薄板弯曲问题
第九章弹性薄板弯曲问题
§ 9-4
边界条件 扭矩的等效剪力
(u , v) z =0 = 0
§ 9-2
弹性曲面的微分方程
1、取w=w(x,y)为基本未知量。 为基本未知量。 2、用w来表示u,v。 来表示u
∂w u=− z ∂x
∂w v=− z ∂y
3、用w来表示主要应变：ε x , ε y , γ xy 来表示主要应变：
∂ w ∂ w ∂ w ε x = − 2 z, ε y = − 2 z, γ xy = −2 z ∂x ∂y ∂x∂y
§ 9-1
概念和假定
小挠度理论 薄板：1 8 ~ 1 5) > δ b ≥ (1 80 ~ 1 100) 薄板： ( 大挠度理论 薄膜： δ b < (1 80 ~ 1 100) 薄膜：
本章研究小挠度薄板的弯曲问题。 本章研究小挠度薄板的弯曲问题。
厚板： δ 厚板：பைடு நூலகம்
b ≥ (1 8 ~ 1 5)
由平衡方程 得
Eδ 3 D= 12(1 − µ 2 )
D∇ w = q
4
∂ w ∂ w ∂ w ∇ = 4 + 2 2+ 4 ∂x ∂x ∂y ∂y
4 4 4 4
§ 9-3
薄板横截面上的内力
梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 梁的内力是指梁横截面上的内力合力和合力矩。 板的内力是指单位宽度的横截面( x1)上的内力合力 板的内力是指单位宽度的横截面(δx1)上的内力合力 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 和合力矩。应力向中面简化合成的主矢量和主矩。 弯曲应力 σ x , σ y ,τ xy = τ yx 沿z方向线性分布，合成 方向线性分布，
弹性力学：平板弯曲问题 (2) 薄板弯曲经典解法
16q0
6
Dmn
m2 a2
n2 b2
2
(m 1,3,5, ; n 1,3,5, )
代入式（10.22）,即得挠度的表达式 (受均布载荷)
m x n y
w 16q0
sin sin
a
b
D 6 m1,3,5,n1,3,5,
mn
m2 a2
n2 b2
2
（10.24）
由此可以用公式（10.11）求得内力的表达式。
y
2
w
t2 4
z 2
（10.5）
其中，D称为板的抗弯刚度，其表达式为
D Et3
12(1 2 )
（10.6）
最后，次要应力分量σZ,可根据z方向的平衡方程求得。
z xz yz
z
x y
将式（10.5）代入上式得
x
z
6D t3
4
w
t2 4
z 2
积分上式得
z
6D t3
4
w
t2 4
在边界上
w n 0
D 4 w q
将式(10.18)代入式(10.8)得
D
24 m a4
16 m a2b2
24m
b4
q
解得m并代入式(10.18)得
w
q
x a
2 2
y2 b2
2 1
8D
3 a4
2 a2b2
3 b4
这就是夹支边椭圆薄板在均布载荷作用下的挠度 表达式。
有了挠度表达式，就可以求的内力。
y2 b2
2
1
（10.18）
o
a
y 图10.6 椭圆板
第五章 薄板弯曲问题有限元讲义
第五章薄板弯曲问题有限元法第一节薄板弯曲问题的有关概念一、基本概念1．薄板的定义：薄板是由上下两个平行的表面所构成的片状结构，其间距称为板厚。
同时，定义等分板厚的面为中面，当中面为平面时，称为平板，当中面为曲面时则称为壳体。
2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪力）作用下，发生弯扭而使薄板中面上各个点沿垂直中面方向发生的横向变形称为挠度，记为w。
3．薄板的两类问题：（1）平面应力板问题，载荷作用于板面内—（薄膜单元）；在拉、压力和面内切力作用下，板内将产生薄膜内力，从而使板产生面内变形。
（2）薄板弯曲问题：其特点为：a) 几何尺寸：板的厚度远较长与宽的几何尺寸为小(一般厚度与板面最小尺寸之比小于1/5-1/10)；（否则称为厚板）b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中面的横向载荷作用。
c) 小挠度条件；即挠度与板厚之比值较小，一般为w/t ≤1/5。
研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中面为xoy平面，厚度方向为z轴方向，3．板的一般问题：一般情况下，板既可承受横向载荷作用，也可同时承受平行于板中面的膜载荷作用。
(1) 薄板：在小挠度情况下，当两种载荷同时作用时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作用可按平面应力问题进行处理，而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内力和弯曲内力的叠加便是一般载荷综合作用的结果。
（2）厚板：当1<w／t<5时为大挠度板,w／t≥5时为特大挠度板。
在大挠度情况下，薄板面内变形和弯扭变形之间将相互影响，即横向载荷也可能产生膜内力和面内变形，而膜载荷也可能产生弯曲内力和弯曲变形。
这时描述薄板变形的数学方程是非线性的，应采用更复杂的理论分析方法。
二．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）1．法线假设垂直板中面的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲面，且法线线段没有伸缩，板的厚度无变化。
这样，垂直于中面的正应变便可忽略，即εz=0根据几何方程，可得因此挠度只是x,y的函数，表示为w=w(x,y)，也即薄板中面上法线的各点都有相同位移。
薄板的小挠度弯曲问题及经典解法
(z2
d2
4
)
y
2 w
（9-5）
（4）用w表示应力分量z
由平衡方程（7-1）式的第三式有（取 fz=0）：
z zx yz
z
x y
（c）
若体力不为零，可把薄板单位面积内的体力及面力归入薄板上面的
面力，并用 q表示。
d
q ( f )z zd
FRB
2D(1
)
2w xy
B
（9-18）
集中剪力或集中反力的正负号决定于角点处的扭矩的正负号， 而不能另行规定。据此，A点和C点处的剪力以沿z轴的正方向为正， 而O点和B点处的剪力以沿 z轴的负向时为正。
如果点B是自由边AB和自由边BC的交点，而点B并没有任何支 柱对薄板施以此向集中力，则应有FRB=0 ，亦即：
z
w
w(x, y)即在垂直于中面的任一法线
上，薄板全厚度内各点的挠度相同。
2）由几何方程， zy
w v y z
0
， zx
u z
w x
0
，得
v w ， u w z y z x （2） z 引起的形变可以不计。
（9-1）
由物理方程（7-12），有：
（3）应用时可查相关手册，若是双向配筋时，扭矩的影响 也可不考虑。
§9-4 边界条件 扭矩的等效剪力
矩形薄板，OC边简支；OA边固支；AB和BC边自由。
1. 固支边，OA边（x = 0）
(w) x ( w )
x
0 x0
0 0
（9-13）
2. 简支边，OC边 （y = 0）
x y
第十四讲 薄板小挠度弯曲(一)汇总
第十四讲 薄板小挠度弯曲理论（一）概念和假定薄板：板的厚度远小于中面最小尺寸的板。
荷载纵向荷载：作用在板中面以内的荷载，可以认为沿板的厚度均布，按平面应力计算。
横向荷载：使薄板弯曲，按薄板弯曲问题计算。
中面弯曲所形成的曲面称为薄板的 弹性曲面，中面内各点的横向位移 称为挠度。
薄板弯曲的基本假设（基尔霍夫假设）（1）垂直于中面方向的正应变εz 可以不计，由∂w /∂z = 0得到 w = w (x , y )板厚度内各点具有相同的挠度。
放弃物理方程：)]([1y x z z Eσσμσε+-= 目地：允许σz -μ(σx +σy ) ≠ 0（2）应力分量τxz 、τyz 、σz 远小于其余三个应力分量，它们所引起的应变可以不计（它们本身是平衡所需，不能不计），即认为γxz = γyz = 0（一般，薄板弯曲问题中，τxz 、τyz 是次要应力，σz 则为更次要应力） 0=∂∂+∂∂x w z u ，xwz u ∂∂-=∂∂0=∂∂+∂∂y w z v ，yw z v ∂∂-=∂∂x放弃物理方程：xz xz E τμγ)1(2+=，yz yz Eτμγ)1(2+= 即：允许γxz 和γyz 等于零，但τxz 和τyz 不为零。
只有三个物理方程)(1y x x E μσσε-=)(1x y y Eμσσε-=xy xy Eτμγ)1(2+=与平面应力问题相同。
（3）薄板中各点都没有平行于中面的位移，(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0，因此，(εx )z = 0 = 0，(εy )z = 0 = 0，(γxy )z = 0 = 0 薄板弯曲后，在xy 平面的投影形状不变。
弹性曲面微分方程按位移求解，基本未知量为挠度w ，需将其它物理量用w 表示，由x w z u ∂∂-=∂∂，yw z v ∂∂-=∂∂ 积分得到：),(1y x f z x w u +∂∂-=，),(2y x f z ywv +∂∂-= 由：(u )z = 0 = 0，(v )z = 0 = 0得到：f 1(x , y ) = f 2(x , y ) = 0，因此 z x w u ∂∂-=，z yw v ∂∂-= 则： z x w x u x 22∂∂-=∂∂=ε，z y w y v y 22∂∂-=∂∂=ε，z yx wx v y u xy ∂∂∂-=∂∂+∂∂=22γ将应力分量σx 、σy 、τxy 用w 表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1y w x w Ez E y x x μμμεεμσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂--=+-=2222221)(1x w y w Ez E x y y μμμεεμσ yx wEz E xy xy ∂∂∂+-=+=21)1(2μγμτ w 仅为x 、y 的函数，因此应力分量与z 成正比。
薄板弯曲和薄壳问题
y
Ni 0
0
Ni
刚度矩阵b 刚度矩阵S
kbe se Bb T DBb dxdy kSe se BS T BS dxdy
Kb kbe KS kSe
总体刚度矩阵 K Kb KS
等效节点力
q x, y
Qe
se
N T
0
dxdy
0
Q Qe
K Q
§4 薄壳变形的假设
1
(i k,l, m, n)
M DBe
T
U e 1 2
1
se
D
1
dxdy
1 2
e
T
se BT DBdxdy e
1 e T ke e 2
ke se BT DBdxdy
K ke
总变形能
U
U e
1 T
2
K
不计边界外力，只有面内横向载荷时的外力功为
1
(i=k, l, m, n)
三、单元刚阵
w N(x, y)e
1
x
2
x
2
1
1
y
2 y2
w
2
x
2
1 2
y
2
N e [B] e
1
xy
2 2 xy
应变矩阵
2 2 xy
B Bk Bl Bm Bn
6xi x a4
Dp
1
z
h
M x
2
h
x
zdz
2
h
M xy
2
h
xy
zdz
x
2
h
M y
2
h
y
薄板弯曲问题
第五章薄板弯曲问题机场学院2011/11/21CAUCCAUC两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体，称为平板，简称为板。
bhyxzCAUCCAUC垂直于板面——平板弯曲问题byxzCAUCCAUC1、小变形假设：虽然板很薄，但它的挠度远小于板的厚度。
byxz)(0==z u 0)(0==z v 因为：2、板中面各点都没有平行于中面的位移，只发生弯曲变形。
x u x ∂∂=εy v y ∂∂=εyu x v xy ∂∂+∂∂=γ所以：0)(0==z x ε0)(0==z y ε0)(0==z y x γCAUC CAUC3、沿板的厚度方向挤压变形忽略不计。
byxz=∂∂=zw z ε所以：),(y x w w =在薄板中面的任一根法线上，薄板全厚度内的所有各点都具有相同的挠度。
CAUCCAUC保持在挠曲面法线上。
byxz应力分量：zx τzy τzσ远小于其余三个应力分量，其引起的形变忽略不计。
0=zx γ0=zx γ0=∂∂+∂∂xw z u 0=∂∂+∂∂yw z v 即：等价于：这样=∂∂=z w z ε0=zx γ0=zx γ中面法线不伸缩，仍为变形后曲面的法线CAUC CAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=薄板弯曲与平面应力问题有相同的物理方程。
CAUCCAUC1、几何方程byxz0=∂∂+∂∂x w z u 0=∂∂+∂∂y w z v xw z u ∂∂−=∂∂y w z v ∂∂−=∂∂),(2y x f z yw v +∂∂−=),(1y x f z xwu +∂∂−=0)(0==z u 0)(0==z v 因为：),(),(21==y x f y x fCAUCCAUCzxu ∂−=zyv ∂−=zxwx u x 22∂∂−=∂∂=εzyw y v y 22∂∂−=∂∂=εz yx w y u x v xy∂∂∂−=∂∂+∂∂=22γ221xw x ∂∂−=ρ221ywy ∂∂−=ρyx wxy ∂∂∂−=221ρ令：xx zρε=yy z ρε=xyxyz ργ=得：CAUCCAUCw y x y x xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨=⎭⎬⎫⎩⎨⎧222221111ρρρρ{}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεε写成列阵形式：应变列阵：CAUCCAUCxyxy x y y y x x EEE τµγµσσεµσσε)1(2)(1)(1+=−=−=xyxy x y y y x x EEE γµτµεεµσµεεµσ)1(2)(1)(122+=+−=+−={}w y x y x z xy y x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=222222γεεεyx w Ez x w y w Ez y wx w Ez xy y x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂∂+∂∂−−=222222222221)(1)(1µτµµσµµσCAUCCAUCyx w Ez xw y w Ez yx xyy x ∂∂∂+−=∂∂+∂∂−−=∂+∂−−=2222222221)(1)(1µτµµσµµσ其它几项应力：w yh z E w xh z E zy zx22222222)4()1(2)4()1(2∇∂∂−−=∇∂∂−−=µτµτw hz h z Eh z 4223)1()21()1(6∇+−−−=µσCAUCCAUC在薄板的上表面有：qh z z −==2)(σ得：q w Eh =∇−423)1(12µ令：)1(1223µ−=Eh D qw D =∇42、微分方程CAUCCAUC xyab边界条件：0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(0)(,0)(220220220220=∂∂==∂∂==∂∂==∂∂=========b y b y y y a x a x x x xww x ww x ww x w w qw D =∇4微分方程：四边简支矩形薄板的重三角级数解答——纳维叶解法CAUCCAUC设重三角级数解为：b yn a x m A w m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==代入微分方程：qb yn a x m A b n am D m n mn =+∑∑∞=∞=πππsin sin )(1122224b yn a x m C q m n mn ππsinsin 11∑∑∞=∞==将),(y x q q =也展成重三角级数：CAUCCAUC222226)(16bn a m Dmn q A mn +=π（m=1,3,5, m=1,3,5, ………… n=1,3,5, n=1,3,5, …………）∑∑∞=∞=+=...5,3,1,...5,3,12222260)(sin sin 16m n bn a m mn b yn a x m D q w πππ得挠度的表达式：CAUC CAUC荷代替q ，得：dxdyP q =b n a m bn a m abD P dxdy b n a m dxdy P b n a m abD A mn ηπξππηπξππsin sin )(4sin sin )(4222224222224+=+=CAUC CAUC集中载荷作用下的简支矩形板挠度表达式：b y n a x m bn a m b m a m abD P w m n ππηπξππsin sin )(sin sin 411222224∑∑∞=∞=+=M x yxzM y{}[]zDxyyx⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=ρτσσσ1zdzMhhxx∫−=22σ1、弯曲应力zdzMhhyy∫−=22σzdzMhhxyxy∫−=22τCAUC CAUCCAUC CAUC{}zdzM M M M h xy y x ∫−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=22}{σ完成积分：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ρρ1][1][12}{3D D hM ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−=21000101)1(12][23µµµµEh DCAUCCAUC2b2ayxzlmn kw θ yθ x（1）节点位移单元任一节点有三个位移分量：{}⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂−∂∂=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=i i i yi xi i i x w y w w w )()(θθδ{}{}Tyk xk k ynxn n ymxm m yl xl li w w w w θθθθθθθθδ={}{}T T kT nT mTli δδδδδ=CAUCCAUC31231131029283726524321xya y x a y a xy a y x a xa y a xy a x a y a x a a w +++++++++++=写成矩阵形式：{}a xy yx yxyyx xy xy xy xw ]1[33322322=或：{}a y x M w )],([=CAUCCAUC{}a xy yx yxy yx xy xy xy xw ]1[33322322={}a xy xyxy xy x yw x ]332020100[2322=∂∂=θ{}a y y x y xy xy x xw y ]302302010[3222−=∂∂−=θCAUC CAUC⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨654310000110000001a a a a y x y x y x y x v u v u n nn n m m m m n n m m {}[]{}a A e=δ[]{}[][]{}a A A A e 11−−=δ{}[]{}eA a δ1−=[]{}[][]{}{}eey x N A y x M a y x M w δδ)],([),(),(1===−A[][]k nm lN N N N y x N =),(形函数CAUCCAUC⎥⎥⎦⎤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=111,111,21181][2222222222222222a x x b y y a x x x b y y b y y a x x y b y a x b y y a x x b y y a x x N i i i i i i i i ii i i i （i ＝l ，m ，n ，k ）单元刚度阵：ee xy y x B N y x y x w y x y x }]{[}]{[2211112222222222δδρρρρ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂−=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧CAUCCAUC][][k n m l B B B B B =单元内力：eB D M }]{][[}{δ=[][][][]dxdy B D B k Ts ee∫=单元刚度阵：[]{}{}Q K =δ整体方程：。
薄板弯曲问题
略不计。取 εz =0
，因而有：
• 因此，板内各点的挠度w 与z 坐标无关，只是x、y 的函数。
• 2. 直线假设
• 在薄板弯曲变形前垂直于板中面的直线，在簿板弯曲变形后仍为直线， 且垂直于弯曲后的中面。这说明在平行于中面的面上没有剪应变，即：
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7.1 薄板的弯曲变形
• 3. 正应力假设 • 中面上的正应力远小于其他应力分量的假设：平行于中面的各层相互
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7.2 矩形薄板单元分析
• 最后两项的选取是使单元在边界上有三次式的形式。按照式（7.20） 可以算出转角，即：
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7.2 矩形薄板单元分析
• 将矩形单元的4 个节点坐标(ξ i , η i ) 分别代入式（7.20），就可以得 到用12 个参数来表示的节点位移分量的联立方程组，求解这12 个方 程，从中解出a1～a12，再代入式（7.21），经归纳并整理后就可以改 写成如下的形式：
• 或者写成标准形式，即：
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7.2 矩形薄板单元分析
• 其中 • 如果把形函数写成通式，即：
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7.2 矩形薄板单元分析
• 于是有：
• 其中，
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第八章 班级气氛的经营与管理
• 知道最好的一切，且将之发挥至极致，才 是成功的生活。
• 未来我们会创造一个更经济、更有效率的 世界，但是让人担心的是，人们却没有现 在过得幸福。
• 为学生营造良好的班级气氛，提供给学生优质的 学习和生活环境，让学生快乐、健康地在班级中 成长是班级管理者的义务和责任。
2022/8/29
24
一、班级气氛的涵义与作用
机械工程用有限元法学习笔记(四)
薄板弯曲问题的有限元法一、 薄板弯曲问题的基本方程什么是薄板？薄板就是指厚度t 远小于其长度、宽度的板。
1. 三个基本假设（克希霍夫假设）： (1) 法线假设，εz =0,γyz =γzx =0 (2) 正应力假设，σz <<σx ,σy ,τxy (3) 小挠度假设，w<t/4根据假设，可以得到位移分量()()()()()(),,,,,,,,,,, x y z u x y z z x x y z v x y z z y x y z x y ωωωω∂⎧=-⎪∂⎪∂⎪=-⎨∂⎪⎪=⎪⎩式4-1图 1 薄板弯曲后某点B 的位移2. 应变分量{}222222x y z x z y x y ωεωεεεω⎧⎫∂-⎪⎪∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-23. 曲率{}222222x y z x y x y ωχωχχχω⎧⎫∂-⎪⎪∂⎪⎪⎧⎫⎪⎪∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬∂⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪∂-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-3 22=x x ωχ∂-∂——薄板弹性曲面在x 方向的曲率22=y yωχ∂-∂——薄板弹性曲面在y 方向的曲率2=z x yωχ∂-∂∂——薄板弹性曲面在x 方向和y 方向的扭率4. 应力分量与应变分量间的关系：{}[]{}2222222222221 11D Ez xy Ez x y Ez x y σεωωμμωωμμωμ=⎧⎫⎛⎫∂∂-+⎪⎪ ⎪-∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎛⎫∂∂⎪⎪=-+⎨⎬ ⎪-∂∂⎝⎭⎪⎪⎪⎪∂⎪⎪--∂∂⎪⎪⎩⎭式4-4 5. 线力矩{}()2222222101012110022x y z x M Et M M y M x y ωμωμμμω⎧⎫∂-⎪⎪⎡⎤∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪⎪⎪==-⎨⎬⎨⎬⎢⎥∂-⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎩⎭⎪⎪⎢⎥∂⎣⎦-⎪⎪∂∂⎪⎪⎩⎭式4-5a广义应力与广义应变之间的关系式{}[]{}D M χ= 式4-5b式中：[D]—薄板弯曲问题的弹性矩阵6. 薄板弯曲问题的基本方程（双调和方程）()32222222121Et p xx y y ωωωμ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂∂-⎝⎭ 式4-6()32121Et μ-——薄板弯曲刚度 二、 矩形薄板单元分析 1、矩形薄板单元图 2 矩形薄板单元2、位移函数22123456322333789101112 a a x a y a x a xy a y a x a x y a xy a y a x y a xy ω=+++++++++++ 式4-73、形状函数[]{}k i i xi xi yi yi j j xj xj yj yj k kxk xk yk y l l xl xl yl yl N N N N N N N N N N N N N q ωωθθωθθωθθωθθ=+++++++++++= 式4-8式中：i,j,k,l ——节点号N i ，N xi ，N yi ，……，N yl ——形状函数()()()()()()()()()()2211128N 111 ,,,8111 8y i i i i i xi i i iyi i i i b N i i j h l N a x a b ξξηηξξηηξηηξξηηηξξξηηξξη⎧⎫++++--⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-++-=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪++-⎪⎪⎩⎭==， 式4-94、单元刚阵[][][][]S K TB D B dxdy =⎰ 式4-10式中：[]22222222222222222222 2222yi yl i xiyi yl ixi yi yl i xi N N N N x x x x N N NN B y y y y N N N N x yx yx yx y ⎡⎤∂∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂=⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦式4-11 5、节点力与节点位移的关系式{}[]{}F K q = 式4-12三、 三角形薄板单元分析1、三角形薄板单元当薄板具有斜交边界或曲线边界时，可采用三角形单元较好地反映边界形状。
有限元_4-薄板弯曲问题
第4章
弹性薄板弯曲问题的有限元法
板和壳是指厚度比其他尺寸要小得多的平面或曲面构件。由于它的这种几何特点，三维单 元并不适合用来分析它们的变形。因为三维单元在三个方向的尺寸应尽量接近，否则求解精度 由于“剪切自锁”(shear locking)或系统矩阵病态而大大降低，甚至得到错误的结果。所以 必须采用很细密的网格来适应板和壳的几何特征，但是这将导致有限元模型的自由度疯狂地增 长。 仿照根据梁理论建立梁单元的思路，自然想到根据板理论建立板单元。这里讨论两种板理 论，一是薄板理论，也被称为Kirchhoff 板理论，它忽略了板的横向剪切变形；另一种是Mindlin 板理论，它考虑了板的横向剪切变形的影响，适合于板的厚跨比较大的情形。后者也常被称为 Reissner 板理论[8]或中厚板理论。根据这两种理论可以建立不同的板单元。 薄板弯曲问题在理论上和应用上都具有重要意义,并有专门著作加以论述（如杨耀乾《平 板理论》）。象其它弹性力学问题一样，用微分方程、差分法等经典方法所能求解的薄板问题 很有限，一般只能解决等厚、小孔口、支承情况较简单的单跨板。故工程设计中以往多采用简 化、近似、图表等方法来解决板的设计问题。 在板的分析中，常取板的中面为xoy平面(如图)。平板结构按其厚度t与短边a的比值大小 而分为: 厚板（Thick plate）和 薄板（Thin plate)两种。
阵
[S]的显式：
五、单元刚度矩阵
由一般公式得:[K]=
t[B] [D] [B]dxdy。将几何矩阵[B]和弹性矩阵[D]的表达式代入，积分可
a b T -a -b
得薄板弯曲问题矩形单元的单元刚度矩阵的显示：
8
《有限元》讲义
六、荷载等效变换
由荷载等效变换的一般公式可得
薄板弯曲问题最全PPT
薄板受到横向荷载（⊥板面）的作用─ 薄板的弯曲问题。
第九章 薄板弯曲问题
特点
薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根 据其内力及变形的特征，又提出了三个计 算假定，用以简化空间问题的基本方程， 并从而建立了薄板的弯曲理论。
第九章 薄板弯曲问题
定义
当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面， 称为薄板弹性曲面。
变分量 x,;主x,要xy应力分量 ；次σx,要σx应,x力y
分量 及最次 z要x ,应zy 力 均用w来表示σ z 。
3.导出求解w的方程。 4.导出板边的边界条件。
第九章 薄板弯曲问题
具体推导如下：
1. 取挠度ww (x,y)为基本未知函数。
应用几何方程及计算假定1，
εz
w0,ww(x,y). z
Ez
1 2
( 2w y 2
2w x2
),
(c)
xy
Ez
1
2w . xy
第九章 薄板弯曲问题
5.次要应力 zx ,用 zy 表w 示。
应用平衡微分方程的前两式（其中纵
向体力 fx）fy，0有
zx σxy,x zy σyx,y
z x y z y x
代入式(c) ，并对z积分，得：
3.主要应变 x,x用,xy表示w。
应用其余三个几何方程，并代入式(a) 得：
x 2 xw 2z,y 2 yw 2z,xy2 x2 w yz.(b)
第九章 薄板弯曲问题
4.主要应力 σx,σ用x,xy表示w。
应用薄板的三个物理方程及式(b)，得：
σx
1
Ez
2
2w ( x2
2w
薄板弯曲问题
z
y
x
将x、y、xy的表达式代入得：
zx Ez ( 3w 3w ) Ez 2w z 1 2 x3 xy2 1 2 x
zy
z
1
Ez
2
(
3w y3
3w yx2
)
1
Ez
2
2w y
2020年3月10日星期二
2020年3月10日星期二
专题：薄板弯曲问题
12
最后得
z
Et3
6(1 2 )
(1 2
z )2 (1 t
z )4w t
边界条件： z t q 板上面 2
将z的表达式代入此边界条件，得：
Et 3
12(1
2
)
4w
q
or或写成： D4w q
其中：D
Et 3
2
二、薄板弯曲的基本假定 （1）薄板弯曲时,中面为曲面,称为弹性曲面或中曲面, 中面内各点在垂直方向的位移称为挠度.
（2）小挠度弯曲：挠度t，（本节讨论） 大挠度弯曲：挠度=t 薄膜问题 ：挠度t
（3）薄板弯曲的基本假定：（Kirchhoff-Love假定）
a、假定应变分量z=0，xz=0，yz=0
19
六、边界条件
求薄板的小挠度弯曲问题，就是在满足板边的边界条件
下，由方程
D4w q
求出挠度w
下面以矩形板为例：
O
如图所示矩形板，OA边固定
a
x C
，OC边简支,AB、BC边是自由 b
边
OA边 w 0 x0
w 0 A x x0
弹性力学第九章 薄板弯曲问题
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§9－3 薄板横截面上的内力
（1）应力分量 x
由公式（9－4）知， x 合成的主矢量为零；
对中面合成的弯矩
2
M x 2 z xdz
把（9－4）代入上式
M x
1
E
2
2w x2
2w y2
2 z2dz
§9－1 有关概念及计算假定
计算假定：
薄板的小挠度弯曲理论，三个计算假定。
（1）垂直于中面方向的正应变可以不计。即
z 0
由几何方程可得
y
w 0, w w x, y
z
0
x
b
/2 /2
z 图9－1
也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都 具有相同的位移，其值等于挠度。
M yx
2 2
z yxdz
E 3
121
2w xy
M xy
Fsy
2
2
yz
dz
12
E 3 1 2
2w y
（d） （e） （f）
弹性力学简明教程
NORTHEASTERN UNIVERSITY
§9－3 薄板横截面上的内力
zx 0, yz 0
这里与梁的弯曲相同之处，也有 不同之处，梁的弯曲我们只考虑横截 面，板的弯曲有两个方向，要考虑两 个横截面上的应力。
弹性力学简明教程
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§9－1 有关概念及计算假定
结合第一假定，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成 为弹性曲面的法线。
薄板弯曲问题
M xy zdzdy
' xy - h/2
- h/2 h/2
- h/2 h/2
扭矩
M
' yx
yx zdzdx
- h/2
h/2
内力与应力的关系
Mx 3 Eh M My 2 12 1 M xy 1 0
2
x y z xy
弯扭变形列阵
几何方程
2w 2 2 4 6 7 x 2 8 y 611xy x 2 w 2 2 6 2 9 x 610 y 612 xy x 2 w 2 x 2 y 3 x 2 3 y 2 5 8 9 11 12 xy
N x1 i 1 0
b2 c2 d 2 0 N x1 1 N x1 0 (2) y b i 2 a2 e2 N x1 最后利用本点1，确 0 (3) , (4) x i 4,1 定a2=b/8，代回
(1)
弹性薄板矩形（R12）单元
弹性薄板矩形（R12）单元
薄板的形函数可以用 广义坐标法，也可以用试 凑法得到。由于单元自由 度为12，因此可有12个广 义坐标，位移模式可设为 如下不完全四次多项式
Q1 1 Mx1 4
My1
w3 2 y z 3
x
x3 y3
w a1 a2 x a3 y a4 x 2 a5 xy a6 y 2 a7 x 3 2 2 3 3 3 a8 x y a9 xy a10 y a11 x y a12 xy
物理方程
应变
位移函数
薄板在弯曲变形后，薄板的法线没有伸缩；
第五章薄板弯曲问题有限元讲义
第五章薄板弯曲问题有限元讲义第五章薄板弯曲问题有限元法第⼀节薄板弯曲问题的有关概念⼀、基本概念1．薄板的定义：薄板是由上下两个平⾏的表⾯所构成的⽚状结构，其间距称为板厚。
同时，定义等分板厚的⾯为中⾯，当中⾯为平⾯时，称为平板，当中⾯为曲⾯时则称为壳体。
2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪⼒）作⽤下，发⽣弯扭⽽使薄板中⾯上各个点沿垂直中⾯⽅向发⽣的横向变形称为挠度，记为w。
3．薄板的两类问题：（1）平⾯应⼒板问题，载荷作⽤于板⾯内—（薄膜单元）；在拉、压⼒和⾯内切⼒作⽤下，板内将产⽣薄膜内⼒，从⽽使板产⽣⾯内变形。
（2）薄板弯曲问题：其特点为：a) ⼏何尺⼨：板的厚度远较长与宽的⼏何尺⼨为⼩(⼀般厚度与板⾯最⼩尺⼨之⽐⼩于1/5-1/10)；（否则称为厚板）b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中⾯的横向载荷作⽤。
c) ⼩挠度条件；即挠度与板厚之⽐值较⼩，⼀般为w/t ≤1/5。
研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中⾯为xoy平⾯，厚度⽅向为z轴⽅向，3．板的⼀般问题：⼀般情况下，板既可承受横向载荷作⽤，也可同时承受平⾏于板中⾯的膜载荷作⽤。
(1) 薄板：在⼩挠度情况下，当两种载荷同时作⽤时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作⽤可按平⾯应⼒问题进⾏处理，⽽横向载荷的作⽤则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内⼒和弯曲内⼒的叠加便是⼀般载荷综合作⽤的结果。
（2）厚板：当1⼆．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）1．法线假设垂直板中⾯的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲⾯，且法线线段没有伸缩，板的厚度⽆变化。
这样，垂直于中⾯的正应变便可忽略，即εz=0根据⼏何⽅程，可得因此挠度只是x,y的函数，表⽰为w=w(x,y)，也即薄板中⾯上法线的各点都有相同位移。
2．正应⼒假设在平⾏于中⾯的截⾯上，应⼒分量ζz、τzx及τyz远⼩于其他三个应⼒分量，可忽略不计。
3．⼩挠度假设板中⾯只发⽣弯曲变形⽽没有⾯内变形，即中⾯内各点没有平⾏于中⾯的位移，表⽰为：在这些假设前提下，薄板的位移、应变和应⼒都可⽤挠度w表⽰。
第九章 薄板弯曲问题
w 0 x x0
即：
2w 0 xy xa, y b
例题：假定矩形扳支承与承受荷载如图7.10，试写出挠度表示的各边边界条件
O b
M0 C x
A
y q
a
B z
解：1) 固定边OA的边界条件是：
(w) x 0 0
w ( ) x 0 0 x
3w 3w Vx D 3 ( 2 v ) xy 2 x 3w 3w V y D 3 (2 v) 2 x y y
2w RB 2 D(1 v)( ) xy
O
C
x
b
a A y B
（1）自由边 弯矩和合成剪力为零，因此， 在x=a上， Mx=0，Vx＝0， 在y=b上，My=0，Vy＝0，
第九章
§9－1 §9－2 §9－3 §9－4 §9－5 §9－6
薄板弯曲问题
有关概念及计算假定 弹性曲面的微分方程 薄板横截面上的内力 边界条件 四边简支矩形薄板的重三角形积数解 矩形薄板的但三角形级数解
§9－7
§9－8
矩形薄板的差分解
圆形薄板的弯曲
§9－9
圆形薄板的轴对称弯曲
§9－1 有关概念及计算假定
2
(w) y=0=0 (w) y=b=0
2w ( 2 ) y 0 0 y
4）将次要应力分量
xz , yz 用
w 。
（9－5）
2 2 2 E zx z w, 2 4 x 2 1 2 2 2 E zy z w。 2 4 y 2 1
从而有
u w v w , z x z y
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（2）小挠度弯曲：挠度t，（本节讨论） 大挠度弯曲：挠度=t 薄膜问题 ：挠度t
（3）薄板弯曲的基本假定：（Kirchhoff-Love假定）
a、假定应变分量z=0，xz=0，yz=0
说明任意根法线上,
z
w z
0
w
w( x,
y)
薄板全厚的所有各点 具有相同的挠度
2020年6月13日星期六
专题：薄板弯曲问题
2
xz
w x
u z
0
yz
w y
v z
0
结论：
u w z x
v w z y
弯曲变形前垂直于中面的法线，变形后仍为直线，且 长度不变，称为直法线假定，它和梁弯曲的平面假定 类似。
b、薄板弯曲时，垂直于板面的应力分量z很小，可以 忽略不计，纵向间无挤压，所以物理方程与平面问题
的物理方程完全一样。
z
xz
6 FSx t3
t2 (
4
z2)
yz
6FSy t3
(t2 4
z2)
z
2q( 1 2
z )2 (1 t
z) t
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专题：薄板弯曲问题
17
各应力最大值
x , y , xy
x z , yz
( x )z t 2
6M x t2
( y )z t 2
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专题：薄板弯曲问题
4
三、弹性曲面的微分方程
薄板的小挠度弯曲问题，采用按位移求解，所以，取 薄板挠度w为基本未知量
1、用w表示应力，应变和位移
u w
z
x
v w z y
v
w y
z
f1 ( x,
y)
u
w x
z
f2 (x,
y)
又 u 0 v 0
z0
z0
f1( x, y) f2 ( x, y) 0
专题：薄板弯曲问题
8
由平衡方程中的前两式：
zx x yx
z
x
y
zy y xy
z
y
x
将x、y、xy的表达式代入得：
zx
z
1
Ez
2
(
3w x3
3w xy 2
)
Ez
1
2
2w x
zy
z
1
Ez
2
(
3w y 3
3w yx 2
)
1
Ez
2
2w y
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专题：薄板弯曲问题
y
2w
M xy
M
yx
D(1
)
2w xy
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专题：薄板弯曲问题
15
内力的正负号规定：
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专题：薄板弯曲问题
16
应力分量的表达式：
x
Ez
1 2
(2w x 2
2w) y 2
12M x t3
z
y
12M t3
y
z
xy
yx
Ez
1 2
2w xy
12M xy t3
9
将上两式积分得： zx
Ez 2
2(1 2 )
x
2w
F1 ( x,
y)
zy
Ez 2
2(1 2 )
y
2w F2 (x,
y)
由边界条件确定Ｆ１（x，y），Ｆ２（x，y）
zy z t 0 2
zx z t 0 2
最后得：
zx
Ez 2
2(1 2 )
(z2
t2 4
)
x
2w
zy
Ez 2(1
z
z3 )4w 3
f3 (x,
y)
根据边界条件求f3（x，y）
边界条件： z z t 0 板下面 2
求出f3（x，y）
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专题：薄板弯曲问题
11
最后得
z
Et 3
6(1 2 )
(1 2
z )2 (1 t
z t
) 4 w
边界条件： z t q 板上面 2
将z的表达式代入此边界条件，得：
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专题：薄板弯曲问题
5
v w z y
u w z x
应变分量：
x
u x
2w x 2
z
y
v y
2w y 2
z
xy
2 2 w xy
z
2020年6月13日星期六
专题：薄板弯曲问题
6
应力分量：
x
E
1 2
( x
y )
1
Ez
2
(
2w x 2
2w y 2
)
y
E
1 2
( y
2 t
y
zdz
2
t
M xy
2 t
xy
zdz
2
t
M xy
2 t
xy
zdz
2
t
t
FSx
2 t
xz
dz
2
FSy
2 t
yz
dz
2
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专题：薄板弯曲问题
14
薄板横截面上的内力可写为：
Mx
D(
2w x 2
2w y2 )
Qx
D
x
2w
My
D(
2w y 2
2w x 2
)
Qy
D
Et 3
12(1
2
)
4w
q
or或写成： D4w q
其中：D
Et 3
12(1
2
)
称为薄板的弯曲刚度， 量纲为：力·长度
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专题：薄板弯曲问题
12
方程 D4w q 称为薄板的弹性曲面微分方程或挠
曲微分方程，它是薄板弯曲的基本微分方程。求解时，
按薄板侧面的边界条件，由此方程求w，然后按前述公
2020年6月13日星期六
专题：薄板弯曲问题
3
x
1 E
( x
y )
y
1 E
( y
x )
xy
1 G
xy
c、中面内各点的水平位移u、v和w相比很小，可以忽略
不计,即
u 0 v 0 w w(x, y)
z0
z0
z0
说明中面无伸缩和剪切变形，中面的位移w（x，y）称为 挠度函数
以上假定在许多工程实际问题的分析中，已得到广泛应用
（3）板上的荷载一般都分解为：平行于板面的荷载；垂 直于板面的荷载。
（4）平行于板面的荷载沿板厚不变，按平面问题计算； 垂直于板面的荷载引起弯曲，按薄板弯曲理论计算。
o
x
t/2 t/2
yz
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专题：薄板弯曲问题
1
二、薄板弯曲的基本假定 （1）薄板弯曲时,中面为曲面,称为弹性曲面或中曲面, 中面内各点在垂直方向的位移称为挠度.
2
2
)
(
z
2
t2 )
4 y
2w
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专题：薄板弯曲问题
10
由平衡方程中的第三式： z xz yz Z 0
z x y 取Z=0，或Z不为零时，将其转化为面力
z
z
xz
x
yz
y
z
z
E t2
2(1 2 ) ( 4
z2 )4w
积分得： z
E
(t2
2(1 2 ) 4
式求应力分量.
若体力Z不为零，我们把每单位面积内的体力和面力都 归入薄板上面的面力，用q表示
t
q Z z t
Z z t
2 t
Zdz
2
2
2
这样处理只会对次要应力z引起误差，对其他的应力分 量无影响
2020年6月13日星期六
专题：薄板弯曲问题
13
五、横截面上的内力
t
M x
2 t
x
zdz
2
t
M y
x )
Ez
1 2
2w ( y2
2w x2 )
xy
Ez
1 2
2w xy
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专题：薄板弯曲问题
7
四、推导弹性曲面的微分方程
在这里，不存在纵向体积力：Ｘ＝Ｙ＝０
x yx zx 0
x
y
z
y xy zy 0
y
x
z
z xz yz Z 0
z
x
y
0年6月13日星期六