空间曲线的切线与弧长
双曲函数的应用实例
![双曲函数的应用实例](https://img.taocdn.com/s3/m/0f719860182e453610661ed9ad51f01dc28157c9.png)
双曲函数的应用实例双曲函数是一类熟知的函数,它由双曲正弦函数与双曲余弦函数构成,通常表示为sinh(x)与cosh(x)。
在数学中,双曲函数的应用非常广泛,尤其是在物理、工程和金融等领域中,它有着重要的作用。
下面将分别介绍几个双曲函数的应用实例。
一、弧长与曲线长度在平面直角坐标系中,曲线的弧长和曲线长度是非常重要的概念,可以通过双曲函数来计算。
具体来说,我们设曲线的方程为y=f(x),其中,x的取值范围为[a,b],则曲线的弧长可以表示为:L = ∫[a,b] √(1+f'(x)^2) dx其中,f'(x)是曲线在x点的切线斜率。
通过双曲函数sinh(x)可以简化上式,因为它的导数是cosh(x),即sinh'(x) = cosh(x),因此曲线的弧长可以写成:L = ∫[a,b] √(1+sinh'(x)^2) dx= ∫[a,b] √(1+cosh^2(x)) dx= ∫[a,b] sinh(x) dx另外,我们还可以用指数函数来表示曲线的长度,它与弧长的差别在于多乘一个系数2π,即曲线长度可以表示为:L = 2π ∫[a,b] √(1+f'(x)^2) dx同样地,通过sinh(x)函数,曲线长度可以简化为:L = 2π ∫[a,b] sinh(x) dx二、椭球面积在空间几何中,椭球是一类广泛存在的曲面形式,其面积可以用双曲函数表示。
对于一个椭球,如果它的长半轴和短半轴分别是a和b,那么它的面积可以表示为:S = 4πab ∫[0,π/2] (1 - e^2sin^2(θ))1/2 dθ其中,e是椭圆的离心率,可以表示为:e = √(1 - b^2/a^2)而θ是极角,取值范围为[0,π/2]。
通过变换,我们可以把上面的积分转化为双曲函数的形式,即:S = 4πab ∫[0,∞) (1 + (b/a)^2sinh^2(τ))^1/2 dτ通过换元法,我们可以把上式转化为:S = 4πab ∫[0,1] (1 - x^2)^-1/2(1 - (1-e^2)x^2)^1/2 dx这个式子实际上就是一个椭圆的面积公式,其中,x = sinh(τ) / sinh(x_max),以及x_max = arcsinh(b/a)。
定积分的应用平面曲线弧长课件
![定积分的应用平面曲线弧长课件](https://img.taocdn.com/s3/m/03374d26b94ae45c3b3567ec102de2bd9605de3b.png)
参数方程的转换
参数方程转换为普通方程
将参数方程中的参数t消除,将参数方程转换为普通方程。
参数方程的微分形式
将参数方程转换为微分形式,以便于计算曲线的切线斜率和 弧长。
03 定积分在平面曲线弧长中 的应用
理论完善
随着定积分在平面曲线弧长中的应用越来越广泛,其理论体系也可能会得到进一步完善。例如,可能会发现新的定理 和公式,以更好地描述和解决定积分问题。
应用领域的拓展
随着科技的不断发展,定积分的应用领域也可能会进一步拓展。例如,在人工智能、机器学习等领域中, 定积分可能会被用来解决一些新的问题。
定积分在平面曲线弧长中的实际价值
弧长公式的应用
计算特定曲线的弧长
利用弧长公式,可以计算出给定参数 方程的曲线上任意一段弧的长度。这 迹的长度 等。
比较不同曲线的长度
通过比较不同曲线的弧长,可以得出 它们之间的形状差异。例如,可以利 用弧长公式比较不同函数的图像长度。
弧长公式的拓展
弧长公式的推导
弧长公式的基本概念
弧长公式是定积分的一个重要应用,它用于计算平面曲线上某段弧的长度。在推 导弧长公式之前,需要了解曲线的基本参数方程和弧长的定义。
弧长公式的推导过程
通过将曲线分割成许多小段,并利用定积分计算每小段线段的长度,然后将这些 长度相加,最终得到整个弧的长度。这个过程涉及到极限和定积分的概念。
建立方程
首先需要确定曲线的起点和终点,以 及曲线在起点和终点处的切线方向。
根据起点、终点和参数,建立曲线的 参数方程。
选择参数
选择一个合适的参数,例如时间或角 度,来表示曲线上每一点的位置。
7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】
![7 空间曲线的曲率和挠率——【多元函数微分学】](https://img.taocdn.com/s3/m/d781f242b7360b4c2e3f64d4.png)
弧微分公式 曲率的概念与曲率的计算 曲率圆与曲率半径
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
1
一、弧微分公式
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2 1 y2 dx
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
2
(2) 曲线弧由参数方程给出:
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
6
2.曲率的计算公式 K d .
ds
设y f ( x)二阶可导,
有 arctan y,
tan y,
d
y 1 y2
dx,
ds 1 y2dx. k
y 3.
(1 y2 )2
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系
7
设曲线方程为
x (t),
y
(t
),
(t), (t)二阶可导,
dy (t) , dx (t)
d2y dx2
(t )
(t) (t) 3(t)
(t) .
k
(t )
(t )
(t) (t)
3
.
[ 2(t ) 2(t )]2
y
a1
cost
一拱的弧长。
0 t 2
解 由公式得
l 2 [a(1 cost)]2 (a sin t)2 dt 0
o
2a
2
2a
1 costdt 2a 2 sin t dt
(完整word版)微分几何练习题库及参考答案(已修改)..
![(完整word版)微分几何练习题库及参考答案(已修改)..](https://img.taocdn.com/s3/m/5073b365f8c75fbfc77db2fe.png)
《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1.极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=r r r 138i j k -+rr r .2.设f ()(sin )i j t t t =+r r r ,2g()(1)i j t t t e =++r r ,求0lim(()())t f t g t →⋅=r r 0 .3.已知{}42r()d =1,2,3t t -⎰r , {}64r()d =2,1,2t t -⎰r ,{}2,1,1a =r,{}1,1,0b =-r ,则4622()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰⎰r r rr r {}3,9,5-.4.已知()r t a '=r r (a r 为常向量),则()r t =r ta c +r r. 5.已知()r t ta '=r r ,(a r 为常向量),则()r t =r 212t a c +r r .6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____.7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ .8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .9. 切线(副法线)和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 .10. 曲线()r r t =r r 在t = 2处有3αβ=v v &,则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ⨯≠rr r ,则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点.12. 已知()(2)(ln )f t t j t k =++r r r ,()(sin )(cos )g t t i t j =-r r r ,0t >,则40()d f g dt dt ⋅=⎰r r4cos 62-.13.曲线{}3()2,,t r t t t e =r在任意点的切向量为{}22,3,t t e .14.曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =r在0t =点的切向量为{}0,,a a .15.曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =r在0t =点的切向量为{}0,,a b .16.设曲线2:,,t t C x e y e z t -===,当1t =时的切线方程为2111-=--=-z ee y e e x . 17.设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ,当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u -曲线(v -曲线)的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v =0(F d u +G d v =0)__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中,θ是 方向(d) 与u -曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = .22.已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-r ,其中2,sin u t v t ==,则dr d t=r{}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+.23.已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=r,其中t =ϕ,2t =θ,则dr(,)d tϕθ=r{}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+. 24.设(,)r r u v =r r 为曲面的参数表示,如果0u v r r ⨯≠r r r ,则称参数曲面是正则的;如果:()r G r G →r r是 一一对应的 ,则称曲面是简单曲面.25.如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切,则称相应的坐标网为 正规坐标网 .26.平面{}r(,),,0u v u v =r的第一基本形式为22d d u v +,面积微元为d d u v .27.悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =r第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===,. 28.曲面z axy =上坐标曲线0x x =,0y y =229.正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++.30.双曲抛物面{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv =+-r的第一基本形式是2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++.31.正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的平均曲率为 0 .32.方向(d)d :d u v =是渐近方向的充要条件是22()020n k d Ldu Mdudv Ndv =++=或. 33. 方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是(,)0()0dr δr Ldu δu M du δv dv δu Ndv δv =+++=II r r或.34.λ是主曲率的充要条件是0E LF MF MG Nλλλλ--=--.35.(d)d :d u v =是主方向的充要条件是22d d d d 00d d d d dv dudv du E u F v L u M vE F G F u G v M u N vL MN-++==++或. 36. 根据罗德里格斯定理,如果方向(d)(d :d )u v =是主方向,则n n dn k dr k =-r r,其中是沿方向(d)的法曲率. 37.旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面.38.测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平面∏上的正投影曲线(C*)的曲率. 39.,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+.40.如果曲面上存在直线,则此直线的测地曲率为 0 . 41.正交网时测地线的方程为d ds du dsdv dsθθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩. 42.曲线是曲面的测地线,曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 . 二、单项选择题1.已知{}(),,t t r t e t e -=r,则r (0)''r 为( A ).A. {}1,0,1;B. {}1,0,1-;C. {}0,1,1;D. {}1,0,1-.2.已知()()r t r t λ'=r r ,λ为常数,则()r t r为( C ).A. ta λr ;B. a λr; C. t e a λr ; D. e a λr .其中a r为常向量. 3. 曲线(C)是一般螺线,以下命题不正确的是( D ).A .切线与固定方向成固定角;B .副法线与固定方向成固定角;C .主法线与固定方向垂直;D .副法线与固定方向垂直.4. 曲面在每一点处的主方向( A )A .至少有两个;B .只有一个;C .只有两个;D .可能没有. 5.球面上的大圆不可能是球面上的( D )A .测地线;B .曲率线;C .法截线;D .渐近线..6. 已知{}r(,),,x y x y xy =r ,求(1,2)dr r为( D ).A. {}d ,d ,d 2d x y x y +;B. {}d d ,d d ,0x y x y +-;C. {}d -d ,d +d ,0x y x y ;D. {}d ,d ,2d d x y x y +.7.圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =r的切线与z 轴( C ).A. 平行;B. 垂直;C. 有固定夹角4π; D. 有固定夹角3π. 8.设平面曲线:()C r r s =r r,s 为自然参数,αβr r ,是曲线的基本向量.叙述错误的是( C ).A. αr 为单位向量;B. αα⊥r r &;C. k αβ=-r r &;D. k βατγ=-+r r r &.9.直线的曲率为( B ).A. -1;B. 0;C. 1;D. 2.10.关于平面曲线的曲率:()C r r s =r r不正确的是( D ).A. ()()k s s α=r &;B. ()()k s s ϕ=&,ϕ为()s αr 的旋转角;C. ()k s αβ=-⋅r &;D. ()|()|k s rs =r &. 11.对于曲线,“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的( D ).A. 充分不必要条件;B. 必要不充分条件;C. 既不充分也不必要条件;D. 充要条件.12.下列论述不正确的是( D ).A. ,αβγr r r ,均为单位向量;B. αβ⊥r r ;C. βγ⊥r r ;D. αβrr P . 13.对于空间曲线C ,“挠率为零”是“曲线是直线”的(B ).A. 充分不必要条件;B. 必要不充分条件;C. 既不充分也不必要条件;D. 充要条件. 14.2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为( D ). A. 垂直; B. 平行; C. 成3π的角; D. 成4π的角. 15.椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为( C ).A. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z ϕθϕθϕ=;B. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b ϕθϕθϕ=;C. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b c ϕθϕθϕ=;D. {}{},,cos cos ,sin cos ,sin 2x y z a b c ϕθϕθθ=. 16.曲面{}2233(,)2,,r u v u v u v u v =-+-r在点(3,5,7)M 的切平面方程为( B ).A. 2135200x y z +-+=;B. 1834410x y z +--=;C. 756180x y z +--=;D. 1853160x y z +-+=.17.球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R u v R u v R u =r的第一基本形式为( D ).A. 2222(d sin d )R u u v +;B. 2222(d cosh d )R u u v +;C. 2222(d sinh d )R u u v +;D. 2222(d cos d )R u u v +.18.正圆柱面{}(,)cos ,sin ,r u v R v R v u =r的第一基本形式为( C ).A. 22d d u v +;B. 22d d u v -; C 222d d u R v +; D. 222d d u R v -. 19.在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上,方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为( B ).A . 21cosh cosh v v -;B . 21sinh sinh v v -;C . 12cosh cosh v v -;D . 12sinh sinh v v -.20.设M 为正则曲面,则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是( B ).A . 0E =;B . 0F =;C . 0G =;D . 0M =. 21.高斯曲率为零的的曲面称为( A ).A .极小曲面;B .球面;C .常高斯曲率曲面;D .平面. 22.曲面上直线(如果存在)的测地曲率等于( A ).A . 0;B . 1;C .2;D . 3.23.当参数曲线构成正交网时,参数曲线u-曲线的测地曲率为( B ). A .B .C .D . 24.如果测地线同时为渐近线,则它必为( A ).A . 直线;B . 平面曲线;C . 抛物线;D . 圆柱螺线. 三、判断题(正确打√,错误打×)1. 向量函数()r r t =r r 具有固定长度,则()()r t r t '⊥r r. √2. 向量函数()r r t =r r 具有固定方向,则()()r t r t 'r rP . √3. 向量函数()r t r关于t 的旋转速度等于其微商的模()r t 'r . ×4. 曲线Γ的曲率、挠率都为常数,则曲线Γ是圆柱螺线. ×5. 若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数,则曲线Γ是圆柱螺线. √6. 圆柱面{cos ,sin ,},r R R z θθ=rz -线是渐近线. √ 7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. × 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √ 9. 等距变换一定是保角变换. √10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. × 12. 在光滑曲线的正常点处,切线存在但不唯一. × 13. 若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线.√ 14. 在曲面的非脐点处,有且仅有两个主方向. √ 15. 高斯曲率与第二基本形式有关,不是内蕴量. × 16. 曲面上的直线一定是测地线.√ 17. 微分方程A(,)B(,)0u v du u v dv +=表示曲面上曲线族. ×18. 二阶微分方程22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. × 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =,这里F 是第一基本量. √ 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √ 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中,测地线一定是最短的. × 22. 球面上的圆一定是测地线. × 23. 球面上经线一定是测地线. √24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √ 四、计算题1.求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长.解 旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--r 的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-r,则在π20≤≤t 一段的弧长为:220()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰r.2.求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量.解 由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+r,{}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t t t e te ''=---+r,在原点,有 (0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r '''==r r,又 ()(), r r r r r r r r r r r αβ'''''''''⋅-⋅=='''''⋅⨯r r r r r r r r r r r r r,r r r r γ'''⨯='''⨯r r r r r ,所以有αβγ===r r r . 3.圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =r,①求基本向量,,αβγr r r; ②求曲率k 和挠率τ.解 ①{}()sin ,cos ,r t a t a t b '=-r ,{}()cos ,sin ,0r t a t a t ''=--r,又由公式()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯r r r r r r r r r r r r r r r rr r}{}}sin ,cos ,,cos ,sin ,0,sin ,cos ,a t a t b t t b t b t a αβγ∴=-=--=-rr r②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''⨯='r r r 及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯r r有22a k a b =+,22b a b +=τ. 4.求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的切平面和法线方程.解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ,{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r,切平面方程为cos sin cos sin 00sin cos x u v y u v z bv v v u vu vb---=-,sin cos 0,b v x b u y uz buv ⇒⋅-⋅+-=法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-. 5.求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=r上任一点处的切平面与法线方程.解 {}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--r, {}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=-r ,312sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0e e e r r a a a a a ϕθϕθϕθϕϕθϕθ⨯=---r r r r r{}2cos cos cos ,cos sin ,sin a ϕϕθϕθϕ=---∴ 球面上任意点的切平面方程为{}{}2cos cos ,cos sin ,sin cos cos cos ,cos sin ,sin 0,x a y a z a a ϕθϕθϕϕϕθϕθϕ---⋅---=即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=, 法线方程为2(cos cos ,cos sin ,sin )cos (cos cos ,cos sin ,sin ),x a y a z a a ϕθϕθϕλϕϕθϕθϕ---=⋅---即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ---==.6.求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面. 解 (){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-r (){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--r所以曲线在原点的密切平面的方程为00sin cos 10cos sin 0x a y z a t a t =a ta t------, 即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7.求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式.解 参数表示为{}22(,),,()r x y x y a x y =+r ,{}1,0,2x r ax =r ,{}0,1,2y r ay =r,2214x x E r r a x =⋅=+r r,24x y F r r a xy =⋅=r r ,2214y y G r r a y =⋅=+r r ,2222222(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I .8.求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的第一基本形式.解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ,{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r,1u u E r r =⋅=r r ,0u v F r r =⋅=r r ,22v v G r r u b =⋅=+r r,2222(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I .9.计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r的第一、第二基本量.解 {}cos ,sin ,0u r v v =r ,{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r,{}0,0,0uu r =r ,{}sin ,cos ,0uv r v v =-r ,{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--r,{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v b v b v u u v u v b⨯==--r r rr r,sin ,cos ,u v u v b v b v u r r n r r -⨯==⨯r rr r r , 1u u E r r =⋅=r r ,0u v F r r =⋅=,22v v G r r u b =⋅=+r r, 0uu L r n =⋅=r r ,uv M r n =⋅=r r ,0vv N r n =⋅=r r.10.计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率.解 设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+r,则{}1,0,2x r x =r ,{}0,1,2y r y =r ,{}0,0,2xx r =r ,{}0,0,0xy yx r r ==r r ,{}002yy r =r,,,{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y⨯==--r r r r r,2,2,1||x y x y r r x y n r r ⨯--==⨯r r rr r 214x x E r r x =⋅=+r r, 4x y F r r xy =⋅=r , 214y y G r r y =⋅=+r r, xx L r n =⋅=r r , 0xy M r n =⋅=r r, yy N r n =⋅=r r,222222222244441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++,2232222124422(441)GL FM EN x y H EG Fx y -+++=⋅=-++. 11. 计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =r的高斯曲率. 解 直接计算知1E =,0F =,22G u a =+,0L=,M =,0N =,222222()LN M a K EG F u a -∴==--+. 12. 求曲面2z xy =的渐近线.解 2z xy =,则2z p y x∂==∂,2z q xy y ∂==∂,220z r x ∂==∂,22z s y x y ∂==∂∂, 222z t x y ∂==∂ 所以,L =0, M =N =20=,化简得(2)0dy ydx xdy +=, 020dy ydx xdy =+=或 渐近线为y=C 1,x 2y =C 213. 求螺旋面{}cos ,sin ,r u v u v bv =r上的曲率线. 解 u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-r r2222u u v v E r 1,F r r 0,G r u b ,===⋅===+r r r r{}{}u vu v bsin v,bcos v,u bsin v,bcos v,u r r n r r bsin v,bcos v,u --⨯===⨯-r rr r r {}{}{}uu uv vv r =0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--rr r,L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:2222dv dudv du 10u b =00-+ 或du bu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:12v ln(u c v u)c .=+=+和14. 求马鞍面22{,,}r u v u v =-r在原点处沿任意方向的法曲率.解 {1,0,2},{0,1,2}==-r ru v r u r v ,22214,4,14==+==-=+r r rg u u v E r u F r r uv G v2222(14)8(14)=+-++u du uvdudv v dv Ⅰu vu v 2u,2v,1r r n r r -⨯==⨯r rr r ruu L n r ==r r g uv M n r 0,==r rg vv N n r ==r rg22=Ⅱ,n k =ⅡⅠ. 15. 求抛物面22()z a x y =+在(0,0)点的主曲率.解 曲面方程即22{,,()},=+rr x y a x y{1,0,2},{0,1,2},==r rx y r ax r ay E(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===r r rxx xy yy r a r r a ,L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a,代入主曲率公式,NN2a k 0002a k -=-,所以两主曲率分别为 12k k 2a == .16. 求曲面22{,,}r u v u v =+r在点(1,1)的主方向.解 {}u r =,u r 1,02,{},v r ,v r=01,2 2214,4,14E u F uv G v =+==+(1,)5(1,)4(1,)5;E F G 1=,1=,1=0,L M N ===2(1,1)(1,1),(1,1)0,3L N M === 代入主方向方程,得()()0du dv du dv +-=,即在点(1,1)主方向:1:1;:1:1du dv u v δδ=-=.17. 求曲面23(,){,,}r u v u v u v =+r上的椭圆点,双曲点和抛物点.解 由23{,,},r u v u v =+r 得{}u r =,u r 1,02,{}2,v r ,v r=01,3{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =,v r r r0,02,0,00,0,06,0,L M N ===2241241vLN M .u +9v +-=①v >0时,是椭圆点;②v <0时,是双曲点;③v =0时,是抛物点.18. 求曲面32(,){,,}r u v v u u v =+r上的抛物点的轨迹方程.解 由32(,){,,},r u v v u u v =+r 得{}u r =u,r 0,21,{}2,v r v ,r=30,1{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =v ,r r r0,20,0,00,6,00,20,L M N ===令320LN M .-=得u =0 或v =0所以抛物点的轨迹方程为 {}r=v ,,v r 30或{}0r=,u ,u r2.19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =r自然参数表示.解 由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =r 得{sin ,cos ,}r a t a t b '=r-,()r t '=r弧长0(),t s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){sinr s a a =r20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为a a s r r=(),则主法线曲面为:r=a s v s ,βr r r ()+()则,a =a=α'r r r &,b ==-k βατγ'+r r r r &a b =k,''-r r g 2,22b =k +τ'r所以腰曲线是222a b k r=a s s =a s s k b ββτ'''r r r r g r r r r ()-()()+()+ 21.求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===(0u =常数)的测地曲率.解 因为正螺面的第一基本形式为2222d ()d u u a v =++Ι,螺旋线是正螺面的v -曲线0u u =,由2πθ=得d 0d s θ=.由正交网的坐标曲线的测地曲率得0220g u k u a==+. 五、证明题1. 设曲线:(s),r r =r r 证明:2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅r r r r r &&&&&&&&⑴⑵ 证明 ⑴由伏雷内公式,得=k =-,αβγτβr r r r &&, 两式作点积,得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅r r r r && k =-.ταγ∴⋅r r &&⑵r=r==k ,ααβr r r r r &&&&, 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγr r r r r r r r r &&&&&&&22()()()r ,r ,r =,k ,-k +k +k =,k ,k =k .αβαβτγαβτγτ∴r r r r r r r r r r r &&&&&&& 2. 设曲线:(s),r r =r r 证明:3()()r ,r ,r =k k -k .ττr r r &&&&&&&&&&& 证明 由伏雷内公式,得r==k αβr r r &&&, 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγr r r r r r r r r &&&&&&&323()(2)r =-kk +-k +k-k +k +k ατβττγr r r r &&&&&&&&&232()(())(3()(2))r ,r ,r =k -k +k +k -kk +-k +k-k +k +k βαβτγατβττγ⨯r r r r r r r r r r &&&&&&&&&&&&&&&g3232()(3()(2))=k +k -kk +-k +k-k +k +k γταατβττγr r r r r &&&&&g33432=-k k +k k +k τττ&&&3()=k k -k ττ&& 3. 曲线Γ:()r r s =r r 是一般螺线,证明1:r R ds αβΓ=-⎰r r r也是一般螺线(R 是曲线Γ的曲率半径).证明 1r R ds αβ=-⎰r r r,两边关于s 微商,得11ds R R ds αααβ=+-r r r r &&1R R R αββ=+-r r r &R α=r &,1αα∴r r P ,由于Γ是一般螺线,所以Γ也是一般螺线.4. 证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰r是常数)是一般螺线.证明 (){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=r(){()cos (),()sin (),0},r t a t t a t t ϕϕϕϕ''''=-r2()(){cos (),sin (),0}(){sin ()cos ()0}r t a t t t a t t t ϕϕϕϕϕϕ''''''=-+-r,,(r r a t ϕ''''⨯=r r 32()()r r r a b t ϕ'''''''=-r r r ,,,322(),r r ak t a b r ϕ'''⨯'==+'r rr ()222(),r r r b t a b r r τϕ'''''''==-+'''⨯r r r r r ,, k abτ∴=- . 5.曲面S 上一条曲线(C), P 是曲线(C)上的正常点,n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率,证明222n g k =k +k .证明 测地曲率()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯r r r r r (,,)k n k n αβγ==⋅r r r r rsin k .θ=± (θ是主法向量βr 与法向量n r的夹角)法曲率cos n k k n k βθ=⋅=r r,222n g k =k +k .∴6. 证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =r的切向量与曲线的位置向量成定角.证明 对曲线上任意一点,曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =r,该点切线的切向量为:{}(cos sin ),(sin cos ),0t t r e t t e t t '=-+r,则有:2cos 2t r r r r θ'⋅==='r r r r ,故夹角为4π. 由所取点的任意性可知,该曲线与曲线的切向量成定角.7.证明:若r 'r 和r ''r对一切t 线性相关,则曲线是直线.证明 若r 'r 和r ''r对一切t 线性相关,则存在不同时为0的(),()f t g t 使()()()()0f t r t g t r t '''+=r r r,则,()()0, t r t r t '''∀⨯=r r r又3()r r k t r '''⨯='r r r ,故t ∀有()0k t =.于是该曲线是直线.8. 证明圆柱螺线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 的主法线和z 轴垂直相交.证明 由题意有 {}{}()sin ,cos ,,()cos ,sin ,0r t a t a t b r t a t a t '''=-=--r r,由()()r r r r r r r r rβ''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯r r r r r r r r r r知{}cos ,sin ,0t t β=--r . 另一方面z 轴的方向向量为{}0,0,1a =r ,而0a β⋅=r r ,故a β⊥r r,即主法线与z 轴垂直. 9.证明曲线t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2===的所有法平面皆通过坐标原点.证明 由题意可得{}()sin 2,cos2,sin r t a t a t a t '=-r,则任意点的法平面为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点(0,0,0)代入上述方程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边, 故结论成立.10.证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平面曲线,并求出它所在的平面方程.证明 {}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-r,{}34210,2r +t,t t '=-+-r ,{}410,2r ,''=-r ,{}00,0r ,'''=r (,,)0r r r ,''''''=r r r0τ=,所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面{}(0)32,0r ,'=-r , {}(0)410,2r ,''=-r密切平面方程为12132004102x y z -=----, 化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27=0.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点,那么它是直线.证明 设曲线方程()r r s =r r,定点的向径为0R v ,则0()()r s R s λα-=r r r两边求微商,得()()()()s s s s k αλαλαλαλβ=+=+r r r r r &&&(1())()0s s k λαλβ--=r r r & 由于,αβr r 线性无关,∴100k λλ⎧-⎨⎩&==∴ k =0曲线是直线.12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点,那么它是平面曲线.证明 取定点为坐标原点,曲线的方程为 ()r r t =r r,则曲面在任一点的密切平面方程为 ((),(),())0r t r t r t ρ'''-=r r r r因任一点的密切平面过定点,所以((),(),())0o r t r t r t '''-=r r r r , 即 ((),(),())0r t r t r t '''=r r r所以 ()r r t =r r 平行于固定平面, 所以 ()r r t =r r是平面曲线.13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e ρ,证明曲线是直线或平面曲线.证明 根据已知条件,得0.............e α⋅=r r①,①两边求导,得 0e α⋅=r r &,由伏雷内公式得 0k e β⋅=r r ,ⅰ)0k =,则曲线是直线;ⅱ)0e β⋅=r r 又有①可知 γr ‖e r因e r是常向量,所以γr 是常向量,于是 ||||0,τγ==r&所以0τ= ,所以曲线为平面曲线. 14. 设在两条挠曲线,ΓΓ的点之间建立了一一对应关系,使它们在对应的点的副法线互相平行,证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 γγ±rr12= , 21ds ds γγ±gg r r 12=由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±v v 122=12ββ∴±r r = 进而12αα=±r r15. 证明挠曲线(0τ≠)的主法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =r r,则挠率0τ≠,其主法线曲面的方程是:()()r s t s ρβ=+r r r 取(),()a r s b s β==r r r r,则(),()k a s b s αβατγ''===-g r r r r r r+所以, (,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠r rr r r r r r r r r r r ++=所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16. 证明挠曲线(0τ≠)的副法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =r r,则挠率0τ≠,其副法线曲面的方程是:()()r s t s ργ=+r rr取(),()a r s b s γ==r r r r ,则(),()a s b s αγτβ''===-g r r r r r所以, (,,)((),(),)0a b b s s αγτβτ''=-=≠r rr r r r ,所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面. 17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明 设曲线r r(s),r r =则曲线的主法线曲面为r r s +v s βr r r=()() ,s r v k vk v αατγατγ++r r r r r r =+(-)=(1-) ()v r =s βrr ,s v s v r r n=r r ⨯⨯r r r rr r r (1-)- 沿曲线(v =0)n=γr r ,所以主法向量与曲面的法向量夹角,2πθ=n cos 0,k k θ==所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线. 18. 证明二次锥面{cos ,sin ,}r au bu cu θθ=r沿每一条直母线只有一个切平面.证明 {cos ,sin ,}{cos ,sin ,}0()θθθθϕθ===+r r rr au bu cu u a b c u 为直纹面(0,(),()0ϕθϕθ'=r r r), 所以,曲面可展,即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率K =0证明.19. 给出曲面上一条曲率线Γ,设Γ上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角,求证Γ是一平面曲线.证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角θ0,则cos γθr rg 0n= 两边求微商,得 0γγg g r r r rg g n+n=由于曲线Γ是曲率线,所以αg r rP n,进而0γg r r gn=,由伏雷内公式得0τβr r g -n= ⑴0τ=时,Γ是一平面曲线⑵n 0βv v g =,即n β⊥vv ,n kcos =0k θ=,又因为Γ是曲率线,所以0n dn k dr =-=v v v 即n v是常向量,所以Γ是平面曲线. 20.求证正螺面上的坐标曲线(即u -曲线族v -曲线族)互相垂直.证明 设正螺面的参数表示是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =r,则{}cos ,sin ,0u r v v =r ,{}sin ,cos ,v r u v u v b =-r, {}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=r r,故正螺面上的坐标曲线互相垂直.21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证明 由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k*n 1in ππθθ=±-±-k k 222cos ()+k s ()221in cos k θθ=222s +k所以*n n 12k k k k +=+=常数.22. 如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线,则Γ必是曲率线.证明 因为曲线Γ是非直线的测地线,所以沿此曲线有,β=±r rn从而(),κατγ=±-+r r r &n又因为曲线是平面曲线,所以0,τ= 进一步n κα=±r r &.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向,故所给曲线为曲率线. 23. 证明在曲面()()z f x f y =+上曲线族x =常数,y =常数构成共轭网.证明 曲面的向量表示为 {}(,),,()(),r x y x y f x f y =+rx =常数,y =常数是两族坐标曲线.{1,0,}x r f '=r,{0,1,}y r g '=r . {0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ''''===r r r因为0xy r r M r ⨯==r r r,所以坐标曲线构成共轭网,即曲线族 x =常数, y =常数构成共轭网.24.证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点.证明 参数表示为{}(,),,r x y x y xy =r,则{}1,0,x r y =r ,{}0,1,y r x =r ,{}0,0,0xx r =r ,{}0,0,1xy r =r ,{}0,0,0yy r =r,{},,1x y r r y x ⨯=--r r,,,1||x y x y r r y x n r r ⨯--==⨯r r r r r 0xx L r n =⋅=rr , xy M r n =⋅=r r,0yy N r n =⋅=r r,222221100011LN M x y x y ∴-=⨯-=-<++++,故马鞍面z xy =上所有点都是双曲点.25.如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例,即(d ,d )(d ,d )u v u v II I 与方向无关,则称该点是曲面的脐点;如果曲面上所有点都是脐点,则称曲面是全脐的.试证球面是全脐的. 证明 设球面的参数表示为 {}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =r,则 {}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-r ,{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--r, {}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--r ,{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-r r,{}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---r,22cos u u E r r R v =⋅=r r ,0u v F r r =⋅=r r ,2v v G r r R =⋅=r r,2cos L R v ==-r r r,0M ==r r r,N R ==-r r r ,1(,,)(,,)L M N E F G R∴=-,故球面是全脐的. 26.证明平面是全脐的.证明 设平面的参数表示为{}(,),,0r x y x y =r,则 {}1,0,0x r =r ,{}0,1,0y r =r ,{}0,0,0xx r =r ,{}0,0,0xy r =r ,{}0,0,0yy r =r,1x x E r r =⋅=r r ,0x y F r r =⋅=r r ,1y y G r r =⋅=r r,0xx L r n =⋅=r r ,0xy M r n =⋅=r r ,0yy N r n =⋅=r r(,,)0(,,)L M N E F G ∴=,故平面是全脐的.27.证明曲面3x y z +=的所有点为抛物点.证明 曲面的参数表示为{}1/3(,),,()r x y x y x y =+r,则{}2/3131,0,()x r x y -=+r , {}2/3130,1,()y r x y -=+r , {}5/3230,0,()xx r x y -=-+r ,{}5/3290,0,()xy r x y -=-+r , {}5/3290,0,()yy r x y -=-+r , {}2/32/31133(),(),1x y r r x y x y --⨯=-+-+r r , ||x y x y r r n r r ⨯=⨯r r r r r , {}5/3290,0,()xx L r n x y n -=⋅=-+⋅r r r ,{}5/3290,0,()xy M r n x y n -=⋅=-+⋅r r r , {}5/3290,0,()yy N r n x y n -=⋅=-+⋅r r r 20LN M ⇒-=,∴曲面3x y z +=的所有点为抛物点.28.求证正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =r是极小曲面.证明 {}cos ,sin ,0u r v v =r ,{}sin ,cos ,v r u v u v a =-r, {}0,0,0uu r =r ,{}sin ,cos ,0uv r v v =-r ,{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--r,{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v a v a v u u v u v a ⨯==--r r rr r,sin ,cos ,||u v u v a v a v u r r n r r -⨯==⨯r rrr r , 1u u E r r =⋅=r r ,0u v F r r =⋅=,22v v G r r a u =⋅=+r r,0uu L r n =⋅=r r ,uv M r n =⋅=r r 0vv N r n =⋅=r r,21210,22EN FM GL H EG F -+∴=⋅==-故正螺面是极小曲面.29. 圆柱面{cos ,sin ,}r a u a u v =r上的纬线是测地线.证明 由{cos ,sin ,},r a u a u v =r{sin ,cos ,0}u r -a u a u =r ,{0,0,1}v r =r,2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=,纬线是u -线,此时0θπ=或, 0.g k ∴= 所以,纬线是测地线.30.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点. 证明 1202k k H +==Q , 12k k ∴=-, 21220K k k k ∴=⋅=-≤ 当0K =时,120k k ==, ∴极小曲面的点都是平点; 当0K <时,极小曲面的点都是双曲点.31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线,则它是直线;(2)如果测地线同时是曲率线,则它一定是平面曲线.证明 (1) 因为曲线是测地线,所以0=g k , 曲线又是渐近线,所以,0=n k ,而222=+n g k k k ,所以k=0,故所给曲线是直线. (2) 证法1因曲线是测地线,所以沿此曲线有βr r P n ,所以βr r &P dn ,又曲线是曲率线,所以αrr r P P dn dr ,所以(k )ατγα-+r r rP ,所以0τ=,故所给曲线是平面曲线.证法2因所给曲线既是测地线又为曲率线,所以沿此曲线有,,n nβαv r r v &P P 而γαβ=⨯r r r ,所以,n γα=±⨯r r r 从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=r r r r r r r r r &&&,又γτβ=-r r&,所以0τ=,故所给曲线是平面曲线.。
(完整版)浙江师范大学《微分几何》考试模拟卷
![(完整版)浙江师范大学《微分几何》考试模拟卷](https://img.taocdn.com/s3/m/71f8498401f69e31423294f0.png)
浙江师范大学《微分几何》考试模拟卷(A 卷)说明:考生应有将全部答案写在答题纸上,否则作无效处理一、判断题(正确打√,错误打×)(每小题2分,共10分)1、等距变换一定是保角变换 ( )2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. ( )3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.( )4、连接曲面上两点的所有曲线段中,测地线一定是最短的 ( )5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =,这里F 是第一基本量( ). 1。
× 2。
√ 3。
× 4。
× 5. √二、填空题(每小题3分,共15分)1. 半径为R 的圆的曲率为_________。
2. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是_____________,3. 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是______________.4. 在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足____________________,5. 使法曲率达到最大值和最小值的方向是________________方向.1。
1R2。
F=0 3。
0F M == 4。
E F GL M N==, 5、 主方向三、计算题(第1小题各18分,,第2、3、4小题各10分,共48分)1. 已知空间正则参数曲线32(){cos ,sin ,cos 2}r t t t t =(1) 求基本向量,,αβγ。
(2) 求()r t 的曲率和挠率(0)2t π<<.解: ,22{3sin cos ,3sin cos ,2sin 2}r t t t t t =--,,2223,,,2332,,,,2{3cos 6sin cos ,6sin cos 3sin ,4cos 2}{21sin cos 6sin ,6cos 21sin cos ,8sin 2}5sin cos 3sin 2{cos ,sin ,}4r t t t t t t t r t t t t t t t r t tr r t t t =-+--=--=⨯=--,,,215sin 24r r t ⨯=所以,曲率k 和挠率τ为325sin cos k t t =425sin cos t tτ=sin cos {3cos ,3sin ,4}5sin cos t tt t t tα=--443{cos ,sin ,}555t t γ=-- sin cos {sin ,cos ,0}sin cos t tt t t tβγα=⨯=2、求抛物面22()z a x y =+在原点处的主曲率、高斯曲率和平均曲率,并判断原点是否为脐点。
空间曲线PPT课件
![空间曲线PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/d23ece6f4a73f242336c1eb91a37f111f1850dda.png)
contents
目录
• 空间曲线的基本概念 • 空间曲线的方程 • 空间曲线的几何性质 • 空间曲线在几何图形中的应用 • 空间曲线在现实生活中的应用 • 空间曲线的发展前景与展望
01
CATALOGUE
空间曲线的基本概念
定义与特性
定义
空间曲线是由三维空间中的点的 集合构成,这些点通过连续的参 数变化而形成一条连续的轨迹。
02
CATALOGUE
空间曲线的方程
参数方程
参数方程
通过选择合适的参数t,将空间曲线 上的点与参数t关联起来,形成参数 方程。
参数方程的优缺点
参数方程可以直观地表达曲线的形状 和方向,但有时候参数的选择可能较 为复杂。
直角坐标方程
直角坐标方程
利用三维空间中的三个互相垂直的坐标轴,将空间曲线上的点与三个坐标轴上的 值关联起来,形成直角坐标方程。
空间曲线在几何学中的地位和作用
地位
空间曲线是几何学中的重要概念之一,它是连接点与点之间 的桥梁,也是描述三维空间中物体运动和变化的重要工具。
作用
空间曲线在几何学中有着广泛的应用,如在解析几何、微积 分、线性代数等领域中都有重要的应用。此外,空间曲线还 在工程、建筑、艺术等领域中有着广泛的应用,如建筑设计 、机械设计、动画制作等。
直角坐标方程的应用
直角坐标方程广泛应用于解析几何、微积分等领域。
极坐标方程
极坐标方程
利用极径和极角来描述空间曲线上的 点,形成极坐标方程。
极坐标方程的特点
极坐标方程可以方便地描述旋转对称 的曲线,但在处理复杂曲线时可能不 够直观。
球坐标方程
球坐标方程
利用球径和球角来描述空间曲线上的点,形成球坐标方程。
7_7空间曲线
![7_7空间曲线](https://img.taocdn.com/s3/m/d5763d48312b3169a451a4b2.png)
四、空间曲线的切线与法平面
点 M 0处的切线为此点处割线的极限位置. 过点 M 0 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面. 求空间曲线的切线与法平面的关键在于
t t0
lim r (t ) r (t0 )
t t0
t t0
t t0
t t0
r ( t ) 在 t 0点连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在 t 0 点连续 r ( t ) 在区间 I 连续 x ( t ), y( t ), z ( t ) 都在区间 I 连续
(对应的图形为连续曲线)
导数
r ( t ) t t 0 t t0
r ( t )在I 上可导.
如果 r ( t ) 在区间 I 上每一点都可导, 则称
向量值函数 r ( t ) x( t ), y( t ), z ( t ) 在 t 点可导
证: 先看简单情况, 当A是矩形, 且一边与x轴平行,
则 也是矩形, 且
σ ab | cosγ | A | cosγ |
成立.
b
A
a o y
一般情况,将A分割成 若干个上述类型的小矩形, 然后累加,再取极限即可. 证毕.
.
.
x
三、一元向量值函数
引例: 已知空间曲线 的参数方程:
x x (t ) y y (t ) z z (t )
空 间 立 体
曲 面
例如, 上半球面 和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 .
第三节空间曲线
![第三节空间曲线](https://img.taocdn.com/s3/m/f109b15425c52cc58bd6beb4.png)
k (s), (s)
s s 为了确定曲线的位置,设 空间 P0 点(即 r(s0 ) r0
)0,时并,且曲在线该对点应的
基本向量为给定的两两正交的右手系的单位向
量 0, 0,0
证明(1)以 (s) 和 (s) 为系数建立微分方程组
因曲线 (C) 在 p 点的密切平面,又因为
和 都垂直于切向量 ,所以
和 所确定的平面是曲线上 p 点的法平 面, 和 所确定的平面则称为曲线 (C)
上 p 点的从切平面
方程分别为: 密切平面
或 法平面
或 从切平面
线的刚体运动及空间曲线坐标变换无关。我 们把 k k(s), (s) 称为空间曲线的自 然方程。
空间曲线论的基本定理:
给出闭区间[s0.s1]上的两个连续函数 s 0, (s) ,则
除了空间的位置差别外,惟一地存在一条空间曲线,
s 使得参数 是曲线的自然参数,并且 和(s分) 别
1 2!
k0
0
(s)2
16其(中k0
20 k0
10
0 k0
20 3
0
0
)(s)3 ,
而 0,0, 0, 0, k0,0
等表示在点 r(s0 )的值。
由上式可得
r(s0
s)
r(s
0
)
[s
1 6
(k
2 0
1)(s)3
向量的夹角是
由第一节命题知(P11) lim
s0 s
几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋 转速度。
高考数学中的曲率与曲率半径的计算方法
![高考数学中的曲率与曲率半径的计算方法](https://img.taocdn.com/s3/m/0032f8603d1ec5da50e2524de518964bcf84d23e.png)
高考数学中的曲率与曲率半径的计算方法在高考数学中,曲率与曲率半径是一个比较重要的概念,在平面几何和空间几何中都有应用。
曲率指的是曲线在某一点处的弯曲程度,而曲率半径则是曲率的倒数。
对于考生来说,了解曲率与曲率半径的计算方法,能够帮助他们更好地理解和解决相关考题。
一、曲率的定义和计算方法1. 弧长的导数曲线在某一点处的曲率定义为该点处切线与曲线上足够靠近该点的两个点的切线的极限夹角的大小,即:$$\lim_{\Delta s\to0}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}$$其中,$\Delta s$为曲线上两个足够靠近该点的点之间的弧长,$\Delta\alpha$为这段曲线在该点处切线的转角。
由于$\Delta\alpha$较难直接求解,我们可以通过对式子进行简化,得到:$$\lim_{\Delta s\to0}\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}=\lim_{\Deltas\to0}\frac{\Delta(\tan\Delta\alpha)}{\Delta\alpha}\cdot\frac{\Delta\al pha}{\Deltas}=\lim_{\Delta\theta\to0}\frac{\tan\Delta\theta}{\Delta\theta}=\frac{d \alpha}{ds}$$其中,$\Delta\theta$为所求点处两条足够靠近该点的切线夹角,$d\alpha$为这段曲线在该点处切线的转角微分。
这里要注意的是,当弧长趋近于0时,我们通常会取$\Delta\alpha$为两条切线的夹角$\theta$,而不是切线的转角$d\alpha$。
2. 参数方程的第二类曲率对于参数方程$x=x(t)$,$y=y(t)$,曲线的切向量可以表示为:$$\vec{T}=\frac{dx}{dt}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\vec{j}$$那么,曲线在某一点处的曲率可以表示为:$$k=\left\lvert\frac{d\vec{T}}{ds}\right\rvert=\sqrt{\left(\frac{d\ve c{T_x}}{ds}\right)^2+\left(\frac{d\vec{T_y}}{ds}\right)^2}$$其中,$\lvert\cdot\rvert$表示向量的模,$\vec{T_x}$和$\vec{T_y}$分别表示$\vec{T}$在$x$和$y$方向上的分量。
7曲面的法平面、弧长(周一)
![7曲面的法平面、弧长(周一)](https://img.taocdn.com/s3/m/cf96045155270722192ef7df.png)
y
称为弧长元素或弧微分
T
∴曲线的长度为
∫ ∫ b
=s = ds
b (dx )2 + (dy)2
a
a
y = f (x)
N
ds P
M
dy
dx
)α
o
x x + dx x
工科数学分析(网课)
∫ ∴曲线的长度为s
b
=(dx
)2
+
(dy)2
a
1、设= L: y y(x ), x ∈[a,b] . 则:
= ds
工科数学分析(网课)
例 2 求曲面z = x2 + y2 − 1在点(2,1,4)处的切平面
及法线方程.
解:令Σ : F (x,y,z) = f (x,y) − z = x 2 + y2 − 1 − z
= n (2x, 2y,− 1) = (4, 2,−1).
(2,1,4)
(2,1,4)
切平面方程为: 4(x − 2) + 2(y − 1) − (z − 4) =0
2
1+θ2
2π
0
=
a 2
2π
1 + 4π 2 + ln(2π +
1 + 4π 2 )
工科数学分析(网课)
例7. 求连续曲线段
的弧长.
解
cosx
≥ 0,∴
−
π
2
≤x
≤
π
2
∫ ∫ =s
π
2 1 + y′= 2 dx
−
π 2
π
2 1 + ( cosx )2 dx
−
π 2
微分几何教案
![微分几何教案](https://img.taocdn.com/s3/m/63458a577f21af45b307e87101f69e314332fa13.png)
微分几何教案微分几何是数学的一个分支,研究的对象是曲线、曲面等几何对象的性质和变化规律。
它是线性代数与微积分的结合,对于理解空间曲线与曲面的特性具有重要意义。
本教案将介绍微分几何的基本概念、重要定理和一些典型应用。
一、微分几何的基本概念1.1 点、向量和坐标系在微分几何中,点是指空间中一个确定的位置,可以使用坐标来表示。
向量是表示方向和大小的量,它可以用于描述点的运动和曲线的切向。
在学习微分几何时,我们常常使用笛卡尔坐标系或参数化曲线来描述点和向量。
1.2 切向量和法向量在曲线和曲面上的每个点上,都有一个唯一的切向量和法向量。
切向量与曲线的切线方向相同,表示曲线在该点的变化趋势;法向量与曲面垂直,表示曲面在该点的局部几何特性。
1.3 曲线的弧长和曲率曲线的弧长是曲线上两个点之间的距离,可以用积分的方法计算。
曲率是曲线在给定点上的几何特性,它表示曲线在该点处的弯曲程度。
曲率越大,曲线的弯曲程度越大。
二、微分几何的重要定理2.1 简单曲线的弧长对于参数化曲线,我们可以通过求导和积分的方法计算其弧长。
当曲线的方程很复杂时,可以使用曲线的切向量和速度向量来计算曲线的弧长。
2.2 曲率和曲率半径曲率是曲线弯曲程度的量度,计算曲率的方法有很多。
曲率半径是曲线在给定点上的曲率的倒数,表征了曲线的局部几何特性。
2.3 曲率的性质和计算曲率具有一些重要的性质,如曲率的大小和方向与曲线的切向量和法向量有关。
我们可以通过求导的方法计算曲线在给定点上的曲率。
三、微分几何的典型应用3.1 曲线的弯曲和拟合在计算机图形学和工程设计中,经常需要对曲线进行拟合和弯曲分析。
微分几何提供了对曲线的弯曲状态和拟合程度进行定量分析的方法。
3.2 曲面的切平面和法线对于曲面上的每个点,都有一个与之相关的切平面和法线。
切平面是与曲面在该点处相切的平面,法线是与切平面垂直的直线。
通过计算曲面的切向量和法向量,可以确定切平面和法线的方程。
3.3 曲面的曲率和凸凹性曲面的曲率描述了曲面的局部几何特性,通过计算曲率可以判断曲面的凸凹性。
空间曲线曲率挠率和Frenet公式讲解
![空间曲线曲率挠率和Frenet公式讲解](https://img.taocdn.com/s3/m/6b643f5325c52cc58bd6be51.png)
的自然参数为
s
s
,在
P,
P
两点作曲线
1
(C
)
的副法向
量 (s)和 (s s),此两个副法向量的夹角是
由第一节命题知扭转程度大小为 lim
s0 s
几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋转
速度
下面考虑扭转方向,因
r r
k(s)
所以
k(s)
r , r ,,
于是 k r, 3 = =((rr,,,r,r,,,r,),2,,)=
所以圆柱螺线的曲率和挠率都是常数.
. 故曲率中心的半径向量为
可以求出密切平面为 于是曲率圆为
3.3空间曲线曲率挠率和Frenet公式
定义: 空间曲线 (C) 在 p 点的曲率为
k(s) lim
s0 s
其中 s 为 p 点及其邻近点 p1间的弧长, 为 曲线在点 p 和 p1 的切向量的夹角。
曲率刻画了曲线的弯曲程度,刻画了曲线偏离切线 程度。
空间曲线曲率计算公式(自然参数)
,当
和 异向,
,当 和同向。
挠率的绝对值是曲线的副法向量(或密切平面)对于 弧长的旋转速度。
由定义 ( ) (s) k(s) k(s) + (s)
则有基本向量导向量与基本向量的关系,即 微分几何的的重要公式
s
|
1|
s
|
MM s
,|
|
MM s
,
|
| |
MM MM
微分几何第一章曲线论第二节曲线的概念
![微分几何第一章曲线论第二节曲线的概念](https://img.taocdn.com/s3/m/a99811e3aeaad1f346933f5d.png)
定义 对于曲线(C ):r r (t ), r (t )叫做曲线在对应点的切 向量. 非零的切向量, 注 (1)因为曲线在正常点总有 从而曲线在正常点总有 唯一的切线 . 正则曲线处处有唯一的 切线. 问题:曲线在非正常点 处是否有切线? (2)切向量的方向总是与曲 线的参数增值方向一致 . PR总是与曲线(C )的参数t R P T 的增值方向一致, Q R Q lim PR r ( t 0 )总与参数t t 0 Q P t 0 r (t0 ) r (t0 t ) 的增值方向一致. O 参数t的增值方向也叫曲线的 正向.
n
P2 P P0
Pi Pn
(C ) r r (t )
l ( T ) 0
l ( T ) 0
i 1
则称这个极限值为曲线 段P0 Pn的弧长. 存在性和计算公式 对于曲线(C ) : r r (t ) C 1[a, b],
lim n lim Pi 1 Pi 存在, 且
2.2 光滑曲线 曲线的正常点
定义 对于曲线(C ):r r (t ) (a t b), 如果r (t ) C k , 则称曲线为C k 类曲线. C 1类曲线称为光滑曲线 . C 0类曲线称为连续曲线 . 1 定义 对于C 类曲线r r (t )上的点r (t0 ), 如果r (t0 ) 0, 则称该点为曲线的正常 点. 而r (t0 ) 0的点叫做非正常点 . 如果曲线上的点全是正 常点,则称该曲线为
第一章
曲线论
§2 曲线的概念
主要内容
1.曲线的概念; 2.光滑曲线,曲线的正常点; 3.曲线的切线和法面; 4.曲线的弧长,自然参数.
微分几何_曲线的概念
![微分几何_曲线的概念](https://img.taocdn.com/s3/m/b78aa6d876eeaeaad1f33087.png)
2.3曲线的切线和法面
Q 给出曲线上一点 P 点 , 是 P 邻近一点,把线 PQ 绕 P 点旋转,使 Q 点沿曲线趋近于 P 点,若割线 PQ 趋近于一定的位置,则我们把割线 PQ 的极限位 置称为曲线在 P 点的切线,定点 P 称为切点。
r(t ) ,称 r, (t ) 对于曲线
为曲线在对应点 r(t ) 的切向量。
故 r(t) [a sin(t)] [a cos(t)] v t 为正则参数,且有
2 2 2
a v 0 ,
2 2 2
ds r(t) dt s(t) t0 r(u) du t0
t t
2
a v dt ,
2 2 2
a v du
曲线上一点的切线方程
曲线上一点 P 对应的参数是 t 0 ,P 点的向径 是 r (t0 ) , { X , Y , Z } 是切线上任一点的向径, r (t0 ) || r , (t0 ) 则得 P 点的切线的向量式方 因为 r (t0 ) r , (t0 ) 程为 其中 为切线上的参数。 注:1、切线是通过切点的所有直线中最贴近曲线的。 2、正常点有唯一的切线 3、切向量与曲线的正向一致2 2Βιβλιοθήκη a v (t t0) .
2 2 2
点 t0 0 ,s(t) □
a2 2 v 2 t .
参数变换 定义:对于曲线 : r r (to ), 给出函数 t (u) 如果 , (u) 0 ,则称 t (u ) 为曲线 的一个参数 变换,在次变换下曲线 的方程为 r r[ (u)]. 命题1:参数变换曲线的正则性和正向不变。 证: , (u) 0 t增加则u增加,故正向不变
空间曲线弧长公式的一个简洁证明
![空间曲线弧长公式的一个简洁证明](https://img.taocdn.com/s3/m/9152253f974bcf84b9d528ea81c758f5f61f2916.png)
空间曲线弧长公式的一个简洁证明
空间曲线弧长公式是一个重要的数学公式,它可以用来计算曲线在空间中的弧长。
它的公
式是:L=∫a b√[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2]dt。
证明这个公式的方法是:首先,我们假设曲线C是由一系列点(x,y,z)组成的,其中x,y,z是函数t的函数。
我们可以将曲线C分解为一系列短线段,每个线段的长度为Δt。
我们
可以将曲线C的弧长表示为:L=ΣΔs,其中Δs是每个线段的长度。
我们可以将每个线段的长度Δs表示为:Δs=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2]。
由于x,y,z是函数t的函数,因此可以将Δs表示为:Δs=√[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2]Δt。
将Δs代入L=ΣΔs,可以得到:L=Σ√[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2]Δt。
由于Δt是一个
常数,因此可以将其移出积分,得到:L=∫a b√[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2]dt。
以上就是空间曲线弧长公式的一个简洁证明。
它表明,可以通过计算曲线在每个点处的切线的长度来计算曲线的弧长。
曲率及其计算方法
![曲率及其计算方法](https://img.taocdn.com/s3/m/c22f3e34a7c30c22590102020740be1e650ecc39.png)
曲率及其计算方法曲率是求解曲线弯曲程度的一种数学概念,可以十分精确地描述曲线的形态。
在物理、工程、制图等领域中,曲率的计算十分重要,可以用来精确描述曲线的性质和特征。
这篇文章将介绍曲率的概念、定义和计算方法,并通过实例来说明它对于现实问题的应用。
一、曲率的概念和定义在平面或者空间中,曲线上的每一个点都可以定义一个曲率。
曲率是该点所在曲线的弯曲程度的度量。
在数学中,曲率的定义如下:(1) 平面曲线上一点的曲率:曲率k是切线方向上一阶导数 |v'(t)| 与切向量方向上一阶导数|v(t)| 之比的绝对值:k = |v'(t)| / |v(t)|其中v(t)是曲线的弧长参数表示,v'(t)是v(t)关于t的一阶导数。
曲率k的单位是1/长度。
(2) 空间曲线上一点的曲率:空间曲线上一点的曲率是该点在曲线切平面中切向量的曲率。
二、曲率的计算方法有了前面的曲率概念和定义的基础,接下来我们将介绍如何计算曲线的曲率。
首先,我们需要了解两个概念:弧长和参数式。
(1) 弧长弧长是曲线长度的测量量。
对于参数式 r(t) = (x(t),y(t)), t∈[a,b]的曲线,它的弧长可以通过下式计算:s = ∫(a,b) |r'(t)| dt其中 |r'(t)| 表示 r(t) 的变化率,s 为曲线长度。
通过弧长可以确定曲线上每一点的位置以及曲线围成面积的大小。
(2) 参数式对于平面曲线,我们可以用参数式来表示曲线上的点,即x(t) = x,y(t) = y其中t作为参数。
通过变化t的值,我们可以确定曲线上的每一个点。
同理,对于空间曲线,我们也可以用参数式来表示曲线上的每一个点。
现在我们已经具备了曲率计算的前置知识,接下来我们将详细介绍两种曲率的计算方法。
(1) 弧长参数曲率计算法对于参数式表示的曲线,我们可以通过弧长参数求解其曲率,具体计算方法如下:1. 计算弧长s:s = ∫(a,t) |r'(t)| dt其中r'(t)为r(t)的一阶导数。
弧长曲线公式课件
![弧长曲线公式课件](https://img.taocdn.com/s3/m/53fe02464b7302768e9951e79b89680203d86b05.png)
05
弧长曲线公式的实际案 例
利用弧长曲线公式解决实际问题
计算地球上两点之间的最短距离
01
弧长曲线公式可以用于计算地球上两点之间的最短距离,即大
圆距离。
预测股票价格走势
02
通过分析股票历史价格数据,利用弧长曲线公式进行数据拟合
通过利用弧长曲线公式, 可以对图像进行压缩编码 ,实现高效的图像存储和 传输。
THANKS
感谢观看
弧长曲线公式课件
目录
• 弧长曲线公式的基本概念 • 弧长曲线公式的推导 • 弧长曲线公式的应用 • 弧长曲线公式的扩展 • 弧长曲线公式的实际案例
01
弧长曲线公式的基本概 念
弧长曲线的定义
弧长曲线是平面或空间中,由 一参数方程组确定的曲线。
弧长曲线可以表示为参数方程 组:x(t), y(t), z(t) 其中 t 是参 数。
语音信号处理
在语音信号处理中,弧长 曲线公式可以用于语音特 征提取和分类,实现高效 的语音识别。
利用弧长曲线公式进行图像处理
图像平滑
通过利用弧长曲线公式, 可以对图像进行平滑处理 ,减少图像中的噪声和细 节。
图像增强
弧长曲线公式可以用于图 像的对比度增强和色彩平 衡调整,提高图像的视觉 效果。
图像压缩
弧长曲线公式的推广
高维弧长曲线公式
将弧长曲线公式推广到高维空间,以处理更复杂的数据和几 何形状。
非线性弧长曲线公式
突破传统的线性弧长曲线公式,研究非线性弧长曲线的性质 和应用。
弧长曲线公式的近似计算方法
数值积分法
利用数值积分技巧,对弧长曲线 公式进行近似计算,以提高计算 效率和精度。
弧长与母线长关系公式
![弧长与母线长关系公式](https://img.taocdn.com/s3/m/9cf713e4a0c7aa00b52acfc789eb172ded6399e5.png)
弧长与母线长关系公式物理学讲究的是空间形态和运动规律,其中最重要的是圆形的磁场与相关的概念,包括弧长、半径、母线长等。
圆弧的几何性质是有关弧长与母线长之间的问题,其关系公式是计算物理空间结构的重要基础。
一、圆弧的几何性质圆弧是一条封闭的曲线,其定义如下:在平面上,任意一点A到一点B的曲线,若曲线上的任意一点的切线所成的角均等于某一定值,则这种曲线称为圆弧。
由上述定义可知,圆弧可由圆心O以及半径r来确定。
若圆弧以O为原点,以r为半径,从起点A到终点B,弧长l表示为:l = r θ,其中,θ为AOB两点之间的弧度。
二、弧长与母线长关系公式在学习圆形空间结构时,我们需要知道弧长与母线长之间的关系。
对于不同弧度的弧线,弧长和母线长的关系是不同的,并有着一定的函数关系。
一般情况下,弧长和母线长之间的函数关系定义为:l = 2πr sinθ/2其中,l表示圆弧的弧长,r表示圆弧的半径,θ表示两点之间的弧度,π表示圆周率。
其意义如下:圆弧的弧长是由半径r乘以弧度sinθ/2的积,再乘以圆周率π,即可得出圆弧的弧长。
如果计算母线长的关系,则可以把上述公式中的sinθ/2换成cosθ/2,于是,弧长与母线长的关系式可以表示为:l = 2πr cosθ/2其函数关系的意义是:圆弧的弧长的由半径r乘以弧度cosθ/2的积,再乘以圆周率π,即可得出圆弧的母线长。
通过分析可知,弧长与母线长之间的关系公式取决于弧度与半径,弧度靠近0时,sinθ和cosθ均接近于1,此时,圆弧的弧长与母线长几乎相同,关系式为l = 2πr;当弧度越来越大时,弧长和母线长之间的关系也发生改变,弧长减少,母线长增加,由此可见,弧度与弧长与母线长之间的关系密切。
三、弧长与母线长的应用弧长与母线长关系公式可以用来求解物理空间结构中许多问题,如圆形轨道的运动、磁场的分布等。
例如,粒子在圆形轨道上运动,可以使用弧长与母线长关系公式来计算粒子在轨道上移动所走过的弧长和母线长,从而求出粒子在轨道上走过的路程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2
2
切线方程为
x 0 y a z b 2
a 0
b
即
x0
z b
2
a
b
y a 0
法平面方程为 a(x 0) b(z b) 0.
2
曲线的弧长
x xt,
曲线的参数方程
y yt,
z zt,
a t b,
则弧微分 ds rrt dt
xt 2 yt 2 zt 2 dt.
o
也是法平面的法向量, 因此得法平面方程
x(t0 )(x x0) y(t0) ( y y0) z(t0 )(z z0 ) 0
例1 求曲线 x a cos t,
y
a sin
t,
(a
0, b
0,0
t
)
z bt
在(0, a, b )处的切线及法平面.
2
解 点(0, a, b )对应于t . 在该点处的切向量为(a,0,b).
弧长
S
b
a
rrt
dt
b
a
xt 2 yt 2 zt 2 dt.
例2 求曲线
x a cos t,
y
a sin
t,
(a
0, b0,0ຫໍສະໝຸດ t)z bt
的弧长S.
解
S
a2 sin 2 t a2 cos2 t b2 dt
0
a2 b2 .
习题5-4 2. 习题5-5 1.(1) (3) ; 第五章总练习 题 12.
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 位置.
过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
T
M
曲线方程为参数方程的情况
设 t t0 对应M (x0 , y0 , z0 )
T
M
t t0 t 对应 M (x0 x, y0 y, z0 z)
割线 MM 的方程 :
切线方程 x x0 y y0 z z0 r r x(t0 ) y(tr0 ) z(t0 )
即 r r t a t b 在 r t0 处的切线方程是 rr rr t0 +urr t0
此处要求 x(t0 ), y(t0 ), z(t0) 不全为0, 如个别为0, 则理解为分子为 0 .
T
M
切线的方向向量:
T (x(t0 ), y(t0 ), z(t0))
r(t)
称为曲线的切向量 .
空间曲线是指区间 a,b 到空间 R3的一个连
续映射的像.
r
rrr
曲线的向量表示 r t xti yt j ztk.
x xt,
曲线的参数方程
y yt,
z zt,
a t b,
若 xt, yt, z t在 a,b 有连续的导
数,且对于每一点 ca,b, xt, yt, zt
不同时为零,则称曲线是光滑曲线.