1.5 三角函数的应用 教案
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计2
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计2一. 教材分析《三角函数的应用》是北师大版九年级数学下册第1.5节的内容，本节课主要让学生了解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
通过学习，学生能够理解正弦、余弦函数在直角坐标系中的图像，以及如何利用三角函数解决实际问题。
教材通过生活中的实例，引导学生感受三角函数在现实世界中的重要性，激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念和性质，对正弦、余弦函数的图像和性质有一定的了解。
但在解决实际问题时，部分学生可能会遇到困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习差异，引导他们将理论知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.能够运用三角函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的创新意识，激发学习兴趣。
四. 教学重难点1.重点：正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为三角函数问题，并求解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生感受三角函数在实际问题中的应用。
2.案例分析法：分析具体实例，让学生学会将实际问题转化为三角函数问题。
3.小组讨论法：培养学生合作学习的能力，提高解决问题的效率。
4.引导发现法：引导学生自主探究，发现三角函数在实际问题中的规律。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和案例，用于教学引导和分析。
2.准备三角函数图像和性质的复习资料，帮助学生巩固基础知识。
3.准备教学PPT，呈现教学内容和实例。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如电梯上升过程中，电梯内的人所受的加速度，引导学生思考如何利用三角函数解决实际问题。
2.呈现（10分钟）呈现三角函数图像和性质的复习资料，让学生回顾基础知识。
然后，呈现本节课的教学目标和方法。
3.操练（15分钟）分析具体案例，如过山车问题、跳伞问题等，引导学生将实际问题转化为三角函数问题。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第1.5节《三角函数的应用》主要介绍了正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，使学生了解三角函数在实际生活中的重要性，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对正弦、余弦函数有一定的了解。
但学生在应用三角函数解决实际问题方面还比较薄弱，需要通过本节课的学习，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.使学生掌握正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对三角函数的兴趣，培养学生的创新意识。
四. 教学重难点1.重点：正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数在实际问题中的应用。
2.利用案例分析法，分析实际问题中三角函数的运用。
3.采用小组合作讨论法，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备三角函数的图像和公式。
3.准备投影仪和教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示一些实际问题，如测量高度、角度等，引导学生思考如何利用三角函数解决这些问题。
2.呈现（10分钟）呈现三角函数的图像和公式，让学生了解三角函数的基本性质。
同时，结合实际问题案例，讲解如何运用三角函数解决实际问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用三角函数进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）选取几组实际问题，让学生独立解决。
教师及时给予反馈，巩固学生对三角函数应用的掌握。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将三角函数应用于其他领域，如工程、物理等。
让学生举例说明，培养学生的创新意识。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调三角函数在实际问题中的应用。
北师大版九年级数学1. 5 三角函数的应用教案
4、30°、45°、60°角的三角函数值是 刚才大家欣赏了动画
多少？
影片《船要触礁了》， 1、欣赏动画
二、创设情境、引入课题
大家看到了什么？有 影片《船要
什么感受？引导学生 触礁了》.
请同学们欣赏动画影片《船要触礁 交流，并提出本节课 2、回答老师
了》
要探究的课题.板书 提 出 的 问
课题：§1.5 三角函 题.
主
(1)求坡角∠的大小;
(2)如果坝长 100m,那么修建这个大坝
合
共需多少土石方(结果精确到 0.01m3 ) .
1、引导学生展开合 1、在老师的
作
作，交流.
引导下展开
设想讨论.
探
2、选择具有代表性的 2 、 动 手 操
解答方法投影展示. 作. 究
发
（详细解答过程见课件展示） 现
仅提读”、“问题解决(共 4 题)”，毫无疑问，编者的意图是想通过这些环节，
析
让学生自己“想一想、做一做、议一议、读一读，听一听讲解，体会到数学
的意义与趣味”.这种课堂模式的架构方向明确，回归学生主体的意识得到强 化.“随堂练习”中两个问题，既是前三个环节的补充也是运用的延伸.
学生已经学习了直角三角形中量与量之间的三个关系：边与边的关系 学
二、对教学过程的反思 1、本节课我从身边的问题入手，培养学生的运用意识和转化思想，建立数学 与生活的联系，能把生活问题数学化，会用数学的眼光去分析问题，解决问题. 教 2、整节课充分体现了以学生为主体，教师是学生学习过程的组织者和引导者.
3、本节课的教学内容是解直角三角形的应用问题.对一部分学生来说，他们从 作辅助线构建直角三角形，到利用方程解答题目，直至描述答案都显得轻松自 如；但对另外一部分学生来说，他们基础较差，对数学的应用不是那么得心应 手，不会合理构造直角三角形，也不能列出合理的方程进行解答.在课堂教学中， 学 如何面向全体学生，如何培优与转差，这是值得思考的一个问题 4、教师从教学过程设计上看，对各个问题的解决都充满了观察、猜想、推理 和交流等丰富多彩的数学活动，学生不仅获得了计算能力，而更重要的是获得 了自己去探究数学的体验和利用数学去解决实际问题的能力，从而激发学习兴 趣. 反 5、教师在教学中要充分关注学生思维的变化，抓住时机对学生进行启发引导， 使学生能用数学的眼光去观察现实生活问题，建立数学模型，真正体现数学来 源于生活又服务于生活这一思想. 三、对今后的改进意见 1、对以小组形式开展教学，要注意学生的主体性，同时，更要注意教师组织 思 和引导的艺术性，如，通过开展小游戏，采用形式多样化引导，以及如何能让 差生也完全融入学习中等等. 2、课后要及时了解学生的对本节课的学习情况，及时反馈，对不足之处加以 纠正，更注重教学的实效性.
1.5 三角函数的应用 -九年级下册数学教案教案(北师大版)
1.5 三角函数的应用 -九年级下册数学教案教案（北师大版）一、教学目标1.理解三角函数在实际生活中的应用；2.掌握三角函数在图形中的应用；3.能够解决与三角函数相关的实际问题。
二、教学重点1.了解三角函数的定义及其属性；2.掌握三角函数在图像中的应用。
三、教学难点1.解决与三角函数相关的实际问题；2.运用三角函数在图像中的应用。
四、教学过程1. 引入新知识通过展示一些实际生活中的例子，引导学生思考三角函数在实际中的应用，并让学生从自身经验出发，讨论三角函数的应用。
2. 三角函数的定义及其属性（1）三角函数的定义通过讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的定义式，引导学生理解三角函数的概念。
同时，还要强调角度的单位是弧度，在计算中要注意进行单位转换。
（2）三角函数的性质•正弦函数的值域是[-1,1]，在单位圆中，正弦函数的值等于角度对应弧长与半径之比。
•余弦函数的值域也是[-1,1]，在单位圆中，余弦函数的值等于角度对应弧长与半径之比。
•正切函数的定义域为全体实数，而值域不含1和-1。
3. 三角函数在图像中的应用（1）图像的绘制通过绘制三角函数的图像展示给学生，让学生观察并总结出三角函数图像的特点。
同时，提醒学生注意角度的变化对图像的影响。
（2）图像的分析让学生观察图像，找出图像的周期、最大值、最小值、零点等，培养学生对图像的分析能力。
（3）图像的应用通过一些例题，引导学生将三角函数的图像与实际问题相联系，运用三角函数的性质解决实际问题。
4. 实际问题的解决通过给出一些实际问题，引导学生运用三角函数解决问题。
在解决问题的过程中，要注重学生的思考和发现，以培养学生的解决问题的能力。
五、教学方法1.情境教学法：通过创设情境，引发学生兴趣，提高学习的积极性。
2.指导性教学法：在引导学生进行自主学习的同时，适时给予指导和帮助。
3.合作学习法：让学生之间相互合作，共同探讨问题，提高学生的学习效果。
六、教学评价根据学生的实际表现，进行课堂表现评价、书面作业评价和实际问题解决评价。
1.5三角函数的应用(教案)(教案)
3.增强学生的直观想象与数据分析能力：通过对三角函数图像的观察与分析，让学生在实际问题中运用三角函数知识，培养他们的直观想象与数据分析素养。
三、教学难点与重点
-理解三角函数图像与性质的关系：学生在理解三角函数图像与性质之间的关系时可能会感到困惑。
-突破方法：利用动态图像、互动软件等教学工具，帮助学生直观地理解函数图像与性质之间的关系。
-建立和求解三角函数模型：学生在建立模型和求解过程中可能会遇到各种问题，如参数的选择、公式的应用等。
-突破方法：通过小组合作、讨论交流等方式，让学生在尝试解决问题的过程中，逐步掌握建立和求解三角函数模型的方法。
4.教学过程中，我发现有些学生对三角函数的应用仍然局限于课堂上的例子，缺乏将知识拓展到其他领域的能力。为了提高学生的知识迁移能力，我计划在后续的教学中加入更多不同领域的实际问题，让他们学会运用三角函数知识解决问题。
5.总结回顾环节，学生对今天所学内容的掌握程度较高，但仍有个别学生在某些知识点上存在疑惑。在课后，我会及时关注这些学生的疑问，并给予个别辅导，确保他们能够跟上教学进度。
3.三角函数模型的建立：结合实际问题，建立三角函数模型，如气温变化、物体振动等，并运用所学的三角函数知识进行求解。
本节课旨在让学生掌握三角函数在实际问题中的应用，提高他们解决实际问题的能力，同时深化对三角函数图像与性质的理解。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的数学抽象能力：通过三角函数在实际问题中的应用，让学生学会从实际问题中抽象出数学模型，提高数学抽象素养。
北师大版1.5 三角函数的应用 教案
第一章直角三角形的边角关系1.5 三角函数的应用一、知识点1.用三角函数解决实际问题.2.借助于计算器进行有关三角函数的计算.二、教学目标知识与技能：1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.过程与方法：1.从生活实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学的思想.2.进一步感受数形结合的思想（方程方法与画图法），力图引发学生从三个例题解答中归纳并建构数学模型思想，即抽象成平面图形（直角三角形），再利用三角函数解决问题及其拓展与延伸情感态度与价值观：1.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.2.能将实际问题抽象成数学问题（数学符号或图像）.3.让学生在探索活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.三、重点与难点重点：1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.难点：灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决.四、回顾与思考（出示幻灯片2）1.直角三角形中，三边的关系？两个锐角的关系？边与角的关系？2.互余两角之间的三角函数关系？3.同角之间的三角函数关系？4.30°、45°、60°角的三角函数值是多少？五、创设情境，导入新知问题情景：请同学们欣赏动画影片《船要触礁了》（出示幻灯片3）问题1：大家看到了什么？问题2：有什么感受？引导学生交流，并提出本节课要探究的课题. 学生回答老师提出的问题.活动目的：从学生熟知的现实情景入手，既增强了趣味性，一下子抓住学生的注意力；又能使课题蕴含其中，使学生体会数学就在我们身边，也合理地揭示了学习新知识的必要性，从而激发学生探究的积极性.六、探究新知（一）探究一：船是否有触礁（出示幻灯片4）如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.1.在绝大部分学生解答完毕的情况下，小组内推选较好的学生黑板板书自己的解答过程，供全班同学交流、讨论，达到互通有无、查缺补漏的作用.2.教师对学生解答过程中闪光点给予肯定和表扬----比如在用三角函数时能指出所涉及的直角三角形，供其他学生们学习.3.鼓励学生从不同角度思考，用不同的方法进行求解.（出示幻灯片5）活动目的：同学们对此问题独立思考，能确定解答的方案，不理解的地方要积极地和同学、教师交流，从而释惑解疑.（二）探究二：塔有多高（出示幻灯片6、7）小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m)2.学生把自己的解决方案记录在纸上，为黑板上展示自己的解答过程做好准备.3.学生讲述解题思路，画图（抽象成数学问题），整理再现过程，展示成果（板演）（出示幻灯片8）交流合作，将问题转化为数学问题，画出示意图.（三）探究三：楼梯加长了多少（出示幻灯片9）深圳东门某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m)让学生在规定时间内完成并展示（投影）成果（出示幻灯片10、11）. 教师巡回指导，对学生画出的示意图中出现的问题予以纠正，及时提醒学生应注意的问题.1.引导学生分组探究下列问题，并推选该组的学生到黑板进行展示自己的解答过程，也可以利用投影仪展示出来，以备各组相互评价.2.询问部分学生的解答思路.指导部分学生：如果缺少数据，可以巧设未知数，起到解答的辅助作用.活动目的：通过这个实例，进一步进行有关三角函数的计算，发展数学应用意识和解决问题的能力.七、解决问题，共同提升（一）问题一：钢缆问题（出示幻灯片12）一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成40°夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m) .要求学生独立完成，把解答过程写到课堂练习本上．挑选三名同学到讲台前说出答案并讲述自己的思路.（二）问题二：大坝问题（出示幻灯片14）如图，水库大坝的截面是梯形ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°.(1)求坡角∠ABC的大小;(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方(结果精确到0.01m3（出示幻灯片15、16）1.引导学生展开合作，交流.2.选择具有代表性的解答方法投影展示.八、课堂小结（出示幻灯片17）九、布置作业1.必做题：习题1.6第1题、第2题.2.选做题：习题1.6第3题、第4题.。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计1
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计1一. 教材分析《三角函数的应用》是北师大版九年级数学下册第一章第五节的内容。
本节主要介绍三角函数在实际问题中的应用，包括正弦、余弦函数在测量、建筑、航海等领域的应用。
通过本节的学习，使学生了解三角函数在实际生活中的重要性，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念和性质，对三角函数有一定的了解。
但是，学生在应用三角函数解决实际问题方面还较为薄弱。
因此，在教学过程中，要注重引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.理解三角函数在实际问题中的应用。
2.学会运用三角函数解决简单的实际问题。
3.培养学生的数学应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：三角函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.案例分析法：通过分析实际问题，引导学生了解三角函数在各个领域中的应用。
2.问题驱动法：提出实际问题，引导学生运用三角函数进行解决。
3.合作学习法：分组讨论，引导学生共同探索三角函数在实际问题中的应用。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备黑板、粉笔等教学用具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角函数的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师展示准备好的实际问题案例，如测量一座山的高度、计算航海中的航向等，让学生直观地了解三角函数在实际问题中的应用。
3.操练（20分钟）教师引导学生分组讨论，运用三角函数解决实际问题。
学生在讨论过程中，可以互相学习、交流，提高解决问题的能力。
4.巩固（10分钟）教师选取几组学生讨论的结果，进行讲解和点评，巩固学生对三角函数在实际问题中的应用的理解。
5.拓展（10分钟）教师提出一些拓展性问题，引导学生深入思考，提高学生的创新能力。
1.5 三角函数的应用教案1
（2）三角关系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B =∠C=90°．
（3）边角关系tanA= ，sinA= ,cosA= ，
2.解法分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；
（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；
（3）已知两边解直角三角形．
3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决
A．6米B． 米C．2 米D．2 米
作业布置:
P24习题1.5 1,2,3题;
教学思考
课后训练
1.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏东时，光线与地面成α角，
房屋朝南的窗子高AB=h米，要在窗子外面上方安装一个水平挡
光板AC，使午间光线不能直接射人室内如，那么挡光板AC的
宽度为=__________．
2.如图，河对岸有一滩AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为α，
向塔前进s米到达D，在D处测得A的仰角为β，则塔高为____米.
请与同伴交流你是怎么想的?准备怎么去做?
学生展示.
师评价分析后课件展示规范解题过程.
课堂练习
如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成400夹角,且DB=5m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01m).
生转化成数学问题,小组独立解答后交流
师,课件展示
授课教案
日期：2019年7月18日上课人：
课题
三角函数的应用
课前复习
授课内容
教学目标
1．掌握仰角、俯角概念；
2．在用解直角三角形的知识解决实际问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识和能力.
【北师版九年级数学下册教案】1.5三角函数的应用1
1.5三角函数的应用1．经过生活中的实质问题领悟锐角三角函数在解决问题过程中的作用；(要点 )2．能够建立数学模型，把实质问题转变成数学问题． (难点 )一、情境导入为倡议“低碳生活”，人们常选择自行车作为代步工具，图①所示的是一辆自行车的实物图．图②是这辆自行车的部分几何表示图，此中车架档 AC 与 CD 的长分别为45cm 和 60cm，且它们相互垂直，座杆 CE 的长为 20cm.点 A、 C、 E 在同一条直线上，且∠ CAB＝ 75° .你能求出车架档AD 的长吗？二、合作研究研究点：三角函数的应用【种类一】利用方向角解决问题某船以每小时 36 海里的速度向正东方向航行，在点 A 测得某岛 C 在北偏东60°方向上，航行半小时后抵达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，其实就是求 CB 的距离能否大于 16，假如大于则不在暗礁地域内，反之则在．可经过构造直角三角形来求CB 的长，作 CD ⊥ AB 于D 点， CD 是 Rt△ ACD 和 Rt△ CBD 的公共直角边，可先求出 CD 的长，再求出 CB 的长；(2) 本题其实是问 C 到 AB 的距离即 CD 能否大于 16，假如大于则无触礁危险，反之则有，CD 的值在第 (1) 问已经求出，只要进行比较即可．解： (1)作 CD ⊥AB 于 D 点，设 BC＝ x，在 Rt△BCD 中，∠ CBD＝ 60°，∴BD ＝12x，3CD ＝2 x.在 Rt△ACD 中，∠ CAD ＝30°，3CD3 2x3tan∠ CAD ＝AD＝3，∴1＝3.∴ x＝18＋2x18.∵ 18>16，∴点 B 是在暗礁地域外；3(2)∵ CD ＝2 x＝ 9 3， 9 3＜ 16，∴若连续向东航行船有触礁的危险．方法总结：解决本题的要点是将实质问题转变成直角三角形的问题，经过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转变到这个直角三角形中解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 4 题【种类二】利用仰角和俯角解决问题已知该岛四周16 海里内有暗礁．(1)试说明点 B 能否在暗礁地域外；(2) 若连续向东航行有无触礁危险？请说明原由．某中学九年级学生在学习“直角分析： (1) 求点 B 能否在暗礁地域内，三角形的边角关系”时，组织睁开丈量物体高度的实践活动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼 AB 的高度 (如图 )，站在②号楼的 C 处，测得①号楼顶部 A 处的仰角α＝30°，底部 B 处的俯角β＝ 45°.已知两幢楼的水平距离 BD 为 18 米，求①号楼 AB 的高度 (结果保留根号 )．分析：依据在 Rt△ BCE 中， tan∠BCE＝BE，求出 BE 的值，再依据在 Rt △ ACE CE中， tan∠ ACE＝AECE，求出 AE 的值，最后依据 AB＝ AE＋ BE，即可求出答案．解：∵AB⊥ BD， CD ⊥ BD ，CE⊥AB，∴四边形 CDBE 是矩形，∴ CE ＝ BD ＝ 18 米．在Rt△ BEC 中，∵∠ ECB＝ 45°，∴EB ＝CE＝18 米．在Rt△ AEC 中，∵ tan∠AEACE ＝CE，∴ AE ＝ CE·tan ∠ ACE ＝18× tan30°＝ 63(米 )，∴ AB＝ AE＋EB ＝18＋6 3(米 )．因此，①号楼AB 的高为 (18＋ 6 3)米．方法总结：解决本题的要点是结合仰角、俯角构造直角三角形，而后再解直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后牢固提高”第 1 题【种类三】求河的宽度依据网上信息，益阳市为了改进市里交通情况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于 A、 B 两点，小张为了丈量 A、 B 之间的河宽，在垂直于新大桥 AB 的直线型道路l上测得以下数据：∠ BDA＝ 76.1°，∠BCA ＝68.2°， CD＝ 82 米．求 AB 的长 (精确到0.1 米，参照数据：sin76.1°≈ 0.97，cos76.1°≈0.24， tan76.1°≈ 4.0， sin68.2°≈ 0.93，cos68.2°≈ 0.37， tan68.2°≈ 2.5)．分析：设 AD ＝ xm，则 AC＝ (x＋ 82)m.在 Rt△ ABC 中，依据三角函数获取AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD 中，依据三角函数获取AB＝4x，依此获取关于x 的方程，进一步即可求解．解：设 AD ＝ xm，则 AC＝ (x＋ 82)m. 在ABRt△ ABC 中，tan∠ BCA＝AC，∴ AB＝AC ·tan ∠ BCA＝ 2.5(x＋ 82)．在 Rt△ ABD 中， tan∠ABBDA ＝AD，∴ AB＝ AD ·tan∠ BDA ＝ 4x，∴4102.5(x＋ 82)＝ 4x，解得x＝3 . ∴ AB＝ 4x＝410≈ 546.7m.4×3因此， AB 的长约为 546.7m.方法总结：解题的要点在于构造出直角三角形，经过丈量角的度数和丈量边的长度，计算出所要求的物体的高度或宽度．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第 5 题【种类四】仰角、俯角和坡度的综合应用如图，小丽假期在娱乐场游乐时，想要利用所学的数学知识丈量某个娱乐场地所在山坡AE 的长度．她先在山脚下点E 处测得山顶 A 的仰角是 30°，而后，她沿着坡度是i ＝ 1∶ 1( 即 tan∠ CED＝ 1)的斜坡步行 15 分钟抵达 C 处，此时，测得 A 点的俯角是 15° .已知小丽的步行速度是18米 /分，图中点 A、B、E、D 、C 在同一平面内，且点 D 、E、 B 在同一水平直线上．求出娱乐场所所在山坡AE 的长度 (参照数据： 2≈1.41，结果精确到0.1 米 )．分析：作辅助线 EF⊥ AC 于点 F，依据速度乘以时间得出CE 的长度，经过坡度得到∠ ECF ＝ 30°，经过平角减去其余角从而获取∠ AEF＝ 45°，即可求出AE 的长度．解：作 EF ⊥ AC 于点 F ，依据题意，得CE＝ 18×15＝270(米 )．∵tan∠ CED ＝ 1，∴∠ CED＝∠ DCE ＝45° .∵∠ ECF ＝ 90°－ 45°－ 15°＝ 30°，1∴EF ＝2CE＝ 135 米．∵∠ CEF＝ 60°，∠AEB＝ 30°，∴∠ AEF ＝180°－ 45°－ 60°－ 30°＝ 45 °，∴ AE ＝ 2 EF＝ 135 2≈190.4(米 )．因此，娱乐场所所在山坡AE 的长度约为 190.4 米．方法总结：解决本题的要点是能借助仰角、俯角和坡度构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．三、板书设计三角函数的应用1．方向角的看法2．三角函数的实质应用本节课尽可能站在学生的角度上思虑问题，设计好教课的每一个细节，上课前多揣摩．让学生更多地参加到课堂的教课过程中，让学生体验思虑的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．教师尽最大可能在课堂上投入更多的感情要素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反响工作，不停总结得失，不停进步．只有这样，才能真切提高课堂教学效率 .。
1.5 三角函数的应用(2) 教学设计 2021—2022学年北师大版数学九年级下册
1.5 三角函数的应用（2）教学设计一、教学目标1.了解三角函数在实际生活中的应用；2.掌握利用三角函数解决实际问题的方法；3.能够灵活运用三角函数解决简单的实际问题。
二、教学内容1.三角函数的应用；2.利用三角函数解决实际问题。
三、教学重难点重点：掌握三角函数在实际问题中的具体应用方法。
难点：在复杂实际问题中运用三角函数解决问题。
四、教学过程1. 导入新知识通过引入一个生活实例，如高楼大厦的斜面高度测量，引起学生对三角函数应用的兴趣。
2. 讲解三角函数的应用1.提醒学生前面学过的三角函数的定义和性质；2.通过生活实例，介绍三角函数在实际问题中的应用，如测量角度、测量高度、测量距离等；3.结合教材中的例题，讲解如何利用三角函数解决实际问题；4.引导学生思考，分析实际问题中如何确定已知量和目标量，如何选择适当的三角函数进行计算。
3. 练习三角函数的应用1.给学生提供一些练习题，让他们通过计算来加深理解；2.引导学生自己寻找生活实例，并设计问题，利用三角函数解决问题；3.学生自主解决问题后，进行小组讨论，相互交流和比较答案；4.教师进行总结，澄清可能出现的疑惑和错误，强调三角函数应用的重要性和实际意义。
4. 拓展应用1.引导学生思考，除了教材中的例子，还有哪些其他实际问题可以用三角函数解决；2.学生自主设计实际问题，运用三角函数解决；3.学生分享自己的问题和解决方法，进行展示和讨论，拓展学生的思维。
五、教学评价1.教师对学生的课堂表现进行观察和评价；2.学生通过练习题和实际问题的解决，展示自己的理解和应用能力；3.学生彼此之间的讨论和交流，促进学习氛围的形成。
六、课后作业1.完成教师布置的练习题；2.设计一个实际问题，利用三角函数解决，并写出解决步骤。
七、教学反思本节课通过引入实际问题，将抽象的三角函数应用知识联系到生活中，激发学生的学习兴趣。
课堂上通过讲解和练习，培养了学生运用三角函数解决实际问题的能力，同时也拓展了学生的思维。
1.5三角函数的应用教案
初中部数学科备课格式第周年级组别：组长：教师姓名授课时间月日课型新授课课题 1.5 三角函数的应用课时第课时教学目标1、经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2、能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.教学重点经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.教学难点灵活将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当三角函数来解决.教学步骤教学过程设计教学方法与设计意图一、复习旧课（1-2分钟）1．直角三角形边与角之间的关系？2．特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.为本节课做好铺垫二、新课导入（1-2分钟）如图,小明想测量塔AD的高度.他在B处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进4m至C处,测得仰角为45°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计).预习并导入本节的内容DA CB三、课程讲授（10-12分钟）一、例题讲解例：如图，已知∠A=30º, ∠DBC=45º，AB=4m，求CD的长.二、当堂检测1.如图,已知∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m.求△ABD的面积.讲授法，讲授利用三角函数，将实际问题转化为数学问题训练法，巩固提高三角函数的应用┌DA B C50m300 600C┌DA B4503004m四、课堂练习（5-10分钟）1、（2015.保康）如图，一艘货轮以36海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行40分钟后到达C处，发现此时灯塔B在它的北偏东75°方向，求此时货轮与灯塔B的距离（结果精确到0.01海里）26.075cos,97.075sin≈︒≈︒参考数据：五、拓展提升（10-15分钟）（2016.佛山）如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题等等．（1）如图，若B1B=30米,∠B1=22°,∠ABC=30°,求AC（精确到1米）；73.13,40.022tan,92.022cos,37.022sin≈≈︒≈︒≈︒参考数据：（2）如图2，若∠ABC=30°，B1B=AB，计算tan15°的值（保留准确值）；（3）直接写出tan7.5°的值．（注：若出现双重根式，则无需化简）训练法，拓展提升三角函数解决实际问题的应用。
北师大版九年级数学下册：第一章 1.5《三角函数的应用》精品教案
北师大版九年级数学下册：第一章 1.5《三角函数的应用》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章《三角函数的应用》是学生在学习了三角函数基础知识后，对三角函数在实际问题中的应用进行探讨。
本节课的内容包括正弦函数、余弦函数在实际问题中的应用，如测量角度、计算物体的高度等。
通过本节课的学习，学生能够了解三角函数在实际生活中的重要性，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角函数的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力。
但学生在实际应用三角函数解决生活中的问题时，可能会遇到一些困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握正弦函数、余弦函数在实际问题中的应用，能够运用三角函数解决测量角度、计算物体高度等问题。
2.过程与方法：通过实际问题，培养学生将理论知识与实际相结合的能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：使学生认识三角函数在实际生活中的重要性，培养学生的学习兴趣，激发学生探索数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：正弦函数、余弦函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为三角函数问题，以及如何运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题，引导学生主动探究，将理论知识与实际相结合。
2.案例教学法：分析生活中的实际案例，使学生了解三角函数在实际中的应用。
3.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：准备相关的实际问题案例，制作PPT，准备讲解稿。
2.学生准备：复习三角函数的基本知识，准备笔记本，记录学习内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的内容，如：“在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，求∠A的正弦、余弦值。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册1.5《三角函数的应用》一节，主要让学生了解三角函数在实际生活中的应用，学会使用三角函数解决一些简单问题。
教材通过实例引入正弦、余弦函数的概念，引导学生理解三角函数的实际意义，培养学生的应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对正弦、余弦函数有一定的了解。
但学生在应用方面可能还存在困难，需要通过实例讲解和练习，让学生更好地理解和掌握三角函数的应用。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握三角函数的基本概念，了解三角函数在实际生活中的应用。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生学会使用三角函数解决实际问题，培养学生的应用能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习三角函数的兴趣，培养学生的数学思维。
四. 教学重难点1.重点：三角函数在实际生活中的应用。
2.难点：如何引导学生将实际问题转化为三角函数问题，并运用三角函数解决。
五. 教学方法1.实例分析法：通过具体实例，让学生了解三角函数在实际生活中的应用。
2.问题驱动法：引导学生提出问题，分析问题，并运用三角函数解决。
3.小组合作法：让学生在小组内讨论问题，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关实例，如建筑设计、航海导航等。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个建筑设计实例，引入三角函数的概念。
例如，讲解在一个矩形建筑中，如何通过测量一个角的正弦值和余弦值，来确定建筑的高度。
2.呈现（10分钟）讲解三角函数在实际生活中的其他应用，如航海导航、声音传播等。
通过多媒体展示实例，让学生更直观地了解三角函数的实际意义。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，提出一个问题，然后运用三角函数解决。
例如，一个物体从地面上抛，已知抛出角度和初速度，如何计算物体落地时的位置。
4.巩固（10分钟）讲解学生提出的问题，引导学生将实际问题转化为三角函数问题，并运用三角函数解决。
1.5三角函数应用教案1
锐角三角函数的应用一、教学目标：(一)知识目标巩固锐角的三角函数，能够把某些实际问题中的数量关系抽象为直角三角形中元素之间的关系，并运用锐角三角函数解决问题。
(二)能力目标逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．(三)德育目标培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．二、教学重点、难点和疑点1．重点：能熟练运用有关三角函数知识．2．难点：运用适当的三角函数解决实际问题．三、教学过程1、探究活动一教师出示例题例1、今天我们仍然一起来测量教学楼的高度，实用文档如图6-29，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29(2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．2．探究活动二例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？实用文档这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计一. 教材分析《三角函数的应用》是北师大版九年级数学下册的重要内容。
这部分内容主要介绍了三角函数的概念、性质及应用。
通过学习，学生可以了解三角函数的基本概念，掌握三角函数的性质，并能运用三角函数解决实际问题。
本节课的内容为后续学习三角函数的其他部分打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念和性质有一定的了解。
但是，对于三角函数这一部分内容，由于其抽象性和复杂性，学生可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生逐步理解和掌握三角函数的知识。
三. 教学目标1.了解三角函数的基本概念，掌握三角函数的性质。
2.能够运用三角函数解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.三角函数的基本概念。
2.三角函数的性质。
3.运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解，使学生了解三角函数的基本概念和性质。
2.案例分析法：通过分析实际问题，使学生掌握运用三角函数解决问题的方法。
3.讨论法：引导学生分组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作三角函数的课件，帮助学生直观地理解三角函数的概念和性质。
2.实际问题：准备一些与生活相关的实际问题，用于引导学生运用三角函数解决实际问题。
3.练习题：准备一些有关三角函数的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些与三角函数相关的实际问题，引导学生思考并引入新课。
2.呈现（10分钟）讲解三角函数的基本概念和性质，让学生了解三角函数的定义和特点。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析实际问题，并运用三角函数解决问题。
教师巡回指导，帮助学生解决讨论中的问题。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
教师及时批改，给予学生反馈。
5.拓展（10分钟）讲解一些与三角函数相关的拓展知识，引导学生思考和探索。
北师大九年级数学下 1.5 三角函数的应用 精选教案1(2)
1.5 三角函数的应用教学目标(一)教学知识点1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.(二)能力训练要求发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.(三)情感与价值观要求1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气.2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.教具重点1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.教学难点根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.教学方法探索——发现法教具准备多媒体演示教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[师]直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.下面我们就来看一个问题(多媒体演示).海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁的危险吗)Ⅱ.讲授新课[师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的?[生]应该是“上北下南，左西右东”.[师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.[生]首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处.示意图如下.[师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?[生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A 的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A 到BC 所在直线的最短距离为过A 作AD ⊥BC ，D 为垂足，即AD 的长度.我们需根据题意，计算出AD 的长度，然后与10海里比较.[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD 如何求.根据题意，有哪些已知条件呢?[生]已知BC °＝20海里，∠BAD ＝55°，∠CAD ＝25°.[师]在示意图中，有两个直角三角形Rt △ABD 和Rt △ACD.你能在哪一个三角形中求出AD 呢?[生]在Rt △ACD 中，只知道∠CAD=25°，不能求AD.[生]在Rt △ABD 中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC ＝20海里，但它不是Rt △ABD 的边，也不能求出AD.[师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑?[生]我发现这两个三角形有联系，AD 是它们的公共直角边.而且BC 是这两个直角三角形BD 与CD 的差，即BC ＝BD-CD.BD 、CD 的对角是已知的，BD 、CD 和边AD 都有联系.[师]有何联系呢?[生]在Rt △ABD 中，tan55°＝AD BD ，BD=ADtan55°；在Rt △ACD 中，tan25°＝AD CD ，CD ＝ADtan25°.[生]利用BC ＝BD-CD 就可以列出关于AD 的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝20.[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.下面我们一起完整地将这个题做完.[师生共析]解：过A 作BC 的垂线，交BC 于点D.得到Rt △ABD 和Rt △ACD ，从而BD=AD tan55°，CD ＝ADtan25°，由BD-CD ＝BC ，又BC ＝20海里.得ADtan55°-ADtan25°＝20.AD(tan55°-tan25°)＝20，AD=︒-︒25tan 55tan 20≈20.79(海里). 这样AD ≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险.[师]接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.多媒体演示想一想你会更聪明：如图，小明想测量塔CD 的高度.他在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 至B 处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)[师]我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角?[生]当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的仰角指∠DAC ，60°的仰角指∠DBC.[师]很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答.(教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导)[生]首先，我们可以注意到CD 是两个直角三角形Rt △ADC 和Rt △BDC 的公共边，在Rt △ADC中，tan30°=ACCD ， 即AC ＝︒30tan CD 在Rt △BDC 中，tan60°=BCCD , 即BC ＝︒60tan CD ，又∵AB=AC-BC ＝50 m ，得 ︒30tan CD -︒60tan CD =50. 解得CD ≈43(m)，即塔CD 的高度约为43 m.[生]我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD 的高度时应考虑小明的身高.[师]这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时.的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离.如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m ，其他数据不变，此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?[生]示意图如右图所示，由前面的解答过程可知CC ′≈43 m ，则CD ＝43+1.6＝44.6 m.即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m.[师]同学们的表现太棒了.现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下. 多媒体演示：某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m ，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法)[生]在这个问题中，要注意调整前后的梯楼的高度是一个不变量.根据题意可画㈩示意图(如右图).其中AB 表示楼梯的高度.AC 是原楼梯的长，BC 是原楼梯的占地长度；AD 是调整后的楼梯的长度，DB 是调整后的楼梯的占地长度.∠ACB 是原楼梯的倾角，∠ADB 是调整后的楼梯的倾角.转化为数学问题即为：如图，AB ⊥DB ，∠ACB ＝40°，∠ADB ＝35°，AC ＝4m.求AD-AC 及DC 的长度.[师]这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式.我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它，开始吧![生]解：由条件可知，在Rt △ABC 中,sin40°＝AC AB ，即AB ＝4sin40°m ，原楼梯占地 长BC ＝4cos40°m.调整后,在Rt △ADB 中，sin35°＝AD AB ，则AD ＝︒︒=︒35sin 40sin 435sin AB m.楼梯占地长 DB=︒︒35tan 40sin 4m. ∴调整后楼梯加长AD-AC ＝︒︒35sin 40sin 4-4≈0.48(m)，楼梯比原来多占DC ＝DB-BC=︒︒35tan 40sin 4 -4cos40°≈0.61(m).Ⅲ.随堂练习1.如图，一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角，且DB ＝5 m ，现再在C 点上方2m 处加固另一条钢缆ED ，那么钢缆ED 的长度为多少?解：在Rt △CBD 中，∠CDB=40°，DB=5 m ，sin40°=DBBC ，BC=DBsin40°=5sin40°(m). 在Rt △EDB 中，DB=5 m ，BE=BC+EC ＝2+5sin40°(m). 根据勾股定理，得DE=2222)40sin 52(5︒++=+BE DB ≈7.96(m).所以钢缆ED 的长度为7.96 m.2.如图，水库大坝的截面是梯形ABCD ，坝顶AD＝6 m ，坡长CD ＝8 m.坡底BC ＝30 m ，∠ADC=135°.(1)求∠ABC 的大小：(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m 3)解：过A 、D 分别作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，E 、F 为垂足.(1)在梯形ABCD 中.∠ADC ＝135°，∴∠FDC ＝45°，EF ＝AD=6 m.在Rt △FDC 中，DC ＝8 m.DF ＝FC ＝CD.sin45°=42 (m). ∴BE=BC-CF-EF=30-42-6=24-42(m).在Rt △AEB 中，AE ＝DF=42 (m).tanABC ＝262242424-=-=BE AE ≈0.308. ∴∠ABC ≈17°8′21″. (2)梯形ABCD 的面积S ＝21(AD+BC)×AE= 21(6+30)×4 2=722 (m 2).坝长为100 m ，那么建筑这个大坝共需土石料100×722 ≈10182.34(m 3). 综上所述，∠ABC ＝17°8′21″，建筑大坝共需10182.34 m 3土石料. Ⅳ.课时小结。
九年级数学下册1.5三角函数的应用课时教案新版北师大版
1.5 三角函数的应用一、教学目标1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 二、课时安排 1课时 三、教学重点三角函数在解决问题过程中的作用 四、教学难点发展学生数学应用意识和解决问题的能力 五、教学过程 （一）导入新课如图,海中有一个小岛A,该岛四周10nmile 内暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A 岛南偏西550的B 处,往东行驶20nmile 后到达该岛的南偏西250的C 处.之后,货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是怎样想的？与同伴进行交流。
（二）讲授新课要解决上面这个问题,我们可以将其数学化,如图:解:要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D,如果AD>10nmile,则无触礁的危险 根据题意,可知,ABC北东∠BAD=550,∠CAD=250,BC=20nmile. 设AD=xnmile,00tan 55,tan 25,BD CDx x=== 00tan55,tan 25.BD x CD x ∴== 00tan55tan 2520.x x ∴-=()002020.79.tan 55tan 25x nmile ∴=≈- ∵20.79nmile ＞10nmile∴货轮继续向东航行途中没有触礁的危险. （三）重难点精讲例题1：如图,小明想测量塔CD 的高度.他在A 处仰望塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m 至B 处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).解:如图,根据题意可知∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.设CD=x,0tan ,.tan tan 60CDRt BCD DBC BCCD CDBC DBC ∆∠=∴==∠在中，0tan ,.tan tan 30CD CD CDRt ACD A AC AC A ∆=∴==在中， ∵AC-BC=AB0050,tan 30tan 60CD CD∴-=解得 CD ≈43（m ） ∴该塔约有43m 高.例题2：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).【分析】如图,根据题意可知，∠A=350,∠BDC=400,DB=4m.求(1)AB-BD 的长,(2)AD 的长.01sin 40,BCRt BCD BD∆=解：（）在中， 0sin 40.BC BD ∴=0sin 35,BCRt ABC AB∆=在中， ()000sin 4040.64284.48.sin 35sin 350.5736BC BD AB m ⨯∴==≈≈()4.4840.48.AB BD m ∴-≈-=答:调整后的楼梯会加长约0.48m.02tan 40,BCRt BCD DC∆=（）在中， 0.tan 40BCDC ∴=0tan 35,BCRt ABC AC∆=在中， 0.tan 35BCAC ∴=AD AC DC ∴=- 0011tan 35tan 40BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 00011sin 40tan 35tan 40BD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0.61.m ≈答:楼梯多占约0.61m 一段地面.（四）归纳小结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；AB CD┌ 4m350400（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．（五）随堂检测1. 海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向到航行，在B点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏到30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？2.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01海里）？【答案】1.解：由点A作BD的垂线，交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°由题意图示可知∠DAF=30°设DF= x , AD=2x则在Rt△ADF中，根据勾股定理()222223AF AD DF x x x=--=在Rt△ABF中，tanAFABFBF∠=，3tan3012x=+解得x=666310.4 AF x==10.4 > 8没有触礁危险2.解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈80×0.91 =72.8在Rt△BPC中，∠B＝34°sinPCBPB=72.872.8130.23 sin sin340.559PCPBB∴==≈≈当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里六．板书设计1.5 三角函数的应用（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．例题1：例题2：七、作业布置课本P20练习1、2练习册相关练习八、教学反思中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列图形中，线段MN的长度表示点M到直线l的距离的是（）A．B．C． D．【答案】A【解析】解：图B、C、D中，线段MN不与直线l垂直，故线段MN的长度不能表示点M到直线l的距离；图A中，线段MN与直线l垂直，垂足为点N，故线段MN的长度能表示点M到直线l的距离．故选A．2．如图，已知△ABC，按以下步骤作图：①分别以B，C 为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN 交AB 于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB 的度数为（）A．90°B．95°C．105°D．110°【答案】C【解析】根据等腰三角形的性质得到∠CDA=∠A=50°，根据三角形内角和定理可得∠DCA=80°，根据题目中作图步骤可知，MN垂直平分线段BC，根据线段垂直平分线定理可知BD=CD，根据等边对等角得到∠B=∠BCD，根据三角形外角性质可知∠B+∠BCD=∠CDA，进而求得∠BCD=25°，根据图形可知∠ACB=∠ACD+∠BCD，即可解决问题.【详解】∵CD=AC，∠A=50°∴∠CDA=∠A=50°∵∠CDA+∠A+∠DCA=180°∴∠DCA=80°根据作图步骤可知，MN垂直平分线段BC∴BD=CD∴∠B=∠BCD∵∠B+∠BCD=∠CDA∴2∠BCD=50°∴∠BCD=25°∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°故选C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质，熟练掌握各个性质定理是解题关键.3．如图，桌面上放着1个长方体和1个圆柱体，按如图所示的方式摆放在一起，其左视图是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据左视图是从左面看所得到的图形进行解答即可．【详解】从左边看时，圆柱和长方体都是一个矩形，圆柱的矩形竖放在长方体矩形的中间．故选：C．【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．4．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞b2，则a＞b“是假命题的反例是（）A．a＝﹣2，b＝1 B．a＝3，b＝﹣2 C．a＝0，b＝1 D．a＝2，b＝1【答案】A【解析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．由此即可解答. 【详解】∵当a＝﹣2，b＝1时，（﹣2）2＞12，但是﹣2＜1，∴a＝﹣2，b＝1是假命题的反例．故选A．【点睛】本题考查了命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．5．把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3【答案】B【解析】分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可.详解：（x+1）（x-3）=x2-3x+x-3=x2-2x-3所以a=2，b=-3，故选B．点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键. 6．已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】D【解析】根据多边形的内角和=（n﹣2）•180°，列方程可求解.【详解】设所求多边形边数为n，∴（n﹣2）•180°＝1080°，解得n＝8.故选D.【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理.7．某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（）A．在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”B．从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”C．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6【答案】D【解析】根据统计图可知，试验结果在0.16附近波动，即其概率P≈0.16，计算四个选项的概率，约为0.16者即为正确答案．【详解】根据图中信息，某种结果出现的频率约为0.16，在装有1个红球和2个白球（除颜色外完全相同）的不透明袋子里随机摸出一个球是“白球”的概率为23≈0.67>0.16，故A选项不符合题意，从一副扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红色的”概率为1327≈0.48>0.16，故B选项不符合题意，掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面朝上”的概率是12=0.5>0.16，故C选项不符合题意，掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率是16≈0.16，故D选项符合题意，故选D.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键.8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD上一点，且DF BC=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°【答案】B【解析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．∵DF BC=，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.9．如图所示，某公司有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在一条大道上（A，B，C三点共线），已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）A．点A B．点B C．A，B之间D．B，C之间【答案】A【解析】此题为数学知识的应用，由题意设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，肯定要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理．【详解】解：①以点A为停靠点，则所有人的路程的和＝15×100+10×300＝1（米），②以点B为停靠点，则所有人的路程的和＝30×100+10×200＝5000（米），③以点C为停靠点，则所有人的路程的和＝30×300+15×200＝12000（米），④当在AB之间停靠时，设停靠点到A的距离是m，则（0＜m＜100），则所有人的路程的和是：30m+15（100﹣m）+10（300﹣m）＝1+5m＞1，⑤当在BC之间停靠时，设停靠点到B的距离为n，则（0＜n＜200），则总路程为30（100+n）+15n+10（200﹣n）＝5000+35n＞1．∴该停靠点的位置应设在点A；故选A．【点睛】此题为数学知识的应用，考查知识点为两点之间线段最短．10．二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：∵二次函数图象开口方向向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线2b x a=-＞0，∴b ＞0，∵与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴y ax b =+的图象经过第一、二、四象限，反比例函数c y x=图象在第一三象限，只有C 选项图象符合．故选C ．考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象．二、填空题（本题包括8个小题） 11．关于x 的不等式组3515-12x x a ->⎧⎨≤⎩有2个整数解，则a 的取值范围是____________. 【答案】8⩽a<13；【解析】首先确定不等式组的解集，先利用含a 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a 的不等式，从而求出a 的范围．【详解】解不等式3x−5>1，得：x>2，解不等式5x−a ⩽12,得：x ⩽125a + ， ∵不等式组有2个整数解，∴其整数解为3和4，则4⩽125a +<5， 解得：8⩽a<13，故答案为：8⩽a<13【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解，掌握运算法则是解题关键12．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点OAC 的中点，点D 在A 射线BO 上，连接OE ，EC ，若AB ＝4，则OE 的最小值为_____．【答案】1【解析】根据等边三角形的性质可得OC ＝12AC ，∠ABD ＝30°，根据“SAS”可证△ABD ≌△ACE ，可得∠ACE ＝30°＝∠ABD ，当OE ⊥EC 时，OE 的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE 的最小值．【详解】解：∵△ABC 的等边三角形，点O 是AC 的中点，∴OC ＝12AC ，∠ABD ＝30° ∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°，∴∠BAD ＝∠CAE ，且AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）∴∠ACE ＝30°＝∠ABD当OE ⊥EC 时，OE 的长度最小，∵∠OEC ＝90°，∠ACE ＝30°∴OE 最小值＝12OC ＝14AB ＝1， 故答案为1【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． 13．如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），若抛物线21y x k 2=+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是 .【答案】－2＜k ＜12。
九年级数学下册 1.5 三角函数的应用教案 (新版)北师大版
课题：1.5三角函数的应用教学目标：1．经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.2．能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.3．通过把实际问题转化为数学问题过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力．教学重点与难点：重点：经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用．难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图．教法与学法指导：教法：1.创设情境法.通过播放视频，创设教学情境，激发学生学习兴趣.2.设疑启发法.通过设置疑问，启学生思维，引导学生分析问题.3.观察对比法.通过归纳类比，让学生由感性认识上升到理性认识.学法：1.自主探索法.学生通过独立思考，探索分析，提高数学分析能力.2.合作学习法.学生通过小组讨论，交流等学习过程，加强合作交流，提高学习效果. 教学准备：教师准备：多媒体课件。
学生准备：计算器。
教学过程：一、合作探究，导入新课直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等. 下面我们就来看一个问题(多媒体演示).活动内容1：海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处．之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是如何想的?与同伴进行交流.处理方式：首先我们可将小岛A 确定，货轮B 在小岛A 的南偏西55°的B 处，根据“上北下南，左西右东”，B 在A 的“下偏左”55°位置.C 在B 的正东方，即C 在B 的右边.且在A 南偏东25°处，即C 在A 的“下偏左”25°位置．在Rt △ABD 中，∵tan55°＝BDAD，∴BD ＝AD tan55°. 在Rt △ACD 中，∵tan25°＝CDAD，∴CD ＝AD tan25°． 设AD ＝x ，则BD ＝tan55°x ，CD ＝tan25°x . ∵BC ＝BD －CD , ∴tan55°x －tan25°x ＝20，解得，x ＝20tan 55tan 25︒-︒≈20.79，即AD ≈20.79海里．设计意图：“学数学、用数学”应是我们每位数学教师在教学中时刻不忘的数学宗旨.我们教育的学生，不只要学会知识，更重要的是会用知识.将实际问题抛给学生，引导学生想象问题情境，将自己置身于问题情境中，才能顺利的转化为数学问题，从而学会用数学知识解决实际问题.二、分析探索, 新知学习 活动内容1：回答下列问题.如图，小明想测量塔CD 的高度．他在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 至B 处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到1m)处理方式：（自主解决问题）（鼓励学生展示一下自己的过程）（实物投影展示）法1：由题意可知∠DAC ＝30°，∠DBC =60°，AB ＝50m ． 因为CD 是两个直角三角形Rt △ADC 和Rt △BDC 的公共边，所以，设CD =x ，在Rt △ADC 中，∵tan30°＝CD AC ，∴AC ＝tan30CD︒，即AC .法2:在Rt △BDC 中，∵tan60°＝CD BC ，∴BC ＝tan60CD︒，即BC x .又∵AB＝AC－BC＝50m x＝50．解得，x＝43，∴CD≈43m.即塔CD的高度约为43m．（实物投影展示）∵∠DAC＝30°，∠DBC=60°，∴∠ADB＝30°，∴∠DAC＝∠ADB，∴AB＝BD＝50.在Rt△BDC中，∵sin60°＝CD BD，∴CD＝sin60°BD＝50253≈43m.即塔CD的高度约为43m．设计意图：直角三角形的边角关系在航海，工程等测量问题中有着广泛应用，通过“想一想”的问题进一步让学生巩固如何用直角三角形的边角关系这一知识解决实际问题，提高学生的建模，转化能力.三、拓展升华, 变式思考活动内容1：在这个问题中，小明的身高忽略不计，而在实际测量时，应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离．如果小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6m，其他数据不变，此时塔的高度为多少？你能画出示意图吗？处理方式：（3分钟时间思考，交流，并实物投影展示.）如图所示，由前面的解答过程可知CC＇≈43m，则CD＝43＋1.6＝44.6m，即如果考虑小明的高度，塔的高度为44.6m．以开放题的形式呈现，让学生从多角度思考问题，既能培养学生的数学思维能力，又能调动学生学习数学的积极性.学生情绪高涨，讨论热烈.进而得出推论。
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一、情境导入
为倡导“低碳生活”，人们常选择自行车作为代步工具，图①所示的是一辆自行车的实物图．图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC 与CD 的长分别为45cm 和60cm ，且它们互相垂直，座杆CE 的长为20cm.点A 、C 、E 在同一条直线上，且∠CAB ＝75°.
你能求出车架档AD 的长吗？ 二、合作探究
探究点：三角函数的应用
【类型一】 利用方向角解决问题
某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航
行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30°方向上，
已知该岛周围16海里内有暗礁． (1)试说明点B 是否在暗礁区域外；
(2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．
解析：(1)求点B 是否在暗礁区域内，其实就是求CB 的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三角形来求CB 的长，作CD ⊥AB 于D 点，CD 是Rt △ACD 和Rt △CBD 的公共直角边，可先求出CD 的长，再求出CB 的长；(2)本题实际上是问C 到AB 的距离即CD 是否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD 的值在第(1)问已经求出，只要进行比较即可．
解：(1)作CD ⊥AB 于D 点，设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝60°，∴BD ＝12x ，CD ＝3
2x .在
Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，tan ∠CAD ＝CD AD ＝33，∴3
2x 18＋12x
＝3
3
.∴x ＝18.∵18>16，∴点B 是在暗礁
区域外；
(2)∵CD ＝
3
2
x ＝93，93＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险． 方法总结：解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 利用仰角和俯角解决问题
某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活
动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼AB 的高度(如图)，站在②号楼的C 处，测得①号楼顶部A 处的仰角α＝30°，底部B 处的俯角β＝45°.已知两幢楼的水平距离BD 为18米，求①号楼AB 的高
度(结果保留根号)．
解析：根据在Rt △BCE 中，tan ∠BCE ＝BE CE ，求出BE 的值，再根据在Rt △ACE 中，tan ∠ACE ＝AE
CE ，
求出AE 的值，最后根据AB ＝AE ＋BE ，即可求出答案．
解：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，CE ⊥AB ，∴四边形CDBE 是矩形，∴CE ＝BD ＝18米．在Rt △BEC 中，∵∠ECB ＝45°，∴EB ＝CE ＝18米．在Rt △AEC 中，∵tan ∠ACE ＝AE
CE ，∴AE ＝CE ·tan ∠ACE ＝
18×tan30°＝63(米)，∴AB ＝AE ＋EB ＝18＋63(米)．
所以，①号楼AB 的高为(18＋63)米．
方法总结：解决本题的关键是结合仰角、俯角构造直角三角形，然后再解直角三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第1题 【类型三】 求河的宽度
根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新
大桥．如图，新大桥的两端位于A 、B 两点，小张为了测量A 、B 之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：∠BDA ＝76.1°，∠BCA ＝68.2°，CD ＝82米．求AB 的长(精确到0.1米，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)．
解析：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，根据三角函数得到AB ＝2.5(x ＋82)m ，在Rt △ABD 中，根据三角函数得到AB ＝4x ，依此得到关于x 的方程，进一步即可求解．
解：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，tan ∠BCA ＝AB
AC ，∴AB ＝AC ·tan ∠BCA ＝2.5(x
＋82)．在Rt △ABD 中，tan ∠BDA ＝AB AD ，∴AB ＝AD ·tan ∠BDA ＝4x ，∴2.5(x ＋82)＝4x ，解得x ＝410
3.
∴AB ＝4x ＝4×410
3
≈546.7m.
所以，AB 的长约为546.7m.
方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或宽度．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型四】 仰角、俯角和坡度的综合应用
如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE
的长度．她先在山脚下点E 处测得山顶A 的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i ＝1∶1(即tan ∠CED ＝1)的斜坡步行15分钟抵达C 处，此时，测得A 点的俯角是15°.已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A 、B 、E 、D 、C 在同一平面内，且点D 、E 、B 在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE 的长度(参考数据：2≈1.41，结果精确到0.1米)．
解析：作辅助线EF ⊥AC 于点F ，根据速度乘以时间得出CE 的长度，通过坡度得到∠ECF ＝30°，通过平角减去其他角从而得到∠AEF ＝45°，即可求出AE 的长度．
解：作EF ⊥AC 于点F ，根据题意，得CE ＝18×15＝270(米)．
∵tan∠CED＝1，∴∠CED＝∠DCE＝45°.∵∠ECF＝90°－45°－15°＝30°，∴EF＝
1
2CE＝135米．∵∠CEF＝60°，∠AEB＝30°，∴∠AEF＝180°－45°－60°－30°＝45°，∴AE＝2EF＝1352≈190.4(米)．
所以，娱乐场地所在山坡AE的长度约为190.4米．
方法总结：解决本题的关键是能借助仰角、俯角和坡度构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
三、板书设计
三角函数的应用
1．方向角的概念
2．三角函数的实际应用
作
业
设
计
1．热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1`m）
2．如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)
教
学
后
记
本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，上课前多揣摩．让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．教师尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率.。