横坐标-∞到+∞之间所夹的面积，代表 所有数据出现概率的总和，其值应为1，即概 率P为：
解：(1)
u x x 1.75% 0.15% 1.5

0.10% 0.10%
(2) 属于单边检验问题： u x 2.00% 1.75% 2.5

0.10%
阴影部分的概率为0.4938。正态分布曲线右侧的概率 为 0.5000 ， 故 阴 影 部 分 以 外 的 概 率 为 0.5000 － 0.4938=0.62% ， 即 分 析 结 果 大 于 2.00% 的 概 率 为 0.62%。
表3-1 频数分布表 图3-2 相对频数分布直方图
频数分布特点
1) 离散特性：全部数据是分散的、各异的， 具有波动性；但这种波动又是在平均值周围 波动，或比平均值稍大些、或稍小些。所以 用标准偏差来衡量。
总体标准偏差：测量次数为无限多次时
σ x 2 n
2. 正态分布
测量数据一般符合正态分布规律，即高斯分布，正态 分布曲线数学表达式为：
0.5
1.5
0.4332
2.5
0.4938
0.6
0.1915
1.6
0.4452
2.6
0.4953
0.7
0.2258
1.7
0.4554
2.7
0.4965
0.8
0.2580
1.8
0.4641
2.8
0.4974
0.9
0.2881
1.9
0.4713
2.9
0.4987
0.3519
随机误差出现的区间 (以σ为单位)
3.3.2 总体平均值的估计
1. 平均值的标准偏差：
1.0
S (单位为S)
sx
s n
x


n
0.8 0.6
X
表明：平均值的标准偏差 0.4
随着n的增大而减小；即平 0.2
均值的精密度会提高。当 n>5时变化很慢。
0.0
n源自文库
0 2 4 6 8 10
平均值的平均 偏差：
x

n
dx
d n
2. 少量实验数据的统计处理
3.3.1 随机误差的正态分布
1. 频数分布：测定某样品100次，因有偶然误 差存在，故分析结果有高有低，有两头小、 中间大的变化趋势，即在平均值附近的数据 出现机会最多。
表3-1 频数分布表 图3-2 相对频数分布直方图
3.3.1 随机误差的正态分布
1. 频数分布：测定某样品100次，因有偶然误 差存在，故分析结果有高有低，有两头小、 中间大的变化趋势，即在平均值附近的数据 出现机会最多。
概率P为： p

(u) du

1
eu2 / 2du

2
大多数测量值集中在算术平均值的附近； 小误差出现的几率大,大误差出现的几率小，
特大误差出现的几率极小； 绝对值相等的正、负误差出现的几率趋于相
等。
表3-2 正态分布概率积分表
图 7-5 正态分布概率积分图
根据t分布进行统计处理：
x ts x ts
x
n
含义：表示在一定置信度下，以平均值为中
心，包括总体平均值的范围。这就叫平均值
的置信区间。
例：测定未知试样中Cl-的质量分数，4次结果 为47.64%，47.69%，47.52%，47.55%。计算 置信度为90%，95%和99%时，总体平均值μ 的置信区间。 解：
(1) t分布曲线
正态分布是无限次测量 数据的分布规律。对于有 限次测量数据则用t 分布曲
线处理。用s代替σ，纵坐
标仍为概率密度，但横坐 标则为统计量t。
x
t s
x
图3-6 t分布曲线 f=1, 5, ∞
t分布曲线的意义：
t分布曲线下面一定区间内的积 分面积，就是该区间内随机误差出 现的概率。

1
p f (x) dx
ex 2 / 2 2 dx 1

2
设：
u x
y φ (u)
1
u2
e2

2
概率
正态分布曲线：以x-μ为横坐标建立的曲线。 曲线与横坐标-∞到+∞之间所夹的面积，代表 所有数据出现概率的总和，其值应为1，即概 率P为：
|μ |
面积
|μ |
面积
|μ |
面积
0.0
0.0000
1.0
0.3413
2.0
0.4773
0.1
0.0398
1.1
0.3643
2.1
0.4821
0.2
0.0793
1.2
0.3849
2.2
0.4861
0.3
0.1179
1.3
0.4032
2.3
0.4893
0.4
0.1554
1.4
0.4192
2.4
0.4918
置信度P：在某一t值时，测定值落在（μ±ts)范围内的 概率。落在此范围之外的概率为（1-P)，称为显著性水 准α。 ta, f ：t值与置信度P及自由度f关系。
例：t0·05, 10表示置信度为95%，自由度为10时的t值。
t0·01, 5表示置信度为99%，自由度为5时的t值。
→ 对于少量测量数据，即当 n有限时，必须
t分布曲线与标准正态分布曲线的区别
t值与u值的区别：用有限次测定的s代替了总体 σ。
前者随f的不同而不同。 前者比后者更“矮胖”，说明有限次测定值的
分布更分散。
t积分，是先设定P，已知f，查t值，此时P对应 了正负t曲线下的面积；u积分，是已知μ和σ
值，求 u ， 再查P值。
(2) 平均值的置信区间
u=±1 u=±1.96 u=±2 u=±2.58 u=±3
测量值出现的区间
x=μ±1σ x=μ±1.96σ x=μ±2σ x=μ±2.58σ x=μ±3σ
概率
68.3% 95.0% 95.5% 99.0% 99.7%
例：已知某试样质量分数的标准值为1.75%， σ=0.10%；无系统误差。求：(1)分析结果落在 (1.75±0.15)%范围内的概率；(2)分析结果大于 2.00%的概率。

1
p f (x) dx
ex 2 / 2 2 dx 1

2
设：
u x
y φ (u)
1
u2
e2

2
标准正态分布曲线
定义：横坐标改为u，纵坐标为概率密度得 到的曲线。曲线与横坐标所夹的面积，代表 所有数据出现的概率总和，其值应为1。