集合的交并补运算资料讲解
集合与运算中的并交差与补
集合与运算中的并交差与补集合是数学中的一个重要概念，它由一组不同元素组成。
而集合运算是对集合进行操作和组合的过程，其中最常见的运算包括并集、交集、差集和补集。
本文将介绍并探讨集合与运算中的并、交、差与补。
一、并集并集是指将两个或多个集合中的全部元素合并在一起，形成一个新的集合。
记作A∪B={x:x∈A或x∈B}，其中符号∪表示并集运算。
具体而言，对于任意集合A和B，它们的并集包含了A和B中所有的元素，且不重复计算。
例如，对于集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}，它们的并集A∪B={1,2,3,4,5}。
二、交集交集是指两个或多个集合中共有的元素的集合。
记作A∩B={x:x∈A且x∈B}，其中符号∩表示交集运算。
具体而言，对于任意集合A和B，它们的交集包含了A和B中公共的元素，且不重复计算。
举例来说，对于集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}，它们的交集A∩B={3}。
三、差集差集是指一个集合除去与另一个集合共有的元素后得到的集合。
记作A-B={x:x∈A且x∉B}，其中符号-表示差集运算。
具体而言，对于任意集合A和B，它们的差集包含了在集合A中但不在集合B中的元素，且不重复计算。
举个例子，对于集合A={1,2,3}和集合B={3,4,5}，它们的差集A-B={1,2}。
四、补集补集是指在全集中除去一个集合的所有元素后得到的余集。
记作A'={x:x∉A}，其中符号'表示补集运算。
具体而言，对于给定的全集U 和某集合A，补集A'包含了在全集U中但不在集合A中的所有元素。
以集合A={1,2,3}为例，如果全集U为自然数集合{1,2,3,4,5}，则补集A'={4,5}。
通过对集合的并、交、差和补运算，我们可以更好地理解和研究集合的性质和关系。
这些运算在数学上具有重要的应用，在概率论、图论、集合论等领域都有广泛的应用。
总结起来，集合与运算中的并、交、差和补是基本且常用的操作。
集合中元素的交并补运算
集合中元素的交并补运算一、集合的基本概念1.集合的定义：集合是由确定的、互异的元素构成的整体。
2.集合的表示方法：用大括号括起来，如{a, b, c}。
3.集合的元素：集合中的每一个成员称为元素。
二、集合的基本运算1.交集（∩）：两个集合中共同拥有的元素构成的新集合。
2.并集（∪）：两个集合中所有元素（包括重复元素）构成的新集合。
3.补集（’）：一个集合在全集中所没有的元素构成的新集合。
三、交集的性质1.交换律：A∩B=B∩A2.结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)3.对于任何集合A，A∩∅=∅=A∩A四、并集的性质1.交换律：A∪B=B∪A2.结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)3.对于任何集合A，A∪∅=A=A∪A4.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∪(A∪C)五、补集的性质1.A’∪A=∅，A’∩A=U（其中U为全集）2.(A’∪B)’=A∩B3.(A’∩B)’=A∪B六、交、并、补运算的应用1.集合的划分：将一个集合分成若干个互不交集的过程。
2.集合的覆盖：用若干个集合覆盖一个集合的过程，涉及到并集的性质。
3.集合的包含关系：通过交集和补集判断两个集合的包含关系。
七、注意事项1.集合运算中，元素必须满足确定性和互异性。
2.集合运算中，要注意区分集合与元素的关系，遵循运算法则。
3.在解决实际问题时，要灵活运用集合的交、并、补运算，简化问题。
通过以上知识点的学习，学生可以掌握集合中元素的交并补运算的基本概念、性质和应用，为后续数学学习打下坚实的基础。
习题及方法：1.习题：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∩B和A∪B。
解题方法：根据交集和并集的定义，可以直接找出A和B中共同的元素和所有元素。
解：A∩B={2, 3}，A∪B={1, 2, 3, 4}。
2.习题：如果集合A={x | x是小于5的整数}，集合B={x | x是小于6的整数}，求A∩B和A’∪B。
课件集合的基本运算_人教版高中数学必修一PPT课件_优秀版
(3)(∁SA)∪(∁SB)；
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解析：
• 【解析】(1)由并集的概念可知A∪B＝{1,2,3,4,5,6}；
•
(2)借助数轴(如图)
•
•
∴M∪N＝{x|x＜－5或x＞－3}．
• 【答案】(1){1,2,3,4,5,6} (2)A
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方法归纳：
• 并集的运算技巧： • (1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的
互异性． • (2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但是要注意含“＝”
用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
8
探究一 并集的运算
9
解析：
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探究二 交集的运算
• 【例】(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则A∩B＝________.
•
(2)已知集合A＝{x|x≥5}，集合B＝{x|x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝
________.
•
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解析：
• 【解析】(1)A＝{x|x＝1或x＝－2}，B＝{x|x＝－2或x＝3}，
•
∴A∩B＝{－2}．
•
(2)结合数轴：
•
•
由图可知m＝6.
• 【答案】(1){－2} (2)6
是否存在？若存在，求出x；
∴(∁RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．
由此可得：(1)(∁SA)∩(∁SB)＝{x|1<x<2}∪{7}．(2)∁S(A∪B)＝{x|1<x<2}∪{7}；
(3)(∁SA)∪(∁SB)＝{x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}＝{x|1＜x＜3，或5≤x≤7}；
集合的交集、并集与补集
集合的交集、并集与补集集合是数学中的一个重要概念，它是由一些确定的对象组成的整体。
在集合论中，我们通常会涉及到集合的交集、并集与补集等操作。
这些操作不仅在数学中有广泛的应用，也在计算机科学、逻辑学等领域中起着重要的作用。
本文将详细介绍集合的交集、并集与补集的定义和性质，并给出一些具体的例子。
一、交集（Intersection）集合的交集是指包含同时属于两个集合的所有元素的新集合。
记为A ∩ B，读作“集合A与集合B的交集”。
如果一个元素同时属于A和B，那么它就属于A ∩ B。
交集的定义可以扩展到多个集合之间。
对于n个集合A1, A2, …, An，它们的交集是同时属于所有这些集合的元素的集合，记为A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An。
交集的运算特性如下： 1. 交换律：A ∩ B = B ∩ A 2. 结合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) 3. 吸收律：A ∩ (A ∪ B) = A 4. 分配律：A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)以下是一个具体的例子来说明交集的概念。
假设有两个集合A = {1, 2, 3}和B = {2, 3, 4}，它们的交集是A ∩ B = {2, 3}。
因为数字2和3同时属于集合A和B，所以它们也属于它们的交集。
二、并集（Union）集合的并集是指包含至少属于两个集合中的所有元素的新集合。
记为A ∪ B，读作“集合A与集合B的并集”。
如果一个元素属于A或B中的一个，那么它就属于A ∪ B。
并集的定义同样可以扩展到多个集合之间。
对于n个集合A1, A2, …, An，它们的并集是至少属于其中一个集合的元素的集合，记为A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An。
并集的运算特性如下： 1. 交换律：A ∪ B =B ∪ A 2. 结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 3. 吸收律：A ∪ (A ∩ B) = A 4. 分配律：A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)继续以上面的集合A和B为例，它们的并集是A ∪ B = {1, 2, 3, 4}。
【知识点】集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）
【知识点】集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）一、交集：数学上，一般地，对于给定的两个集合A 和集合B 的交集是指含有所有既属于 A 又属于 B 的元素，而没有其他元素的集合。
由属于A 且属于B的相同元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。
交集越交越少。
若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B例如：集合 {1， 2， 3} 和 {2， 3， 4} 的交集为 {2， 3}。
数字 9 不属于素数集合 {2， 3， 5， 7， 11} 和奇数集合 {1， 3， 5， 7，9， 11}的交集。
若两个集合 A 和 B 的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交，写作：A ∩B =? ;。
例如集合 {1， 2} 和 {3， 4} 不相交，写作 {1，2} ∩{3， 4} = ? 。
更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。
例如，集合A，B，C 和 D 的交集为A ∩B ∩C∩D =A∩（B ∩（C ∩D））。
交集运算满足结合律，即A ∩（B∩C）=（A∩B）∩C。
最抽象的概念是任意非空集合的集合的交集。
若 M 是一个非空集合，其元素本身也是集合，则x 属于M 的交集，当且仅当对任意M 的元素 A，x 属于 A。
这一概念与前述的思想相同，例如，A ∩B ∩C 是集合 {A，B，C} 的交集。
（M 何时为空的情况有时候是能够搞清楚的，请见空交集）。
这一概念的符号有时候也会变化。
集合论理论家们有时用"∩M"，有时用"∩A∈MA"。
后一种写法可以一般化为"∩i∈IAi"，表示集合{Ai : i ∈ I} 的交集。
这里 I 非空，Ai 是一个 i 属于 I 的集合。
注意当符号"∩" 写在其他符号之前，而不是之间的时候，需要写得大一号。
二、并集：并集（union）：在集合论和数学的其他分支中，一组集合的并集是这些集合的所有元素构成的集合，而不包含其他元素。
集合论中的交并差与补运算
集合论中的交并差与补运算在数学中，集合是由一组互不相同的元素组成的概念。
集合论是研究集合及其性质的数学分支之一，其中交并差与补运算是集合论中常见的运算方式。
本文将介绍和讨论这些运算，并探讨它们在集合论中的应用。
一、交运算交运算是指将多个集合中共有的元素提取出来形成一个新的集合。
通常用符号“∩”来表示交运算。
例如，对于集合A={1, 2, 3, 4}和集合B={3, 4, 5}，它们的交集可以表示为A∩B={3, 4}。
交集只包含两个集合中共有的元素，其它元素将被排除。
交运算在实际生活中有着广泛的应用。
比如，当我们合并两份清单时，只需要提取出两份清单中共有的项目即可。
另外，交集还可以用于解决实际问题中的共性部分。
二、并运算并运算是指将多个集合中的所有元素合并在一起形成一个新的集合。
通常用符号“∪”来表示并运算。
继续以上面的示例，集合A和集合B的并集可以表示为A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
并集包含了两个集合中的所有元素，没有重复的元素。
并运算在现实生活中也有很多应用。
比如，当我们需要获取多个清单的总览时，可以使用并集来合并多个清单的项目。
并集还可以用于组合不同的信息，以获取全面的结果。
三、差运算差运算是指从一个集合中减去另一个集合中的所有元素，得到一个新的集合。
通常用符号“-”来表示差运算。
仍以上述示例，集合A减去集合B的差集可以表示为A-B={1, 2}。
差集包含了属于集合A而不属于集合B的元素。
差运算在实际生活中也有诸多用途。
比如，在购物时，去掉已经购买的商品，我们可以得到尚未购买的商品清单。
差集还可以用于解决实际问题中的排除部分。
四、补运算补运算是指对于给定的全集，从全集中减去一个集合，得到的差集。
通常用符号“'”或“c”来表示补运算。
以全集为U，集合A为例，A的补集可以表示为A'或Ac，其中A'= U-A。
补集包含了全集中不属于集合A的元素。
在实际生活中，补集也有着一定的应用。
交集并集和补集的知识点
交集并集和补集的知识点交集、并集和补集是集合论中的重要概念，它们是研究集合之间关系的基础。
本文将从交集、并集和补集的定义、性质以及在实际问题中的应用等方面进行详细介绍。
我们来了解一下交集的概念。
对于给定的两个集合A和B，它们的交集表示为A∩B，表示包含同时属于A和B的元素的集合。
简而言之，交集就是两个集合共同拥有的元素的集合。
例如，假设集合A 表示男生，集合B表示喜欢足球的人，那么A∩B就表示同时是男生且喜欢足球的人的集合。
接下来，我们来了解并集的概念。
对于给定的两个集合A和B，它们的并集表示为A∪B，表示包含属于A或B（或同时属于A和B）的元素的集合。
简而言之，并集就是两个集合合并后的集合。
继续以上面的例子，假设集合A表示男生，集合B表示喜欢足球的人，那么A∪B就表示男生和喜欢足球的人的总集合，即包含所有男生和喜欢足球的人的集合。
我们来了解补集的概念。
对于给定的集合U和其中的一个子集合A，A的补集表示为A'或者A的补，表示包含所有不属于A的元素的集合。
简而言之，补集就是与A互斥的元素的集合。
继续以上面的例子，假设集合U表示学校全体学生，集合A表示男生，那么A'就表示女生的集合，即所有不是男生的学生的集合。
除了上述基本概念之外，交集、并集和补集还有一些重要的性质。
首先，交集满足交换律和结合律，即A∩B=B∩A，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
并集也满足交换律和结合律，即A∪B=B∪A，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
其次，交集和并集满足分配律，即A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
此外，交集和并集还满足对偶律，即(A∩B)'=A'∪B'，(A∪B)'=A'∩B'。
交集、并集和补集在实际问题中有着广泛的应用。
首先，在概率论中，交集和并集用于计算事件的概率。
例如，事件A表示掷一枚硬币正面朝上，事件B表示掷一枚骰子得到一个偶数，那么A∩B表示掷硬币正面朝上且掷骰子得到一个偶数的事件，A∪B表示掷硬币正面朝上或者掷骰子得到一个偶数的事件。
集合的交并补运算.pptx
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集合B和C都是A的子集，我们就说A是全集U。 那我们研究自然数呢？研究1到20以内的质数呢？ 全集U会随着研究对象的变化而变化
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1. 全集、补集
①一般地，如果一个集合含有我们所 研究问题中涉及的所有元素，那么就称这 个集合为全集，通常记作U .
U
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②对于一个集合A，由全集U中不属于 集合A中所有元素组成的集合，称为集合A 相对于全集U的补集，简称集合A的补集，
德摩根定律
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③全集及补集是相对的，全集不同， 补集也可能不同;
④用韦思图表示：全集、补集的关系：
U A
CUA
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1. U={1, 2, 3, 4, 5}, B={1，2，3}, C={4，5}
2. A={1，2，3, 4，5，6, 7}， B={1，2， 3}
C={4，5，6, 7}
二 知识铺垫
我们知道，实数有加法运算.类比实数的加 法运算，集合是否也可以“相加”呢？ 考察下列各个集合，你能说出集合C与集 合A、B之间的关系吗？ 1) A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2， 3，4，5，6}； 2) A={x|x ∈Q}，C={x|x ∈R}. 3) A={2，4，6，8，10}，B={3，5，8，12}， C={8}.
A∪B =B∪A
A∩B=B∩A
子集、交 集、并集 之间的关 系
(A∪B) A ，(A∪B) B (A∩B) A ，(A∩B) B
(A∩B)＝A A B (A∪B)＝B A B
(A∩B) (A ∪ B)
第7讲：集合的交并补运算
第7讲 集合的交并补运算【课型】复习课【学习目标】1.掌握集合间的交、并、补运算规律法则2.能熟练进行集合间的交、并、补运算【预习清单】【知识梳理】1．集合的基本运算 集合的交集 集合的并集 集合的补集图形语言符号 语言 A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B } A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A } 2.集合的运算性质(1)交集性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(2)并集性质：A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(3)补集性质：A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A .3.常用结论(1))A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B .(2)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．【引导清单】考向一：集合间的基本运算【例1】(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x －4<0}，B ＝{－4，1，3，5}，则A ∩B ＝(2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－2x －3＜0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1x ＞1，则∁U (A ∪B )＝ (3)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为【解析】(1)由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，即集合A ＝{x |－1<x <4}，又集合B ＝{－4，1，3，5}，所以A ∩B ＝{1，3}。
(2)由已知，得A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |0＜x ＜1}，所以A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，所以∁U (A ∪B )＝{x |x ≤－1或x ≥3}.(3)由题意得，A ∩B ＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}，所以A ∩B 中元素的个数为4.考向二：集合间运算的综合问题【例2】 (1)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝（2）如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x ，0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝________．【解析】(1)易知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤－a 2}，因为A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，所以－a2＝1，解得a ＝－2..（2）由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6，0，6}，所以A ∩B ＝{0，6}．【训练清单】【变式训练1】(1)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0，x ∈Z }，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }，则A ∪B ＝(2)若全集U ＝R ，集合A ＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B ＝{x ||x |≤2}，则如图阴影部分所表示的集合为(3)设集合A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{1}，则B ＝【解析】（1）A ＝{x |－1＜x ＜2，x ∈Z }＝{0，1}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈A }＝{1，2}，所以A ∪B ＝{0，1，2}，（2）∁U A ＝{x |－1≤x ≤4}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则所求阴影部分所表示的集合为C，则C＝(∁U A)∩B＝{x|－1≤x≤2}．（3）由题意可得1－4＋m＝0，解得m＝3，所以B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}【变式训练2】(1)已知集合A＝{(x，y)|2x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x＋my＋1＝0}．若A∩B＝∅，则实数m＝（2）设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________．【解析】（1）因为A∩B＝∅，所以直线2x＋y＝0与直线x＋my＋1＝0平行，所以m＝12（2）由已知A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，又因为新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．【巩固清单】1．设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B＝【解析】A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝{x|1≤x＜4}.2．已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，则A∩B＝【解析】因为A＝{x||x|<3，x∈Z}＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1，0，1，2}，B＝{x||x|>1，x∈Z}＝{x|x>1或x<－1，x∈Z}，所以A∩B＝{－2，2}.3．已知集合U＝{－2，－1，0，1，2，3}，A＝{－1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U(A∪B)＝【解析】由题意，得A∪B＝{－1，0，1，2}，所以∁U(A∪B)＝{－2，3}，故选A.4．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(∁R A)∪B＝________．【解析】由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，(∁R A)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{x|x－y＝1}，则A∩B＝【解析】：选D.因为集合A中的元素为点集，集合B中的元素为数集，所以两集合没有公共元素，所以A∩B＝∅.6．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________，A∪B＝________．【解析】A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，A∪B＝(－∞，3]．7．已知集合A＝{x∈N|x2≤1}，集合B＝{x∈Z|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合是【解析】因为A＝{x∈N|x2≤1}＝{x∈N|－1≤x≤1}＝{0，1}，B＝{x∈Z|－1≤x≤3}＝{－1，0，1，2，3}．图中阴影部分表示的集合为(∁R A)∩B，∁R A＝{x|x≠0且x≠1}，所以(∁R A)∩B＝{－1，2，3}.8．已知集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x＝n2－1，n∈A}，P＝A∩B，则P的子集共有个【解析】因为B＝{x|x＝n2－1，n∈A}＝{－1，0，3，8}，所以P＝A∩B＝{0，3}，所以P的子集共有22＝4个.9．已知集合A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}．若A∪B＝{－1，0，1，2}，则实数m的值为【解析】因为A＝{－1，0，m}，B＝{1，2}，A∪B＝{－1，0，1，2}，所以m∈A∪B，且m不能等于A中的其他元素，所以m＝1或m＝2.10．若集合A具有以下性质：(1)0∈A，1∈A；(2)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，1 x ∈A.则称集合A是“好集”．给出下列说法：①集合B＝{－1，0，1}是“好集”；②有理数集Q 是“好集”③设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.其中，正确说法的序号是【解析】①集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为－1∈B，1∈B，所以－1－1＝－2∈B，这与－2∉B矛盾．②有理数集Q是“好集”，因为0∈Q，1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时，1x∈Q，所以有理数集Q是“好集”．③因为集合A是“好集”，则0∈A，由性质(2)知，若y∈A，则0－y∈A，知－y∈A，因此x－(－y)＝x＋y∈A，所以③正确．故正确的说法是②③。
并集和交集补集基础知识
并集和交集补集基础知识
并集、交集和补集是集合论中的基本概念，用于描述集合之间的关系和操作。
1. 并集（Union）：两个集合A 和B 的并集表示为A ∪ B，表示为所有属于集合A 或属于集合 B 的元素的集合。
用符号表示为：A ∪ B = {x | x ∈ A 或x ∈ B}。
2. 交集（Intersection）：两个集合A 和B 的交集表示为A ∩ B，表示为所有同时属于集合A 和集合 B 的元素的集合。
用符号表示为：A ∩ B = {x | x ∈ A 且x ∈ B}。
3. 补集（Complement）：集合A 的补集表示为Ac，表示为所有属于全集U 但不属于集合
A 的元素的集合。
用符号表示为：Ac = U \ A。
以下是一些基本的集合运算公式：
1. De Morgan's Laws：
- A ∪ B' = (A' ∩ B')'
- A ∩ B' = (A' ∪ B')'
2. Distributive Law：A (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
3. Idempotent Law：A ∪ A = A，A ∩ A = *
***mutative Laws：A ∪ B = B ∪ A，A ∩ B = B ∩ A
5. Associative Laws：A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C，A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
掌握这些基础知识有助于更好地理解和运用集合论在数学、计算机科学等领域的应用。
集合论中的交集、并集和补集的运算
集合论是数学中的一个重要分支，研究对象是集合及其运算。
其中，交集、并集和补集是集合论中最基本的运算。
首先，让我们回顾一下集合的含义。
集合是由一些确定的对象组成的整体，这些对象被称为集合的元素。
例如，{1, 2, 3}就是一个集合，其中的元素是1、2和3。
我们可以用大写字母A、B、C等来表示集合。
交集是指两个集合中共同的元素所构成的集合。
如A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，那么A与B的交集就是{2, 3}，它包含了A和B中共同的元素。
交集的运算符号表示为∩。
交集运算满足交换律和结合律。
即A∩B=B∩A，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
并集是指两个集合中所有的元素所构成的集合。
如A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，那么A与B的并集就是{1, 2, 3, 4}，它包含了A和B中的所有元素。
并集的运算符号表示为∪。
并集运算也满足交换律和结合律。
即A∪B=B∪A，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
补集是指一个集合中除去另一个集合中的元素所构成的集合。
如A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，那么A与B的补集就是A中除去B的元素1，即{1}。
补集的运算符号表示为A-B。
补集运算不满足交换律和结合律。
即A-B≠B-A，(A-B)-C≠A-(B-C)。
通过交集、并集和补集的运算，我们可以进行更加复杂的集合运算。
例如，我们可以利用这些运算来求解集合的包含关系、集合的相等关系以及集合的分解关系等。
这些运算在数学中的应用非常广泛，不仅在纯数学中有着重要的地位，而且在应用数学、计算机科学和物理学等领域也发挥着巨大的作用。
除了交集、并集和补集的运算，集合论还有许多其他的运算，例如差集、幂集、笛卡尔积等。
这些运算使得集合论成为数学中一个非常丰富且独特的分支。
总结起来，交集、并集和补集是集合论中最基本的运算。
交集是指两个集合中共同的元素构成的集合，而并集是指两个集合中所有的元素构成的集合，补集是指一个集合中除去另一个集合中的元素所构成的集合。
高中数学 集合间交、并、补的运算(用Venn图表示)
集合间交、并、补的运算（用Venn图表示）•1、交集概念：（1）一般地，由所有属于集合A且集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，读作A交B，表达式为A∩B＝｛x|x∈A且x∈B｝。
（2)韦恩图表示为。
2、并集概念：（1）一般地，由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，读作A并B，表达式为A∪B＝｛x|x∈A或x∈B｝。
（2）韦恩图表示为。
3、全集、补集概念：（1）全集：一般地，如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，就称这个集合为全集，通常记作U。
补集：对于一个集合A，由全集U中所有不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作C U A，读作U中A的补集，表达式为C U A={x|x ∈U，且x A}。
（2）韦恩图表示为。
•1、交集的性质：2、并集的性质：3、补集的性质：集合的含义及表示•集合的概念：1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）；集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。
元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集常用数集及其表示方法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R•集合中元素的特性：（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了. 任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。
集合的交并补运算
集合的交并补运算集合是数学中的基本概念之一，广泛应用于各个领域。
集合的交、并和补运算是集合论中重要的概念，它们用于描述和操作不同集合之间的关系。
本文将详细介绍集合的交、并和补运算。
一、集合的交运算集合的交运算是指两个集合中共有的元素构成的新集合。
用符号∩表示集合的交运算。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B={3}。
集合的交运算有以下几个特性：1. 交换律：对任意集合A和B，有A∩B=B∩A。
2. 结合律：对任意集合A、B和C，有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
3. 吸收律：对任意集合A和B，有A∩(A∪B)=A。
4. 通用性：对于任意的集合A、B和C，如果A∩B=A∩C，则B=C。
通过集合的交运算，我们可以得到两个或多个集合共有的元素，这有助于我们进行更精确的描述和操作。
二、集合的并运算集合的并运算是指两个集合中所有元素构成的新集合。
用符号∪表示集合的并运算。
例如，集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
集合的并运算有以下几个特性：1. 交换律：对任意集合A和B，有A∪B=B∪A。
2. 结合律：对任意集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
3. 吸收律：对任意集合A和B，有A∪(A∩B)=A。
4. 通用性：对于任意的集合A、B和C，如果A∪B=A∪C，则B=C。
集合的并运算能够将两个集合中的所有元素进行合并，形成一个更大的集合。
通过并运算，我们可以得到两个或多个集合的总体情况。
三、集合的补运算集合的补运算是指在全集中减去一个集合中的元素，得到一个新的集合。
用符号-表示集合的补运算。
例如，全集为U={1,2,3,4,5}，集合A={1,2}，则A的补集为A'={3,4,5}。
集合的补运算有以下几个特性：1. 对偶律：对任意集合A，有(A')'=A。
2. 同一律：对任意集合A，有A∪A'=U，A∩A'={}。
集合的运算(交集、并集、补集)
–交集 –并集 –补集
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2 1.3.1 交集
【实例】国庆节文艺汇演，我们班上 表演舞蹈的学生的集合为A={王莉，李 红，张雪，周梅}，表演合唱的学生的 集合为B={王明，周涛，张雪，李璐}。 可以看到，张雪既表演舞蹈，又表演 合唱。 精选ppt
3 【新知识】
–
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【9新知识】
由交集的定义可知，对任意的两个集合A、B, 有
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10 【练习】1.3.1
–
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11 1.3.2 并集
【实例】国庆表彰，我们班上获得三好学生表彰的集合为A={王莉，李红，张 雪}，获得优秀学生干部表彰的学生的集合为B={王明，周涛，张雪}。 老师请所有获得表彰的同学上台领奖 我们可以看到，上台的同学有：王莉、李红、张雪、王明、周涛。
4 做图表示【实例】中的交集
A舞蹈
B合唱
王莉 李红 周梅 雪
张 王明 周涛 李璐
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5
【想一想】 集合A与集合B的交集能否为空集？
能否为集合A或者集合B?
A
B
B AA B
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6、 【知识巩固】
–
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7
–
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–
A
B
x - - - 0 1 2 3 4 5 6 7
3 21
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23 【练习】1.3.3
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感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
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集合的运算(交集、并集、补集)ppt课件
• 交集 • 并集 • 补集
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1.3.1 交集
【实例】国庆节文艺汇演，我们班上表 演舞蹈的学生的集合为A={王莉，李红 ，张雪，周梅}，表演合唱的学生的集 合为B={王明，周涛，张雪，李璐}。 可以看到，张雪既表演舞蹈，又表演合 唱。
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【新知识】
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做图表示【实例】中的交集
A舞
蹈
王莉 李红 周梅 张雪
B合
唱
王明 周涛 李璐
4
【想一想】 集合A与集合B的交集能否为
空集？ 能否为集合A或者集合B?
AB BAAB
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、 【知识巩固】
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7
AB
x - - - 0 1 2 3 4 5 6 7
3 21
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【新知识】
由交集的定义可知，对任意的两个集 合A、B,有
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【练习】1.3.1
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1.3.2 并集
【实例】国庆表彰，我们班上获得三好学生 表彰的集合为A={王莉，李红，张雪}，获得 优秀学生干部表彰的学生的集合为B={王明， 周涛，张雪}。 老师请所有获得表彰的同学上台领奖 我们可以看到，上台的同学有：王莉、李红 、张雪、王明、周涛。
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【新知识】
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做图表示实例中的并集
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【练习】1.3.3
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A三
好
王莉 李红 雪
B优
干
张王明 周涛
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【知识巩ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ】
AB
x - - - 0 1 2 3 4 5 6 7
3 21
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【新知识】 由并集的定义可知，对任意的两个集
合A、B,有
15
【练习】1.3.2
集合的运算(交集、并集、补集)
AB
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
解： A∪B ={x|0<x ≤2} ∩ {x|1<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 3}
【新知识】 由并集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
– (1)A∪B= B∪ A – (2)A∪ A = A, A ∪ ∅ = ������ – (3)A⊆ A∪B,B⊆ A∪B
x-y=4
解:解方程组 x+y=0，得 x=2，所以A∩B={（2，-2）}。
x-y=4
y=-2
【想一想】能否把 {（2，-2）} 写作 {2，-1} ？
例3 设A={x|-1<x ≤2}，B={x|0<x ≤ 3},求A∩B。 分析：这两个集合都是用描述法表示的集合，并且元素无法一一列举出来。 这两个集合都可以在数轴上表示出来，观察数轴上表示的两个集合，可以得 到这两个集合的交集。
A A∩B B
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
解： A∩B ={x|-1<x ≤2} ∩ {x|0<x ≤ 3} = {x|0 < x ≤ 2}
【新知识】
由交集的定义可知，对任意的两个集合A、B,有
– （1） A ∩ B= B ∩ A – （2） A ∩ A=A， A ∩ ∅= ∅ – （3） A ∩ B⊆ ������, A ∩ B ⊆ ������
A
B
A∩B=∅
B AA B
、 【知识巩固】
例1 设A={2，3，5}，B={-1,0,1,2},求A∩B。 解： A∩B={2，3，5} ∩ {-1,0,1,2}={2}
例2 设A={(x,y)|x+y=0},B= {(x,y)|x-y=4},求A∩B。
集合的交并补
§1.3集合的基本运算集合的交并补学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义．会求两个简单集合的并集和交集. 2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．知识点一并集思考并集定义中“x∈A或x∈B”包含三种情况，你知道有哪三种情况吗？答案“x∈A或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.因此，A∪B是由所有至少属于A，B两者之一的元素组成的集合．可用图表示．知识点二交集思考 在交集的定义中“x ∈A 且x ∈B ”与“x ∈(A ∩B )”是等价的吗？答案 “x ∈A 且x ∈B ”与“x ∈(A ∩B )”是等价的，即由既属于A ，又属于B 的元素组成的集合为A ∩B . 知识点三 全集与补集 1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U . 思考 全集一定是实数集R 吗？答案 不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R ，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z . 2．补集自然语言 对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A符号语言 ∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }图形语言思考 ∁U A 包含哪三层意思？答案 ①A ⊆U ；②∁U A 是一个集合，且∁U A ⊆U ；③∁U A 是由U 中所有不属于A 的元素构成的集合．1．全集一定含有任何元素．( ) 2．集合∁R A ＝∁Q A .( )3．一个集合的补集一定含有元素．( ) 4．存在x 0∈U ，x 0∉A ，且x 0∉∁U A .( ) 5．设全集U ＝R ，A ＝x1x >1，则∁U A ＝x1x ≤1.( ) 答案 1.× 2.× 3.× 4.× 5.×1.已知表示集合M ＝{－1,0,1}和P ＝{0，1,2,3}关系的Venn 图如图所示，则阴影部分表示的集合是________．答案{0,1}解析由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是M∩P，因为M＝{－1,0,1}，P＝{0,1,2,3}，所以M∩P＝{－1,0,1}∩{0,1,2,3}＝{0,1}．2．设集合M＝{0,1,2}，N＝{1,2,3}，则M∩N＝________，M∪N＝________. 答案{1,2}{0,1,2,3}解析∵M＝{0,1,2}，N＝{1,2,3}，∴M∩N＝{1,2}，M∪N＝{0,1,2,3}．3．已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|1≤x≤2}，则A∪B＝________.答案{x|x>0}解析A∪B＝{x|x>0}∪{x|1≤x≤2}＝{x|x>0}．4．已知集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，则A∩B＝________.答案{x|1<x<3}解析因为A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，所以A∩B＝{x|1<x<3}．一、并集的运算例1(1)设集合A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}，则A∪B等于() A．{－2} B．{－2,3}C．{－1,0，－2} D．{－1,0，－2,3}答案 D解析因为A＝{－1,0，－2}，B＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2,3}，所以A∪B＝{－1,0，－2,3}．(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1}C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}答案 A解析在数轴上表示出集合A与B，如图所示，故A∪B＝{x|x>－2}．反思感悟并集的运算技巧(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性．(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．跟踪训练1已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N等于() A．{0} B．{0,3}C．{1,3,9} D．{0,1,3,9}答案 D解析易知N＝{0,3,9}，故M∪N＝{0,1,3,9}．二、交集的运算例2(1)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B等于() A．{1} B．{4}C．{1,3} D．{1,4}答案 D解析因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；当x＝2时，y＝3×2－2＝4；当x＝3时，y＝3×3－2＝7；当x＝4时，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．又因为A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}答案 A解析在数轴上表示出集合A与B，如图所示．则由交集的定义，知A∩B＝{x|0≤x≤2}．反思感悟交集运算的注意点(1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法．(2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．跟踪训练2 若A ＝{x ∈N |1≤x ≤10}，B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{2}B ．{3}C ．{－3,2}D ．{－2,3}答案 A解析 易知A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B ＝{－3,2}，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{2}．三、并集、交集性质的应用例3 已知集合A ＝{x |－3<x ≤4}，集合B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，且A ∪B ＝A ，试求k 的取值范围．解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论． ①当B ＝∅时，k ＋1>2k －1，∴k <2. ②当B ≠∅，则根据题意如图所示：根据数轴可得k ＋1≤2k －1，－3<k ＋1，2k －1≤4，解得2≤k ≤52. 综合①②可得k 的取值范围是kk ≤52.延伸探究把本例中的条件“A ∪B ＝A ”换为“A ∩B ＝A ”，求k 的取值范围． 解 ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .又∵A ＝{x |－3<x ≤4}，B ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}， 可知B ≠∅.由数轴(如图所示)可知k ＋1≤－3，2k －1≥4，解得k ∈∅，即当A ∩B ＝A 时，k 的取值范围为∅.反思感悟 利用集合交集、并集的性质解题的技巧(1)在进行集合运算时，若条件中出现A ∩B ＝A 或A ∪B ＝B ，应转化为A ⊆B ，然后用集合间的关系解决问题，并注意A ＝∅的情况． (2)集合运算常用的性质：①A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ；②A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；③A ∩B ＝A ∪B ⇔A ＝B .跟踪训练3 (1)A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，B ＝{x |a <x <4}，若A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．3≤a <4 B ．－1<a <4 C ．a ≤－1 D ．a <－1答案 C解析 利用数轴，若A ∪B ＝R ，则a ≤－1.(2)设集合M ＝{x |－2<x <5}，N ＝{x |2－t <x <2t ＋1，t ∈R }．若M ∩N ＝N ，则实数t 的取值范围为________． 答案 {t |t ≤2}解析 由M ∩N ＝N ，得N ⊆M .故当N ＝∅，即2t ＋1≤2－t ，t ≤13时，M ∩N ＝N 成立；当N ≠∅时，由图得2－t <2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13<t ≤2.综上可知，所求实数t 的取值范围为{t |t ≤2}．四、交、并、补集的综合运算例2 已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )，∁U (A ∪B )，(∁U A )∩(∁U B )，∁U (A ∩B )，(∁U A )∪(∁U B )．解 如图所示．∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}，A∪B＝{x|－3≤x<3}．故A∩B＝{x|－2<x≤2}，(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}，∁U(A∪B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}，(∁U A)∩(∁U B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或2<x≤4}，(∁U A)∪(∁U B)＝{x|x≤－2或2<x≤4}．反思感悟解决集合交、并、补运算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．跟踪训练2已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4，7,8}，求A∩B，A∪B，(∁U A)∩(∁U B)，A∩(∁U B)，(∁U A)∪B.解方法一(直接法)：由已知易求得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，∁U A＝{1,2,6,7,8}，∁U B＝{1,2,3,5,6}，∴(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．方法二(Venn图法)：画出Venn图，如图所示，可得A∩B＝{4}，A∪B＝{3,4,5,7,8}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,2,6}，A∩(∁U B)＝{3,5}，(∁U A)∪B＝{1,2,4,6,7,8}．五、与补集有关的参数值的求解例3已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤－2或x≥3}，B＝{x|2m＋1<x<m＋7}，若(∁U A)∩B＝B ，求实数m 的取值范围． 解 因为A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}， 所以∁U A ＝{x |－2<x <3}，因为(∁U A )∩B ＝B ，所以B ⊆(∁U A )． 当B ＝∅时，即2m ＋1≥m ＋7， 所以m ≥6，满足(∁U A )∩B ＝B .当B ≠∅时，由2m ＋1<m ＋7，2m ＋1≥－2，m ＋7≤3无解．故m 的取值范围是{m |m ≥6}．反思感悟 利用补集求参数应注意两点(1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．(2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． 跟踪训练3 已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x <－1或x >0}．若A ∩(∁R B )＝∅，求实数a 的取值范围．解 ∵B ＝{x |x <－1或x >0}， ∴∁R B ＝{x |－1≤x ≤0}，要使A ∩(∁R B )＝∅，结合数轴分析(如图)， 可得a ≤－1.即实数a 的取值范围是{a |a ≤－1}．含字母的集合运算忽视空集或检验典例 (1)已知M ＝{2，a 2－3a ＋5,5}，N ＝{1，a 2－6a ＋10,3}，M ∩N ＝{2,3}，则a 的值是( ) A ．1或2 B ．2或4C ．2D ．1答案 C解析 ∵M ∩N ＝{2,3}，∴a 2－3a ＋5＝3， ∴a ＝1或2.当a ＝1时，N ＝{1,5,3}，M ＝{2,3,5}，不合题意； 当a ＝2时，N ＝{1,2,3}，M ＝{2,3,5}，符合题意．(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－2x ＋a －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则a 的取值范围为________． 答案 {a |a ≥2}解析 由题意，得A ＝{1,2}．∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ， ∴当B ＝∅时，(－2)2－4(a －1)<0，解得a >2；当1∈B 时，1－2＋a －1＝0，解得a ＝2，且此时B ＝{1}，符合题意； 当2∈B 时，4－4＋a －1＝0，解得a ＝1，此时B ＝{0,2}，不合题意． 综上所述，a 的取值范围是{a |a ≥2}． 【素养提升】(1)经过数学运算和逻辑推理后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视． (2)在本例(2)中，A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，B 可能为空集，极易被忽视．1．(多选)满足{1}∪B ＝{1,2}的集合B 可能等于( ) A ．{2} B ．{1} C ．{1,2}D ．{1,2,3}2．若集合M ＝{－1,0,1,2}，N ＝{x |x (x －1)＝0}，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,0,1,2} B ．{0,1,2} C ．{－1,0,1}D ．{0,1}3．已知集合M ＝{a,0}，N ＝x ∈Z0<x <52，如果M ∩N ≠∅，则a 等于( )A ．1B ．2C ．1或2 D.524．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{0,1,2}，则M ∪N ＝________.5．若集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |x ≤－1或x ≥4}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________. 6．设U ＝R ，A ＝{x |－1<x ≤0}，则∁U A 等于( ) A ．{x |x ≤－1或x >0} B ．{x |－1≤x <0} C ．{x |x <－1或x ≥0} D ．{x |x ≤－1或x ≥0}7．已知集合A ＝{3,4，m }，集合B ＝{3,4}，若∁A B ＝{5}，则实数m ＝________.【答案与解析】1、答案 AC解析 ∵{1}∪B ＝{1,2}，∴B 可能为{2}或{1,2}． 2、答案 D解析 N ＝{0,1}，M ∩N ＝{0,1}． 3、答案 C 解析∵N ＝x ∈Z0<x <52＝{1,2}， 又∵M ＝{a,0}，M ∩N ≠∅，∴a ＝1或a ＝2. 4、答案 {－1,0,1,2}解析 M ∪N 表示属于M 或属于N 的元素构成的集合，故M ∪N ＝{－1,0,1,2}． 5、答案 R {x |4≤x <5}解析 借助数轴可知A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |4≤x <5}．6、答案 A解析 因为U ＝R ，A ＝{x |－1<x ≤0}， 所以∁U A ＝{x |x ≤－1或x >0}． 7、答案 5解析 ∵∁A B ＝{5}，∴5∈A ，且5∉B .∴m ＝5.1．知识清单：(1)并集、交集的概念及运算． (2)并集、交集运算的性质． (3)求参数值或范围． 2．方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合、分类讨论． 3．常见误区：(1)由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论． (2)求补集时忽视全集，运算时易忽视端点的取舍．。
集合之间的关系交集并集补集
如果元素a不是集合A的元素，则记作a∉A。
集合的子集与超集
子集
如果集合A中的每一个元素都是集合B的元 素，则称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
VS
超集
如果集合B中的每一个元素都是集合A的元 素，则称集合B与性质
定义
两个集合A和B的交集是由同时属于A和B的所有元素组成的集合，记作A∩B。
分配律
03
对于任意集合A、B和C，有(A∩B)∪(B∩C)=(A∪C)∩(B∪C)。
多个集合的交集
01
02
03
当有n个集合时，它们的 交集可以表示为An，即 An=A1∩A2∩…∩An。
对于任意集合A和B，有 An∩B=An∩B1∩…∩Bn。
对于任意集合A、B和C， 有An∩B∩C=An∩(B∩C)。
03
并集
定义与性质
定义
两个或多个集合中所有元素的集合称为并集。
性质
并集不改变集合中的元素顺序，也不考虑重复元素的出现次数。
并集的运算规则
并集的结合律
对于任意集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
并集的交换律
对于任意集合A和B，有A∪B=B∪A。
并集的分配律
对于任意集合A、B和C，有A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
补集与原集合的关系
互补性
对于任何集合A，有A∪A' = S，其中S是全集， 表示A和它的补集的并集是全集。
互异性
对于任何集合A，有A∩A' = ∅，其中∅是空集， 表示A和它的补集的交集是空集。
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性质
对于任何集合A和B，有A'∪B' = (A∪B)'， A'∩B' = (A∩B)'。
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五 知识强化
练习1 已知A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三 角形}，求A∩B，A∪B.
答： A∩B ={x|x是等腰直角三角形}， A∪B ={x|x是等腰三角形或是直角三角形}
练习2 A={x|x2-4x-5=0}，B={x|x2=1}，求A∩B， A∪B.
答： A∩B ={-1}， A∪B ={-1，1，5}
5} 2. A={1，2，3, 4，5，6, 7}， B={1，2，3} C={4，5，6, 7}
集合B和C都是A的子集，我们就说A是全集 U。
那我们研究自然数呢？研究1到20以内的质 数呢？
全集U会随着研究对象的变化而变化
1. 全集、补集
①一般地，如果一个集合含有我们所 研究问题中涉及的所有元素，那么就称这 个集合为全集，通常记作U .
2. A={1，2，3, 4，5，6, 7}， B={1，2，3} C={4，5，6, 7}
当B=U或B为空集时？
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练习3 已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0}， B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，求 a取何值时，A∩B≠ 与A∩C= 同 时成立.
解：由已知，得B {2，3}，C {2，4}. AB ,
2和3是方程x2 axa2 19 0的解; 又AC ,
2和4都不是方程x2 axa2 19 0的解;
C={8}.
三 知识学习
1.并集
一般地，由所有属于集合A或属于 集合B的元素所组成的集合，称为 集合A与B的并集(union set)，记作 A∪B(读作“A并B”)，即
A∪B={x|x∈A，或x∈B}. 可用Venn图表示：
2.交集
一般地，由属于集合A且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集（intersection set），记作 A∩B(读作“A交B”)，即
①A∩(CUA)=Φ ②A∪(CUA)=U ③CU(CUA)=A ④CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB) ⑤CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)
德摩根定律
③全集及补集是相对的，全集不同，
补集也可能不同; ④用韦图表示：全集、补集的关系
：
U A
CUA
1. U={1, 2, 3, 4, 5}, B={1，2，3}, C={4， 5}
A∩B={x|x∈A且x∈B}. 可用Venn图表示：
四 知识创新
根据右图讨论一下并集 的运算性质
1 A B A ,A B B ; 2AAA; 3A A; 4A BB A .
四 知识创新
根据右图讨论一下交集 的运算性质
1 ( A B ) A ,( A B ) B ; 2AAA; 3A ; 4A BB A .
3是方程x2 axa2 19 0的解.
a 2 3 a 10 0 ,
a 2或 a 5.
当 a 2 时 , 经验证适合题意
;
当 a 5时 ,
A { 2 ,3},
此时 A C ,
a 5 舍去 .
a 2.
3. 并集、交集的运算性质
集合 性质
并集
交集
A A A ,A AA A A ,A
A∪B =B∪A
A∩B=B∩A
子集、交 集、并集 之间的关 系
(A∪B) A ，(A∪B) B (A∩B) A ，(A∩B) B
(A∩B)＝A A B (A∪B)＝B A B
(A∩B) (A ∪ B)
六 知识总结
本节我们学习了集合的并、交两种基本运算， 要在理解其运算本质的基础上记忆其运算性质； 在掌握概念的基础上能够熟练运用自然语言、符 号语言、图形语言来表示集合的交、并运算.
U
②对于一个集合A，由全集U中不属于 集合A中所有元素组成的集合，称为集合A 相对于全集U的补集，简称集合A的补集，
记作CUA，即CUA＝{ x | x∈U且 x A}
③全集及补集是相对的，全集不同，
补集也可能不同; ④用韦思图表示：全集、补集的关系
：
U A
CUA
2. 交集、并集、补集的关系：
集合的交并补运算
二 知识铺垫
我们知道，实数有加法运算.类比实数的加 法运算，集合是否也可以“相加”呢？
考察下列各个集合，你能说出集合C与集 合A、B之间的关系吗？ 1) A={1，3，5}，B={2，4，6}，C={1，2， 3，4，5，6}； 2) A={x|x ∈Q}，C={x|x ∈R}. 3) A={2，4，6，8，10}，B={3，5，8，12}，
作业：课本第13页第6题.
观察集合A，B，C之间的关系 1. A={1, 2, 3, 4, 5}, B={1，2，3}, C={4，
5} 2. A={1，2，3, 4，5，6, 7}， B={1，2，3} C={4，5，6, 7}
观察集合A，B，C之间的关系 1. A={1, 2, 3, 4, 5}, B={1，2，3}, C={4，