薄板弯曲问题

x )
Ez
1 2
2w ( y2
2w x2 )
xy
Ez
1 2
2w xy
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专题：薄板弯曲问题
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四、推导弹性曲面的微分方程
在这里，不存在纵向体积力：Ｘ＝Ｙ＝０
x yx zx 0
x
y
z
y xy zy 0
y
x
z
z xz yz Z 0
z
x
y
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（3）板上的荷载一般都分解为：平行于板面的荷载；垂 直于板面的荷载。
（4）平行于板面的荷载沿板厚不变，按平面问题计算； 垂直于板面的荷载引起弯曲，按薄板弯曲理论计算。
o
x
t/2 t/2
yz
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1
二、薄板弯曲的基本假定 （1）薄板弯曲时,中面为曲面,称为弹性曲面或中曲面, 中面内各点在垂直方向的位移称为挠度.
z
z3 )4w 3
f3 (x,
y)
根据边界条件求f3（x，y）
边界条件： z z t 0 板下面 2
求出f3（x，y）
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最后得
z
Et 3
6(1 2 )
(1 2
z )2 (1 t
z t
) 4 w
边界条件： z t q 板上面 2
将z的表达式代入此边界条件，得：
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v w z y
u w z x
应变分量：
x
u x
2w x 2
z
y
v y
2w y 2
z
xy
2 2 w xy
z
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6
应力分量：
x
E
1 2
( x
y )
1
Ez
2
(
2w x 2
2w y 2
)
y
E
1 2
( y
9
将上两式积分得： zx
Ez 2
2(1 2 )
x
2w
F1 ( x,
y)
zy
Ez 2
2(1 2 )
y
2w F2 (x,
y)
由边界条件确定Ｆ１（x，y），Ｆ２（x，y）
zy z t 0 2
zx z t 0 2
最后得：
zx
Ez 2
2(1 2 )
(z2
t2 4
)
x
2w
zy
Ez 2(1
式求应力分量.
若体力Z不为零，我们把每单位面积内的体力和面力都 归入薄板上面的面力，用q表示
t
q Z z t
Z z t
2 t
Zdz
2
2
2
这样处理只会对次要应力z引起误差，对其他的应力分 量无影响
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五、横截面上的内力
t
M x
wk.baidu.com
2 t
x
zdz
2
t
M y
z
xz
6 FSx t3
t2 (
4
z2)
yz
6FSy t3
(t2 4
z2)
z
2q( 1 2
z )2 (1 t
z) t
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各应力最大值
x , y , xy
x z , yz
( x )z t 2
6M x t2
( y )z t 2
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由平衡方程中的前两式：
zx x yx
z
x
y
zy y xy
z
y
x
将x、y、xy的表达式代入得：
zx
z
1
Ez
2
(
3w x3
3w xy 2
)
Ez
1
2
2w x
zy
z
1
Ez
2
(
3w y 3
3w yx 2
)
1
Ez
2
2w y
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2
2
)
(
z
2
t2 )
4 y
2w
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由平衡方程中的第三式： z xz yz Z 0
z x y 取Z=0，或Z不为零时，将其转化为面力
z
z
xz
x
yz
y
z
z
E t2
2(1 2 ) ( 4
z2 )4w
积分得： z
E
(t2
2(1 2 ) 4
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3
x
1 E
( x
y )
y
1 E
( y
x )
xy
1 G
xy
c、中面内各点的水平位移u、v和w相比很小，可以忽略
不计,即
u 0 v 0 w w(x, y)
z0
z0
z0
说明中面无伸缩和剪切变形，中面的位移w（x，y）称为 挠度函数
以上假定在许多工程实际问题的分析中，已得到广泛应用
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4
三、弹性曲面的微分方程
薄板的小挠度弯曲问题，采用按位移求解，所以，取 薄板挠度w为基本未知量
1、用w表示应力，应变和位移
u w
z
x
v w z y
v
w y
z
f1 ( x,
y)
u
w x
z
f2 (x,
y)
又 u 0 v 0
z0
z0
f1( x, y) f2 ( x, y) 0
Et 3
12(1
2
)
4w
q
or或写成： D4w q
其中：D
Et 3
12(1
2
)
称为薄板的弯曲刚度， 量纲为：力·长度
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方程 D4w q 称为薄板的弹性曲面微分方程或挠
曲微分方程，它是薄板弯曲的基本微分方程。求解时，
按薄板侧面的边界条件，由此方程求w，然后按前述公
y
2w
M xy
M
yx
D(1
)
2w xy
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内力的正负号规定：
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应力分量的表达式：
x
Ez
1 2
(2w x 2
2w) y 2
12M x t3
z
y
12M t3
y
z
xy
yx
Ez
1 2
2w xy
12M xy t3
2
xz
w x
u z
0
yz
w y
v z
0
结论：
u w z x
v w z y
弯曲变形前垂直于中面的法线，变形后仍为直线，且 长度不变，称为直法线假定，它和梁弯曲的平面假定 类似。
b、薄板弯曲时，垂直于板面的应力分量z很小，可以 忽略不计，纵向间无挤压，所以物理方程与平面问题
的物理方程完全一样。
2 t
y
zdz
2
t
M xy
2 t
xy
zdz
2
t
M xy
2 t
xy
zdz
2
t
t
FSx
2 t
xz
dz
2
FSy
2 t
yz
dz
2
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薄板横截面上的内力可写为：
Mx
D(
2w x 2
2w y2 )
Qx
D
x
2w
My
D(
2w y 2
2w x 2
)
Qy
D
（2）小挠度弯曲：挠度t，（本节讨论） 大挠度弯曲：挠度=t 薄膜问题 ：挠度t
（3）薄板弯曲的基本假定：（Kirchhoff-Love假定）
a、假定应变分量z=0，xz=0，yz=0
说明任意根法线上,
z
w z
0
w
w( x,
y)
薄板全厚的所有各点 具有相同的挠度
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