1.5 三角函数的应用 教案

一、情境导入

为倡导“低碳生活”，人们常选择自行车作为代步工具，图①所示的是一辆自行车的实物图．图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC 与CD 的长分别为45cm 和60cm ，且它们互相垂直，座杆CE 的长为20cm.点A 、C 、E 在同一条直线上，且∠CAB ＝75°.

你能求出车架档AD 的长吗？ 二、合作探究

探究点：三角函数的应用

【类型一】 利用方向角解决问题

某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航

行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30°方向上，

已知该岛周围16海里内有暗礁． (1)试说明点B 是否在暗礁区域外；

(2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．

解析：(1)求点B 是否在暗礁区域内，其实就是求CB 的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三角形来求CB 的长，作CD ⊥AB 于D 点，CD 是Rt △ACD 和Rt △CBD 的公共直角边，可先求出CD 的长，再求出CB 的长；(2)本题实际上是问C 到AB 的距离即CD 是否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD 的值在第(1)问已经求出，只要进行比较即可．

解：(1)作CD ⊥AB 于D 点，设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝60°，∴BD ＝12x ，CD ＝3

2x .在

Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，tan ∠CAD ＝CD AD ＝33，∴3

2x 18＋12x

＝3

3

.∴x ＝18.∵18>16，∴点B 是在暗礁

区域外；

(2)∵CD ＝

3

2

x ＝93，93＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险． 方法总结：解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 利用仰角和俯角解决问题

某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活

动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼AB 的高度(如图)，站在②号楼的C 处，测得①号楼顶部A 处的仰角α＝30°，底部B 处的俯角β＝45°.已知两幢楼的水平距离BD 为18米，求①号楼AB 的高

度(结果保留根号)．

解析：根据在Rt △BCE 中，tan ∠BCE ＝BE CE ，求出BE 的值，再根据在Rt △ACE 中，tan ∠ACE ＝AE

CE ，

求出AE 的值，最后根据AB ＝AE ＋BE ，即可求出答案．

解：∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，CE ⊥AB ，∴四边形CDBE 是矩形，∴CE ＝BD ＝18米．在Rt △BEC 中，∵∠ECB ＝45°，∴EB ＝CE ＝18米．在Rt △AEC 中，∵tan ∠ACE ＝AE

CE ，∴AE ＝CE ·tan ∠ACE ＝

18×tan30°＝63(米)，∴AB ＝AE ＋EB ＝18＋63(米)．

所以，①号楼AB 的高为(18＋63)米．

方法总结：解决本题的关键是结合仰角、俯角构造直角三角形，然后再解直角三角形． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第1题 【类型三】 求河的宽度

根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新

大桥．如图，新大桥的两端位于A 、B 两点，小张为了测量A 、B 之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线型道路l 上测得如下数据：∠BDA ＝76.1°，∠BCA ＝68.2°，CD ＝82米．求AB 的长(精确到0.1米，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)．

解析：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，根据三角函数得到AB ＝2.5(x ＋82)m ，在Rt △ABD 中，根据三角函数得到AB ＝4x ，依此得到关于x 的方程，进一步即可求解．

解：设AD ＝x m ，则AC ＝(x ＋82)m.在Rt △ABC 中，tan ∠BCA ＝AB

AC ，∴AB ＝AC ·tan ∠BCA ＝2.5(x

＋82)．在Rt △ABD 中，tan ∠BDA ＝AB AD ，∴AB ＝AD ·tan ∠BDA ＝4x ，∴2.5(x ＋82)＝4x ，解得x ＝410

3.

∴AB ＝4x ＝4×410

3

≈546.7m.

所以，AB 的长约为546.7m.

方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或宽度．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型四】 仰角、俯角和坡度的综合应用

如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE

的长度．她先在山脚下点E 处测得山顶A 的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i ＝1∶1(即tan ∠CED ＝1)的斜坡步行15分钟抵达C 处，此时，测得A 点的俯角是15°.已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A 、B 、E 、D 、C 在同一平面内，且点D 、E 、B 在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE 的长度(参考数据：2≈1.41，结果精确到0.1米)．

解析：作辅助线EF ⊥AC 于点F ，根据速度乘以时间得出CE 的长度，通过坡度得到∠ECF ＝30°，通过平角减去其他角从而得到∠AEF ＝45°，即可求出AE 的长度．

解：作EF ⊥AC 于点F ，根据题意，得CE ＝18×15＝270(米)．