极值点偏移1-4-第2招--含参数的极值点偏移问题

极值点偏移1-4-第2招--含参数的极值点偏移问题

含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元12,x x 的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数.

★例1. 已知函数x ae x x f -=)(有两个不同的零点12,x x ，求证：221>+x x .

不妨设12x x >，记12t x x =-，则0,1t t e >>，

因此只要证明：1

21

t t

e t e +⋅>-01)1(2>+--⇔t t e e t ， 再次换元令x t x e t

ln ,

1=>=，即证),1(,01

)

1(2ln +∞∈>+--

x x x x 构造新函数2(1)

()ln 1

x F x x x -=-

+，0)1(=F 求导2

'

22

14(1)()0(1)(1)x F x x x x x -=-

=>++，得)(x F 在),1(+∞上递增， 所以0)(>x F ，因此原不等式122x x +>获证.

★例2. 已知函数()ln f x x ax =-，a 为常数，若函数()f x 有两个零点12,x x ，证明：2

12.

x x e ⋅>

法二：利用参数a 作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设12x x >，

∵1122ln 0,ln 0x ax x ax -=-=，∴12121212ln ln (),ln ln ()x x a x x x x a x x +=+-=-， ∴

12

12

ln ln x x a x x -=-，欲证明212x x e >，即证12ln ln 2x x +>.

∵1212ln ln ()x x a x x +=+，∴即证12

2

a x x >

+，

∴原命题等价于证明

121212ln ln 2

x x x x x x ->-+，即证：1122122()ln x x x x x x ->+，令12

,(1)x t t x =>，构造

2(1)

ln ,1

)1(t t g t t t -=-

>+，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数：

12221211ln ln ln ,ln x x x x a x x x x =

=⇔=设2121

,,(1)x

x x t t x <=>， 则11

2111

ln ln ln ,

ln ln tx t x x tx t t x x +==⇔=， 反解出：1211ln ln ln ln ,ln ln ln ln ln 111

t t t t

x x tx t x t t t t ===+=+=---， 故2

12121ln ln 2ln 21

t x x e x x t t +>⇔+>⇔>-，转化成法二，下同，略.

★例3.已知21,x x 是函数ax e x f x

-=)(的两个零点，且21x x <. （1）求证：221>+x x ； （2）求证：121<⋅x x .

(2)要证：121

2)(122

1x x e e e e x x x x --<⋅， 也即2122)(1)(12

21x x e e e e x x x x -<-⋅，等价于2122)

(1

)1(1212x x e e x x x x -<---，令012>-=x x t 等价于)0(1)1(22

><-t t e e t

t

，也等价于)0(112

><-t t

e e t t

，等价于即证：012

<+-⋅t t

e e t 令)0(1)(2>+-⋅=t e e t t h t

t

，则)2

1(21)(2222

t

t t

t t e t e e e t e t h -+=-⋅+='，

又令)0(21)(2

>-+=t e t t t ϕ，得02

21)(2

<⋅-='t

e t t ϕ，∴)(t ϕ在),0(+∞单调递减，

0)0()(=<ϕϕt ，从而0)(<'t h ，)(t h 在),0(+∞单调递减，∴0)0()(=

【点评】从消元的角度，消掉参数a ，得到一个关于21,x x 的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.

★例4.已知函数()(0)ax

f x x e a =->，若存在1212,()x x x x <，使12()()0f x f x ==

，求证：

1

2

x ae x <.

再证：

1

2

x ae x <. ∵

111222

ln x ax ax x ax x ==， 而120x e x <<<，2ln 1x > ∴

1122ln 1

x ax ae ae x x =<=.证毕. 【招式演练】

★设函数()()x

f x e ax a a R =-+∈的图像与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点，

（1）证明：0)('21