高数上第六章-弧长

ds (dx)2 (dy)2 [ 2(t ) 2(t )](dt )2
2(t ) 2(t )dt
弧长 s 2(t) 2(t)dt.
例3
求摆线
x y
a a1
sin cos
的一拱0
2
的长度。
解 x a1 cos y asin
s 2 x2 y2 d 0
2
2 (
x 1)3 被抛物线y 2
x
3
3
截得的一段弧的长度 .
三、计算星形线 x a cos3 t ，y a sin3 t 的全长 .
四、求心形线r a ( 1 cos )的全长.
五、证明：曲线 y sin x (0 x 2) 的弧长等于椭圆
x 2 2 y 2 2 的周长.
六、在 摆线 x a ( t sin t ), y a ( 1 cos t ) 上求 分 摆 线第一拱成1 : 3 的点的坐标.
弧长元素 ds 1 y2dx 弧长 s b 1 y2dx. a
例1
计算曲线
y
2
x
3 2
上相应于
x 从a 到b 的一
3
段弧的长度.
解
y
1
x2,
ds
1
(
x
1 2
)2
dx
1 xdx,
所求弧长为
a
b
s
b
1
xdx
2
[(1
3
b)2
(1
3
a)2 ].
a
3
x
例2. 求连续曲线段 y
cos t dt 的弧长.
解 r a,
s
r 2( ) r2( )d
2
2
0
a2 2 a2d a 0
2 1d
a 2 1 42 ln( 2 1 42 ) . 2
例6 求心形线r a1 cos a 0的全长。
解 由对称性
s2
r 2 ( ) r2 ( )d
0
2 2a 1 cos d 0
练习题答案
一、1、1 1 ln 3 ；2、a 2 ；
22
2
二、
8
[(
5
)
3 2
1].
92
三、6a .
四、8a .
六、(( 2 3)a, 3 a) . 3 22
3、 5 ln 3 . 12 2
i 1
曲线弧AB 的弧长.
二、直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x) y (a x b)，其中 f ( x)
在[a, b]上有一阶连续导数
取积分变量为x ，在[a,b]
dy
上任取小区间[ x, x dx]，
o a x x dx b x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 (dx)2 (dy)2 1 y2dx
2
解:
cos x 0,
2
x
2
s 2 1 y2 d x 2 2 1 ( cos x )2 d x
2
0
2 2
0
2 cos x d x 2 2
2
2sin
x 2
2
0
4
三、参数方程情形
曲线弧为
x y
(t) ,
(t)
( t )
其中 (t ), (t )在[ , ]上具有连续导数.
四、极坐标情形
曲线弧为 r r( ) ( )
其中 ( )在[ , ]上具有连续导数.
x y
r( r(
)cos )sin
( )
ds (dx)2 (dy)2 r 2( ) r2( )d ,
弧长 s r 2( ) r2( )d .
例 5 求阿基米德螺线r a (a 0)上相应于 从0到2的弧长.
一、平面曲线弧长的概念
设 A、B 是曲线弧上的两 y
个端点，在弧上插入分点
A M0 , M1, Mi ,
M2 M1
M n1 B Mn
, Mn1, Mn B
A M0
o
x
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目
无限增加且每个小弧段都缩向一点时，
n
此折线的长 | M i1M i |的极限存在，则称此极限为
4a cos d 8a. 02
五、小结
平面曲线弧长的概念
弧微分的概念
直角坐标系下
求弧长的公式
参数方程情形下
极坐标系下
思考题
闭区间[a, b] 上的连续曲线 y f ( x)
是否一定可求长？
思考题解答
不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证 曲线光滑才可求长．
练习题
一、填空题：
1、曲线 y ln x 上相应于 3 x 8 的一段弧长为
2a
si
n
d
0
2
8a.
2
2
2
例 4 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)的全长.
解 星形线的参数方程为
x a cos3 t
y
a
sin
3
t
(0 t 2)
y
a
o
ax
根据对称性 s 4s1
4 2 0
x2 y2dt
4 2 3a sin t cos tdt 0
6a.
____________；
2、渐 伸 线 x a(cos t t sin t ) ， y a(sin t t cos t)
上相应于 t 从 0 变到 的一段弧长为______；
3、曲 线 r 1 自 3 至 4 一 段 弧 长 为
4
3
____________ .
二、计算半立方抛物线 y 2