第二章 流体静力学

所以表面abcd的总压力为：( p
p dx )dxdy x 2
同理面aˊbˊcˊd ˊ的总压
p dx 力为： (p )dydz x 2
z
微团在X轴方向的表面
力和为：
(p p dx p dx )dydz ( p )dydz x 2 x 2
p
p dx x 2
位质量流体受到的质量力在水平面x轴和y轴的投影为零， 铅直方向z轴的投影为重力加速度g，根据
则有
dp g dz
dp ( f x dx f y dy f z dz)



积分得
p zc g
液体静止的基本方程
式中：g在本书中取值9.807m/s2；
z为测压处相对于边界条件(基准面)的高差。 c为常数，大小由边界条件确定。




若一个函数W(x,y,z)使质量力的投影等于这个函数的偏
导数，即
W fx x

fy
W y
fz

W z
则称函数W(x,y,z)为质量力势函数。 一个存在质量力势函数的力场，称为有势力场，相应的
质量力称为有势质量力，简称有势力。
等压面性质： • 等压面就是等势面； • 等压面与质量力垂直； •两种互不掺混液体的分界面也是等压面。
等压面:在静止流体内，由静压力相等的各点组成的面
自由面：静止液体和气体接触的面
水平面既是等压面也是自由面
液体静压强分布规律只适用静止、同种、连续液体
同一容器或同一连通器盛有多种不同密度的液体时，关键是找到等 压面
§2-4

液体的相对静止
辩证唯物主义:
①运动是普遍的、永恒的和无条件的，因而是绝
对的。
aˊ b a dz cˊ A N dx c dy d
bˊ
M
p
dˊ
p dx x 2
o
y
x
2、六面体微团的质量力
微团六面体的体积为：
dV 为ρ ， 则微团六面体流体微团的质量： dm dxdydz 假定作用在流体上的单位质量力为 f 则作用在微团六面体上的总质量力为：
2、测压管水头
单位重量流体所具有的能量也可以用液柱高度来表示，
并称为水头。
在测量容器中取一点p，在容器壁面的同一高程上开两
个测压孔，并设置测压管，左侧为开口管，右侧为真空 管。在液体压强作用下，两个测压管都上升了一定高度 。显然真空管水头H＞开口管水头h。
测压管分析：
根据液体静止的基本方程可得： 开口管基本方程为： 真空管基本方程为： z为位置水头；
§2-3 重力作用下静止液体的压强分部
流体内分子一直在做不规则的运动，大量分子连续不
断地碰撞某一平面，单位时间内在单位面积上发生的动 量传递，即在单位面积上所产生的压力就是我们所谓的 压强，单位 “帕（Pa）”或“巴（bar）”。
绝对压强：以完全真空时的绝对零压强(p＝0)为基准来计量的压强p。 相对压强：以当地大气压强为基准来计量的压强Pr，即“pr=绝对压强 真空度：当流体的绝对压强低于当地大气压强时，就说该流体处于真
体有保持原有运动状态的倾向，而此时若以该物体为参考 系，并在该参考系上建立坐标系，看起来就仿佛有一股方 向相反的力作用在该物体上令该物体在坐标系内有发生位 移的趋向。
惯性坐标系：凡是牛顿运动定律成立的参考系，称为惯
性参考系，简称惯性系。
非惯性坐标系：是相对某惯性参考系作非匀速直线运动
的参考系，又称非惯性参照系（非惯性参考系） ，简称 非惯性系。
即
1 1 p dydz p S BCD cos dxdydz f z x2 n 6
由于

S BCD cos
1 dydz 2

1 1 1 dydz p dydz dxdydz f z 所以 p x2 n2 6 1 1 1 p p dx f z 2 x 2 n 6 p p 式中dx趋近于零，所以 x n
结论：
(1)在重力作用下的静止液体中，静压强随深度按线性规律 变化，即随深度的增加，静压强值成正比增大。 (2)在静止液体中，任意一点的静压强由两部分组成：一部 分是自由液面上的压强pa；另一部分是该点到自由液面的单 位面积上的液柱重量ρgh。 (3)在静止液体中，位于同一深度(h＝常数)的各点的静压 强相等，即任一水平面都是等压面。
假定作用在流体上的单位质量力为 f 则作用在微元四面体上的总质量力为：


6
f 在Z坐标轴上的分量分别为 f z 则总质量力在Z轴的分量为

1 F Z dxdydz f z 6

1 F dxdydz f 6

流体平衡方程
由于流体出于静止的平衡状态
所以流体的微元四面体 表面力=质量力
4、Y轴和Z轴同理可得
①从X轴的外力和为零得：
fx

1 p x
②同理可以推出Y轴的力平衡方程为：
fy

1 p y
③同理可以推出Z轴的力平衡方程为：

1 p fz z
以上三个方程式即为流体静止的微分方程。
欧拉平衡微分方程：
物理意义：在静止流体中，某点单位质量流体的 质量力与静压强的合力相平衡。在推导这个方 程中，除了假设是静止流体以外，其他参数(质 量力和密度)均未作任何限制。 适用范围：静止或相对静止状态的可压缩和不可 压缩流体
面平行的切应力，与作用面正交的压应力和拉应力，其中拉应力一般忽略。 质量力：租用在流体隔离体内每个流体微团上，大小与流体质量成比例的力。
注：
总压力p ： 静止流体与容器壁之间、 内部相邻两部分流体 之间的作用力。 单位 “牛顿”
静压力：单位面积所受的压力。即压强。
ps：工程流体力学中所说的压力，就是说的压强。与以前意义
二、等压面
静止流体中任意两点的压强差为：
dp p p p dx dy dz x y z
将流体静止微分方程带入上式可得为：
p p p dp dx dy dz ( f x dx f y dy f z dz) x y z

F lim A 0 A



，其中
(
du du ) 为流速梯度，流体为静止，则 dy 0 dy
，所以
0
且表面力具有传递性，所以静止流体不承受切应力，且压强作用方向为作用
面的内法线方向。
特征2
流体中某一点的压强的大小值与压强作用的方向无关。
证明： 在静止流体中取图示四面体ABCD,四面体各面的压强分别如下所示

②静止是有条件的、暂时的，因而是相对的。 没有任何方法可以证实一个物体是在绝对静止之
中。绝对静止的物体是不存在的。静止只是一个物体对 于它周围的另一个参照物保持位置不变，所以也只能是 相对运动和相对静止，运动和静止是相对的。
基本概念：
惯性：物体保持静止状态或匀速直线运动状态的性质。
惯性力：指当物体有加速度时，物体具有的惯性会使物


f 在X坐标轴上的分量分别为 f x 则总质量力在X轴的分量为



F dxdydz f


F x dxdydz f x

3、X轴流体外力和为零

处于静止状态下的微元平行六面体的流体微
团的平衡条件是：

作用在其上的外力在三个坐标轴上的分力之
和都等与零。
例如，对于x轴，则为
p dx p dx (p )dydz ( p )dydz dxdydz f x 0 x 2 x 2 1 p 化简后得： f x x
gh 2 (b)
h
h2
gh
h1
gh 2
gh 1 h2 gh 1
(a)
(b)
h1 h2
gh 2 (c) gh 1 (d)
画出下列AB或ABC面上的静水压强分布图
pa
A
相对压强分布 p p0 gh 图
A
Pa+ρgh
B
B
A
A
A
B
C
B
B
画出下列容器左侧壁面上的压强分布图
补充：
分界面：两种液体之间形成的面（分界面既是水平面又是等压面）
结论：
由Z轴方向的合力为零，可得
p p x n
由X轴方向的合力为零，可得
p p z n
由Y轴方向的合力为零，可得
p p y n
综上可得
p p p p x y z n
所以：流体中的压强大小值与压强作用的方向无关。
§2-2

流体静止的微分方程
一、欧拉平衡微分方程
流体静止的微分方程，即为流体静止时的质量力与表面 力的关系。1775年由欧拉提出，所以也称为欧拉平衡微分方
(1). 大小：p= gh；大小与线段长度成比例。 (2). 方向：垂直指向作用面；用箭头表示。
h
静 压 力 分 布 h 图
(3). 压强分布图外包线：平面——直线；曲面——曲线。
h1 gh 1 gh 1
2
用几何作 图的办法表 示压力分布 规律的图示 h 1 gh 1 gh 1 称为静压力 分布图。
作用在ACD面上 的流体静压强 pz px pn 作用在BCD面 上的静压强
如图： pn与x、y、z轴 的夹角分别为α、 β、γ
py
作用在ABD和上 的静压强
Z方向的表面力合力
，压强为 px 作用在面ABC上的流体总压力为： 1 Pz p dydz x2
①面ABC的面积为 ②面BCD的面积为 S BCD ，压强为 作用在面BCD上的流体总压力为：