平面曲线的弧长

b a
dx
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
①
x -10 2
②
x a 0 b x -10 2 x
③
④
解：（4）在图④中，被积函数f (x) (x 1)2 1在[1，2]
上连续，且在[1，0]上f (x) 0,在[0，2]上f (x) 0， 根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
a 0
x
2dx
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
①
x -10 2
②
x a 0 b x -10 2 x
③
④
解：（2）在图②中，被积函数f (x) x2在[1，2]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
答案：
y
S
d
[j (
y)
y
(
y)]dy
。
c
d
xy(y)
xj(y)
c
O
x
下页
由上下两条连续曲线yf(x)、yg(x)与左右两条直线
xa、xb所围成的图形的面积为
S
b
a
[f(x)g(x)]dx。
例 1 求椭圆求椭圆 x 2 y 2 1 所围成的图形面积。 a2 b2
解：设椭圆在第一象限的面积为S1，则椭圆的面积为
A 01[(x 1)2 1]dx 02[(x 1)2 1]dx
讲授新课:
•直角坐标系 问题:试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y
y=x2
y y=f(x)
0 2x
y=g(x)
0a
bx
一、直角坐标系情形
y y f (x)
y
y f2(x)
o a x x xb x
oa
y f1( x)
在[, ]上y(t)连续，x (t)连续可微且 x'(t) 0, 记a x( ), b x( ), (a b或b a)，
则由曲线C及直线x a, x b和x轴所围图形面积公式为
A y(t)x'(t)dt.
•二 参数方程
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x y
j y
(t) (t)
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
a
0
A
40
ydx
4
b sin td(a cos t)
2
4ab 2 sin2 tdt ab. 0
三、极坐标系情形
设由曲线r j ( )及射线 、 围成一曲边扇 形，求其面积．这里，j ( )
d
r j ( )
d
在[ , ]上连续，且j ( ) 0 ．
面积元素 dA 1[j ( )]2 d
o
x
2
曲边扇形的面积 A 1[j ( )]2 d . 2
例 5 求双纽线 2 a2 cos 2 所围平面图形
的面积.
解 由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积
A1
Байду номын сангаас
A2
A3
•结论：
b a
f
(
x)dx的值都可用区边梯形面积
的代数和表示
几何意义
•应用
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0 a x -10 2 x a 0 b x -10 2 x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
义，可得阴影部分的面积为 A 21x2dx
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
①
x -10 2
②
x a 0 b x -10 2 x
③
④
解：（3）在图③中，被积函数f (x) 1在[a，b]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
y y=f(x)
a0
bx
怎样求面积呢？
A f (x) 0
1.
b a
f
(x)dx
-A f (x) 0
A表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积
y y=f(x)>0
A
0a
bx
y
a
b
0
Ax
y=f(x)<0
2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图
y
a
A1
0
y=f(x)
A3
A2
bx
则
b a
f
(x)dx
A
4 2
(y 4 1 2
y 2 )dy [ 1 2
y 2 y 4 y 1
4
6
y
3
]
4 2
1(88,。4)
1 2
y 2 )dy
[1 2
y2
4y
1 6
y
3
]
4
2
18 。2
18。
O2
4
4
8x
-2
(2, 2)
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•参数方程
设曲线C是由参数方程 x x(t), y y(t), t [, ]给出，
曲边梯形的面积A y t2 (t)j(t)dt . t1
（其中t1和t2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1,t2 ]（或[t2 ,t1 ]）上x j (t )具有连续导数， y y (t )连续.
例4
求椭圆 x 2 a2
y2 b2
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
a b
S 4S1 4
[ 0a
a 2 x 2 0]dx
4b a a 2 x 2 dx 4b a 2 ab。
a0
a4
x 2 dx
4b a 2
ab。
a4
y b y b a2 x2
a
S1
O
ax
下页
例 2 求曲线 y1 x2、y 1 与直线 x 3 、
2
1 x2
x 3 所围成的图形的面积。
xx b x
曲边梯形的面积 曲边梯形的面积
A
b
a
f
(
x)dx
A
b
a[
f2(x)
f1( x)]dx
由上下两条连续曲线yf(x)、yg(x)与左右两条直线
xa、xb所围成的图形的面积为
S
b
a
[f(x)g(x)]dx。
讨论：
由左右两条连续曲线xy(y)、xj(y)与上下两条直
线yc、 yd所围成的图形的面积 S 如何求？
解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。
1
S 2[ (
1
x 2 )dx
3 x2 (
1 )dx ]
0 1 x2 2
1 2 1 x2
y 1
O -1
y 1 x2 2
y
1
1 x
2
1 3 x
下页
例3 计算抛物线y22x 与直线yx4所围成的图形的 面积。
解：求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)。将图形 向y轴投影得区间[2，4]。
第十章 定 积 分的应用
§1平面图形的面积 §2 由平行截面面积求体积 §3 平面曲线的弧长 §4 旋转曲面的面积
§5 定积分在物理中的应用 §6 定积分的近似计算
小结与习题
§1平面图形的面积
一、直角坐标系情形 二、参数方程
三、极坐标系情形
复习: 定积分的几何意义
•曲边梯形的面积:
由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所 围成的图形