欧拉线

欧理线

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线，且外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半。

莱昂哈德·欧拉于1765年在它的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。他证明了在任意三角形中，以上四点共线。欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

欧拉线的证法1

作△ABC的外接圆，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’

∵ BD是直径

∴ ∠BAD、∠BCD是直角

∴ AD⊥AB，DC⊥BC

∵ CH⊥AB，AH⊥BC

∴ DA‖CH，DC‖AH

∴ 四边形ADCH是平行四边形

∴ AH=DC

∵ M是BC的中点，O是BD的中点

∴ OM= 1/2DC

∴ OM= 1/2AH

∵ OM‖AH

∴ △OMG’ ∽△HAG’

∴AG’/MG’=AH/MO=2/1

∴ G’是△ABC的重心

∴ G与G’重合

∴ O、G、H三点在同一条直线上

如果使用向量,证明过程可以极大的简化,运用向量中的坐标法,分别求出O G H 三点的坐标即可.

欧拉线的证法2

设H,G,O,分别为△ABC 的垂心、重心、外心

。连接AG 并延长交BC 于D, 则可知D 为BC 中点。

连接OD ，又因为O 为外心，所以OD⊥BC。连接AH 并延长交BC 于E,因H 为垂心,所以 AE⊥BC。所以OD//AE ，有∠ODA=∠EAD。由于G 为重心，则GA:GD=2:1。

连接CG 并延长交BA 于F,则可知F 为AB 中点。同理，OF//CM.所以有∠OFC=∠MCF

连接FD ，有FD 平行AC,且有DF:AC=1:2。FD 平行AC ，所以∠DFC=∠FCA，∠FDA=∠CAD，又∠OFC=∠MCF，∠ODA=∠EAD，相减可得

∠OFD=∠HCA,∠ODF=∠EAC,所以有△OFD∽△HCA,所以OD:HA=DF:AC=1:2；又GA:GD=2:1所以OD:HA=GA:GD=2:1

又∠ODA=∠EAD，所以△OGD∽△HGA。所以∠OGD=∠AGH,又连接AG 并延长，所以∠AGH+∠DGH=180°,所以∠OGD+∠DGH=180°。即O 、G 、H 三点共线。

欧拉线的证法3

利用向量证明，简单明了

设H,G,O,分别为△ABC 的垂心、重心、外心.，D 为BC 边上的中点。 ∵AH OA OH +=

=向量OA+2向量OD (1)

=向量OA+向量OB+向量BD+向量OC+向量CD

=向量OA+向量OB+向量OC ；

而向量OG=向量OA+向量AG

=向量OA+1/3（向量AB+向量AC ）……………………………………（2） =1/3[向量OA+（向量OA+向量AB ）+（向量OA+向量AC ）]

=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）. ∴向量OG=1/3向量OH，

∴O、G、H三点共线且OG=1/3OH。