共轭复数及复数模的性质
《复数的模与共轭复数》 讲义
《复数的模与共轭复数》讲义一、复数的基本概念在数学中，我们为了解决一些实际问题，引入了复数的概念。
复数通常可以表示为＄a ＋ bi$ 的形式，其中＄a$ 和＄b$ 都是实数，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$ 。
实数＄a$ 被称为复数的实部，记作＄Re(z)＄；实数＄b$ 被称为复数的虚部，记作＄Im(z)＄。
例如，＄3 ＋ 2i$ 就是一个复数，其中实部为＄3$，虚部为＄2$。
二、复数的模对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，它的模记作＄｜z|＄，定义为：＼｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼复数的模表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。
例如，对于复数＄z ＝ 2 ＋ 3i$，其模为：＼｜z| ＝＼sqrt{2^2 ＋ 3^2} ＝＼sqrt{13}＼复数模的性质：1、非负性：对于任意复数＄z$，有＄｜z| ＼geq 0$，当且仅当＄z ＝ 0$ 时，＄｜z| ＝ 0$。
2、三角不等式：对于任意两个复数＄z_1$ 和＄z_2$，有＄｜z_1 ＋ z_2| ＼leq ｜z_1| ＋｜z_2|＄。
3、乘法性质：若＄z_1 ＝ a_1 ＋ b_1i$，＄z_2 ＝ a_2 ＋ b_2i$，则＄｜z_1z_2| ＝｜z_1|｜z_2|＄。
三、共轭复数对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，其共轭复数记作＄＼overline{z}＄，定义为＄＼overline{z} ＝ a bi$。
也就是说，共轭复数的实部相同，虚部互为相反数。
例如，复数＄3 ＋ 2i$ 的共轭复数是＄3 2i$。
共轭复数的性质：1、＄z ＋＼overline{z} ＝ 2a$，即复数与其共轭复数的和为实部的两倍。
2、＄z ＼overline{z} ＝ 2bi$，即复数与其共轭复数的差为虚部的两倍乘以＄i$ 。
3、若＄z$ 是实数，则＄z ＝＼overline{z}＄；若＄z$ 是纯虚数，则＄z ＝＼overline{z}＄。
四、复数的模与共轭复数的关系1、对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，有＄｜z|＾2 ＝ z\overline{z}＄。
共轭复数性质
共轭复数性质复数是指由实数相加或相减而形成的一种数学形式，可以用一个二元组(a,b)来表示，其中a和b分别代表实部与虚部。
复数形式也可以表示为有理数的一种特殊形式，即a + bi (a,b∈Z)，其中i是虚数单位。
共轭复数就是指两个复数形式相反的复数。
它们的实部和虚部分别是相反数，即a + bi与a - bi。
例如，2 + 3i的共轭复数是2 - 3i。
在数学中，共轭复数拥有一些明显的性质，即原复数的共轭复数的模为(a + bi)的模的相反数，即|a + bi| = |a-bi|。
由此，可以看出共轭复数的模与原复数的模完全相同，但是原复数与共轭复数之间存在着一定的差别。
具体来说，在复平面中，共轭复数关于原点对称，也就是说共轭复数与原复数之间差90度。
同时，也可以发现，共轭复数和原复数之间的夹角也是相同的，尽管它们之间有90度的角度差。
另外，共轭复数也拥有另外一种重要的性质，即两个共轭复数相乘之后的结果的模为其中任何一个复数的模的平方。
例如，(2 + 3i)(2 - 3i) = 4 + 9 = 13，其中|2 + 3i| = |2 - 3i| = 3，所以，(2 + 3i)(2 - 3i) = 13 = 9 = |2 + 3i|^2。
这里可以看出，两个共轭复数相乘之后得到的模为其中任何一个复数模的平方，这也是共轭复数的一个重要性质。
此外，共轭复数还可以用来解决复数方程，例如，由复数z1 = a + bi和z2 = a - bi组成的复数方程可以这样解决：z1 * z2 = a^2+ b^2，这是使用共轭复数的一个典型的应用。
最后，共轭复数在复数的几何中也有着重要的作用，例如，它们可以用来表示复数的距离。
具体来说，在复平面中，共轭复数与原复数之间的距离可以用|a + bi| - |a - bi|来表示，这里a和b分别代表复数中实部和虚部。
这也是一种重要的应用。
总之，共轭复数在复数理论中具有重要的地位，它可以用来表示复数模和复数距离，并拥有某些显著的性质，例如两个共轭复数相乘，结果的模为其中任何一个复数的模的平方。
复数的考点知识点归纳总结
复数的考点知识点归纳总结复数的考点知识点归纳总结复数是基础数学中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
掌握复数的概念、性质和运算规则对于建立数学思维、解决实际问题具有重要意义。
本文将从复数的基本概念、运算法则和实际应用等方面进行归纳总结。
一、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
2. 复数的实部和虚部：复数a+bi中，a为实部，bi为虚部。
3. 复数的共轭复数：设复数z=a+bi，其共轭复数记为z*，则z*的实部与z相同，虚部的符号相反。
4. 复数的模：复数z=a+bi的模定义为|z|=√(a²+b²)。
5. 复数的辐角：复数z=a+bi的辐角定义为复数与正实轴正半轴的夹角，记作arg(z)。
6. 三角形式：复数z=a+bi可以写成三角形式r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为辐角。
二、复数的运算法则1. 复数的加法和减法：复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
2. 复数的乘法：复数的乘法运算使用分配律和虚数单位的性质，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数的除法：复数的除法运算需要将分子分母同时乘以共轭复数，即(a+bi)/(c+di)=[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)]。
4. 复数的乘方和开方：复数的乘方和开方运算需要使用三角函数的性质和欧拉公式，即z^n=r^n[cos(nθ)+isin(nθ)]，√z=±√r[cos(θ/2)+isin(θ/2)]。
三、复数的性质和应用1. 复数的性质：复数具有加法和乘法的封闭性、交换律、结合律、分配律等性质。
2. 复数平面：复数可以用平面上的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标，构成复数平面。
3. 复数与向量：复数可以看作是向量的延伸，复数的运算有时可以用向量的加法和旋转来理解。
高二数学复数的共轭与模的性质与应用的应用
高二数学复数的共轭与模的性质与应用的应用复数是数学中的一种扩展概念，由实部和虚部组成。
复数的共轭与模是复数的两个重要性质，在数学和实际应用中具有广泛的应用。
本文将介绍复数的共轭与模的性质，并探讨其在实际问题中的应用。
1. 共轭数的概念及性质共轭数是指在复平面中，保持实部不变而虚部相反的两个数。
设复数z=a+bi，其中a、b为实数，a为实部，b为虚部。
则z的共轭数为z* = a-bi。
共轭数的性质包括：(1) 任意复数的共轭数与其实部相等，虚部相反。
(2) 共轭数与原复数的和的共轭等于原复数与共轭数的和。
(3) 共轭数与原复数的积的共轭等于原复数与共轭数的积。
2. 复数的模的概念及性质复数的模是指复数到原点的距离，记作|z|。
对于复数z=a+bi，其模可以通过勾股定理计算，即|z|=√(a²+b²)。
复数的模有以下性质：(1) 当且仅当z=0时，|z|=0。
(2) |z|>0，当且仅当z≠0。
(3) 两个复数z1、z2的模的积等于复数z1z2的模的乘积，即|z1z2|=|z1|·|z2|。
(4) 复数z的共轭数的模等于z的模，即|z|=|z*|。
3. 共轭与模的性质在实际应用中的应用共轭与模的性质在实际应用中有广泛的应用，以下是其中几个应用的实例。
(1) 解析力学中的应用在解析力学中，复数可以表示位移和速度等物理量。
共轭数的概念可以用来描述共轭振动系统中的物理量变换规律。
模的概念可以表示振动的幅度。
通过运用共轭与模的性质，可以简化复杂的计算，得到更加简洁的物理模型。
(2) 信号处理中的应用在信号处理中，复数可以表示信号的频域特性，如幅度和相位。
共轭数的概念可以用来描述共轭对称的信号变换。
模的概念可以表示信号的能量。
共轭与模的性质可以提供一种便捷的计算方式，用于对信号进行处理和分析。
(3) 电路分析中的应用在电路分析中，复数可以表示交流电路中的电压和电流。
共轭数的概念可以用来描述相对于实轴对称的电路元件。
复数的模长与共轭复数
复数的模长与共轭复数前言在数学中，复数是由实数部分和虚数部分组成的数。
它们可用于描述包括电路、信号处理、量子力学等领域中的一些现象和问题。
复数包括实部和虚部，其中虚部以单位虚数单位i来表示。
复数表示形式复数可以用多种形式表示。
最常见的形式是直角坐标形式，也称为直角式。
在直角坐标形式中，一个复数z可写为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部。
还有一种表示形式是极坐标形式，也称为指数形式。
在极坐标形式中，一个复数z可写为$z = r(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)$，其中r为模长，$\\theta$为辐角。
复数的模长复数的模长是复数的绝对值，表示复数到原点的距离。
模长用|z|表示。
对于复数z=a+bi，它的模长可以使用以下公式计算：$|z| = \\sqrt{a^2 + b^2}$模长为正实数，表示复数与原点的距离。
举例来说，对于复数z=3+4i，它的模长可以计算如下：$|3 + 4i| = \\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{9 + 16} = \\sqrt{25} = 5$因此，复数3+4i的模长为5。
复数的模长具有以下性质：1.若一个复数的模长为0，则该复数为零复数。
2.若两个复数的模长相等，则它们可能相等，也可能互为共轭复数。
3.若两个复数的模长不等，则它们一定不相等。
共轭复数共轭复数是指虚部符号相反的两个复数。
对于复数z=a+bi，它的共轭复数记作$\\overline{z}$，满足$\\overline{z} = a - bi$。
共轭复数的性质如下：1.一个复数和它的共轭复数相加，虚部相互抵消，结果为实数。
2.一个复数和它的共轭复数相乘，实部相乘后加上虚部相乘后的相反数，结果为实数。
举例来说，对于复数z=3+4i，它的共轭复数为$\\overline{z} = 3 - 4i$。
将z 与$\\overline{z}$相加和相乘的结果如下：$z + \\overline{z} = (3 + 4i) + (3 - 4i) = 6$$z \\cdot \\overline{z} = (3 + 4i) \\cdot (3 - 4i) = 9 + 12i - 12i - 16i^2 = 9 + 16 = 25$由此可见，z与$\\overline{z}$相加的结果为实数6，z与$\\overline{z}$相乘的结果为实数25。
matlab共轭复数
matlab共轭复数一、背景MATLAB是一款强大的数学软件，其中包含了大量的数学工具箱，涵盖了从基础数学运算到高级算法的各种功能模块。
在实际的科学、工程和技术应用中，MATLAB的使用越来越广泛。
在MATLAB中，有一个非常重要的概念——共轭复数。
共轭复数在信号处理、数字电路分析等领域中是常见的概念，尤其在数字信号处理中，经常会用到共轭复数。
二、什么是共轭复数共轭复数指的是一个复数的虚部取相反数所得到的复数，如果一个复数为z=a+bi，则它的共轭复数为z*=a-bi。
其中，a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
实部与虚部都是实数，虚部的负数称为它的共轭虚部，实部与共轭虚部组成的数称为共轭复数。
例如，对于复数z=2+3i，可以通过计算其共轭，得到它的共轭复数为z*=2-3i。
在MATLAB中，可以使用conj()函数来求解一个复数的共轭复数，例如：z=2+3i; z_star=conj(z);其中，conj()函数即为求解共轭复数的函数，它将返回z的共轭复数z_star。
三、共轭复数的性质共轭复数有以下几个性质：1. 两个复数的和的共轭复数等于这两个复数的共轭复数的和，即(z1+z2)*=z1*+z2*2. 两个复数的差的共轭复数等于这两个复数的共轭复数的差，即(z1-z2)*=z1*-z2*3. 两个复数的积的共轭复数等于这两个复数的共轭复数的积，即(z1z2)*=z1*z2*4. 一个复数的模平方等于它本身和它的共轭复数的乘积，即|z|^2=z*z*这些性质在实际的计算过程中非常有用，可以方便地求解各种复杂的数学问题，在后续的计算中，可以充分利用这些性质，简化计算步骤，提高计算效率。
四、共轭复数的应用共轭复数在信号处理、数字电路分析、光学等领域中都有着重要的应用。
在数字信号处理中，共轭复数广泛应用于谱分析、功率谱密度估计等领域。
在MATLAB中，共轭复数也有着广泛的应用，在信号处理中，可以通过求解复数的共轭复数，方便地进行复数信号的加减、乘除等操作。
共轭复数知识点
共轭复数知识点1. 什么是共轭复数在数学领域中，共轭复数是指由实部相同、虚部相反的两个复数构成的一对数。
如果一个复数是a+bi，那么它的共轭复数是a-bi。
其中，a是实部，b是虚部。
两个共轭复数的和的实部相同，虚部相反，而它们的积的实部和虚部也分别相同，只是符号相反。
共轭复数可以通过改变虚部符号来得到，而不改变实部。
它们在复数运算、方程求解、向量表示等方面都具有重要的作用。
2. 共轭复数的性质共轭复数具有以下性质：•共轭复数的实部相同，虚部的符号相反。
•两个共轭复数的和的实部相同，虚部相反。
•两个共轭复数的积的实部和虚部分别相同，只是符号相反。
•一个复数与它的共轭复数的积是一个实数，即复数的模的平方。
3. 共轭复数的表示方法共轭复数可以通过改变虚部符号来得到。
在数学中，通常使用上划线来表示一个数的共轭复数，即将a+bi表示为a-bi。
例如，对于复数3+4i，它的共轭复数可以表示为3-4i。
而对于复数5-2i，它的共轭复数可以表示为5+2i。
4. 共轭复数的运算在进行共轭复数的运算中，可以使用以下公式：•复数的和：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i•复数的差：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i•复数的乘积：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i•复数的商：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c2+d2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i其中，a、b、c、d为实数。
5. 共轭复数的应用共轭复数在数学和工程领域中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：5.1. 复数方程求解对于一些复数方程，可以通过共轭复数的性质解决。
当一个复数方程的根是实数时，它的共轭复数也是一个解。
5.2. 信号处理在信号处理中，共轭复数在频谱分析、滤波器设计等方面有重要的应用。
例如，通过共轭复数可以得到信号的频谱零点。
26-复数的模与共轭复数
若线段AB上的点对应复数为z a bi(a、b R).
①求a、b间的关系及各自的取值范围.
②求复数2z2 1 i的对应点的轨迹.
10. 已知集合A {z ||z 2| 2，zC}，
B {z|
z
z1i 2
b，z1 A，b R}.①b
0时，求出B
并指出图形. ②当A B 时，求实数b的范围.
z1
z2；z1
z2
z1
z2；
z1 z2
z1 z2
；z n
z
n
▲几个结论：
z a bi(a、b R)为实数 b 0 z z z2≥0
z a bi(a、b R)为纯虚数
b a
0 0
z z
z 0
0
z
2
0
二、基本题型与解答方法——快速、准确、熟练 1.求复数的模及其应用一：
1. 判断下列命题的正误，并说明理由： (1)对于复数z，|z|=2, 则z= 2； (2)对于复数z，|z| 2, 则 2 z 2； (3)对于z1、z2 C , 若|z1|| z2|,则z1 =z2； (4)对于复数z，若|z|=0, 则z=0； (5) 3i 2i； (6)|4 3i|| 3 4i|； (7) 3 | 3 4i|； (8) 4 3，4 2i 3 2i.
6.
已知复数z满足 |
z
3||
z
3i |，且z
1
z
5
1
R，
求复数z.
7. 非零复数z1、z2满足|z1 z2| | z1 z2 |， 求证：( z1 )2是负数. z2
8. 设虚数z满足|2z 15| 3 | z 10|，①求证：|z|为 定值；②是否存在实数a使 z a为实数. az
复数的共轭与模长运算
复数的共轭与模长运算复数是由实数和虚数部分构成的数学概念，常用于物理学、工程学等领域。
在复数运算中，共轭和模长计算是两个常见而重要的操作。
本文将介绍复数的共轭和模长的定义、性质以及计算方法。
一、复数的共轭1. 定义对于一个复数z = a + bi，其中a为实部，b为虚部，共轭复数z*定义为z的实部保持不变，虚部取相反数，即z* = a - bi。
共轭复数可以简单地理解为将复数的虚部取负。
2. 性质（1）共轭的共轭：对于任意复数z，其共轭的共轭等于自身，即(z*)* = z。
（2）实数的共轭：对于实数a，其共轭等于本身，即(a*) = a。
（3）共轭的和与差：对于任意两个复数z1和z2，有(z1 + z2)* = z1* + z2*，(z1 - z2)* = z1* - z2*。
（4）共轭的积与商：对于任意两个复数z1和z2，有(z1 * z2)* = z1* * z2*，(z1 / z2)* = z1* / z2*。
二、复数的模长1. 定义对于一个复数z = a + bi，其模长定义为z到原点的距离，用|z|表示，计算公式为|z| = √(a^2 + b^2)。
模长可以简单地理解为复数所表示的向量的长度。
2. 性质（1）非负性：复数的模长非负，即|z| ≥ 0。
（2）零模长：当且仅当复数为零时，其模长为零，即|z| = 0 当且仅当z = 0。
（3）模长的共轭：对于任意复数z，其模长的共轭等于模长本身，即(|z|)* = |z|。
（4）模长的积与商：对于任意两个复数z1和z2，有|z1 * z2| = |z1|* |z2|，|z1 / z2| = |z1| / |z2|。
三、复数的共轭与模长的应用1. 共轭的应用（1）复数求和：对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i的求和，可以将两个复数的实部和虚部相加，即(z1 + z2) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i。
复数的性质与运算的学习与应用
航空航天工程中的应用
飞机设计：利用复 数计算飞机机翼的
空气动力学特性
导航系统：利用复 数进行信号处理和 数据处理，实现精
确导航
卫星轨道：通过复 数计算卫星轨道的 稳定性与变化规律
火箭发射：利用复 数分析火箭推进系 统的燃烧效率和稳
定性
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土木工程和机械工程中的应用
土木工程中，复数可用 于分析结构振动、稳定 性等问题，以及优化设
复数还可以用于计算药物分子的吸 收和分布，从而为药物设计和开发 提供依据。
在生物医学成像技术中，复数可以 用来描述信号的相位信息和振幅信 息，从而提高成像的分辨率和准确 性。
在社会学和心理学中的应用
复数在社会学中可用于描述和分析复杂的社会现象和关系，例如人口统计学、社会网络分析等。 在心理学中，复数可以用来研究人类认知和行为，例如通过复数分析人类情绪、记忆和思维模式等。 复数在经济学中可用于描述和分析金融市场和经济发展，例如股票价格、经济增长趋势等。 在物理学中，复数可以用来描述波动和振动现象，例如声波、电磁波等。
计。
机械工程中，复数可以 用于控制系统的分析和 设计，例如电气系统和
液压系统。
复数在信号处理和通信 工程中也有广泛应用， 例如频谱分析和调制解
调。
在电力工程中，复数 用于计算交流电的各 种参数和性能指标。
计算机科学和软件工程中的应用
复数在信号处理中的应用，如 滤波、频谱分析等
复数在电气工程中的应用，如 电路分析、控制系统等
共轭复数和复数的模
共轭复数的定义：一个复数和它的共轭复数有一个实部和一个虚部，虚部符号相反。 共轭复数的性质：两个共轭复数的和是实数，它们的乘积是正数。 复数的模的定义：一个复数到原点的距离，表示为|z|。 复数的模的性质：任何复数的模都大于等于0，等于0的只有0本身。
共轭复数及复数模的性质
11
9
例6 :已知复数z1，z2 . (1)求证：z1 z 2和z1 z2互为共轭复数。 （2）记R=z1 z 2 +z1 z2，S=z1 z1 +z2 z2，问R与S能否比较大小？ 若能，请比较R与S的大小；若不能，请比较 R 与 S 的大小。
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小 结
灵活运用共轭复数的性质及复数模的 运算性质 注意解决复数问题的常用方法：复数 问题实数化
z1 z1 (8) ( ) z2 z2
3
例1: 求证：一个复数z a bi(a, b R)是实数z 1的充要条件是：z+ 是实数。 z
5
二、复数模的运算性质
z1 z 2 z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
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复数的四则运算
——共轭复数的性质及 复数模的运算性质
1
一、共轭复数
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做 互为共轭复数. 复数 z=a+bi (a,b∈R )的共轭复数记作
z
即 z a bi
2
共轭复数的性质
复数z=a+bi (a,b∈R ), 其共轭复数为z a bi
(1) | z || z |
(2) z z 2a R
(3) z z 2bi 零实数或纯虚数 2 (4) z z z
(5) z1 z2 z1 z2 (6) z1 z2 z1 z2 (7) z1 z2 z1 z2
z1 z1 z2 z2
推广： z z （n N ）
复数的共轭与模的性质
复数的共轭与模的性质复数是数学中一个重要的概念，它在代数学、几何学以及物理学等领域中都得到广泛应用。
在讨论复数的性质时，不可避免地会涉及到复数的共轭与模的概念。
本文将详细介绍复数的共轭与模的性质，以及它们在计算中的应用。
一、复数的定义复数是由实数和虚数构成的数字。
一个复数可以表示为a + bi的形式，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，它满足i² = -1。
二、共轭复数共轭复数是指一个复数的虚部取相反数而得到的复数。
设z = a + bi是一个复数，则它的共轭复数记作z* = a - bi。
实部不变，虚部加一个负号。
共轭复数可以用几何意义来理解，在复平面上表示为z与z*关于实轴对称。
三、复数的模复数的模表示的是复数到原点的距离。
对于一个复数z = a + bi来说，它的模记作|z|，可以用勾股定理求得：|z| = √(a² + b²)。
复数的模是一个实数。
四、共轭与模的性质1. 共轭与求和、求差的关系：对于两个复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i来说，它们的共轭和的公式为：(z₁ + z₂)* = z₁* + z₂*；它们的共轭差的公式为：(z₁ - z₂)* = z₁* - z₂*。
2. 共轭与乘积、除法的关系：对于两个复数z₁ = a₁ + b₁i和z₂ = a₂ + b₂i来说，它们的共轭积的公式为：(z₁z₂)* = z₁*z₂*；它们的共轭商的公式为：(z₁/z₂)* = z₁*/z₂*，其中z₂ ≠ 0。
3. 共轭与幂运算的关系：对于一个复数z = a + bi和一个正整数n来说，它们的共轭幂的公式为：(zⁿ)* = z*ⁿ。
4. 模的性质：a) 若z是一个非零复数，则|z| > 0；b) 若z是一个非零实数，则|z| = |z*| = |z|；c) 对于任意复数z₁、z₂，有|z₁z₂| = |z₁||z₂|；d) 对于任意复数z，有|z*| = |z|；e) 对于任意复数z₁、z₂，有|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|，其中z₂ ≠ 0。
z的共轭复数和模的关系
z的共轭复数和模的关系1. 引言在复数理论中，共轭复数是一种重要的概念，它与模有着密切的关系。
本文将详细介绍z的共轭复数和模之间的关系，包括定义、性质、计算方法以及应用等方面的内容。
2. 复数和共轭复数的定义在复数理论中，复数是由实数和虚数结合起来构成的数。
一般的复数可以写作z=a+bi，其中a和b分别是实部和虚部。
共轭复数则与原复数的实部相同，而虚部的符号相反，即z的共轭复数记为z，其中z=a-bi。
3. 共轭复数的性质性质1：共轭复数的定义共轭复数的定义如上所述，是原复数的实部不变，虚部的符号相反。
性质2：复数和共轭复数的和与差设z1=a1+ib1和z2=a2+ib2是两个复数，则其和与差的共轭复数分别为：•z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i，(z1+z2)*=(a1+a2)-(b1+b2)i•z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i，(z1-z2)*=(a1-a2)-(b1-b2)i性质3：两个共轭复数的乘积与商设z1=a1+ib1和z2=a2+ib2是两个复数，则它们的乘积与商的共轭复数分别为：•z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i，(z1z2)*=(a1a2-b1b2)-(a1b2+a2b1)i •z1/z2=(a1a2+b1b2)/(a22+b22)+(a2b1-a1b2)/(a22+b22)i，(z1/z2)*=(a1a2+b1b2)/(a22+b22)-(a2b1-a1b2)/(a22+b22)i性质4：共轭复数的模对于复数z=a+ib，其模的平方等于z乘以其共轭复数的结果：•|z|2=z z=a2+b^24. 复数模的计算方法复数的模是一个复数的长度或大小，表示为|z|。
计算复数模的方法如下：对于复数z=a+ib，其模可以通过直角三角形的边长计算得到。
实部a对应于三角形的邻边，虚部b对应于三角形的对边。
根据勾股定理，可以得到模的计算公式：|z| = sqrt(a2+b2)5. 复数模的应用复数模在许多领域中都有广泛的应用，下面列举几个应用案例。
共轭复数的公式和定理
共轭复数的公式和定理共轭复数是复数中虚部相等实部相反的两个复数，即如果一个复数是a+bi，那么它的共轭复数是a-bi。
共轭复数的概念在复数运算和复数方程的解中有着重要的应用。
下面将从公式和定理两个方面，详细介绍共轭复数的相关内容。
一、共轭复数的公式共轭复数的求解可以通过改变虚部的符号来实现。
假设一个复数z=a+bi，其中a和b分别是实部和虚部，那么它的共轭复数z*可以通过以下公式计算得出：z* = a - bi这个公式表示，共轭复数的实部与原复数相同，而虚部的符号相反。
二、共轭复数的性质和定理1. 共轭复数的和与差设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i是两个复数，那么它们的共轭复数分别为z1*=a1-b1i，z2*=a2-b2i。
根据共轭复数的定义，可以得出以下性质：（1）两个复数的和的共轭等于它们的共轭的和，即(z1+z2)*=z1*+z2*（2）两个复数的差的共轭等于它们的共轭的差，即(z1-z2)*=z1*-z2*2. 共轭复数的乘积和商设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i是两个复数，那么它们的共轭复数分别为z1*=a1-b1i，z2*=a2-b2i。
根据共轭复数的定义，可以得出以下性质：（1）两个复数的乘积的共轭等于它们的共轭的乘积，即(z1*z2)*=z1* * z2*（2）两个复数的商的共轭等于它们的共轭的商，即(z1/z2)*=z1*/z2*特别地，当复数z=a+bi与自身的共轭复数z*=a-bi相乘时，可以得到以下结论：z*z* = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2这个结果说明，一个复数与它的共轭复数的乘积等于它的实部的平方与虚部的平方之和。
三、共轭复数的应用共轭复数的应用广泛，特别是在复数运算和复数方程的解中。
以下是共轭复数的一些应用场景：1. 复数的运算：在复数的加减乘除中，常常需要用到共轭复数。
通过对复数取共轭，可以方便地进行复数的加减运算。
2. 复数方程的解：在解复数方程时，通常需要求解方程中的共轭复数。
复数的共轭与模
复数的共轭与模复数是数学中一种重要的数概念，在很多领域都有广泛的应用。
在复数的运算中，其中一个基本的概念就是共轭与模。
本文将详细讨论复数的共轭与模的概念、性质及其在实际问题中的应用。
一、共轭复数的概念与性质共轭复数指的是保留实部不变，虚部取相反数的复数。
设复数z=a+bi，其中a和b分别表示实部和虚部，其共轭复数记作z=a-bi。
共轭复数具有以下性质：1. 共轭复数的和等于实部的两倍，即z+z=2a。
2. 共轭复数的差等于实部的差的相反数，即z-z=2bi。
3. 共轭复数的乘积等于实部的平方加上虚部的平方，即z z=a^2+b^2。
4. 共轭复数的模等于原复数的模，即|z|=|z|。
二、复数的模的概念与性质复数的模指的是复平面上从原点到复数所对应点的距离，也就是复数与原点的距离。
设复数z=a+bi，其模记作|z|。
复数的模具有以下性质：1. 复数的模非负，即|z|≥0。
2. 若复数的模为0，则该复数必为零向量，即z=0。
3. 复数与其共轭复数的模相等，即|z|=|z|。
4. 复数的模与其共轭复数的乘积等于实部的平方加上虚部的平方，即|z|·|z|=a^2+b^2。
5. 两个复数的模的积等于它们的乘积的模，即|zw|=|z|·|w|。
三、共轭复数与模的应用共轭复数与模在实际问题中有许多应用，以下举例说明：1. 电路中的复数阻抗在交流电路中，电阻、电感和电容都具有复数阻抗。
当电阻元件为纯阻抗时，其共轭复数即为自身；而对于电感和电容元件，其共轭复数与原复数的模相等，可以用于描述它们的电流相位差等特性。
2. 振动的幅度与相位振动现象在物理学、工程学和天文学等领域中广泛存在。
对于复数形式的振幅，其共轭复数可用于描述振动的相位，而振幅的模表示振动的幅度。
3. 信号处理中的频谱分析在信号处理领域中，频谱分析是一种重要的技术手段。
通过对信号进行傅里叶变换，可以得到信号的频谱图。
其中，共轭复数用于描述信号的相位信息，而模则表示信号的振幅。
第14讲复数(1)-解析与答案
第14讲 复数（一）模块1 复数的概念1．复数的表示形式（1）代数形式：z a bi ，其中,a b R .这里，a 称为复数z 的实部，用 Re z 表示；b 称为复数z 的虚部，用 Im z 表示. 当0b 时，z 就是实数；当0b 时，称z 为虚数；当0b 且0a 时，复数z 称为纯虚数. （2）几何形式：复数z a bi ,a b R 与复平面内的点 ,Z a b 或由原点发出的向量OZ 一一对应. （3）三角形式： cos sin z r i ，其中0,r R .这里，r 称为复数z 的模，用z 表示； 称为复数z 的幅角，而当02 时，称为复数z 的幅角主值，用 arg z 表示，不难发现tan b r a .（4）指数形式：i z re ，其中0,r R . 这里，cos sin i e i 也就是著名的欧拉公式.（5）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，就称其互为共轭复数. 一般用z 来表示z 的共轭复数，当z a bi 时，z a bi ；共轭复数在复平面内关于x 轴对称；当 cos sin z r i 时， cos sin z r i ，也就是说共轭复数的模相等而幅角互为相反数； 当i z re 时，i z re .2．复数与一元二次方程（1）对所有的实系数一元二次方程20ax bx c (0)a ， 若240b ac ，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根242b ac b x a 互为共轭复数，故实系数方程的虚根成对出现．3．复数的运算法则：（1）加减法： a bi c di a c b d i ； （2）乘法： a bi c di ca bd ad bc i ，111222121212cos sin cos sin cos sin r i r i r r i ，（3）除法：2222a bi ac bd bc adi c di c d c d，111112122222cos sin cos sin cos sin r i r i r i r（4）棣莫弗定理（乘方）：cos sin cos sin nn r i r n i n复数的运算满足：交换律，结合律，分配律.（5）若 cos sin nk w r i，则22cos sin k k k w i n n， 其中0,1,2,,1k n .4．复数的性质： 共轭复数的性质： （1）1212z z z z ；（2）11121222,z zz z z z z z ， n n z z ；（3）1Re 2z z z，1Im 2z z z ； （4）z 是实数的充要条件是z z ，z 是纯虚数的充要条件是z z 且0z ； （5）z z ； （6）22z z z z .5．复数的模的性质：（1）max Re ,Im Re Im z z z z z ； （2）1212m n z z z z z z ；（3）112220z z z z z ； （4）121212z z z z z z .【经典例题】【例1】 （1）若复数z 满足 325z i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为________. （2）复数21iz i（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于第________象限. （3）复数11z i的模为________. （4）复数,z w 满足3z ，74z w z w i ，则 2z w z w ________. 【教师建议】复数计算，共轭，模 【解析与答案】（1）5i ；（2）四；（3； （4）2274i z w z w z w zw zw ， 由于22,,Re 0z w R zw zw ，则227,4z w zw zw i ，而3z ，故22w ，故222242z w z w z w zw zw18i ，故2218z w z w i【例2】 若z C ，且286z i ，求3210016z z z. （2）二次函数 210ax x a R 的两根的模都小于2，求实数a 的取值范围.（3）设R ，若二次方程 2110i x i x i 有两个虚根，求实数 的取值范围.【教师建议】1.复数开方方法；2.实（复）系数二次函数的解.【例3】 （1）31 ________.（2）已知1,mnii m n N ，则mn 的最小值是________.（3）计算102282000i【教师建议】三角形式计算 【解析与答案】（1）-8；（2）72（3）256i .【例4】 设x是模为1的复数，则函数 2211f x xx的最小值为________.（2）设,p q是复数 0q ，若关于x的方程220x px q的两根的模相等，证明：pq是实数. 【教师建议】复函数最值（利用三角形式，三角函数最值）【解析与答案】（1）设ix e，则 22221112cos211i if x x e ex.（2）21212,z z p z z q，2221221222122122iii iz z z zpe e e eq z z z z为非负实数，因此pq是实数.【例5】 已知复数z满足1z ，则1z iz的最小值为________.（2）设复数z满足1z 且152zz，则z ________.（3）（2002联赛）已知复数12,z z满足122,3z z.若它们所对应向量的夹角为060，则1212z zz z________.【解析与答案】（1）1112iz iz i z1.（2）2151122z z z z zz（3）几何意义，余弦定理【例6】 已知复数z 的模大于1，155cos sin 22iz z，则z ________.（2）已知复数12,z z 满足121232,3,322z z z z i ，试求12z z 的值. 【解析与答案】 （1）25551cos sin 12222i zz z z z z，代入得 2cos sin z i （2） 1212216323072131323z z z z i z z【例7】 求证：当1a 或1b ，当a b 时，有11a bab. 【解析与答案】【例8】 若1231z z z ，求223123111z z z z z z 的值【解析与答案】【例9】 若12,,,0z z A C A ，且12120z z Az Az . 求证：12()()z A R z A .【解析与答案】【例10】 （全国高考题）设z C ，解方程313zz iz i . 【解析与答案】模块2 复数的几何意义1．复数及其预算的几何意义复数 ,z x yi x y R 与复平面内的点 ,Z x y 及向量OZ （O 是坐标原点）之间构成一一对应关系，这就使得复数本身以及运算中有着深刻的几何意义. （1）复数加减法的几何意义复数的加法可以按照向量的加法法则来进行. 两个复数的差12z z 与连接两向量终点并指向被减数的向量对应.（2）复数乘除法的几何意义记 11112222cos sin ,cos sin z r i z r i ，两个复数的积12z z 对应的向量就是把向量OZ 按逆时针方向旋转一个角 （若0 ，则应将OZ 按顺时针方向旋转一个角 ），再将它的模变为原来的2r 倍. 复数的除法也有类似的几何意义.2．复平面解析几何（1）复平面上两点间的距离公式复数12,z z 在复平面上对应的点为12,,Z Z d 表示两点12,Z Z 之间的距离，则有12d z z . （2）复平面上的曲线方程如果复数z 对应着复平面上一点 ,Z x y 就可得出一些常用曲线的复数形式的方程： ①方程0z z r 表示以0Z 为圆心，r 为半径的圆； ②方程12z z z z 表示线段12Z Z 的垂直平分线；③方程122z z z z a 表示以12,Z Z 为焦点，a 为长半轴的椭圆； ④方程122z z z z a 表示以12,Z Z 为焦点，实轴长为2a 的双曲线.复数的几何意义构建了代数与几何之间的相互联系，当中的要害之处在于怎样选取恰当坐标系，进而建立几何元素的复数表示，以借助复数的运算来探究平面几何问题的解决方案.【经典例题】【例11】 （1）（2009复旦）复平面上点012z i 关于直线:22l z i z 的对称点的复数表示是________. （2）设复数z 满足1z ，则2221z z z i的最大值为________.【教师建议】复数几何意义 【解析与答案】（1）i ；（21 .（2）22211z z z i z i表示单位圆上与 1,1距离最大值，为1【例12】 任给8个非零实数128,,,a a a ，证明：下面6个数132415261728354637485768,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 中，至少有一个数是非负的.【解析与答案】令212,1,2,3,4i i i z a a i ， 212,i i i z a a【例13】 （全国高中数学联赛题）给定实数,,a b c 已知复数123,,z z z 满足1233122311.1.z z z z z z zz z求123az bz cz 的值. 【解析与答案】【例14】 设复数cos sin (0180)z i ，复数,(1),2z i z z 在复平面上对应的三个点分别是,,P Q R .当,,P Q R 不共线时，以线段,PQ PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S ，点S 到原点距离的最大值是________. 【解析与答案】模块3 多项式与单位根1．多项式的根一般地，以x 为未知数的一元n 次多项式 f x 可以写成：1110n n n n f x a x a x a x a这里n 为确定的自然数 0n a ，称为 f x 的次数，记作 deg f x .2．多项式相等：两个多项式如果次数相同且同次项系数相等，则此两多项式相等. 竞赛中出现的多项式多为整系数的，称为整系数多项式.如果 1110n n n n f x a x a x a x a 是复系数一元n 次多项式，那么它对应的方程 0f x 就称为复系数一元n 次方程，它的根也称为多项式 f x 的根.类似地，如果 f x 是实系数（或有理系数，整系数等）多项式，则称对应方程为实系数（或有理系数，整系数等）一元n 次方程.3．代数基本定理一元n 次多项式在复数中至少有一个根.根的个数定理：一元n 次多项式有且仅有n 个根（k 重根算作k 个根）推论：若有1n 个不同的x 值使得n 次多项式 f x 与 g x 值相等，那么 f x g x .4．实系数多项式虚根成对定理：若实系数多项式 f x 有一个虚根a bi ，那么a bi 也是它的根，且两根有共同的重数k . 推论1：任何奇次实系数多项式至少有一个实根.推论2：任何次数大于0的实系数多项式均可在实数范围内分解成若干个一次因式与具有共轭虚根的二次因式之积.5．韦达定理的一般形式为：如果一元n 次多项式 1110n n n n f x a x a x a x a 的根是12,,,n x x x ，那么112n n nax x x a ，212131n n n na x x x x x x a， 312312421n n n n na x x x x x x x x x a，12n x x x .6．单位根对于方程10n x （n 是自然数且2n ），由复数开方法则，就得到它的n 个根.利用复数乘方公式，有12222cos sin cos sin kk k k k i i n n n n. 这说明：这n 个n 次单位根可以表示为211111,,,,n ，它们在复平面内对应的点构成一个内接于单位圆的正n 边形.关于n 次单位根，有如下一些性质： （1） 111k k n ；（2） 1,1i j i j i j n ； （3）2111110n ；（4） 设m 是整数，则1211m m mn,当 是 的倍数时；0,当 不是 的倍数时.（5） 1101n n k k k k x x ，特别的，当1x 时， -111n k k n .【经典例题】【例15】 （1）证明：sin x 不是多项式； （2）. 【解析与答案】【例16】 若多项式 3248f x x x x a 有模等于2的虚根，试确定实数a 并解出所有的根.【例17】 若多项式 43262f x x x ax bx 有4个实根，证明：这些根中必有一个小于1【例18】 设,,0,,,a b R b 是三次方程30x ax b 的3个根，求以111111,,为根的三次方程. 【解析与答案】【例19】 （1）设1002200012001x x a a x a x ，求03198a a a 的值.（2）033333nn n nC C C ________. （3）计算：024698100100100100100100100C C C C C C 【解析与答案】（1）令21,,x w w ，其中31w 且1w ，解得99031983a a a（2）21211,3nn n w w 其中22cos sin 33w i . （3）100024*********1001001001001001001001001i C C C C i C C C C利用三角形式可得024********50100100100100100100100C C C C C C 2cos24【说明】类似可求0k kn knkn kn C C C【例20】 若cos 40sin 40i ，则12392π239sin 99等于________. 【解析与答案】设222239s ，其中29i e．23410239s ．2391019s ． 1 ∵，210191s∴．注意到92921091,i i e e，19s ∴．故11111999s s ，．由于1与 是单位圆内接正九边形的相邻顶点，所以1 是单位圆内接正九边形的边长．即π12sin 9，也即12πsin 0999．【例21】 （99联赛）给定实数a b c ，，，已知复数1z ，2z ，3z 满足： 12331223111z z z z z z zz z，求123az bz cz 的值. 利用单位根形式证明1z ，2z ，3z 必有两个相等. 【解析与答案】由题设，有i i i()1e e e ．两边取虚部，有 0sin sin sin 2sincos2sincos22222sincos cos2224sin sin sin 222故2πk 或2πk 或2πk ，k Z ．因而，12z z 或23z z 或31z z ． 如果12z z ，代入原式即 313111z z z z ．故23110z z，31i z z ． 这时，1231i az bz cz z a b c．类似地，如果23z z，则123az bz cz ；如果31z z ，则123az bz cz ．所以，123az bz cz22a b c22b c a22c a b【例22】 是否存在一个凸1990边形，同时具有下列的性质(1)与(2)： （1）所有内角均相等；（2）1990条边的长度是1,2,…,1989,1990的一个排列。
复数的运算和复数的模
一．复数的模
复平面上复数表示的点到原点 的距离。而实数的绝对值是数
y
Z(a,b)
轴上的点到原点的距离，所以
复数的模是实数绝对值概念的 o
x
扩充。|z|=|OZ|=|OZ |
对复数的模有:|z|=|a+bi|= a2 b2 ≥0;
= | z a | =1.
| z || a z |
评析：运用复数模的性质计算，能简捷.
(2)中由已知条件|z|=1,巧妙用了z· z
代换1。
例题
例5.已知Z是复数, z 1 1 , z
求证: 1 5 | z | 1 5
2
2
例题
例5.已知Z是复数, z 1
z
1,求证: 1
2
5 | z | 1 5 2
=2(z1 z1 +z2 z2 )=2(|z1|2+|z2|2)
（2）∵|zk|=r，∴
1 zk
zk r2
∴原式=
| z1 z2 1
zn |
r 2 | z1 z2 zn |
= r2
z1 z2 z1 z2
zn zn =r2.
例10.若Z为虚数,且|Z|=1,求证:z 1
是纯虚数.
z 1
例11:已知|Z|=1,求|Z2-Z+1|的最大值和最 小值.
例12.已知a,b∈R,且|a|≠|b|, |Z|=1
u a bz b az
,求证:|u|=1
例13.设z为虚数,求 z2 4 为实数的充要条件 z
解：若z2 4 为实数，则z2 4 ( z2 4)
共轭复数定义
共轭复数定义
共轭复数定义：
1、什么是共轭复数？
共轭复数是一种特殊的复数形式，由实部和虚部构成，必须具有以下3个特征：
2、共轭复数的表示法
一般来说，共轭复数由虚部带有i (虚部与实部用加号相连)来表示，就可以看
出它是一个复数了。
如：a+ bi，其中a为实部，b为虚部。
3、共轭复数的基本性质
①对于共轭复数，它的实部和虚部是对称的，即a+ bi与a- bi共轭，它们只有
实部的符号与虚部的符号不同；
②共轭复数的模的平方是它的实部和虚部的乘积，即|a+ bi|^2=a²+ b²；
③共轭复数的实部或虚部等于零时，它们分别代表了实数与虚数；
④加法的共轭复数是原数的共轭复数；
⑤乘法的共轭复数是已知复数的共轭复数的乘积。
4、共轭复数运算
①加法
对于a+ bi和c+ di，它们的和就是a+ c+ (b+ d)i。
②减法
对于a+ bi和c+ di，其差就是a- c+ (b- d)i。
③乘法
对于a+ bi和c+ di，其积就是(ac- bd)+ (ad+ bc)i。
④除法
对于a+ bi和c+ di，其商就是：[(ac+ bd)+(bc- ad)i]/ (c²+ d²)。
5、共轭复数的应用
共轭复数可以用来求解解析函数，如果函数的定义域上存在非实数的解，那么通过求解它的共轭复数，就可以得到该函数的实数解。
另外，它还可以应用于数论和复分式的分析，以及线性代数中的投影等。
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小结
灵活运用共轭复数的性质及复数模的 运算性质 注意解决复数问题的常用方Fra bibliotek：复数 问题实数化
11
z
5
二、复数模的运算性质 z1 z2 z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2 推广：zn z （ n n N*） z1 z1 z2 z2
6
例3
求复数z
（3 4i）2
3 2
1 2
i
2
(
3
的模。 2i)4
7
例4 : 若z为复数，且 2 z 1 2，求 z 。 z
(5)z1 z2 z1 z2 (7)z1 z2 z1 z2
(6)z1 z2 z1 z2
(8) z1 ( z1 )
z2 z2
3
例1: 求证：一个复数z a bi(a, b R)是实数的 充要条件：z z
4
例2 求证：虚数z满足 z 1的充要条件是：z+ 1 是实数。
复数的四则运算
——共轭复数的性质及 复数模的运算性质
1
一、共轭复数
定义:实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫做 互为共轭复数.
复数 z=a+bi (a,b∈R )的共轭复数记作 z
即 z a bi
2
共轭复数的性质
复数z=a+bi (a,b∈R ), 其共轭复数为z a bi
(1) | z || z | (2)z z 2a R (3)z z 2bi 零实数或纯虚数 (4)z z z 2
8
例5
若复数z1 z2，z1 =
2，求 z1 z2 的值。 2 z1z2
9
例6 :已知复数z1，z2. (1)求证：z1 z2和z1 z2互为共轭复数。 （2）记R=z1 z2 +z1 z2，S=z1 z1+z2 z2，问R与S能否比较大小？ 若能，请比较R与S的大小；若不能，请比较 R 与 S 的大小。