matlab求解变厚度薄板小挠度弯曲
薄板的小挠度弯曲问题
名称
圆形薄板的小挠度弯曲问题
轴对称弯曲问题
说明
固定边界
位移边界条件
简支边界
混合边界条件
自由边界
静力边界条件
圆形薄板的轴对称弯曲问题，其挠度函数的通解即内力表达式如表2所示。其中， 为特解，
由板面荷载来确定。
表3.圆形薄板的轴对称弯曲问题的解答
名称
表 达 式
挠 度
内 力
对于有孔板，则可由内外各两个边界条件确定挠度表达式的 ；对于无孔边，则可由板中心处的挠度和内力为有限值得条件，得出 ，再由边界条件确定 和 。但需指出的是，在某些特殊情况下（例如，板面上作用有集中力或者板面上有约束），为了求得问题的解答，可以对内力进行放松，即 。
所示。根据板的厚度，可以将板分为：
（1）厚板：板厚 与板面内的最小特征尺寸
之比大于 ，即 ,且厚板
三个方向的几何尺寸接近于同阶大小。这类
班一般须按弹性力学空间问题来处理。
（2）薄板：板厚 与板面内的最小特征尺
寸 之比在 和 之间，即
。这类板的抗弯刚度较大，
当受到一定大小的横向荷载作用时，薄板图1
将会产生弯曲变形，其挠度 比板厚 要小，最大挠度 ,可认为属于小挠度问题，否则属于大挠度问题。
或者有角点条件
式中： 为支座上端的沉陷。
如图4所示为以正方向标示于矩形薄板中面上的
总剪力、角点反力以及弯矩（以矩矢表示，右手
螺旋，双箭头为大拇指方向，其余四指的绕向即
为弯矩作用的方向），但表明其增量。
圆形薄板的小挠度弯曲问题
对于圆形、扇形、圆环形等形状的薄板，采用
极坐标求解往往比较方便。圆形薄板弯曲问题的基
正，如图2中所示。图2
圆形薄板的弯曲问题
dz
Et3 2w
12(1 ) x
xz
Qx
同样可得Qy,记 可得
D Et 2
12(1 2 )
Mx
D
2w x2
2w y2
My
D
2w y 2
2w x2
M xy
D(1
)
2w xy
Qx
D
x
2w
Qy
D
y
2w
如果用截面内力表示截面上的应力，可得
x
12M x t3
z
y
12M y t3
D
d2
d 2
1
d
d
d2 d 2
1
d d
q
这个常微分方程的解答是：
A2 B2 ln C ln K 1
此时，从板中取出一单元体，则单元
体单位长度上的弯矩和扭矩以及板中应力 分别为：
d2 d
M
D
d
2
d
M
D
1
d d
d2 d 2
M M 0
应力分别为：
Εz
1 2
zx
Ez
2(1
2)
z2
t2 4
x
2w
zy
Ez
2(1
2)
z2
t2 4
y
2w
另由平衡方程可得
y xz yx
z
x y
即
z Ez t2 z2 4w
z 2(1 2 ) 4
积分得
z
Ez
2(1
2)
t2 4
z
z3 3
4w
F3( x,
y)
根据薄板下面内的边界条件：
薄板的小挠度弯曲问题及经典解法
(z2
d2
4
)
y
2 w
（9-5）
（4）用w表示应力分量z
由平衡方程（7-1）式的第三式有（取 fz=0）：
z zx yz
z
x y
（c）
若体力不为零，可把薄板单位面积内的体力及面力归入薄板上面的
面力，并用 q表示。
d
q ( f )z zd
FRB
2D(1
)
2w xy
B
（9-18）
集中剪力或集中反力的正负号决定于角点处的扭矩的正负号， 而不能另行规定。据此，A点和C点处的剪力以沿z轴的正方向为正， 而O点和B点处的剪力以沿 z轴的负向时为正。
如果点B是自由边AB和自由边BC的交点，而点B并没有任何支 柱对薄板施以此向集中力，则应有FRB=0 ，亦即：
z
w
w(x, y)即在垂直于中面的任一法线
上，薄板全厚度内各点的挠度相同。
2）由几何方程， zy
w v y z
0
， zx
u z
w x
0
，得
v w ， u w z y z x （2） z 引起的形变可以不计。
（9-1）
由物理方程（7-12），有：
（3）应用时可查相关手册，若是双向配筋时，扭矩的影响 也可不考虑。
§9-4 边界条件 扭矩的等效剪力
矩形薄板，OC边简支；OA边固支；AB和BC边自由。
1. 固支边，OA边（x = 0）
(w) x ( w )
x
0 x0
0 0
（9-13）
2. 简支边，OC边 （y = 0）
x y
matlab矩形薄板小挠度弯曲
文章标题：深度探讨MATLAB矩形薄板小挠度弯曲1. 引言MATLAB矩形薄板小挠度弯曲是结构力学中一个重要的概念，它在工程实践中具有广泛的应用。
本文将从简到繁地介绍矩形薄板弯曲的基本原理，然后结合MATLAB编程进行深入探讨。
2. 概念解释矩形薄板小挠度弯曲是指在外载荷作用下，矩形薄板按弯曲方向产生微小挠曲，而在弯曲过程中，板材内部产生的应力和应变在纵横两个方向上是不均匀的。
这是一个复杂而又具有挑战性的问题，需要结合结构力学和数值分析方法来进行深入研究。
3. 原理分析在MATLAB中，我们可以通过有限元方法对矩形薄板的弯曲问题进行模拟和计算。
我们需要建立起矩形薄板的数学模型，包括边界条件、荷载情况等。
利用MATLAB中的有限元分析工具对模型进行离散化处理，得到数值解。
4. MATLAB编程在MATLAB中，我们可以使用PDE Toolbox来实现矩形薄板小挠度弯曲的数值模拟。
通过定义边界条件、加载情况和材料参数，利用PDE Toolbox提供的有限元方法可以得到矩形薄板在弯曲过程中的应力分布、挠度情况等关键信息。
5. 实例分析以具体的实例来说明，在MATLAB环境下我们如何进行矩形薄板小挠度弯曲的数值模拟。
通过编写MATLAB程序，我们可以得到矩形薄板在弯曲载荷下的挠曲情况，并分析不同参数对挠度的影响。
6. 个人观点对于矩形薄板小挠度弯曲问题的研究，MATLAB作为一款强大的数值计算软件，为工程师和科研人员提供了便利。
通过MATLAB的有限元分析工具，我们可以更加深入地理解矩形薄板的弯曲行为，并在工程实践中提供更科学的设计依据。
7. 总结本文从简到繁地介绍了MATLAB矩形薄板小挠度弯曲的相关原理，结合MATLAB编程进行了深入探讨，并通过实例分析展示了在MATLAB环境下进行矩形薄板弯曲问题的数值模拟。
通过本文的阅读，希望读者能更加深入地理解矩形薄板弯曲问题，并在工程实践中有所裨益。
在格式上，我将根据文章内容适当分段，并在适当位置多次提及指定的主题文字“矩形薄板小挠度弯曲”，使得文章内容更加连贯和有条理。
第十四讲 薄板小挠度弯曲(一)汇总
第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一）概念和假定薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。
荷载纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。
横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。
中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。
薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设）（1）垂直于中面方向的正应变εz 可以不计，由∂w /∂z = 0得到 w = w (x , y )板厚度内各点具有相同的挠度。
放弃物理方程：)]([1y x z z Eσσμσε+-= 目地：允许σz -μ(σx +σy ) ≠ 0（2）应力分量τxz 、τyz 、σz 远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为γxz = γyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，τxz 、τyz 是次要应力，σz 则为更次要应力） 0=∂∂+∂∂x w z u ，xwz u ∂∂-=∂∂0=∂∂+∂∂y w z v ，yw z v ∂∂-=∂∂x放弃物理方程：xz xz E τμγ)1(2+=，yz yz Eτμγ)1(2+= 即：允许γxz 和γyz 等于零，但τxz 和τyz 不为零。
只有三个物理方程)(1y x x E μσσε-=)(1x y y Eμσσε-=xy xy Eτμγ)1(2+=与平面应力问题相同。
（3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0，因此，(εx )z = 0 = 0，(εy )z = 0 = 0，(γxy )z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy 平面的投影形状不变。
弹性曲面微分方程按位移求解，基本未知量为挠度w ，需将其它物理量用w 表示，由x w z u ∂∂-=∂∂，yw z v ∂∂-=∂∂ 积分得到：),(1y x f z x w u +∂∂-=，),(2y x f z ywv +∂∂-= 由：(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0得到：f 1(x , y ) = f 2(x , y ) = 0，因此 z x w u ∂∂-=，z yw v ∂∂-= 则： z x w x u x 22∂∂-=∂∂=ε，z y w y v y 22∂∂-=∂∂=ε，z yx wx v y u xy ∂∂∂-=∂∂+∂∂=22γ将应力分量σx 、σy 、τxy 用w 表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1y w x w Ez E y x x μμμεεμσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1x w y w Ez E x y y μμμεεμσ yx wEz E xy xy ∂∂∂+-=+=21)1(2μγμτ w 仅为x 、y 的函数，因此应力分量与z 成正比。
薄板弯曲问题的有限元求解
薄板弯曲问题的有限元求解1.问题描述如图所示，已知悬臂矩形薄板，其几何尺寸为20m×10m×1m,左边固定，右上角节点上作用有向下垂直于板中面的集中载100N。
材料的弹性模量为Ex=300GPa,泊松比μ=0.3，求薄板的位移、应力及固定端反力。
2.分析步骤（1）进入Ansys（设定工作目录和工作文件）；（2）设置计算类型为Structural；（3）选择单元类型shell63，选择与厚度有关，在Real constants中定义厚度参数为1；（4）定义材料参数弹性模量为EX:3e11;泊松比PRXY：0.3；（5）建立几何模型生成节点和单元。
此题结构简单，受力也简单，因此可用4个单元来分析。
首先创造节点，节点的坐标是：1（0，0，1）2（0，5，1）3(0,10,1) 4(10,0，1) 5(10,5,1) 6(10,10,1) 7(20,0,1) 8(20,5,1) 9(20,10,1)，操作如下：GUI：Preprocessor>Modeling>Create>Nodes>In Active CSGUI：Preprocessor>Modeling>Create>Elements>AutoNumbered>ThruNodes，逆时针方向依次连接这几个点形成4个4节点四边形单元（6）施加载荷与约束加载与施加边界条件板的左边完全被固定，其自由度为0；右边第9节点施加了一个垂直方向的集中力（7）求解 （8）查看结果 1）变形结果可得最大变形为51011.0-⨯m 2）查看节点位移3）查看等效应力可以看出3节点受最大应力1248Pa，节点7所受应力最小。
4）查看节点力及力矩可以看出节点1、2、3既受到Z轴的集中力又受到X、Y的弯矩。
节点9只受外载作用。
3.如果将例题中的受力作如下图的改变，则此时单元的计算应为薄壳问题。
按照前面的计算方法可得出节点的线位移、角位移及力和力矩。
弹性力学圆形薄板
xz
Qx
t Ez 2 2 2 t 2 可得 Qx w t z dz 2 1 x 4 2
z d zx
Et 3 2 w 12 (1 ) x
t 2 t 2
x
Q
同样可得Qy,
记 可得
Et 2 D 12 (1 2 )
x z 0
0, 0
y z 0 xy z 0
0,
也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成 弹性曲面的一部分，但它在xy面上投影的形 状却保持不变。
二、弹性曲面的基本公式
1、弹性曲面的微分方程。 薄板的小挠度问题是按位移求解的，其基 本未知函数是薄板的挠度ω 。因此把其它 所有物理量都用ω 来表示，即可得弹性曲 面的微分方程。
z t 2
3、边界条件
边界上的应力边界条件，一般难于精确满足， 一般只要求满足边界内力条件。 情况一：以矩形薄板为例，说明各种边界处 的边界条件。假设OA边是固支边界， 则边界处的 挠度和曲面的法向斜率等于零。即
x 0
0,
0 x x 0
情况二：OC具有简支边界。则边界处的挠度 和弯矩等于零。即：
y xz yx z x y
即
z Ez t2 2 z 4 w z 2(1 2 ) 4 Ez z3 4 t2 z z w F3 ( x, y ) 2 2(1 ) 4 3
积分得
根据薄板下面内的边界条件：
圆形薄板轴对称 弯曲问题
主要内容：
一、有关概念及假定
二、弹性曲面的基本公式 三、圆形薄板轴对称弯曲问题的求解
非线性变厚度圆薄板轴对称弯曲问题的变分解答
方 面都有明显提 高， 因而在 工程 中得 到广泛应用。变厚度 圆薄板的厚度通常仅是半径 的函数 ， 并且受到的载荷关于板轴 线对称 ， 求解板 的变形、 内力、 应力等即形成变厚度 圆薄板轴对称弯曲问题。
关键词 ： 变厚度 圆板 ； 轴对称弯曲； 里茨法 ； 最大挠度因子 ； Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ 中图分类号 ： Ｔ Ｈ１ ６ ； Ｔ Ｇ１ １ ５ ． ５ ＋ ４ 文献标识码 ： Ａ 文章编 号： １ ０ ０ １ — ３ ９ ９ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ９ — ０ １ ３ ７ — ０ ３
摘
要： 基于能量原理 ， 推导 出均布栽荷作用下变厚度圆薄板轴对称 弯曲的变分列式， 应用计算代数 系统 Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ａ编
制程序 ， 计算得 到不同板厚参数 下的挠度方程和最大挠度 因子。结果表 明， 里茨法的计算过程 易于实现程序化 ， 计 算精度
高。 在求解变厚度 圆薄板小挠度 弯曲 问题 时是有效的。与等厚度板相 比较 ， 变厚度板在弯曲刚度、 抗屈曲和振 动的性能等
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｅ ｎ ｅ ｒ ｇ ｙ ｐ ｒ ｉ ｎ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ ．ｔ ｈ ｅ ｖ ａ ｒ ｉ ｔｉ ａ ｏ ｎ ｄ ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ａ ｕ ｎ ｆ ｉ ｏ 肌ｌ ｙ － ｌ ｏ ａ ｄ ｅ ｄ ｔ ｈ ｉ ｎ ｅ ｌ ａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｐ ｌ ｔ ａ ｅ ｗ ｈ ｈ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｌ ｅ ｔ ｈ ｃｋ ｉ ｎ ｅ ｓ ｓ ｉ ｓ ｄ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ． Ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｈ ｅ ｌ ｐ ｆｔ ｏ ｅ ｈ ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｔ ａ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｌ ａ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ， ｔ ｅ ｈ ｅ ｄ ｌｅ ｆ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｏｎ ｉ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｍ ｉ ｄ ｄ ｌ ｅ ￥ １ ￣ ｆ ｔ ２ ｃ ｅ ｆｔ ｏ ｈ ｅ ｐ ｌ ｔ ａ ｅ ｓ ｉ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｄ ．Ｔ ｈ ｅ ｎ ， ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｘ ｉ ｍ ｕ ｍ ｅ ｄ ｌｅ ｆ ｃ ｔ ｏ ｉ ｎ ｆ ａ ｃ ｔ ｏ ｒ ｓ ｗ ｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｄ ｉ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｔ ｈ ｃ ｉ ｋ ｅｓ ｎ ｓ ｐ ｒ ａ ａ ｍ ｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ｒｅ ａ ｃ ｌ ａ ｃ ｕ ｌ ｔ ａ ｅ ｄ ｓ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ａ ｅ Ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗ ｈａ ｔ ｔ， ｄ ｕ ｅ ｔ ｏ ｉ ｓ ｔ ｐ ｒ ｏ ｃ ｅ ｓ ｓ ｅ ａ ｓ ｙ ｔ ｏ ｂ ｅ ｐ ｒ ｏ ｇ ｒ ａ ｍｍ ｅ ｄ ａ ｎ ｄ她 ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｔ ａ ｏｎ ｉ ｌ ａ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｙ ， ｈ ｔ ｅ Ｒ ｉ ｔ ｚ ｅｔ ｍ ｈ ｏ ｄ ｓ ｉ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｗ ｅ ｉ ｎ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｌ ｈ ｔ ｌ ｅ ｅｆ ｄ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｆ ｏ ａ ｖ ｒｉ ａ ｂｌ ａ ｅ ｔ ｈ ｉ ｃ ｋ ｅｓ ｎ ｓ ｃ ｉ ｒ ｃ ｕ ｌ ｒ ａ ｐ ｌ ｔ ａ ｅ ． Ｃ ｏ ｍ ｐ ａ ｒ ｅ ｄ ｗ ｉ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｐ ｌ ａ ｔ ｅ ｗ ｉ ｔ ｈ ｕ ｎ ｉ ｆ ｏ ｒ ｍ ｔ ｈ ｉ ｃ ｋ ｎ ｅ ｓ ｓ ，
第十三章薄板的小挠度弯曲问题及其经典解法ppt
而是对边简支对边为任意边界的矩形薄 板
怎样选取挠度函数呢
q(x,y)
边界条件 对边简支 对边任意 矩形 荷载条件 任意横向 优点 思路明确 适用面较Navier略宽 缺点 确定边条更加复杂的薄板仍力不从心
一 边界条件
支）
任意边界（固支或自由或简 任意边界（固支或自由或简
二 选取w(x,y)
原则 1.满足部分边条 x=const 2.含有待定系数（为y的函数）
，导致 实际
实际
，导致
不符合 不符合
3.若圆板中心有集中力p作用或有支撑则 应保留 项
0
§13-10 圆形板 轴对称问题算例
序 算例 号 1
2
3
4
载荷 解答
定解条件 特解
序 算例 号 5 6
7
8
载荷 解答
无均 布载 荷 无均 布载 荷
上 下
定解条件 特解
§13-11 圆形薄板在 静水压力下的弯曲
件 三个自由边则要提出两个角点条件
角点条件类型 （1）若B点有支撑 （2）若B点有支撑沉陷 （3）若B点无支撑 （4）若B点有集中力
2.角点力能否与弯曲内力 叠加？ 3.角点力能否与 叠加？ 4.自由边扭矩转换为等效横向剪力与 合
并为
5.写出下列板的边界条件
O
bz
a
写出x=a边界条件
C x 及B点和C点角点条件
4． 关于q，单位（力*长度 ），沿着 z方向为正
t
q z 2 zdz
面力
t2
体力
板壳力学
12
§13-3 薄板应力和内 力相互关系
复习
薄板弹性曲面微分方程
一.应力 内力
(13-12)
matlab求解材料力学抗弯刚度
matlab求解材料力学抗弯刚度【最新版】目录1.引言2.MATLAB 求解材料力学抗弯刚度的原理3.MATLAB 求解材料力学抗弯刚度的步骤4.结论正文1.引言材料力学是研究材料在外力作用下发生形变和破坏的学科，其中抗弯刚度是材料在弯曲过程中抵抗弯矩的能力。
在实际工程中，了解材料的抗弯刚度对于结构设计和分析至关重要。
MATLAB 是一种强大的数学计算软件，可以用来求解材料力学中的各种问题，包括抗弯刚度。
本文将介绍如何使用 MATLAB 求解材料力学抗弯刚度。
2.MATLAB 求解材料力学抗弯刚度的原理材料力学中的抗弯刚度计算通常基于梁的弯曲理论。
梁在弯曲过程中，其形变可以表示为挠度，而抗弯刚度就是梁在弯曲时抵抗挠度的能力。
根据弯曲理论，梁的抗弯刚度与其截面几何形状、材料性质以及截面惯性矩等因素有关。
MATLAB 可以通过有限元分析方法求解梁的抗弯刚度，即将梁划分为多个微元，分别计算每个微元的弯矩和挠度，然后求和得到整个梁的抗弯刚度。
3.MATLAB 求解材料力学抗弯刚度的步骤（1）准备模型参数：首先需要确定梁的材料性质、截面形状和尺寸等参数。
这些参数将影响梁的抗弯刚度计算结果。
（2）建立 MATLAB 模型：使用 MATLAB 中的有限元分析工具箱，创建一个弯曲梁模型。
需要指定梁的截面形状、尺寸、材料性质以及边界条件等。
（3）计算弯矩和挠度：通过 MATLAB 求解弯曲梁模型，得到每个微元的弯矩和挠度。
（4）计算抗弯刚度：根据梁的抗弯刚度定义，计算整个梁的抗弯刚度。
通常需要对所有微元的弯矩和挠度进行积分，然后除以梁的总长度。
4.结论MATLAB 是一种非常有用的工具，可以有效地求解材料力学中的抗弯刚度问题。
通过有限元分析方法，可以计算出梁在弯曲过程中的弯矩和挠度，从而得到梁的抗弯刚度。
有限元分析薄板挠度(附C程序)
1问题描述某周边简支非均匀的矩形（或圆形）板在均布载荷作用下挠度过大。
结合实际，提出集中改进设计方案，并进行对比分析。
2.问题分析不均匀板有两种主要的情况，结构不均匀和材料不均匀，结构不均匀是指板的厚度不是常量，材料不均匀体现在板的弹性模量和泊松比是变化的。
另外，有的板可以是以上两种情况的混合情形。
不均匀板与均匀板的有限元问题有哪些差别呢？下面从均匀板问题推导出非均匀板有限元问题的解决方法。
2.1应力应变先以结构不均匀板为例来讨论。
假设一矩形板长为2，宽为2，厚度沿x ，y 不均匀，由一函数()h ,h x y =描述，但仍然符合薄板假设。
对于均匀板，显然h 是一个常数。
设挠度为()=x,y ωω，则板内应变向量可以表示为{}2222211==z 12x x y y xy xy x z y x y ρεεεωεγγ⎧⎫⎧⎫∂⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪∂∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭应力应变关系为{}1p z D σρ⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎣⎦⎩⎭弯矩扭矩矩阵{}{}()()h ,2h ,2x y x y M zdz σ-=⎰这里就体现出不均匀板和均匀板的区别了。
积分完毕后，可以得到{}[]1M D ρ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭其中薄板的弯曲系数矩阵[]()()()321,1012101/2Eh x y D μμμμ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦是关于薄板总体坐标的函数，所以对各个分单元都是不同的。
各单元的弯曲系数矩阵可以采用单元中心处的代替。
那么就可以得出一系列的弯曲系数矩阵[]D ei 。
如果单元划分得足够细，是可以代替真实解的。
2.2单元分析可以将板分为边长为0.25的矩形小单元，每一个单元都是一样的。
对于任何一个单元的节点，都有3项独立的位移{}i i i xi i yi i w w w y w x δθθ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎛⎫∂⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂⎛⎫⎪⎪- ⎪∂⎪⎪⎝⎭⎩⎭位移模式()22312345672233389101112,w x y x y x xy y x x y xy y x y xy αααααααααααα=+++++++++++形状函数矩阵是一个112⨯的行向量()[],kl mn N x y N N N N =⎡⎤⎣⎦其中222222222222222211128111111i i i i i i i i i i i i i x x y y x x y y x y N a b a b a b x x y y y y x x y y x x y x a b b a b a ⎛⎫⎡⎛⎫⎛⎫=++++--⎡⎤ ⎪⎪⎪⎣⎦⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎝⎭⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++--++-⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦(),,,i k l m n =单元刚度矩阵[][][][]1212ee TS k B D B dxdy ⨯=⎰很明显，积分式中包含了弹性系数矩阵，而不同单元的弹性系数矩阵是不同的，所以，即便单元划分相同，得到的单元刚度矩阵也不同。
(整理)Matlab计算复合材料层合板的弯曲方程.
（1）建设项目概况。
=
（1）是否符合环境保护相关法律法规。
规划编制单位对可能造成不良环境影响并直接涉及公众环境权益的专项规划，应当在规划草案报送审批前，采取调查问卷、座谈会、论证会、听证会等形式，公开征求有关单位、专家和公众对环境影响报告书的意见。
化简，两边去掉sin函数，求的c的表达式，带回w方程，求得w方程：
>> pretty(wxxxx)
xx=diff(w,x,2)
wxx =
sum(sum(-c*sin(m*pi*x/a)*m^2*pi^2/a^2*sin(n*pi*y/b),n = 1 .. inf),m = 1 .. inf)
>> wxxyy=diff(wxx,y,2)
wxxyy =
sum(sum(c*sin(m*pi*x/a)*m^2*pi^4/a^2*sin(n*pi*y/b)*n^2/b^2,n = 1 .. inf),m = 1 .. inf)
>> wyyyy=diff(w,y,4)
wyyyy =
sum(sum(c*sin(m*pi*x/a)*sin(n*pi*y/b)*n^4*pi^4/b^4,n = 1 .. inf),m = 1 .. inf)
弯曲基本方程为D11*wxxxx+2*(D12+2*D66)*wxxyy+D22*wyyyy=p，即：
2.间接市场评估法
（1）生产力变动法
仍以森林为例，营养循环、水域保护、减少空气污染、小气候调节等都属于间接使用价值的范畴。
2.建设项目环境影响评价文件的报批时限
1）按类型分。环境标准按类型分为环境质量标准、污染物排放标准（或控制标准）、环境基础标准、环境检测方法标准、环境标准样品标准。
板壳理论--薄板小挠度弯曲问题及经典解法 ppt课件
PPT课件
z2(E 1 4 w 2)t4 2(z2 t)1 3(z38 t3 6(1E t3 2)(1 2zt)21zt4w
在薄板的上边界代入外荷载q
z
q
zt 2
Et3
12(1 2
)
4w
q
D
Et3
12(1
2)
称为薄板的弯曲刚度，量纲为[力][长度]
D4w q
薄板的弹性曲面微分方程
24
PPT课件
z z 2 ( 1 E 2 )(z 2 t4 2 ) ( x 4 w 4 x 2 4 w y 2 ) ( y 2 4 w x 2 y 4 w 4 )
z E (z2 t2) (4 w 2 4 w 4 w ) z 2 (1 2) 4 x4 x2 y2 y4
u w v w 积分 z x z y
uwz x
f1(x,
y)
vwz y
f2(x,
y)
13
PPT课件
§13.2弹性曲面的微分方程
uwz x
f1(x,
y)
w
v y
z
f2(x,
y)
u 0, z0
u w z x
v 0 z0 v w z y
14
PPT课件
§13.2弹性曲面的微分方程
x ux,y yv,z wz,xyxvuy,
Ez2
1 2
x
2w
F1
x,
y
zy
2
Ez2
1 2
y
2
w
F2
x,
y
zy z t 0 2
zx z t 0 2
F1x,y81Et22
2w x
F2x,y81Et22
薄板的小挠度弯曲问题
薄板的小挠度弯曲问题知识点薄板的基本概念薄板的位移与应变分量薄板广义力薄板小挠度弯曲问题基本方程薄板自由边界条件的简化薄板的莱维解矩形简支薄板的挠度基尔霍夫假设薄板应力广义位移与薄板的平衡薄板的典型边界条件薄板自由边界角点边界条件挠度函数的分解一、内容介绍薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。
薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。
根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。
因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。
然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。
对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。
二、重点1、基尔霍夫假设；2、薄板的应力、广义力和广义位移；3、薄板小挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。
§12.1 薄板的基本概念和基本假设学习要点:本节讨论薄板的基本概念和基本假设。
薄板主要几何特征是板的中面和厚度。
首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。
对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。
根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。
弹性力学-第十三章 薄板的小挠度弯曲问题及其经典解法
要点：
（1）弹性薄板的挠曲面微分方程建立； （2）弹性薄板问题的解法：纳维（Navier C. L. ）
解法、李维（Levy, M.）解法等； （3）圆形薄板极坐标求解、变厚度板的近似求解等。
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
主 要内容
§13-1 有关概念及基本假定 §13-2 弹性曲面的微分方程 §13-3 薄板横截面上的内力及应力 §13-4 边界条件 扭矩的等效剪力 §13-5 简单例题 §13-6 简支边矩形薄板的纳维叶解 §13-7 矩形薄板的李维解法及一般解
1 E
(
x
1 E
(
y
2(1
E
y
x ) xy
) )
(13-3)
——与平面应力问题
的物理方程相同
（1）在薄板弯曲问题中，略去了次要应力 zx , zy , z
引起的形变；但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。
（2）薄板弯曲问题与平面应力问题的物理方程相同，但
沿板厚方向，对于 x , y , xy ，平面应力问题的
力学与建筑工程学院力学系弹性力学电子教案
主 要内容
§13-8 圆形薄板的弯曲 §13-9 圆形薄板的轴对称弯曲 §13-10 轴对称弯曲问题的实例 §13-11 圆形薄板在静水压力下的弯曲
§13-12 变厚度矩形薄板
§13-13 变厚度圆形薄板
§13-14 文克勒地基上基础板 §13-15 薄板的温度应力
和扭矩 M xy 。
（3）在薄板弯曲问题中，略去了次要应力 zx , zy , z 引起的形变 zx , zy , z ，即
zx zy z 0
表明：中面法线在薄板弯曲时，保持不伸缩，并 成为弹性曲面的法线。
第9章 薄板的小挠度弯曲问题及经典解法汇总
d
z
d
2
z
d
2
（d）
zy yz ，将（9-5）式代入（c）式， 由于 zx xz、
z E d2 2 4 ( z ) w 2 z 2(1 ) 4
E d2 z3 4 z ( z ) w F3 ( x, y ) 2 3 2(1 ) 4
称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是：L2MT-2
方程（9-8）称为薄板的弹性曲面微分方程。是薄板弯曲问题的基本 微分方程。具体求解时要考虑（板边上）薄板侧面的边界条件。
§9-3 薄板横截面上的内力及应力
一般情况下，很难使应力分量精确满足边界条件，应用圣维南原 理，应使应力组成的内力整体地满足边界条件。
2 2w 2w F D w M y D y 2 x 2 ， Sy y
M xy M yx 2w D(1 ) xy
（9-10）
图9-3
薄板内力的正负方向的规定，是从应力的正负方向的规定得出： 正的应力合成的主矢量为正，正的应力乘以正的矩臂合成的主矩为 正；反之为负。薄板内力的正方向如图9-3所示。
平板，简称板。 （2）中面 平分板厚度d的平面称为中面。 （3）弹性曲面 板弯曲时中面所形成的曲面。
（4）挠度 中面在 z方向上的位移。 （5）薄板 板的厚度d远小于中面的最小尺寸 b。 （3）弹性曲面 板弯曲时中面所形成的曲面。 （如小于b/8至b/5 ）的平板。
2. 荷载的分解
将板受到的一般荷载分解为两种： 作用于中面之内的荷载（平面应力问题）。 垂直于中面的荷载（板的弯曲问题）。
（c）
（2）薄板边上的扭矩可以变换为等效的横向剪力，即扭矩的等效 剪力。总的分布剪力是：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
matlab求解变厚度薄板小挠度弯曲变厚度薄板小挠度弯曲是材料力学中一个重要的问题。
本文将借
助MATLAB进行求解，并从理论、建模、计算、分析和优化等方面进行
全面探讨，旨在帮助读者深入了解该问题并指导实际工程应用。
首先，我们来介绍一下问题的背景和定义。
变厚度薄板小挠度弯
曲指的是在较小应变范围内，薄板受外力作用而发生的弯曲变形。
该
问题在航空航天、汽车工程、建筑结构等领域具有重要应用价值。
为了求解该问题，我们首先需要建立适当的数学模型。
在本文中，我们采用经典的薄板理论，即Kirchhoff-Love理论，假设薄板具有较
大的宽度和长度，但厚度很小。
根据该理论，薄板在弯曲过程中的纵
向位移可以用二维弯曲方程描述。
接下来，我们需要对薄板的边界条件进行分析和处理。
常见的边
界条件有自由边界、固支边界以及边缘支持等情况。
根据实际问题的
具体要求，我们可以在MATLAB中定义这些边界条件，并将其纳入模型中。
然后，我们利用MATLAB的数值计算能力来求解薄板的小挠度弯曲
问题。
MATLAB提供了丰富的工具和函数，例如PDE工具箱和优化工具箱，可以高效地进行数值计算和求解。
我们可以通过离散化和微分方
程求解方法，将变厚度薄板小挠度弯曲问题转化为一个数值求解问题，并利用MATLAB进行计算。
在得到数值解之后，我们需要对结果进行分析和评估。
通过使用MATLAB中的数据可视化工具，如绘图函数和动画函数，我们可以直观
地观察薄板的变形情况，并分析不同参数对挠度的影响。
这将有助于
我们深入理解薄板弯曲问题的本质，并为实际工程中的优化设计提供
指导。
最后，我们可以通过MATLAB的优化工具箱来进一步优化薄板的设计。
通过设定目标函数和约束条件，我们可以使用MATLAB中的优化算
法来寻找最佳的设计方案。
这将有助于我们在满足实际应用需求的前
提下，提高薄板的性能和效率。
总之，本文通过MATLAB求解变厚度薄板小挠度弯曲问题，从理论、建模、计算、分析和优化等方面进行了全面讨论。
希望本文对于读者
了解该问题的求解思路和实际应用具有指导意义，并能够在实际工程
中得到有效应用。