自动控制原理 第四章 根轨迹小结
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
自动控制原理第四章根轨迹法
i 1
j 1
开环极点到此被测零点 (终点)的矢量相角
8. 根轨迹的平衡性(根之和） （ n-m 2）
特征方程 Qs KPs 0
sn an1sn1 a1s a0 K sm bm1sm1 b1s b0 0
n
Qs KPs s p j sn cn1sn1 c1s c0 0 j 1
i 1
j1
k 0,1,2,
s zoi i 开环有限零点到s的矢量的相角
s poj j 开环极点到s的矢量的相角
矢量的相角以逆时针方向为正。
幅值条件：
s
m
m
s zoi
li
A s
i 1 n
i 1 n
s poj
Lj
j 1
j1
li αi
-zoi
Lj βj
×
-poj
开 环 有 限 零 点 到s的 矢 量 长 度 之 积 开环极点到s的矢量长度之积
， 2 2
c 2k 11800 2
由此可推理得到出射角：
其余开环极点到被测极 点(起点)的矢量相角
n1
m
c 2k 1180o j i
j 1
i 1
有限零点到被测极点
(起点)的矢量相角
同理入射角：
其余开环有限零点到被测 零点(终点)的矢量相角
m1
n
r 2k 1180o i j
1 GsHs 0
m
GsHs
KPs Qs
K
i 1
n
s
s
zoi
poj
j 1
P s sm bm1sm1 b1s b0
Q s sn an1sn1 a1s a0
于是，特征方程
(自动控制原理)第四章根轨迹(06改)
i 1 n
A( )e
j ( )
1 Kg
满足根轨迹方程的幅值条件和相角条件为：
由于Wk ( s )是复数，上式可写成：Wk ( s ) | Wk ( s ) A( )e j ( ) 1 | 或 A( )
| ( s z ) | li 1 | (s p j ) |
N z N p 1 2 ( 0,1,2,)
由此，满足幅值条件：
i j N z N p 180 (1 2 )
i 1 j 1
m
n
[例]： 已知系统开环零极点的分布如图示，判断z 2 和p2 之间的实轴是否存在根轨迹？
p4
p3
例题 4-1 已知开环系统的传递函数为：
K k (1s 1) Wk ( s) s(T1s 1)(T2 s 1)
求s=s0 时的放大系数K g 0。
解：改写传递函数为 K g ( s z1 ) K k 1 ( s 1 1 ) Wk ( s) T1T2 s( s 1 T1 )(s 1 T2 ) s( s p1 )(s p2 ) K k 1 K k p1 p2 Kg —— 根轨迹放大系数 T1T2 z1 K g z1 Kk —— 开环放大系数 p1 p2 可将系统的三个极点和一个有限零点画在复平面上如图：
1) 在根轨迹图中，“ ”表示开环极点，“ ”表示开环有限 值零
点。粗线表示根轨迹，箭头表示某一参数增加的方向。“ ” 表
示根轨迹上的点。
2）在绘制根轨迹时，令S平面横轴和纵轴比例尺相同。
g 3）绘制根轨迹的依据是幅角条件。
k
4）利用幅值条件计算
的值。
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
自动控制原理根轨迹法总结
自动控制原理根轨迹法总结
【根轨迹法概述】
-根轨迹法是分析线性时不变系统稳定性和动态性能的一个重要工具。
它通过在复平面上绘制闭环极点随系统参数变化的轨迹来实现。
【根轨迹法的基本原理】
1. 定义与目的：
-根轨迹是系统开环增益变化时，闭环极点在s平面上的轨迹。
-主要用于分析系统稳定性和设计控制器参数。
2. 绘制原则：
-根据系统开环传递函数，确定轨迹的起点和终点，分支点，穿越虚轴的点等。
-利用角度判据和幅值判据确定根轨迹。
【根轨迹法的应用】
1. 系统稳定性分析：
-根据闭环极点的位置判断系统的稳定性。
-极点在左半平面表示系统稳定，右半平面表示不稳定。
2. 控制器设计：
-调整控制器参数（如比例增益、积分时间常数、微分时间常数等），使根轨迹满足性能指标要求。
-确定合适的开环增益，使闭环系统具有期望的动态性能和稳定裕度。
【根轨迹法的优势与局限性】
-优势：直观、便于分析系统特性，特别是在控制器设计中。
-局限性：仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统不适用。
【实践中的注意事项】
-在绘制根轨迹时，应仔细考虑系统所有极点和零点的影响。
-必须结合其他方法（如奈奎斯特法、波特法等）进行综合分析。
【结语】
-根轨迹法是自动控制领域中一种非常有效的工具，对于理解和设计复杂控制系统具有重要意义。
-掌握根轨迹法，能够有效地指导实际的控制系统设计和分析。
编制人：_____________________
日期：_____________________。
自动控制原理第四章
2003.6
第二节 绘制根轨迹的基本法则
前面介绍了求根轨迹的分析法和试探法。对于高 阶系统来说，采用这两种方法绘制系统的根轨迹的过程 仍是十分麻烦的。但是，只要掌握根轨迹的一些共性及 某些特征点，就可以不用或少用试探法而又较快地绘制 出复杂系统的根轨迹，从而达到事半功倍的效果。 本节将根据根轨迹方程讨论根轨迹与开环系统零、 极点的关系，讨论根轨迹的特征点、渐近线和其它的某 些性质，从而归纳出绘制根轨迹的十条基本法则。现分 述如下：
Kg
(s p )
j
n
(s z )
i i 1
j 1 m
s p1 s p2 s pn s z1 s z2 s zm
(4 11)
2003.6
式中，分子为各开环极点至测试点s所形成的向量长度之积； 分母则为各开环零点对测试点s所形成的向量长度之积。
k = 0，1，
(s z )
Kg
2003.6
m
(s p )
j 1 j
i 1 n
i
1
(4 9)
相角条件方程为
(s zi ) ( s p j ) 1800 2k+1
i 1 j 1 m n
k = 0,1,2,
(4 10)
比较式（4－9）、（4－10）可看出，幅值条件方程（4－9） 与根轨迹增益Kg有关，而相角条件方程（4－10）却与Kg无关。 所以，s平面上的某个点，只要满足相角条件方程（4-10），则 该点比在根轨迹上。换言之，它就是根轨迹上的一个点。至于该 点所对应的Kg值，可从幅值条件方程求解得出。这意味着：s平 面上满足相角条件方程的一切点，都是对应于Kg取不同数值时的 闭环特征根，即根轨迹。总之，在s平面上满足相角条件的点， 必定也同时满足幅值条件。因此，相角条件是确定根轨迹的充分 而必要条件。
自动控制原理第四章根轨迹小结
2kπ
5
实轴上某段右侧零、极点个数之和为 奇 数，则该段是根轨迹
偶
6
根轨迹的分离点
j=1
m
∑
i=1
n
∑
d-pi
1
1
d-zj
=
k= 0,1,2, …
λL=
(2k+1)π
L
,
不变！
不变！
7
与虚轴的交点
8
起始角与终止角
变了
举例说明
利用根轨迹分析系统的性能
要求：
概略绘制系统轨迹图，判断系统的稳定性。
如果改变反馈通路传递函数使 H(s) = 1 + 2S 试判断 H(s) 改变后系统的稳定性，研究 H(s) 改变 所产生的效应。
根轨迹方程
特征方程 1+G（s）H ( s ) = 0
1
+
K*
=
0
j=1
m
∏
s
pi
(
-
)
pi
开环极点“×”, 也是常数！
开环零点“”,是常数！
Zj
i=1
n
∏
根轨迹增益K* ，不是定数，从0 ~ ∞变化
这种形式的特征方程就是根轨迹方程
s
zj
(
-
)
根轨迹的模值条件与相角条件
j=1
m
n
1
+
K*
3 分离角定义
实轴上某段右侧零、极点个数之和为奇数，则该段是根轨迹
j=1
m
∑
i=1
n
∑
d-pi
1
1
d-zj
=
k= 0,1,2, …
λL=
孙炳达版 《自动控制原理》第4章 控制系统的根轨迹分析法-5
R(s)
s 1
k s 2 (s 2)
Y(s)
j
j
σ
-1/τ
σ
4.5 系统性能的根轨迹分析
系统开环传递函数：
Gk ( s) Kg s( s 2)(s 3)
Þ ¿ Î ª » ·Á ã µ ã
j¦ Ø 2 -3 -2 -1 0 ¦ Ò -2
增加零点-z
Gk ( s) K g (s z) s( s 2)(s 3)
4.5 系统性能的根轨迹分析
例 系统的结构图如下，
R(s)
K
s 2 2 s 5 ( s 2 )( s 0.5 )
Y(s)
要求： １）用根轨迹法确定使系统稳定的Ｋ的取值范围； ２）用根轨迹法确定系统的阶跃响应不出现超调 量的Ｋ的最大值。
4.5 系统性能的根轨迹分析
解 由已知条件画出根轨迹如图， 其中根轨迹与虚轴的交点 分别为0和1.254j，对应的开环 增益Ｋ分别为0.2和0.75。 分离点为d=-0.409。 所以，系统稳定Ｋ的取值范围为：0.2<K<0.75 不出现超调量的Ｋ最大值出现在分离点处d=-0.409 处。将d代入 D( s ) ( s 2)(s 0.5)
由根轨迹图可测得该对主导极点为：
s1, 2 b jn n j 1 2 n 0.35 j 0.61
由根轨迹方程的幅值条件，可求得A、B两点：
Kg OA CA DA 2.3
根据闭环极点和的关系可求得另一闭环系统极 点s3=-4.3，它将不会使系统超调量增大，故取 Kg=2.3可满足要求。
4.5 系统性能的根轨迹分析
将零点z1<-10，系统根轨迹为 系统根轨迹仍有两条始 终位于S平面右半部， 系统仍无法稳定。
自动控制原理根轨迹法知识点总结
自动控制原理根轨迹法知识点总结自动控制原理中的根轨迹法是一种常用的分析和设计控制系统的方法。
它通过在复平面上绘制系统的根轨迹，并结合数学分析的方法，可以帮助我们了解系统的稳定性及动态特性，并设计出合适的控制器来实现所需的性能要求。
本文将对根轨迹法的原理和关键知识点进行总结。
一、根轨迹法的基本原理根轨迹法是通过分析系统的开环传递函数来确定系统的极点和零点在复平面上的分布情况。
根轨迹是由系统的特征方程的解所决定的，即特征方程的根随参数的变化而移动，形成了一条曲线，这条曲线即为根轨迹。
根轨迹的形状和分布反映了系统的稳定性、动态响应及频率特性。
根轨迹法的基本步骤如下：1. 给定系统的开环传递函数：G(s)H(s)，其中G(s)为系统的传递函数，H(s)为控制器的传递函数。
2. 将开环传递函数表示为极点-零点的形式：G(s)H(s) = K·(s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm)，其中K为传递函数的增益，zi和pi为传递函数的零点和极点。
3. 根据传递函数的特征方程：1+G(s)H(s)=0，得到特征方程：1+K·(s-z1)(s-z2)...(s-zn) / (s-p1)(s-p2)...(s-pm) = 0。
4. 以复平面为基准，根据特征方程的根（极点和零点），画出根轨迹。
5. 根据根轨迹的形状和分布，分析系统的稳定性和动态响应，设计合适的控制器参数。
二、根轨迹法的关键知识点1. 极点和零点：极点和零点是传递函数的根，它们对系统的稳定性和动态响应有着重要影响。
极点是使得特征方程为零的点，零点是使得传递函数的分子为零的点。
2. 稳定性判据：系统的稳定性和根轨迹的位置有直接关系。
当系统的极点全部位于左半平面时，系统是稳定的；若存在极点位于右半平面，则系统是不稳定的。
3. 根轨迹与动态响应：根轨迹的形状和分布反映了系统的动态响应。
根轨迹与阻尼比、自然频率等参数有关，可以通过观察根轨迹的形状来判断系统的超调量、振荡频率等动态性能指标。
自动控制原理第4章根轨迹分析
渐近线与实轴的交点为
n
m
pi zj
a
i1
j1
nm
(015)02 30
根轨迹的渐近线如图4-5所示。
34
图4-5 例4-3根轨迹的渐近线
35
【法则4】 实轴上的根轨迹。
实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应 为奇数。
上述结论可由根轨迹的相角条件方程(4-4)证明。 在s平面的实轴上任取一个实验点s1，其左侧的每个开 环实数零点或开环实数极点到s1的向量的相角均为0°。对 于s平面上共轭复数形式的开环零、极点，每对共轭的开环 零点或开环极点到s1的向量的相角之和均为0°。实验点s1 右侧的每个开环实数零点或开环实数极点到s1的向量的相 角均为180°。因此，根据根轨迹的相角条件方程，如果实 验点s1所在的实轴段是根轨迹，则其右侧的开环零、极点数 目之和应为奇数。
9
图4-2 例4-1根轨迹图
10
当Kg＝1时，特征根为相等的负实数，系统处于临界阻 尼状态，阶跃响应也无超调。
当Kg＞1时，特征根为一对共轭复数根，系统处于欠阻 尼状态，阶跃响应振荡衰减。
因此，所谓根轨迹，是指系统开环传递函数中的某个 参数变化时，闭环特征根在复平面上所走过的轨迹。这里 所说的某个参数，通常是指根轨迹增益Kg。除Kg外，有时 亦可取其他的可变参数。
19
4.2 绘制根轨迹的基本法则
根据幅值条件方程和相角条件方程，利用解析法或试 探法可以绘制低阶系统的根轨迹，但对于高阶系统，绘制 过程是很繁琐的，不便于实际使用。在控制工程中，通常 使用以两类条件方程为基础建立起来的一些基本法则来绘 制根轨迹。使用这些法则能够迅速地绘制出根轨迹的大致 形状和变化趋势。
15
式(4-3)也可写为以下形式：
自动控制原理-胡寿松-第四章-线性系统的根轨迹法.详解
系统的信号流图见图4-28，从信号流图中看出，系统中含有一个积分环节， 因此为1型系统，因此系统对阶跃输入信号的稳态误差为0。
K m 变化时系统的根轨迹， 2）为了绘制电动机传递系数（含放大器附加增益） 可将有关参数代入传递函数中，并将系统的特征方程进行整理，等价根轨迹增 益方程为：
1 K* P( s ) ( s 6.93 j 6.93)( s 6.93 j 6.93) 1 K * Q( s ) s 2 ( s 13.86)
当所有根轨迹分支都在左半平面时，系统稳定。 2) 稳态性能：
回忆：稳态性能主要取决于系统的开环增益和积分环节个数。
由根轨迹图不仅可以方便的确定开环增益和积分环节个数，而且可以根据给定系统 的稳态误差要求, 确定闭环极点位置的容许范围。
3)动态性能： 回忆：动态性能形态主要取决于系统的——闭环极点。 从根轨迹图上，可以直观地看到特征根随着参数的变化情况，从而，可以方便地 确定动态性能随着参数的变化情况。
K * lim
s
j 1 i 1 m
n
s pi s zj
lim s
s
nm
, 0 ,
nm nm
（无穷零点）
（无穷极点）
(n m 1)
（续）
且均为实数开环零、极点。
（续）
（续）
小结论： 由两个极点（实数极点或者复数极点）和一个有限零点组成的开环系 统，只要有限零点没有位于两个实数极点之间，当 K * 从零变化到无穷时， 闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到重根点的距 离为半径的一个圆，或圆的一部分。这在数学上是可以严格证明的。
例如，在上列程序之后增加语句： [k,p]=rlocfind(num,den)
自动控制原理第四章根轨迹小结课件
绘制根轨迹的条件
存在开环传递函数
01
根轨迹的绘制需要知道系统的开环传递函数。
参数可调
02
系统的开环传递函数中的参数必须是可调的，以便观察不同参
数值对系统性能的影响。
无闭环零点
03
根轨迹的绘制要求系统没有闭环零点，即系统的闭环极点必须
是实数。
根轨迹的分类
根据参数变化情况分类
可以分为单调递增、单调递减、周期性和非单 调性根轨迹。
无法分析多输入多输出系 统
根轨迹分析方法只适用于单输入单输出系统 ，对于多输入多输出系统，需要采用其他方
法进行分析。
04
CATALOGUE
根轨迹的拓展知识
多变量系统的根轨迹分析
根轨迹分析在多变量系统中，可以用于研究系统各变量之间的相互影响关 系。
通过绘制多变量系统的根轨迹图，可以直观地观察到系统各极点、零点的 变化情况，进而分析系统的稳定性和动态性能。
在多变量系统中，根轨迹分析可以帮助确定系统参数的最优配置，以实现 系统整体性能的提升。
非线性系统的根轨迹分析
对于非线性系统，根轨迹分析同样适用，但需要采用适当的坐标变换或状态反馈方法将非线性系统转 化为线性系统进行处理。
非线性系统的根轨迹分析有助于深入了解系统的非线性特性，如饱和、死区等，以及这些特性对系统稳 定性和性能的影响。
THANKS
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高阶系统的根轨迹分析
总结词
高阶系统的根轨迹分析相对复杂，需要综合考虑系统的 极点、零点和增益等参数。
详细描述
高阶系统是线性控制系统中比较复杂的一种，其根轨迹 分析需要考虑系统的极点、零点和增益等参数。通过绘 制高阶系统的根轨迹图，可以帮助设计者了解系统性能 的细节，并找到最优的系统参数配置。在进行高阶系统 根轨迹分析时，需要借助计算机仿真软件进行计算和绘 图。
自动控制原理胡寿松第四章根轨迹法
一定要写 成零极点 表达式
G s K 2K K g
s(0.5s1) s(s2) s(s2)
式中，K为系统的开环比例系数。 Kg = 2K 称为系统的开环根轨迹增益。 系统的闭环传递函数为：
(s)
Kg
a
s2 2sKg 4
系统的闭环特征方程为： s2 + 2s + Kg = 0
求得闭环特征根为：
a
11
下面看看怎样按上式表示的幅值条件和幅角条件绘制系统的闭环根轨迹图。
已知负反馈系统开环零极点
分布如图示。
j
在s平面找一点s1 ，画出各开环零、 极点到s1点的向量。
p2 2
1 z1
检验s1是否满足幅角条件：
p3
(s1 z1) [(s1 p1) + (s1 p2) + (s1 p3)]
？？ = 1 1 2 3 = (2k+1)
“奇是偶不是”
证明：设零、极点分 布如图示：
在实轴上取一测试点s1 。
2
1 =0
z1
s1
p3
j
p2 1
p1 0
3
由图可见，复数共轭极点到实轴s1 点的向量幅角和为2，复数共轭零点如此。因此在 确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑复数零、极点的影响。
a
21
s1 点左边开环实数零、极点到s1 点的向量幅角均为零，也不影响实轴上根轨迹的幅角 条件。
i1 dzi j1dpj
a
[证毕]
28
例4-2 求例4-1系统根轨迹的分离点。
解：根据例4-1，系统实轴上的根轨迹
段（1，0），位于两个开环极点之间，
该轨迹段上必然存在根轨迹的分离点。设
自动控制原理根轨迹知识点总结
自动控制原理根轨迹知识点总结自动控制原理是控制工程学科的基础课程之一，涉及了丰富而复杂的理论和实践知识。
在其中，根轨迹法是一种重要的分析和设计方法，用于评估系统的稳定性和性能，并确定控制器的参数。
本文将对根轨迹法相关的知识点进行总结。
一、根轨迹法的基本原理根轨迹法是通过分析系统的开环传递函数来评估其稳定性和性能。
它利用复变函数的性质，在复平面上绘制系统特征方程的根轨迹，从而可视化地表示系统的特性。
根轨迹法的基本原理可以概括为以下几点：1. 特征方程的根特征方程是描述系统行为的方程，其根即为系统的极点。
极点的位置和数量决定了系统的稳定性、震荡性以及响应速度等特性。
2. 根轨迹的绘制规则根轨迹的绘制可以根据主要的规则来进行。
其中，当系统增益的变化导致根轨迹相交或穿过虚轴时，会出现特殊情况，例如系统的稳定性改变或出现振荡。
3. 根轨迹与系统性能通过观察根轨迹的形状、分布和相互关系，可以初步评估系统的稳定性和性能。
例如，根轨迹离虚轴越远，系统的稳定性越好；根轨迹的角度反映了系统的相位裕度；根轨迹的频率响应则反映了系统的增益裕度。
二、根轨迹法的应用根轨迹法广泛应用于自动控制系统的分析和设计中。
它可以帮助工程师们理解和改善系统的性能，确保系统稳定可靠。
以下是根轨迹法的几个重要应用方面：1. 系统的稳定性分析通过绘制根轨迹，可以判断系统是否稳定。
如果所有的根轨迹都位于虚轴的左侧，则系统稳定；如果有根轨迹位于虚轴右侧，则系统不稳定。
2. 控制器的设计在根轨迹上，可以通过调整控制器的增益和相位来实现对系统性能的优化。
通过仔细观察根轨迹的形状和位置，可以选择合适的控制器参数，以满足系统的性能要求。
3. 震荡问题的解决根轨迹法可以用于解决系统震荡或不稳定的问题。
通过调整系统的增益和相位，可以使根轨迹远离虚轴，并确保系统的稳定性。
三、注意事项与实践技巧在应用根轨迹法进行系统分析和设计时，需要注意以下几点，以确保结果的准确性和可靠性：1. 选择合适的模型系统的数学模型对根轨迹法的应用至关重要。
自动控制原理根轨迹分析知识点总结
自动控制原理根轨迹分析知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统的基本理论和方法的学科，而根轨迹分析是自动控制原理中的一项重要内容。
本文将对根轨迹分析的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和运用这一分析方法。
一、根轨迹分析的基本概念根轨迹是描述控制系统传递函数的极点随参数变化而在复平面上运动的轨迹。
通过绘制根轨迹图，可以直观地了解系统的稳定性、动态响应和频率特性等重要信息。
二、根轨迹的性质1. 根轨迹图是在复平面上绘制的闭合曲线，其中包含了系统的所有极点。
2. 根轨迹出发点（即开环传递函数极点）的数量等于根轨迹终止点（即闭环传递函数极点）的数量。
3. 根轨迹关于实轴对称，即系统的实部极点只存在于实轴的左半平面或右半平面上。
4. 根轨迹通过传递函数零点的个数和位置来确定。
三、根轨迹的画法1. 确定系统的开环传递函数。
2. 根据传递函数的表达式，求得系统的特征方程。
3. 计算特征方程的根，即极点的位置。
4. 绘制根轨迹图，显示系统极点随参数变化的轨迹。
四、根轨迹的稳定性分析1. 若根轨迹通过左半平面（实部为负）的点的个数为奇数，则系统是不稳定的。
2. 若根轨迹通过左半平面的点的个数为偶数，则系统是稳定的。
五、根轨迹的频率特性分析1. 根轨迹的形状和分布可以判断系统的阻尼比、振荡频率和衰减时间等性能指标。
2. 根轨迹与系统的频率响应曲线之间存在一一对应的关系。
六、根轨迹的应用1. 根据根轨迹可以设计和优化控制系统的参数，使系统具有所需的动态性能。
2. 利用根轨迹可以直观地观察到系统的稳定性和动态响应，便于故障诊断和故障排除。
七、根轨迹分析的注意事项1. 在绘制根轨迹图时，应注意传递函数的极点和零点的位置，以及参数的范围。
2. 在分析根轨迹时，应考虑系统的稳定性、动态响应和频率特性等综合因素。
以上就是自动控制原理根轨迹分析的知识点总结。
根轨迹分析作为自动控制原理中的一项重要内容，对于理解和设计控制系统具有重要意义。
自动控制原理 第四章
m
(s p )
j 1
n
G( s) ( s ) 1 G( s) H ( s)
G( s) H ( s)
*
K ( s z1 ) ( s z m ) 1 ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
m
K K*
j 1 i 1 n
m
zi pj
i 1 j 1
例 判定si是否为根轨迹上的点。
解.
模值条件 相角条件
• 对s平面上任意的点，总存在一个 K* ，使其 满足模值条件，但该点不一定是根轨迹上的点。 • s平面上满足相角条件的点（必定满足幅值条 件） 一定在根轨迹上。
满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必
要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来 确定。
由代数定理： a n 1
p
i 1
n
i
l i a n 1 C
i 1
n
D( s ) s n a n 1 s n 1
an 2 s n 2 K * s n 2
an 3 s n 3 K *bn 3 s n 3
a0 K *b0
（对应重根）
分离角：(2k+1)*180/L
试根:
d [ 1,0.5] d1 0.5 d 2 0.6 d 3 0.55
d 0.55
d d 1 d 4 K d2
* d
0.589
法则7
与虚轴交点：
1）系统临界稳定点
2）s = jw 是根的点
例 某单位反馈系统的开环传递函数为
K * ( s 2) G( s) s( s 1)
自动控制原理根轨迹规划知识点总结
自动控制原理根轨迹规划知识点总结自动控制原理是研究将系统的输入、输出和功能关系用数学模型表示，并利用控制理论方法分析和设计自动控制系统的学科。
而根轨迹规划是自动控制原理中的重要内容，用于描述系统的稳定性和动态性能。
本文将对自动控制原理中的根轨迹规划知识进行总结，包括根轨迹的概念、绘制方法、性质以及应用等方面。
一、根轨迹的概念根轨迹是指在特定范围内改变系统的参数，并以参数为变量绘制出的所有系统传递函数零点或极点的轨迹。
通过观察根轨迹可以直观地了解系统的稳定性和动态性能。
根轨迹通常绘制在复平面内，横坐标表示实部，纵坐标表示虚部。
二、根轨迹的绘制方法1. 绘制根轨迹的步骤a) 通过给定系统的传递函数，确定系统的极点和零点。
b) 根据系统的极点和零点的数量和位置，确定根轨迹的起点和终点。
c) 确定根轨迹在实轴和虚轴上的对称性。
d) 确定根轨迹的趋近线和远离线。
e) 根据根轨迹的特性进行绘制。
2. 根轨迹的特性a) 以实负轴和虚轴上的极点、零点为轴心的圆形称为拐点圆。
b) 根轨迹在实轴上的起点和终点分别由零点和极点所决定。
c) 根轨迹不可交叉，且对称于实轴。
d) 根轨迹的趋近线和远离线的夹角决定了系统的快速响应性能。
三、根轨迹的性质1. 根轨迹的边界a) 根轨迹上的极点和零点均在左半平面时，根轨迹边界为实轴。
b) 根轨迹上存在部分极点或零点位于虚轴上时，根轨迹边界沿离心线和连接极点的径线绘制。
2. 根轨迹与系统稳定性和动态性能的关系a) 系统稳定性：若根轨迹上的极点都在左半平面，则系统是稳定的。
b) 系统动态性能：可通过根轨迹的形状和位置来评估系统的超调量、上升时间、稳态误差等指标。
四、根轨迹的应用根轨迹广泛应用于自动控制系统的分析与设计中。
在系统分析方面，可以通过根轨迹来判断系统的稳定性和动态响应特性。
在系统设计方面，可以根据根轨迹的要求和设计指标进行参数调整和优化，以满足系统的性能需求。
结语：本文对自动控制原理中的根轨迹规划知识进行了总结。
自动控制原理 第四章 线性系统的根轨迹方法(2011-3) (2)
பைடு நூலகம்β = 45
−ξπ 1−ξ 2
β = 60
[ s]
j
⎧45° < β < 60° ⎨ ⎩ 2 < ωn < 5
−5
−2
0
13
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ
= 0.0 σ % = 100% = 0.4 σ % = 25% = 0.5 σ % = 15% = 0.6 σ % = 10% = 0.7 σ % = 5% = 0.8 σ % = 2% = 1.0 σ % = 0%
A
ξ = 0.5
Im
λ3 = −2.34 X
−2
λ1 = −0.33 + j0.58
−1
X
−0.5
60
0
X
Re
λ2 = −0.33 − j0.58
21
三、高阶系统动态性能指标估算
1、高阶系统单位阶跃响应
(1) 高阶系统的单位阶跃响应包括常数项和响应模态。 (2) 除常数项以外，高阶系统的单位阶跃响应是系统模态的组 合，组合系数即部分分式系数。 (3) 模态由闭环极点确定，而部分分式系数与闭环零点、极点 分布有关，闭环零点、极点对系统动态性能均有影响。
ξ ≥ 1− r
( α)
2
ωd ≤ r
α − r ≤ ωn ≤ α + r
α − r ≤ ξωn ≤ α + r
如果设定区域
ξωn ≥ q
则选择 r ≤ min
(α − q , α
ξ ≥ ξ min
1− ξ
2 min
)
8
[例]：如图系统，求系统具有最小阻尼时K值及相应的 动态性能和稳态误差。
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不变！ ) ,终止于开不环零变点！( ∞
)
不变！
nm
∑pi-∑zj
∏︱s - z︱ 4
∣n-m∣条渐近线对称m于实轴,起点 σa
渐近线方向:
φa=
(22kk+π1)π
jn=-1m
k=j0,1,2,
=
i=1 j=1∣n-m∣ Nhomakorabea…
1 * = 5 实轴上某段右侧零、极点个数n之和为 奇偶 数，则该段是根轨迹
根轨迹方程
特征方程 1+G（s）H ( s ) = 0
Zj 开环零点“○”,是常数！
m
∏
1+K* j=1 n
(
s
-
zj )
=
0
∏ ( s-pi)
p i=1
开环极点“×”,
根轨迹增益K* ，不是定数i ，也从是0常~数∞！变化
这种形式的特征方程就是根轨迹方程
相角条件: 根轨迹的模值条件与相角条件
m
系统闭环特征方程为:
D(s) S 4 7S3 10S 2 2K * S K* 0
列劳斯表 S4
1
10
K*
S3
7
2K*
70 2K *
S2
K* 7
K *(91 4K*)
S
70 2K *
当 K* = 22.75 时，劳斯表 S 行的元素全为零。 由辅助方程：
A(s) (70 2K*)S 2 7K* 24.5S 2 159.25 0
17 与根虚轨轴迹的的交条点数就可是由特劳征斯根表的求个出数或 令s=jω解出
28 起根始轨角迹与对终称止于角实轴 3 根轨迹起始于开环极点 (0 ,)终止于开环零点(∞ )
4 ∣n-m∣条渐近线对称于实轴,均起于σa 点,方
K1**∏=︱s∏- ︱z︱s - =z︱1 j j 向56 由实实 根轴(φn举≠上a轴 轨m确例?某)上迹定段的的右: 根会σ侧a零=轨合jm=n、1迹 与∣i∑极=n1pn分点i--m个∑离jjmm==∣nz数11j之1 说和φ明a为什=么奇(22数dnk的-+推m，1导)则π3该分段k离=角是定0义,根1,轨2,迹…
根轨迹概念
常规根轨迹：在负反馈系统，开环系统根轨增益K*由0 变化到∞，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。 根轨迹与系统性能（稳定性）密切相关。
广义根轨迹：除根轨增益K*以外的其他情况下的根轨 迹称广义根轨迹。
参数根轨迹：在负反馈系统，以非根轨增益K* 为可变参数绘制的根轨迹。
零度根轨迹：在正反馈系统，开环系统根轨增益 K*由0变化到∞，闭环特征根在s平 面上移动的轨迹。
K ∏︱s∏-p︱︱s -p︱ n
∑ i=1
1 d-pi
m
=∑
j=1
i1=1 d-zj
,
λiL==1
i(2k+1)πi
L
k= 0,1,2, …
无零点时右边为零
L为来会合的根轨迹条数
根轨迹示例1
j
j
j
j
00
00
同学们，头昏了吧？
j
jj
0
0
0
j j
00
j j
0
根轨迹示例2
j
j
jj
jj
00
0 0
0 0
要求：
（1）概略绘制系统轨迹图，判断系统的稳定性。 （2）如果改变反馈通路传递函数使 H(s) = 1 + 2S 试判断 H(s) 改变后系统的稳定性，研究 H(s) 改变 所产生的效应。
解：（1）系统无开环零点，开环极点 为： P1 = P2 = 0 , P3 = – 2 , P4 = – 5
实轴上根轨迹区间为：[– 5 ，– 2]，[0 ，0]
模值条件: 相角条件:
K = *
∏n︱s -p︱i
i=1
∏m︱s
j=1
-
z︱j
π m
n
∑j=1∠(s-zj) －∑i=∠1 (s-pj) = (2k2+1k) π
k=0, ±1, ±2, …
绘制零度根轨迹的基本法则
1 根轨迹的条数就是特征根的个数 不变！
2 3
根轨迹对称于实轴 根轨迹起始于开环极点 (0
n=[n1=21];d=conv([1 2 05],[1[12621])0;]r)l;orcloucsu(ns,(dn),d)
j
j
j
j
jj
00
00
0
0
参数根轨迹
变化的参数不是开环根轨迹增益K*的根轨迹
解题关键：要将开环传函变形，将非开环增
益的参数变换到开环增益的位置。
注意：该变形是在等效变换的基础上得来的
解得根轨迹与虚轴的交点为： S 1,2 = ± j2.55 .
–5
–2
由右图可知 ， 当 0 < K* < 22.75 时， 闭环系统稳定
– 0.5 0
例二、已知系统开环传递函数，试应用根轨迹法 分析系统的稳定性，并计算闭环主导极点 具有阻尼比 ζ = 0.5 时的性能指标。
n
∑j=1∠(s-zj) －∑i=∠1 (s-pj) = (2k+1) π
k=0, ±1, ±2, …
1+K K = = -011 模值条绘件制:根*∏∏轨jmi==n1︱1迹︱(*(s的s--充pz∏︱∏︱要jijmi==n))1︱1条︱ss件--pz︱︱ji
确定根轨迹上某点对应的K*值
绘制根轨迹的基本法则
根轨迹渐近线条数为：4，且： a 1.75 a 450,1350,2250,3150
由分离点方程： 2 1 1 0
d d 2 d 5
得： (4d 5)(d 4) 0
d 4
–5
–2 0
无论 K* 取何值，闭环系统恒不稳定
• （2）当H(s) = 1 + 2S 时，系统开环传递函数为：
G(s)H (s)
K1 * (S 0.5) S 2(S 2)(S 5)
其中 K1* = 2K* . H(s) 的改变使系统增加了一个 开环零点。
实轴上的根轨迹区间为： [– ∞ ，– 5] ，[– 2 ,– 0.5 ],[ 0 , 0 ]
根轨迹渐近线条数为：3 且：
a 2.17 a 600 ,1800 ,3000
“等效”仅在闭环极点相同这一点上成立。
零度根轨迹
特征方程为以下形式时，绘制零度根轨迹
m
K * (s zj )
1– 1、
j1 n
0
(s pi )
i1
K*:0 ~ +
m
K * (s zj )
1+ 2、
j1 n
0
(s pi )
i1
K*:0 ~ –
零度零度根轨迹的模值条件与相角条件
K ∏︱s -p 6 根轨迹的分离点
︱ n
7∑
8i=1
与 起d1-虚 始pi 轴 角=的与∑jm=交终1 d点止1-z角j
,
不变！ λ变不L=i了变=1！(2kL+1)π
i
k= 0,1,2, …
利用根轨迹分析系统的性能
举例说明
例一、设反馈控制系统中
G(s)
K*
, H(s) 1
S 2 (S 1)(S 5)